Tengamos una superficie definida por una ecuación de la forma

Introduzcamos la siguiente definición.

Definición 1. Una línea recta se llama tangente a la superficie en algún punto si es

tangente a cualquier curva que se encuentre en la superficie y pase por el punto.

Dado que un número infinito de curvas diferentes que se encuentran en la superficie pasan por el punto P, entonces, en términos generales, habrá un número infinito de tangentes a la superficie que pasa por este punto.

Introduzcamos el concepto de puntos singulares y ordinarios de una superficie.

Si en un punto las tres derivadas son iguales a cero o al menos una de estas derivadas no existe, entonces el punto M se llama punto singular de la superficie. Si en un punto las tres derivadas existen y son continuas, y al menos una de ellas es distinta de cero, entonces el punto M se llama punto ordinario de la superficie.

Ahora podemos formular el siguiente teorema.

Teorema. Todas las rectas tangentes a una superficie dada (1) en su punto ordinario P se encuentran en el mismo plano.

Prueba. Consideremos una determinada línea L en la superficie (Fig. 206) que pasa por un punto P dado de la superficie. Dejemos que la curva considerada esté dada por ecuaciones paramétricas.

La tangente a la curva será la tangente a la superficie. Las ecuaciones de esta tangente tienen la forma.

Si las expresiones (2) se sustituyen en la ecuación (1), entonces esta ecuación se convertirá en una identidad con respecto a t, ya que la curva (2) se encuentra en la superficie (1). Diferenciándolo por obtenemos

Las proyecciones de este vector dependen de: las coordenadas del punto P; tenga en cuenta que dado que el punto P es ordinario, estas proyecciones en el punto P no desaparecen simultáneamente y, por lo tanto,

tangente a una curva que pasa por el punto P y se encuentra en la superficie. Las proyecciones de este vector se calculan con base en las ecuaciones (2) en el valor del parámetro t correspondiente al punto P.

calculemos producto escalar vectores N y que es igual a la suma de los productos de proyecciones del mismo nombre:

Con base en la igualdad (3), la expresión del lado derecho es igual a cero, por lo tanto,

De la última igualdad se deduce que el vector LG y el vector tangente a la curva (2) en el punto P son perpendiculares. El razonamiento anterior es válido para cualquier curva (2) que pase por el punto P y se encuentre en la superficie. En consecuencia, cada tangente a la superficie en el punto P es perpendicular al mismo vector N y por tanto todas estas tangentes se encuentran en el mismo plano perpendicular al vector LG. El teorema ha sido demostrado.

Definición 2. El plano en el que se ubican todas las líneas tangentes a las líneas de la superficie que pasan por su punto P dado se llama plano tangente a la superficie en el punto P (Fig. 207).

Tenga en cuenta que en puntos singulares de la superficie puede no haber un plano tangente. En tales puntos, las líneas tangentes a la superficie pueden no estar en el mismo plano. Por ejemplo, el vértice de una superficie cónica es un punto singular.

Las tangentes a la superficie cónica en este punto no se encuentran en el mismo plano (ellas mismas forman una superficie cónica).

Escribamos la ecuación del plano tangente a la superficie (1) en un punto ordinario. Dado que este plano es perpendicular al vector (4), su ecuación tiene la forma

Si la ecuación de la superficie se da en la forma o la ecuación del plano tangente en este caso toma la forma

Comentario. Si ponemos la fórmula (6), entonces esta fórmula tomará la forma

su parte derecha representa el diferencial completo de la función. Por eso, . Así, el diferencial total de una función de dos variables en un punto correspondiente a los incrementos de las variables independientes x e y es igual al incremento correspondiente de la aplicación del plano tangente a la superficie, que es la gráfica de esta función.

Definición 3. Una línea recta trazada a través de un punto de la superficie (1) perpendicular al plano tangente se llama normal a la superficie (Fig. 207).

Escribamos las ecuaciones normales. Dado que su dirección coincide con la dirección del vector N, sus ecuaciones tendrán la forma

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4. TEORÍA DE SUPERFICIES.

4.1 ECUACIONES DE SUPERFICIE.

Se puede especificar una superficie en un espacio tridimensional:

1) implícitamente: F ( X , y , z ) =0 (4.1)

2) explícitamente: z = F ( X , y ) (4.2)

3) paramétricamente: (4.3)

o:
(4.3’)

¿Dónde están los argumentos escalares?
a veces llamadas coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, la esfera
conviene especificar en coordenadas esféricas:
.

4.2 PLANO TANGENTE Y NORMAL A LA SUPERFICIE.

Si una línea se encuentra sobre la superficie (4.1), entonces las coordenadas de sus puntos satisfacen la ecuación de la superficie:

Diferenciando esta identidad, obtenemos:

(4.4)

o
(4.4 ’ )

en cada punto de la curva de la superficie. Por lo tanto, el vector gradiente en puntos no singulares de la superficie (en los cuales la función (4.5) es diferenciable y
) es perpendicular a los vectores tangentes a cualquier línea recta en la superficie, es decir, puede usarse como un vector normal para compilar la ecuación del plano tangente en el punto M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) superficie

(4.6)

y como vector dirección en la ecuación normal:

(4.7)

En el caso de especificación explícita (4.2) de la superficie, las ecuaciones del plano tangente y normal, respectivamente, toman la forma:

(4.8)

Y
(4.9)

Con la representación paramétrica de la superficie (4.3), los vectores
se encuentran en el plano tangente y la ecuación del plano tangente se puede escribir como:

(4.10)

y su producto vectorial se puede tomar como el vector normal de dirección:

y la ecuación normal se puede escribir como:

(4.11)

Dónde
— valores de parámetros correspondientes al punto M 0 .

En lo que sigue, nos limitaremos a considerar sólo aquellos puntos de superficie donde los vectores

no igual a cero y no paralelo.

Ejemplo 4.1 Crea ecuaciones para el plano tangente y normal en el punto M. 0 (1,1,2) a la superficie de un paraboloide de revolución
.

Solución: Dado que la ecuación del paraboloide se da explícitamente, entonces, de acuerdo con (4.8) y (4.9), necesitamos encontrar
en el punto M 0 :

, y en el punto M 0
. Entonces la ecuación del plano tangente en el punto M 0 tomará la forma:

2(X -1)+2(y -1)-(z-2)=0 o 2 X +2 y –z - 2=0, y la ecuación normal
.

Ejemplo 4.2 Redactar ecuaciones para el plano tangente y normal en un punto arbitrario del helicoidal.
, .

Solución. Aquí ,

Ecuación del plano tangente:

o

Ecuaciones normales:

.

4.3 PRIMERA FORMA DE SUPERFICIE CUADRÁTICA.

Si la superficie está dada por la ecuación

luego la curva
puede estar dado por la ecuación
(4.12)

Diferencial de vector de radio
a lo largo de la curva, correspondiente al desplazamiento desde el punto M 0 al punto más cercano M, es igual a

(4.13)

Porque
es el diferencial del arco de la curva correspondiente al mismo desplazamiento), entonces

(4.14)

Dónde .

La expresión del lado derecho de (4.14) se llama primera forma cuadrática de la superficie y juega un papel muy importante en la teoría de superficies.

integro el diferencialds que van desde t 0 (corresponde al punto M 0 ) a t (corresponde al punto M), obtenemos la longitud del segmento correspondiente de la curva

(4.15)

Conociendo la primera forma cuadrática de una superficie, puedes encontrar no sólo las longitudes, sino también los ángulos entre curvas.

Si du , dv son diferenciales de coordenadas curvilíneas correspondientes a un desplazamiento infinitesimal a lo largo de una curva, y
- por otro lado, teniendo en cuenta (4.13):

(4.16)

Usando fórmula

(4.17)

la primera forma cuadrática permite calcular el área de la región
superficies.

Ejemplo 4.3 En un helicoidal, encuentre la longitud de la hélice.
entre dos puntos.

Solución. Porque en la hélice
, Eso . Encontremos el punto
primera forma cuadrática. Habiendo designado yv = t , obtenemos la ecuación de esta línea helicoidal en la forma . Forma cuadrática:

= - primera forma cuadrática.

Aquí . En la fórmula (4.15) en este caso
y longitud del arco:

=

4.4 SEGUNDA FORMA DE SUPERFICIE CUADRÁTICA.

denotemos
- vector unitario normal a la superficie
:

(4.18) . (4.23)

Una línea sobre una superficie se llama línea de curvatura si su dirección en cada punto es la dirección principal.

4.6 CONCEPTO DE LÍNEAS GEODÉSICAS SOBRE UNA SUPERFICIE.

Definición 4.1 . Una curva en una superficie se llama geodésica si su normal principal en cada punto donde la curvatura es distinta de cero, coincide con la normal a la superficie.

Por cada punto de la superficie en cualquier dirección pasa, y sólo una geodésica. En una esfera, por ejemplo, los círculos máximos son geodésicas.

Una parametrización de superficie se denomina semigeodésica si una familia de líneas de coordenadas consta de geodésicas y la segunda es ortogonal a ella. Por ejemplo, en una esfera hay meridianos (geodésicas) y paralelos.

Una geodésica en un segmento suficientemente pequeño es la más corta entre todas las curvas cercanas que conectan los mismos puntos.

Ecuación del plano normal

1.

4.

Plano tangente y superficie normal.

Sea una superficie dada, A es un punto fijo de la superficie y B es un punto variable de la superficie,

(Figura 1).

Vector distinto de cero

→

norte

llamado vector normal a la superficie en el punto A, si

Lim B → A j = π 2 .

Un punto de superficie F (x, y, z) = 0 se llama ordinario si en este punto

1. las derivadas parciales F " x , F " y , F " z son continuas;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Si se viola al menos una de estas condiciones, el punto de superficie se llama punto especial de la superficie .

Teorema 1. Si M(x 0 , y 0 , z 0 ) es un punto ordinario de la superficie F (x , y , z) = 0 , entonces el vector

→ norte = graduado F (x 0, y 0, z 0) = F " x (x 0, y 0, z 0) → i + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F "z (x 0, y 0, z 0) → k

(1)

es normal a esta superficie en el punto M (x 0, y 0, z 0).

Prueba dado en el libro de I.M. Petrushko, Los Ángeles. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Curso de matemáticas superiores: Cálculo integral. Funciones de varias variables. Ecuaciones diferenciales. M.: Editorial MPEI, 2002 (p. 128).

Normal a la superficie en algún punto hay una recta cuyo vector dirección es normal a la superficie en ese punto y que pasa por este punto.

Canónico ecuaciones normales se puede representar en la forma

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y − y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Plano de la tangente a una superficie en un punto determinado es un plano que pasa por ese punto perpendicular a la normal a la superficie en ese punto.

De esta definición se deduce que ecuación del plano tangente tiene la forma:

(3)

Si un punto de una superficie es singular, entonces en ese punto el vector normal a la superficie puede no existir y, por lo tanto, la superficie puede no tener un plano normal y tangente.

Significado geométrico diferencial completo funciones de dos variables

Sea la función z = f (x, y) diferenciable en el punto a (x 0, y 0). Su gráfica es la superficie.

f (x, y) − z = 0.

Pongamos z 0 = f (x 0, y 0). Entonces el punto A (x 0 , y 0 , z 0 ) pertenece a la superficie.

Las derivadas parciales de la función F (x, y, z) = f (x, y) − z son

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

y en el punto A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. son continuos;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Por tanto, A es un punto ordinario de la superficie F (x, y, z) y en este punto existe un plano tangente a la superficie. Según (3), la ecuación del plano tangente tiene la forma:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

El desplazamiento vertical de un punto en el plano tangente cuando se mueve desde el punto a (x 0, y 0) a un punto arbitrario p (x, y) es B Q (Fig. 2). El incremento correspondiente de solicitudes es

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Aquí en el lado derecho hay un diferencial. d función z z = f (x, y) en el punto a (x 0, x 0). Por eso,
d f (x 0, y 0). es el incremento de la aplicación de un punto plano tangente a la gráfica de la función f (x, y) en el punto (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

De la definición de diferencial se deduce que la distancia entre el punto P en la gráfica de una función y el punto Q en el plano tangente es infinitamente mayor alto orden que la distancia del punto p al punto a.

Consideremos aplicaciones geométricas de la derivada de una función de varias variables. Sea especificada implícitamente una función de dos variables: . Esta función en su dominio de definición está representada por una determinada superficie (Sección 5.1). Tomemos un punto arbitrario en esta superficie. , en el que las tres derivadas parciales , existen y son continuas, y al menos una de ellas no es igual a cero.

Un punto con tales características se llama común punto de superficie. Si no se cumple al menos uno de los requisitos anteriores, entonces el punto se llama especial punto de superficie.

A través de un punto seleccionado en la superficie se pueden dibujar muchas curvas, cada una de las cuales puede tener una tangente.

Definición 5.8.1 . El plano en el que se ubican todas las rectas tangentes a las rectas de la superficie que pasan por un determinado punto se llama plano tangente a esta superficie en el punto .

Para dibujar un plano determinado basta con tener dos rectas tangentes, es decir, dos curvas en la superficie. Pueden ser curvas obtenidas como resultado de cortar una superficie determinada con planos (Fig. 5.8.1).

Escribamos la ecuación de una recta tangente a una curva que se encuentra en la intersección de la superficie y el plano. Dado que esta curva se encuentra en el sistema de coordenadas, la ecuación de la tangente a ella en el punto, de acuerdo con el párrafo 2.7, tiene la forma:

. (5.8.1)

En consecuencia, la ecuación de la tangente a la curva que se encuentra en la intersección de la superficie y el plano en el sistema de coordenadas en el mismo punto tiene la forma:

. (5.8.2)

Usemos la expresión para la derivada implícitamente. función dada(cláusula 5.7). Entonces, eh. Sustituyendo estas derivadas en (5.8.1) y (5.8.2), obtenemos, respectivamente:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Dado que las expresiones resultantes no son más que ecuaciones de rectas en forma canónica (sección 15), entonces de (5.8.3) obtenemos el vector director , y de (5.8.4) – . El producto vectorial dará un vector normal a las rectas tangentes dadas y, por tanto, al plano tangente:

De ello se deduce que la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto tiene la forma (elemento 14):

Definición 5.8.2 . Línea recta trazada por un punto. La superficie perpendicular al plano tangente en este punto se llama normal a la superficie..

Dado que el vector de dirección de la normal a la superficie coincide con la normal al plano tangente, la ecuación normal tiene la forma:

.

campo escalar

Sea una región especificada en el espacio, ocupando parte o la totalidad de este espacio. Deje que cada punto de esta área, de acuerdo con alguna ley, esté asociado con una determinada cantidad escalar (número).

Definición 5.9.1 . Un área en el espacio, cada punto del cual está asociado, según una ley bien conocida, con una determinada cantidad escalar, se llama campo escalar..

Si se asocia algún tipo de sistema de coordenadas con el área, por ejemplo, un sistema cartesiano rectangular, entonces cada punto adquiere sus propias coordenadas. En este caso, la cantidad escalar pasa a ser función de coordenadas: en el plano – , en el espacio tridimensional – . La función misma que describe este campo a menudo se denomina campo escalar. Dependiendo de la dimensión del espacio, un campo escalar puede ser plano, tridimensional, etc.

Debe enfatizarse que la magnitud del campo escalar depende sólo de la posición del punto en la región, pero no depende de la elección del sistema de coordenadas.

Definición 5.9.2 . Un campo escalar que depende sólo de la posición de un punto en la región, pero no depende del tiempo, se llama estacionario..

En esta sección no se considerarán campos escalares no estacionarios, es decir, dependientes del tiempo.

Ejemplos de campos escalares incluyen el campo de temperatura, el campo de presión en la atmósfera y el campo de altura sobre el nivel del océano.

Geométricamente, los campos escalares a menudo se representan mediante las llamadas líneas o superficies de nivel.

Definición 5.9.3 . El conjunto de todos los puntos en el espacio en los que el campo escalar tiene el mismo significado se llama superficie nivelada o superficie equipotencial. En el caso plano de un campo escalar, este conjunto se llama línea de nivel o línea equipotencial..

Obviamente, la ecuación de la superficie nivelada tiene la forma , líneas de nivel – . Al dar a las constantes diferentes valores en estas ecuaciones, obtenemos una familia de superficies o líneas de nivel. Por ejemplo, (esferas anidadas unas dentro de otras con diferentes radios) o (familia de elipses).

Ejemplos de líneas de nivel de la física incluyen isotermas (líneas de temperaturas iguales), isobaras (líneas de igual presión); de geodesia: líneas de iguales alturas, etc.

La gráfica de una función de 2 variables z = f(x,y) es una superficie proyectada sobre el plano XOY en el dominio de definición de la función D.
Considere la superficie σ , dada por la ecuación z = f(x,y), donde f(x,y) es una función diferenciable, y sea M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) un punto fijo en la superficie σ, es decir z0 = f(x0,y0). Objetivo. La calculadora en línea está diseñada para encontrar plano tangente y ecuaciones normales de superficie. La solución está redactada en formato Word. Si necesita encontrar la ecuación de una tangente a una curva (y = f(x)), entonces necesita utilizar este servicio.

Reglas para ingresar funciones.:

Reglas para ingresar funciones.:

Plano tangente a la superficie. σ en su punto METRO 0 es el plano en el que se encuentran las tangentes a todas las curvas dibujadas en la superficie. σ a través del punto METRO 0 .
La ecuación del plano tangente a la superficie definida por la ecuación z = f(x,y) en el punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) tiene la forma:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

El vector se llama vector normal a la superficie. σ en el punto M 0. El vector normal es perpendicular al plano tangente.
Normal a la superficie σ en el punto METRO 0 es una línea recta que pasa por este punto y tiene la dirección del vector N.
Las ecuaciones canónicas de la normal a la superficie definida por la ecuación z = f(x,y) en el punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), donde z 0 = f(x 0 ,y 0), tener la forma:

Ejemplo No. 1. La superficie viene dada por la ecuación x 3 +5y. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto M 0 (0;1).
Solución. Escribamos las ecuaciones tangentes en forma general: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0 )
Según las condiciones del problema, x 0 = 0, y 0 = 1, entonces z 0 = 5
Encontremos las derivadas parciales de la función z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
En el punto M 0 (0,1) los valores de las derivadas parciales son:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Usando la fórmula, obtenemos la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) o -5 y+z = 0

Ejemplo No. 2. La superficie se define implícitamente y 2 -1/2*x 3 -8z. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto M 0 (1;0;1).
Solución. Encontrar las derivadas parciales de una función. Dado que la función se especifica implícitamente, buscamos derivadas usando la fórmula:

Para nuestra función:

Entonces:

En el punto M 0 (1,0,1) valores de derivadas parciales:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Usando la fórmula, obtenemos la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) o 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Ejemplo. Superficie σ dado por la ecuación z= y/x + xy – 5X 3. Encuentra la ecuación del plano tangente y normal a la superficie. σ en el punto METRO 0 (X 0 ,y 0 ,z 0), perteneciente a ella, si X 0 = –1, y 0 = 2.
Encontremos las derivadas parciales de la función. z= F(X,y) = y/x + xy – 5X 3:
fx’( X,y) = (y/x + xy – 5X 3)’ x = – y/x 2 + y – 15X 2 ;
f y '( X,y) = (y/x + xy – 5X 3)’ y = 1/x + X.
Punto METRO 0 (X 0 ,y 0 ,z 0) pertenece a la superficie σ , entonces podemos calcular z 0 , sustituyendo lo dado X 0 = –1 y y 0 = 2 en la ecuación de la superficie:

z= y/x + xy – 5X 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
En el punto METRO 0 (–1, 2, 1) valores de derivada parcial:
fx’( METRO 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( METRO 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Usando la fórmula (5) obtenemos la ecuación del plano tangente a la superficie. σ en el punto METRO 0:
z – 1= –15(X + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15X – 15 – 2y + 4 15X + 2y + z + 10 = 0.
Usando la fórmula (6) obtenemos ecuaciones canónicas normal a la superficie σ en el punto METRO 0: .
Respuestas: ecuación del plano tangente: 15 X + 2y + z+ 10 = 0; ecuaciones normales: .

Ejemplo No. 1. Dada una función z=f(x,y) y dos puntos A(x 0, y 0) y B(x 1, y 1). Requerido: 1) calcular el valor z 1 de la función en el punto B; 2) calcular el valor aproximado z 1 de la función en el punto B a partir del valor z 0 de la función en el punto A, reemplazando el incremento de la función al pasar del punto A al punto B con un diferencial; 3) cree una ecuación para el plano tangente a la superficie z = f(x,y) en el punto C(x 0,y 0,z 0).
Solución.
Escribamos las ecuaciones tangentes en forma general:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Según las condiciones del problema, x 0 = 1, y 0 = 2, entonces z 0 = 25
Encontremos las derivadas parciales de la función z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
En el punto M 0 (1,2) los valores de las derivadas parciales son:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Usando la fórmula obtenemos la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
o
-26 x-36 y+z+73 = 0

Ejemplo No. 2. Escribe las ecuaciones del plano tangente y normal al paraboloide elíptico z = 2x 2 + y 2 en el punto (1;-1;3).