Lahendage võrrandid seletusmooduliga. Mooduliga võrrandite lahendamine: põhireeglid

Selles artiklis analüüsime üksikasjalikult arvu absoluutväärtus. Anname arvu mooduli erinevaid definitsioone, tutvustame tähistust ja toome graafilisi illustratsioone. Sel juhul vaatleme erinevaid näiteid arvu mooduli leidmiseks definitsiooni järgi. Pärast seda loetleme ja põhjendame mooduli peamised omadused. Artikli lõpus räägime sellest, kuidas määratakse ja leitakse kompleksarvu moodul.

Leheküljel navigeerimine.

Arvumoodul – definitsioon, tähistus ja näited

Kõigepealt tutvustame mooduli tähistus. Arvu a moodul kirjutatakse kujul , see tähendab, et numbrist vasakule ja paremale asetame vertikaalsed jooned, mis moodustavad mooduli märgi. Toome paar näidet. Näiteks mooduli -7 saab kirjutada kujul ; moodul 4125 on kirjutatud kui , ja moodul on kirjutatud kui .

Järgmine mooduli definitsioon viitab ja seega ka täisarvudele ning ratsionaal- ja irratsionaalarvudele, nagu reaalarvude hulga koostisosadele. Räägime kompleksarvu moodulist in.

Definitsioon.

Moodul a on kas arv a ise, kui a on positiivne arv, või arv −a, mis on arvu a vastand, kui a on negatiivne arv, või 0, kui a=0 .

Arvu mooduli hääleline määratlus kirjutatakse sageli järgmisel kujul , tähendab see märge, et kui a>0 , kui a=0 ja kui a<0 .

Plaati saab esitada kompaktsemal kujul . See märge tähendab, et kui (a on suurem või võrdne 0 ) ja kui a<0 .

Seal on ka rekord . Siin tuleks eraldi selgitada juhust, kui a=0. Sel juhul on meil , kuid −0=0 , kuna nulli peetakse arvuks, mis on iseendale vastand.

Toome näiteid arvu mooduli leidmisest etteantud määratlusega. Näiteks leiame numbrite 15 ja moodulid. Alustame leidmisega. Kuna arv 15 on positiivne, on selle moodul definitsiooni järgi võrdne selle arvu endaga, st . Mis on arvu moodul? Kuna on negatiivne arv, siis on selle moodul võrdne arvule vastupidise arvuga, see tähendab arvuga . Seega,.

Selle lõigu kokkuvõtteks anname ühe järelduse, mida on väga mugav arvu mooduli leidmisel praktikas rakendada. Arvu mooduli definitsioonist järeldub, et arvu moodul on võrdne mooduli märgi all oleva arvuga, sõltumata selle märgist, ja ülaltoodud näidetest on see väga selgelt näha. Hääldatud väide selgitab, miks nimetatakse ka arvu moodulit arvu absoluutväärtus. Seega on arvu moodul ja arvu absoluutväärtus üks ja seesama.

Arvu moodul kaugusena

Geomeetriliselt saab arvu moodulit tõlgendada kui vahemaa. Toome arvu mooduli määramine kauguse järgi.

Definitsioon.

Moodul a on kaugus koordinaatjoone alguspunktist arvule a vastava punktini.

See määratlus on kooskõlas esimeses lõigus toodud arvu mooduli määratlusega. Selgitame seda punkti. Kaugus alguspunktist positiivsele arvule vastava punktini on võrdne selle arvuga. Null vastab võrdluspunktile, seega on kaugus võrdluspunktist punktini, mille koordinaat on 0, nulliga (punktist O jõudmiseks punkti, koordinaat 0). Kaugus lähtepunktist negatiivse koordinaadiga punktini on võrdne antud punkti koordinaadile vastandliku arvuga, kuna see on võrdne kaugusega lähtepunktist punktini, mille koordinaat on vastupidine.

Näiteks arvu 9 moodul on 9, kuna kaugus lähtepunktist punktini koordinaadiga 9 on üheksa. Võtame teise näite. Punkt koordinaadiga −3,25 asub punktist O 3,25 kaugusel, seega .

Arvu mooduli kõlaline määratlus on kahe arvu erinevuse mooduli määratlemise erijuht.

Definitsioon.

Kahe arvu erinevuse moodul a ja b on võrdne koordinaatidega a ja b koordinaatjoone punktide vahelise kaugusega.

See tähendab, et kui on antud punktid koordinaatjoonel A(a) ja B(b), siis on kaugus punktist A punkti B võrdne arvude a ja b vahe mooduliga. Kui võtta punktiks B punkt O (referentspunkt), siis saame selle lõigu alguses antud arvu mooduli definitsiooni.

Arvu mooduli määramine aritmeetilise ruutjuure kaudu

Mõnikord leitud mooduli määramine aritmeetilise ruutjuure kaudu.

Näiteks arvutame arvude −30 moodulid ja selle definitsiooni põhjal. Meil on . Samamoodi arvutame kahe kolmandiku mooduli: .

Arvu mooduli definitsioon aritmeetilise ruutjuurena on samuti kooskõlas käesoleva artikli esimeses lõigus toodud määratlusega. Näitame seda. Olgu a positiivne arv ja −a negatiivne. Siis Ja , kui a=0 , siis .

Mooduli omadused

Moodulil on mitmeid iseloomulikke tulemusi - mooduli omadused. Nüüd anname neist peamised ja kõige sagedamini kasutatavad. Nende omaduste põhjendamisel tugineme arvu mooduli definitsioonile kauguse järgi.

Alustame kõige ilmsemast mooduli omadusest − arvu moodul ei saa olla negatiivne arv. Literaalses vormis on sellel atribuudil vorm mis tahes arvu a jaoks. Seda omadust on väga lihtne põhjendada: arvu moodul on kaugus ja kaugust ei saa väljendada negatiivse arvuna.

Liigume edasi mooduli järgmise omaduse juurde. Arvu moodul on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui see arv on null. Nullmoodul on definitsiooni järgi null. Null vastab lähtepunktile, ükski teine ​​punkt koordinaatjoonel ei vasta nullile, kuna iga reaalarv on seotud koordinaatjoone ühe punktiga. Samal põhjusel vastab iga number peale nulli muule punktile peale lähtepunkti. Ja kaugus lähtepunktist ühegi teise punktini peale punkti O ei ole võrdne nulliga, kuna kahe punkti vaheline kaugus on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui need punktid langevad kokku. Ülaltoodud arutluskäik tõestab, et ainult nullmoodul on võrdne nulliga.

Lase käia. Vastandarvudel on võrdsed moodulid, st mis tahes arvu a jaoks. Tõepoolest, kaks koordinaatjoone punkti, mille koordinaadid on vastandarvud, on lähtepunktist samal kaugusel, mis tähendab, et vastasarvude moodulid on võrdsed.

Järgmine mooduli atribuut on: kahe arvu korrutise moodul on võrdne nende arvude moodulite korrutisega, see on, . Definitsiooni järgi on arvude a ja b korrutise moodul kas a b, kui , või −(a b), kui . Reaalarvude korrutamise reeglitest tuleneb, et arvude a ja b moodulite korrutis on võrdne kas a b , või −(a b) , kui , mis tõendab vaadeldavat omadust.

Jagatis a jagamisel b-ga on võrdne mooduli a jagatise b mooduliga, see on, . Põhjendame seda mooduli omadust. Kuna jagatis on võrdne korrutisega, siis . Eelmise vara tõttu on meil . Jääb vaid kasutada võrdsust , mis kehtib arvu mooduli definitsiooni tõttu.

Järgmine mooduli omadus on kirjutatud ebavõrdsusena: , a , b ja c on suvalised reaalarvud. Kirjalik ebavõrdsus pole midagi muud kui kolmnurga ebavõrdsus. Selle selgeks tegemiseks võtame koordinaatsirgele punktid A(a) , B(b) , C(c) ja vaatleme degenereerunud kolmnurka ABC, mille tipud asuvad samal sirgel. Definitsiooni järgi on erinevuse moodul võrdne lõigu AB pikkusega, - lõigu AC pikkusega ja - lõigu CB pikkusega. Kuna kolmnurga ühegi külje pikkus ei ületa ülejäänud kahe külje pikkuste summat, on ebavõrdsus , seega kehtib ka ebavõrdsus.

Äsja tõestatud ebavõrdsus on vormis palju tavalisem . Kirjutatud ebavõrdsust peetakse tavaliselt mooduli eraldi omaduseks sõnastusega: “ Kahe arvu summa moodul ei ületa nende arvude moodulite summat". Kuid ebavõrdsus tuleneb otseselt ebavõrdsusest, kui panna sellesse b asemel −b ja võtta c=0 .

Kompleksarvu moodul

Anname kompleksarvu mooduli määramine. Olgu meile antud kompleksarv, kirjutatud algebralises vormis , kus x ja y on mõned reaalarvud, mis esindavad vastavalt antud kompleksarvu z reaal- ja imaginaarosa ning on imaginaarne ühik.

Võrratuste ja võrratuste lahendamine mooduliga põhjustab sageli probleeme. Kui aga hästi aru saada, mis on arvu absoluutväärtus, Ja kuidas õigesti laiendada moodulmärki sisaldavaid avaldisi, siis esinemine võrrandis väljend mooduli märgi all lakkab olemast takistus selle lahendamisel.

Natuke teooriat. Igal arvul on kaks tunnust: arvu absoluutväärtus ja selle märk.

Näiteks numbril +5 või lihtsalt 5 on "+" märk ja absoluutväärtus 5.

Arvul -5 on märk "-" ja absoluutväärtus on 5.

Numbrite 5 ja -5 absoluutväärtused on 5.

Arvu x absoluutväärtust nimetatakse arvu mooduliks ja seda tähistatakse |x|.

Nagu näeme, on arvu moodul võrdne arvu endaga, kui see arv on suurem või võrdne nulliga, ja selle arvuga vastupidise märgiga, kui see arv on negatiivne.

Sama kehtib kõigi avaldiste kohta, mis on mooduli märgi all.

Mooduli laiendamise reegel näeb välja selline:

|f(x)|= f(x), kui f(x) ≥ 0 ja

|f(x)|= - f(x), kui f(x)< 0

Näiteks |x-3|=x-3, kui x-3≥0 ja |x-3|=-(x-3)=3-x, kui x-3<0.

Moodulimärgi all olevat avaldist sisaldava võrrandi lahendamiseks peate esmalt mooduli laiendamine mooduli laiendamise reegli kaupa.

Siis meie võrrand või ebavõrdsus teisendatakse kaheks erinevaks võrrandiks, mis eksisteerivad kahel erineval arvulisel intervallil.

Üks võrrand eksisteerib arvulisel intervallil, millel mooduli märgi all olev avaldis on mittenegatiivne.

Ja teine ​​võrrand eksisteerib intervallil, millel mooduli märgi all olev avaldis on negatiivne.

Vaatleme lihtsat näidet.

Lahendame võrrandi:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Avame mooduli.

|x-3|=x-3, kui x-3≥0, s.o. kui x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, kui x-3<0, т.е. если х<3

2. Saime kaks numbrilist intervalli: x≥3 ja x<3.

Mõelge, millisteks võrranditeks algne võrrand igal intervallil teisendatakse:

A) Kui x≥3 |x-3|=x-3, ja meie võrrand näeb välja selline:

Tähelepanu! See võrrand eksisteerib ainult intervallil x≥3!

Avame sulud, anname sarnased terminid:

ja lahendage see võrrand.

Sellel võrrandil on juured:

x 1 \u003d 0, x 2 = 3

Tähelepanu! kuna võrrand x-3=-x 2 +4x-3 eksisteerib ainult intervallil x≥3, siis meid huvitavad vaid need juured, mis sellesse intervalli kuuluvad. See tingimus rahuldab ainult x 2 =3.

B) x juures<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Tähelepanu! See võrrand eksisteerib ainult intervallil x<3!

Avame sulud ja anname sarnased terminid. Saame võrrandi:

x 1 \u003d 2, x 2 = 3

Tähelepanu! kuna võrrand 3-x \u003d -x 2 + 4x-3 eksisteerib ainult intervallil x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Niisiis: esimesest intervallist võtame ainult juur x=3, teisest - juur x=2.

A arvutatakse vastavalt järgmistele reeglitele:

Lühiduse huvides kasutage |a|. Seega |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| =100 jne.

Igas suuruses X vastab üsna täpsele väärtusele | X|. Ja see tähendab identiteet juures= |X| kehtestab juures nagu mõned argument funktsioon X.

Ajakava see funktsioonid allpool esitatud.

Sest x > 0 |x| = x, ja jaoks x< 0 |x|= -x; seoses selle reaga y = | x| juures x> 0 on joondatud joonega y=x(esimese koordinaatnurga poolitaja) ja millal X< 0 - с прямой y = -x(teise koordinaatnurga poolitaja).

Eraldi võrrandid lisada märgi alla tundmatuid moodul.

Selliste võrrandite meelevaldsed näited - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 jne.

Võrrandite lahendamine moodulmärgi all tundmatut sisaldav põhineb asjaolul, et kui tundmatu arvu x absoluutväärtus on võrdne positiivse arvuga a, siis see arv x ise on võrdne kas a või -a-ga.

Näiteks: kui | X| = 10, siis või X=10 või X = -10.

Kaaluge üksikvõrrandite lahendus.

Analüüsime võrrandi | lahendust X- 1| = 2.

Avame mooduli siis vahe X- 1 võib võrduda kas + 2 või - 2. Kui x - 1 = 2, siis X= 3; kui X- 1 = - 2, siis X= - 1. Teeme asendus ja saame, et mõlemad väärtused vastavad võrrandile.

Vastus. Sellel võrrandil on kaks juurt: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Analüüsime võrrandi lahendus | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Pärast mooduli laiendamine saame: või 6-2 X= 3X+ 1 või 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Esimesel juhul X= 1 ja teises X= - 7.

Läbivaatus. Kell X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; tuleneb kohtust X = 1 - juur b antud võrrandid.

Kell x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 = -20; alates 20 ≠ -20, siis X= - 7 ei ole selle võrrandi juur.

Vastus. Kell võrranditel on ainult üks juur: X = 1.

Seda tüüpi võrrandid võivad lahendada ja graafiliselt.

Nii et otsustame Näiteks, graafiline võrrand | X- 1| = 2.

Esmalt ehitame funktsiooni graafik juures = |x— 1|. Joonistame esmalt funktsiooni graafiku. juures=X- 1:

See osa sellest graafika, mis asub telje kohal X me ei muutu. Temale X- 1 > 0 ja seetõttu | X-1|=X-1.

Graafiku osa, mis asub telje all X, kujutada sümmeetriliselt selle telje kohta. Sest selle osa jaoks X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Moodustati selle tulemusena rida(pidev joon) ja tahe funktsiooni graafik y = | X—1|.

See joon lõikub sirge juures= 2 kahes punktis: M 1 abstsissiga -1 ja M 2 abstsissiga 3. Ja vastavalt võrrand | X- 1| =2-l on kaks juurt: X 1 = - 1, X 2 = 3.

Moodul on avaldise absoluutväärtus. Mooduli vähemalt kuidagi tähistamiseks on tavaks kasutada sirgeid sulgusid. Väärtus, mis on paarissulgudes, on väärtus, mis võetakse modulo. Mis tahes mooduli lahendamise protsess seisneb nende samade otsesulgude avamises, mida matemaatilises keeles nimetatakse modulaarseteks sulgudeks. Nende avalikustamine toimub vastavalt teatud arvule reeglitele. Samuti on moodulite lahendamise järjekorras ka nende avaldiste väärtuste komplektid, mis olid mooduli sulgudes. Enamasti laiendatakse moodulit nii, et avaldis, mis oli alammoodul, saab nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi, sealhulgas väärtuse null. Kui lähtuda mooduli väljakujunenud omadustest, siis selle käigus koostatakse algsest avaldisest erinevad võrrandid või võrratused, mis siis vajavad lahendamist. Mõelgem välja, kuidas mooduleid lahendada.

Lahendusprotsess

Mooduli lahendamine algab algse võrrandi kirjutamisega mooduliga. Et vastata küsimusele, kuidas mooduliga võrrandeid lahendada, peate selle täielikult avama. Sellise võrrandi lahendamiseks laiendatakse moodulit. Arvestada tuleb kõiki modulaarseid avaldisi. On vaja kindlaks teha, millistel selle koostises sisalduvate tundmatute koguste väärtustel kaob sulgudes olev modulaarne avaldis. Selleks piisab, kui võrdsustada moodulsulgudes avaldis nulliga ja seejärel arvutada saadud võrrandi lahend. Leitud väärtused tuleb üles märkida. Samamoodi peate määrama ka kõigi selle võrrandi kõigi moodulite tundmatute muutujate väärtused. Järgmisena on vaja käsitleda kõigi muutujate olemasolu avaldistes juhtude määratlemist ja arvessevõtmist, kui need erinevad väärtusest null. Selleks tuleb algses võrratuses kirja panna mingi kõikidele moodulitele vastav võrratuste süsteem. Võrratused tuleb koostada nii, et need kataks kõik numbrireal leiduvad muutuja saadaolevad ja võimalikud väärtused. Seejärel peate visualiseerimiseks joonistama sama numbrirea, millele tulevikus kõik saadud väärtused panna.

Peaaegu kõike saab nüüd teha Internetis. Moodul ei ole reeglite erand. Saate selle Internetis lahendada, kasutades ühte paljudest kaasaegsetest ressurssidest. Kõik need muutuja väärtused, mis on nullmoodulis, on eriline piirang, mida kasutatakse modulaarse võrrandi lahendamise protsessis. Algses võrrandis on vaja laiendada kõiki saadaolevaid moodulsulgusid, muutes samal ajal avaldise märki nii, et soovitud muutuja väärtused langeksid kokku nende väärtustega, mis on numbrireal nähtavad. Saadud võrrand tuleb lahendada. Võrrandi lahendamise käigus saadava muutuja väärtust tuleb kontrollida mooduli enda poolt seatud piiranguga. Kui muutuja väärtus vastab täielikult tingimusele, siis on see õige. Kõik juured, mis saadakse võrrandi lahendamise käigus, kuid ei sobi piirangutega, tuleb ära visata.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsustavasid.