Punto di accelerazione per tutti e 3 i modi per accelerare il movimento

L'accelerazione di un punto caratterizza la velocità di cambiamento nel modulo e la direzione della velocità del punto.

1. Accelerazione di un punto quando si specifica il suo movimento in modo vettoriale

il vettore di accelerazione del punto è uguale alla derivata prima della velocità o alla derivata seconda del raggio-vettore del punto rispetto al tempo. Il vettore di accelerazione è diretto verso la concavità della curva

2. Accelerazione di un punto quando si specifica il suo movimento in modo coordinato

Il modulo e la direzione del vettore di accelerazione sono determinati dalle relazioni:

3. Determinazione dell'accelerazione quando si imposta il suo moto in modo naturale

Asce naturali e triangolo naturale

assi naturali. La curvatura caratterizza il grado di curvatura (curvatura) della curva. Quindi, il cerchio ha una curvatura costante, che è misurata dal valore di K, il reciproco del raggio,

Maggiore è il raggio, minore è la curvatura e viceversa. Una retta può essere vista come una circonferenza di raggio infinitamente grande e di curvatura nulla. Un punto rappresenta una circonferenza di raggio R = 0 e ha una curvatura infinita.

Una curva arbitraria ha una curvatura variabile. In ogni punto di tale curva si può scegliere una circonferenza di raggio la cui curvatura è uguale alla curvatura della curva in un dato punto M (Fig. 9.2). Il valore è chiamato raggio di curvatura in un dato punto della curva. L'asse diretto tangenzialmente nella direzione del movimento e l'asse diretto lungo il raggio fino al centro di curvatura e chiamato forma normale assi delle coordinate naturali.

Accelerazione normale e tangenziale di un punto

Con un modo naturale di specificare il moto, l'accelerazione di un punto è uguale alla somma geometrica di due vettori, uno dei quali è diretto lungo la normale principale ed è chiamato accelerazione normale, e il secondo è diretto lungo una tangente ed è chiamato il accelerazione tangenziale del punto.

La proiezione dell'accelerazione di un punto sulla normale principale è uguale al quadrato del modulo della velocità di angoscia diviso per il raggio di curvatura della traiettoria nel punto corrispondente. L'accelerazione normale di un punto è sempre diretta verso il centro di curvatura della traiettoria ed è uguale in valore assoluto a questa proiezione.

Il cambio di velocità del modulo è caratterizzato da un'accelerazione tangenziale (tangenziale).

quelli. la proiezione dell'accelerazione del punto sulla tangente è uguale alla derivata seconda della coordinata dell'arco del punto rispetto al tempo o alla derivata prima del valore algebrico della velocità del punto rispetto al tempo.

Questa proiezione ha un segno più se le direzioni dell'accelerazione tangenziale e del vettore unitario sono le stesse e un segno meno se sono opposte.

Quindi, nel caso di un modo naturale di specificare il moto, quando è nota la traiettoria di un punto e, di conseguenza, il suo raggio di curvatura? in ogni punto e l'equazione del moto si possono trovare le proiezioni dell'accelerazione del punto sugli assi naturali:

Se a > 0 e > 0 o a< 0 и < 0, то движение ускоренное и вектор а направлен в сторону вектора скорости. Если а < 0 и >0 o a > 0 e< 0, то движение замедленное и вектор а направлен в сторону, противоположную вектору скорости

Casi speciali.

1. Se il punto si muove in modo rettilineo e non uniforme, allora = , e, quindi, = 0, a = a.

2. Se il punto si muove in linea retta e uniformemente, = 0, a = 0 e a = 0.

3. Se il punto si muove uniformemente lungo un percorso curvo, allora a = 0 e a = . Con moto curvilineo uniforme di un punto, la legge del moto ha la forma s = t. È consigliabile assegnare una direzione di riferimento positiva nei compiti a seconda delle condizioni specifiche. Nel caso in cui 0 = 0, otteniamo = gt e. Spesso usata nei compiti (quando un corpo cade da un'altezza H senza velocità iniziale) la formula

Conclusione: l'accelerazione normale esiste solo con curvilineo

32. Classificazione del movimento di un punto in base alla sua accelerazione

se durante un certo periodo di tempo le accelerazioni normale e tangenziale del punto sono uguali a zero, allora né la direzione né il modulo di velocità cambieranno durante questo periodo, cioè il punto si muove in linea retta in modo uniforme e la sua accelerazione è zero.

se durante un certo periodo di tempo l'accelerazione normale non è uguale a zero e l'accelerazione tangenziale del punto è uguale a zero, allora la direzione della velocità cambia senza cambiarne il modulo, cioè il punto si muove curvilineamente in modo uniforme e il modulo di accelerazione.

Se in un momento separato, il punto non si muove in modo uniforme e in questo momento il modulo della sua velocità ha un tasso di variazione monotona massimo, minimo o più basso.

se durante un certo periodo di tempo l'accelerazione normale del punto è uguale a zero e l'accelerazione tangente non è uguale a zero, allora la direzione della velocità non cambia, ma cambia il suo modulo, cioè il punto si muove lungo una retta in modo non uniforme. Modulo di accelerazione puntuale in questo caso

Inoltre, se la direzione dei vettori di velocità e coincidono, il movimento del punto viene accelerato e se non coincidono, il movimento del punto è lento.

Se ad un certo punto nel tempo, il punto non si muove in linea retta, ma supera il punto di flesso della traiettoria o il modulo della sua velocità svanisce.

Se durante un certo periodo di tempo né l'accelerazione normale né quella tangenziale sono uguali a zero, allora sia la direzione che il modulo della sua velocità cambiano, cioè il punto compie un moto curvilineo non uniforme. Modulo di accelerazione del punto

Inoltre, se la direzione dei vettori di velocità e coincidono, allora il movimento è accelerato, e se sono opposti, allora il movimento è lento.

Se il modulo di accelerazione tangenziale è costante, cioè , allora il modulo della velocità del punto cambia proporzionalmente al tempo, cioè il punto è in continuo movimento. Poi

La formula per la velocità del movimento ugualmente variabile di un punto;

Equazione del moto puntuale a variabili uguali

Accelerazione tangenziale caratterizza la variazione di velocità modulo (valore) ed è diretta tangenzialmente alla traiettoria:

,

dove è la derivata del modulo di velocità,  vettore unitario della tangente, coincidente in direzione con la velocità.

Accelerazione normale caratterizza la variazione di velocità nella direzione ed è diretta lungo il raggio di curvatura fino al centro di curvatura della traiettoria in un dato punto:

,

dove R è il raggio di curvatura della traiettoria,  vettore normale unitario.

Il modulo del vettore di accelerazione può essere trovato dalla formula

.

1.3. Il compito principale della cinematica

Il compito principale della cinematica è trovare la legge del moto punto materiale. Per questo vengono utilizzati i seguenti rapporti:

;
;
;
;

.

Casi particolari di moto rettilineo:

1) moto rettilineo uniforme: ;

2) moto rettilineo uniforme:
.

1.4. Moto rotatorio e sue caratteristiche cinematiche

Durante il movimento rotatorio, tutti i punti del corpo si muovono lungo cerchi, i cui centri giacciono sulla stessa linea retta, chiamata asse di rotazione. Per caratterizzare il moto rotatorio vengono introdotte le seguenti caratteristiche cinematiche (Fig. 3).

Movimento angolare
 vettore, numericamente uguale all'angolo rotazione del corpo
in occasione
e diretto lungo l'asse di rotazione in modo che, guardando lungo di esso, si osservi la rotazione del corpo in senso orario.

Velocità angolare  caratterizza la velocità e il senso di rotazione del corpo, è uguale alla derivata dell'angolo di rotazione rispetto al tempo ed è diretto lungo l'asse di rotazione come spostamento angolare.

P Per il moto rotatorio valgono le seguenti formule:

;
;
.

Accelerazione angolare caratterizza la velocità di variazione della velocità angolare nel tempo, è uguale alla derivata prima della velocità angolare ed è diretta lungo l'asse di rotazione:

;
;
.

Dipendenza
esprime la legge di rotazione del corpo.

Con rotazione uniforme:  = 0,  = cost,  = t.

Con rotazione ugualmente variabile:  = cost,
,
.

Per caratterizzare il moto rotatorio uniforme, vengono utilizzati il ​​periodo di rotazione e la frequenza di rotazione.

Periodo di rotazione T è il tempo di un giro di un corpo che ruota a velocità angolare costante.

Frequenza di rotazione - il numero di giri compiuti dal corpo nell'unità di tempo.

La velocità angolare può essere espressa come segue:

.

Relazione tra caratteristiche cinematiche angolari e lineari (Fig. 4):

2. Dinamica dei moti traslatori e rotatori

1. Leggi di Newton Prima legge di Newton: ogni corpo è in uno stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, finché l'impatto di altri corpi non lo porterà fuori da questo stato.

Sono chiamati gli organismi che non sono soggetti ad influenze esterne corpi liberi. Il sistema di riferimento associato al corpo libero è chiamato sistema di riferimento inerziale (ISR). In relazione ad esso, qualsiasi corpo libero si muoverà in modo uniforme e rettilineo o starà fermo. Dalla relatività del moto consegue che un sistema di riferimento che si muove uniformemente e rettilineo rispetto all'IFR è anch'esso un IFR. Gli ISO svolgono un ruolo importante in tutti i rami della fisica. Ciò è dovuto al principio di relatività di Einstein, secondo il quale la forma matematica di qualsiasi legge fisica deve avere la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

I concetti principali utilizzati nella dinamica del moto traslatorio includono forza, massa corporea, quantità di moto di un corpo (sistema di corpi).

Con la forza detta grandezza fisica vettoriale, che è una misura dell'azione meccanica di un corpo su un altro. L'azione meccanica avviene sia a diretto contatto di corpi interagenti (attrito, reazione di supporto, peso, ecc.), sia attraverso campo di forza, esistenti nello spazio (gravità, forze di Coulomb, ecc.). Potenza caratterizzato da modulo, direzione e punto di applicazione.

Azione simultanea di più forze su un corpo ,,...,può essere sostituito dall'azione della forza risultante (risultante). :

=++...+=.

Massa corpo è chiamato una quantità scalare, che è una misura inerzia corpo. Sotto inerzia si riferisce alla proprietà dei corpi materiali di mantenere inalterata la loro velocità in assenza di influenze esterne e di cambiarla gradualmente (cioè con accelerazione finita) sotto l'azione di una forza.

Impulso corpo (punto materiale) è chiamato vettore quantità fisica uguale al prodotto della massa del corpo per la sua velocità:
.

L'impulso del sistema di punti materiali è uguale alla somma vettoriale degli impulsi dei punti che compongono il sistema:
.

La seconda legge di Newton: la velocità di variazione della quantità di moto del corpo è uguale alla forza che agisce su di esso:

.

Se la massa del corpo rimane costante, l'accelerazione acquisita dal corpo rispetto al sistema di riferimento inerziale è direttamente proporzionale alla forza che agisce su di esso e inversamente proporzionale alla massa del corpo:

.

Lo spostamento (in cinematica) è un cambiamento nella posizione di un corpo fisico nello spazio rispetto al sistema di riferimento selezionato. Inoltre, lo spostamento è un vettore che caratterizza questo cambiamento. Ha la proprietà di additività.

La velocità (spesso indicata dall'inglese velocità o dal francese vitesse) è una quantità fisica vettoriale che caratterizza la velocità di movimento e la direzione di movimento di un punto materiale nello spazio rispetto al sistema di riferimento selezionato (ad esempio velocità angolare).

Accelerazione (di solito indicata in meccanica teorica) - la derivata temporale della velocità, una quantità vettoriale che mostra quanto cambia il vettore velocità di un punto (corpo) mentre si muove nell'unità di tempo (cioè, l'accelerazione tiene conto non solo della variazione di velocità , ma anche le sue direzioni).

Accelerazione tangenziale (tangenziale).è la componente del vettore di accelerazione diretto lungo la tangente alla traiettoria in un dato punto della traiettoria. L'accelerazione tangenziale caratterizza la variazione del modulo di velocità durante il movimento curvilineo.

Riso. 1.10. accelerazione tangenziale.

direzione del vettore accelerazione tangenzialeτ (vedi Fig. 1.10) coincide con la direzione della velocità lineare o opposta ad essa. Cioè, il vettore di accelerazione tangenziale giace sullo stesso asse del cerchio tangente, che è la traiettoria del corpo.

Accelerazione normale

Accelerazione normaleè un componente del vettore di accelerazione diretto lungo la normale alla traiettoria di movimento in un dato punto della traiettoria di movimento del corpo. Cioè, il normale vettore di accelerazione è perpendicolare alla velocità lineare del movimento (vedi Fig. 1.10). L'accelerazione normale caratterizza il cambio di velocità nella direzione ed è indicata dalla lettera n. Il vettore di accelerazione normale è diretto lungo il raggio di curvatura della traiettoria.

Piena accelerazione

Piena accelerazione nel moto curvilineo è composto da accelerazioni tangenziali e normali secondo la regola dell'addizione dei vettori ed è determinato dalla formula:

(secondo il teorema di Pitagora per un rettangolo rettangolare).

La direzione della piena accelerazione è determinata anche dalla regola dell'addizione vettoriale:

Potenza. Peso. Le leggi di Newton.

La forza è una quantità fisica vettoriale, che è una misura dell'intensità dell'impatto su dato corpo altri corpi, così come i campi. La forza applicata a un corpo massiccio è la causa di un cambiamento nella sua velocità o del verificarsi di deformazioni in esso.

La massa (dal greco μάζα) è una grandezza fisica scalare, una delle più importanti in fisica. Inizialmente (secoli XVII-XIX), caratterizzava la "quantità di materia" in un oggetto fisico, su cui, secondo le idee dell'epoca, sia la capacità dell'oggetto di resistere alla forza applicata (inerzia) che le proprietà gravitazionali - il peso dipendeva. È strettamente correlato ai concetti di "energia" e "momentum" (secondo i concetti moderni, la massa equivale all'energia a riposo).

La prima legge di Newton

Esistono tali sistemi di riferimento, detti inerziali, rispetto ai quali un punto materiale, in assenza di influenze esterne, mantiene indefinitamente la grandezza e la direzione della sua velocità.

La seconda legge di Newton

In un sistema di riferimento inerziale, l'accelerazione che riceve un punto materiale è direttamente proporzionale alla risultante di tutte le forze applicate ad esso e inversamente proporzionale alla sua massa.

La terza legge di Newton

I punti materiali agiscono l'uno sull'altro in coppia con forze della stessa natura, dirette lungo la retta che collega questi punti, uguali in grandezza e opposte in direzione:

Polso. Legge di conservazione della quantità di moto. Shock elastici e anelastici.

Impulso (Numero di movimento) è una grandezza fisica vettoriale che caratterizza la misura del movimento meccanico di un corpo. Nella meccanica classica, la quantità di moto di un corpo è uguale al prodotto della massa m di questo corpo e la sua velocità v, la direzione della quantità di moto coincide con la direzione del vettore velocità:

La legge di conservazione della quantità di moto (Legge di conservazione della quantità di moto) afferma che la somma vettoriale della quantità di moto di tutti i corpi (o particelle) di un sistema chiuso è un valore costante.

Nella meccanica classica, la legge di conservazione della quantità di moto è solitamente derivata come conseguenza delle leggi di Newton. Dalle leggi di Newton, si può dimostrare che quando ci si muove nello spazio vuoto, la quantità di moto si conserva nel tempo e, in presenza di interazione, la velocità della sua variazione è determinata dalla somma delle forze applicate.

Come tutte le leggi fondamentali di conservazione, la legge di conservazione della quantità di moto descrive una delle simmetrie fondamentali: l'omogeneità dello spazio.

Impatto assolutamente anelastico Si chiama tale interazione shock, in cui i corpi sono collegati (si attaccano) l'uno all'altro e si muovono come un unico corpo.

In un impatto perfettamente anelastico, l'energia meccanica non viene conservata. Passa parzialmente o completamente nell'energia interna dei corpi (riscaldamento).

Impatto assolutamente elastico Si chiama urto in cui si conserva l'energia meccanica di un sistema di corpi.

In molti casi, le collisioni di atomi, molecole e particelle elementari obbediscono alle leggi dell'impatto assolutamente elastico.

Con un impatto assolutamente elastico, insieme alla legge di conservazione della quantità di moto, viene soddisfatta la legge di conservazione dell'energia meccanica.

4. Tipi di energia meccanica. Lavoro. Potenza. Legge di conservazione dell'energia.

In meccanica esistono due tipi di energia: cinetica e potenziale.

L'energia cinetica è l'energia meccanica di qualsiasi corpo che si muove liberamente ed è misurata dal lavoro che il corpo potrebbe fare quando rallenta fino a fermarsi completamente.

Quindi, l'energia cinetica di un corpo in movimento traslatorio è uguale alla metà del prodotto della massa di questo corpo per il quadrato della sua velocità:

L'energia potenziale è l'energia meccanica di un sistema di corpi, determinata dalla loro disposizione reciproca e dalla natura delle forze di interazione tra di loro. Numericamente, l'energia potenziale del sistema nella sua posizione data è uguale al lavoro che produrranno le forze che agiscono sul sistema quando il sistema si sposta da questa posizione a dove si presume convenzionalmente che l'energia potenziale sia zero (E n \u003d 0 ). Il concetto di "energia potenziale" vale solo per i sistemi conservativi, cioè sistemi in cui il lavoro delle forze agenti dipende solo dalla posizione iniziale e finale del sistema.

Quindi, per un carico di peso P, elevato ad un'altezza h, l'energia potenziale sarà uguale a E n = Ph (E n = 0 ad h = 0); per un carico attaccato ad una molla, E n = kΔl 2 / 2, dove Δl è l'estensione (compressione) della molla, k è il suo coefficiente di rigidità (E n = 0 a l = 0); per due particelle di massa m 1 e m 2 attratte secondo la legge di gravitazione universale, , dove γ è la costante gravitazionale, r è la distanza tra le particelle (E n = 0 come r → ∞).

Il termine "lavoro" in meccanica ha due significati: lavoro come processo in cui una forza muove un corpo che agisce con un angolo diverso da 90°; il lavoro è una quantità fisica uguale al prodotto di forza, spostamento e coseno dell'angolo tra la direzione della forza e lo spostamento:

Il lavoro è zero quando il corpo si muove per inerzia (F = 0), quando non c'è movimento (s = 0), o quando l'angolo tra il movimento e la forza è 90° (cos a = 0). L'unità di lavoro SI è il joule (J).

1 joule è il lavoro svolto da una forza di 1 N quando un corpo si muove di 1 m lungo la linea d'azione della forza. Per determinare la velocità di lavoro, inserire il valore di "potenza".

La potenza è una quantità fisica uguale al rapporto tra il lavoro svolto in un certo periodo di tempo e questo periodo di tempo.

Distinguere la potenza media in un periodo di tempo:

e potenza istantanea questo momento volta:

Poiché il lavoro è una misura del cambiamento di energia, la potenza può anche essere definita come il tasso di cambiamento dell'energia di un sistema.

L'unità SI per la potenza è il watt, che è pari a un joule al secondo.

La legge di conservazione dell'energia è una legge fondamentale della natura, stabilita empiricamente e consistente nel fatto che per un sistema fisico isolato può essere introdotta una grandezza fisica scalare, che è funzione dei parametri del sistema e chiamata energia, che è conservato nel tempo. Poiché la legge di conservazione dell'energia non si riferisce a quantità e fenomeni specifici, ma riflette uno schema generale applicabile ovunque e sempre, può essere definita non una legge, ma il principio di conservazione dell'energia.

Il movimento di un punto materiale lungo una traiettoria curvilinea è sempre accelerato, perché anche se la velocità non cambia di valore numerico, cambia sempre di direzione.

Nel caso generale, l'accelerazione durante il movimento curvilineo può essere rappresentata come una somma vettoriale dell'accelerazione tangenziale (o tangenziale) T e normale accelerazione n: =t+n- Riso. 1.4.

L'accelerazione tangenziale caratterizza la velocità di variazione della velocità modulo. Il valore di questa accelerazione sarà:

L'accelerazione normale caratterizza la velocità di variazione della velocità nella direzione. Il valore numerico di questa accelerazione, dove R- il raggio del cerchio contiguo, cioè un cerchio passante per tre punti infinitamente vicini B¢ , A, B sdraiato sulla curva (Fig. 1.5). Vettore n diretto lungo la normale alla traiettoria al centro di curvatura (il centro del cerchio contiguo).

Valore numerico della piena accelerazione

dove è la velocità angolare.

dove è l'accelerazione angolare.

Accelerazione angolare numericamente uguale alla variazione della velocità angolare per unità di tempo.

In conclusione, diamo una tabella in cui viene stabilita un'analogia tra i parametri cinematici lineari e angolari del moto.

Fine del lavoro -

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Corso breve di fisica

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Unità SI di base
Attualmente è generalmente accettato Sistema internazionale unità - SI. Questo sistema contiene sette unità di base: metro, chilogrammo, secondo, mole, ampere, kelvin, candela e due ulteriori -

Meccanica
La meccanica è la scienza del movimento meccanico dei corpi materiali e delle interazioni tra di loro che si verificano durante questo. Sotto movimento meccanico comprendere il cambiamento nel tempo del sesso reciproco

Le leggi di Newton
La dinamica è una branca della meccanica che studia il movimento dei corpi materiali sotto l'influenza delle forze ad essi applicate. La meccanica si basa sulle leggi di Newton. La prima legge di Newton

Legge di conservazione della quantità di moto
Si consideri la derivazione della legge di conservazione della quantità di moto basata sulla seconda e terza legge di Newton.

Relazione tra lavoro e variazione dell'energia cinetica
Riso. 3.3 Lascia che un corpo di massa m si muova lungo l'asse x sottostante

Relazione tra lavoro e cambiamento di energia potenziale
Riso. 3.4 Stabiliremo questa connessione usando l'esempio del lavoro della forza di gravità

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La legge fondamentale della dinamica del moto rotatorio
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accelerazione centripeta- componente di accelerazione puntuale, che caratterizza la velocità di variazione nella direzione del vettore velocità per una traiettoria con curvatura (la seconda componente, accelerazione tangenziale, caratterizza la variazione del modulo di velocità). Diretto verso il centro di curvatura della traiettoria, che è la ragione del termine. Il termine "accelerazione centripeta" è equivalente al termine " normale accelerazione". La componente della somma delle forze che provoca questa accelerazione è chiamata forza centripeta.

L'esempio più semplice di accelerazione centripeta è il vettore di accelerazione per un movimento circolare uniforme (diretto verso il centro del cerchio).

Accelerazione rapida proiettato su un piano perpendicolare all'asse, appare come un centripeto.

formula elementare[ | ]

un n = v 2 R (\ displaystyle a_(n)=(\ frac (v^(2))(R))\ ) un n = ω 2 R , (\ displaystyle a_ (n) = \ omega ^ (2) R \ ,)

dove un n (\ displaystyle a_(n) \ )- accelerazione normale (centripeta), v (\ displaystyle v \ )- velocità lineare (istantanea) di movimento lungo la traiettoria, ω (\ displaystyle \ omega \ )- velocità angolare (istantanea) di questo movimento rispetto al centro di curvatura della traiettoria, R (\ displaystyle R \ )- raggio di curvatura della traiettoria in un dato punto. (Il collegamento tra la prima formula e la seconda è ovvio, dato v = ω R (\ displaystyle v = \ omega R \ )).

Le espressioni precedenti includono valori assoluti. Possono essere facilmente scritti in forma vettoriale moltiplicandoli per e R (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (R))- vettore unitario dal centro di curvatura della traiettoria al punto dato:

an = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\ displaystyle \ mathbf (a) _ (n) = (\ frac (v ^ (2)) (R)) \ mathbf (e) _ (R) = (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) un n = ω 2 R . (\ displaystyle \ mathbf (a) _ (n) = \ omega ^ (2) \ mathbf (R).)

Queste formule sono ugualmente applicabili sia al caso di moto con velocità costante (in valore assoluto), sia a occasione casuale. Tuttavia, nel secondo caso, va tenuto presente che l'accelerazione centripeta non è un vettore di accelerazione completo, ma solo una sua componente, perpendicolare alla traiettoria del moto (o perpendicolare al vettore di velocità istantanea); Il vettore di accelerazione completa include anche una componente tangenziale ( accelerazione tangenziale) un τ = d v / d t (\ displaystyle a_(\ tau ) = dv/dt \ ), co-diretto dalla tangente alla traiettoria del moto (o, equivalentemente, alla velocità istantanea) .

Motivazione e conclusione[ | ]

Che la scomposizione del vettore di accelerazione in componenti - una lungo il vettore tangente alla traiettoria (accelerazione tangenziale) e un'altra ortogonale ad essa (accelerazione normale) - possa essere conveniente e utile è abbastanza ovvio di per sé. Quando ci si sposta a velocità modulo costante, la componente tangenziale diventa uguale a zero, cioè in questo importante caso particolare rimane solo componente normale. Inoltre, come si può vedere di seguito, ciascuna di queste componenti ha proprietà e struttura pronunciate proprie, e l'accelerazione normale contiene un contenuto geometrico piuttosto importante e non banale nella struttura della sua formula. Per non parlare dell'importante caso speciale del moto in cerchio.

Derivazione formale[ | ]

L'espansione dell'accelerazione nelle componenti tangenziale e normale (la seconda delle quali è l'accelerazione centripeta o normale) può essere trovata differenziando il vettore velocità rispetto al tempo, rappresentato come v = v e τ (\ displaystyle \ mathbf (v) = v \, \ mathbf (e) _ (\ tau)) attraverso il vettore tangente unitario e τ (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (\ tau)):

a = dvdt = d (ve τ) dt = dvdte τ + vde τ dt = dvdte τ + vde τ dldldt = dvdte τ + v 2 R en , (\ displaystyle \ mathbf (a) = (\ frac (d \ mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)

Qui usiamo la notazione per il vettore normale dell'unità alla traiettoria e l (\ displaystyle l \ )- per la lunghezza attuale della traiettoria ( l = l (t) (\ displaystyle l = l (t) \ )); l'ultima transizione usa anche l'ovvio

d l / d t = v (\ displaystyle dl/dt = v \ )

e, da considerazioni geometriche,

d e τ d l = e n R . (\ displaystyle (\ frac (d \ mathbf (e) _ (\ tau )) (dl)) = (\ frac (\ mathbf (e) _ (n)) (R)).) v 2 R e n (\ displaystyle (\ frac (v^ (2)) (R)) \ mathbf (e) _ (n) \ )

Accelerazione normale (centrica). Allo stesso tempo, il suo significato, il significato degli oggetti in esso contenuti, nonché la prova del fatto che è effettivamente ortogonale al vettore tangente (cioè che e n (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (n) \ )- anzi un vettore normale) - risulterà da considerazioni geometriche (tuttavia, il fatto che la derivata di un qualsiasi vettore di lunghezza costante rispetto al tempo sia perpendicolare a questo vettore stesso è un fatto abbastanza semplice); In questo caso, applichiamo questa affermazione a d e τ d t (\ displaystyle (\ frac (d \ mathbf (e) _ (\ tau )) (dt)})

Osservazioni [ | ]

È facile vedere che il valore assoluto dell'accelerazione tangenziale dipende solo dall'accelerazione al suolo, coincidente con il suo valore assoluto, in contrasto con il valore assoluto dell'accelerazione normale, che non dipende dall'accelerazione del suolo, ma dipende dalla velocità al suolo.

I metodi qui presentati, o le loro variazioni, possono essere utilizzati per introdurre concetti come la curvatura di una curva e il raggio di curvatura di una curva (perché nel caso in cui la curva sia un cerchio, R (\ displaystyle R) coincide con il raggio di tale cerchio; inoltre non è troppo difficile mostrare che il cerchio è nel piano e τ , e n (\ displaystyle \ mathbf (e) _ (\ tau ), \, e_ (n)) centrato nella direzione e n (\ displaystyle e_ (n) \ ) lontano da questo punto R (\ displaystyle R) da esso - coinciderà con la curva data - la traiettoria - fino al secondo ordine di piccolezza nella distanza dal punto dato).