Теорема 2.4. Если последовательности {x n } и {y n } сходятся и при этом x n ≤ y n , n > n 0 , то lim x n ≤ lim y n .
Пусть lim xn = a, |
lim yn = b и a > b. По определению 2.4 предела |
||||||||||||||||||||
последовательности по числу ε = |
найдется номер N такой, что |
||||||||||||||||||||
Следовательно, n > max{n0 , N} yn < |
< xn , что противоречит |
||||||||||||||||||||
условию. |
|||||||||||||||||||||
Замечание. Если последовательности {xn }, {yn } сходятся и для |
|||||||||||||||||||||
всех n > n0 |
xn < yn , то можно утверждать лишь, что lim xn |
≤ lim yn . |
|||||||||||||||||||
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть последовательности
и yn = |
||||
Непосредственно из определения 2.4 следуют и такие результаты.
Теорема 2.5. Если числовая последовательность {x n } сходится и lim x n < b (b R), то N N: x n < b, n > N .
Cледствие. Если последовательность {xn } сходится и lim xn 6= 0, то
N N: sgn xn = sgn(lim xn ), n > N.
Теорема 2.6. Пусть последовательности {x n }, {y n }, {z n } удовлетворяют условиям:
1) x n ≤ yn ≤ zn , n > n0 ,
2) последовательности {x n } и {z n } сходятся и lim x n = lim z n = a.
Тогда последовательность {y n } сходится и lim y n = a.
2.1.3 Бесконечно малые последовательности
Определение 2.7. Числовая последовательность {x n } называется бесконечно малой (коротко б.м.), если она сходится и lim x n = 0.
Согласно определению 2.4 предела числовой последовательности, определение 2.7 эквивалентно следующему:
Определение 2.8. Числовая последовательность {x n } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε найдется номер N = N(ε) такой, что при всех n > N элементы x n этой последовательности удовлетворяют неравенству |x n | < ε.
Итак, {xn } - б.м. ε > 0 N = N(ε) : n > N |xn | < ε.
Из примеров 2, 3 и замечания 1 к теореме 2.3 получаем, что после-
довательности ( |
q −n |
являются бесконечно |
||||||||||||
Свойства бесконечно малых последовательностей описываются следующими теоремами.
Теорема 2.7. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Пусть последовательности {xn }, {yn } - бесконечно малые. Покажем, что таковой будет и {xn + yn }. Зададим ε > 0. Тогда найдется номер
N1 = N1 (ε) такой, что |
||||
|xn | < |
N > N1 , |
|||
и найдется номер N2 = N2 (ε) такой, что |
||||
|yn | < |
N > N2 . |
|||
Обозначим через N = max{N1 , N2 }. При n > N будут справедливы неравенства (2.1) и (2.2) . Поэтому при n > N
|xn + yn | ≤ |xn | + |yn | < 2 + 2 = ε.
Это означает, что последовательность {xn +yn } - бесконечно малая. Утверждение о сумме конечного числа бесконечно малых последо-
вательностей следует из доказанного по индукции.
Теорема 2.8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая.
Пусть {xn } - ограниченная и {yn } - бесконечно малая последовательности. По определению 2.6 ограниченной последовательности найдется число M > 0 такое, что
|xn | ≤ M, n N. |
Зафиксируем произвольное число ε > 0. Так как {yn } - бесконечно малая последовательность, то найдется номер N = N(ε) такой, что
Поэтому последовательность {xn · yn } является бесконечно малой.
Cледствие 1. Произведение бесконечно малой последовательности на сходящуюся есть бесконечно малая последовательность.
Cледствие 2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Пользуясь бесконечно малыми последовательностями, на определение сходящейся последовательности можно посмотреть по-другому.
Лемма 2.1. Для того чтобы число a являлось пределом числовой последовательности {x n } , необходимо и достаточно, чтобы имело место представление x n = a + α n , n N, в котором {α n } - бесконечно малая последовательность.
Необходимость. Пусть lim xn = a и a R. Тогда
ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε.
Если положить αn = xn − a, n N, то получим, что {αn } - бесконечно малая последовательность и xn = a + αn , n N.
Достаточность. Пусть последовательность {xn } такова, что существует число a, для которого xn = a + αn , n N, и lim αn = 0. Зафиксируем произвольное положительное число ε. Так как lim αn = 0, то найдется номер N = N(ε) N такой, что |αn | < ε, n > N. То есть, в других обозначениях, n > N |xn − a| < ε. Это означает, что lim xn = a.
Применим лемму 2.1 к одному важному частному примеру.
Лемма 2.2. lim n n = 1.
√ √
Так как для всех n > 1 n n > 1, то n n = 1 + αn , причем αn > 0 для
всех n > 1. Поэтому n = (1 + α |
)n = 1 + nα |
+ αn . |
|||||||||||||||
Поскольку все слагаемые положительны, n |
|||||||||||||||||
Пусть ε > 0. Так как |
2/n < ε для всех n > 2/ε , то, полагая |
||||||||||||||||
N = max{1, }, получим, что 0 < αn < ε, n > N. Следовательно,
последовательность {αn } является бесконечно малой и, согласно лемме
2.1, lim n n = 1. √
Cледствие. Если a > 1, то lim n a = 1.√ √
Утверждение следует из неравенств 1 < n a ≤ n n , n > [a].
2.1.4 Арифметические операции с последовательностями
Пользуясь леммой 2.1 и свойствами бесконечно малых последовательностей, легко получить теоремы о пределах последовательностей, получаемых с помощью арифметических операций из сходящихся последовательностей.
|b| 3|b|
2 < |y n | < 2
Теорема 2.9. Пусть числовые последовательности {x n } и {y n } сходятся. Тогда имеют место утверждения:
1) последовательность {x n ± y n } сходится и
lim(xn ± yn ) = lim xn ± lim yn ;
2) последовательность {x n · y n } сходится и
lim(xn · yn ) = lim xn · lim yn ;
3) если lim y n 6= 0, то отношение x n /y n определено, начиная с
некоторого номера, последовательность { x n } сходится и
По теореме 2.8 и следствию 1 последовательности {a · βn }, {b · αn }, {αn · βn } являются бесконечно малыми. По теореме 2.7 последовательность {aβn + bαn + αn βn } бесконечно мала. Из представления (2.5) по лемме 2.1 и следует утверждение 2).
Обратимся к утверждению 3). По условию lim yn = b 6= 0. В силу теоремы 2.3. последовательность {|yn |} сходится и lim |yn | = |b| 6= 0. Поэтому по числу ε = |b|/2 найдется номер N такой, что n > N
0 < | 2 b| = |b| −
Следовательно, yn =6 0, и 3|b| < y n < |b| , n > N.
Таким образом, частное xn /yn определено для всех n > N, а последовательность {1/yn } ограничена. Рассмотрим для всех n > N разность
(αn b − aβn ). |
|||||||||||||||||||||
Последовательность |
αn b |
aβn |
Бесконечно малая, |
||||||||||||||||||
ограниченные. По теореме 2.8 последовательность |
|||||||||||||||||||||
− b |
|||||||||||||||||||||
нечно малая. Поэтому, в силу леммы 2.1, утверждение 3) доказано. Cледствие 1. Если последовательность {xn } сходится, то для лю-
бого числа c последовательность {c · xn } сходится и lim(cxn ) = c · lim xn .
Функция
называется
бесконечно малой при
или при
,
если
или
.
Например:
функция
бесконечно малая при
;
функция
бесконечно малая при
.
Замечание
1.
Никакую
функцию без указания направления
изменения аргумента бесконечно малой
назвать нельзя. Так, функция
при
является бесконечно малой, а при
она уже не является бесконечно малой
(
).
Замечание
2.
Из
определения предела функции в точке,
для бесконечно малых функций выполняется
неравенство
.Этим
фактом мы в дальнейшем будем неоднократно
пользоваться.
Установим некоторые важные свойства бесконечно малых функций.
Теорема
(о связи
функции, её предела и бесконечно малой):
Если функция
может быть представлена в виде суммы
постоянного числаА
и бесконечно малой функции
при
,
то число
Доказательство:
Из
условия теоремы следует, что функция
.
Выразим
отсюда
:
.
Поскольку функция
бесконечно малая, для неё справедливо
неравенство
,
тогда для выражения (
)
также выполняется неравенство
А
это значит, что
.
Теорема
(обратная):
если
,
то функция
может быть представлена в виде суммы
числаА
и бесконечно малой при
функции
,
т.е.
.
Доказательство:
Так
как
,
то для
выполняется неравенство
(*) Рассмотрим функцию
как единую и неравенство (*) перепишем
в виде
Из
последнего неравенства следует, что
величина (
)
является бесконечно малой при
.
Обозначим её
.
Откуда
.
Теорема доказана.
Теорема 1 . Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Доказательство:
Проведём доказательство для двух слагаемых, так как для любого конечного числа слагаемых оно приводится аналогично.
Пусть
и
бесконечно малые при
функции и
– сумма этих функций. Докажем, что для
,
существует такое
,
что для всехх
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Так
как функция 
бесконечно малая функция,
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Так
как функция 
бесконечно малая функция,
,
а следовательно существует такое
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Возьмём
равным меньшему из чисел
и
,
тогда в
–окрестности
точкиа
будут выполняться неравенства
,
.
Составим
модуль функции
и оценим его значение.
То есть
,
тогда функция бесконечно малая,
что и требовалось доказать.
Теорема
2.
Произведение
бесконечно малой функции
при
на ограниченную функцию
есть бесконечно малая функция.
Доказательство:
Так
как функция
ограниченная, то существует такое
положительное число
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Так
как функция
бесконечно малая при
,
то существует такая
–окрестность
точки
,
что для всех
их этой окрестности выполняется
неравенство
.
Рассмотрим
функцию
и оценим её модуль
Итак
,
а тогда
– бесконечно малая.
Теорема доказана.
Теоремы о пределах.
Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций
Доказательство:
Для доказательства достаточно рассмотреть две функции, это не нарушит общности рассуждений.
Пусть
,
.
По
теореме о связи функции, её предела и
бесконечно малой, функции
и
можно представить в виде
где
и
– бесконечно малые при
.
Найдём
сумму функций
и
Величина
есть постоянная величина,
– величина бесконечно малая. Таким
образом, функция
представлена в виде суммы постоянной
величины и бесконечно малой функции.
Тогда
число
является пределом функции
,
т.е.
Теорема доказана.
Теорема 2 . Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций
Доказательство:
Не
нарушая общности рассуждений, проведём
доказательство для двух функций
и
.
Пусть
,
тогда
,
Найдём
произведение функций
и
Величина
есть постоянная величина,бесконечно малая функция. Следовательно,
число
является пределом функции
,
то есть справедливо равенство
Следствие:
.
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля
.
Доказательство:
Пусть
,
Тогда
,
.
Найдём
частное
и проделаем над ним некоторые тождественные
преобразования
Величина
постоянная, дробь
бесконечно малая. Следовательно, функция
представлена в виде суммы постоянного
числа и бесконечно малой функции.
Тогда
.
Замечание.
Теоремы 1–3 доказаны для случая
.
Однако, они могут быть применимы при
,
поскольку доказательство теорем в этом
случае проводится аналогично.
Например. Найти пределы:
Первый и второй замечательные пределы.
Функция
не определена при
.
Однако её значения в окрестности точки
нуль существуют. Поэтому можно
рассматривать предел этой функции при
.
Этот предел носит названиепервого
замечательного
предела
.
Он
имеет вид: 
.
Например
.
Найти пределы: 1.
.
Обозначают
,
если
,
то
.
;
2.
.
Преобразуем данное выражение так, чтобы
предел свёлся к первому замечательному
пределу.
;
3..
Рассмотрим
переменную величину вида
,
в которой
принимает значения натуральных чисел
в порядке их возрастания. Дадим
различные значения: если
Давая
следующие значения из множества
,
нетрудно увидеть, что выражение
при
будет
.
Более того, доказывается, что
имеет предел. Этот предел обозначается
буквой
:
.
Число
иррациональное:
.
Теперь
рассмотрим предел функции
при
.
Этот предел называетсявторым
замечательным пределом
Он
имеет вид
.
Например.
а)
.
Выражение
заменим произведением
одинаковых сомножителей
,
применим теорему о пределе произведения
и второй замечательный предел;
б)
.
Положим
,
тогда
,
.
Второй замечательный предел используется взадаче о непрерывном начислении процентов
При начислении денежных доходов по вкладам часто пользуются формулой сложных процентов, которая имеет вид:
,
где
-
первоначальный вклад,
-
ежегодный банковский процент,
-
число начислений процентов в год,
-
время, в годах.
Однако, в теоретических исследованиях при обосновании инвестиционных решений чаще пользуются формулой экспоненциального (показательного) закона роста
.
Формула показательного закона роста получена как результат применения второго замечательного предела к формуле сложных процентов
Непрерывность функций.
Рассмотрим
функцию
определённую в некоторой точке
и некоторой окрестности точки
.
Пусть в указанной точке функция имеет
значение
.
Определение
1. Функция
называется
непрерывной в точке
,
если она определена в окрестности точки, включая саму точку и
.
Определение непрерывности можно сформулировать иначе.
Пусть
функция
определена при некотором значении
,
.
Если аргументу
дать приращение
,
то функция получит приращение
Пусть
функция в точке
непрерывна (по первому определению
непрерывности функции в точке),
То
есть, если функция непрерывна в точке
,
то бесконечно малому приращению аргумента
в этой точке соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Справедливо и обратное предложение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна.
Определение
2. Функция
называется непрерывной при
(в точке
),
если она определена в этой точке и
некоторой её окрестности и если
.
Учитывая первое и второе определение непрерывности функции в точке можно получить следующее утверждение:
или
,
но
,
тогда
.
Следовательно,
для того чтобы найти предел непрерывной
функции при
достаточно в аналитическое выражение
функции вместо аргумента
подставить его значение
.
Определение 3. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.
Например:
Пример
1. Доказать, что функция
непрерывна во всех точках области
определения.
Воспользуемся
вторым определением непрерывности
функции в точке. Для этого возьмём любое
значение аргумента
и дадим ему приращение
.
Найдём соответствующее приращение
функции
Пример
2. Доказать, что функция
непрерывна во всех точках
из
.
Дадим
аргументу
приращение
,
тогда функция получит приращение
Найдём
так как
функция
,
то есть ограничена.
Аналогично можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках области их определения, то есть область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.
Определение
4. Если функция
непрерывна в каждой точке некоторого
интервала
,
то говорят, что функция непрерывна на
этом интервале.
Определения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Доказательства свойств и теорем. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
СодержаниеСм. также:
Бесконечно малые последовательности - определение и свойства
Свойства бесконечно больших последовательностей
Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции
Пусть x 0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞ , -∞ или +∞ .
Определение бесконечно малой функции
Функция α(x)
называется бесконечно малой
при x
стремящемся к x 0
0
,
и он равен нулю:
.
Определение бесконечно большой функции
Функция f(x)
называется бесконечно большой
при x
стремящемся к x 0
,
если функция имеет предел при x → x 0
,
и он равен бесконечности:
.
Свойства бесконечно малых функций
Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x 0 является бесконечно малой функцией при x → x 0 .
Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции .
Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , на бесконечно малую, при x → x 0 , является бесконечно малой функцией при x → x 0 .
Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции
Для того, чтобы функция f(x)
имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при x → x 0
.
Свойства бесконечно больших функций
Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
и бесконечно большой функции, при x → x 0
,
является бесконечно большой функцией при x → x 0
.
Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую
Если функция f(x)
является бесконечно большой при x → x 0
,
а функция g(x)
- ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то
.
Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x 0
:
,
и существует проколотая окрестность точки ,
на которой ,
то
.
Свойство неравенств бесконечно больших функций
Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и ,
на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.
Это свойство имеет два частных случая.
Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки ,
функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если ,
то и .
Если ,
то и .
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то можно записать так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
,
или .
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Доказательство свойств и теорем
Доказательство теоремы о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся . А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому
Пусть функция является бесконечно малой при ,
а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .
Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой определена функция . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .
.
,
a последовательность является бесконечно малой:
.
Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность:
.
.
Теорема доказана.
Доказательство свойства о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции
Необходимость
. Пусть функция имеет в точке конечный предел
.
Рассмотрим функцию:
.
Используя свойство предела разности функций , имеем:
.
То есть есть бесконечно малая функция при .
Достаточность
. Пусть и .
Применим свойство предела суммы функций :
.
Свойство доказано.
Доказательство теоремы о сумме ограниченной функции и бесконечно большой
Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне
при .
Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и .
Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой:
.
Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую
Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне . Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому является бесконечно малой последовательностью.
Пусть функция является бесконечно большой при ,
а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .
Поскольку функция бесконечно большая, то существует проколотая окрестность точки ,
на которой она определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и .
Тогда на ней определены функции и .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и .
Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой с отличными от нуля членами:
,
.
Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую
Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне . Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому является бесконечно большой последовательностью.
Пусть функция является бесконечно малой при ,
а функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .
По условию существует проколотая окрестность точки ,
на которой функция определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и .
Тогда на ней определены функции и .
Причем и .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и .
Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно малой с отличными от нуля членами:
,
.
Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то
.
И пусть имеется проколотая окрестность точки ,
на которой
при .
Возьмем произвольную последовательность ,
сходящуюся к .
Тогда, начиная с некоторого номера N
,
элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности:
при .
Тогда
при .
Согласно определению предела функции по Гейне,
.
Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
.
Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к ,
то по определению предела функции по Гейне,
.
Свойство доказано.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные функции
Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
О.1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А (сколь большим бы мы его не взяли) существует номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | х п | › А, т.е. какое бы большое число А мы не взяли, найдется такой номер, начиная с которого все члены последовательности окажутся больше А.
Определение 6 . Последовательность {α п } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε (сколь малым бы мы его не взяли) существует номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | α п | ‹ε.
1. Последовательность {п} является бесконечно большой.
2. Последовательность {} является бесконечно малой.
Теорема 1. Если {х п } - бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, х п ≠0, то последовательность {α п }=- бесконечно малая, и, обратно, если {α п } бесконечно малая последовательность, α п ≠0, то последовательность {х п }=бесконечно большая.
Сформулируем основные свойства бесконечно малых последовательностей в виде теорем.
Теорема 2. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.
Пример 2. Последовательность с общим членом бесконечно малая, т.к. т.е заданная последовательность является суммой бесконечно малых последовательностей и и поэтому является бесконечно малой.
Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть любой последовательностью и может не иметь смысла.
Например, если , , то все элементы последовательности равны 1 и данная последовательность является ограниченной. Если , , то последовательность - бесконечно большая, и наоборот, если , а , то - бесконечно малая последовательность. Если начиная с некоторого номера элементы последовательности равны нулю, то последовательность не имеет смысла.
Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
Пример 3. Последовательность бесконечно малая, т.к. и последовательность {}- бесконечно малая, последовательность - ограничена, т.к. ‹ 1. Следовательно, - бесконечно малая последовательность.
Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, δ=δ(М)), что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
Записывают: или при .
Например, функция есть бесконечно большая функция при ; функция при .
Если f(x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут , если лишь отрицательные значения, то .
Определение. Функция f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, N=N(М)), что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
Например, функция у=2 х есть бесконечно большая функция при ; функция является бесконечно большой функцией при .
Свойства бесконечно больших функций:
1. Произведение б.б.ф. на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б.б.ф.
2. Сумма б.б.ф. и ограниченной функции есть б.б.ф.
3. Частное от деления б.б.ф. на функцию, имеющую предел, есть б.б.ф.
Например, если функция f(x)=tgx есть б.б.ф. при , функция φ(х)=4х-3 при имеет предел (2π-3) отличный от нуля, а функция ψ(х)=sinx – ограниченная функция, то
f(x) φ(х)=(4х-3) tgx; f(x) + ψ(х)= tgx + sinx; есть бесконечно большие функции при .
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при , если
По определению предела функции равенство (1) означает: для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
Теорема. Для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой при . При этом функция может быть представлена в виде .
Аналогично определяется б.м.ф. при ,- 0, , во всех случаях f(x)0.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, β и т.д.
Например, у=х 2 при х→0; у=х-2 при х→2; у=sinx при х→πк, - бесконечно малые функции.
Свойства бесконечно малых функций:
1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая;
2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций, а также бесконечно малой функции на ограниченную функция, есть величина бесконечно малая;
3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нолю, если величина бесконечно малая.
Рассмотрим последнее свойство при если функции и являются бесконечно малыми (Сравнение бесконечно малых функций):
1). Если , то называется бесконечно малой, более высокого порядка малости, чем .
Пример . При х→2 функция (х - 2) 3 бесконечно малая более высокого порядка, чем (х -2), так как .
2). Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка (имеют одинаковую скорость стремления к нолю);
Пример . При х→0 функции 5х 2 и х 2 являются бесконечно малыми одного порядка, так как .
3). Если ,то и называются эквивалентными бесконечно малыми, обозначаются ~., то
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями: функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой (и наоборот), т.е. если - бесконечно малая функция, то - бесконечно большая.
Исчисление бесконечно малых и больших
Исчисление бесконечно малых - вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений , составляющих основу современной высшей математики . Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела .
Бесконечно малая
Последовательность a n называется бесконечно малой , если . Например, последовательность чисел - бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки
x
0
, если 
.
Функция называется бесконечно малой на бесконечности
, если 
либо 
.
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если 
, то f
(x
) − a
= α(x
)
, .
Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция x sinx , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность a
n
называется бесконечно большой
, если 
.
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки
x
0
, если 
.
Функция называется бесконечно большой на бесконечности
, если 
либо 
.
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших
Сравнение бесконечно малых величин
Как сравнивать бесконечно малые величины?
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .
Определения
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x ) и β(x ) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя .
Примеры сравнения
С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x 5 = o (x 3). В данном случае справедливы записи 2x 2 + 6x = O (x ) и x = O (2x 2 + 6x ).Эквивалентные величины
Определение
Если , то бесконечно малые величины α
и β
называются эквивалентными
().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.
При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т.н. замечательных пределов):
Теорема
Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной .Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).
Пример использования
Заменяя s i n 2x эквивалентной величиной 2x , получаем
Исторический очерк
Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» - разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.
В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем - в его интегрировании .
Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок »; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.
Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине века нестандартного анализа , который доказал, что первоначальная точка зрения - актуальные бесконечно малые - также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Бесконечно малая величина" в других словарях:
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА - переменная величина в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично приближается (стремится) к нулю … Большая политехническая энциклопедия
Бесконечно малая величина - ■ Нечто неизвестное, но имеет отношение к гомеопатии … Лексикон прописных истин
