Movimiento de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad: definición, fórmulas. Ley de la gravedad

El movimiento de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad es uno de los temas centrales de la física dinámica. Incluso un estudiante normal de escuela sabe que la sección de dinámica se basa en tres. Intentemos analizar este tema a fondo, y un artículo que describa cada ejemplo en detalle nos ayudará a hacer que el estudio del movimiento de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad sea lo más útil posible.

Una pequeña historia

La gente miraba con curiosidad. varios fenómenos sucediendo en nuestras vidas. Durante mucho tiempo, la humanidad no pudo comprender los principios y la estructura de muchos sistemas, pero un largo viaje de estudio del mundo que nos rodea llevó a nuestros antepasados ​​​​a una revolución científica. Hoy en día, cuando la tecnología avanza a una velocidad increíble, la gente apenas piensa en cómo funcionan ciertos mecanismos.

Mientras tanto, nuestros antepasados ​​​​siempre estuvieron interesados ​​​​en los misterios de los procesos naturales y la estructura del mundo, buscaron respuestas a las preguntas más complejas y no dejaron de estudiar hasta encontrar respuestas. Por ejemplo, el famoso científico Galileo Galilei ya en el siglo XVI planteó la pregunta: "¿Por qué los cuerpos siempre caen, qué fuerza los atrae hacia el suelo?" En 1589 llevó a cabo una serie de experimentos, cuyos resultados resultaron muy valiosos. Estudió los patrones en detalle. caida libre Varios cuerpos arrojaron objetos desde la famosa torre de la ciudad de Pisa. Las leyes que derivó fueron mejoradas y descritas con más detalle mediante fórmulas de otro famoso científico inglés, Sir Isaac Newton. Es él quien posee las tres leyes en las que se basa casi toda la física moderna.

El hecho de que los patrones de movimiento corporal descritos hace más de 500 años sigan siendo relevantes hoy significa que nuestro planeta está sujeto a leyes inmutables. al hombre moderno es necesario estudiar al menos superficialmente los principios básicos del mundo.

Conceptos básicos y auxiliares de dinámica.

Para comprender completamente los principios de dicho movimiento, primero debes familiarizarte con algunos conceptos. Entonces, los términos teóricos más necesarios:

• La interacción es la influencia de los cuerpos entre sí, durante la cual se produce un cambio o el comienzo de su movimiento entre sí. Hay cuatro tipos de interacción: electromagnética, débil, fuerte y gravitacional.
• La velocidad es cantidad física, que indica la velocidad con la que se mueve el cuerpo. La velocidad es un vector, lo que significa que no sólo tiene un valor, sino también una dirección.
• La aceleración es la cantidad que nos muestra la tasa de cambio en la velocidad de un cuerpo durante un período de tiempo. Ella también es
• La trayectoria del camino es una curva, y a veces una línea recta, que el cuerpo traza al moverse. En caso de movimiento rectilíneo uniforme, la trayectoria puede coincidir con el valor del desplazamiento.
• El camino es la longitud de la trayectoria, es decir, exactamente lo que ha recorrido el cuerpo en un determinado período de tiempo.
• Un sistema de referencia inercial es un medio en el que se cumple la primera ley de Newton, es decir, el cuerpo conserva su inercia, siempre que todas las fuerzas externas estén completamente ausentes.

Los conceptos anteriores son suficientes para dibujar o imaginar correctamente en su cabeza una simulación del movimiento de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad.

¿Qué significa fuerza?

Pasemos al concepto principal de nuestro tema. Entonces, la fuerza es una cantidad cuyo significado es el impacto o influencia cuantitativa de un cuerpo sobre otro. Y la gravedad es la fuerza que actúa sobre absolutamente todos los cuerpos ubicados en la superficie o cerca de nuestro planeta. Surge la pregunta: ¿de dónde viene este mismo poder? La respuesta está en la ley. gravedad universal.

¿Qué es la gravedad?

Cualquier cuerpo de la Tierra está influenciado por la fuerza gravitacional, que le imparte cierta aceleración. La fuerza de gravedad siempre tiene una dirección vertical hacia abajo, hacia el centro del planeta. En otras palabras, la gravedad atrae los objetos hacia la Tierra, razón por la cual los objetos siempre caen. Resulta que la gravedad es caso especial fuerzas de la gravedad universal. Newton derivó una de las fórmulas principales para encontrar la fuerza de atracción entre dos cuerpos. Se ve así: F = G * (m 1 x m 2) / R 2.

¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad?

Un cuerpo que se suelta desde una determinada altura siempre cae bajo la influencia de la gravedad. El movimiento de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad verticalmente hacia arriba y hacia abajo se puede describir mediante ecuaciones, donde la constante principal será el valor de aceleración "g". Este valor se debe únicamente a la fuerza de gravedad y su valor es aproximadamente 9,8 m/s 2 . Resulta que un cuerpo lanzado desde una altura sin velocidad inicial se moverá hacia abajo con una aceleración igual al valor "g".

Movimiento corporal bajo la influencia de la gravedad: fórmulas para resolver problemas.

La fórmula básica para encontrar la fuerza de gravedad es la siguiente: F gravedad = m x g, donde m es la masa del cuerpo sobre el que actúa la fuerza y ​​“g” es la aceleración de la gravedad (para simplificar los problemas, generalmente se considera igual a 10 m/s2) .

Hay varias fórmulas más que se utilizan para encontrar una u otra incógnita cuando un cuerpo se mueve libremente. Entonces, por ejemplo, para calcular el camino recorrido por un cuerpo, es necesario sustituir valores conocidos en esta fórmula: S = V 0 x t + a x t 2 / 2 (el camino es igual a la suma de los productos de la velocidad inicial multiplicada por el tiempo y la aceleración por el cuadrado del tiempo dividido por 2).

Ecuaciones para describir el movimiento vertical de un cuerpo.

El movimiento vertical de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad se puede describir mediante una ecuación que se ve así: x = x 0 + v 0 x t + a x t 2 / 2. Usando esta expresión, puedes encontrar las coordenadas del cuerpo en un momento conocido en el tiempo. Solo necesitas sustituir las cantidades conocidas en el problema: ubicación inicial, velocidad inicial (si el cuerpo no solo fue soltado, sino empujado con cierta fuerza) y aceleración, en nuestro caso será igual a la aceleración g.

De la misma forma, puedes encontrar la velocidad de un cuerpo que se mueve bajo la influencia de la gravedad. La expresión para encontrar una cantidad desconocida en cualquier momento del tiempo: v = v 0 + g x t (el valor de la velocidad inicial puede ser igual a cero, entonces la velocidad será igual al producto de la aceleración de la gravedad por el valor del tiempo durante el cual el cuerpo se mueve).

El movimiento de cuerpos bajo la influencia de la gravedad: problemas y métodos para resolverlos.

Al resolver muchos problemas relacionados con la gravedad, recomendamos utilizar el siguiente plan:

1. Para determinar un sistema de referencia inercial conveniente para usted, generalmente se acostumbra elegir la Tierra, porque cumple con muchos de los requisitos ISO.
2. Haz un pequeño dibujo o imagen que muestre las principales fuerzas que actúan sobre el cuerpo. El movimiento de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad implica un bosquejo o diagrama que muestra en qué dirección se mueve el cuerpo cuando se lo somete a una aceleración igual a g.
3. A continuación se debe seleccionar la dirección para proyectar las fuerzas y las aceleraciones resultantes.
4. Escribe cantidades desconocidas y determina su dirección.
5. Finalmente, utilizando las fórmulas de resolución de problemas anteriores, calcule todas las cantidades desconocidas sustituyendo los datos en las ecuaciones para encontrar la aceleración o la distancia recorrida.

Solución lista para una tarea fácil

Cuando hablamos de un fenómeno como el movimiento de un cuerpo bajo la influencia de cuál es la forma más práctica de resolver un problema determinado, puede resultar complicado. Sin embargo, existen varios trucos con los que podrás resolver fácilmente incluso la tarea más difícil. Entonces, veamos ejemplos en vivo de cómo resolver tal o cual problema. Comencemos con un problema fácil de entender.

Cierto cuerpo fue lanzado desde una altura de 20 m sin velocidad inicial. Determina cuánto tiempo le tomará llegar a la superficie de la tierra.

Solución: conocemos el camino recorrido por el cuerpo, sabemos que la velocidad inicial fue igual a 0. También podemos determinar que solo la fuerza de la gravedad actúa sobre el cuerpo, resulta que este es el movimiento del cuerpo bajo la influencia de la gravedad, y por lo tanto deberíamos usar esta fórmula: S = V 0 x t + a x t 2 /2. Como en nuestro caso a = g, entonces luego de algunas transformaciones obtenemos la siguiente ecuación: S = g x t 2 / 2. Ahora solo queda expresar el tiempo a través de esta fórmula, encontramos que t 2 = 2S / g. Sustituyamos los valores conocidos (asumimos que g = 10 m/s 2) t 2 = 2 x 20 / 10 = 4. Por tanto, t = 2 s.

Entonces nuestra respuesta: el cuerpo caerá al suelo en 2 segundos.

El truco para resolver rápidamente el problema es el siguiente: puede notar que el movimiento del cuerpo descrito en el problema anterior ocurre en una dirección (verticalmente hacia abajo). Es muy similar al movimiento uniformemente acelerado, ya que sobre el cuerpo no actúa ninguna fuerza excepto la gravedad (despreciamos la fuerza de resistencia del aire). Gracias a esto, es posible utilizar una fórmula sencilla para encontrar el camino durante un movimiento uniformemente acelerado, sin pasar por las imágenes de los dibujos con la disposición de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Un ejemplo de resolución de un problema más complejo.

Ahora veamos cuál es la mejor manera de resolver los problemas sobre el movimiento de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad, si el cuerpo no se mueve verticalmente, sino que tiene una naturaleza de movimiento más compleja.

Por ejemplo, la siguiente tarea. Un objeto de masa m se mueve con aceleración desconocida hacia abajo por un plano inclinado cuyo coeficiente de fricción es igual a k. Determinar el valor de la aceleración que se produce al moverse. cuerpo dado, si se conoce el ángulo de inclinación α.

Solución: debe utilizar el plan descrito anteriormente. En primer lugar, dibuja un plano inclinado que represente el cuerpo y todas las fuerzas que actúan sobre él. Resulta que sobre él actúan tres componentes: la gravedad, la fricción y la fuerza de reacción del soporte. La ecuación general de las fuerzas resultantes se ve así: Fricción F + N + mg = ma.

El principal punto culminante del problema es la condición de inclinación en ángulo. α. Cuando ox y el eje oy es necesario tener en cuenta esta condición, entonces obtenemos la siguiente expresión: mg x sen α - F fricción = ma (para el eje ox) y N - mg x cos α = F fricción (para el eje oy).

La fricción F es fácil de calcular usando la fórmula para encontrar la fuerza de fricción, es igual a k x mg (coeficiente de fricción multiplicado por el producto de la masa corporal y la aceleración gravitacional). Después de todos los cálculos, solo queda sustituir los valores encontrados en la fórmula y obtendrás una ecuación simplificada para calcular la aceleración con la que un cuerpo se mueve a lo largo de un plano inclinado.

Según la segunda ley de Newton, la condición previa para la configuración del movimiento, es decir, la condición previa para la aceleración de los cuerpos, es la fuerza. La mecánica se ocupa de fuerzas de diversas naturalezas físicas. Muchos fenómenos mecánicos y los procesos están determinados por la acción de fuerzas. gravedad. Ley de la gravedad global Fue descubierto por I. Newton en 1682. Ya en 1665, Newton, de 23 años, sugirió que las fuerzas que mantienen a la Luna en su órbita son de la misma naturaleza que las fuerzas que hacen que una manzana caiga a la Tierra. Según su conjetura, entre todos los cuerpos del Universo existen fuerzas de atracción (fuerzas gravitacionales) dirigidas a lo largo de la franja que conecta centros de masa(Figura 1.10.1). Para un cuerpo en forma de bola homogénea, el centro de gravedad coincide con el centro de la bola.

En los años siguientes, Newton intentó encontrar una explicación física para el leyes del movimiento planetario, descubierto por el astrólogo I. Kepler a principios del siglo XVII, y dan una expresión cuantitativa de las fuerzas gravitacionales. Al saber cómo se mueven los planetas, Newton quería descubrir qué fuerzas actúan sobre ellos. Este camino se llama problema de mecanica inversa. Si la tarea principal de la mecánica es determinar las coordenadas de un cuerpo de masa conocida y su velocidad en cualquier momento en función de las fuerzas conocidas que actúan sobre el cuerpo y dadas las condiciones iniciales ( problema de mecanica simple), luego, al resolver un problema inverso, es necesario encontrar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, si está claro cómo se mueve. La solución a este problema llevó a Newton al descubrimiento de la ley de la gravitación global. Todos los cuerpos se atraen entre sí con una fuerza directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos:

El coeficiente de proporcionalidad G es similar para todos los cuerpos de la naturaleza. El es llamado constante gravitacional

Muchos fenómenos de la naturaleza se explican por la acción de fuerzas gravitacionales globales. El movimiento de los planetas en el sistema solar, el movimiento de los satélites artificiales de la Tierra, las líneas de vuelo de los misiles balísticos, el movimiento de los cuerpos cerca de la superficie de la Tierra: todos estos fenómenos se explican sobre la base de la ley de gravitación global. y las leyes de la dinámica. Una de las manifestaciones de la fuerza de gravedad global es gravedad. Este es el nombre común para la fuerza de atracción de los cuerpos hacia la Tierra cerca de su superficie. Si M es la masa de la Tierra, RЗ es su radio, m es la masa de un cuerpo dado, entonces la fuerza de gravedad es igual a

donde g - aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra:

La gravedad está orientada hacia el centro de la Tierra. En ausencia de otras fuerzas, el cuerpo cae libremente a la Tierra con la aceleración de la gravedad. El valor medio de la aceleración debida a la gravedad para diferentes puntos de la superficie terrestre es de 9,81 m/s2. Conociendo la aceleración de la gravedad y el radio de la Tierra (RЗ = 6,38·106 m), podemos calcular la masa de la Tierra M:

A medida que nos alejamos de la superficie de la Tierra, la fuerza de gravedad y la aceleración de la gravedad cambian hacia atrás en proporción al cuadrado de la distancia r al centro de la Tierra. Arroz. 1.10.2 ilustra el cambio en la fuerza gravitacional que actúa sobre un astronauta en una nave espacial a medida que se aleja de la Tierra. La fuerza con la que el astronauta es atraído hacia la Tierra cerca de su superficie se considera de 700 N.

Un ejemplo de un sistema de dos cuerpos que interactúan es el sistema Tierra-Luna. La Luna se encuentra a una distancia de la Tierra rЛ = 3,84·106 m, distancia que es aproximadamente 60 veces mayor que el radio de la Tierra RЗ. Como sigue, la aceleración de la gravedad aL, debida a la gravedad, en la órbita de la Luna es

Con tal aceleración dirigida hacia el centro de la Tierra, la Luna se mueve en órbita. Como sigue, esta aceleración es aceleración centrípeta. Se puede calcular utilizando la fórmula cinemática para la aceleración centrípeta (ver §1.6):

donde T = 27,3 días es el período de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. La coincidencia de los resultados de los cálculos realizados con diferentes métodos confirma la suposición de Newton sobre la naturaleza única de la fuerza que mantiene a la Luna en órbita y la fuerza de gravedad. El propio campo gravitacional de la Luna determina la aceleración de la gravedad gL en su superficie. La masa de la Luna es 81 veces menor que la masa de la Tierra y su radio es aproximadamente 3,7 veces menor que el radio de la Tierra. Por tanto, la aceleración gА vendrá determinada por la expresión:

Los astronautas que aterrizaron en la Luna se encontraron en condiciones de gravedad tan débil. Una persona en tales condiciones puede dar grandes saltos. Por ejemplo, si una persona en la Tierra salta a una altura de 1 m, en la Luna podría saltar a una altura de más de 6 m. Consideremos ahora la cuestión de los satélites terrestres artificiales. Los satélites artificiales van más allá atmósfera terrestre, y sólo se ven afectados por las fuerzas gravitacionales de la Tierra. Dependiendo de la velocidad inicial, la línea de movimiento del cuerpo galáctico puede ser diferente (ver §1.24). Consideraremos aquí sólo el caso del movimiento. Satélite artificial radial cerca de la Tierra orbita. Estos satélites vuelan a altitudes del orden de 200 a 300 km, y la distancia al centro de la Tierra puede considerarse aproximadamente igual a su radio RЗ. Entonces aceleración centrípeta satélite, impartido por las fuerzas gravitacionales es aproximadamente igual a la aceleración de la gravedad g. Denotemos la velocidad del satélite en órbita terrestre baja como υ1. Esta velocidad se llama primera velocidad cósmica. Utilizando la fórmula cinemática para la aceleración centrípeta (ver §1.6), obtenemos:

Moviéndose a tal velocidad, el satélite daría la vuelta a la Tierra en un tiempo. De hecho, el período de la órbita del satélite en una órbita radial cerca de la superficie de la Tierra excede ligeramente el valor indicado debido a la diferencia entre el radio de la órbita real y el radio de la Tierra. El movimiento del satélite se puede considerar como caida libre, similar al movimiento de proyectiles o misiles balísticos. La diferencia radica únicamente en el hecho de que la velocidad del satélite es tan alta que el radio de curvatura de su línea de movimiento es igual al radio de la Tierra. Para los satélites que se mueven a lo largo de trayectorias radiales a una distancia significativa de la Tierra, la gravedad de la Tierra se debilita hacia atrás en proporción al cuadrado del radio r de la línea de movimiento. La velocidad del satélite υ se encuentra a partir de la condición

Por tanto, en órbitas grandes la velocidad de los satélites es menor que en órbitas terrestres bajas. El período de llamada T de dicho satélite es igual a

Aquí T1 es el período de llamada del satélite en órbita terrestre baja. El período de llamada del satélite aumenta al aumentar el radio orbital. Es fácil calcular que con un radio orbital r igual a aproximadamente 6,6RZ, el período de llamada del satélite será igual a 24 horas. Un satélite con tal período de llamada, lanzado en el plano ecuatorial, flotará inmóvil sobre un punto determinado. superficie de la Tierra. Estos satélites se utilizan en sistemas de radiocomunicación cósmica. Una órbita con radio r = 6.6R3 se llama geoestacionario.

(los términos gravedad y gravitación son equivalentes).

Aceleración que experimenta un cuerpo. metro 2 ubicados a distancia r de este cuerpo metro 1 es igual a:
.
Este valor no depende de la naturaleza (composición) y la masa del cuerpo que recibe la aceleración. Esta relación expresa el hecho experimental, conocido por Galileo, según el cual todos los cuerpos caen bajo la gravedad. campo de la Tierra con la misma aceleración.

Newton estableció que la aceleración y la fuerza son inversamente proporcionales al comparar la aceleración de los cuerpos que caen cerca de la superficie de la Tierra con la aceleración con la que se mueve la Luna en su órbita. (El radio de la Tierra y la distancia aproximada a la Luna se conocían en ese momento). Se demostró además que las leyes de Kepler se derivan de la ley de gravitación universal, que fue descubierta por I. Kepler procesando numerosas observaciones de los movimientos de Los planetas. Así surgió la mecánica celeste. Una brillante confirmación de la teoría de T. de Newton fue la predicción de la existencia de un planeta más allá de Urano (el astrónomo inglés J. Adams, el astrónomo francés W. Le Verrier, 1843-45) y el descubrimiento de este planeta, que recibió el nombre de Neptuno ( El astrónomo alemán I. Galle, 1846).

Las fórmulas que describen el movimiento de los planetas incluyen el producto. GRAMO y la masa del Sol, se conoce con gran exactitud. Para determinar la constante GRAMO Se requieren experimentos de laboratorio para medir la fuerza de gravedad. Interacción de dos cuerpos con masa conocida. El primer experimento de este tipo fue realizado por los ingleses. científico G. Cavendish (1798). Conocimiento GRAMO, es posible determinar los abdominales. el valor de la masa del Sol, la Tierra y otros cuerpos celestes.

La ley de gravitación en la forma (1) es directamente aplicable a cuerpos puntuales. Se puede demostrar que también es válido para cuerpos extendidos con una distribución de masa esféricamente simétrica, y r es la distancia entre los centros de simetría de los cuerpos. Para esférico cuerpos ubicados suficientemente lejos unos de otros, la ley (1) es aproximadamente válida.

En el curso del desarrollo de la teoría de T., la idea de interacción directa de fuerzas entre cuerpos dio paso gradualmente a la idea de un campo. Gravedad el campo en la teoría de Newton se caracteriza por el potencial, donde x,y,z- coordenadas, t- el tiempo, así como la intensidad del campo, es decir
.
Potencial gravitacional el campo creado por un conjunto de masas en reposo no depende del tiempo. Gravedad varios potenciales Los cuerpos satisfacen los principios de superposición, es decir. potencial de k.-l. El punto de su campo común es igual a la suma de los potenciales de los cuerpos considerados.

Se supone que la gravitación el campo se describe en un sistema de coordenadas inercial, es decir En un sistema de coordenadas, un cuerpo relativo mantiene un estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme si no actúan fuerzas sobre él. en gravitacional campo, la fuerza que actúa sobre una partícula de materia es igual al producto de su masa por la intensidad del campo en la ubicación de la partícula: F=mg. La aceleración de una partícula con respecto al sistema de coordenadas inercial (la llamada aceleración absoluta) es, obviamente, gramo.

Cuerpo puntual con masa DM crea gravitacional potencial
.
Un medio continuo distribuido en el espacio con densidad (que también puede depender del tiempo) crea fuerza gravitacional. potencial igual a la suma de los potenciales de todos los elementos del medio. En este caso, la intensidad del campo se expresa como la suma vectorial de las intensidades creadas por todas las partículas.

Gravedad el potencial obedece a la ecuación de Poisson:
. (2)

Está claro que el potencial de un cuerpo esféricamente simétrico aislado depende sólo de r. Fuera de tal cuerpo, el potencial coincide con el potencial de un cuerpo puntual ubicado en el centro de simetría y que tiene la misma masa. metro. Estoy gordo r>R, entonces cuando r>R. Esto justifica la aproximación puntos materiales en mecánica celeste, donde suelen tratarse de formas casi esféricas. cuerpos situados, además, bastante alejados unos de otros. La ecuación exacta de Poisnois, que tiene en cuenta la distribución real y asimétrica de masas, se utiliza, por ejemplo, al estudiar la estructura de la Tierra mediante métodos gravimétricos. La ley de T. en forma de ecuación de Poisson se aplica teóricamente. estudio de la estructura de las estrellas. En las estrellas, la fuerza de presión, que varía de un punto a otro, se equilibra con el gradiente de presión; En las estrellas en rotación, la fuerza centrífuga se suma al gradiente de presión.

Observemos algunos rasgos fundamentales de lo clásico. teorías de t.
1) En la ecuación de movimiento de un cuerpo material: la segunda ley de la mecánica de Newton, metroa=F(Dónde F - fuerza efectiva, a- aceleración adquirida por un cuerpo), y la ley de gravitación de Newton incluye la misma característica de un cuerpo: su masa. Esto implica que la masa inercial de un cuerpo y su gravedad. masa son iguales (para más detalles, consulte la sección 3).

2) Valor de gravedad instantáneo. El potencial está completamente determinado por la distribución instantánea de masas en todo el espacio y las condiciones límite para el potencial en el infinito. Para distribuciones limitadas de materia, aceptamos la condición de que desaparezca en el infinito (en ). Agregar un término constante al potencial viola la condición en el infinito, pero no cambia la intensidad del campo. gramo y no cambia el nivel de movimiento de los cuerpos materiales en un campo determinado.

3) Transición de acuerdo con las transformaciones de Galileo ( x"=x-vt, t"=t) de un sistema de coordenadas inercial a otro, moviéndose con respecto al primero con velocidad constante v, no cambia la ecuación de Poisson y no cambia la ecuación de movimiento de los cuerpos materiales. En otras palabras, la mecánica, incluida la teoría de la teoría de Newton, es invariante bajo las transformaciones galileanas.

4) Transición de un sistema de coordenadas inercial a uno acelerado que se mueve con aceleración a(t)(sin rotación) no cambia la ecuación de Poisson, pero da lugar a la aparición de un término adicional que no depende de las coordenadas metroa en los niveles de movimiento. Exactamente la misma lanzadera en las ecuaciones de movimiento surge si el sistema de coordenadas inercial es gravitacional. agregue un término al potencial que dependa linealmente de las coordenadas, es decir, agregue un campo uniforme T. Por tanto, un campo uniforme T. puede compensarse en condiciones de movimiento acelerado.

2. Movimiento de cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

La tarea más importante de la mecánica celeste newtoniana es el fenómeno. el problema del movimiento de dos cuerpos materiales puntuales que interactúan gravitacionalmente. Para solucionarlo, utilizando la ley de gravitación de Newton, componen la ecuación de movimiento de los cuerpos. Las propiedades de las soluciones de estas ecuaciones se conocen con total plenitud. Utilizando una solución conocida, se puede establecer que ciertas cantidades que caracterizan al sistema permanecen constantes en el tiempo. Se llaman integrales de movimiento. Básico integrales de movimiento (cantidades conservadas) yavl. energía, impulso, momento angular del sistema. Para un sistema de dos cuerpos, mecánica completa. energía mi, igual a la suma de la cinética. energía ( t) y energía potencial ( Ud.), se guarda:
E=T+U= constante,
¿Dónde está la cinética? Energía de dos cuerpos.

en clasico Mecánica celeste energía potencial debido a la gravitación interacción entre cuerpos Para un par de cuerpos, la energía gravitacional (potencial) es igual a:
,
donde esta gravitacional potencial creado por masa metro 2 en el punto donde se encuentra la masa metro 1, a es el potencial creado por la masa metro 1 en el lugar de misa metro 2. valor cero Ud. Poseen cuerpos separados por una distancia infinitamente grande. Dado que cuando los cuerpos se acercan entre sí, su cinética la energía aumenta y la energía potencial disminuye, entonces, por lo tanto, el signo Ud. negativo.

Para sistemas gravitantes estacionarios cf. valor abs magnitud gravitacional la energía es el doble del promedio. valores cinéticos energía de las partículas que forman el sistema (ver). Así, por ejemplo, para masa baja metro, girando en una órbita circular alrededor cuerpo central, condición de igualdad de la fuerza centrífuga mv 2 /r la fuerza de gravedad conduce a, es decir cinético energía, mientras que Por eso, Ud.=-2t Y E=U+T=-T= constante

En la teoría de la gravedad de Newton, un cambio en la posición de una partícula conduce instantáneamente a un cambio en el campo en todo el espacio (la interacción gravitacional ocurre a una velocidad infinita). En otras palabras, en el clásico teoría de T. el campo sirve para describir la interacción instantánea a distancia, no tiene la suya propia. grados de libertad, no pueden propagarse ni emitir. Está claro cuál es el concepto de gravedad. el campo sólo es válido aproximadamente para movimientos suficientemente lentos de las fuentes. Teniendo en cuenta la velocidad final de propagación gravitacional. Las interacciones se llevan a cabo en la teoría relativista de T. (ver más abajo).

En la teoría no relativista de la física, la energía mecánica total de un sistema de cuerpos (incluida la energía de la interacción gravitacional) debe permanecer sin cambios indefinidamente. La teoría de Newton permite una sistemática una disminución de esta energía sólo en presencia de disipación asociada a la conversión de parte de la energía en calor, por ejemplo. durante colisiones inelásticas de cuerpos. Si los cuerpos son viscosos, entonces sus deformaciones y vibraciones cuando se mueven por gravedad. Los campos también reducen la energía de un sistema de cuerpos al convertir la energía en calor.

3. Aceleración y gravedad

Masa corporal inerte ( yo yo) es una cantidad que caracteriza su capacidad para adquirir una aceleración particular bajo la influencia de una fuerza determinada. La masa inercial es parte de la segunda ley de la mecánica de Newton. Gravedad peso ( mg) caracteriza la capacidad del cuerpo para crear uno u otro campo T. Gravitación. La masa está incluida en la ley de T.

De los experimentos de Galileo, con la precisión con la que fueron realizados, se desprendía que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, independientemente de su naturaleza y masa inercial. Esto significa que la fuerza con la que la Tierra actúa sobre estos cuerpos depende únicamente de su masa inercial, y la fuerza es proporcional a la masa inercial del cuerpo en cuestión. Pero según la tercera ley de Newton, el cuerpo en estudio actúa sobre la Tierra exactamente con la misma fuerza con la que la Tierra actúa sobre el cuerpo. En consecuencia, la fuerza creada por un cuerpo que cae depende únicamente de una de sus características, la masa inercial, y es proporcional a ella. Al mismo tiempo, el cuerpo que cae actúa sobre la Tierra con una fuerza determinada por la gravedad. peso corporal. Así, para todos los cuerpos gravitacionales. la masa es proporcional a la masa inerte. Contando yo yo Y mg simplemente coincidiendo, encuentran a partir de experimentos un valor numérico específico de la constante GRAMO.

Proporcionalidad de la inercia y la gravedad. masas de cuerpos de diversas naturalezas fue objeto de investigación en los experimentos de Weng. Física R. Eotvos (1922), estadounidense. el físico R. Dicke (1964) y el físico soviético V.B. Braginsky (1971). Ha sido probado en laboratorio con alta precisión (con un error

La alta precisión de estos experimentos permite evaluar el efecto sobre la masa de varios tipos de energía de enlace entre partículas de un cuerpo (ver). Proporcionalidad de la inercia y la gravedad. masa significa que físico. Las interacciones dentro de un cuerpo están igualmente involucradas en la creación de su inercia y gravedad. peso

En relación con un sistema de coordenadas que se mueve con aceleración a, todos los cuerpos libres adquieren la misma aceleración - a. Debido a la igualdad de inercia y gravedad. masas, todas adquieren la misma aceleración relativa al sistema de coordenadas inercial bajo la influencia de la gravedad. campos con intensidad gramo=-a. Por eso podemos decir que, desde el punto de vista de las leyes de la mecánica, existe una fuerza gravitacional homogénea. el campo es indistinguible del campo de aceleración. En una gravitación no uniforme campo, la compensación de la intensidad del campo mediante la aceleración en todo el espacio a la vez es imposible. Sin embargo, la intensidad del campo se puede compensar acelerando un sistema de coordenadas especialmente seleccionado a lo largo de toda la trayectoria de un cuerpo que se mueve libremente bajo la influencia de las fuerzas T. Este sistema de coordenadas se llama. caída libre. En él se produce el fenómeno de la ingravidez.

Movimiento espacial Las naves espaciales (AES) en el campo T de la Tierra pueden considerarse como el movimiento de un sistema de coordenadas descendente. La aceleración de los astronautas y de todos los objetos en la nave con respecto a la Tierra es la misma e igual a la aceleración de caída libre, y entre sí es prácticamente cero, por lo que se encuentran en ingravidez.

En caída libre en gravedad no homogénea. La compensación de campo de la intensidad del campo mediante aceleración no puede ser universal, ya que la aceleración de las partículas vecinas que caen libremente no es exactamente la misma, es decir, las partículas tienen aceleración relativa. En el espacio barco, las aceleraciones relativas son prácticamente imperceptibles, ya que su orden de magnitud es cm/s 2, donde r- distancia del barco al centro de la Tierra, - masa de la Tierra, X- tamaño del barco. Estas aceleraciones pueden despreciarse y asumirse la gravedad. El campo de la Tierra en la distancia. r desde su centro homogéneo en volumen con un tamaño característico X. En cualquier volumen de espacio dado, la falta de homogeneidad de la gravedad El campo puede establecerse mediante observaciones con una precisión suficientemente alta, pero para cualquier precisión de observación dada es posible indicar el volumen de espacio en el que el campo aparecerá homogéneo.

Las aceleraciones relativas se manifiestan, por ejemplo, en la Tierra en forma de mareas oceánicas. La fuerza con la que la Luna atrae a la Tierra es diferente en los distintos puntos de la Tierra. Las partes de la superficie del agua más cercanas a la Luna se sienten atraídas con más fuerza que el centro de gravedad de la Tierra y éste, a su vez, es más fuerte que las partes más distantes de los océanos del mundo. A lo largo de la línea que conecta la Luna y la Tierra, las aceleraciones relativas se dirigen desde el centro de la Tierra y, en direcciones ortogonales, hacia el centro. Como resultado, la capa de agua de la Tierra se deforma hasta extenderse en forma de elipsoide a lo largo de la línea Tierra-Luna. Debido a la rotación de la Tierra, las jorobas de marea recorren la superficie del océano dos veces al día. Una deformación de marea similar pero más pequeña es causada por la falta de homogeneidad gravitacional. campos del sol.

A. Einstein, basándose en la equivalencia de campos tecnológicos homogéneos y sistemas de coordenadas acelerados en mecánica, asumió que dicha equivalencia se aplica generalmente a todos los objetos físicos sin excepción. fenómenos. Este postulado se llama principio de equivalencia: todos los procesos físicos proceden exactamente de la misma manera (en las mismas condiciones) en un sistema de referencia inercial ubicado en un campo gravitacional uniforme y en un sistema de referencia que se mueve traslacionalmente con aceleración en ausencia de gravedad. . campos. El principio de equivalencia jugado. papel importante al construir la teoría de T de Einstein.

4. Mecánica relativista y teoría de campos.

Estudio de el.-magn. Fenómenos de M. Faraday y D. Maxwell en la segunda mitad del siglo XIX. condujo a la creación de la teoría del magnetismo eléctrico. campos. Las conclusiones de esta teoría fueron confirmadas experimentalmente. Las ecuaciones de Maxwell no son invariantes bajo transformaciones galileanas, pero son invariantes bajo transformaciones de Lorentz, es decir. Las leyes del electromagnetismo se formulan de manera idéntica en todos los sistemas de coordenadas inerciales conectados por transformaciones de Lorentz.

Si el sistema de coordenadas inercial x", y", z", t" se mueve en relación con el sistema de coordenadas inercial x, y, z, t a velocidad constante v en la dirección del eje X, entonces las transformaciones de Lorentz tienen la forma:
y"=y, z"=z, .
A bajas velocidades () y descuidando miembros ( v/c) 2 y vx/c 2 estas transformaciones se convierten en transformaciones galileanas.

Lógico Análisis de las contradicciones que surgieron al comparar las conclusiones de la teoría electromagnética. fenómenos con clásico ideas sobre el espacio y el tiempo, llevaron a la construcción de una teoría particular (especial) de la relatividad. El paso decisivo lo dio A. Einstein (1905), en su construcción jugaron un papel muy importante los trabajos del físico holandés G. Lorentz y los franceses. matemático A. Poincaré. La teoría parcial de la relatividad requiere una revisión de las ideas clásicas sobre el espacio y el tiempo. en clasico En física, el intervalo de tiempo entre dos eventos (por ejemplo, entre dos destellos de luz), así como el concepto de simultaneidad de eventos, tienen un significado absoluto. No dependen del movimiento del observador. En la teoría parcial de la relatividad esto no es así: los juicios sobre los intervalos de tiempo entre eventos y sobre los segmentos de longitud dependen del movimiento del observador (el sistema de coordenadas asociado a él). Estas cantidades resultan ser relativas aproximadamente en el mismo sentido en que son relativas, dependiendo de la ubicación de los observadores, los fenómenos. sus juicios sobre el ángulo bajo el cual ven el mismo par de objetos. Invariante, absoluto, independiente del sistema de coordenadas, yavl. sólo intervalo de 4 dimensiones ds entre eventos, incluyendo tanto un período de tiempo dt, y el elemento de la distancia entre ellos:
ds 2 =C 2 dt 2 -dx 2 -dy 2 -dz 2 . (3)
Transición de un sistema inercial a otro, preservando ds 2 sin cambios, se lleva a cabo precisamente de acuerdo con las transformaciones de Lorentz.

Invariancia ds 2 significa que el espacio y el tiempo se combinan en un solo mundo de 4 dimensiones: el espacio-tiempo. La expresión (3) también se puede escribir como:
, (4)
donde los índices y recorren los valores 0, 1, 2, 3 y se realiza la suma sobre ellos, X 0 =Connecticut, X 1 =X, X 2 =y, X 3 =z, , las cantidades restantes son iguales a cero. Un conjunto de cantidades se llama tensor métrico del espacio-tiempo plano o mundo de Minkowski [en teoria general relatividad (GTR) se demostró que el espacio-tiempo tiene curvatura, ver más abajo].

En el término "tensor métrico", la palabra "métrica" ​​indica el papel de estas cantidades en la determinación de distancias e intervalos de tiempo. En general, métrico tensor es un conjunto de diez funciones dependiendo de X 0 , X 1 , X 2 , X 3 en el sistema de coordenadas seleccionado. Métrico. un tensor (o simplemente una métrica) le permite determinar la distancia y el intervalo de tiempo entre eventos separados por .

Especialista. La teoría de la relatividad establece la velocidad límite de movimiento de los cuerpos materiales y, en general, la propagación de las interacciones. Esta velocidad coincide con la velocidad de la luz en el vacío. Junto con el cambio de ideas sobre el espacio y el tiempo, especial La teoría de la relatividad aclaró los conceptos de masa, momento y fuerza. En mecánica relativista, es decir. en mecánica, invariante bajo transformaciones de Lorentz, la masa inercial de un cuerpo depende de la velocidad: , donde metro 0 - cuerpos. La energía de un cuerpo y su momento se combinan en un vector energía-momento de 4 componentes. Para continuo Se pueden ingresar la densidad de energía, la densidad de momento y la densidad de flujo de momento. Estas cantidades se combinan en una cantidad de 10 componentes, el tensor de energía-momento. Todos los componentes sufren una transformación conjunta al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Teoría relativista del el.-magn. Los campos (electrodinámica) son mucho más ricos que la electrostática, que sólo es válida en el límite de los movimientos lentos de las cargas. En electrodinámica, la energía eléctrica se combina. y campos magnéticos. Teniendo en cuenta la velocidad finita de propagación de los cambios de campo y el retraso en la transferencia de la interacción, se llega al concepto de imán eléctrico. ondas, que alejan la energía del sistema radiante.

De manera similar, la teoría relativista de T. resultó ser más complicada que la de Newton. Gravedad el campo de un cuerpo en movimiento tiene una serie de santos similares a los santos del el.-magnético. Campos de un cuerpo cargado en movimiento en electrodinámica. Gravedad el campo a gran distancia de los cuerpos depende de la posición y el movimiento de los cuerpos en el pasado, ya que gravitacional el campo se propaga a una velocidad finita. Se hace posible la emisión y propagación de la gravedad. ondas (ver). La teoría relativista de T., como era de esperar, resultó no lineal.

5. Curvatura del espacio-tiempo en la relatividad general

Según el principio de equivalencia, ninguna observación, utilizando leyes de la naturaleza, puede distinguir la aceleración creada por un campo uniforme T. de la aceleración de un sistema de coordenadas en movimiento. En una gravitacional homogénea. En el campo, es posible lograr una aceleración cero de todas las partículas colocadas en una región determinada del espacio si las consideramos en un sistema de coordenadas que caen libremente junto con las partículas. Dicho sistema de coordenadas se representa mentalmente como un laboratorio con paredes rígidas y un reloj ubicado en él. La situación es diferente en el caso de la gravedad no uniforme. un campo en el que las partículas libres vecinas tienen aceleraciones relativas. Se moverán con aceleración, aunque pequeña, en relación con el centro del laboratorio (sistema de coordenadas), y dicho sistema de coordenadas debe considerarse sólo localmente inercial. Un sistema de coordenadas puede considerarse inercial sólo en la región donde está permitido despreciar las aceleraciones relativas de las partículas. En consecuencia, en una gravedad no homogénea En este campo sólo en una pequeña región del espacio-tiempo y con precisión limitada se puede considerar el espacio-tiempo como plano y utilizar f-loy (3) para determinar el intervalo entre eventos.

La imposibilidad de introducir un sistema de coordenadas inercial en un sistema gravitacional no homogéneo. el campo hace que todos los sistemas de coordenadas imaginables sean más o menos iguales. nivel de gravedad Los campos deben escribirse de manera que sean válidos en todos los sistemas de coordenadas, sin dar preferencia a ninguno. de ellos. De ahí el nombre de la teoría relativista de T.: teoría general de la relatividad.

Gravedad Los campos generados por cuerpos reales, como el Sol o la Tierra, son siempre heterogéneos. Estos se denominan campos verdaderos o irreducibles. En tanta gravedad. campo, ningún sistema de coordenadas localmente inercial puede extenderse a todo el espacio-tiempo. Esto significa que el intervalo ds 2 no puede reducirse a la forma (3) en todo el continuo espacio-tiempo, es decir El espacio-tiempo no puede ser plano. A Einstein se le ocurrió la idea radical de identificar fuerzas gravitacionales no homogéneas. campos con curvatura espacio-temporal. Desde estas posiciones, gravitacional el campo de cualquier cuerpo puede considerarse como una distorsión de la geometría del espacio-tiempo por parte de este cuerpo.

Fundamentos de las matemáticas Los aparatos de geometría del espacio con curvatura (geometría no euclidiana) se establecieron en las obras de N.I. Lobachevski, Hung. matemáticas J. Bolyai, alemán. los matemáticos K. Gauss y G. Riemann. En la geometría no euclidiana, el espacio-tiempo curvo se caracteriza por la métrica. tensor incluido en la expresión para el intervalo invariante:
, (5)
un caso especial de esta expresión es f-la (4). Teniendo un conjunto de funciones, podemos plantear la cuestión de la existencia de tales transformaciones de coordenadas que traducirían (5) en (3), es decir, nos permitiría comprobar si el espacio-tiempo es plano. Las transformaciones deseadas son factibles si y sólo si un determinado tensor, compuesto de funciones, los cuadrados de sus primeras derivadas y segundas derivadas, es igual a cero. Este tensor se llama tensor de curvatura. En el caso general, por supuesto, no es igual a cero.

Se utiliza un conjunto de cantidades para una descripción geométrica invariante, independiente de la elección del sistema de coordenadas. St. en el espacio-tiempo curvo. Con fisico punto de vista, el tensor de curvatura, expresado a través de las segundas derivadas de la gravedad. potenciales, describe aceleraciones de marea en gravedad no homogénea. campo.

El tensor de curvatura es una cantidad dimensional, su dimensión es el cuadrado de la longitud recíproca. La curvatura en cada punto del espacio-tiempo corresponde a longitudes características: radios de curvatura. En una pequeña región de espacio-tiempo que rodea un punto dado, el espacio-tiempo curvo es indistinguible del espacio-tiempo plano hasta en términos pequeños, donde yo- tamaño característico de la zona. En este sentido, la curvatura del mundo tiene las mismas propiedades que, digamos, la curvatura globo: en áreas pequeñas es insignificante. El tensor de curvatura en un punto dado no puede "destruirse" mediante ninguna transformación de coordenadas. Sin embargo, en un determinado sistema de coordenadas y con una precisión previamente conocida, el campo T en una pequeña región del espacio-tiempo puede considerarse ausente. En este ámbito, todas las leyes de la física adoptan la forma que corresponde a las especiales. la teoría de la relatividad. Así se manifiesta el principio de equivalencia, que formó la base de la teoría de la teoría durante su construcción.

Métrico. El tensor espacio-temporal y, en particular, la curvatura del mundo, son accesibles a la determinación experimental. Para demostrar la curvatura del globo, es necesario tener una pequeña escala "ideal" y utilizarla para medir la distancia entre puntos bastante distantes de la superficie. Una comparación de las distancias medidas indicará la diferencia entre la geometría real y la euclidiana. Asimismo, la geometría del espacio-tiempo puede establecerse mediante mediciones realizadas con reglas y relojes "ideales". Es natural suponer, siguiendo a Einstein, que las propiedades de un pequeño átomo “ideal” no dependen del lugar del mundo en el que se encuentre. Por lo tanto, midiendo, por ejemplo, el desplazamiento de frecuencia de la luz (determinando el desplazamiento gravitacional hacia el rojo), es posible en principio determinar la métrica. tensor espacio-temporal y su curvatura.

6. Las ecuaciones de Einstein

Sumando el tensor de curvatura con la métrica. un tensor puede formar un tensor simétrico , que tiene tantos componentes como el tensor de energía momento de la materia, sirve como fuente de gravedad. campos.

Einstein sugirió que las ecuaciones de la gravedad deberían establecer una conexión entre y. Además, tuvo en cuenta que en la gravedad. campo, el nivel de continuidad de la materia debe satisfacerse de la misma manera que se satisface el nivel de continuidad actual en electrodinámica. Tales ecuaciones se llevan a cabo automáticamente si la ecuación de gravedad es escribe los campos así:
. (6)
Esta es la ecuación de Einstein, obtenida por él en 1916. Estas ecuaciones también se derivan de las variaciones. principio que le mostró independientemente. matemático D. Hilbert.

Las ecuaciones de Einstein expresan la conexión entre la distribución y el movimiento de la materia, por un lado, y la geometría. espacio-tiempo sagrado, por el otro.

En las ecuaciones (6), en el lado izquierdo hay componentes del tensor que describen la geometría del espacio-tiempo, y en el lado derecho hay componentes del tensor de energía-momento que describe la física. Propiedades sagradas de la materia y los campos (fuentes de campos gravitacionales). Las cantidades no son sólo funciones que describen el campo gravitacional, sino que al mismo tiempo son componentes del tensor métrico del espacio-tiempo.

Einstein escribió que la mayoría de sus trabajos (teoría especial de la relatividad, naturaleza cuántica de la luz) estaban en consonancia con los problemas acuciantes de su época y otros científicos los habrían realizado con un retraso de no más de 2 o 3 años, si estos Einstein hizo una excepción con el GTR y escribió que la teoría relativista de T. podría haberse retrasado 50 años. Esta previsión estaba esencialmente justificada, ya que fue en los años 60 del siglo XX cuando aparecieron nuevos Surgieron los métodos generales de la teoría de campos y otro enfoque de la teoría no lineal de la termodinámica, basado en el concepto de campo definido en el espacio-tiempo plano. Se demostró que este camino conduce a las mismas ecuaciones a las que llegó Einstein sobre la base de la geometría. .interpretaciones de T.

Cabe destacar que es en la astronomía y la cosmología donde surgen las preguntas sobre en qué geométrico. Acércate a Yavl. privilegiado. Como ejemplo, podemos señalar cosmológico. la teoría de un Universo espacialmente cerrado, así como la teoría de . Por tanto, la teoría de Einstein, basada en la geometría. concepto, conserva todo su significado.

En geométrico interpretación del movimiento de un punto material en gravedad el campo representa el movimiento a lo largo de una trayectoria de 4 dimensiones: geodésica. Líneas del espacio-tiempo. En un mundo con curvatura, geodésica. línea generaliza el concepto de línea recta en la geometría euclidiana. Las ecuaciones de movimiento de la materia contenidas en las ecuaciones de Einstein se reducen a las ecuaciones geodésicas. líneas para cuerpos puntuales. Los cuerpos (partículas), que no pueden considerarse puntuales, se desvían en su movimiento de la geodésica. líneas y experimentar fuerzas de marea.

7. Campos gravitacionales débiles y efectos observados.

El campo T. de la mayoría de los astronómicos. objetos de fenómenos débil. Un ejemplo sería la gravedad. El campo de la Tierra. Para que un cuerpo abandone la Tierra para siempre, se le debe dar una velocidad de 11,2 km/s en la superficie de la Tierra, es decir velocidad, pequeña en comparación con la velocidad de la luz. En otras palabras, gravitacional. El potencial de la Tierra es pequeño en comparación con el cuadrado de la velocidad de la luz, que es el fenómeno. Criterio de debilidad gravitacional. campos.

En la aproximación de campo débil, las leyes de la teoría de la gravitación y la mecánica de Newton se derivan de las ecuaciones de la relatividad general. Los efectos de la relatividad general en tales condiciones representan sólo correcciones menores.

El efecto más simple, aunque difícil de observar, es ralentizando el flujo del tiempo en la gravedad. campo o, en una formulación más común, el efecto de cambiar la frecuencia de la luz. Si se emite una señal luminosa con una frecuencia en un punto con valor gravitacional. potencial y aceptado con una frecuencia en un punto con un valor potencial (donde hay exactamente el mismo emisor para comparar frecuencias), entonces se debe satisfacer la igualdad. efecto gravitacional El cambio de frecuencia de la luz fue predicho por Einstein en 1911 basándose en la ley de conservación de la energía de los fotones en las fuerzas gravitacionales. campo. Se establece de forma fiable en los espectros de las estrellas, medido con una precisión del 1% en el laboratorio y con una precisión de hasta el 1% en condiciones espaciales. vuelo. En el experimento más preciso se utilizó un estándar de frecuencia de máser de hidrógeno, que se instaló en el máser cósmico. un cohete que se elevó a una altura de 10 mil km. Otro estándar similar se estableció en la Tierra. Sus frecuencias se compararon a diferentes altitudes. Los resultados confirmaron el cambio de frecuencia previsto.

Al pasar cerca de un cuerpo gravitante, se activa un imán eléctrico. la señal experimenta un retraso relativista en el tiempo de propagación. Según su físico En la naturaleza, este efecto es similar al anterior. Basado en observaciones de radio de planetas y especialmente cósmicos interplanetarios. barcos, el efecto de retraso coincide con el valor calculado dentro del 0,1% (ver).

El más importante desde el punto de vista de la verificación de la relatividad general es el fenómeno. rotación de la órbita de un cuerpo que gira alrededor de un centro gravitatorio (también se denomina efecto de desplazamiento del perihelio). Este efecto permite revelar la naturaleza no lineal del flujo gravitacional relativista. campos. Según la mecánica celeste newtoniana, el movimiento de los planetas alrededor del Sol se describe mediante la ecuación de una elipse: , donde pag=a(1-mi 2) - parámetro de órbita, a- semieje mayor, mi- excentricidad (ver). Teniendo en cuenta las correcciones relativistas, la trayectoria tiene la forma:
.
Para cada revolución del planeta alrededor del Sol, su eje mayor es elíptico. La órbita gira en la dirección del movimiento en un ángulo. Para Mercurio, el ángulo de rotación relativista es por siglo. El hecho de que el ángulo de rotación se acumule con el tiempo facilita la observación de este efecto. Durante una revolución, el ángulo de rotación del eje mayor de la órbita es tan insignificante ~ 0,1", que su detección se complica significativamente por la curvatura de los rayos de luz dentro sistema solar. Sin embargo, moderno Los datos de radar confirman el efecto relativista del desplazamiento del perihelio de Mercurio con una precisión del 1%.

Los efectos enumerados se llaman. clásico. También es posible comprobar otras predicciones de la relatividad general (por ejemplo, la precesión del eje del giroscopio) en condiciones de gravedad débil. campo del sistema solar. Los efectos relativistas se utilizan no sólo para comprobar la teoría, sino también para perfeccionar los parámetros astrofísicos, por ejemplo, para determinar la masa de los componentes de las estrellas dobles. Así, en un sistema binario que incluye el púlsar PSR 1913+16, se observa el efecto de un desplazamiento del perihelio, lo que permitió determinar la masa total de los componentes del sistema con una precisión del 1%.

8. Gravedad y física cuántica

Las ecuaciones de Einstein incluyen la gravedad clásica. campo caracterizado por componentes métricos. tensor y el tensor de energía-momento de la materia. Para describir el movimiento de los cuerpos gravitantes, la naturaleza cuántica de la materia, por regla general, no es importante. Esto sucede porque normalmente tratan con fuerzas gravitacionales. interacción macroscópica Cuerpos formados por una gran cantidad de átomos y moléculas. La descripción de la mecánica cuántica del movimiento de tales cuerpos es prácticamente indistinguible de la clásica. La ciencia aún no dispone de datos experimentales sobre la gravedad. interacción en condiciones en las que las propiedades cuánticas de las partículas que interactúan con la gravedad se vuelven significativas. campo y las propiedades cuánticas de la gravedad misma. campos.

Procesos cuánticos que involucran fuerzas gravitacionales. Los campos son ciertamente importantes en el espacio (ver) y, tal vez, estarán disponibles para su estudio también en condiciones de laboratorio. La unificación de la teoría cuántica con la teoría cuántica es uno de los problemas más importantes de la física, que ya ha comenzado a resolverse.

En condiciones normales, la influencia de la gravedad. Los campos en los sistemas cuánticos son extremadamente pequeños. Excitar un átomo externamente. gravitacional campo, aceleración relativa, creado por gravitacional El campo a una distancia de “radio del átomo de hidrógeno” cm e igual a , debería ser comparable a la aceleración con la que se mueve un electrón en un átomo, . (Aquí está el radio de curvatura del campo gravitacional de la Tierra, igual a: cm.) En gravitacional campo de la Tierra con un margen de 10 19 esta relación no se cumple, por lo tanto, los átomos en condiciones terrestres bajo la influencia de la gravedad no se excitan y no experimentan cambios de energía. niveles.

Sin embargo, bajo ciertas condiciones, la probabilidad de transiciones en un sistema cuántico bajo la influencia de la gravedad aumenta. Los márgenes pueden ser perceptibles. Es en este principio que se basan algunos de los modernos. Suposiciones para la detección gravitacional. ondas

En sistemas cuánticos (macroscópicos) especialmente creados, una transición entre niveles cuánticos vecinos puede ocurrir incluso bajo la influencia de un campo gravitacional alterno muy débil. ondas. Un ejemplo de tal sistema es un imán eléctrico. campo en una cavidad con paredes altamente reflectantes. Si inicialmente el sistema tenía norte cuantos de campo (fotones) (), luego bajo la influencia de la gravedad. ondas, su número con una probabilidad notable puede cambiar y volverse igual norte+2 o norte-2. En otras palabras, las transiciones energéticas son posibles. nivel y, en principio, son detectables.

El papel de las intensas fuerzas gravitacionales es especialmente importante. campos. Estos campos probablemente existieron al comienzo de la expansión del Universo, cerca de lo cosmológico. singularidades y pueden surgir en las últimas etapas de la gravedad. colapsar. La alta intensidad de estos campos se manifiesta en el hecho de que son capaces de producir efectos observables (la creación de pares de partículas) incluso en ausencia de átomos, partículas reales o fotones. Estos campos tienen un efecto eficaz sobre el físico. vacío - físico campos en el estado de menor energía. En el vacío, debido a las fluctuaciones de los campos cuantificados, se produce el llamado. partículas virtuales, realmente inobservables. Si la intensidad es ext. gravitacional El campo es tan grande que a distancias características de los campos y partículas cuánticos, es capaz de producir un trabajo que excede la energía de un par de partículas y, como resultado, puede ocurrir el nacimiento de un par de partículas: su transformación de un virtual. par en uno real. Una condición necesaria Este proceso debe ser comparable al radio de curvatura característico, que describe la intensidad de la gravedad. campos, con longitud de onda Compton, comparables a partículas con masa en reposo metro. Se debe cumplir una condición similar para las partículas sin masa para que sea posible el proceso de generación de un par de cuantos con energía. En el ejemplo anterior de una cavidad que contiene un el.-magn. campo, este proceso es similar a una transición con una probabilidad comparable a la unidad desde el estado de vacío norte=0 en un estado que describe dos cuantos, norte=2. En gravitacional ordinario En los campos, la probabilidad de que se produzcan tales procesos es insignificante. Sin embargo, en el espacio podrían provocar el nacimiento de partículas en el Universo primitivo, así como el llamado. "evaporación" cuántica de agujeros negros de baja masa (según) los trabajos de los ingleses. científico S. Hawking).

gravitacional intensa campos que pueden influir significativamente en las fluctuaciones cero de otras físicas. campos, deberían influir igualmente eficazmente en sus propias fluctuaciones cero. Si es posible el proceso de nacimiento de cuantos físicos. campos, entonces con la misma probabilidad (y en algunos casos incluso con mayor probabilidad) el proceso de nacimiento de cuantos de la fuerza gravitacional misma debería ser posible. campos - graviones. Un examen riguroso y exhaustivo de tales procesos sólo es posible sobre la base Teoría cuántica T. Tal teoría aún no se ha creado. Aplicación a la gravedad El campo de las mismas ideas y métodos que llevaron a la construcción exitosa de la electrodinámica cuántica está enfrentando serias dificultades. Aún no está claro qué camino tomará el desarrollo de la teoría cuántica de T. Una cosa es segura: la forma más importante de probar tales teorías será buscar en el espacio los fenómenos predichos por la teoría.

¿Por qué una piedra que se suelta de tus manos cae a la Tierra? Porque le atrae la Tierra, dirá cada uno de vosotros. De hecho, la piedra cae a la Tierra con la aceleración de la gravedad. En consecuencia, una fuerza dirigida hacia la Tierra actúa sobre la piedra desde la Tierra.

Según la tercera ley de Newton, una piedra actúa sobre la Tierra con la misma magnitud de fuerza dirigida hacia la piedra. En otras palabras, entre la Tierra y la piedra actúan fuerzas de atracción mutua.

la conjetura de newton

Newton fue el primero en adivinar primero y luego demostrar estrictamente que la razón por la que una piedra cae a la Tierra, el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra y los planetas alrededor del Sol es el mismo. Esta es la fuerza de gravedad que actúa entre cualquier cuerpo del Universo. He aquí el curso de su razonamiento, expuesto en la obra principal de Newton, "Principios matemáticos de la filosofía natural": "Una piedra lanzada horizontalmente se desviará de un camino recto bajo la influencia de la gravedad y, después de haber descrito una trayectoria curva, finalmente caerá a la tierra. Si lo lanzas a mayor velocidad, caerá más” (Fig. 3.2). Continuando con estos argumentos, Newton llega a la conclusión de que si no fuera por la resistencia del aire, entonces la trayectoria de una piedra arrojada desde Montaña alta a cierta velocidad, podría llegar a ser tal que nunca alcanzaría la superficie de la Tierra, sino que se movería a su alrededor "tal como los planetas describen sus órbitas en el espacio celeste".

Arroz. 3.2

Ahora nos hemos familiarizado tanto con el movimiento de los satélites alrededor de la Tierra que no es necesario explicar con más detalle el pensamiento de Newton.

Así, según Newton, el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra o de los planetas alrededor del Sol es también una caída libre, pero sólo una caída que dura, sin detenerse, miles de millones de años. La razón de tal "caída" (ya sea que realmente estemos hablando de la caída de una piedra común a la Tierra o del movimiento de los planetas en sus órbitas) es la fuerza de la gravedad universal. ¿De qué depende esta fuerza?

Dependencia de la fuerza gravitacional de la masa de los cuerpos.

El § 1.23 hablaba de la caída libre de los cuerpos. Se mencionaron los experimentos de Galileo, que demostraron que la Tierra imparte la misma aceleración a todos los cuerpos en un lugar determinado, independientemente de su masa. Esto sólo es posible si la fuerza de gravedad hacia la Tierra es directamente proporcional a la masa del cuerpo. Es en este caso que la aceleración de la gravedad, igual a la relación entre la fuerza de gravedad y la masa del cuerpo, es un valor constante.

De hecho, en este caso, un aumento de la masa m, por ejemplo, duplicándola, conducirá a un aumento del módulo de fuerza también a la mitad, y la aceleración, que es igual a la relación, permanecerá sin cambios.

Generalizando esta conclusión para las fuerzas gravitacionales entre cuerpos cualesquiera, concluimos que la fuerza de la gravedad universal es directamente proporcional a la masa del cuerpo sobre el que actúa esta fuerza. Pero al menos dos cuerpos están involucrados en atracción mutua. Sobre cada uno de ellos, según la tercera ley de Newton, actúan fuerzas gravitacionales de igual magnitud. Por tanto, cada una de estas fuerzas debe ser proporcional tanto a la masa de un cuerpo como a la masa del otro cuerpo.

Es por eso La fuerza de gravedad universal entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas.:

¿De qué más depende la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo determinado desde otro cuerpo?

Dependencia de la fuerza gravitacional de la distancia entre cuerpos.

Se puede suponer que la fuerza de gravedad debería depender de la distancia entre los cuerpos. Para comprobar la exactitud de esta suposición y encontrar la dependencia de la fuerza gravitacional de la distancia entre los cuerpos, Newton recurrió al movimiento del satélite de la Tierra, la Luna. Su movimiento se estudiaba entonces con mucha más precisión que el movimiento de los planetas.

La rotación de la Luna alrededor de la Tierra se produce bajo la influencia de la fuerza gravitacional entre ellas. Aproximadamente, la órbita de la Luna puede considerarse un círculo. En consecuencia, la Tierra imparte aceleración centrípeta a la Luna. Se calcula mediante la fórmula

donde R es el radio de la órbita lunar, igual a aproximadamente 60 radios de la Tierra, T = 27 días 7 horas 43 minutos = 2,4 · 10 6 s - el período de revolución de la Luna alrededor de la Tierra. Considerando que el radio de la Tierra R 3 = 6,4 · 10 6 m, obtenemos que la aceleración centrípeta de la Luna es igual a:

El valor de aceleración encontrado es menor que la aceleración de caída libre de los cuerpos en la superficie de la Tierra (9,8 m/s 2) en aproximadamente 3600 = 60 2 veces.

Así, un aumento de 60 veces en la distancia entre el cuerpo y la Tierra condujo a una disminución de la aceleración impartida por la gravedad y, en consecuencia, de la propia fuerza de gravedad en 60 2 veces (1).

De esto se desprende conclusión importante: La aceleración impartida a los cuerpos por la fuerza de gravedad hacia la Tierra disminuye en proporción inversa al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra.:

donde C 1 - coeficiente constante, igual para todos los cuerpos.

las leyes de kepler

Un estudio del movimiento de los planetas demostró que este movimiento es causado por la fuerza de gravedad hacia el Sol. Utilizando las cuidadosas observaciones del astrónomo danés Tycho Brahe durante muchos años, el científico alemán Johannes Kepler principios del XVII v. Estableció las leyes cinemáticas del movimiento planetario: las llamadas leyes de Kepler.

La primera ley de Kepler

Todos los planetas se mueven en elipses, con el Sol en uno de sus focos.

Una elipse (Fig. 3.3) es una curva plana cerrada, cuya suma de distancias desde cualquier punto a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Esta suma de distancias es igual a la longitud del eje mayor AB de la elipse, es decir

donde F 1 y F 2 son los focos de la elipse, y b = es su semieje mayor; O es el centro de la elipse. El punto de la órbita más cercano al Sol se llama perihelio y el punto más alejado de él se llama afelio. Si el Sol está en el foco F 1 (ver Fig. 3.3), entonces el punto A es el perihelio y el punto B es el afelio.

Arroz. 3.3

Segunda ley de Kepler

El radio vector del planeta describe áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.. Entonces, si los sectores sombreados (Fig. 3.4) tienen las mismas áreas, entonces el planeta recorrerá los caminos s 1, s 2, s 3 en períodos de tiempo iguales. De la figura queda claro que s 1 > s 2. En consecuencia, la velocidad lineal del movimiento del planeta en diferentes puntos de su órbita no es la misma. En el perihelio la velocidad del planeta es mayor, en el afelio es mínima.

Arroz. 3.4

La tercera ley de Kepler

Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas alrededor del Sol están relacionados como los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.. Habiendo designado el semieje mayor de la órbita y el período de revolución de uno de los planetas por b 1 y T 1 y del otro por b 2 y T 2, la tercera ley de Kepler se puede escribir de la siguiente manera:

Basándose en las leyes de Kepler, se pueden sacar ciertas conclusiones sobre las aceleraciones que el Sol imparte a los planetas. Por simplicidad, consideraremos que las órbitas no son elípticas, sino circulares. Para los planetas del Sistema Solar, este reemplazo no es una aproximación demasiado aproximada.

Entonces, la fuerza de atracción del Sol en esta aproximación debería dirigirse para todos los planetas hacia el centro del Sol.

Si denotamos por T los períodos de revolución de los planetas y por R los radios de sus órbitas, entonces, de acuerdo con la tercera ley de Kepler, para dos planetas podemos escribir

Aceleración normal al moverse en círculo a = ω 2 R. Por tanto, la relación de las aceleraciones de los planetas

Usando la ecuación (3.2.4), obtenemos

Dado que la tercera ley de Kepler es válida para todos los planetas, la aceleración de cada planeta es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al Sol:

La constante C 2 es la misma para todos los planetas, pero no coincide con la constante C 1 en la fórmula de la aceleración impartida por el globo a los cuerpos.

Las expresiones (3.2.2) y (3.2.6) muestran que la fuerza de gravedad en ambos casos (atracción hacia la Tierra y atracción hacia el Sol) imparte a todos los cuerpos una aceleración que no depende de su masa y disminuye en proporción inversa. al cuadrado de la distancia entre ellos:

Ley de la gravedad

La existencia de dependencias (3.2.1) y (3.2.7) significa que la fuerza de gravedad universal

En 1667, Newton finalmente formuló la ley de la gravitación universal:

La fuerza de atracción mutua entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de las masas de estos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. El coeficiente de proporcionalidad G se llama constante gravitacional (2).

Interacción de cuerpos puntuales y extendidos.

La ley de gravitación universal (3.2.8) es válida sólo para cuerpos cuyas dimensiones son despreciables en comparación con la distancia entre ellos. En otras palabras, es válido sólo para puntos materiales. En este caso, las fuerzas de interacción gravitacional se dirigen a lo largo de la línea que conecta estos puntos (figura 3.5). Este tipo de fuerza se llama central.

Arroz. 3.5

Para encontrar la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo dado desde otro, en el caso de que no se puedan despreciar los tamaños de los cuerpos, se procede de la siguiente manera. Ambos cuerpos están mentalmente divididos en elementos tan pequeños que cada uno de ellos puede considerarse un punto. Sumando las fuerzas gravitacionales que actúan sobre cada elemento de un cuerpo dado de todos los elementos de otro cuerpo, obtenemos la fuerza que actúa sobre este elemento (figura 3.6). Habiendo realizado tal operación para cada elemento de un cuerpo dado y sumando las fuerzas resultantes, se encuentra la fuerza gravitacional total que actúa sobre este cuerpo. Esta tarea es difícil.

Arroz. 3.6

Sin embargo, existe un caso prácticamente importante en el que la fórmula (3.2.8) es aplicable a cuerpos extendidos. Se puede demostrar que los cuerpos esféricos, cuya densidad depende únicamente de las distancias a sus centros, cuando las distancias entre ellos son mayores que la suma de sus radios, son atraídos por fuerzas cuyos módulos están determinados por la fórmula (3.2.8). . En este caso, R es la distancia entre los centros de las bolas.

Y finalmente, dado que los tamaños de los cuerpos que caen sobre la Tierra son mucho más pequeños que los tamaños de la Tierra, estos cuerpos pueden considerarse cuerpos puntuales. Entonces R en la fórmula (3.2.8) debe entenderse como la distancia desde el cuerpo dado al centro de la Tierra.

Preguntas de autoevaluación

1. La distancia de Marte al Sol es un 52% mayor que la distancia de la Tierra al Sol. ¿Cuánto dura un año en Marte?
2. ¿Cómo cambiará la fuerza de atracción entre las bolas si las bolas de aluminio (figura 3.7) se reemplazan por bolas de acero de la misma masa? el mismo volumen?

Arroz. 3.7

(1) Curiosamente, cuando era estudiante, Newton se dio cuenta de que la Luna se mueve bajo la influencia de la gravedad hacia la Tierra. Pero en ese momento no se conocía con precisión el radio de la Tierra y los cálculos no conducían al resultado correcto. Sólo 16 años después aparecieron nuevos datos corregidos y se publicó la ley de la gravitación universal.

(2) De la palabra latina gravitas - pesadez.