Método Cardano para resolver ecuaciones de tercer grado. Proyecto de investigación "Fórmula Cardano: historia y aplicación"

Cualquier ecuación cúbica con coeficientes reales tiene al menos una es una raíz real, las otras dos también son reales o son un par conjugado complejo.

Comencemos la revisión con los casos más simples: binomio Y retornable ecuaciones. Entonces pasemos a encontrar raíces racionales(Si alguna). Terminemos con un ejemplo de cómo encontrar las raíces de una ecuación cúbica usando La fórmula de Cardano para el caso general.

Navegación de páginas.

Resolver una ecuación cúbica de dos términos.

La ecuación cúbica binomial tiene la forma.

Esta ecuación se reduce a la forma dividiendo por un coeficiente A diferente de cero. A continuación, aplique la fórmula para la suma abreviada de multiplicación de cubos:

Del primer paréntesis encontramos , y el trinomio cuadrado sólo tiene raíces complejas.

Ejemplo.

Encuentra las raíces reales de la ecuación cúbica.

Solución.

Aplicamos la fórmula de multiplicación abreviada de diferencia de cubos:

Del primer paréntesis encontramos que el trinomio cuadrado del segundo paréntesis no tiene raíces reales, ya que su discriminante es negativo.

Respuesta:

Resolver la ecuación cúbica recíproca.

La ecuación cúbica recíproca tiene la forma , donde A y B son coeficientes.

Agrupemos:

Obviamente, x = -1 es la raíz de dicha ecuación, y las raíces de la resultante trinomio cuadrático se encuentran fácilmente a través del discriminante.

Ejemplo.

Resolver ecuación cúbica .

Solución.

Esta es una ecuación recíproca. Agrupemos:

Obviamente x = -1 es la raíz de la ecuación.

Encontrar las raíces de un trinomio cuadrático:

Respuesta:

Resolver ecuaciones cúbicas con raíces racionales.

Comencemos con el caso más simple, cuando x=0 es la raíz de la ecuación cúbica.

En este caso, el término libre D es igual a cero, es decir, la ecuación tiene la forma .

Si quita x de los paréntesis, entonces quedará entre paréntesis un trinomio cuadrado, cuyas raíces se pueden encontrar fácilmente mediante el discriminante o mediante el teorema de Vieta. .

Ejemplo.

Encuentra las raíces reales de la ecuación. .

Solución.

x=0 es la raíz de la ecuación. Encontremos las raíces del trinomio cuadrático.

Como su discriminante es menor que cero, el trinomio no tiene raíces reales.

Respuesta:

x=0.

Si los coeficientes de una ecuación cúbica son números enteros, entonces la ecuación puede tener raíces racionales.

Cuando , multiplica ambos lados de la ecuación por y cambia las variables y = Ax:

Llegamos a la ecuación cúbica dada. Puede tener raíces enteras, que son divisores del término libre. Entonces anotamos todos los divisores y comenzamos a sustituirlos en la ecuación resultante hasta obtener una igualdad idéntica. El divisor en el que se obtiene la identidad es la raíz de la ecuación. Por tanto, la raíz de la ecuación original es.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación cúbica.

Solución.

Transformemos la ecuación a la anterior: multipliquemos por ambos lados y cambiemos la variable y = 2x.

El término libre es 36. Anotemos todos sus divisores: .

Los sustituimos uno por uno en igualdad. hasta obtener la identidad:

Entonces y = -1 es la raíz. Corresponde a .

vamos a dividir encendido, usando:

Obtenemos

Todo lo que queda es encontrar las raíces del trinomio cuadrático.

Es obvio que , es decir, su raíz múltiple es x=3.

Respuesta:

.

Comentario.

Este algoritmo se puede utilizar para resolver ecuaciones recíprocas. Dado que -1 es la raíz de cualquier ecuación cúbica recíproca, podemos dividir el lado izquierdo de la ecuación original por x+1 y encontrar las raíces del trinomio cuadrático resultante.

En el caso de que la ecuación cúbica no tenga raíces racionales, se utilizan otros métodos de solución, por ejemplo, métodos específicos.

Resolver ecuaciones cúbicas usando la fórmula de Cardano.

En general, las raíces de una ecuación cúbica se encuentran mediante la fórmula de Cardano.

Para la ecuación cúbica se encuentran los valores. . A continuación encontramos Y .

Sustituimos las p y q resultantes en la fórmula de Cardano:

fórmula cardano

Mostovói

Odesa

Las disputas en la Edad Media siempre presentaban un espectáculo interesante que atraía a habitantes ociosos, jóvenes y mayores. Los temas de los debates fueron variados, pero siempre científicos. Al mismo tiempo, se entendía por ciencia lo que estaba incluido en la lista de las llamadas siete artes liberales, que era, por supuesto, la teología. Las disputas teológicas fueron las más frecuentes. Discutieron por todo. Por ejemplo, sobre si asociar un ratón con el espíritu santo si come la Santa Cena, si la Cumae Sibila podría haber predicho el nacimiento de Jesucristo, por qué los hermanos y hermanas del Salvador no son canonizados, etc.

Sobre la disputa que se suponía que iba a tener lugar entre el famoso matemático y el no menos famoso médico, sólo se hicieron las conjeturas más generales, ya que nadie sabía realmente nada. Dijeron que uno de ellos engañó al otro (se desconoce quién exactamente y a quién). Casi todos los que se reunieron en la plaza tenían las ideas más vagas sobre las matemáticas, pero todos esperaban con ansias el inicio del debate. Siempre fue interesante, podías reírte del perdedor, sin importar si tenía razón o no.

Cuando el reloj del ayuntamiento dio las cinco, las puertas se abrieron de par en par y la multitud entró corriendo en la catedral. A cada lado de la línea central que conecta la entrada al altar, se erigieron dos columnas laterales. sillas altas, destinado a polemistas. Los presentes hicieron un fuerte ruido, sin prestar atención a que estaban en la iglesia. Finalmente, frente a la reja de hierro que separaba el iconostasio del resto de la nave central, apareció un pregonero con manto negro y violeta y proclamó: “¡Ciudadanos ilustres de la ciudad de Milán! Ahora le hablará el famoso matemático Niccolo Tartaglia de Brenia. Se suponía que su oponente sería el matemático y médico Gerónimo Cardano. Niccolò Tartaglia acusa a Cardano de ser el último en publicar en su libro “Ars magna” un método para resolver una ecuación de tercer grado, que le pertenece, Tartaglia. Sin embargo, el propio Cardano no pudo asistir al debate y por eso envió a su alumno Luige Ferrari. Entonces se declara abierto el debate y sus participantes son invitados a los departamentos”. Un hombre torpe, de nariz aguileña y barba rizada, subió al púlpito situado a la izquierda de la entrada, y al púlpito opuesto ascendió un joven de unos veinte años, de rostro atractivo y seguro de sí mismo. Todo su comportamiento reflejaba total confianza en que cada gesto y cada palabra sería recibido con deleite.

—empezó Tartaglia.

¡Estimados señores! Sabes que hace 13 años logré encontrar una manera de resolver una ecuación de 3er grado y luego, usando este método, gané la disputa con Fiori. Mi método atrajo la atención de su conciudadano Cardano, y él utilizó todo su astuto arte para descubrirme el secreto. No se detuvo ni ante el engaño ni ante la falsificación descarada. Sabéis también que hace 3 años se publicó en Nuremberg el libro de Cardano sobre las reglas del álgebra, donde mi método, tan descaradamente robado, se puso a disposición de todos. Reté a Cardano y a su alumno a una competencia. Me propuse resolver 31 problemas, mis oponentes me propusieron el mismo número. Se fijó un plazo para resolver los problemas: 15 días. Logré solucionarlo en 7 días. mayoría esos problemas que fueron compilados por Cardano y Ferrari. Los imprimí y los envié por mensajería a Milán. Sin embargo, tuve que esperar cinco meses hasta recibir respuestas a mis tareas. Fueron resueltos incorrectamente. Esto me dio motivos para desafiarlos a ambos a un debate público.

Tartaglia guardó silencio. El joven, mirando a la desgraciada Tartaglia, dijo:

¡Estimados señores! Mi digno oponente se permitió, desde las primeras palabras de su discurso, expresar tantas calumnias contra mí y contra mi maestro; su argumento era tan infundado que difícilmente me tomaría la molestia de refutar la primera y mostrarles la inconsecuencia de el segundo. En primer lugar, ¿de qué tipo de engaño podemos hablar si Niccolo Tartaglia compartió voluntariamente su método con nosotros dos? Y así escribe Geronimo Cardano sobre el papel de mi oponente en el descubrimiento de la regla algebraica. Dice que no es él, Cardano, “sino mi amigo Tartaglia quien tiene el honor de descubrir algo tan hermoso y sorprendente, que supera el ingenio humano y todos los talentos del espíritu humano. Este descubrimiento es verdaderamente un regalo celestial, una prueba tan maravillosa del poder de la mente que lo comprendió, que nada puede considerarse inalcanzable para él”.

Mi oponente nos acusó a mí y a mi maestro de supuestamente dar una solución equivocada a sus problemas. Pero, ¿cómo puede ser incorrecta la raíz de una ecuación si al sustituirla en la ecuación y realizar todas las acciones prescritas en esta ecuación llegamos a la identidad? Y si el señor Tartaglia quiere ser coherente, entonces debería haber respondido a la observación de por qué nosotros, que robamos, pero según sus palabras, su invento y lo utilizamos para resolver los problemas propuestos, recibimos la solución equivocada. Nosotros, mi profesor y yo, no consideramos de poca importancia el invento del signor Tartaglia. Este invento es maravilloso. Además, apoyándome en gran medida en ello, encontré una manera de resolver una ecuación de 4º grado, y en el Ars Magna mi profesor habla de esto. ¿Qué quiere el señor Tartaglia de nosotros? ¿Qué pretende conseguir con la disputa?

Señores, señores”, gritó Tartaglia, “¡les pido que me escuchen!” No niego que mi joven oponente es muy fuerte en lógica y elocuencia. Pero esto no puede reemplazar una verdadera demostración matemática. Los problemas que les comenté a Cardano y Ferrari no se resolvieron correctamente, pero lo demostraré también. De hecho, tomemos, por ejemplo, una ecuación de entre las resueltas. Es sabido...

Un ruido inimaginable se levantó en la iglesia, absorbiendo por completo el final de la frase iniciada por el desventurado matemático. No se le permitió continuar. La multitud le exigió que se callara y que Ferrari tomara la vuelta. Tartaglia, viendo que continuar la discusión era completamente inútil, descendió apresuradamente del púlpito y salió a la plaza por el pórtico norte. El público saludó con entusiasmo al “ganador” de la disputa, Luigi Ferrari.

... Así terminó esta disputa, que sigue provocando cada vez más disputas nuevas. ¿A quién pertenece realmente el método para resolver una ecuación de tercer grado? Estamos hablando ahora: Niccolò Tartaglie. Lo descubrió y Cardano lo engañó para que hiciera el descubrimiento. Y si ahora llamamos fórmula de Cardano a la fórmula que representa las raíces de una ecuación de tercer grado a través de sus coeficientes, entonces esto es una injusticia histórica. Sin embargo, ¿es injusto? ¿Cómo calcular el grado de participación de cada matemático en el descubrimiento? Tal vez con el tiempo alguien pueda responder a esta pregunta con absoluta precisión, o tal vez siga siendo un misterio...

fórmula cardano

Si utilizamos el lenguaje matemático moderno y el simbolismo moderno, entonces la derivación de la fórmula de Cardano se puede encontrar usando lo siguiente en el grado más alto consideraciones elementales:

Se nos dará una ecuación general de tercer grado:

hacha 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Si pones

, luego damos la ecuacion (1) a la mente

(2) , .

Introduzcamos una nueva incógnita. Ud. usando la igualdad

.

Al introducir esta expresión en (2) , obtenemos

(3) ,

por eso

Si el numerador y denominador del segundo término se multiplican por la expresión

y tener en cuenta la expresión resultante para tu resulta ser simétrico con respecto a los signos “+” y “-”, entonces finalmente obtenemos .

(El producto de los radicales cúbicos en la última igualdad debe ser igual pag).

Esta es la famosa fórmula Cardano. si vas de y de regreso X, luego obtenemos una fórmula que determina la raíz de una ecuación general de 3er grado.

El joven que trató a Tartaglia tan despiadadamente entendía las matemáticas con tanta facilidad como comprendía el derecho a guardar secretos sin pretensiones. Ferrari encuentra una manera de resolver una ecuación de cuarto grado. Cardano incluyó este método en su libro. ¿Qué es este método?

(1)

– ecuación general de 4to grado.(2)

Dónde p,q,r– algunos coeficientes dependiendo de a B C D e. Es fácil ver que esta ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

(3)

De hecho, basta con abrir los corchetes, luego todos los términos que contienen t, se cancela y volvemos a la ecuación (2) .

Seleccionemos un parámetro t de modo que parte derecha ecuaciones (3) era un cuadrado perfecto respecto a y. Como es sabido, es necesario y condición suficiente esta es la desaparición del discriminante de los coeficientes del trinomio (con respecto a y) de pie a la derecha.

ecuación cúbica llamada ecuación de la forma

• hacha 3 + bx 2 + cx +d = 0, (1)
• donde a, b,c,d - probabilidades constantes y x es una variable.

Consideraremos el caso en el que los coeficientes sean números reales.

Raíces de la ecuación cúbica. Encontrar las raíces (solución) de una ecuación cúbica.

El numero x se llama raíz de la ecuación cúbica(1), si al sustituirla la ecuación (1) se convierte en una verdadera igualdad.

Una ecuación cúbica tiene como máximo tres raíces. (sobre un campo complejo siempre hay tres raíces, teniendo en cuenta la multiplicidad). Y siempre tiene al menos 1 (real) raíz. Todos los casos posibles de composición de raíces se pueden determinar fácilmente utilizando el signo. discriminante de ecuación cúbica , es decir.:

Δ= -4 b 3 d + b 2 C 2 - 4C.A 3 + 18a B C D - 27a 2 d 2 (Sí, este es el discriminante de la ecuación cúbica)

Entonces, sólo son posibles los siguientes 3 casos:

• Δ > 0 - entonces la ecuación tiene 3 raíces diferentes. (Para los avanzados: tres raíces reales diferentes)
• Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 real y un par de raíces conjugadas complejas)
• Δ = 0 - coinciden al menos 2 raíces de la ecuación. Aquellos. estamos ante una ecuación con 2 raíces coincidentes y 1 más diferente de ellas, o con una ecuación con 3 raíces coincidentes. (En cualquier caso, todas las raíces son reales. Y una ecuación tiene 3 raíces coincidentes si y sólo si su derivada y su segunda derivada son iguales a cero)

Fórmula de Cardano para resolver ecuaciones cúbicas (encontrar raíces).

Esta es una fórmula para encontrar las raíces de la forma canónica de una ecuación cúbica. (Encima del campo de números complejos).

Forma canónica la ecuación cúbica es una ecuación de la forma

y 3 + py + q = 0 (2)

Cualquier ecuación cúbica de la forma (1) se puede reducir a esta forma mediante la siguiente sustitución:

Entonces, comencemos a calcular las raíces. Encontremos las siguientes cantidades:

El discriminante de la ecuación (2) en este caso es igual a

El discriminante de la ecuación original (1) tendrá el mismo signo que el discriminante anterior. Las raíces de la ecuación (2) se expresan de la siguiente manera:

En consecuencia, si Q>0, entonces las ecuaciones (2) y (1) tendrán sólo 1 (real) raíz, y 1 . Sustituyámoslo en (3) y encontremos x para la ecuación (1). (si también estás interesado en raíces imaginarias, entonces simplemente calcula y 2 , y 3 y sustitúyelas en (3).

si q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).

Si Q = 0, entonces todas las raíces de las ecuaciones (1) y (2) son reales y al menos 2 raíces de cada ecuación coinciden. En este caso tenemos

• α = β, y
• y 1 =2α,
• y 2 = y 3 = - α.

De manera similar, sustituimos en (3) y obtenemos la respuesta.

Fórmula trigonométrica de Vieta para resolver ecuaciones cúbicas (encontrar raíces).

Esta fórmula encuentra soluciones. ecuación cúbica reducida, es decir, ecuaciones de la forma

x 3 + hacha 2 + bx +c = 0 (4)

Obviamente, cualquier ecuación del tipo (1) se puede reducir a la forma (4) simplemente dividiéndola por el coeficiente a.

Entonces, el algoritmo para aplicar esta fórmula:

1. Calcular

2. Calcular

3. a) Si S>0, entonces calcular

φ=(arcos(R/Q 3/2))/3

Y nuestra ecuación tiene 3 raíces. (real):

b) Si S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

calculamos

φ=(Arco(|R|/|Q| 3/2)/3

Entonces la única raíz (real): x 1 = -2sgn(R)*|Q| 1/2 *cadena(φ) - a/3

Para aquellos que también estén interesados ​​en las raíces imaginarias:

• x 2 = signo(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
• x 3 = signo(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(φ)i

DÓNDE:

• ch(x)=(e x +e -x)/2
• Arco(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)
• sh(x)=(ex -e -x)/2
• sgn(x) - signo de x

c) Si S=0, entonces la ecuación tiene menos de tres soluciones diferentes:

Explica cómo resolver ecuaciones cúbicas. Se considera el caso en el que se conoce una raíz. Métodos para encontrar raíces enteras y racionales. Aplicación de las fórmulas de Cardano y Vieta para resolver cualquier ecuación cúbica.

Contenido

Aquí consideramos resolver ecuaciones cúbicas de la forma
(1) .
A continuación, asumimos que se trata de números reales.

(2) ,
luego dividiéndolo por , obtenemos una ecuación de la forma (1) con coeficientes
.

La ecuación (1) tiene tres raíces: , y . Una de las raíces es siempre real. Denotamos la raíz real como . Las raíces y pueden ser conjugadas reales o complejas. Las raíces reales pueden ser múltiplos. Por ejemplo, si , entonces y son raíces dobles (o raíces de múltiplo de 2) y es una raíz simple.

Si se conoce una raíz

Conozcamos una raíz de la ecuación cúbica (1). Denotemos la raíz conocida como . Luego, dividiendo la ecuación (1) por , obtenemos una ecuación cuadrática. Resolviendo la ecuación cuadrática, encontramos dos raíces más y .

Para demostrar esto, utilizamos el hecho de que un polinomio cúbico se puede representar como:
.
Luego, dividiendo (1) por , obtenemos una ecuación cuadrática.

En la página se presentan ejemplos de división de polinomios.
“División y multiplicación de un polinomio por un polinomio con esquina y columna”.
La resolución de ecuaciones cuadráticas se analiza en la página.
"Raíces de una ecuación cuadrática".

Si una de las raíces está entera.

Si la ecuación original es:
(2) ,
y sus coeficientes,,, son números enteros, entonces puedes intentar encontrar la raíz entera. Si esta ecuación tiene una raíz entera, entonces es un divisor del coeficiente. El método para encontrar raíces enteras es encontrar todos los divisores del número y verificar si la ecuación (2) se cumple para ellos. Si se satisface la ecuación (2), entonces hemos encontrado su raíz. Denotémoslo como . A continuación, dividimos la ecuación (2) por . Obtenemos una ecuación cuadrática. Resolviendolo encontramos dos raíces más.

En la página se dan ejemplos de cómo definir raíces enteras.
Ejemplos de factorización de polinomios > > > .

Encontrar raíces racionales

Si en la ecuación (2) , , , son números enteros y no hay raíces enteras, entonces puedes intentar encontrar raíces racionales, es decir, raíces de la forma , donde y son números enteros.

Para hacer esto, multiplica la ecuación (2) por y haz la sustitución:
;
(3) .
A continuación, buscamos raíces enteras de la ecuación (3) entre los divisores del término libre.

Si hemos encontrado la raíz entera de la ecuación (3), entonces, volviendo a la variable, obtenemos la raíz racional de la ecuación (2):
.

Fórmulas de Cardano y Vieta para resolver la ecuación cúbica.

Si no conocemos una sola raíz y no hay raíces completas, entonces podemos encontrar las raíces de la ecuación cúbica usando las fórmulas de Cardano.

Considere la ecuación cúbica:
(1) .
Hagamos una sustitución:
.
Después de esto, la ecuación se reduce a una forma incompleta o reducida:
(4) ,
Dónde
(5) ; .

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matemáticas para científicos e ingenieros, 2012.