Fuerza generalizada de un sistema con un grado de libertad. Mecánica analítica

Tengamos un sistema puntos materiales, subordinado a s que tiene bonos, cuyas ecuaciones tienen la forma indicada anteriormente.

Si el sistema fuera libre, entonces todas las coordenadas cartesianas de sus puntos serían independientes. Para indicar la posición del sistema sería necesario especificar todas las coordenadas cartesianas de sus puntos. En un sistema mecánico no libre de coordenadas cartesianas, sus puntos deben satisfacer s ecuaciones restrictivas, por lo que sólo las coordenadas entre ellos serán independientes.

El número de cantidades escalares mutuamente independientes que determinan de forma única la posición. sistema mecánico en el espacio se llama número de grados de libertad del sistema.

En consecuencia, un sistema mecánico formado por N puntos materiales libres tiene grados de libertad. Un sistema no libre de N puntos materiales con s conexiones restrictivas de grados de libertad.

Al determinar la posición de un sistema no libre, podemos especificar de forma independiente solo las coordenadas; las coordenadas s restantes se determinan a partir de las ecuaciones de restricción. Sin embargo, la posición de un sistema no libre se puede especificar de una manera más conveniente: en lugar de coordenadas cartesianas independientes, se puede especificar la misma cantidad de otras cantidades geométricas a través de las cuales las coordenadas cartesianas (tanto dependientes como independientes) se pueden expresar de manera única. Se pueden elegir ángulos, distancias lineales, áreas, etc. como tales cantidades, llamadas coordenadas generalizadas del sistema. La conveniencia es que se pueden elegir coordenadas generalizadas teniendo en cuenta las conexiones impuestas, es decir de acuerdo con la naturaleza del movimiento permitido al sistema por todo el conjunto de conexiones superpuestas. En este caso, las conexiones se tienen en cuenta automáticamente y no es necesario resolver las ecuaciones de conexiones con respecto a coordenadas dependientes.

Ejemplo 1. La posición de un péndulo físico, que consta de una varilla pesada O A articulada en el punto O, se determina completamente estableciendo el ángulo (Fig. 78). Si se da el ángulo, entonces para cualquier punto de la varilla con una distancia dada se pueden calcular sus coordenadas cartesianas:

Ejemplo 2. Para un sistema mecánico que consta de un péndulo matemático sobre una plataforma móvil (Fig. 79), la posición en el espacio está completamente determinada por los valores s y ( dados).

La posición de la plataforma está determinada por la distancia s, las coordenadas del punto de masa M también se calculan fácilmente:

Las cantidades (ejemplo 1) y s (ejemplo 2) son coordenadas generalizadas de los sistemas indicados. Este concepto puede extenderse al caso de un sistema mecánico arbitrario.

Por tanto, las coordenadas generalizadas de un sistema mecánico son cantidades geométricas independientes entre sí que determinan de forma única la posición del sistema en el espacio. El número de coordenadas generalizadas es igual al número de grados de libertad del sistema.

A pesar de todo significado geométrico y, en consecuencia, las dimensiones, las coordenadas generalizadas se denotan de forma uniforme, con la letra q con un número: . Del hecho de que las coordenadas generalizadas determinan de forma única la posición del sistema mecánico en el sistema de coordenadas Oxyz seleccionado, se deduce que existen funciones

expresando las coordenadas cartesianas de todos los puntos del sistema mediante coordenadas generalizadas y, quizás, el tiempo t. El tipo específico de estas funciones se establece de forma diferente para cada sistema (ver ejemplos 1 y 2).

Si ingresa los vectores de radio de los puntos (), estas funciones se pueden representar en forma vectorial

Introduzcamos ahora el concepto de fuerza generalizada. Fijemos el sistema en un momento arbitrario t y le indiquemos un posible movimiento desde esta posición.

Como resultado, dejemos que las coordenadas generalizadas reciban incrementos (variaciones). Encontraremos los desplazamientos elementales correspondientes de puntos del sistema calculando los diferenciales de funciones en un tiempo fijo ():

Calculando el posible trabajo de las fuerzas aplicadas, encontramos:

Se puede observar que el trabajo posible se expresa mediante una función homogénea de primer grado (forma lineal) con respecto a variaciones de coordenadas generalizadas con coeficientes.

es decir. parece

Los coeficientes se llaman fuerzas generalizadas.

Por tanto, cada coordenada generalizada tiene su propia fuerza generalizada. En este caso, la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada generalizada se denomina coeficiente de variación de esta coordenada generalizada en la expresión del posible trabajo de las fuerzas aplicadas a puntos del sistema.

Se pueden introducir fuerzas generalizadas para grupos individuales de fuerzas, por ejemplo, para fuerzas activas, para reacciones de enlace, para fuerzas potenciales, etc. Entonces la fuerza generalizada total estará expresada por la suma de las fuerzas generalizadas correspondientes a estos grupos seleccionados. Así que si fuerzas activas dividido en fuerzas activas y reacciones de acoplamiento, entonces las fuerzas generalizadas totales serán iguales

donde hay fuerzas activas generalizadas, son reacciones generalizadas de conexiones.

Las reacciones generalizadas de los enlaces ideales son siempre iguales a cero. Por esta razón, las reacciones de los enlaces ideales pueden ignorarse al calcular las fuerzas generalizadas.

Ejemplo 3. Calcule la fuerza generalizada de un péndulo físico formado por una varilla OA de longitud y masa (Fig. 80).

Solución. Péndulo físico es un sistema con un grado de libertad. En consecuencia, la posición del péndulo está determinada por una coordenada generalizada, para la cual elegimos el ángulo de inclinación con respecto a la vertical.

Representamos un péndulo en una posición arbitraria y aplicamos fuerzas actuantes. No es necesario mostrar la reacción en el soporte A, ya que la articulación es una conexión ideal y su contribución a la fuerza generalizada es cero. Informamos al sistema de un posible movimiento: una rotación elemental del péndulo en un ángulo en la dirección del ángulo creciente. El trabajo se realiza únicamente por el peso del péndulo. Su punto de aplicación (el centro de gravedad C de la varilla) describirá un arco de longitud , y se elevará a lo largo de la vertical una cantidad , completando trabajo basico

Consideremos un sistema mecánico con conexiones ideales. Sean las fuerzas activas del sistema. Démosle al sistema mecánico un desplazamiento virtual y calculemos el trabajo elemental de las fuerzas del sistema sobre este desplazamiento:

.

Usando igualdad (17.2) expresamos la variación
vector de radio puntos METRO k a través de variaciones
coordenadas generalizadas:

por eso,

. (17.6)

Cambiemos el orden de suma en igualdad (17.6):

. (17.7)

Denotemos en la expresión (17.7)

. (17.8)

.

Por fuerzas generalizadas q j nombrar los coeficientes para variaciones de coordenadas generalizadas en la expresión del trabajo elemental de las fuerzas del sistema.

Dependiendo de la dimensión de las variaciones de coordenadas generalizadas.
fuerzas generalizadas q j puede tener dimensiones de fuerza, momento, etc.

Métodos para calcular fuerzas generalizadas.

Consideremos tres formas de calcular fuerzas generalizadas.

1. Determinación de fuerzas generalizadas mediante la fórmula básica.(17.8)

. (17.9)

La fórmula (17.9) rara vez se utiliza en la práctica. Al resolver problemas, se utiliza con mayor frecuencia el segundo método.

2. Un método para "congelar" coordenadas generalizadas.

Demos al sistema mecánico un desplazamiento virtual tal que todas las variaciones de coordenadas generalizadas excepto
son iguales a cero:

Calculemos el trabajo para este movimiento.
todas las fuerzas activas aplicadas al sistema

.

Por definición, el multiplicador de variación
igual a la primera fuerza generalizada q 1 .

y definir la segunda fuerza generalizada q 2, habiendo calculado Trabajo virtual todas las fuerzas del sistema

.

Calculemos de manera similar todas las demás fuerzas generalizadas del sistema.

3. El caso de un campo de fuerza potencial.

Supongamos que se sabe energía potencial sistema mecánico

Entonces
y según la fórmula (32.8)

El principio de los movimientos virtuales de la estática en coordenadas generalizadas.

Según el principio de los desplazamientos virtuales de la estática, para el equilibrio de un sistema con conexiones holonómicas y estacionarias ideales, la condición es necesaria y suficiente:

a velocidades iniciales cero.

Pasando a coordenadas generalizadas, obtenemos

. (17.11)

Dado que las variaciones de coordenadas generalizadas son independientes, la igualdad a cero de la expresión (17.11) sólo es posible en el caso de que todos los coeficientes para las variaciones de coordenadas generalizadas sean iguales a cero:

De este modo, Para que un sistema mecánico con conexiones ideales, holonómicas, estacionarias y restrictivas esté en equilibrio, es necesario y suficiente que todas las fuerzas generalizadas del sistema sean iguales a cero (a velocidades iniciales cero del sistema).

Ecuaciones de Lagrange en coordenadas generalizadas (ecuaciones de Lagrange de segundo tipo)

Las ecuaciones de Lagrange se derivan de la ecuación general de la dinámica reemplazando los desplazamientos virtuales con sus expresiones a través de variaciones de coordenadas generalizadas. son un sistema ecuaciones diferenciales Movimiento de un sistema mecánico en coordenadas generalizadas:

. (17.13)

Dónde
- velocidades generalizadas,

t  energía cinética sistema presentado como una función de coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas

q j- fuerzas generalizadas.

El número de ecuaciones del sistema (17.13) está determinado por el número de grados de libertad y no depende del número de cuerpos incluidos en el sistema. Con conexiones ideales, sólo las fuerzas activas entrarán en el lado derecho de las ecuaciones. Si las conexiones no son ideales, entonces sus reacciones deben clasificarse como fuerzas activas.

En el caso de fuerzas potenciales que actúan sobre el sistema mecánico, las ecuaciones (17.13) toman la forma

.

Si introducimos la función de Lagrange l = t  PAG, luego teniendo en cuenta que la energía potencial no depende de las velocidades generalizadas, obtenemos las ecuaciones de Lagrange de segundo tipo para el caso de fuerzas potenciales de la siguiente forma

.

Al componer ecuaciones de Lagrange del segundo tipo, es necesario realizar los siguientes pasos:

Establezca el número de grados de libertad del sistema mecánico y seleccione sus coordenadas generalizadas.

Redacte una expresión para la energía cinética del sistema y representela como una función de coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas.

Utilizando los métodos descritos anteriormente, encuentre las fuerzas activas generalizadas del sistema.

Realice todas las operaciones de diferenciación necesarias en las ecuaciones de Lagrange.

Ejemplo.

Dónde j z momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación z,
- velocidad angular del cuerpo.

3. Definamos la fuerza generalizada. Démosle al cuerpo un desplazamiento virtual  y calculemos el trabajo virtual de todas las fuerzas activas del sistema:

Por eso, q = METRO z el momento principal de las fuerzas activas del sistema con respecto al eje de rotación del cuerpo.

4. Realicemos operaciones de diferenciación en la ecuación de Lagrange.

: (17.14)

. (17.15)

Sustituyendo las igualdades (17.15) en la ecuación (173

14) obtenemos la ecuación diferencial del movimiento de rotación del cuerpo

.

Anotemos la suma de los trabajos elementales de las fuerzas que actúan sobre los puntos del sistema sobre el posible desplazamiento del sistema:

Que el sistema holonómico tenga grados de libertad y, por tanto, su posición en el espacio está determinada coordenadas generalizadas
.

Sustituyendo (225) en (226) y cambiando el orden de suma por índices Y , obtenemos

. (226")

donde esta la cantidad escalar

llamado fuerza generalizada relacionada con la coordenada generalizada . Usando expresión famosa para el producto escalar de dos vectores, la fuerza impartida también se puede representar como

– proyecciones de fuerza sobre los ejes de coordenadas;
– coordenadas del punto de aplicación de la fuerza.

La dimensión de la fuerza generalizada de acuerdo con (226") depende de la dimensión de la siguiente manera , coincidiendo con la dimensión :

, (228)

es decir, la dimensión de la fuerza generalizada es igual a la dimensión del trabajo de la fuerza (energía) o el momento de la fuerza, dividido por la dimensión de la coordenada generalizada a la que se asigna la fuerza generalizada. De esto se deduce que una fuerza generalizada puede tener la dimensión de fuerza o momento de fuerza.

Cálculo de fuerza generalizada.

1. La fuerza generalizada se puede calcular mediante la fórmula (227), que la define, es decir

2. Las fuerzas generalizadas se pueden calcular como coeficientes de las variaciones correspondientes de las coordenadas generalizadas en la expresión para el trabajo elemental (226"), es decir

3. El método más adecuado para calcular las fuerzas generalizadas, que se obtiene de (226 ""), es si al sistema se le da tal movimiento posible que solo cambia una coordenada generalizada, mientras que las demás no cambian. Así que si
, y el resto
, entonces de (179") tenemos

.

Índice indica que la suma de trabajos elementales se calcula sobre un posible desplazamiento, durante el cual solo cambia (varía) la coordenada . Si la coordenada variable es , Eso

. (227")

Condiciones de equilibrio para un sistema de fuerzas en términos de fuerzas generalizadas

Condiciones de equilibrio del sistema Se derivan del principio de movimientos posibles. Se aplican a sistemas para los cuales este principio es válido: Para el equilibrio de un sistema mecánico sujeto a restricciones holonómicas, estacionarias, ideales y no liberadoras, en el momento en que las velocidades de todos los puntos del sistema son iguales a cero, es necesario y suficiente que todas las fuerzas generalizadas sean iguales a cero.

. (228")

3.6.7. Ecuación general de dinámica.

Ecuación general de dinámica para un sistema con cualquier conexión. (principio combinado de d'Alembert-Lagrange o ecuación general de la mecánica):

, (229)

Dónde – fuerza activa aplicada a -ésimo punto del sistema; – fuerza de reacción de los enlaces;
– fuerza de inercia puntual; – posible movimiento.

En el caso del equilibrio del sistema, cuando todas las fuerzas de inercia de los puntos del sistema desaparecen, se convierte en el principio de los posibles desplazamientos. Generalmente se utiliza para sistemas con conexiones ideales, para los cuales se cumple la condición.

En este caso (229) toma una de las formas:

,

,

. (230)

De este modo, Según la ecuación general de la dinámica, en cualquier momento de movimiento de un sistema con conexiones ideales, la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas y de inercia de los puntos del sistema es igual a cero en cualquier movimiento posible del sistema permitido. por las conexiones.

A la ecuación general de la dinámica se le pueden dar otras formas equivalentes. Desarrollando el producto escalar de vectores, se puede expresar como

Dónde
– coordenadas -ésimo punto del sistema. Considerando que las proyecciones de fuerzas de inercia sobre los ejes de coordenadas a través de las proyecciones de aceleraciones sobre estos ejes se expresan mediante las relaciones

,

a la ecuación general de la dinámica se le puede dar la forma

De esta forma se llama ecuación general de dinámica en forma analítica.

Cuando se utiliza la ecuación general de la dinámica, es necesario poder calcular el trabajo elemental de las fuerzas de inercia del sistema sobre posibles desplazamientos. Para ello se aplican las correspondientes fórmulas de trabajo elemental obtenidas para fuerzas ordinarias. Consideremos su aplicación a las fuerzas de inercia de un cuerpo rígido en casos particulares de su movimiento.

Durante el movimiento hacia adelante. En este caso, el cuerpo tiene tres grados de libertad y, debido a las restricciones impuestas, sólo puede realizar movimientos de traslación. Los posibles movimientos del cuerpo que permiten conexiones también son traslacionales.

Las fuerzas de inercia durante el movimiento de traslación se reducen a la resultante
. Para la suma de los trabajos elementales de las fuerzas de inercia sobre el posible movimiento de traslación de un cuerpo, obtenemos

Dónde
– posible movimiento del centro de masa y de cualquier punto del cuerpo, ya que el posible movimiento de traslación de todos los puntos del cuerpo es el mismo: las aceleraciones también son las mismas, es decir
.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo. El cuerpo en este caso tiene un grado de libertad. Puede girar alrededor de un eje fijo.
. El posible movimiento, permitido por conexiones superpuestas, es también una rotación del cuerpo en un ángulo elemental.
alrededor de un eje fijo.

Fuerzas de inercia reducidas a un punto. en el eje de rotación, se reducen al vector principal y el punto principal
. vector principal Se aplican fuerzas de inercia a un punto fijo y su trabajo elemental sobre el posible desplazamiento es cero. Para el momento principal de las fuerzas de inercia, el trabajo elemental distinto de cero se realizará únicamente mediante su proyección sobre el eje de rotación.
. Así, para la suma del trabajo de las fuerzas de inercia sobre el posible desplazamiento considerado tenemos

,

si el ángulo
informe en la dirección de la flecha del arco aceleración angular.

En movimiento plano. Conexiones impuestas a sólido, permita en este caso sólo el movimiento plano posible. En el caso general, consta de un posible movimiento de traslación junto con el polo, para el que elegimos el centro de masa, y una rotación de un ángulo elemental.
alrededor del eje
, que pasa por el centro de masa y es perpendicular al plano paralelo al cual el cuerpo puede realizar un movimiento plano.

Dado que las fuerzas de inercia en el movimiento plano de un cuerpo rígido se pueden reducir al vector principal y el punto principal
(si elegimos el centro de masa como centro de reducción), entonces la suma del trabajo elemental de las fuerzas de inercia en un posible desplazamiento plano se reducirá al trabajo elemental del vector de fuerza de inercia.
sobre el posible movimiento del centro de masa y el trabajo elemental del momento principal de las fuerzas de inercia en un movimiento de rotación elemental alrededor de un eje
, pasando por el centro de masa. En este caso, el trabajo elemental distinto de cero solo se puede realizar proyectando el momento principal de las fuerzas de inercia sobre el eje.
, es decir.
. Así, en el caso que nos ocupa tenemos

si la rotación es de un ángulo elemental
Dirigir en una flecha arqueada a .

Por supuesto, al calcular esta fuerza generalizada, la energía potencial debe determinarse en función de las coordenadas generalizadas.

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Notas.

Primero. Al calcular las fuerzas de reacción generalizadas no se tienen en cuenta las conexiones ideales.

Segundo. La dimensión de la fuerza generalizada depende de la dimensión de la coordenada generalizada. Entonces, si la dimensión [ q] – metro, luego la dimensión

[Q]= Nm/m = Newton, si [ q] – radianes, entonces [Q] = Nm; Si [ q] = m 2, entonces [Q] = H/m, etc.

Ejemplo 4. Un anillo se desliza a lo largo de una varilla que oscila en un plano vertical. METRO peso R(Figura 10). Consideramos la varilla ingrávida. Definamos fuerzas generalizadas.

Fig.10

Solución. El sistema tiene dos grados de libertad. Asignamos dos coordenadas generalizadas. s Y .

Encontremos la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada. s. Le damos un incremento a esta coordenada, dejando la coordenada sin cambios y calculando el trabajo de la única fuerza activa. R, obtenemos la fuerza generalizada

Luego incrementamos la coordenada, asumiendo s= constante Cuando la varilla se gira en un ángulo, el punto de aplicación de la fuerza R, anillo METRO, se trasladará a . La fuerza generalizada será

Dado que el sistema es conservador, también se pueden encontrar fuerzas generalizadas utilizando energía potencial. Obtenemos Y . Resulta mucho más sencillo.

Ecuaciones de equilibrio de Lagrange

Por definición (7) fuerzas generalizadas , k = 1,2,3,…,s, Dónde s– número de grados de libertad.

Si el sistema está en equilibrio, entonces según el principio de posibles desplazamientos (1) . Aquí están los movimientos permitidos por las conexiones, los movimientos posibles. Por tanto, cuando un sistema material está en equilibrio, todas sus fuerzas generalizadas son iguales a cero:

q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Estas ecuaciones ecuaciones de equilibrio en coordenadas generalizadas o Ecuaciones de equilibrio de Lagrange , permitir un método más para resolver problemas de estática.

Si el sistema es conservador, entonces. Esto significa que está en una posición de equilibrio. Es decir, en la posición de equilibrio de dicho sistema material, su energía potencial es máxima o mínima, es decir la función П(q) tiene un extremo.

Esto resulta obvio del análisis del ejemplo más simple (Fig. 11). Energía potencial de la pelota en posición. METRO 1 tiene un mínimo, en posición METRO 2 – máximo. Se puede observar que en la posición METRO 1 equilibrio será estable; embarazada METRO 2 – inestable.

Fig.11

El equilibrio se considera estable si al cuerpo en esta posición se le da una velocidad baja o se desplaza una distancia pequeña y estas desviaciones no aumentan en el futuro.

Se puede demostrar (teorema de Lagrange-Dirichlet) que si en la posición de equilibrio de un sistema conservador su energía potencial es mínima, entonces esta posición de equilibrio es estable.

Para un sistema conservador con un grado de libertad, la condición para la energía potencial mínima y, por tanto, la estabilidad de la posición de equilibrio, está determinada por la segunda derivada, su valor en la posición de equilibrio,

Ejemplo 5. Núcleo OA peso R puede girar en un plano vertical alrededor de un eje ACERCA DE(Figura 12). Encontremos y estudiemos la estabilidad de las posiciones de equilibrio.

Fig.12

Solución. La varilla tiene un grado de libertad. Coordenada generalizada – ángulo.

En relación con la posición cero inferior, la energía potencial P = Ph o

En la posición de equilibrio debería haber . Por tanto tenemos dos posiciones de equilibrio correspondientes a los ángulos y (posiciones OA 1 y OA 2). Exploremos su estabilidad. Encontrar la segunda derivada. Por supuesto, con , . La posición de equilibrio es estable. En , . La segunda posición de equilibrio es inestable. Los resultados son obvios.

Fuerzas de inercia generalizadas.

Usando el mismo método (8) por el cual se calcularon las fuerzas generalizadas q k, correspondientes a fuerzas activas, especificadas, también se determinan fuerzas generalizadas S k, correspondiente a las fuerzas de inercia de los puntos del sistema:

Y desde Eso

Algunas transformaciones matemáticas.

Obviamente,

Dado que a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), entonces

Esto significa que la derivada parcial de la velocidad con respecto a

Además, en el último término (14) se puede cambiar el orden de diferenciación:

Sustituyendo (15) y (16) en (14), y luego (14) en (13), obtenemos

Dividiendo la última suma por dos y teniendo en cuenta que la suma de las derivadas es igual a la derivada de la suma, obtenemos

donde es la energía cinética del sistema y es la velocidad generalizada.

Ecuaciones de Lagrange.

Por definición (7) y (12) fuerzas generalizadas

Pero basándose en la ecuación de dinámica general (3), parte derecha la igualdad es cero. Y como todo ( k = 1,2,3,…,s) son diferentes de cero, entonces . Sustituyendo el valor de la fuerza de inercia generalizada (17), obtenemos la ecuación

Estas ecuaciones se llaman ecuaciones diferenciales de movimiento en coordenadas generalizadas, ecuaciones de Lagrange de segundo tipo o simplemente – Ecuaciones de Lagrange.

El número de estas ecuaciones es igual al número de grados de libertad del sistema material.

Si el sistema es conservador y se mueve bajo la influencia de fuerzas potenciales del campo, cuando las fuerzas generalizadas son , las ecuaciones de Lagrange se pueden componer en la forma

Dónde l = t– P se llama función de Lagrange (se supone que la energía potencial P no depende de las velocidades generalizadas).

A menudo, al estudiar el movimiento de sistemas materiales, resulta que algunas coordenadas generalizadas q j no están incluidos explícitamente en la función de Lagrange (o en t y P). Estas coordenadas se llaman cíclico. Las ecuaciones de Lagrange correspondientes a estas coordenadas se obtienen de forma más sencilla.

La primera integral de tales ecuaciones se puede encontrar inmediatamente. Se llama integral cíclica:

Otros estudios y transformaciones de las ecuaciones de Lagrange son objeto de una sección especial. mecanica teorica- “Mecánica analítica”.

Las ecuaciones de Lagrange tienen una serie de ventajas en comparación con otros métodos para estudiar el movimiento de sistemas. Principales ventajas: el método para componer ecuaciones es el mismo en todos los problemas, las reacciones de conexiones ideales no se tienen en cuenta a la hora de resolver problemas.

Y una cosa más: estas ecuaciones se pueden utilizar para estudiar no solo sistemas mecánicos, sino también otros sistemas físicos (eléctricos, electromagnéticos, ópticos, etc.).

Ejemplo 6. Continuamos nuestro estudio del movimiento del anillo. METRO sobre una barra oscilante (ejemplo 4).

Se asignan coordenadas generalizadas – y s (Fig. 13). Se definen fuerzas generalizadas: y .

Fig.13

Solución. Energía cinética del anillo Donde a y .

Componemos dos ecuaciones de Lagrange.

entonces las ecuaciones quedan así:

Hemos obtenido dos ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, cuya solución requiere métodos especiales.

Ejemplo 7. Creemos una ecuación diferencial de movimiento de la viga. AB, que rueda sin deslizarse a lo largo de una superficie cilíndrica (Fig. 14). Longitud de la viga AB = yo, peso - R.

En la posición de equilibrio, la viga estaba horizontal y el centro de gravedad CON estaba ubicado en el punto superior del cilindro. La viga tiene un grado de libertad. Su posición está determinada por una coordenada generalizada: un ángulo (Fig. 76).

Fig.14

Solución. El sistema es conservador. Por lo tanto, componeremos la ecuación de Lagrange utilizando la energía potencial P=mgh, calculada con respecto a la posición horizontal. En el punto de contacto hay un centro instantáneo de velocidades y (igual a la longitud del arco circular con un ángulo).

Por lo tanto (ver Fig. 76) y .

Energía cinética (el haz sufre un movimiento plano paralelo)

Encontramos las derivadas necesarias para la ecuación y

Hagamos una ecuacion

o, finalmente,

Preguntas de autoevaluación

¿Cómo se llama el posible movimiento de un sistema mecánico restringido?

¿Cómo se relacionan los movimientos posibles y reales del sistema?

Cómo se llaman las conexiones: a) estacionarias; b)ideal?

Formule el principio de posibles movimientos. Escribe su expresión formulaica.

¿Es posible aplicar el principio de movimientos virtuales a sistemas con conexiones no ideales?

¿Cuáles son las coordenadas generalizadas de un sistema mecánico?

¿Cuál es el número de grados de libertad de un sistema mecánico?

¿En qué caso las coordenadas cartesianas de los puntos del sistema dependen no solo de coordenadas generalizadas, sino también del tiempo?

¿Cómo se llaman los posibles movimientos de un sistema mecánico?

¿Los posibles movimientos dependen de las fuerzas que actúan sobre el sistema?

¿Qué conexiones de un sistema mecánico se llaman ideales?

¿Por qué un vínculo formado por fricción no es un vínculo ideal?

¿Cómo se formula el principio de movimientos posibles?

¿Qué tipos puede tener la ecuación de trabajo?

¿Por qué el principio de posibles desplazamientos simplifica la derivación de las condiciones de equilibrio para las fuerzas aplicadas a sistemas propietarios, que consiste en gran número teléfono?

¿Cómo se construyen las ecuaciones de trabajo para fuerzas que actúan sobre un sistema mecánico con varios grados de libertad?

¿Cuál es la relación entre fuerza motriz¿Y la fuerza de resistencia en las máquinas más simples?

¿Cómo se formula? regla de oro¿mecánica?

¿Cómo se determinan las reacciones de las conexiones utilizando el principio de movimientos posibles?

¿Qué conexiones se llaman holonómicas?

¿Cuál es el número de grados de libertad de un sistema mecánico?

¿Cuáles son las coordenadas generalizadas del sistema?

¿Cuántas coordenadas generalizadas tiene un sistema mecánico no libre?

¿Cuantos grados de libertad tiene el volante de un auto?

¿Qué es la fuerza generalizada?

Escriba una fórmula que exprese el trabajo elemental total de todas las fuerzas aplicadas al sistema en coordenadas generalizadas.

¿Cómo se determina la dimensión de la fuerza generalizada?

¿Cómo se calculan las fuerzas generalizadas en sistemas conservadores?

Escribe una de las fórmulas que expresen la ecuación general de la dinámica de un sistema con conexiones ideales. Qué significado fisico esta ecuación?

¿Cuál es la fuerza generalizada de las fuerzas activas aplicadas a un sistema?

¿Cuál es la fuerza de inercia generalizada?

Formule el principio de d'Alembert en fuerzas generalizadas.

¿Cuál es la ecuación general de la dinámica?

¿Cómo se llama la fuerza generalizada correspondiente a alguna coordenada generalizada del sistema y qué dimensión tiene?

¿Cuáles son las reacciones generalizadas de los enlaces ideales?

Deducir la ecuación general de la dinámica en fuerzas generalizadas.

¿De qué forma son las condiciones de equilibrio para las fuerzas aplicadas a un sistema mecánico obtenidas de la ecuación general de la dinámica en fuerzas generalizadas?

¿Qué fórmulas expresan fuerzas generalizadas mediante proyecciones de fuerzas sobre ejes fijos de coordenadas cartesianas?

¿Cómo se determinan las fuerzas generalizadas en el caso de fuerzas conservadoras y en el caso de fuerzas no conservadoras?

¿Qué conexiones se llaman geométricas?

Dé una representación vectorial del principio de posibles desplazamientos.

Nombra lo que necesitas y condición suficiente Equilibrio de un sistema mecánico con conexiones geométricas estacionarias ideales.

¿Qué propiedad tiene la función fuerza de un sistema conservador en estado de equilibrio?

Escriba un sistema de ecuaciones diferenciales de Lagrange de segundo tipo.

¿Cuántas ecuaciones de Lagrange del segundo tipo se pueden construir para un sistema mecánico restringido?

¿El número de ecuaciones de Lagrange de un sistema mecánico depende del número de cuerpos incluidos en el sistema?

¿Cuál es el potencial cinético de un sistema?

¿Para qué sistemas mecánicos existe la función de Lagrange?

¿Qué argumentos tiene la función del vector velocidad de un punto perteneciente a un sistema mecánico con s¿grados de libertad?

¿Cuál es la derivada parcial del vector velocidad de un punto del sistema con respecto a alguna velocidad generalizada?

¿La función de qué argumentos es la energía cinética de un sistema sujeto a restricciones holonómicas no estacionarias?

¿Qué forma tienen las ecuaciones de Lagrange de segundo tipo? ¿Cuál es el número de estas ecuaciones para cada sistema mecánico?

¿Qué forma toman las ecuaciones de Lagrange del segundo tipo en el caso en que sobre el sistema actúan simultáneamente fuerzas conservativas y no conservativas?

¿Qué es la función de Lagrange o potencial cinético?

¿Qué forma tienen las ecuaciones de Lagrange de segundo tipo para un sistema conservador?

Dependiendo de qué variables¿Debe expresarse la energía cinética de un sistema mecánico al componer las ecuaciones de Lagrange?

¿Cómo se determina la energía potencial de un sistema mecánico bajo la influencia de fuerzas elásticas?

Problemas para resolver de forma independiente.

Tarea 1. Utilizando el principio de posibles desplazamientos, determine las reacciones de las conexiones de estructuras compuestas. Los diagramas estructurales se muestran en la Fig. 15, y los datos necesarios para la solución se dan en la tabla. 1. En las imágenes, todas las dimensiones están en metros.

tabla 1

R 1,kN R 2, kN q, kN/m METRO, kNm R 1,kN R 2, kN q, kN/m METRO, kNm

Opción 1 Opción 2

Opción 3 Opción 4

Opción 5 Opción 6

Opción 7 Opción 8

Fig.16 Fig.17

Solución. Es fácil comprobar que en este problema se cumplen todas las condiciones para aplicar el principio de Lagrange (el sistema está en equilibrio, las conexiones son estacionarias, holonómicas, confinantes e ideales).

Liberémonos de la conexión correspondiente a la reacción. X A (Figura 17). Para ello, en el punto A, se debe sustituir la bisagra fija, por ejemplo, por una varilla de soporte, en cuyo caso el sistema recibe un grado de libertad. Como ya se señaló, el posible movimiento del sistema está determinado por las limitaciones que se le imponen y no depende de las fuerzas aplicadas. Por tanto, determinar posibles desplazamientos es un problema cinemático. Dado que en este ejemplo el marco sólo puede moverse en el plano de la imagen, sus posibles movimientos también son planos. En el movimiento plano, el movimiento del cuerpo puede considerarse como una rotación alrededor del centro instantáneo de velocidades. Si el centro instantáneo de velocidades se encuentra en el infinito, entonces esto corresponde al caso de movimiento de traslación instantáneo, cuando los desplazamientos de todos los puntos del cuerpo son iguales.

Para encontrar el centro instantáneo de velocidades, es necesario conocer las direcciones de las velocidades de dos puntos cualesquiera del cuerpo. Por lo tanto, la determinación de los posibles desplazamientos de una estructura compuesta debe comenzar con encontrar los posibles desplazamientos del elemento para el cual se conocen dichas velocidades. En este caso, debes comenzar con el marco. CDB, desde su punto EN está inmóvil y, por tanto, el posible movimiento de este marco es su rotación formando un ángulo alrededor de un eje que pasa por la bisagra B. Ahora bien, conociendo el posible movimiento del punto CON(pertenece simultáneamente a ambos marcos del sistema) y posible movimiento del punto A(un posible movimiento del punto A es su movimiento a lo largo del eje X), encuentre el centro de velocidad instantánea C 1 del marco AES. Por lo tanto, el posible movimiento del marco AES es su rotación alrededor del punto C 1 en un ángulo. La conexión entre los ángulos y se determina mediante el movimiento del punto C (ver Fig. 17)

De la semejanza de los triángulos EC 1 C y BCD tenemos

Como resultado, obtenemos las dependencias:

Según el principio de posibles movimientos.

Calculemos secuencialmente los posibles trabajos incluidos aquí:

Q=2q – resultante carga distribuida, cuyo punto de aplicación se muestra en la Fig. 79; el trabajo posible realizado por él es igual.

1. La fuerza generalizada se puede calcular mediante la fórmula (227), que la define, es decir

2. Las fuerzas generalizadas se pueden calcular como coeficientes de las variaciones correspondientes de las coordenadas generalizadas en la expresión para el trabajo elemental (226"), es decir

3. El método más adecuado para calcular las fuerzas generalizadas, que se obtiene de (226 ""), es si al sistema se le da tal movimiento posible que solo cambia una coordenada generalizada, mientras que las demás no cambian. Entonces, si y el resto , entonces de (179") tenemos

.

El índice indica que la suma de los trabajos elementales se calcula sobre un posible desplazamiento, durante el cual sólo cambia (varía) la coordenada. Si la coordenada variable es , entonces

. (227")

Condiciones de equilibrio para un sistema de fuerzas en términos de fuerzas generalizadas

Condiciones de equilibrio del sistema Se derivan del principio de movimientos posibles. Se aplican a sistemas para los cuales este principio es válido: Para el equilibrio de un sistema mecánico sujeto a restricciones holonómicas, estacionarias, ideales y no liberadoras, en el momento en que las velocidades de todos los puntos del sistema son iguales a cero, es necesario y suficiente que todas las fuerzas generalizadas sean iguales a cero.

. (228")

Ecuación general de dinámica.

La ecuación general de dinámica para un sistema con cualquier conexión (el principio combinado de D'Alembert-Lagrange o ecuación general de la mecánica):

, (229)

¿Dónde está la fuerza activa aplicada al punto del sistema? – fuerza de reacción de los enlaces; – fuerza de inercia puntual; – posible movimiento.

En el caso del equilibrio del sistema, cuando todas las fuerzas de inercia de los puntos del sistema desaparecen, se convierte en el principio de los posibles desplazamientos. Generalmente se utiliza para sistemas con conexiones ideales, para los cuales se cumple la condición.

En este caso (229) toma una de las formas:

,

,

. (230)

De este modo, Según la ecuación general de la dinámica, en cualquier momento de movimiento de un sistema con conexiones ideales, la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas y de inercia de los puntos del sistema es igual a cero en cualquier movimiento posible del sistema permitido. por las conexiones.

A la ecuación general de la dinámica se le pueden dar otras formas equivalentes. Revelador producto escalar vectores, se puede expresar como

¿Dónde están las coordenadas del enésimo punto del sistema? Considerando que las proyecciones de fuerzas de inercia sobre los ejes de coordenadas a través de las proyecciones de aceleraciones sobre estos ejes se expresan mediante las relaciones

,

a la ecuación general de la dinámica se le puede dar la forma

De esta forma se llama ecuación general de dinámica en forma analítica.

Cuando se utiliza la ecuación general de la dinámica, es necesario poder calcular el trabajo elemental de las fuerzas de inercia del sistema sobre posibles desplazamientos. Para ello se aplican las correspondientes fórmulas de trabajo elemental obtenidas para fuerzas ordinarias. Consideremos su aplicación a las fuerzas de inercia de un cuerpo rígido en casos particulares de su movimiento.

Durante el movimiento hacia adelante. En este caso, el cuerpo tiene tres grados de libertad y, debido a las restricciones impuestas, sólo puede realizar movimientos de traslación. Los posibles movimientos del cuerpo que permiten conexiones también son traslacionales.

Las fuerzas de inercia durante el movimiento de traslación se reducen a la resultante . Para la suma de los trabajos elementales de las fuerzas de inercia sobre el posible movimiento de traslación de un cuerpo, obtenemos

¿Dónde está el posible desplazamiento del centro de masa y de cualquier punto del cuerpo, ya que el posible desplazamiento traslacional de todos los puntos del cuerpo es el mismo: las aceleraciones también son las mismas, es decir,

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo. El cuerpo en este caso tiene un grado de libertad. Puede girar alrededor de un eje fijo. El posible movimiento que permiten las conexiones superpuestas es también una rotación del cuerpo en un ángulo elemental alrededor de un eje fijo.

Las fuerzas de inercia reducidas a un punto del eje de rotación se reducen al vector principal y al momento principal. El vector principal de fuerzas de inercia se aplica a un punto fijo y su trabajo elemental sobre un posible desplazamiento es cero. Para el momento principal de las fuerzas de inercia, el trabajo elemental distinto de cero se realizará únicamente mediante su proyección sobre el eje de rotación. Así, para la suma del trabajo de las fuerzas de inercia sobre el posible desplazamiento considerado tenemos

,

si el ángulo se informa en la dirección del arco de flecha de aceleración angular.

En movimiento plano. En este caso, las restricciones impuestas al cuerpo rígido sólo permiten un posible movimiento plano. En el caso general, consiste en un posible movimiento de traslación junto con un polo, para el cual elegimos el centro de masa, y una rotación de un ángulo elemental alrededor del eje que pasa por el centro de masa y perpendicular al plano paralelo al cual el cuerpo puede realizar un movimiento plano.