¿Por qué los pantalones pitagóricos son iguales en todos los lados? Pantalones pitagóricos: iguales por todos lados

Todo el mundo conoce el teorema de Pitágoras desde la escuela. Un destacado matemático demostró una gran hipótesis, que actualmente utilizan muchas personas. La regla es la siguiente: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa triángulo rectángulo igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Durante muchas décadas, ningún matemático ha podido argumentar Esta regla. Después de todo, Pitágoras caminó durante mucho tiempo hacia su objetivo, por lo que, como resultado, los dibujos se realizarían en La vida cotidiana.

1. Un pequeño verso de este teorema, que fue inventado poco después de la demostración, prueba directamente las propiedades de la hipótesis: “ pantalones pitagóricos iguales en todas direcciones." Esta línea de dos líneas está grabada en la memoria de muchas personas; hasta el día de hoy, el poema se recuerda al hacer cálculos.
2. Este teorema se llamó “Pantalones de Pitágoras” debido a que al dibujarlo en el medio se obtenía un triángulo rectángulo, con cuadrados a cada lado. En apariencia, este dibujo se parecía a unos pantalones, de ahí el nombre de la hipótesis.
3. Pitágoras estaba orgulloso del teorema desarrollado, porque esta hipótesis se diferencia de otras similares en la máxima cantidad de evidencia. Importante: la ecuación fue incluida en el Libro Guinness de los Récords gracias a 370 pruebas verdaderas.
4. La hipótesis fue probada por un gran número de matemáticos y profesores de diferentes paises de muchas maneras. El matemático inglés Jones pronto anunció la hipótesis y la demostró mediante una ecuación diferencial.
5. Actualmente nadie conoce la demostración del teorema del propio Pitágoras.. Hoy en día nadie conoce los hechos sobre las demostraciones de un matemático. Se cree que la prueba de los dibujos de Euclides es la prueba de Pitágoras. Sin embargo, algunos científicos discuten esta afirmación: muchos creen que Euclides demostró el teorema de forma independiente, sin la ayuda del creador de la hipótesis.
6. Los científicos actuales han descubierto que gran matemático No fue el primero en descubrir esta hipótesis.. La ecuación se conocía mucho antes de que Pitágoras la descubriera. Este matemático sólo pudo reunir la hipótesis.
7. Pitágoras no le dio a la ecuación el nombre de “Teorema de Pitágoras”.. Este nombre se quedó después de la "dos líneas ruidosas". El matemático sólo quería que el mundo entero conociera y utilizara sus esfuerzos y descubrimientos.
8. Moritz Cantor, el gran matemático, encontró y vio notas con dibujos en papiros antiguos. Poco después, Cantor se dio cuenta de que los egipcios conocían este teorema ya en el año 2300 a.C. Sólo entonces nadie se aprovechó de ello ni intentó demostrarlo.
9. Los científicos actuales creen que la hipótesis se conocía allá por el siglo VIII a.C.. indio científicos de eso Con el tiempo descubrió un cálculo aproximado de la hipotenusa de un triángulo dotado de ángulos rectos. Es cierto que en ese momento nadie podía probar la ecuación con seguridad mediante cálculos aproximados.
10. El gran matemático Bartel van der Waerden, tras demostrar la hipótesis, concluyó conclusión importante : “Se considera que el mérito del matemático griego no es el descubrimiento de la dirección y la geometría, sino sólo su justificación. Pitágoras tenía en sus manos fórmulas de cálculo basadas en suposiciones, cálculos inexactos e ideas vagas. Sin embargo, un científico destacado logró convertirla en una ciencia exacta”.
11. El célebre poeta dijo que el día del descubrimiento de su dibujo erigió un glorioso sacrificio para los toros.. Fue tras el descubrimiento de la hipótesis cuando comenzaron a correr rumores de que el sacrificio de cien toros “fue a vagar por las páginas de libros y publicaciones”. Hasta el día de hoy, los ingeniosos bromean diciendo que desde entonces todos los toros tienen miedo del nuevo descubrimiento.
12. Prueba de que no fue Pitágoras a quien se le ocurrió el poema sobre los pantalones para probar los dibujos que propuso: Durante la vida del gran matemático todavía no existían los pantalones. Fueron inventados varias décadas después.
13. Pekka, Leibniz y varios otros científicos intentaron demostrar el teorema previamente conocido, pero nadie lo logró.
14. El nombre de los dibujos "teorema de Pitágoras" significa "persuasión mediante el habla".. Así se traduce la palabra Pitágoras, que el matemático tomó como seudónimo.
15. Reflexiones de Pitágoras sobre su propio gobierno: el secreto de todo en la tierra está en los números. Después de todo, el matemático, basándose en su propia hipótesis, estudió las propiedades de los números, identificó la paridad y la imparidad y creó proporciones.

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“Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados.
Para demostrarlo, necesitamos filmarlo y mostrarlo”.

Este poema es conocido por todos. escuela secundaria, desde que estudiamos el famoso teorema de Pitágoras en clase de geometría: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Aunque el propio Pitágoras nunca usó pantalones, en aquellos días los griegos no los usaban. ¿Quién es Pitágoras?
Pitágoras de Samos del lat. Pitágoras, locutor Pythian (570-490 a. C.): filósofo, matemático y místico griego antiguo, creador de la escuela religiosa y filosófica de los pitagóricos.
Entre las enseñanzas contradictorias de sus maestros, Pitágoras buscó una conexión viva, una síntesis de un gran todo único. Se fijó un objetivo: encontrar el camino que conducía a la luz de la verdad, es decir, experimentar la vida en unidad. Para ello, Pitágoras visitó todo el mundo antiguo. Creía que debía ampliar sus ya amplios horizontes estudiando todas las religiones, doctrinas y cultos. Vivió entre los rabinos y aprendió mucho sobre las tradiciones secretas de Moisés, el legislador de Israel. Luego visitó Egipto, donde fue iniciado en los Misterios de Adonis y, habiendo logrado cruzar el valle del Éufrates, permaneció mucho tiempo con los caldeos para aprender su sabiduría secreta. Pitágoras visitó Asia y África, incluidos Indostán y Babilonia. En Babilonia estudió el conocimiento de los magos.
El mérito de los pitagóricos fue la promoción de ideas sobre las leyes cuantitativas del desarrollo del mundo, lo que contribuyó al desarrollo de las ciencias matemáticas, físicas, astronómicas y conocimiento geográfico. La base de las cosas es el número, enseñó Pitágoras, conocer el mundo significa conocer los números que lo controlan. Al estudiar los números, los pitagóricos desarrollaron relaciones numéricas y las encontraron en todas las áreas de la actividad humana. Pitágoras enseñó en secreto y no dejó obras escritas. Pitágoras dio gran importancia número. Su puntos de vista filosóficos en gran parte debido a representaciones matemáticas. Dijo: “Todo es un número”, “todas las cosas son números”, destacando así un aspecto de la comprensión del mundo, a saber, su mensurabilidad en expresión numérica. Pitágoras creía que el número controla todas las cosas, incluidas las cualidades morales y espirituales. Enseñó (según Aristóteles): “La justicia... es un número multiplicado por sí mismo”. Creía que en cada objeto, además de sus estados cambiantes, hay un ser inmutable, una determinada sustancia inmutable. Este es el número. De ahí la idea principal del pitagorismo: el número es la base de todo lo que existe. Los pitagóricos vieron en los números y en las relaciones matemáticas una explicación del significado oculto de los fenómenos, las leyes de la naturaleza. Según Pitágoras, los objetos del pensamiento son más reales que los objetos del conocimiento sensorial, ya que los números tienen una naturaleza atemporal, es decir. eterno. Son un tipo de realidad que se sitúa por encima de la realidad de las cosas. Pitágoras dice que todas las propiedades de un objeto pueden destruirse o cambiarse, excepto una propiedad numérica. Esta propiedad es Unidad. La unidad es la existencia de las cosas, indestructibles e indescomponibles, inmutables. Divide cualquier objeto en las partículas más pequeñas: cada partícula será una. Argumentando que el ser numérico es el único ser inmutable, Pitágoras llegó a la conclusión de que todos los objetos son copias de números.
La unidad es un número absoluto. La unidad tiene eternidad. La unidad no necesita tener ninguna relación con nada más. Existe por sí solo. Dos es sólo una relación de uno a uno. Todos los números son solo
Relaciones numéricas de la Unidad, sus modificaciones. Y todas las formas de ser son sólo ciertos lados del infinito y, por tanto, Unidades. El Uno original contiene todos los números y, por tanto, contiene los elementos del mundo entero. Los objetos son manifestaciones reales de la existencia abstracta. Pitágoras fue el primero en designar el cosmos con todas las cosas que contiene como un orden establecido por el número. Este orden es accesible a la mente y es reconocido por ella, lo que permite ver el mundo de una forma completamente nueva.
El proceso de conocimiento del mundo, según Pitágoras, es el proceso de conocimiento de los números que lo controlan. Después de Pitágoras, el cosmos comenzó a considerarse ordenado por el número del universo.
Pitágoras enseñó que el alma humana es inmortal. Se le ocurrió la idea de la transmigración de las almas. Creía que todo lo que sucede en el mundo se repite una y otra vez después de ciertos períodos de tiempo, y las almas de los muertos, después de un tiempo, habitan en otros. El alma, como número, representa la Unidad, es decir. el alma es esencialmente perfecta. Pero toda perfección, en cuanto se pone en movimiento, se convierte en imperfección, aunque se esfuerce por recuperar su antiguo estado perfecto. Pitágoras llamó imperfección a la desviación de la Unidad; por lo tanto, el dos era considerado un número maldito. El alma del hombre se encuentra en un estado de comparativa imperfección. Consiste en tres elementos: razón, inteligencia, pasión. Pero si los animales también tienen inteligencia y pasiones, entonces sólo el hombre está dotado de razón (razón). Cualquiera de estos tres lados puede prevalecer en una persona, y entonces la persona se vuelve predominantemente razonable, cuerda o sensual. En consecuencia, resulta ser un filósofo, una persona corriente o un animal.
Sin embargo, volvamos a los números. Sí, de hecho, los números son una manifestación abstracta de la ley filosófica básica del Universo: la unidad de los opuestos.
Nota. La abstracción sirve como base para los procesos de generalización y formación de conceptos. Ella - condición necesaria categorización. Forma imágenes generalizadas de la realidad, que permiten identificar conexiones y relaciones de objetos que son significativos para una determinada actividad.
La unidad de los opuestos del Universo consiste en Forma y Contenido, la Forma es una categoría cuantitativa y el Contenido es una categoría cualitativa. Naturalmente, los números expresan categorías cuantitativas y cualitativas de forma abstracta. Por tanto, la suma (resta) de números es un componente cuantitativo de la abstracción de Formas, y la multiplicación (división) es un componente cualitativo de la abstracción de Contenidos. Los números de la abstracción de Forma y Contenido están en una conexión inextricable de la Unidad de los Opuestos.
Intentemos realizar operaciones matemáticas con números, estableciendo una conexión inextricable entre Forma y Contenido.

Entonces, veamos la serie numérica.
1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1+2= 3 (3) 4+5=9 (9)… (6) 7+8=15 -1+5=6 (9). Siguiente 10 – (1+0) + 11 (1+1) = (1+2= 3) - 12 –(1+2=3) (3) 13-(1+3= 4) + 14 –(1 +4=5) = (4+5= 9) (9) …15 –(1+5=6) (6) … 16- (1+6=7) + 17 – (1+7 =8) ( 7+8=15) – (1+5= 6) … (18) – (1+8=9) (9). 19 – (1+9= 10) (1) -20 – (2+0=2) (1+2=3) 21 –(2+1=3) (3) – 22- (2+2= 4 ) 23-(2+3=5) (4+5=9) (9) 24- (2+4=6) 25 – (2+5=7) 26 – (2+6= 8) – 7+ 8= 15 (1+5=6) (6) Etc.
A partir de aquí observamos una transformación cíclica de Formas, que corresponde al ciclo de Contenidos - 1er ciclo - 3-9-6 - 6-9-3 2do ciclo - 3-9- 6 -6-9-3, etc.
6
9 9
3

Los ciclos reflejan la inversión del toro del Universo, donde los opuestos de los números abstractos de Forma y Contenido son 3 y 6, donde 3 determina la Compresión y 6 el Estiramiento. El compromiso para su interacción es el número 9.
Siguiente 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 1x2=2 (3) 4x5=20 (2+0=2) (6) 7x8=56 (5+6=11 1+1= 2) (9), etc.
El ciclo se ve así 2-(3)-2-(6)- 2- (9)… donde 2 es el elemento constitutivo del ciclo 3-6-9.
A continuación se muestra la tabla de multiplicar:
2x1=2
2x2=4
(2+4=6)
2x3=6
2x4=8
2x5=10
(8+1+0 = 9)
2x6=12
(1+2=3)
2x7=14
2x8=16
(1+4+1+6=12;1+2=3)
2x9=18
(1+8=9)
Ciclo -6.6- 9- 3.3 – 9.
3x1=3
3x2=6
3x3=9
3x4=12 (1+2=3)
3x5=15 (1+5=6)
3x6=18 (1+8=9)
3x7=21 (2+1=3)
3x8=24 (2+4=6)
3x9=27 (2+7=9)
Ciclo 3-6-9; 3-6-9; 3-6-9.
4x1=4
4x2=8 (4+8=12 1+2=3)
4x3=12 (1+2=3)
4x4=16
4x5=20 (1+6+2+0= 9)
4x6=24 (2+4=6)
4x7=28
4x8= 32 (2+8+3+2= 15 1+5=6)
4x9=36 (3+6=9)
Ciclo 3.3 – 9 - 6.6 - 9.
5x1=5
5x2=10 (5+1+0=6)
5x3=15 (1+5=6)
5x4=20
5x5=25 (2+0+2+5=9)
5x6=30 (3+0=3)
5x7=35
5x8=40 (3+5+4+0= 12 1+2=3)
5x9=45 (4+5=9)
Ciclo -6.6 – 9 - 3.3- 9.
6x1= 6
6x2=12 (1+2=3)
6x3=18 (1+8=9)
6x4=24 (2+4=6)
6x5=30 (3+0=3)
6x6=36 (3+6=9)
6x7=42 (4+2=6)
6x8=48 (4+8=12 1+2=3)
6x9=54 (5+4=9)
Ciclo – 3-9-6; 3-9-6; 3-9.
7x1=7
7x2=14 (7+1+4= 12 1+2=3)
7x3=21 (2+1=3)
7x4=28
7x5=35 (2+8+3+5=18 1+8=9)
7x6=42 (4+2=6)
7x7=49
7x8=56 (4+9+5+6=24 2+4=6)
7x9=63 (6+3=9)
Ciclo – 3,3 – 9 – 6,6 – 9.
8x1= 8
8x2=16 (8+1+6= 15 1+5=6.
8x3=24 (2+4=6)
8x4=32
8x5=40 (3+2+4+0 =9)
8x6=48 (4+8=12 1+2=3)
8x7=56
8x8=64 (5+6+6+4= 21 2+1=3)
8x9=72 (7+2=9)
Ciclo -6,6 – 9 – 3,3 – 9.
9x1=9
9x2= 18 (1+8=9)
9x3= 27 (2+7=9)
9x4=36 (3+6=9)
9x5=45 (4+5= 9)
9x6=54 (5+4=9)
9x7=63 (6+3=9)
9x8=72 (7+2=9)
9x9=81 (8+1=9).
El ciclo es 9-9-9-9-9-9-9-9-9.

Los números de la categoría cualitativa de Contenido - 3-6-9, indican el núcleo de un átomo con un número diferente de neutrones, y la categoría cuantitativa indica el número de electrones del átomo. Los elementos químicos son núcleos cuyas masas son múltiplos de 9, y los múltiplos de 3 y 6 son isótopos.
Nota. Isótopo (del griego "igual", "idéntico" y "lugar") - variedades de átomos y núcleos del mismo elemento químico con diferente número de neutrones en el núcleo. Un elemento químico es un conjunto de átomos con cargas nucleares idénticas. Los isótopos son variedades de átomos de un elemento químico con la misma carga nuclear, pero diferentes números másicos.

Todos los objetos reales están hechos de átomos y los átomos están determinados por números.
Por tanto, es natural que Pitágoras estuviera convencido de que los números son objetos reales y no simples símbolos. Un número es un determinado estado de los objetos materiales, la esencia de una cosa. Y Pitágoras tenía razón en esto.

» del profesor emérito de Matemáticas de la Universidad de Warwick, el famoso divulgador científico Ian Stewart, dedicado al papel de los números en la historia de la humanidad y la relevancia de su estudio en nuestro tiempo.

hipotenusa pitagórica

Los triángulos pitagóricos tienen ángulos rectos y lados enteros. El más simple de ellos tiene un lado más largo de longitud 5, los otros, 3 y 4. En total, hay 5 poliedros regulares. Una ecuación de quinto grado no se puede resolver usando raíces de quinto grado ni ninguna otra raíz. Las redes en un plano y en un espacio tridimensional no tienen simetría rotacional de cinco lóbulos, por lo que tales simetrías están ausentes en los cristales. Sin embargo, se pueden encontrar en redes de cuatro dimensiones y en estructuras interesantes conocidas como cuasicristales.

Hipotenusa de la terna pitagórica más pequeña

El teorema de Pitágoras establece que el lado más largo de un triángulo rectángulo (la famosa hipotenusa) está relacionado con los otros dos lados de este triángulo de una manera muy sencilla y hermosa: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la otros dos lados.

Tradicionalmente llamamos a este teorema con el nombre de Pitágoras, pero en realidad su historia es bastante vaga. Las tablillas de arcilla sugieren que los antiguos babilonios conocían el teorema de Pitágoras mucho antes que el propio Pitágoras; La fama del descubridor le llegó gracias al culto matemático de los pitagóricos, cuyos partidarios creían que el Universo se basaba en leyes numéricas. Los autores antiguos atribuyeron una variedad de teoremas matemáticos a los pitagóricos y, por lo tanto, a Pitágoras, pero en realidad no tenemos idea de en qué tipo de matemáticas estaba involucrado el propio Pitágoras. Ni siquiera sabemos si los pitagóricos pudieron demostrar el teorema de Pitágoras o si simplemente creían que era cierto. O, lo más probable, tenían pruebas convincentes de su veracidad, que sin embargo no serían suficientes para lo que hoy consideramos pruebas.

Pruebas de Pitágoras

La primera prueba conocida del teorema de Pitágoras se encuentra en los Elementos de Euclides. Se trata de una prueba bastante compleja basada en un dibujo que los escolares victorianos reconocerían inmediatamente como “pantalones pitagóricos”; El dibujo realmente se parece a unos calzoncillos secándose en un tendedero. Hay literalmente cientos de otras pruebas, la mayoría de las cuales hacen la afirmación más obvia.

// Arroz. 33. pantalones pitagóricos

Una de las pruebas más simples es una especie de acertijo matemático. Toma cualquier triángulo rectángulo, haz cuatro copias y júntalas dentro del cuadrado. En una disposición vemos un cuadrado sobre la hipotenusa; con el otro, cuadrados en los otros dos lados del triángulo. Está claro que las áreas en ambos casos son iguales.

// Arroz. 34. Izquierda: cuadrado sobre la hipotenusa (más cuatro triángulos). Derecha: suma de los cuadrados de los otros dos lados (más los mismos cuatro triángulos). Ahora elimina los triángulos.

La disección de Perigal es otra prueba del enigma.

// Arroz. 35. Disección de Perigal

También hay una demostración del teorema ordenando cuadrados en un plano. Quizás así fue como los pitagóricos o sus desconocidos predecesores descubrieron este teorema. Si observas cómo el cuadrado sesgado se superpone a otros dos cuadrados, podrás ver cómo cortar un cuadrado grande en pedazos y luego juntarlos en dos cuadrados más pequeños. También puedes ver triángulos rectángulos, cuyos lados dan las dimensiones de los tres cuadrados involucrados.

// Arroz. 36. Prueba por pavimentación

Hay pruebas interesantes que utilizan triángulos semejantes en trigonometría. conocido de al menos cincuenta pruebas diferentes.

Triples pitagóricos

En teoría de números, el teorema de Pitágoras se convirtió en la fuente de una idea fructífera: encontrar soluciones enteras a ecuaciones algebraicas. Una terna pitagórica es un conjunto de números enteros a, b y c tales que

Geométricamente, tal triple define un triángulo rectángulo con lados enteros.

La hipotenusa más pequeña de una terna pitagórica es 5.

Los otros dos lados de este triángulo son 3 y 4. Aquí

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

La siguiente hipotenusa más grande es 10 porque

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Sin embargo, este es esencialmente el mismo triángulo con lados dobles. La siguiente hipotenusa más grande y verdaderamente diferente es 13, para lo cual

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclides sabía que había un número infinito de variaciones diferentes de los tripletes pitagóricos y dio lo que podría llamarse una fórmula para encontrarlas todas. Posteriormente, Diofanto de Alejandría propuso una receta sencilla, básicamente idéntica a la euclidiana.

Toma dos números naturales cualesquiera y calcula:

su doble producto;

la diferencia de sus cuadrados;

la suma de sus cuadrados.

Los tres números resultantes serán los lados del triángulo pitagórico.

Tomemos, por ejemplo, los números 2 y 1. Calculemos:

producto doble: 2 × 2 × 1 = 4;

diferencia de cuadrados: 22 - 12 = 3;

suma de cuadrados: 22 + 12 = 5,

y obtuvimos el famoso triángulo 3-4-5. Si tomamos los números 3 y 2, obtenemos:

producto doble: 2 × 3 × 2 = 12;

diferencia de cuadrados: 32 - 22 = 5;

suma de cuadrados: 32 + 22 = 13,

y obtenemos el siguiente triángulo más famoso 5 - 12 - 13. Intentemos tomar los números 42 y 23 y obtener:

producto doble: 2 × 42 × 23 = 1932;

diferencia de cuadrados: 422 - 232 = 1235;

suma de cuadrados: 422 + 232 = 2293,

Nadie ha oído hablar jamás del triángulo 1235-1932-2293.

Pero estos números también funcionan:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Hay otra característica de la regla diofántica que ya se ha insinuado: dados tres números, podemos tomar otro número arbitrario y multiplicarlos todos por él. Por lo tanto, un triángulo de 3–4–5 se puede convertir en un triángulo de 6–8–10 multiplicando todos los lados por 2, o en un triángulo de 15–20–25 multiplicando todo por 5.

Si pasamos al lenguaje del álgebra, la regla toma la siguiente forma: sean u, v y k números enteros. Entonces un triángulo rectángulo con lados

2kuv y k (u2 - v2) tiene hipotenusa

Hay otras formas de presentar la idea principal, pero todas se reducen a la descrita anteriormente. Este método te permite obtener todas las ternas pitagóricas.

Poliedros regulares

Hay exactamente cinco poliedros regulares. Un poliedro regular (o poliedro) es figura volumétrica con un número finito de caras planas. Las caras se encuentran entre sí en líneas llamadas aristas; las aristas se encuentran en puntos llamados vértices.

La culminación de los Principia euclidianos es la prueba de que sólo puede haber cinco poliedros regulares, es decir, poliedros en los que cada cara representa polígono regular(lados iguales, ángulos iguales), todas las caras son idénticas y todos los vértices están rodeados por un número igual de caras idénticamente espaciadas. Aquí hay cinco poliedros regulares:

tetraedro de cuatro caras triangulares, cuatro vértices y seis aristas;

cubo, o hexaedro, con 6 caras cuadradas, 8 vértices y 12 aristas;

octaedro con 8 caras triangulares, 6 vértices y 12 aristas;

dodecaedro con 12 caras pentagonales, 20 vértices y 30 aristas;

Un icosaedro con 20 caras triangulares, 12 vértices y 30 aristas.

// Arroz. 37. Cinco poliedros regulares

Los poliedros regulares también se pueden encontrar en la naturaleza. En 1904, Ernst Haeckel publicó dibujos de organismos diminutos conocidos como radiolarios; muchos de ellos tienen la forma de esos mismos cinco poliedros regulares. Quizás, sin embargo, corrigió ligeramente la naturaleza y los dibujos no reflejan completamente la forma de seres vivos específicos. Las tres primeras estructuras también se observan en cristales. No encontrará dodecaedros e icosaedros en cristales, aunque a veces se encuentran allí dodecaedros e icosaedros irregulares. Los verdaderos dodecaedros pueden presentarse como cuasicristales, que son similares a los cristales en todos los aspectos excepto en que sus átomos no forman una red periódica.

// Arroz. 38. Dibujos de Haeckel: radiolarios en forma de poliedros regulares

// Arroz. 39. Desarrollos de poliedros regulares.

Puede resultar interesante hacer modelos de poliedros regulares a partir de papel recortando primero un conjunto de caras interconectadas; a esto se le llama desarrollar un poliedro; el desarrollo se dobla a lo largo de los bordes y se pegan los bordes correspondientes. Es útil agregar una almohadilla adhesiva adicional a una de las nervaduras de cada par, como se muestra en la Fig. 39. Si no existe tal plataforma, puedes usar cinta adhesiva.

Ecuación de quinto grado

No existe fórmula algebraica para resolver ecuaciones de quinto grado.

En general, una ecuación de quinto grado se ve así:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

El problema es encontrar una fórmula para las soluciones de dicha ecuación (puede tener hasta cinco soluciones). La experiencia con ecuaciones cuadráticas y cúbicas, así como con ecuaciones de cuarto grado, sugiere que dicha fórmula también debería existir para las ecuaciones de quinto grado y, en teoría, deberían aparecer en ella raíces de quinto, tercer y segundo grado. Una vez más, podemos asumir con seguridad que dicha fórmula, si existe, será muy, muy compleja.

Esta suposición finalmente resultó ser errónea. De hecho, no existe tal fórmula; al menos no existe una fórmula compuesta por los coeficientes a, b, c, d, e y f, obtenidos mediante suma, resta, multiplicación y división, y sacando raíces. Entonces hay algo muy especial en el número 5. Las razones de este comportamiento inusual de los cinco son muy profundas y tomó mucho tiempo comprenderlas.

La primera señal de problemas fue que por mucho que los matemáticos intentaran encontrar esa fórmula, por muy inteligentes que fueran, invariablemente fracasaban. Durante algún tiempo, todo el mundo creyó que la razón residía en la increíble complejidad de la fórmula. Se creía que nadie podía entender esta álgebra correctamente. Sin embargo, con el tiempo, algunos matemáticos empezaron a dudar de que tal fórmula existiera y en 1823 Niels Hendrik Abel pudo demostrar lo contrario. No existe tal fórmula. Poco después, Évariste Galois encontró una manera de determinar si una ecuación de un grado u otro (quinto, sexto, séptimo, cualquier tipo) se podía resolver usando este tipo de fórmula.

La conclusión de todo esto es sencilla: el número 5 es especial. tu puedes decidir ecuaciones algebraicas(usando raíces enésimo grado para diferentes valores de n) para las potencias 1, 2, 3 y 4, pero no para la 5ª potencia. Aquí es donde termina el patrón obvio.

A nadie sorprende que las ecuaciones de grados mayores que 5 se comporten aún peor; en particular, tienen la misma dificultad: no fórmulas generales para resolverlos. Esto no significa que las ecuaciones no tengan soluciones; Esto tampoco significa que sea imposible encontrar valores numéricos muy precisos para estas soluciones. Se trata de las limitaciones de las herramientas de álgebra tradicionales. Esto recuerda la imposibilidad de trisectar un ángulo usando una regla y un compás. La respuesta existe, pero los métodos enumerados son insuficientes y no nos permiten determinar cuál es.

Limitación cristalográfica

Los cristales en dos y tres dimensiones no tienen simetría rotacional de 5 rayos.

Los átomos en un cristal forman una red, es decir, una estructura que se repite periódicamente en varias direcciones independientes. Por ejemplo, el patrón del papel tapiz se repite a lo largo del rollo; además, suele repetirse en dirección horizontal, a veces con un desplazamiento de un papel pintado al siguiente. Básicamente, el papel tapiz es un cristal bidimensional.

Hay 17 variedades de patrones de papel tapiz en un avión (consulte el Capítulo 17). Se diferencian en los tipos de simetría, es decir, en las formas de mover rígidamente el patrón para que quede exactamente sobre sí mismo en su posición original. Los tipos de simetría incluyen, en particular, varias variantes de simetría rotacional, donde el patrón debe girarse en un cierto ángulo alrededor de un punto determinado: el centro de simetría.

El orden de simetría rotacional es cuántas veces se puede girar el cuerpo en un círculo completo para que todos los detalles del patrón vuelvan a sus posiciones originales. Por ejemplo, una rotación de 90° es una simetría de rotación de cuarto orden*. La lista de posibles tipos de simetría rotacional en una red cristalina vuelve a indicar lo inusual del número 5: no está ahí. Hay opciones con simetría de rotación de segundo, tercer, cuarto y sexto orden, pero ninguno de los diseños de papel tapiz tiene simetría de rotación de quinto orden. La simetría de rotación de orden mayor que 6 tampoco existe en los cristales, pero la primera violación de la secuencia todavía ocurre en el número 5.

Lo mismo ocurre con los sistemas cristalográficos en el espacio tridimensional. Aquí la red se repite en tres direcciones independientes. Hay 219 tipos diferentes de simetría, o 230 si contamos la imagen especular de un diseño como una variante separada, a pesar de que en este caso no existe simetría especular. Nuevamente, se observan simetrías rotacionales de órdenes 2, 3, 4 y 6, pero no de 5. Este hecho se denomina confinamiento cristalográfico.

En el espacio de cuatro dimensiones, existen redes con simetría de quinto orden; En general, para redes de dimensiones suficientemente grandes, es posible cualquier orden predeterminado de simetría rotacional.

// Arroz. 40. Red cristalina de la sal de mesa. Las bolas oscuras representan átomos de sodio, las bolas claras representan átomos de cloro.

Cuasicristales

Aunque la simetría rotacional de quinto orden no es posible en redes 2D o 3D, puede existir en estructuras ligeramente menos regulares conocidas como cuasicristales. Utilizando los bocetos de Kepler, Roger Penrose descubrió sistemas planos con más tipo general quíntuple simetría. Se les llama cuasicristales.

Los cuasicristales existen en la naturaleza. En 1984, Daniel Shechtman descubrió que una aleación de aluminio y manganeso podía formar cuasicristales; Al principio los cristalógrafos acogieron su informe con cierto escepticismo, pero el descubrimiento se confirmó más tarde y en 2011 Shechtman recibió el Premio Nobel de Química. En 2009, un equipo de científicos dirigido por Luca Bindi descubrió cuasicristales en un mineral de las tierras altas rusas de Koryak: un compuesto de aluminio, cobre y hierro. Hoy este mineral se llama icosaedrita. Midiendo el contenido de diferentes isótopos de oxígeno en el mineral mediante un espectrómetro de masas, los científicos demostraron que este mineral no se originó en la Tierra. Se formó hace unos 4.500 millones de años, en una época en la que sistema solar estaba recién emergiendo, y pasó mayoría tiempo en el cinturón de asteroides, orbitando alrededor del Sol, hasta que alguna perturbación cambió su órbita y finalmente lo trajo a la Tierra.

// Arroz. 41. Izquierda: una de las dos redes cuasicristalinas con simetría quíntuple exacta. Derecha: modelo atómico de un cuasicristal icosaédrico de aluminio-paladio-manganeso

Una cosa de la que puedes estar cien por ciento seguro es que cuando se le pregunta cuál es el cuadrado de la hipotenusa, cualquier adulto responderá con audacia: "La suma de los cuadrados de los catetos". Este teorema está firmemente arraigado en la mente de toda persona educada, pero basta con pedirle a alguien que lo demuestre y pueden surgir dificultades. Por tanto, recordemos y consideremos diferentes formas de demostrar el teorema de Pitágoras.

Breve biografía

El teorema de Pitágoras es familiar para casi todo el mundo, pero por alguna razón la biografía de la persona que lo trajo al mundo no es tan popular. Esto se puede arreglar. Por lo tanto, antes de explorar las diferentes formas de demostrar el teorema de Pitágoras, es necesario conocer brevemente su personalidad.

Pitágoras: filósofo, matemático, pensador originario de Hoy en día es muy difícil distinguir su biografía de las leyendas que se han desarrollado en memoria de este gran hombre. Pero como se desprende de las obras de sus seguidores, Pitágoras de Samos nació en la isla de Samos. Su padre era un simple picapedrero, pero su madre provenía de una familia noble.

A juzgar por la leyenda, el nacimiento de Pitágoras fue predicho por una mujer llamada Pythia, en cuyo honor recibió su nombre el niño. Según su predicción, se suponía que el niño nacido traería muchos beneficios y beneficios a la humanidad. Que es exactamente lo que hizo.

Nacimiento del teorema

En su juventud, Pitágoras se mudó a Egipto para encontrarse allí con famosos sabios egipcios. Después de reunirse con ellos, se le permitió estudiar, donde aprendió todos los grandes logros de la filosofía, las matemáticas y la medicina egipcias.

Probablemente fue en Egipto donde Pitágoras se inspiró en la majestuosidad y belleza de las pirámides y creó las suyas propias. gran teoría. Esto puede sorprender a los lectores, pero los historiadores modernos creen que Pitágoras no demostró su teoría. Pero sólo transmitió sus conocimientos a sus seguidores, quienes más tarde realizaron todos los cálculos matemáticos necesarios.

Sea como fuere, hoy no se conoce un método para demostrar este teorema, sino varios a la vez. Hoy en día sólo podemos adivinar cómo exactamente realizaban sus cálculos los antiguos griegos, por lo que aquí veremos diferentes formas de demostrar el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Antes de comenzar cualquier cálculo, debes determinar qué teoría quieres probar. El teorema de Pitágoras dice así: "En un triángulo en el que uno de los ángulos mide 90°, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa".

Hay un total de 15 formas diferentes de demostrar el teorema de Pitágoras. Este es un número bastante grande, por lo que prestaremos atención a los más populares.

Método uno

Primero, definamos lo que se nos ha dado. Estos datos también se aplicarán a otros métodos para demostrar el teorema de Pitágoras, por lo que vale la pena recordar inmediatamente todas las notaciones disponibles.

Supongamos que nos dan un triángulo rectángulo con catetos a, by una hipotenusa igual a c. El primer método de prueba se basa en el hecho de que es necesario dibujar un cuadrado a partir de un triángulo rectángulo.

Para hacer esto, debe agregar un segmento igual al cateto b a la longitud del cateto a, y viceversa. Esto debería resultar en dos lados iguales del cuadrado. Solo queda dibujar dos líneas paralelas y el cuadrado estará listo.

Dentro de la figura resultante, debes dibujar otro cuadrado con un lado igual a la hipotenusa del triángulo original. Para hacer esto, desde los vértices ас y св necesitas dibujar dos segmentos paralelos iguales a с. Así, obtenemos tres lados del cuadrado, uno de los cuales es la hipotenusa del triángulo rectángulo original. Ya sólo queda dibujar el cuarto segmento.

Con base en la figura resultante, podemos concluir que el área del cuadrado exterior es (a + b) 2. Si miras dentro de la figura, puedes ver que además del cuadrado interior, hay cuatro triángulos rectángulos. El área de cada uno es 0.5av.

Por lo tanto, el área es igual a: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

Por lo tanto (a+c) 2 =2ab+c 2

Y, por tanto, c 2 =a 2 +b 2

El teorema ha sido demostrado.

Método dos: triángulos semejantes

Esta fórmula para demostrar el teorema de Pitágoras se derivó de una afirmación de la sección de geometría sobre triángulos semejantes. Afirma que el cateto de un triángulo rectángulo es el promedio proporcional a su hipotenusa y al segmento de hipotenusa que emana del vértice del ángulo de 90°.

Los datos iniciales siguen siendo los mismos, así que comencemos ahora mismo con la demostración. Dibujemos un segmento CD perpendicular al lado AB. Según la afirmación anterior, los lados de los triángulos son iguales:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Para responder a la pregunta de cómo probar el teorema de Pitágoras, la demostración debe completarse elevando ambas desigualdades al cuadrado.

AC 2 = AB * AD y CB 2 = AB * DV

Ahora necesitamos sumar las desigualdades resultantes.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), donde AD + DV = AB

Resulta que:

CA 2 + CB 2 =AB*AB

Y por lo tanto:

CA 2 + CB 2 = AB 2

Prueba del teorema de Pitágoras y varias maneras sus soluciones requieren un enfoque multifacético a este problema. Sin embargo, esta opción es una de las más sencillas.

Otro método de cálculo

Es posible que las descripciones de los diferentes métodos para demostrar el teorema de Pitágoras no signifiquen nada hasta que empieces a practicar por tu cuenta. Muchas técnicas implican no sólo cálculos matemáticos, sino también la construcción de nuevas figuras a partir del triángulo original.

En este caso, es necesario completar otro triángulo rectángulo VSD desde el lado BC. Por tanto, ahora hay dos triángulos con un cateto común BC.

Sabiendo que las áreas de figuras semejantes tienen una razón como los cuadrados de sus dimensiones lineales semejantes, entonces:

S avs * c 2 - S avd * en 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(de 2 - a 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

de 2 - a 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Dado que entre los diversos métodos para demostrar el teorema de Pitágoras para el grado 8, esta opción no es adecuada, puede utilizar el siguiente método.

La forma más sencilla de demostrar el teorema de Pitágoras. Reseñas

Según los historiadores, este método se utilizó por primera vez para demostrar el teorema en antigua Grecia. Es el más sencillo, ya que no requiere absolutamente ningún cálculo. Si dibujas el dibujo correctamente, entonces la prueba de la afirmación de que a 2 + b 2 = c 2 será claramente visible.

Las condiciones para este método serán ligeramente diferentes a las del anterior. Para demostrar el teorema, supongamos que el triángulo rectángulo ABC es isósceles.

Tomamos la hipotenusa AC como lado del cuadrado y dibujamos sus tres lados. Además, en el cuadrado resultante es necesario dibujar dos líneas diagonales. De modo que en su interior queden cuatro triángulos isósceles.

También necesitas dibujar un cuadrado en los catetos AB y CB y dibujar una línea recta diagonal en cada uno de ellos. Dibujamos la primera línea desde el vértice A, la segunda desde C.

Ahora debes mirar cuidadosamente el dibujo resultante. Dado que en la hipotenusa AC hay cuatro triángulos iguales al original, y en los lados dos, esto indica la veracidad de este teorema.

Por cierto, gracias a este método de demostración del teorema de Pitágoras nació la famosa frase: “Los pantalones de Pitágoras son iguales en todas direcciones”.

Prueba de J. Garfield

James Garfield es el vigésimo presidente de los Estados Unidos de América. Además de dejar su huella en la historia como gobernante de los Estados Unidos, también fue un talentoso autodidacta.

Al comienzo de su carrera fue un profesor ordinario en una escuela pública, pero pronto se convirtió en director de una de las más altas Instituciones educacionales. El deseo de autodesarrollo le permitió ofrecer nueva teoría demostración del teorema de Pitágoras. El teorema y un ejemplo de su solución son los siguientes.

Primero debes dibujar dos triángulos rectángulos en una hoja de papel para que el cateto de uno de ellos sea una continuación del segundo. Los vértices de estos triángulos deben estar conectados para finalmente formar un trapezoide.

Como sabes, el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases por su altura.

S=a+b/2 * (a+b)

Si consideramos el trapezoide resultante como una figura que consta de tres triángulos, entonces su área se puede encontrar de la siguiente manera:

S=media/2 *2 + s 2 /2

Ahora necesitamos igualar las dos expresiones originales.

2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2

c 2 =a 2 +b 2

Se podría escribir más de un volumen sobre el teorema de Pitágoras y los métodos para demostrarlo. ayuda para enseñar. ¿Pero tiene algún sentido cuando este conocimiento no se puede aplicar en la práctica?

Aplicación práctica del teorema de Pitágoras

Desafortunadamente, en la actualidad programas escolares Este teorema está destinado a utilizarse únicamente en problemas geométricos. Los graduados pronto dejarán la escuela sin saber cómo pueden aplicar sus conocimientos y habilidades en la práctica.

De hecho, cualquiera puede utilizar el teorema de Pitágoras en su vida diaria. Y no sólo en actividad profesional, pero también en las tareas domésticas habituales. Consideremos varios casos en los que el teorema de Pitágoras y los métodos para demostrarlo pueden ser extremadamente necesarios.

Relación entre el teorema y la astronomía.

Parecería cómo se pueden conectar estrellas y triángulos en papel. De hecho, la astronomía es un campo científico en el que se utiliza mucho el teorema de Pitágoras.

Por ejemplo, consideremos el movimiento de un rayo de luz en el espacio. Se sabe que la luz se mueve en ambas direcciones a la misma velocidad. Llamemos AB a la trayectoria por la que se mueve el rayo de luz. yo. Y llamemos a la mitad del tiempo que tarda la luz en llegar del punto A al punto B. t. Y la velocidad del rayo - C. Resulta que: c*t=l

Si miras este mismo rayo desde otro plano, por ejemplo, desde un transatlántico que se mueve con velocidad v, al observar los cuerpos de esta manera, su velocidad cambiará. En este caso, incluso los elementos estacionarios comenzarán a moverse con velocidad v en la dirección opuesta.

Digamos que el cómic navega hacia la derecha. Luego, los puntos A y B, entre los cuales se precipita el rayo, comenzarán a moverse hacia la izquierda. Además, cuando el rayo se mueve del punto A al punto B, el punto A tiene tiempo de moverse y, en consecuencia, la luz ya llegará a un nuevo punto C. Para encontrar la mitad de la distancia que se ha movido el punto A, es necesario multiplicar la velocidad del revestimiento a la mitad del tiempo de recorrido de la viga (t ").

Y para saber qué tan lejos podría viajar un rayo de luz durante este tiempo, es necesario marcar la mitad del camino con una nueva letra s y obtener la siguiente expresión:

Si imaginamos que los puntos de luz C y B, así como el transatlántico, son los vértices triángulo isósceles, entonces el segmento desde el punto A hasta el revestimiento lo dividirá en dos triángulos rectángulos. Por tanto, gracias al teorema de Pitágoras, se puede encontrar la distancia que podría recorrer un rayo de luz.

Este ejemplo, por supuesto, no es el más exitoso, ya que sólo unos pocos pueden tener la suerte de probarlo en la práctica. Por lo tanto, consideremos aplicaciones más mundanas de este teorema.

Rango de transmisión de señal móvil

Ya no se puede imaginar la vida moderna sin la existencia de los teléfonos inteligentes. Pero, ¿de qué utilidad serían si no pudieran conectar a los suscriptores a través de comunicaciones móviles?

La calidad de las comunicaciones móviles depende directamente de la altura a la que se encuentra la antena del operador de telefonía móvil. Para calcular a qué distancia de una torre de telefonía móvil puede recibir señal un teléfono, se puede aplicar el teorema de Pitágoras.

Digamos que necesita encontrar la altura aproximada de una torre estacionaria para que pueda distribuir una señal en un radio de 200 kilómetros.

AB (altura de la torre) = x;

BC (radio de transmisión de señal) = 200 km;

SO (radio globo) = 6380 kilómetros;

OB=OA+ABOB=r+x

Aplicando el teorema de Pitágoras, encontramos que la altura mínima de la torre debe ser de 2,3 kilómetros.

Teorema de Pitágoras en la vida cotidiana

Curiosamente, el teorema de Pitágoras puede resultar útil incluso en asuntos cotidianos, como, por ejemplo, para determinar la altura de un armario. A primera vista, no es necesario utilizar cálculos tan complejos, ya que simplemente se pueden tomar medidas con una cinta métrica. Pero mucha gente se pregunta por qué surgen ciertos problemas durante el proceso de montaje si todas las medidas se tomaron con mayor precisión.

El hecho es que el armario se ensambla en posición horizontal y solo luego se levanta e instala contra la pared. Por lo tanto, durante el proceso de elevación de la estructura, el lateral del gabinete debe moverse libremente tanto a lo largo como a lo largo de la altura y en diagonal de la habitación.

Supongamos que hay un armario con una profundidad de 800 mm. Distancia del suelo al techo - 2600 mm. Un fabricante de muebles experimentado dirá que la altura del mueble debe ser 126 mm menor que la altura de la habitación. ¿Pero por qué exactamente 126 mm? Veamos un ejemplo.

Con dimensiones de gabinete ideales, verifiquemos el funcionamiento del teorema de Pitágoras:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - todo encaja.

Digamos que la altura del gabinete no es de 2474 mm, sino de 2505 mm. Entonces:

CA=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Por lo tanto, este gabinete no es adecuado para su instalación en esta habitación. Porque levantarlo a una posición vertical puede causar daños a su cuerpo.

Quizás, habiendo considerado diferentes métodos de prueba del teorema de Pitágoras por parte de diferentes científicos, podamos concluir que esto es más que cierto. Ahora puede utilizar la información recibida en su vida diaria y estar completamente seguro de que todos los cálculos no solo serán útiles, sino también correctos.

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Adj., grosero...

LOS PANTALONES PITAGÓRICOS SON IGUALES POR TODOS LOS LADOS (SE CONOCE EL NÚMERO DE BOTONES. ¿POR QUÉ ESTÁ AJUSTADO? / PARA COMPROBARLO HAY QUE QUITARLO Y MOSTRAR)- adverbio, grosero... Diccionario unidades fraseológicas y proverbios coloquiales modernos

Sustantivo, plural, usado comparar a menudo Morfología: pl. ¿Qué? pantalones, (no) ¿qué? pantalones, ¿qué? pantalones, (ver) ¿qué? pantalones, ¿qué? pantalones, ¿qué pasa? sobre los pantalones 1. Los pantalones son una prenda de vestir que tiene dos piernas cortas o largas y cubre la parte inferior... ... Diccionario explicativo de Dmitriev

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