Teorema sul limite di una funzione monotona. La dimostrazione del teorema è data utilizzando due metodi. Vengono fornite anche le definizioni di funzioni strettamente crescenti, non decrescenti, strettamente decrescenti e non crescenti. Definizione di funzione monotona.
ContenutoLa funzione non è limitata dall'alto
1.1. Sia finito il numero b: .
1.1.2. Sia la funzione illimitata dall'alto.
.
A .
Indichiamo . Quindi per qualsiasi esiste , in modo che
A .
Ciò significa che il limite a sinistra nel punto b è (vedi "Definizioni di limiti infiniti unilaterali di una funzione nel punto finale").
b inizio più infinito
Funzione limitata dall'alto
1. Lascia che la funzione non decresca sull'intervallo .
1.2.1. Lascia che la funzione sia delimitata dall'alto dal numero M : per .
Dimostriamo che in questo caso esiste un limite.
Poiché la funzione è limitata dall'alto, esiste un limite superiore finito
.
Secondo la definizione del minimo limite superiore, sono soddisfatte le seguenti condizioni:
;
per ogni positivo c'è un argomento per il quale
.
Poiché la funzione non diminuisce, allora per . Poi alle . O
A .
Così abbiamo scoperto che per ogni esiste un numero , così che
A .
"Definizioni di limiti unilaterali all'infinito").
La funzione non è limitata dall'alto
1. Lascia che la funzione non decresca sull'intervallo .
1.2. Sia il numero b più infinito: .
1.2.2. Sia la funzione illimitata dall'alto.
Dimostriamo che in questo caso esiste un limite.
Poiché la funzione non è limitata dall'alto, allora per qualsiasi numero M c'è un argomento , per il quale
.
Poiché la funzione non diminuisce, allora per . Poi alle .
Quindi, per ogni c'è un numero , così quello
A .
Ciò significa che il limite a è (vedere "Definizioni di limiti infiniti unilaterali all'infinito").
La funzione non aumenta
Consideriamo ora il caso in cui la funzione non è crescente. Puoi, come sopra, considerare ciascuna opzione separatamente. Ma li copriremo subito. Per questo usiamo . Dimostriamo che in questo caso esiste un limite.
Considera il limite inferiore finito dell'insieme dei valori delle funzioni:
.
Qui B può essere un numero finito o un punto all'infinito. Secondo la definizione dell'esatto infimum, sono soddisfatte le seguenti condizioni:
;
per ogni intorno del punto B c'è un argomento per il quale
.
Per la condizione del teorema, . Ecco perché .
Poiché la funzione non aumenta, allora per . Da allora
A .
O
A .
Inoltre, notiamo che la disuguaglianza definisce l'intorno punteggiato sinistro del punto b .
Quindi, abbiamo trovato che per ogni intorno del punto c'è un intorno sinistro del punto b tale che
A .
Ciò significa che il limite a sinistra nel punto b è:
(vedi la definizione universale del limite di una funzione secondo Cauchy).
Limite al punto a
Ora mostriamo che c'è un limite nel punto a e troviamo il suo valore.
Consideriamo una funzione. Per la condizione del teorema, la funzione è monotona per . Sostituiamo la variabile x con - x (o facciamo la sostituzione e poi sostituiamo la variabile t con x ). Allora la funzione è monotona per . Moltiplicando le disuguaglianze per -1 e cambiando il loro ordine, concludiamo che la funzione è monotona per .
In modo simile è facile dimostrare che se non diminuisce, allora non aumenta. Allora, secondo quanto dimostrato sopra, c'è un limite
.
Se non aumenta, allora non diminuisce. In questo caso c'è un limite
.
Ora resta da mostrare che se c'è un limite della funzione in , allora c'è un limite della funzione in , e questi limiti sono uguali:
.
Introduciamo la notazione:
(1)
.
Esprimiamo f in termini di g :
.
Prendi un numero positivo arbitrario. Sia un intorno epsilon del punto A . L'intorno di Epsilon è definito sia per valori finiti che infiniti di A (vedi "Vicinanza di un punto"). Poiché esiste un limite (1), allora, secondo la definizione di limite, per qualsiasi esiste tale che
A .
Sia a un numero finito. Esprimiamo l'intorno punteggiato sinistro del punto -a utilizzando le disuguaglianze:
A .
Sostituiamo x con -x e teniamo conto che:
A .
Le ultime due disuguaglianze definiscono un intorno retto perforato del punto a . Poi
A .
Sia a un numero infinito, . Ripetiamo la discussione.
A ;
A ;
A ;
A .
Quindi, abbiamo scoperto che per qualsiasi esiste tale che
A .
Significa che
.
Il teorema è stato dimostrato.
Guarda anche:Chiameremo la funzione y=f(x) BOUNDED UP (BOTTOM) sull'insieme A dal dominio D(f), se esiste un tale numero M , che per qualsiasi x da questo imposti la condizione
Utilizzando simboli logici, la definizione può essere scritta come:
f(x) – delimitato dall'alto sul set
(f(x) – delimitato dal basso sul set
Si introducono anche funzioni limitate in valore assoluto o semplicemente limitate.
Chiameremo una funzione BOUNDED sull'insieme A dal dominio di definizione se esiste un numero positivo M tale che
Nel linguaggio dei simboli logici
f(x) – limitato sul set
Una funzione che non è limitata si dice illimitata. Sappiamo che le definizioni date attraverso la negazione hanno poco contenuto. Per formulare questa asserzione come definizione, usiamo le proprietà delle operazioni di quantificazione (3.6) e (3.7). Allora la negazione della limitatezza della funzione nel linguaggio dei simboli logici darà:
f(x) – limitato sul set
Il risultato ottenuto ci permette di formulare la seguente definizione.
Una funzione si dice ILLIMITATA sull'insieme A, che appartiene al dominio della funzione, se su questo insieme per ogni numero positivo M esiste un tale valore dell'argomento x , che il valore supererà ancora il valore di M, cioè .
Ad esempio, considera la funzione
È definito sull'intero asse reale. Se prendiamo il segmento [–2;1] (insieme A), allora su di esso sarà delimitato sia dall'alto che dal basso.
Infatti, per mostrare che è delimitato dall'alto, dobbiamo considerare il predicato
e mostrare che esiste (esiste) M tale che per ogni x preso sul segmento [–2;1], sarà vero
Non è difficile trovare un M. Possiamo assumere M = 7, il quantificatore di esistenza implica trovare almeno un valore di M. La presenza di tale M conferma il fatto che la funzione sul segmento [–2;1] è delimitata dall'alto.
Per dimostrare la sua limitatezza dal basso, dobbiamo considerare il predicato
Il valore di M, che assicura la verità di questo predicato, è, ad esempio, M = -100.
Si può dimostrare che anche la funzione sarà limitata modulo: per ogni x del segmento [–2;1], i valori della funzione coincidono con i valori di , quindi, come M, possiamo prendere , ad esempio, il valore precedente M = 7.
Mostriamo che la stessa funzione, ma sull'intervallo , sarà illimitata, cioè
Per dimostrare che tale x esiste, si consideri l'affermazione
Cercando i valori richiesti di x tra i valori positivi dell'argomento, otteniamo
Ciò significa che non importa quale M positivo assumiamo, i valori di x che assicurano il soddisfacimento della disuguaglianza
si ottengono dal rapporto
Considerando una funzione sull'intero asse reale, si può dimostrare che essa è illimitata in valore assoluto.
Anzi, dalla disuguaglianza
Cioè, non importa quanto grande sia il positivo M, o assicurerà il soddisfacimento della disuguaglianza .
FUNZIONE ESTREMA.
La funzione ha al punto Con massimo locale (minimo) se c'è un tale intorno di questo punto che per X¹ Con questo quartiere soddisfa la disuguaglianza
soprattutto che il punto estremo può essere solo un punto interno del gap, e f(x) deve essere definito in esso. Possibili casi di assenza di un estremo sono mostrati nelle Figg. 8.8.
Se una funzione aumenta (diminuisce) su un certo intervallo e diminuisce (aumenta) su un certo intervallo, allora il punto Con è il punto di massimo (minimo) locale.
L'assenza di un massimo della funzione f(x) in un punto Con può essere formulato così:
_______________________
f(x) ha massimo in c
Ciò significa che se il punto c non è un punto di massimo locale, allora qualunque sia l'intorno che include il punto c come interno, esiste almeno un valore di x diverso da c, per cui . Pertanto, se non c'è un massimo nel punto c, allora potrebbe non esserci affatto un estremo in questo punto, oppure potrebbe essere un punto minimo (Fig. 8.9).
Il concetto di estremo fornisce una valutazione comparativa del valore di una funzione in qualsiasi punto rispetto a quelle vicine. Un confronto simile dei valori delle funzioni può essere effettuato per tutti i punti di un certo intervallo.
Il valore PIÙ GRANDE (MINIMO) di una funzione su un insieme è il suo valore in un punto di questo insieme tale che – per . Il valore massimo della funzione è raggiunto nel punto interno del segmento , e il più piccolo – alla sua estremità sinistra.
Per determinare il valore più grande (il più piccolo) di una funzione data su un segmento, è necessario scegliere il numero più grande (il più piccolo) tra tutti i valori dei suoi massimi (minimi), nonché i valori presi a le estremità dell'intervallo. Sarà il valore più grande (più piccolo) della funzione. Questa regola sarà specificata in seguito.
Il problema di trovare i valori massimo e minimo di una funzione su un intervallo aperto non è sempre facilmente risolvibile. Ad esempio, la funzione
nell'intervallo (Fig. 8.11) non li ha.
Assicuriamoci, ad esempio, che questa funzione non abbia il massimo valore. Infatti, data la monotonia della funzione, si può sostenere che per quanto vicini poniamo i valori di x alla sinistra dell'unità, ci saranno altri x in cui i valori della funzione saranno maggiori di i suoi valori nei punti fissi dati, ma comunque inferiori all'unità.
Si noti che tutte le definizioni includono un insieme numerico X, che fa parte del dominio della funzione: X con D(f). In pratica, molto spesso ci sono casi in cui X è un intervallo numerico (segmento, intervallo, raggio, ecc.).
Definizione 1.
Viene chiamata una funzione y \u003d f (x) crescente su un insieme X con D (f) se per due punti qualsiasi x 1 e x 2 dell'insieme X tale che x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).
Definizione 2.
Viene chiamata una funzione y \u003d f (x) decrescente su un insieme X con D (f) se per qualsiasi monotonia di due punti x 1 e x 2 dell'insieme X, tale che x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).
In pratica è più conveniente utilizzare le seguenti formulazioni: la funzione aumenta se al valore maggiore dell'argomento corrisponde il valore maggiore della funzione; la funzione è decrescente se il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore minore della funzione.
In 7a e 8a classe, abbiamo utilizzato la seguente interpretazione geometrica dei concetti di funzioni crescenti o decrescenti: spostandoci lungo il grafico di una funzione crescente da sinistra a destra, saliamo su per la collina (Fig. 55); muovendosi lungo il grafico di una funzione decrescente da sinistra a destra, come se stessimo scendendo da una collina (Fig. 56).
Di solito i termini "funzione crescente", "funzione decrescente" sono uniti dal nome comune funzione monotona, e lo studio di una funzione per aumentare o diminuire è chiamato studio di una funzione per monotonicità.
Notiamo un'altra circostanza: se una funzione è crescente (o decrescente) nel suo dominio naturale, di solito si dice che la funzione è crescente (o decrescente) - senza specificare l'insieme di numeri X.
Esempio 1
Esaminare la funzione per la monotonicità:
UN) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.
Soluzione:
a) Prendi valori arbitrari dell'argomento x 1 e x 2 e lascia x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:
L'ultima disuguaglianza significa che f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).
Quindi da x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), che significa che la funzione data è decrescente (su tutta la retta numerica).
Definizione 3.
La funzione y - f(x) è chiamata limitata dal basso sull'insieme X con D (f) se tutti i valori della funzione sull'insieme X sono maggiori di un certo numero (in altre parole, se c'è un numero m tale che per ogni valore x є X la disuguaglianza f( x) >m).
Definizione 4.
La funzione y \u003d f (x) viene chiamata delimitata dall'alto sull'insieme X con D (f) se tutti i valori della funzione sono inferiori a un certo numero (in altre parole, se esiste un numero M tale che per ogni valore x є X la disuguaglianza f (x)< М).
Se l'insieme X non è specificato, si presume che la funzione sia limitata dal basso o dall'alto nell'intero dominio di definizione.
Se una funzione è limitata sia dal basso che dall'alto, allora si dice limitata.
La limitatezza di una funzione si legge facilmente dal suo grafico: se la funzione è delimitata dal basso, allora il suo grafico si trova interamente sopra una linea orizzontale y \u003d m (Fig. 57); se la funzione è delimitata dall'alto, il suo grafico si trova interamente sotto una linea orizzontale y \u003d M (Fig. 58).
Esempio 2 Studiare una funzione per la limitatezza
Soluzione. Da un lato, la disuguaglianza è abbastanza ovvia (per definizione di radice quadrata, ciò significa che la funzione è limitata dal basso. Dall'altro, abbiamo e quindi
Ciò significa che la funzione è limitata dall'alto. Osserviamo ora il grafico della funzione data (Fig. 52 del paragrafo precedente). La limitatezza della funzione sia dall'alto che dal basso si legge abbastanza facilmente dal grafico.
Definizione 5.
Il numero m è chiamato il valore più piccolo della funzione y \u003d f (x) sull'insieme X C D (f), se:
1) in X esiste un punto x 0 tale che f(x 0) = m;
2) per ogni x da X la disuguaglianza m>f(х 0) è soddisfatta.
Definizione 6.
Il numero M è chiamato il valore più grande della funzione y \u003d f (x) sull'insieme X C D (f), se:
1) in X esiste un punto x 0 tale che f(x 0) = M;
2) per ogni x da X, la disuguaglianza
Abbiamo indicato il valore più piccolo della funzione sia nel 7° che nell'8° grado con il simbolo y, e il valore più grande con il simbolo y.
Se l'insieme X non è specificato, resta inteso che stiamo parlando di trovare il valore più piccolo o più grande della funzione nell'intero dominio di definizione.
Le seguenti affermazioni utili sono abbastanza ovvie:
1) Se una funzione ha Y, allora è limitata dal basso.
2) Se una funzione ha Y, allora è delimitata dall'alto.
3) Se la funzione non è limitata sotto, allora Y non esiste.
4) Se la funzione non è limitata dall'alto, allora Y non esiste.
Esempio 3
Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione
Soluzione.
È abbastanza ovvio, soprattutto se si ricorre al grafico della funzione (Fig. 52), che = 0 (la funzione raggiunge questo valore nei punti x = -3 e x = 3), a = 3 (la funzione raggiunge questo valore nel punto x = 0.
In 7a e 8a elementare, abbiamo menzionato altre due proprietà delle funzioni. La prima è stata chiamata proprietà di convessità di una funzione. Si considera che una funzione sia convessa verso il basso sull'intervallo X se, collegando due punti qualsiasi del suo grafico (con ascisse da X) con un segmento di retta, troviamo che la parte corrispondente del grafico si trova al di sotto del segmento disegnato ( Fig. 59). continuità Una funzione è convessa verso l'alto sull'intervallo X se, collegando due punti qualsiasi del suo grafico (con ascisse da X) mediante un segmento di retta, troviamo che la corrispondente parte del grafico giace al di sopra del segmento disegnato (Fig. 60 ).
La seconda proprietà - la continuità della funzione sull'intervallo X - significa che il grafico della funzione sull'intervallo X è continuo, cioè non ha forature e salti.
Commento.
In matematica, infatti, tutto è, come si suol dire, “esattamente il contrario”: il grafico di una funzione viene rappresentato come una linea continua (senza forature e salti) solo quando viene dimostrata la continuità della funzione. Ma la definizione formale della continuità di una funzione, che è piuttosto complessa e sottile, è ancora al di là delle nostre possibilità. Lo stesso si può dire della convessità di una funzione. Discutendo queste due proprietà delle funzioni, continueremo a fare affidamento su rappresentazioni visivo-intuitive.
Ora rivediamo le nostre conoscenze. Ricordando le funzioni che abbiamo studiato in 7a e 8a classe, chiariremo come appaiono i loro grafici ed elencheremo le proprietà della funzione, aderendo a un certo ordine, ad esempio: dominio di definizione; monotono; limitazione; , ; continuità; intervallo di valori; convesso.
Successivamente, appariranno nuove proprietà delle funzioni e l'elenco delle proprietà cambierà di conseguenza.
1. Funzione costante y \u003d C
Il grafico della funzione y \u003d C è mostrato in fig. 61 - linea retta, parallela all'asse x. Questa è una funzione così poco interessante che non ha senso elencarne le proprietà.
Il grafico della funzione y \u003d kx + m è una linea retta (Fig. 62, 63).
Proprietà della funzione y \u003d kx + m:
1) 
2) aumenta se k > 0 (Fig. 62), diminuisce se k< 0 (рис. 63);
4) non ci sono né il valore più grande né quello più piccolo;
5) la funzione è continua;
6) 
7) non ha senso parlare di convessità.
Il grafico della funzione y \u003d kx 2 è una parabola con un vertice all'origine e con rami diretti verso l'alto se k\u003e O (Fig. 64) e verso il basso se k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.
Proprietà della funzione y - kx 2:
Per il caso k > 0 (Fig. 64):
1) D(f) = (-oo,+oo);
4) = non esiste;
5) continuo;
6) Å(f) = la funzione diminuisce, e sull'intervallo , diminuisce sulla semiretta;
7) convesso verso l'alto.
Il grafico della funzione y \u003d f (x) è costruito punto per punto; più punti della forma (x; f (x)) prendiamo, più precisa è l'idea del grafico che otteniamo. Se prendiamo molti di questi punti, l'idea del grafico sarà più completa. È in questo caso che l'intuizione ci dice che il grafico dovrebbe essere disegnato come una linea continua (in questo caso, come una parabola). E poi, leggendo il grafico, traiamo conclusioni sulla continuità della funzione, sulla sua convessità verso il basso o verso l'alto, sull'intervallo della funzione. Dovete capire che delle sette proprietà elencate, solo le proprietà 1), 2), 3), 4) sono "legittime" nel senso che siamo in grado di sostanziarle, facendo riferimento a definizioni precise. Abbiamo solo rappresentazioni visivo-intuitive sulle restanti proprietà. A proposito, non c'è niente di sbagliato in questo. Dalla storia dello sviluppo della matematica, è noto che l'umanità spesso e per lungo tempo ha utilizzato varie proprietà di determinati oggetti, non conoscendo le definizioni esatte. Poi, quando è stato possibile formulare tali definizioni, tutto è andato a posto. 
Il grafico della funzione è un'iperbole, gli assi delle coordinate fungono da asintoti dell'iperbole (Fig. 66, 67).
1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) se k > 0, allora la funzione decresce sul raggio aperto (-oo, 0) e sul raggio aperto (0, +oo) (Fig. 66); se a< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) non è limitato né dal basso né dall'alto;
4) non ci sono né i valori più piccoli né quelli più grandi;
5) la funzione è continua sulla semiretta aperta (-oo, 0) e sulla semiretta aperta (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) se k > 0, allora la funzione è convessa verso l'alto in x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, cioè sulla trave aperta (0, +oo) (Fig. 66). Se a< 0, то функция выпукла вверх при х >o e convesso in basso in x< О (рис. 67).
Il grafico della funzione è un ramo della parabola (Fig. 68). Proprietà della funzione:
1) D(f) = , è crescente sul raggio ed è differenziabile nell'intervallo ( UN;B), allora c'è un punto tale che
Teorema di Cauchy.
Se le funzioni f(x) e g(x) sono continue sull'intervallo e differenziabili sull'intervallo (a, b) e g¢(x) ¹ 0 sull'intervallo (a, b), allora esiste almeno una punto e, a< e < b, такая, что
Quelli. il rapporto degli incrementi delle funzioni su un dato segmento è uguale al rapporto delle derivate nel punto e. Esempi di problem solving lezione frontale Calcolo del volume di un corpo dalle aree note delle sue sezioni parallele Calcolo integrale
Gli esempi ovviamente funzionano ingegnere elettrico
Per dimostrare questo teorema, a prima vista, è molto conveniente usare il teorema di Lagrange. Annota la formula alle differenze finite per ciascuna funzione, quindi dividile l'una per l'altra. Tuttavia, questa visione è errata, perché il punto e per ciascuna delle funzioni è generalmente diverso. Certo, in alcuni casi particolari questo punto dell'intervallo può risultare lo stesso per entrambe le funzioni, ma questa è una rarissima coincidenza, non una regola, e quindi non può essere usata per dimostrare il teorema.
Prova. Considera la funzione di supporto
Quando x→x 0, anche il valore di c tende a x 0; passiamo nella precedente uguaglianza al limite:
Perché , Quello .
Ecco perché
(il limite del rapporto tra due infinitesimi è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, se quest'ultimo esiste)
Regola di L'Hopital, a ∞ / ∞.
1) Ambito e gamma di funzioni.
L'ambito di una funzione è l'insieme di tutti i valori validi validi dell'argomento X(variabile X) per cui la funzione y = f(x) definito. L'intervallo di una funzione è l'insieme di tutti i valori reali si che la funzione accetta.
Nella matematica elementare le funzioni si studiano solo sull'insieme dei numeri reali.
2) Funzione zeri.
Lo zero della funzione è il valore dell'argomento in corrispondenza del quale il valore della funzione è uguale a zero.
3) Intervalli di costanza di segno di una funzione.
Gli intervalli di segno costante di una funzione sono tali insiemi di valori argomento sui quali i valori della funzione sono solo positivi o solo negativi.
4) Monotonia della funzione.
Una funzione crescente (in un certo intervallo) è una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento da questo intervallo corrisponde a un valore maggiore della funzione.
Funzione decrescente (in un intervallo) - una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento da questo intervallo corrisponde a un valore minore della funzione.
5) Funzioni pari (dispari)..
Una funzione pari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(-x) = f(x). Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.
Una funzione dispari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(-x) = - f(x). Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.
6) Funzioni limitate e illimitate.
Una funzione si dice limitata se esiste un numero positivo M tale che |f(x)| ≤ M per tutti i valori di x . Se non esiste tale numero, la funzione è illimitata.
7) Periodicità della funzione.
Una funzione f(x) è periodica se esiste un numero T diverso da zero tale che per ogni x dal dominio della funzione, f(x+T) = f(x). Questo numero più piccolo è chiamato il periodo della funzione. Tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche. (Formule trigonometriche).
19. Funzioni elementari di base, loro proprietà e grafici. Applicazione delle funzioni nell'economia.
Funzioni elementari di base. Loro proprietà e grafici
1. Funzione lineare.
Funzione lineare è chiamata funzione della forma , dove x è una variabile e eb sono numeri reali.
Numero UN detta pendenza di una retta, è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione di questa retta rispetto alla direzione positiva dell'asse x. Il grafico di una funzione lineare è una retta. È definito da due punti.
Proprietà delle funzioni lineari
1. Dominio di definizione: l'insieme di tutti i numeri reali: D (y) \u003d R
2. L'insieme dei valori è l'insieme di tutti i numeri reali: E(y)=R
3. La funzione assume un valore zero per o.
4. La funzione aumenta (diminuisce) nell'intero dominio di definizione.
5. La funzione lineare è continua su tutto il dominio di definizione, differenziabile e .
2. Funzione quadratica.
Viene chiamata una funzione della forma, dove x è una variabile, i coefficienti a, b, c sono numeri reali quadratico.
Probabilità a, b, c determinare la posizione del grafico sul piano delle coordinate
Il coefficiente a determina la direzione dei rami. Il grafico di una funzione quadratica è una parabola. Le coordinate del vertice della parabola si trovano con le formule:
Proprietà della funzione:
2. Un insieme di valori di uno degli intervalli: o.
3. La funzione assume valori zero quando 
, dove il discriminante è calcolato dalla formula:.
4. La funzione è continua in tutto il dominio di definizione e la derivata della funzione è uguale a .
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