Se mueve con respecto a algún sistema de referencia y éste, a su vez, se mueve con respecto a otro sistema de referencia. En este caso, surge la pregunta sobre la conexión entre los movimientos del punto en estos dos puntos de referencia.
Habitualmente se elige uno de los puntos de referencia como base (“absoluto”), el otro se denomina “móvil” y se introducen los siguientes términos:
- movimiento absoluto- este es el movimiento de un punto/cuerpo en la base SO.
- movimiento relativo- este es el movimiento de un punto/cuerpo con respecto a un sistema de referencia en movimiento.
- movimiento portátil- este es el movimiento del segundo CO con respecto al primero.
También se introducen los conceptos de velocidades y aceleraciones correspondientes. Por ejemplo, la velocidad portátil es la velocidad de un punto debido al movimiento de un sistema de referencia en movimiento con respecto al absoluto. En otras palabras, esta es la velocidad de un punto en un sistema de referencia en movimiento, en este momento tiempo coincidente con el punto material.
Resulta que al obtener una conexión entre aceleraciones en diferentes sistemas de referencia, se hace necesario introducir otra aceleración debido a la rotación del sistema de referencia en movimiento:
Considerando más detalladamente, se supone que el CO base es inercial y no se imponen restricciones al que se mueve.
Mecanica clasica
Cinemática del movimiento puntual complejo.
Velocidad
.Las principales tareas de la cinemática del movimiento complejo son establecer dependencias entre las características cinemáticas de los movimientos absolutos y relativos de un punto (o cuerpo) y las características del movimiento de un sistema de referencia en movimiento, es decir, el movimiento portátil. Para un punto, estas dependencias son las siguientes: la velocidad absoluta del punto es igual a suma geométrica velocidades relativas y portátiles, es decir
.Aceleración
La conexión entre aceleraciones se puede encontrar diferenciando la conexión entre velocidades, sin olvidar que los vectores de coordenadas del sistema de coordenadas en movimiento también pueden depender del tiempo.
La aceleración absoluta de un punto es igual a la suma geométrica de tres aceleraciones: relativa, portátil y Coriolis, es decir.
.Cinemática del movimiento corporal complejo.
Para un cuerpo rígido, cuando todos los movimientos compuestos (es decir, relativos y de traslación) son traslacionales, el movimiento absoluto también es traslacional con una velocidad igual a la suma geométrica de las velocidades de los movimientos compuestos. Si los movimientos componentes de un cuerpo son de rotación alrededor de ejes que se cruzan en un punto (como, por ejemplo, en un giroscopio), entonces el movimiento resultante también es de rotación alrededor de este punto con una velocidad angular instantánea igual a la suma geométrica de los ángulos. velocidades de los movimientos componentes. Si los movimientos que componen el cuerpo son tanto de traslación como de rotación, entonces el movimiento resultante en el caso general estará compuesto por una serie de movimientos instantáneos de tornillo.
Puede calcular la relación entre las velocidades de diferentes puntos de un cuerpo rígido en diferentes sistemas de referencia combinando la fórmula para sumar velocidades y la fórmula de Euler para relacionar las velocidades de puntos de un cuerpo rígido. La conexión entre las aceleraciones se encuentra simplemente derivando la igualdad del vector resultante con respecto al tiempo.
Dinámica del movimiento puntual complejo.
Al considerar el movimiento en un sistema de referencia no inercial, se violan las dos primeras leyes de Newton. Para garantizar su implementación formal, generalmente se introducen fuerzas de inercia adicionales ficticias (que en realidad no existen): fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis. Las expresiones para estas fuerzas se obtienen a partir de la conexión entre aceleraciones (sección anterior).
Mecánica relativista
Velocidad
A velocidades cercanas a la velocidad de la luz, las transformaciones galileanas no son exactamente invariantes y la fórmula clásica para sumar velocidades deja de ser válida. En cambio, las transformaciones de Lorentz son invariantes y la relación entre las velocidades en dos sistemas de referencia inerciales es la siguiente:
bajo el supuesto de que la velocidad se dirige a lo largo del eje x del sistema S. Es fácil ver que en el límite de velocidades no relativistas, las transformaciones de Lorentz se reducen a las transformaciones de Galileo.
Sin embargo, se introduce una cantidad -la velocidad- que es aditiva en la transición de un CO a otro.
Se mueve con respecto a algún sistema de referencia y éste, a su vez, se mueve con respecto a otro sistema de referencia. En este caso, surge la pregunta sobre la conexión entre los movimientos del punto en estos dos puntos de referencia.
Habitualmente se elige uno de los puntos de referencia como base (“absoluto”), el otro se denomina “móvil” y se introducen los siguientes términos:
- movimiento absoluto- este es el movimiento de un punto/cuerpo en la base SO.
- movimiento relativo- este es el movimiento de un punto/cuerpo con respecto a un sistema de referencia en movimiento.
- movimiento portátil- este es el movimiento del segundo CO con respecto al primero.
También se introducen los conceptos de velocidades y aceleraciones correspondientes. Por ejemplo, la velocidad portátil es la velocidad de un punto debido al movimiento de un sistema de referencia en movimiento con respecto al absoluto. En otras palabras, es la velocidad de un punto en un sistema de referencia en movimiento que en un momento dado coincide con un punto material.
Resulta que al obtener una conexión entre aceleraciones en diferentes sistemas de referencia, se hace necesario introducir otra aceleración debido a la rotación del sistema de referencia en movimiento:
Considerando más detalladamente, se supone que el CO base es inercial y no se imponen restricciones al que se mueve.
Mecanica clasica
Cinemática del movimiento puntual complejo.
Velocidad
.Las principales tareas de la cinemática del movimiento complejo son establecer dependencias entre las características cinemáticas de los movimientos absolutos y relativos de un punto (o cuerpo) y las características del movimiento de un sistema de referencia en movimiento, es decir, el movimiento portátil. Para un punto, estas dependencias son las siguientes: la velocidad absoluta del punto es igual a la suma geométrica de las velocidades relativa y portátil, es decir
.Aceleración
La conexión entre aceleraciones se puede encontrar diferenciando la conexión entre velocidades, sin olvidar que los vectores de coordenadas del sistema de coordenadas en movimiento también pueden depender del tiempo.
La aceleración absoluta de un punto es igual a la suma geométrica de tres aceleraciones: relativa, portátil y Coriolis, es decir.
.Cinemática del movimiento corporal complejo.
Para un cuerpo rígido, cuando todos los movimientos compuestos (es decir, relativos y de traslación) son traslacionales, el movimiento absoluto también es traslacional con una velocidad igual a la suma geométrica de las velocidades de los movimientos compuestos. Si los movimientos componentes de un cuerpo son de rotación alrededor de ejes que se cruzan en un punto (como, por ejemplo, en un giroscopio), entonces el movimiento resultante también es de rotación alrededor de este punto con una velocidad angular instantánea igual a la suma geométrica de los ángulos. velocidades de los movimientos componentes. Si los movimientos que componen el cuerpo son tanto de traslación como de rotación, entonces el movimiento resultante en el caso general estará compuesto por una serie de movimientos instantáneos de tornillo.
Puede calcular la relación entre las velocidades de diferentes puntos de un cuerpo rígido en diferentes sistemas de referencia combinando la fórmula para sumar velocidades y la fórmula de Euler para relacionar las velocidades de puntos de un cuerpo rígido. La conexión entre las aceleraciones se encuentra simplemente derivando la igualdad del vector resultante con respecto al tiempo.
Dinámica del movimiento puntual complejo.
Al considerar el movimiento en un sistema de referencia no inercial, se violan las dos primeras leyes de Newton. Para garantizar su implementación formal, generalmente se introducen fuerzas de inercia adicionales ficticias (que en realidad no existen): fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis. Las expresiones para estas fuerzas se obtienen a partir de la conexión entre aceleraciones (sección anterior).
Mecánica relativista
Velocidad
A velocidades cercanas a la velocidad de la luz, las transformaciones galileanas no son exactamente invariantes y la fórmula clásica para sumar velocidades deja de ser válida. En cambio, las transformaciones de Lorentz son invariantes y la relación entre las velocidades en dos sistemas de referencia inerciales es la siguiente:
bajo el supuesto de que la velocidad se dirige a lo largo del eje x del sistema S. Es fácil ver que en el límite de velocidades no relativistas, las transformaciones de Lorentz se reducen a las transformaciones de Galileo.
Literatura
- N. G. Chetaev. " Mecánica teórica" M.: Ciencia. 1987. 368 pág.
Hasta ahora hemos estudiado el movimiento de un punto o cuerpo en relación con un sistema de referencia determinado. Sin embargo, en varios casos, al resolver problemas de mecánica, resulta aconsejable (y a veces necesario) considerar el movimiento de un punto (o cuerpo) simultáneamente en relación con dos sistemas de referencia, de los cuales uno se considera el principal o condicionalmente estacionario, y el otro se mueve de cierta manera en relación con el primero. El movimiento realizado por el punto (o cuerpo) se llama compuesto o complejo. Por ejemplo, se puede considerar que una bola que rueda a lo largo de la cubierta de un barco de vapor en movimiento realiza un movimiento complejo con respecto a la costa, que consiste en rodar con respecto a la cubierta (marco de referencia en movimiento) y moverse junto con la cubierta del barco de vapor. en relación con la costa (marco de referencia fijo). De esta forma, el complejo movimiento de la pelota se descompone en dos más simples y fáciles de estudiar.
Fig.48
Considere el punto METRO, moviéndose en relación con el sistema de referencia en movimiento Oxyz, que a su vez de alguna manera se mueve en relación con otro sistema de referencia, al que llamamos principal o condicionalmente estacionario (Fig. 48). Cada uno de estos sistemas de referencia está asociado, por supuesto, a un cuerpo específico, no representado en el dibujo. Introduzcamos las siguientes definiciones.
1. Movimiento realizado por un punto. METRO en relación con el sistema de referencia en movimiento (a los ejes Oxyz), llamado movimiento relativo(dicho movimiento será visto por un observador asociado a estos ejes y moviéndose con ellos). Trayectoria AB descrita por un punto en movimiento relativo se llama trayectoria relativa. Velocidad puntual METRO en relación a los ejes Oxyz se llama velocidad relativa (denotada por ), y la aceleración se llama aceleración relativa (denotada por ). De la definición se deduce que al calcular y es posible mover los ejes Oxyz no tomar en cuenta (considerarlos inmóviles).
2. Movimiento realizado por un sistema de referencia en movimiento. Oxyz(y todos los puntos del espacio invariablemente asociados con él) en relación con el sistema fijo, es para el punto M movimiento portátil.
La velocidad está invariablemente asociada a los ejes en movimiento. Oxyz puntos metro, con el que el punto en movimiento coincide en un momento dado METRO, se llama velocidad de transferencia del punto. METRO en este momento (denotado por ), y la aceleración de este punto metro- aceleración portátil de un punto METRO(denotado por ). De este modo,
Si imaginamos que el movimiento relativo de un punto se produce a lo largo de la superficie (o en el interior) sólido, con el que los ejes móviles están conectados rígidamente Oxyz, entonces la velocidad portátil (o aceleración) del punto METRO en un momento dado habrá la velocidad (o aceleración) de ese punto m del cuerpo con el que el punto coincide en ese momento METRO.
3. El movimiento que realiza un punto con relación a un sistema de referencia fijo se llama absoluto o complejo. Trayectoria CD de este movimiento se llama trayectoria absoluta, la velocidad se llama velocidad absoluta (denotada por ) y la aceleración se llama aceleración absoluta (denotada por ).
En el ejemplo anterior, el movimiento de la pelota con respecto a la cubierta del barco de vapor será relativo y la velocidad será la velocidad relativa de la pelota; el movimiento del vapor con relación a la orilla será un movimiento portátil para la bola, y la velocidad de ese punto de la cubierta que toca la bola en un momento dado será su velocidad portátil en ese momento; finalmente, el movimiento de la pelota con respecto a la orilla será su movimiento absoluto y la rapidez será la rapidez absoluta de la pelota.
Al estudiar el movimiento complejo de un punto, resulta útil aplicar la “Regla de detención”. Para que un observador estacionario pueda ver el movimiento relativo de un punto, se debe detener el movimiento portátil.
Entonces sólo se producirá movimiento relativo. El movimiento relativo se volverá absoluto. Y viceversa, si detienes el movimiento relativo, el portátil se volverá absoluto y un observador estacionario verá sólo este movimiento portátil.
En este último caso, a la hora de determinar el movimiento móvil de un punto, se revela una circunstancia muy importante. El movimiento portátil de un punto depende del momento en que se detiene el movimiento relativo, de dónde se encuentra el punto sobre el medio en ese momento. Ya que, en general, todos los puntos del medio se mueven de manera diferente. Por tanto, es más lógico determinar movimiento portátil de un punto como el movimiento absoluto de ese punto en el entorno con el que coincide actualmente el punto en movimiento.
Un movimiento complejo de un punto es un movimiento en el que el punto participa simultáneamente en dos o más movimientos.
Consideremos el movimiento complejo de un punto M que se mueve con respecto a un sistema de referencia en movimiento Oxyz, que a su vez se mueve con respecto a otro sistema de referencia O 1 x 1 y 1 z 1, al que convencionalmente llamaremos estacionario (figura 10.1).
El movimiento del punto M con respecto a los ejes de coordenadas en movimiento se llama movimiento relativo. La velocidad y aceleración de un punto con respecto a los ejes en movimiento se denominan velocidad relativa y aceleración relativa. Denotaremos estas cantidades por y .
Transportable es el movimiento relativo a un sistema de referencia estacionario de ese punto del sistema de referencia en movimiento con el que actualmente coincide el punto en movimiento M. Por lo tanto, consideraremos que la velocidad portátil y la aceleración portátil son la velocidad y aceleración de ese punto del sistema de referencia en movimiento. sistema de referencia con el que el punto en movimiento coincide en un momento dado M. Denotamos la velocidad portátil y la aceleración portátil por y .
El movimiento del punto M con respecto a un sistema de referencia fijo se llama movimiento absoluto. La velocidad y aceleración de un punto en este movimiento se llama velocidad absoluta y aceleración absoluta. Estas cantidades se denotan por y .
Si un punto participa simultáneamente en movimientos relativos y portátiles, entonces su movimiento absoluto se llama complejo y sus movimientos relativos y portátiles se denominan movimientos componentes.
10.2. Velocidad de un punto en movimiento absoluto, relativo y portátil.
Si el punto M está involucrado en un movimiento complejo, entonces es válido el teorema según el cual la velocidad absoluta del punto es igual a la suma geométrica de las velocidades portátiles y relativas de este punto:
Para determinar la velocidad portátil, se detiene mentalmente el movimiento relativo y la velocidad portátil se calcula de acuerdo con las reglas de la cinemática de un cuerpo rígido, es decir, como la velocidad de ese punto del sistema de referencia en movimiento con el que coincide actualmente el punto en movimiento. .
Para determinar la velocidad relativa de un punto, conviene detener mentalmente el movimiento del portátil y calcular la velocidad relativa de acuerdo con las reglas de la cinemática del punto.
|
Utilizando la ecuación (10.1), la magnitud de la velocidad absoluta se puede determinar geométrica y analíticamente. Para el método geométrico de resolver este problema, se puede construir un triángulo cerrado de velocidades (figura 10.2, a) o un paralelogramo de velocidades (figura 10.2, b).
Entonces la velocidad absoluta está determinada por las fórmulas.
(10.2)
o 
, (10.3)
donde β y γ son los ángulos que forma el vector con los vectores y .
Al aplicar el método de proyección, basta con seleccionar los ejes de coordenadas y proyectar la igualdad (10.1) sobre estos ejes.
MOVIMIENTOS COMPLEJOS DEL PUNTO
§ 1. Movimiento absoluto, relativo y portátil de un punto.
En varios casos, es necesario considerar el movimiento de un punto con respecto al sistema de coordenadas O 1 ξηζ, que, a su vez, se mueve con respecto a otro sistema de coordenadas Oxz, convencionalmente aceptado como estacionario. En mecánica, cada uno de estos sistemas de coordenadas está asociado a un determinado cuerpo. Por ejemplo, considere rodar sin deslizarse la rueda de un automóvil sobre un riel. Conectamos el sistema de coordenadas fijo Ax con el riel y conectamos el sistema móvil Oξη con el centro de la rueda y asumimos que se mueve traslacionalmente. El movimiento de un punto sobre la llanta de una rueda es compuesto o complejo.
Introduzcamos las siguientes definiciones:
1. El movimiento de un punto con respecto al sistema de coordenadas Oxyz (Fig. 53) se llama absoluto.
2. Movimiento de un punto con respecto a un sistema de coordenadas en movimiento. oh 1 ξηζ llamado habitado.
3. El movimiento de traslación de un punto es el movimiento de ese punto de un cuerpo asociado a un sistema de coordenadas en movimiento. O 1 ξηζ, relativo a un sistema de coordenadas fijo con el que coincide actualmente el punto en movimiento en cuestión.
Por tanto, el movimiento portátil es causado por el movimiento de un sistema de coordenadas en movimiento en relación con uno fijo. En el ejemplo dado con una rueda, el movimiento portátil de un punto en la llanta de la rueda se debe al movimiento de traslación del sistema de coordenadas. O 1 ξηζ en relación con el sistema de coordenadas fijo Axy.
Obtenemos las ecuaciones de movimiento absoluto de un punto expresando las coordenadas del punto x, y, z en función del tiempo:
x=x(t), y = y(t), z = z(t).
Ecuaciones movimiento relativo los puntos parecen
ξ = ξ (t), η = η (t), ζ = ζ (t).
En forma paramétrica, las ecuaciones (11.76) expresan las ecuaciones de la trayectoria absoluta y las ecuaciones (11.77), respectivamente, las ecuaciones de la trayectoria relativa.
También existen velocidades absolutas, portátiles y relativas y, en consecuencia, aceleraciones absolutas, portátiles y relativas de un punto. La velocidad absoluta se denota por υ a, relativo - υ r, portátil - υ e En consecuencia, las aceleraciones se denotan por: ω un, ω r Y ω mi.
La principal tarea de la cinemática del movimiento complejo de un punto es establecer la relación entre las velocidades y aceleraciones de un punto en dos sistemas de coordenadas: estacionario y en movimiento.
Para demostrar teoremas sobre la suma de velocidades y aceleraciones en el movimiento complejo de un punto, introducimos el concepto de derivada local o relativa.
Teorema de la suma de velocidades
Teorema . Con el movimiento complejo (compuesto) de un punto, su velocidad absoluta υ a igual a la suma vectorial de la relativa υ r y portátil υ e velocidades
Deje que el punto M realice movimientos simultáneos en relación con los sistemas de coordenadas fijos y móviles (Fig. 56). Denotemos la velocidad angular de rotación del sistema de coordenadas Оξηζ por ω . La posición del punto M está determinada por el vector de radio. r.
Establezcamos la relación entre las velocidades del punto M en relación con dos sistemas de coordenadas: estacionario y en movimiento. Con base en el teorema demostrado en el párrafo anterior.
De la cinemática de un punto se sabe que la primera derivada del vector radio de un punto en movimiento con respecto al tiempo expresa la velocidad de este punto. Por lo tanto = r = υ un- velocidad absoluta, = υ r- velocidad relativa,
A ω X r = υ e- velocidad portátil del punto M. Por lo tanto,
υ un= υ r+υ e
La fórmula (11.79) expresa la regla del paralelogramo de velocidad. Encontramos el módulo de velocidad absoluto usando el teorema del coseno:
En algunos problemas de cinemática, es necesario determinar la velocidad relativa υ r. De (11.79) se sigue
υ r= υ a +(- υ e).
Por lo tanto, para construir un vector de velocidad relativa, es necesario sumar geométricamente la velocidad absoluta con un vector igual en valor absoluto, pero en dirección opuesta a la velocidad de transferencia.
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