Si muove rispetto ad un sistema di riferimento e questo, a sua volta, si muove rispetto ad un altro sistema di riferimento. In questo caso sorge la domanda sulla connessione tra i movimenti del punto in questi due punti di riferimento.
Solitamente uno dei punti di riferimento viene scelto come base (“assoluto”), l'altro viene detto “mobile” e vengono introdotti i seguenti termini:
- movimento assoluto- questo è il movimento di un punto/corpo nella base SO.
- movimento relativo- è il movimento di un punto/corpo rispetto ad un sistema di riferimento in movimento.
- movimento portatile- questo è il movimento del secondo CO rispetto al primo.
Vengono inoltre introdotti i concetti di velocità e accelerazioni corrispondenti. Ad esempio, la velocità portatile è la velocità di un punto dovuta al movimento di un sistema di riferimento in movimento rispetto a quello assoluto. In altre parole, questa è la velocità di un punto in un sistema di riferimento in movimento, in al momento tempo coincidente con il punto materiale.
Risulta che quando si ottiene una connessione tra accelerazioni in diversi sistemi di riferimento, diventa necessario introdurre un'altra accelerazione dovuta alla rotazione del sistema di riferimento in movimento:
In ulteriore considerazione, si assume che il FR di base sia inerziale e non vengono imposte restrizioni a quello in movimento.
Meccanica classica
Cinematica del moto di punti complessi
Velocità
.I compiti principali della cinematica del movimento complesso sono stabilire le dipendenze tra le caratteristiche cinematiche dei movimenti assoluti e relativi di un punto (o corpo) e le caratteristiche del movimento di un sistema di riferimento in movimento, cioè il movimento portatile. Per un punto, queste dipendenze sono le seguenti: la velocità assoluta del punto è uguale a somma geometrica velocità relative e portatili, cioè
.Accelerazione
La connessione tra le accelerazioni può essere trovata differenziando la connessione per le velocità, senza dimenticare che i vettori di coordinate del sistema di coordinate in movimento possono dipendere anche dal tempo.
L'accelerazione assoluta di un punto è uguale alla somma geometrica di tre accelerazioni: relativa, portatile e Coriolis
.Cinematica del movimento del corpo complesso
Per un corpo rigido, quando tutti i movimenti compositi (cioè relativi e traslatori) sono traslazionali, anche il movimento assoluto è traslatorio con una velocità pari alla somma geometrica delle velocità dei movimenti compositi. Se i movimenti che compongono un corpo sono rotazionali attorno ad assi che si intersecano in un punto (come, ad esempio, in un giroscopio), allora anche il movimento risultante è rotatorio attorno a questo punto con una velocità angolare istantanea pari alla somma geometrica dei movimenti angolari velocità dei movimenti dei componenti. Se i movimenti che compongono il corpo sono sia traslazionali che rotazionali, allora il movimento risultante nel caso generale sarà composto da una serie di movimenti istantanei della vite.
È possibile calcolare la relazione tra le velocità di diversi punti di un corpo rigido in diversi sistemi di riferimento combinando la formula per sommare le velocità e la formula di Eulero per mettere in relazione le velocità dei punti di un corpo rigido. La connessione tra le accelerazioni si trova semplicemente differenziando l'uguaglianza vettoriale risultante rispetto al tempo.
Dinamica del moto di punti complessi
Quando si considera il movimento in un sistema di riferimento non inerziale, le prime 2 leggi di Newton vengono violate. Per garantire la loro attuazione formale, vengono solitamente introdotte forze inerziali aggiuntive, fittizie (non realmente esistenti): la forza centrifuga e la forza di Coriolis. Le espressioni di queste forze si ottengono dalla connessione tra le accelerazioni (sezione precedente).
Meccanica relativistica
Velocità
A velocità prossime a quella della luce, le trasformazioni galileiane non sono esattamente invarianti e la formula classica per sommare le velocità cessa di essere valida. Invece, le trasformazioni di Lorentz sono invarianti, e la relazione tra le velocità in due sistemi di riferimento inerziali è la seguente:
sotto l'ipotesi che la velocità sia diretta lungo l'asse x del sistema S. È facile vedere che nel limite delle velocità non relativistiche, le trasformazioni di Lorentz si riducono alle trasformazioni galileiane.
Viene però introdotta una quantità, la velocità, che è additiva quando si passa da una CO all'altra.
Si muove rispetto ad un sistema di riferimento e questo, a sua volta, si muove rispetto ad un altro sistema di riferimento. In questo caso sorge la domanda sulla connessione tra i movimenti del punto in questi due punti di riferimento.
Solitamente uno dei punti di riferimento viene scelto come base (“assoluto”), l'altro viene detto “mobile” e vengono introdotti i seguenti termini:
- movimento assoluto- questo è il movimento di un punto/corpo nella base SO.
- movimento relativo- è il movimento di un punto/corpo rispetto ad un sistema di riferimento in movimento.
- movimento portatile- questo è il movimento del secondo CO rispetto al primo.
Vengono inoltre introdotti i concetti di velocità e accelerazioni corrispondenti. Ad esempio, la velocità portatile è la velocità di un punto dovuta al movimento di un sistema di riferimento in movimento rispetto a quello assoluto. In altre parole, è la velocità di un punto in un sistema di riferimento in movimento che in un dato istante coincide con un punto materiale.
Risulta che quando si ottiene una connessione tra accelerazioni in diversi sistemi di riferimento, diventa necessario introdurre un'altra accelerazione dovuta alla rotazione del sistema di riferimento in movimento:
In ulteriore considerazione, si assume che il FR di base sia inerziale e non vengono imposte restrizioni a quello in movimento.
Meccanica classica
Cinematica del moto di punti complessi
Velocità
.I compiti principali della cinematica del movimento complesso sono stabilire le dipendenze tra le caratteristiche cinematiche dei movimenti assoluti e relativi di un punto (o corpo) e le caratteristiche del movimento di un sistema di riferimento in movimento, cioè il movimento portatile. Per un punto, queste dipendenze sono le seguenti: la velocità assoluta del punto è uguale alla somma geometrica delle velocità relativa e portatile, cioè
.Accelerazione
La connessione tra le accelerazioni può essere trovata differenziando la connessione per le velocità, senza dimenticare che i vettori di coordinate del sistema di coordinate in movimento possono dipendere anche dal tempo.
L'accelerazione assoluta di un punto è uguale alla somma geometrica di tre accelerazioni: relativa, portatile e Coriolis
.Cinematica del movimento del corpo complesso
Per un corpo rigido, quando tutti i movimenti compositi (cioè relativi e traslatori) sono traslazionali, anche il movimento assoluto è traslatorio con una velocità pari alla somma geometrica delle velocità dei movimenti compositi. Se i movimenti che compongono un corpo sono rotazionali attorno ad assi che si intersecano in un punto (come, ad esempio, in un giroscopio), allora anche il movimento risultante è rotatorio attorno a questo punto con una velocità angolare istantanea pari alla somma geometrica dei movimenti angolari velocità dei movimenti dei componenti. Se i movimenti che compongono il corpo sono sia traslazionali che rotazionali, allora il movimento risultante nel caso generale sarà composto da una serie di movimenti istantanei della vite.
È possibile calcolare la relazione tra le velocità di diversi punti di un corpo rigido in diversi sistemi di riferimento combinando la formula per sommare le velocità e la formula di Eulero per mettere in relazione le velocità dei punti di un corpo rigido. La connessione tra le accelerazioni si trova semplicemente differenziando l'uguaglianza vettoriale risultante rispetto al tempo.
Dinamica del moto di punti complessi
Quando si considera il movimento in un sistema di riferimento non inerziale, le prime 2 leggi di Newton vengono violate. Per garantire la loro attuazione formale, vengono solitamente introdotte forze inerziali aggiuntive, fittizie (non realmente esistenti): la forza centrifuga e la forza di Coriolis. Le espressioni di queste forze si ottengono dalla connessione tra le accelerazioni (sezione precedente).
Meccanica relativistica
Velocità
A velocità prossime a quella della luce, le trasformazioni galileiane non sono esattamente invarianti e la formula classica per sommare le velocità cessa di essere valida. Invece, le trasformazioni di Lorentz sono invarianti, e la relazione tra le velocità in due sistemi di riferimento inerziali è la seguente:
sotto l'ipotesi che la velocità sia diretta lungo l'asse x del sistema S. È facile vedere che nel limite delle velocità non relativistiche, le trasformazioni di Lorentz si riducono alle trasformazioni galileiane.
Letteratura
- N. G. Chetaev. " Meccanica teorica" M.: Scienza. 1987. 368 pag.
Finora abbiamo studiato il moto di un punto o di un corpo rispetto ad un dato sistema di riferimento. Tuttavia, in numerosi casi, nella risoluzione di problemi di meccanica, risulta opportuno (e talvolta necessario) considerare il movimento di un punto (o corpo) contemporaneamente rispetto a due sistemi di riferimento, di cui uno è considerato il principale o condizionatamente stazionario, e l'altro si muove in un certo modo rispetto al primo. Viene chiamato il movimento eseguito dal punto (o corpo). composito O complesso. Ad esempio, si può considerare che una palla che rotola lungo il ponte di una nave a vapore in movimento esegua un movimento complesso rispetto alla riva, consistente nel rotolare rispetto al ponte (sistema di riferimento in movimento) e nel muoversi insieme al ponte della nave a vapore. rispetto alla riva (sistema di riferimento fisso). In questo modo il movimento complesso della palla viene scomposto in due movimenti più semplici e più facilmente studiabili.
Fig.48
Considera il punto M, in movimento rispetto al sistema di riferimento in movimento Oxyz, che a sua volta si muove in qualche modo rispetto a un altro sistema di riferimento, che chiamiamo principale o condizionatamente stazionario (Fig. 48). Ciascuno di questi sistemi di riferimento è associato, ovviamente, ad un corpo specifico, non mostrato nel disegno. Introduciamo le seguenti definizioni.
1. Movimento effettuato da un punto M rispetto al sistema di riferimento mobile (agli assi Oxyz), chiamato movimento relativo(tale movimento sarà visto da un osservatore associato a questi assi e in movimento con essi). Traiettoria AB descritta da un punto in moto relativo è chiamata traiettoria relativa. Velocità del punto M rispetto agli assi Oxyzè chiamata velocità relativa (indicata con ), e l'accelerazione è chiamata accelerazione relativa (indicata con ). Dalla definizione ne consegue che durante il calcolo ed è possibile spostare gli assi Oxyz non tenerne conto (considerarli immobili).
2. Movimento eseguito da un sistema di riferimento mobile Oxyz(e tutti i punti dello spazio invariabilmente associati ad esso) in relazione al sistema fisso, è fondamentale Movimento portatile M.
La velocità è invariabilmente associata agli assi in movimento Oxyz punti M, con il quale il punto in movimento coincide in un dato momento nel tempo M, è detta velocità di trasferimento del punto M in questo momento (indicato con ) e l'accelerazione di questo punto M- accelerazione portatile di un punto M(indicato con ). Così,
Se immaginiamo che il moto relativo di un punto avvenga lungo la superficie (o all'interno) solido, con cui gli assi mobili sono rigidamente collegati Oxyz, quindi la velocità portatile (o accelerazione) del punto M in un dato istante di tempo ci sarà la velocità (o accelerazione) di quel punto m del corpo con cui il punto coincide in quell'istante M.
3. Si chiama il movimento compiuto da un punto rispetto ad un sistema di riferimento fisso assoluto o complesso. Traiettoria CD di questo movimento è chiamata traiettoria assoluta, la velocità è chiamata velocità assoluta (indicata con ) e l'accelerazione è chiamata accelerazione assoluta (indicata con ).
Nell'esempio sopra, il movimento della palla rispetto al ponte del piroscafo sarà relativo e la velocità sarà la velocità relativa della palla; il movimento del piroscafo rispetto alla riva sarà un movimento mobile della palla, e la velocità del punto del ponte che la palla tocca in un dato momento sarà la sua velocità mobile in quel momento; infine, il movimento della palla rispetto alla riva sarà il suo moto assoluto, e la velocità sarà la velocità assoluta della palla.
Quando si studia il movimento complesso di un punto è utile applicare la “Regola di Arresto”. Affinché un osservatore stazionario possa vedere il movimento relativo di un punto, il movimento portatile deve essere fermato.
Allora si verificherà solo il movimento relativo. Il movimento relativo diventerà assoluto. E viceversa, se si interrompe il movimento relativo, quello portatile diventerà assoluto e un osservatore fermo vedrà solo questo movimento portatile.
In quest'ultimo caso, quando si determina il movimento portatile di un punto, viene rivelata una circostanza molto importante. Il movimento portatile di un punto dipende dal momento in cui il movimento relativo si arresta, da dove si trova in quel momento il punto sul mezzo. Poiché, in generale, tutti i punti del mezzo si muovono diversamente. Pertanto, è più logico determinarlo movimento portatile di un punto come movimento assoluto di quel punto nell'ambiente con cui il punto in movimento coincide attualmente.
Un movimento complesso di un punto è un movimento in cui il punto partecipa contemporaneamente a due o più movimenti.
Consideriamo il moto complesso di un punto M che si muove rispetto ad un sistema di riferimento mobile Oxyz, che a sua volta si muove rispetto ad un altro sistema di riferimento O 1 x 1 y 1 z 1, che convenzionalmente chiameremo stazionario (Fig. 10.1).
Il movimento del punto M rispetto agli assi delle coordinate mobili è chiamato movimento relativo. La velocità e l'accelerazione di un punto rispetto agli assi in movimento sono chiamate velocità relativa e accelerazione relativa. Indicheremo queste quantità con e .
Trasportabile è il movimento relativo ad un sistema di riferimento stazionario di quel punto del sistema di riferimento mobile con cui il punto mobile M attualmente coincide. Di conseguenza, considereremo la velocità portatile e l'accelerazione portatile come la velocità e l'accelerazione di quel punto del movimento sistema di riferimento con il quale il punto in movimento coincide in un dato momento nel tempo M. Indichiamo con e .
Il moto del punto M rispetto ad un sistema di riferimento fisso è detto moto assoluto. La velocità e l'accelerazione di un punto in questo movimento sono chiamate velocità assoluta e accelerazione assoluta. Queste quantità sono indicate con e .
Se un punto partecipa contemporaneamente a movimenti relativi e portatili, il suo movimento assoluto è chiamato complesso e i suoi movimenti relativi e portatili sono chiamati movimenti componenti.
10.2. Velocità di un punto in moto assoluto, relativo e trasportabile
Se il punto M è coinvolto in un moto complesso, allora vale il teorema secondo il quale la velocità assoluta del punto è uguale alla somma geometrica della velocità portatile e relativa di questo punto:
Per determinare la velocità portatile, si ferma mentalmente il movimento relativo e si calcola la velocità portatile secondo le regole della cinematica di un corpo rigido, cioè come la velocità di quel punto del sistema di riferimento mobile con cui il punto mobile coincide attualmente .
Per determinare la velocità relativa di un punto, dovresti fermare mentalmente il movimento portatile e calcolare la velocità relativa secondo le regole della cinematica del punto.
|
Utilizzando l'equazione (10.1), l'entità della velocità assoluta può essere determinata geometricamente e analiticamente. Per il metodo geometrico per risolvere questo problema, puoi costruire un triangolo chiuso di velocità (Fig. 10.2, a) o un parallelogramma di velocità (Fig. 10.2, b).
Quindi la velocità assoluta è determinata dalle formule
(10.2)
O 
, (10.3)
dove β e γ sono gli angoli formati dal vettore con i vettori e .
Quando si applica il metodo della proiezione, è sufficiente selezionare gli assi coordinati e proiettare l'uguaglianza (10.1) su questi assi.
MOVIMENTI COMPLESSI DEL PUNTO
§ 1. Moto assoluto, relativo e portatile del punto
In numerosi casi, è necessario considerare il movimento di un punto rispetto al sistema di coordinate O 1 ξηζ, che, a sua volta, si muove rispetto ad un altro sistema di coordinate Oxz, convenzionalmente accettato come stazionario. Nella meccanica, ciascuno di questi sistemi di coordinate è associato ad un determinato corpo. Ad esempio, considera il rotolamento senza scivolamento della ruota di un'auto su un binario. Collegheremo il sistema di coordinate fisse Ax con la rotaia e collegheremo il sistema mobile Oξη con il centro della ruota e supponiamo che si muova traslatoriamente. Il movimento di un punto sul cerchione di una ruota è composto o complesso.
Introduciamo le seguenti definizioni:
1. Il movimento di un punto rispetto al sistema di coordinate Oxyz (Fig. 53) è chiamato assoluto.
2. Movimento di un punto rispetto a un sistema di coordinate in movimento O 1 ξηζ detto abitato.
3. Il movimento traslazionale di un punto è il movimento di quel punto di un corpo associato ad un sistema di coordinate in movimento O1ξηζ, relativo ad un sistema di coordinate fisse con cui attualmente coincide il punto mobile in questione.
Pertanto, il movimento portatile è causato dal movimento di un sistema di coordinate mobile rispetto a uno fisso. Nell'esempio riportato con una ruota, il movimento mobile di un punto sul bordo della ruota è dovuto al movimento traslatorio del sistema di coordinate O1ξηζ rispetto al sistema di coordinate fisse Axy.
Otteniamo le equazioni del moto assoluto di un punto esprimendo le coordinate del punto x, y, z in funzione del tempo:
x=x(T), y = y(T), z = z(T).
Equazioni movimento relativo i punti sembrano
ξ = ξ (T), η = η (t), ζ = ζ (T).
In forma parametrica, le equazioni (11.76) esprimono le equazioni della traiettoria assoluta e le equazioni (11.77) - rispettivamente, le equazioni della traiettoria relativa.
Esistono anche velocità assolute, portatili e relative e, di conseguenza, accelerazioni assolute, portatili e relative di un punto. La velocità assoluta è indicata da υ UN, relativo - υ R, portatile - υ e Pertanto le accelerazioni si indicano con: ω a, ω R E ω e.
Il compito principale della cinematica del movimento complesso di un punto è stabilire la relazione tra le velocità e le accelerazioni di un punto in due sistemi di coordinate: stazionario e in movimento.
Per dimostrare i teoremi sulla somma delle velocità e delle accelerazioni nel moto complesso di un punto, introduciamo il concetto di derivata locale o relativa.
Teorema dell'addizione della velocità
Teorema . Con movimento complesso (composito) di un punto, la sua velocità assoluta υ UN uguale alla somma vettoriale del relativo υ R e portatile υ e velocità
Lascia che il punto M esegua movimenti simultanei rispetto ai sistemi di coordinate fisse e mobili (Fig. 56). Indichiamo la velocità angolare di rotazione del sistema di coordinate Оξηζ con ω . La posizione del punto M è determinata dal raggio vettore R.
Stabiliamo la relazione tra le velocità del punto M in relazione a due sistemi di coordinate: stazionario e in movimento. In base al teorema dimostrato nel paragrafo precedente
Dalla cinematica di un punto si sa che la derivata prima del raggio vettore di un punto in movimento rispetto al tempo esprime la velocità di questo punto. Pertanto = R = υ a- velocità assoluta, = υ R- velocità relativa,
UN ω X R = υ e- velocità portatile del punto M. Pertanto,
υ a= υ R+υ e
La formula (11.79) esprime la regola del parallelogramma delle velocità. Troviamo il modulo di velocità assoluto utilizzando il teorema del coseno:
In alcuni problemi cinematici è necessario determinare la velocità relativa υ R. Dalla (11.79) segue
υ R= υ a +(- υ e).
Pertanto, per costruire un vettore di velocità relativa, è necessario sommare geometricamente la velocità assoluta con un vettore uguale in valore assoluto, ma opposto in direzione alla velocità di trasferimento.
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