Եկեք ունենանք ձևի հավասարմամբ սահմանված մակերես

Ներկայացնենք հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում 1. Ուղիղ գիծը կոչվում է շոշափող մակերեսին ինչ-որ կետում, եթե այն կա

մակերեսի վրա ընկած և կետով անցնող ցանկացած կորի շոշափում:

Քանի որ մակերեսի վրա ընկած անսահման թվով տարբեր կորեր անցնում են P կետով, ապա, ընդհանուր առմամբ, այս կետով անցնող մակերեսին անսահման թվով շոշափողներ կլինեն։

Ներկայացնենք մակերեսի եզակի և սովորական կետերի հասկացությունը

Եթե ​​մի կետում բոլոր երեք ածանցյալները հավասար են զրոյի կամ այդ ածանցյալներից գոնե մեկը գոյություն չունի, ապա M կետը կոչվում է մակերեսի եզակի կետ: Եթե ​​մի կետում բոլոր երեք ածանցյալները գոյություն ունեն և շարունակական են, և դրանցից առնվազն մեկը տարբերվում է զրոյից, ապա M կետը կոչվում է մակերեսի սովորական կետ:

Այժմ մենք կարող ենք ձևակերպել հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ. Բոլոր շոշափող ուղիղները տրված մակերեսին (1) նրա սովորական P կետում գտնվում են նույն հարթության վրա:

Ապացույց. Դիտարկենք մակերևույթի L որոշակի գիծ (նկ. 206), որն անցնում է մակերեսի տվյալ P կետով։ Դիտարկվող կորը թող տրվի պարամետրային հավասարումներով

Կորին շոշափողը կլինի մակերեսին շոշափող: Այս շոշափողի հավասարումները ունեն ձև

Եթե ​​(2) արտահայտությունները փոխարինվեն (1) հավասարմամբ, ապա այս հավասարումը կվերածվի նույնականության t-ի նկատմամբ, քանի որ կորը (2) գտնվում է (1) մակերեսի վրա: Տարբերակելով այն՝ մենք ստանում ենք

Այս վեկտորի կանխատեսումները կախված են - P կետի կոորդինատներից; Նկատի ունեցեք, որ քանի որ P կետը սովորական է, P կետում այս կանխատեսումները միաժամանակ չեն անհետանում և հետևաբար

P կետով անցնող և մակերեսի վրա ընկած կորին շոշափող: Այս վեկտորի կանխատեսումները հաշվարկվում են (2) հավասարումների հիման վրա՝ P կետին համապատասխան t պարամետրի արժեքով։

Եկեք հաշվարկենք սկալյար արտադրանքվեկտորներ N և որը հավասար է համանուն պրոյեկցիաների արտադրյալների գումարին.

Ելնելով հավասարությունից (3)՝ աջ կողմի արտահայտությունը հավասար է զրոյի, հետևաբար.

Վերջին հավասարությունից հետևում է, որ LG վեկտորը և P կետում կորի (2) շոշափող վեկտորը ուղղահայաց են։ Վերոհիշյալ հիմնավորումը վավեր է ցանկացած կորի (2) համար, որն անցնում է P կետով և ընկած է մակերեսի վրա: Հետևաբար, P կետի մակերեսին յուրաքանչյուր շոշափող ուղղահայաց է նույն N վեկտորին և, հետևաբար, այս բոլոր շոշափողներն ընկած են LG վեկտորին ուղղահայաց նույն հարթությունում: Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում 2. Այն հարթությունը, որում գտնվում են իր տվյալ P կետով անցնող մակերևույթի բոլոր շոշափող գծերը, կոչվում է P կետի մակերեսին շոշափող հարթություն (նկ. 207):

Նկատի ունեցեք, որ մակերեսի եզակի կետերում կարող է շոշափող հարթություն չլինել: Նման կետերում մակերեսին շոշափող գծերը չեն կարող ընկած լինել նույն հարթության վրա: Օրինակ, կոնաձեւ մակերեսի գագաթը եզակի կետ է:

Կոնաձև մակերևույթի շոշափողներն այս կետում չեն գտնվում նույն հարթության մեջ (նրանք իրենք են կազմում կոնաձև մակերես):

Գրենք սովորական կետում (1) մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը։ Քանի որ այս հարթությունը ուղղահայաց է վեկտորին (4), հետևաբար, դրա հավասարումն ունի ձև

Եթե ​​մակերևույթի հավասարումը տրված է ձևով, կամ շոշափող հարթության հավասարումն այս դեպքում ստանում է ձև.

Մեկնաբանություն. Եթե ​​դնենք (6) բանաձևը, ապա այս բանաձևը կընդունի ձևը

նրա աջ մասներկայացնում է ֆունկցիայի ամբողջական դիֆերենցիալը: Հետևաբար, . Այսպիսով, x և y անկախ փոփոխականների աճին համապատասխանող կետում երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալը հավասար է մակերեսին շոշափող հարթության կիրառման համապատասխան աճին, որն այս ֆունկցիայի գրաֆիկն է։

Սահմանում 3. Շոշափող հարթությանը ուղղահայաց մակերևույթի (1) կետի միջով գծված ուղիղ գիծը կոչվում է մակերևույթի նորմալ (նկ. 207):

Գրենք նորմալ հավասարումները։ Քանի որ նրա ուղղությունը համընկնում է N վեկտորի ուղղության հետ, նրա հավասարումները կունենան ձև

Ներբեռնեք Depositfiles-ից

4. ՄԱԿԵՐՊԵՍՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ.

4.1 Մակերեւութային ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ.

Եռաչափ տարածության մակերեսը կարելի է նշել.

1) անուղղակիորեն. Ֆ ( x , y , զ ) =0 (4.1)

2) հստակորեն. զ = զ ( x , y ) (4.2)

3) պարամետրային՝ (4.3)

կամ:
(4.3’)

որտեղ են սկալյար փաստարկները
երբեմն կոչվում են կորագիծ կոորդինատներ: Օրինակ՝ ոլորտը
հարմար է գնդաձև կոորդինատներում նշել.
.

4.2 Շոշափող հարթություն և Մակերեւույթին նորմալ:

Եթե ​​գիծն ընկած է մակերևույթի վրա (4.1), ապա դրա կետերի կոորդինատները բավարարում են մակերեսի հավասարումը.

Տարբերակելով այս ինքնությունը՝ մենք ստանում ենք.

(4.4)

կամ
(4.4 ’ )

մակերեսի կորի յուրաքանչյուր կետում: Այսպիսով, գրադիենտ վեկտորը մակերեսի ոչ եզակի կետերում (որում ֆունկցիան (4.5) տարբերելի է և
) ուղղահայաց է շոշափող վեկտորներին մակերևույթի ցանկացած գծերի նկատմամբ, այսինքն կարող է օգտագործվել որպես նորմալ վեկտոր M կետում շոշափող հարթության հավասարումը կազմելու համար։ 0 (x 0 , y 0 , զ 0 ) մակերեւույթ

(4.6)

և որպես ուղղության վեկտոր նորմալ հավասարման մեջ.

(4.7)

Մակերեւույթի հստակ (4.2) ճշգրտման դեպքում շոշափող հարթության և նորմալի հավասարումները համապատասխանաբար ստանում են ձևը.

(4.8)

Եվ
(4.9)

Մակերեւույթի պարամետրային ներկայացմամբ (4.3) վեկտորները
գտնվում է շոշափող հարթության մեջ, և շոշափողի հարթության հավասարումը կարելի է գրել այսպես.

(4.10)

և դրանց վեկտորային արտադրյալը կարող է ընդունվել որպես ուղղության նորմալ վեկտոր.

իսկ նորմալ հավասարումը կարելի է գրել այսպես.

(4.11)

Որտեղ
- պարամետրերի արժեքները, որոնք համապատասխանում են M կետին 0 .

Հետևյալում մենք կսահմանափակվենք դիտարկելով միայն այնպիսի մակերեսային կետեր, որտեղ վեկտորները

հավասար չէ զրոյի և ոչ զուգահեռ:

Օրինակ 4.1 Մ կետում շոշափող հարթության և նորմալի համար ստեղծե՛ք հավասարումներ 0 (1,1,2) հեղափոխության պարաբոլոիդի մակերեսին
.

Լուծում. Քանի որ պարաբոլոիդի հավասարումը տրված է հստակ, ապա ըստ (4.8) և (4.9) մենք պետք է գտնենք.
կետում Մ 0 :

, իսկ M 0 կետում
. Այնուհետեւ շոշափող հարթության հավասարումը M կետում 0-ը կունենա հետևյալ ձևը.

2(x -1)+2(y -1)-(զ-2)=0 կամ 2 x +2 y – զ - 2=0, իսկ նորմալ հավասարումը
.

Օրինակ 4.2 Կազմեք հավասարումներ շոշափողի հարթության և նորմալի համար ուղղաթիռի կամայական կետում
, .

Լուծում. Այստեղ,

Շոշափող հարթության հավասարումը.

կամ

Նորմալ հավասարումներ.

.

4.3 ԱՌԱՋԻՆ ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՄԱԿԵՐԵՎՈՒԹՅԱՆ ՁԵՎԸ.

Եթե ​​մակերեսը տրված է հավասարմամբ

ապա կորը
այն կարող է տրվել հավասարման միջոցով
(4.12)

Շառավիղի վեկտորային դիֆերենցիալ
կորի երկայնքով՝ M կետից տեղաշարժին համապատասխան 0 M կետին մոտ, հավասար է

(4.13)

Որովհետեւ
նույն տեղաշարժին համապատասխան կորի աղեղի դիֆերենցիալն է), ապա

(4.14)

Որտեղ.

(4.14)-ի աջ կողմի արտահայտությունը կոչվում է մակերեսի առաջին քառակուսի ձև և հսկայական դեր է խաղում մակերեսների տեսության մեջ։

Ես ինտեգրում եմ դիֆերենցիալըդսսկսած տ 0 (համապատասխանում է Մ 0) դեպի տ (համապատասխանում է M կետին), ստանում ենք կորի համապատասխան հատվածի երկարությունը

(4.15)

Իմանալով մակերևույթի առաջին քառակուսի ձևը՝ կարող եք գտնել ոչ միայն երկարությունները, այլև կորերի միջև ընկած անկյունները:

Եթե դու , dv կորագիծ կոորդինատների դիֆերենցիալներ են, որոնք համապատասխանում են մեկ կորի երկայնքով անվերջ փոքր տեղաշարժին, և
- մյուս կողմից, ապա հաշվի առնելով (4.13).

(4.16)

Օգտագործելով բանաձև

(4.17)

առաջին քառակուսի ձևը հնարավորություն է տալիս հաշվարկել շրջանի տարածքը
մակերեսներ.

Օրինակ 4.3 Helicoid-ի վրա գտե՛ք պարույրի երկարությունը
երկու կետերի միջև։

Լուծում. Քանի որ խխունջի վրա
, Դա . Եկեք գտնենք կետում
առաջին քառակուսի ձևը. Նշանակվելով ևv = տ , մենք ստանում ենք այս պարուրաձև գծի հավասարումը ձևով. Քառակուսի ձև.

= - առաջին քառակուսի ձև:

Այստեղ . Բանաձևում (4.15) այս դեպքում
և աղեղի երկարությունը.

=

4.4 ԵՐԿՐՈՐԴ ՔԱՌԱՆՑ Մակերեւութային Ձև:

Նշենք
- մակերեսին նորմալ միավոր վեկտոր
:

(4.18) . (4.23)

Մակերեւույթի վրա գտնվող գիծը կոչվում է կորության գիծ, ​​եթե նրա ուղղությունը յուրաքանչյուր կետում հիմնական ուղղությունն է:

4.6.

Սահմանում 4.1 . Մակերեւույթի կորը կոչվում է գեոդեզիական, եթե դրա հիմնական նորմալ է յուրաքանչյուր կետում, որտեղ կորությունը զրոյական չէ, այն համընկնում է նորմալի հետ մակերեսին.

Մակերեւույթի յուրաքանչյուր կետով ցանկացած ուղղությամբ անցնում է, և միայն մեկ գեոդեզիական: Գնդի վրա, օրինակ, մեծ շրջանակները գեոդեզիա են։

Մակերեւույթի պարամետրացումը կոչվում է կիսագեոդեզիկ, եթե կոորդինատային գծերի մի ընտանիքը բաղկացած է գեոդեզիկներից, իսկ երկրորդը ուղղահայաց է դրան: Օրինակ՝ գնդերի վրա կան միջօրեականներ (գեոդեզիկա) և զուգահեռներ։

Բավականաչափ փոքր հատվածի գեոդեզիկան ամենակարճն է դրան մոտ գտնվող բոլոր կորերի մեջ, որոնք միացնում են նույն կետերը:

Սովորական հարթության հավասարում

1.

4.

Շոշափող հարթությունը և մակերեսը նորմալ են

Թող որոշ մակերես տրվի, A-ն մակերեսի ֆիքսված կետն է, իսկ B-ն մակերեսի փոփոխական կետն է,

(նկ. 1):

Ոչ զրոյական վեկտոր

→

n

կանչեց նորմալ վեկտորմակերեսին A կետում, եթե

լիմ B → A j = π 2 .

Մակերեւութային F (x, y, z) = 0 կետը կոչվում է սովորական, եթե այս կետում

1. մասնակի ածանցյալները F " x , F " y , F " z շարունակական են.
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0:

Եթե ​​այս պայմաններից գոնե մեկը խախտված է, ապա մակերեսային կետը կոչվում է մակերեսի հատուկ կետ .

Թեորեմ 1.Եթե ​​M ​​(x 0 , y 0 , z 0 ) մակերեսի սովորական կետն է F (x , y , z) = 0 , ապա վեկտորը

→ n = աստիճան F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → ես + F "y (x 0, y 0, z 0) → ժ + F "z (x 0, y 0, z 0) → կ

(1)

նորմալ է այս մակերեսին M կետում (x 0, y 0, z 0):

Ապացույցգրքում տրված Ի.Մ. Պետրուշկո, Լ.Ա. Կուզնեցովա, Վ.Ի. Պրոխորենկոն, Վ.Ֆ. Սաֆոնովա «Բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթաց. ինտեգրալ հաշվարկ. Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ: Դիֆերենցիալ հավասարումներ. M.: Հրատարակչություն MPEI, 2002 (էջ 128):

Նորմալ մակերեսինինչ-որ կետում կա ուղիղ գիծ, ​​որի ուղղության վեկտորը նորմալ է այս կետի մակերեսին և անցնում է այս կետով:

Կանոնական նորմալ հավասարումներկարող է ներկայացվել ձևով

x − x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y − y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z − z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Շոշափող հարթությունորոշակի կետում գտնվող մակերեսին մի հարթություն է, որն անցնում է այս կետով, որը ուղղահայաց է այս կետի մակերեսին նորմալին:

Այս սահմանումից բխում է, որ շոշափող հարթության հավասարումըունի ձև.

(3)

Եթե ​​մակերևույթի մի կետը եզակի է, ապա այդ կետում մակերեսին նորմալ վեկտորը կարող է գոյություն չունենալ, և, հետևաբար, մակերեսը չի կարող ունենալ նորմալ և շոշափող հարթություն:

Երկրաչափական իմաստ լրիվ դիֆերենցիալերկու փոփոխականների ֆունկցիաներ

Թող z = f (x, y) ֆունկցիան տարբերելի լինի a կետում (x 0, y 0): Դրա գրաֆիկը մակերեսն է

f (x, y) − z = 0:

Դնենք z 0 = f (x 0 , y 0 ): Այնուհետեւ A կետը (x 0 , y 0 , z 0 ) պատկանում է մակերեսին։

F (x, y, z) = f (x, y) − z ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներն են.

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

և A կետում (x 0 , y 0 , z 0 )

1. դրանք շարունակական են;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0:

Հետևաբար, A-ն F մակերեսի սովորական կետն է (x, y, z) և այս կետում կա մակերեսին շոշափող հարթություն: Համաձայն (3) շոշափողի հարթության հավասարումն ունի ձև.

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0։

Շոշափող հարթության վրա կետի ուղղահայաց տեղաշարժը a (x 0, y 0) կետից կամայական p (x, y) կետ տեղափոխելիս B Q է (նկ. 2): Դիմումների համապատասխան աճն է

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Այստեղ աջ կողմում կա դիֆերենցիալ դ z ֆունկցիա z = f (x, y) a կետում (x 0, x 0): Հետևաբար,
դ f (x 0, y 0): (x, y) կետում (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) կետում շոշափող հարթության կետի կիրառման ավելացումն է f ֆունկցիայի գրաֆիկին:

Դիֆերենցիալի սահմանումից հետևում է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկի P կետի և շոշափող հարթության վրա Q կետի միջև հեռավորությունը անվերջ ավելի շատ է. բարձր կարգքան p կետից a կետ հեռավորությունը:

Դիտարկենք մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական կիրառությունները։ Թող երկու փոփոխականների ֆունկցիան անուղղակիորեն նշվի. Այս ֆունկցիան իր սահմանման տիրույթում ներկայացված է որոշակի մակերեսով (Բաժին 5.1): Եկեք կամայական կետ վերցնենք այս մակերեսի վրա , որոնցում բոլոր երեք մասնակի ածանցյալները՝ , գոյություն ունեն և շարունակական են, և դրանցից առնվազն մեկը հավասար չէ զրոյի։

Նման բնութագրերով կետը կոչվում է սովորական մակերեսային կետ. Եթե ​​վերը նշված պահանջներից գոնե մեկը չի բավարարվում, ապա կետը կոչվում է հատուկ մակերեսային կետ.

Մակերեւույթի վրա ընտրված կետի միջոցով կարելի է գծել բազմաթիվ կորեր, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է ունենալ շոշափող:

Սահմանում 5.8.1 . Այն հարթությունը, որում գտնվում են որոշակի կետով անցնող մակերևույթի գծերի բոլոր շոշափող գծերը, կոչվում է շոշափող հարթություն տվյալ կետում: .

Տրված հարթությունը գծելու համար բավական է ունենալ երկու շոշափող գիծ, ​​այսինքն՝ մակերեսի վրա երկու կոր։ Սրանք կարող են լինել կորեր, որոնք ստացվել են տվյալ մակերեսը հարթություններով կտրելու արդյունքում (նկ. 5.8.1):

Գրենք շոշափող ուղիղի հավասարումը մակերևույթի և հարթության խաչմերուկում ընկած կորի վրա: Քանի որ այս կորը գտնվում է կոորդինատային համակարգում, կետում դրան շոշափողի հավասարումը, համաձայն 2.7 կետի, ունի ձև.

. (5.8.1)

Համապատասխանաբար, նույն կետում կոորդինատային համակարգում գտնվող մակերեսի և հարթության հատման կետում ընկած կորի շոշափման հավասարումը ունի ձև.

. (5.8.2)

Եկեք օգտագործենք արտահայտությունը ածանցյալի համար անուղղակիորեն տրված գործառույթը(կետ 5.7): Հետո, էհ. Այս ածանցյալները (5.8.1) և (5.8.2) փոխարինելով՝ մենք համապատասխանաբար ստանում ենք.

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Քանի որ ստացված արտահայտությունները ոչ այլ ինչ են, քան կանոնական ձևով տողերի հավասարումներ (հատված 15), ապա (5.8.3) մենք ստանում ենք ուղղության վեկտորը. , և սկսած (5.8.4) – . Խաչաձև արտադրյալը կտա վեկտոր նորմալ տրված շոշափող գծերին և հետևաբար շոշափող հարթությանը.

Դրանից բխում է, որ կետում գտնվող մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը ունի ձևը (կետ 14).

Սահմանում 5.8.2 . Կետի միջով գծված ուղիղ գիծ Այս կետում շոշափող հարթությանը ուղղահայաց մակերեսը կոչվում է մակերեսին նորմալ.

Քանի որ դեպի մակերևույթ նորմալի ուղղության վեկտորը համընկնում է դեպի շոշափող հարթության նորմալի հետ, ապա նորմալ հավասարումը ունի ձև.

.

Սկալյար դաշտ

Թող տարածքը նշվի տարածության մեջ՝ զբաղեցնելով այս տարածության մի մասը կամ ամբողջը: Թող այս տարածքի յուրաքանչյուր կետ, ըստ ինչ-որ օրենքի, կապված լինի որոշակի սկալյար մեծության (թվի) հետ։

Սահմանում 5.9.1 . Տարածության տարածքը, որի յուրաքանչյուր կետը, ըստ հայտնի օրենքի, կապված է որոշակի սկալյար մեծության հետ, կոչվում է սկալյար դաշտ։.

Եթե ​​ինչ-որ կոորդինատային համակարգ կապված է տարածքի հետ, օրինակ՝ ուղղանկյուն դեկարտյան համակարգ, ապա յուրաքանչյուր կետ ձեռք է բերում իր կոորդինատները։ Այս դեպքում սկալյար մեծությունը դառնում է կոորդինատների ֆունկցիա՝ հարթության վրա – , եռաչափ տարածության մեջ – . Ինքնին ֆունկցիան, որը նկարագրում է այս դաշտը, հաճախ կոչվում է սկալյար դաշտ: Կախված տարածության չափից՝ սկալյար դաշտը կարող է լինել հարթ, եռաչափ և այլն։

Պետք է ընդգծել, որ սկալյար դաշտի մեծությունը կախված է միայն կետի դիրքից տարածաշրջանում, բայց կախված չէ կոորդինատային համակարգի ընտրությունից։

Սահմանում 5.9.2 . Սկալյար դաշտը, որը կախված է միայն տարածաշրջանի կետի դիրքից, բայց կախված չէ ժամանակից, կոչվում է անշարժ..

Ոչ ստացիոնար սկալյար դաշտերը, այսինքն՝ ժամանակից կախված, չեն դիտարկվի այս բաժնում:

Սկալյար դաշտերի օրինակները ներառում են ջերմաստիճանի դաշտը, մթնոլորտում ճնշման դաշտը և օվկիանոսի մակարդակից բարձրության դաշտը:

Երկրաչափական առումով սկալյար դաշտերը հաճախ ներկայացված են այսպես կոչված գծերի կամ հարթ մակերեսների միջոցով:

Սահմանում 5.9.3 . Տիեզերքի բոլոր կետերի բազմությունը, որտեղ սկալյար դաշտը ունի նույն նշանակությունը, որը կոչվում է հարթ մակերես կամ համարժեք մակերես: Սկալյար դաշտի հարթ դեպքում այս բազմությունը կոչվում է մակարդակի գիծ կամ համարժեքային գիծ.

Ակնհայտ է, որ մակարդակի մակերեսի հավասարումը ունի ձև , մակարդակի գծեր – . Այս հավասարումների մեջ հաստատուն տարբեր արժեքներ տալով՝ մենք ստանում ենք մակերեսների կամ մակարդակի գծերի ընտանիք։ Օրինակ, (տարբեր շառավղով իրար մեջ բնադրված գնդիկներ) կամ (էլիպսների ընտանիք)։

Ֆիզիկայի մակարդակի գծերի օրինակները ներառում են իզոթերմներ (հավասար ջերմաստիճանի գծեր), իզոբարներ (հավասար ճնշման գծեր); գեոդեզիայից - հավասար բարձրությունների գծեր և այլն:

2 փոփոխականներից բաղկացած ֆունկցիայի գրաֆիկը z = f(x,y) մակերևույթ է, որը նախագծված է XOY հարթության վրա՝ D ֆունկցիայի սահմանման տիրույթում:
Հաշվի առեք մակերեսը σ , տրված է z = f(x,y) հավասարմամբ, որտեղ f(x,y) դիֆերենցիալ ֆունկցիա է, և թող M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) լինի ֆիքսված կետ σ մակերեսի վրա, այսինքն. z 0 = f(x 0,y 0): Նպատակը. Առցանց հաշվիչը նախատեսված է գտնելու համար շոշափող հարթության և մակերեսի նորմալ հավասարումներ. Լուծումը կազմված է Word ձևաչափով: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել կորի շոշափողի հավասարումը (y = f(x)), ապա դուք պետք է օգտվեք այս ծառայությունից:

Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ:

Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ:

Մակերեւույթին շոշափող հարթություն σ իր կետում Մ 0-ն այն հարթությունն է, որում գտնվում են մակերեսի վրա գծված բոլոր կորերի շոշափողները σ կետի միջոցով Մ 0 .
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) կետում z = f(x,y) հավասարմամբ սահմանված մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը ունի ձև.

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Վեկտորը կոչվում է մակերեսային նորմալ վեկտոր σ M 0 կետում: Նորմալ վեկտորը ուղղահայաց է շոշափող հարթությանը:
Նորմալ մակերեսին σ կետում Մ 0-ն ուղիղ գիծ է, որն անցնում է այս կետով և ունի N վեկտորի ուղղությունը:
Մակերեւույթի նորմալ հավասարումները, որոնք սահմանված են z = f(x,y) հավասարմամբ M 0 կետում (x 0 ,y 0 ,z 0), որտեղ z 0 = f(x 0 ,y 0), ունեն ձևը.

Օրինակ թիվ 1. Մակերեւույթը տրվում է x 3 +5y հավասարմամբ։ Գտե՛ք շոշափողի հարթության հավասարումը M 0 կետում (0;1):
Լուծում. Շոշափող հավասարումները գրենք ընդհանուր ձևով՝ z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0 )
Ըստ խնդրի պայմանների՝ x 0 = 0, y 0 = 1, ապա z 0 = 5
Գտնենք z = x^3+5*y ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները.
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
M 0 (0,1) կետում մասնակի ածանցյալների արժեքներն են.
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք M 0 կետի մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը. z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) կամ -5 y+z = 0:

Օրինակ թիվ 2. Մակերեւույթը սահմանվում է անուղղակիորեն y 2 -1/2 * x 3 -8z: Գտե՛ք շոշափողի հարթության հավասարումը M 0 կետում (1;0;1):
Լուծում. Գտնել ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները: Քանի որ ֆունկցիան անուղղակիորեն նշված է, մենք փնտրում ենք ածանցյալներ՝ օգտագործելով բանաձևը.

Մեր գործառույթի համար.

Ապա.

M կետում 0 (1,0,1) մասնակի ածանցյալների արժեքները.
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք M 0 կետում մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը. z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) կամ 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Օրինակ։ Մակերեւույթ σ տրված է հավասարմամբ զ= y/x + xy – 5x 3. Գտե՛ք շոշափող հարթության և մակերեսին նորմալի հավասարումը σ կետում Մ 0 (x 0 ,y 0 ,զ 0), իրեն պատկանող, եթե x 0 = –1, y 0 = 2.
Գտնենք ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները զ= զ(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
զ ե ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Կետ Մ 0 (x 0 ,y 0 ,զ 0) պատկանում է մակերեսին σ , այնպես որ մենք կարող ենք հաշվարկել զ 0՝ փոխարինելով տրվածը x 0 = –1 և y 0 = 2 մակերեսային հավասարման մեջ.

զ= y/x + xy – 5x 3

զ 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Կետում Մ 0 (–1, 2, 1) մասնակի ածանցյալ արժեքներ.
f x' ( Մ 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; զ ե ( Մ 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Օգտագործելով բանաձևը (5) մենք ստանում ենք մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը σ կետում Մ 0:
զ – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) զ – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + զ + 10 = 0.
Օգտագործելով բանաձևը (6) մենք ստանում ենք կանոնական հավասարումներնորմալ մակերեսին σ կետում Մ 0: .
Պատասխաններ՝ շոշափող հարթության հավասարումը՝ 15 x + 2y + զ+ 10 = 0; նորմալ հավասարումներ. .

Օրինակ թիվ 1. Տրվում է z=f(x,y) ֆունկցիա և երկու կետ՝ A(x 0, y 0) և B(x 1, y 1): Պահանջվում է. 1) հաշվարկել B կետում ֆունկցիայի z 1 արժեքը. 2) հաշվարկել B կետում ֆունկցիայի z 1 մոտավոր արժեքը՝ ելնելով A կետի ֆունկցիայի z 0 արժեքից՝ A կետից B կետ տեղափոխվելիս ֆունկցիայի աճը փոխարինելով դիֆերենցիալով. 3) C(x 0 ,y 0 ,z 0) կետում ստեղծել z = f(x,y) մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը:
Լուծում.
Շոշափող հավասարումները գրենք ընդհանուր ձևով.
z - z 0 = f" x (x 0,y 0,z 0)(x - x 0) + f"y (x 0,y 0,z 0)(y - y 0)
Ըստ խնդրի պայմանների՝ x 0 = 1, y 0 = 2, ապա z 0 = 25
Գտնենք z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
M 0 (1,2) կետում մասնակի ածանցյալների արժեքներն են.
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք M 0 կետում մակերեսին շոշափող հարթության հավասարումը.
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
կամ
-26 x-36 y+z+73 = 0

Օրինակ թիվ 2. Գրե՛ք շոշափող հարթության և էլիպսային պարաբոլոիդին նորմալ հավասարումները z = 2x 2 + y 2 կետում (1;-1;3):