Superficie di un prisma quadrangolare regolare. Come calcolare il volume di un prisma quadrangolare? Formule ed esempi di problemi

Un prisma è una figura volumetrica geometrica abbastanza semplice. Tuttavia, alcuni scolari hanno problemi nel determinare le sue proprietà di base, la cui causa, di regola, è associata alla terminologia utilizzata in modo errato. In questo articolo vedremo quali tipi di prismi esistono, come vengono chiamati e descriveremo anche in dettaglio un prisma quadrangolare regolare.

Prisma in geometria

Lo studio delle figure tridimensionali è un compito della stereometria, una parte importante della geometria spaziale. Nella stereometria, per prisma si intende una figura formata dal trasferimento parallelo di un poligono piatto arbitrario ad una certa distanza nello spazio. La traslazione parallela comporta un movimento in cui è completamente esclusa la rotazione attorno ad un asse perpendicolare al piano del poligono.

Elementi di un prisma e teorema di Eulero

Poiché la figura volumetrica in esame è un poliedro, cioè formato da un insieme di piani che si intersecano, esso è caratterizzato da un certo numero di vertici, spigoli e facce. Tutti loro sono elementi di un prisma.

IN metà del XVIII secolo secolo, il matematico svizzero Leonhard Euler stabilì una connessione tra il numero degli elementi base di un poliedro. Questa relazione è scritta dalla seguente semplice formula:

Numero di bordi = numero di vertici + numero di facce - 2

Questa uguaglianza è vera per qualsiasi prisma. Facciamo un esempio del suo utilizzo. Supponiamo di avere un prisma quadrangolare regolare. È mostrato nella figura seguente.

Si può vedere che il numero di vertici è 8 (4 per ogni base quadrangolare). Il numero di lati, o facce, è 6 (2 basi e 4 rettangoli laterali). Quindi il numero di bordi sarà uguale a:

Numero di spigoli = 8 + 6 - 2 = 12

Classificazione completa dei prismi

È importante comprendere questa classificazione per non essere confusi nella terminologia e nell'uso formule corrette per calcolare, ad esempio, la superficie o il volume delle figure.

Per qualsiasi prisma di forma arbitraria si possono distinguere 4 caratteristiche che lo caratterizzeranno. Li elenchiamo:

Secondo il numero degli angoli del poligono alla base: triangolare, pentagonale, ottagonale e così via.
Tipo poligono. Potrebbe essere giusto o sbagliato. Per esempio, triangolo rettangolo non è corretto e l'equilatero è corretto.
Secondo il tipo di convessità di un poligono. Può essere concavo o convesso. I più comuni sono i prismi convessi.
Agli angoli tra le basi e i parallelogrammi laterali. Se tutti questi angoli sono uguali a 90°, allora si parla di un prisma retto; se non tutti sono retti, tale figura si chiama obliqua;

Di tutti questi punti, vorrei soffermarmi più in dettaglio sull'ultimo. Un prisma retto è anche chiamato prisma rettangolare. Ciò è dovuto al fatto che per lei i parallelogrammi sono nel caso generale rettangoli (in alcuni casi possono essere quadrati).

Ad esempio, la figura sopra mostra una figura pentagonale concava rettangolare o diritta.

La base di questo prisma è un quadrilatero regolare, cioè un quadrato. La figura sopra ha già mostrato come appare questo prisma. Oltre ai due quadrati che lo delimitano in alto e in basso, comprende anche 4 rettangoli.

Indicheremo il lato della base di un prisma quadrangolare regolare con la lettera a, e indicheremo la lunghezza del suo bordo laterale con la lettera c. Questa lunghezza è anche l'altezza della figura. Quindi l'area dell'intera superficie di questo prisma sarà espressa dalla formula:

S = 2*a2 + 4*a*c = 2*a*(a + 2*c)

Qui il primo termine riflette il contributo delle basi all'area totale, il secondo termine è l'area della superficie laterale.

Tenendo conto delle notazioni introdotte per le lunghezze dei lati, scriviamo la formula per il volume della figura in esame:

Cioè, il volume viene calcolato come il prodotto dell'area della base quadrata e della lunghezza del bordo laterale.

Figura del cubo

Tutti conoscono questa figura tridimensionale ideale, ma pochi hanno pensato che si tratti di un prisma quadrangolare regolare, il cui lato è uguale alla lunghezza del lato della base quadrata, cioè c = a.

Per un cubo, le formule per la superficie totale e il volume assumono la forma:

Poiché un cubo è un prisma composto da 6 quadrati identici, qualsiasi coppia parallela di essi può essere considerata una base.

Un cubo è una figura altamente simmetrica che si presenta in natura sotto forma di reticoli cristallini di molti materiali metallici e cristalli ionici. Ad esempio, i reticoli di oro, argento, rame e sale da cucina sono cubici.

IN curriculum scolastico studio del corso di stereometria figure volumetriche di solito inizia con un corpo geometrico semplice: un poliedro prisma. Il ruolo delle sue basi è svolto da 2 poligoni uguali che giacciono su piani paralleli. Un caso speciale è un prisma quadrangolare regolare. Le sue basi sono 2 quadrangoli regolari identici, ai quali i lati sono perpendicolari, aventi forma di parallelogrammi (o rettangoli, se il prisma non è inclinato).

Che aspetto ha un prisma?

Un prisma quadrangolare regolare è un esagono, le cui basi sono 2 quadrati e le facce laterali sono rappresentate da rettangoli. Un altro nome per questo figura geometrica- parallelepipedo dritto.

Di seguito è mostrato un disegno che mostra un prisma quadrangolare.

Puoi anche vedere nella foto gli elementi più importanti che compongono un corpo geometrico. Questi includono:

A volte nei problemi di geometria puoi imbatterti nel concetto di sezione. La definizione suonerà così: una sezione è l'insieme dei punti di un corpo volumetrico appartenenti a un piano di taglio. La sezione può essere perpendicolare (interseca i bordi della figura con un angolo di 90 gradi). Per un prisma rettangolare si considera anche una sezione diagonale (il numero massimo di sezioni che si possono costruire è 2), passante per 2 spigoli e le diagonali della base.

Se la sezione viene disegnata in modo che il piano di taglio non sia parallelo né alle basi né alle facce laterali, il risultato è un prisma troncato.

Per trovare gli elementi prismatici dati, vengono utilizzate varie relazioni e formule. Alcuni di essi sono conosciuti dal corso di planimetria (ad esempio, per trovare l'area della base di un prisma è sufficiente richiamare la formula dell'area di un quadrato).

Superficie e volume

Per determinare il volume di un prisma utilizzando la formula, è necessario conoscere l'area della sua base e altezza:

V = Sbas h

Poiché la base di un prisma tetraedrico regolare è un quadrato con lato UN, Puoi scrivere la formula in forma più dettagliata:

V = a²·h

Se stiamo parlando di un cubo, un prisma regolare con uguale lunghezza, larghezza e altezza, il volume viene calcolato come segue:

Per capire come trovare la superficie laterale di un prisma bisogna immaginarne lo sviluppo.

Dal disegno è chiaro superficie laterale composto da 4 rettangoli uguali. La sua area si calcola come il prodotto del perimetro della base e dell'altezza della figura:

Slato = Pos. h

Tenendo conto che il perimetro del quadrato è uguale a P = 4a, la formula assume la forma:

Slato = 4a h

Per il cubo:

Lato = 4a²

Per calcolare l'area della superficie totale del prisma è necessario aggiungere all'area laterale 2 aree di base:

Spieno = Slato + 2Sprincipale

In relazione ad un prisma regolare quadrangolare, la formula è simile a:

Stotale = 4a h + 2a²

Per la superficie di un cubo:

Pieno = 6a²

Conoscendo il volume o la superficie, puoi calcolare i singoli elementi di un corpo geometrico.

Trovare gli elementi del prisma

Spesso si presentano problemi in cui è dato il volume o si conosce il valore della superficie laterale, dove è necessario determinare la lunghezza del lato di base o l'altezza. In questi casi, le formule possono essere derivate:

lunghezza lato base: a = Slato / 4h = √(V / h);
altezza o lunghezza della costa laterale: h = Slato / 4a = V / a²;
superficie della base: Sbas = V/h;
zona del viso laterale: Lato gr = lato S / 4.

Per determinare quanta area ha la sezione diagonale, devi conoscere la lunghezza della diagonale e l'altezza della figura. Per un quadrato d = a√2. Da ciò segue:

Sdiag = ah√2

Per calcolare la diagonale di un prisma, utilizzare la formula:

dpremio = √(2a² + h²)

Per capire come applicare le relazioni fornite, puoi esercitarti e risolvere diversi semplici compiti.

Esempi di problemi con soluzioni

Ecco alcuni compiti presenti negli esami finali di stato di matematica.

Compito 1.

La sabbia viene versata in una scatola a forma di prisma quadrangolare regolare. L'altezza del suo livello è di 10 cm. Quale sarà il livello della sabbia se la spostassi in un contenitore della stessa forma, ma con una base lunga il doppio?

Si dovrebbe ragionare come segue. La quantità di sabbia nel primo e nel secondo contenitore non è cambiata, cioè il suo volume è lo stesso. Puoi indicare la lunghezza della base con UN. In questo caso per la prima scatola il volume della sostanza sarà:

V₁ = ha² = 10a²

Per la seconda scatola, la lunghezza della base è 2a, ma l'altezza del livello della sabbia è sconosciuta:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Da V₁ = V₂, possiamo uguagliare le espressioni:

10a² = 4ha²

Dopo aver ridotto entrambi i membri dell'equazione di a², otteniamo:

Di conseguenza, il nuovo livello di sabbia sarà h = 10/4 = 2,5 cm.

Compito 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ è un prisma corretto. È noto che BD = AB₁ = 6√2. Trova la superficie totale del corpo.

Per facilitare la comprensione di quali elementi sono noti, puoi disegnare una figura.

Dato che parliamo di un prisma regolare, possiamo concludere che alla base c'è un quadrato con diagonale 6√2. La diagonale della faccia laterale ha la stessa dimensione, quindi anche la faccia laterale ha la forma di un quadrato uguale alla base. Si scopre che tutte e tre le dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza sono uguali. Possiamo concludere che ABCDA₁B₁C₁D₁ è un cubo.

La lunghezza di qualsiasi bordo è determinata attraverso una diagonale nota:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

La superficie totale si trova utilizzando la formula del cubo:

Pieno = 6a² = 6 6² = 216

Compito 3.

La stanza è in fase di ristrutturazione. È noto che il suo pavimento ha la forma di un quadrato con una superficie di 9 m². L'altezza della stanza è di 2,5 m. Qual è il costo più basso per tappezzare una stanza se 1 m² costa 50 rubli?

Poiché il pavimento e il soffitto sono quadrati, cioè quadrangoli regolari, e le sue pareti sono perpendicolari alle superfici orizzontali, possiamo concludere che si tratta di un prisma regolare. È necessario determinare l'area della sua superficie laterale.

La lunghezza della stanza è a = √9 = 3 M.

L'area sarà ricoperta con carta da parati Lato = 4 3 2,5 = 30 m².

Il costo più basso della carta da parati per questa stanza sarà 50·30 = 1500 rubli

Pertanto, per risolvere i problemi che coinvolgono un prisma rettangolare, è sufficiente essere in grado di calcolare l'area e il perimetro di un quadrato e di un rettangolo, nonché conoscere le formule per trovare il volume e l'area della superficie.

Come trovare l'area di un cubo

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La stereometria è una parte importante corso generale geometria, che esamina le caratteristiche delle figure spaziali. Una di queste figure è un prisma quadrangolare. In questo articolo discuteremo più in dettaglio la questione su come calcolare il volume di un prisma quadrangolare.

Cos'è un prisma quadrangolare?

Ovviamente, prima di dare la formula del volume di un prisma quadrangolare, è necessario dare una definizione chiara di questa figura geometrica. Con tale prisma intendiamo un poliedro tridimensionale, che è limitato da due quadrangoli identici arbitrari che giacciono su piani paralleli e quattro parallelogrammi.

I quadrilateri contrassegnati paralleli tra loro sono chiamati basi della figura, e i quattro parallelogrammi sono i lati. Va chiarito qui che anche i parallelogrammi sono quadrilateri, ma non sempre le basi sono parallelogrammi. Un esempio di quadrilatero irregolare, che potrebbe essere la base di un prisma, è mostrato nella figura seguente.

Qualsiasi prisma quadrangolare è costituito da 6 lati, 8 vertici e 12 bordi. Ci sono prismi quadrangolari diversi tipi. Ad esempio, una figura può essere obliqua o diritta, irregolare e regolare. Più avanti nell'articolo mostreremo come calcolare il volume di un prisma quadrangolare, tenendo conto della sua tipologia.

Prisma inclinato con base errata

Questo è il tipo più asimmetrico di prisma quadrangolare, quindi calcolarne il volume sarà relativamente difficile. La seguente espressione consente di determinare il volume di una figura:

Il simbolo Quindi qui indica l'area della base. Se questa base è un rombo, un parallelogramma o un rettangolo, calcolare il valore di So è facile. Quindi, per un rombo e un parallelogramma vale la formula:

dove a è il lato della base, ha è la lunghezza dell'altezza abbassata su questo lato dalla sommità della base.

Se la base è un poligono irregolare (vedi sopra), la sua area dovrebbe essere divisa in forme più semplici (ad esempio triangoli), calcola le loro aree e trova la loro somma.

Nella formula del volume, il simbolo h indica l'altezza del prisma. Rappresenta la lunghezza segmento perpendicolare tra due basi. Poiché il prisma è inclinato, l'altezza h va calcolata utilizzando la lunghezza del bordo laterale b e gli angoli diedro tra le facce laterali e la base.

La figura corretta e il suo volume

Se la base di un prisma quadrangolare è un quadrato e la figura stessa è diritta, si dice regolare. Va chiarito che un prisma si dice rettilineo quando tutti i suoi lati sono rettangoli e ciascuno di essi è perpendicolare alle basi. Figura corretta mostrato di seguito.

Il volume di un prisma quadrangolare regolare può essere calcolato utilizzando la stessa formula del volume di una figura irregolare. Poiché la base è un quadrato, la sua area si calcola semplicemente:

L'altezza del prisma h è uguale alla lunghezza del bordo laterale b (lato del rettangolo). Quindi il volume di un prisma quadrangolare regolare può essere calcolato utilizzando la seguente formula:

Si chiama prisma regolare a base quadrata parallelepipedo rettangolare. Se i lati a e b sono uguali, questo parallelepipedo diventa un cubo. Il volume di quest'ultimo è calcolato come segue:

Le formule scritte per il volume V indicano che maggiore è la simmetria della figura, minore è parametri lineari necessario per calcolare questo valore. Quindi, nel caso di un prisma regolare, il numero richiesto di parametri è due e nel caso di un cubo - uno.

Il problema con la figura corretta

Avendo considerato il problema della ricerca del volume di un prisma quadrangolare da un punto di vista teorico, applicheremo nella pratica le conoscenze acquisite.

È noto che un parallelepipedo regolare ha la diagonale di base lunga 12 cm. La lunghezza diagonale del suo lato è di 20 cm.

Indichiamo la diagonale della base con il simbolo da e la diagonale della faccia laterale con il simbolo db. Per la diagonale da valgono le seguenti espressioni:

Quanto al valore db, è la diagonale di un rettangolo di lati a e b. Per esso possiamo scrivere le seguenti uguaglianze:

db2 = a2 + b2 =>

b = √(db2 - a2)

Sostituendo a nell'ultima uguaglianza con l'espressione trovata, otteniamo:

b = √(db2 - da2/2)

Ora puoi sostituire le formule risultanti nell'espressione per il volume della figura regolare:

V = a2*b = da2/2*√(db2 - da2/2)

Sostituendo da e db con i numeri della formulazione del problema, arriviamo alla risposta: V ≈ 1304 cm3.

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