Vad är summan av vinklarna för en konvex polygon? Vanlig polygon

I 8:e klass, under geometrilektionerna i skolan, introduceras eleverna först för begreppet en konvex polygon. Mycket snart kommer de att lära sig att denna figur har en mycket intressant egenskap. Oavsett hur komplex det kan vara, får summan av alla inre och yttre vinklar i en konvex polygon ett strikt definierat värde. I den här artikeln berättar en lärare i matematik och fysik om vad summan av vinklarna för en konvex polygon är lika med.

Summan av inre vinklar för en konvex polygon

Hur bevisar man denna formel?

Innan vi går vidare till beviset för detta påstående, låt oss komma ihåg vilken polygon som kallas konvex. En konvex polygon är en polygon som ligger helt på ena sidan av en linje som innehåller någon av dess sidor. Till exempel den som visas i denna figur:

Om polygonen inte uppfyller det angivna villkoret kallas den icke-konvex. Till exempel, så här:

Summan av de inre vinklarna i en konvex polygon är lika med , där är antalet sidor i polygonen.

Beviset för detta faktum är baserat på satsen om summan av vinklar i en triangel, välkänd för alla skolbarn. Jag är säker på att denna sats är bekant för dig också. Summan av de inre vinklarna i en triangel är .

Tanken är att dela upp en konvex polygon i flera trianglar. Detta kan göras på olika sätt. Beroende på vilken metod vi väljer kommer bevisningen att vara något annorlunda.

1. Dela upp den konvexa polygonen i trianglar med alla möjliga diagonaler ritade från någon vertex. Det är lätt att förstå att då kommer vår n-gon att delas in i trianglar:

Dessutom är summan av alla vinklar för alla resulterande trianglar lika med summan av vinklarna för vår n-gon. När allt kommer omkring är varje vinkel i de resulterande trianglarna en delvinkel i vår konvexa polygon. Det vill säga det nödvändiga beloppet är lika med .

2. Du kan också välja en punkt inuti den konvexa polygonen och koppla den till alla hörn. Då kommer vår n-gon att delas in i trianglar:

Dessutom kommer summan av vinklarna för vår polygon i detta fall att vara lika med summan av alla vinklar för alla dessa trianglar minus den centrala vinkeln, som är lika med . Det vill säga, det erforderliga beloppet är återigen lika med .

Summan av yttre vinklar för en konvex polygon

Låt oss nu ställa frågan: "Vad är summan av de yttre vinklarna för en konvex polygon?" Denna fråga kan besvaras enligt följande. Varje yttre hörn ligger i anslutning till motsvarande inre hörn. Därför är det lika med:

Då är summan av alla yttre vinklar lika med . Det vill säga, det är lika.

Det vill säga ett väldigt roligt resultat erhålls. Om vi ​​plottar alla yttre vinklar för en konvex n-gon sekventiellt efter varandra, så blir resultatet exakt hela planet.

Detta intressanta faktum kan illustreras på följande sätt. Låt oss proportionellt reducera alla sidor av någon konvex polygon tills den smälter samman till en punkt. Efter detta kommer alla yttre vinklar att läggas åt sidan från varandra och fyller därmed hela planet.

Intressant fakta, eller hur? Och det finns många sådana fakta inom geometri. Så lär dig geometri, kära skolbarn!

Materialet på vad summan av vinklarna för en konvex polygon är lika med framställdes av Sergey Valerievich

Polygoner. Typer av polygoner. Inre och yttre vinklar för en konvex polygon. Summan av inre vinklar för en konvex n-gon (sats). Summan av yttre vinklar för en konvex n-gon (sats). Regelbundna polygoner. Cirkel omskriven om en vanlig polygon (sats, följd 1,2)

Den inre vinkeln för en konvex polygon vid en given vertex är den vinkel som bildas av dess sidor som konvergerar vid denna vertex. Den yttre vinkeln för en konvex polygon vid en given vertex är vinkeln intill den inre vid denna vertex. invändigt hörn yttre hörn

Sats. Summan av de inre vinklarna för en konvex polygon är (n – 2) · 180 о, där n är antalet sidor i polygonen. Given: konvex n-gon. Bevisa: α = (n – 2) ·180 о Bevis Inuti n-gonen, ta en godtycklig punkt O och koppla den till alla hörn. Polygonen kommer att delas in i n trianglar med en gemensam vertex O. Summan av vinklarna för varje triangel är 180 o, därför är summan av vinklarna för alla trianglar 180 o n. Denna summa, förutom summan av alla inre vinklar i polygonen, inkluderar summan av vinklarna för trianglarna vid vertex O, lika med 360 grader. Således är summan av alla inre vinklar i en polygon lika med 180 o n – 360 o = (n – 2) · 180 o. Så, n = (n – 2) 180 o. Etc. O

Sats. Summan av de yttre vinklarna för en konvex polygon, taget en vid varje vertex, beror inte på n och är lika med 360, där n är antalet sidor i n-gonen. Bevis. Eftersom en polygons yttre vinkel ligger intill motsvarande inre vinkel, och summan av intilliggande vinklar är lika med 180, så är summan av en polygons yttre vinklar lika med: 180 о n – (n – 2) · 180 о = 180 о · n – 180 о · n о = 360 о . Extern och intern intern Så summan av de yttre vinklarna för en konvex polygon, taget en vid varje vertex, beror inte på n och är lika med 360 o, där n är antalet sidor i n-gonen. Etc.

Sats. I vilken vanlig polygon som helst kan du skriva in en cirkel, och bara en. Bevis. Låt A1,A2,...,A n vara en regelbunden polygon, O mitten av den omskrivna cirkeln. OA1A2 = OA2A3 = OAnA1, därför är höjderna på dessa trianglar ritade från vertex O också lika med ОН1 = ОН2 =…= ОНn. Därför passerar en cirkel med därför en cirkel med centrum O och radie OH1 genom punkterna H1, H2, ..., Hn och berör polygonens sidor i dessa punkter, dvs. cirkeln är inskriven i den givna polygonen. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

Låt oss bevisa att det bara finns en inskriven cirkel. Antag att det finns ytterligare en incirkel med centrum O och radie OA. Då är dess centrum på samma avstånd från polygonens sidor, d.v.s. punkt O1 ligger på var och en av halvledarna i polygonens hörn, och sammanfaller därför med punkten O i skärningspunkten mellan dessa bisektrar. Radien för denna cirkel är lika med avståndet från punkt O till polygonens sidor, dvs. är lika med OH1. Satsen är bevisad. Följd 1 En cirkel inskriven i en vanlig polygon berör polygonens sidor vid deras mittpunkter. Resultat 2 Mittpunkten i en cirkel omskriven kring en vanlig polygon sammanfaller med mitten av en cirkel inskriven i samma polygon.

Din polygon. Om du till exempel behöver hitta vinklarna för en vanlig polygon med 15 sidor, ersätter du n=15 i ekvationen. Du får S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.

Dela sedan den resulterande summan av inre vinklar med deras antal. Till exempel i en polygon är antalet vinklar antalet sidor, det vill säga 15. Du får alltså att vinkeln är 2340⁰/15=156⁰. Varje inre vinkel i en polygon är 156⁰.

Om det är bekvämare för dig att beräkna vinklarna för en polygon i radianer, fortsätt enligt följande. Subtrahera talet 2 från antalet sidor och multiplicera den resulterande skillnaden med talet P (Pi). Dela sedan produkten med antalet vinklar i polygonen. Till exempel, om du behöver beräkna vinklarna för en vanlig 15-gon, fortsätt enligt följande: P*(15-2)/15=13/15P, eller 0,87P, eller 2,72 (men som , talet P kvarstår oförändrad). Eller dela helt enkelt storleken på vinkeln i grader med 57,3 - det är hur mycket som finns i en radian.

Du kan också försöka beräkna vinklarna för en vanlig polygon i grader. För att göra detta, subtrahera 2 från antalet sidor, dividera det resulterande talet med antalet sidor och multiplicera resultatet med 200. Denna måttenhet för vinklar används nästan aldrig idag, men om du bestämmer dig för att beräkna vinklar i grader, glöm inte att grader är uppdelade i metriska sekunder och minuter (100 sekunder per minut).

Du kan behöva beräkna den yttre vinkeln för en vanlig polygon, i så fall gör du detta. Subtrahera den inre vinkeln från 180⁰ - som ett resultat får du värdet på den intilliggande, det vill säga yttre vinkeln. Det kan ta ett värde från -180⁰ till +180⁰.

Användbara råd

Om du lyckas ta reda på vinklarna för en vanlig polygon kan du enkelt bygga den. Rita en sida av en viss längd och använd en gradskiva för att rita önskad vinkel från den. Mät exakt samma avstånd (alla sidor av den vanliga polygonen är lika) och återigen ställ åt sidan den önskade vinkeln. Fortsätt tills sidorna möts.

Källor:

• vinkel i en vanlig polygon

En omskriven polygon är en polygon vars sidor alla berör cirkeln som är inskriven i den. Du kan bara beskriva en vanlig polygon, det vill säga en där alla sidor är lika. Forntida arkitekter ställdes inför att lösa ett liknande problem när de behövde designa till exempel en kolumn. Modern teknik gör det möjligt att göra detta med minimal tid, men funktionsprincipen förblir densamma som i klassisk geometri.

Du kommer behöva

• - kompass;
• - gradskiva;
• - linjal;
• - papper.

Instruktioner

Rita en cirkel med den givna . Definiera dess centrum som O och rita en av radierna så att du kan börja bygga. För att beskriva en polygon runt den behöver du dess enda parameter - antalet sidor. Märk det n.

Kom ihåg vinkeln på vilken cirkel som helst. Det är 360°. Baserat på detta är det möjligt att beräkna vinklarna för sektorerna, vars sidor kommer att förbinda cirkelns centrum med kontaktpunkterna med polygonens sidor. Antalet dessa sektorer är lika med antalet sidor i polygonen, det vill säga n. Hitta vinkeln α med formeln α = 360°/n.

Använd en gradskiva, rita den resulterande vinkeln från radien och rita en annan radie genom den. För att säkerställa korrekta beräkningar, använd en miniräknare och runda värden endast i undantagsfall. Från denna nya radie, ställ återigen åt sidan hörnet av sektorn och rita en annan rak linje mellan mitten och cirkellinjen. Konstruera alla vinklar på samma sätt.

Triangel, kvadrat, hexagon - dessa figurer är kända för nästan alla. Men inte alla vet vad en vanlig polygon är. Men dessa är alla lika.En vanlig polygon är en som har lika vinklar och sidor. Det finns många sådana figurer, men de har alla samma egenskaper, och samma formler gäller för dem.

Egenskaper för vanliga polygoner

Vilken vanlig polygon som helst, oavsett om det är en kvadrat eller en oktagon, kan inskrivas i en cirkel. Denna grundläggande egenskap används ofta när man konstruerar en figur. Dessutom kan en cirkel inskrivas i en polygon. I det här fallet kommer antalet kontaktpunkter att vara lika med antalet sidor. Det är viktigt att en cirkel inskriven i en vanlig polygon har ett gemensamt centrum med sig. Dessa geometriska figurer är föremål för samma satser. Vilken sida som helst av en vanlig n-gon är relaterad till radien på cirkeln R som omger den. Därför kan den beräknas med följande formel: a = 2R ∙ sin180°. Genom kan du hitta inte bara sidorna utan också polygonens omkrets.

Hur man hittar antalet sidor i en vanlig polygon

Vilken som helst består av ett visst antal segment lika med varandra, som, när de är anslutna, bildar en sluten linje. I det här fallet har alla vinklar i den resulterande figuren samma värde. Polygoner är indelade i enkla och komplexa. Den första gruppen innehåller en triangel och en kvadrat. Komplexa polygoner har fler sidor. Dessa inkluderar även stjärnformade figurer. För komplexa regelbundna polygoner hittas sidorna genom att skriva in dem i en cirkel. Låt oss ge ett bevis. Rita en vanlig polygon med ett godtyckligt antal sidor n. Rita en cirkel runt den. Ställ in radien R. Föreställ dig nu att du får någon n-gon. Om punkterna för dess vinklar ligger på cirkeln och är lika med varandra, kan sidorna hittas med formeln: a = 2R ∙ sinα: 2.

Hitta antalet sidor i en inskriven regelbunden triangel

En liksidig triangel är en vanlig polygon. Samma formler gäller för den som för en kvadrat och en n-gon. En triangel kommer att betraktas som regelbunden om dess sidor är lika långa. I detta fall är vinklarna 60⁰. Låt oss konstruera en triangel med en given sidolängd a. Genom att känna till dess median och höjd kan du hitta värdet på dess sidor. För att göra detta kommer vi att använda metoden för att hitta genom formeln a = x: cosα, där x är medianen eller höjden. Eftersom alla sidor i triangeln är lika får vi a = b = c. Då kommer följande påstående att vara sant: a = b = c = x: cosα. På samma sätt kan du hitta värdet på sidorna i en likbent triangel, men x kommer att vara den givna höjden. I det här fallet bör det projiceras strikt på basen av figuren. Så, när vi känner till höjden x, hittar vi sidan a i den likbenta triangeln med formeln a = b = x: cosα. Efter att ha hittat värdet på a kan du beräkna längden på basen c. Låt oss tillämpa Pythagoras sats. Vi letar efter värdet av halva basen c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Då c = 2xtanα. På det här enkla sättet kan du hitta antalet sidor av en inskriven polygon.

Beräkna sidorna av en kvadrat inskriven i en cirkel

Liksom alla andra inskrivna regelbundna polygoner har en kvadrat lika sidor och vinklar. Samma formler gäller för den som för en triangel. Du kan beräkna sidorna av en kvadrat med hjälp av diagonalvärdet. Låt oss överväga denna metod mer detaljerat. Det är känt att en diagonal delar en vinkel på mitten. Ursprungligen var dess värde 90 grader. Sålunda, efter division, bildas två. Deras vinklar vid basen kommer att vara lika med 45 grader. Följaktligen kommer varje sida av kvadraten att vara lika, det vill säga: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, där e är kvadratens diagonal, eller basen av den räta triangeln som bildas efter division. Detta är inte det enda sättet att hitta sidorna på en kvadrat. Låt oss skriva in denna figur i en cirkel. När vi känner till radien för denna cirkel R, hittar vi sidan av kvadraten. Vi kommer att beräkna det enligt följande: a4 = R√2. Radierna för reguljära polygoner beräknas med formeln R = a: 2tg (360 o: 2n), där a är längden på sidan.

Hur man beräknar omkretsen av en n-gon

Omkretsen av en n-gon är summan av alla dess sidor. Det är lätt att räkna ut. För att göra detta måste du känna till betydelsen av alla sidor. För vissa typer av polygoner finns speciella formler. De låter dig hitta omkretsen mycket snabbare. Det är känt att varje vanlig polygon har lika sidor. Därför, för att beräkna dess omkrets, räcker det att känna till minst en av dem. Formeln beror på antalet sidor av figuren. I allmänhet ser det ut så här: P = an, där a är sidovärdet och n är antalet vinklar. Till exempel, för att hitta omkretsen av en vanlig oktagon med en sida på 3 cm, måste du multiplicera den med 8, det vill säga P = 3 ∙ 8 = 24 cm. För en hexagon med en sida på 5 cm, beräknar vi enligt följande: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Och så för varje polygon.

Hitta omkretsen av ett parallellogram, kvadrat och romb

Beroende på hur många sidor en vanlig polygon har, beräknas dess omkrets. Detta gör uppgiften mycket lättare. Till skillnad från andra figurer behöver du i det här fallet inte leta efter alla dess sidor, det räcker med en. Med samma princip hittar vi omkretsen av fyrhörningar, det vill säga en kvadrat och en romb. Trots att det är olika figurer är formeln för dem densamma: P = 4a, där a är sidan. Låt oss ge ett exempel. Om sidan av en romb eller kvadrat är 6 cm, så finner vi omkretsen enligt följande: P = 4 ∙ 6 = 24 cm. För ett parallellogram är endast motsatta sidor lika. Därför hittas dess omkrets med en annan metod. Så vi måste veta längden a och bredden b på figuren. Sedan tillämpar vi formeln P = (a + b) ∙ 2. Ett parallellogram där alla sidor och vinklar mellan dem är lika kallas en romb.

Hitta omkretsen av en liksidig och rätvinklig triangel

Omkretsen av den korrekta kan hittas med formeln P = 3a, där a är längden på sidan. Om den är okänd kan den hittas genom medianen. I en rätvinklig triangel har bara två sidor lika värde. Grunden kan hittas genom Pythagoras sats. När värdena för alla tre sidor är kända, beräknar vi omkretsen. Den kan hittas genom att använda formeln P = a + b + c, där a och b är lika sidor och c är basen. Kom ihåg att i en likbent triangel a = b = a, vilket betyder a + b = 2a, då P = 2a + c. Till exempel är sidan av en likbent triangel 4 cm, låt oss hitta dess bas och omkrets. Vi beräknar hypotenusans värde med hjälp av Pythagoras sats med = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Beräkna nu omkretsen P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Hur man hittar vinklarna för en vanlig polygon

En vanlig polygon förekommer i våra liv varje dag, till exempel en vanlig kvadrat, triangel, oktagon. Det verkar som att det inte finns något lättare än att bygga den här figuren själv. Men detta är enkelt bara vid första anblicken. För att konstruera någon n-gon måste du veta värdet på dess vinklar. Men hur hittar man dem? Även forntida vetenskapsmän försökte konstruera vanliga polygoner. De kom på hur de skulle passa in dem i cirklar. Och sedan markerades de nödvändiga punkterna på den och förbands med raka linjer. För enkla figurer löstes konstruktionsproblemet. Formler och satser erhölls. Till exempel behandlade Euclid i sitt berömda verk "Inception" att lösa problem för 3-, 4-, 5-, 6- och 15-gons. Han hittade sätt att konstruera dem och hitta vinklar. Låt oss titta på hur man gör detta för en 15-gon. Först måste du beräkna summan av dess inre vinklar. Det är nödvändigt att använda formeln S = 180⁰(n-2). Så vi får en 15-gon, vilket betyder att talet n är 15. Vi ersätter data vi känner till formeln och får S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Vi hittade summan av alla inre vinklar för en 15-gon. Nu måste du få värdet av var och en av dem. Det finns totalt 15 vinklar.Vi gör beräkningen 2340⁰: 15 = 156⁰. Det betyder att varje inre vinkel är lika med 156⁰, nu kan du med hjälp av linjal och kompass konstruera en vanlig 15-gon. Men hur är det med mer komplexa n-goner? I många århundraden har forskare kämpat för att lösa detta problem. Den hittades först på 1700-talet av Carl Friedrich Gauss. Han kunde konstruera en 65537-gon. Sedan dess har problemet officiellt ansetts vara helt löst.

Beräkning av vinklar för n-goner i radianer

Naturligtvis finns det flera sätt att hitta vinklarna för polygoner. Oftast beräknas de i grader. Men de kan också uttryckas i radianer. Hur man gör det? Du måste fortsätta enligt följande. Först tar vi reda på antalet sidor av en vanlig polygon och subtraherar sedan 2. Det betyder att vi får värdet: n - 2. Multiplicera den hittade skillnaden med talet n ("pi" = 3,14). Nu återstår bara att dividera den resulterande produkten med antalet vinklar i n-gonen. Låt oss överväga dessa beräkningar med samma dekagon som ett exempel. Så talet n är 15. Låt oss tillämpa formeln S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Detta är naturligtvis inte det enda sättet att beräkna en vinkel i radianer. Du kan helt enkelt dividera vinkeln i grader med 57,3. Det är trots allt hur många grader som motsvarar en radian.

Beräkning av vinklar i grader

Förutom grader och radianer kan du försöka hitta vinklarna för en vanlig polygon i grader. Detta görs enligt följande. Subtrahera 2 från det totala antalet vinklar och dividera den resulterande skillnaden med antalet sidor i en vanlig polygon. Vi multiplicerar det hittade resultatet med 200. Förresten, en sådan måttenhet för vinklar som grader används praktiskt taget inte.

Beräkning av yttre vinklar för n-goner

För vilken vanlig polygon som helst, förutom den interna, kan du även beräkna den yttre vinkeln. Dess värde återfinns på samma sätt som för andra figurer. Så för att hitta den yttre vinkeln för en vanlig polygon måste du känna till värdet på den inre. Vidare vet vi att summan av dessa två vinklar alltid är lika med 180 grader. Därför gör vi beräkningarna enligt följande: 180⁰ minus värdet på den inre vinkeln. Vi hittar skillnaden. Det kommer att vara lika med värdet på vinkeln intill den. Till exempel är den inre vinkeln på en kvadrat 90 grader, vilket betyder att den yttre vinkeln blir 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Som vi kan se är det inte svårt att hitta. Den yttre vinkeln kan ha ett värde från +180⁰ till -180⁰ respektive.

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Om nödvändigt - i enlighet med lagen, rättsliga förfaranden, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.