Bestämning av parallella linjer är det första tecknet. N. Nikitin Geometri

1. Om två linjer är parallella med en tredje linje är de parallella:

Om a||c Och b||c, Den där a||b.

2. Om två linjer är vinkelräta mot den tredje linjen är de parallella:

Om a⊥c Och b⊥c, Den där a||b.

De återstående tecknen på linjers parallellitet är baserade på vinklarna som bildas när två räta linjer skär varandra med en tredje.

3. Om summan av inre ensidiga vinklar är 180°, är linjerna parallella:

Om ∠1 + ∠2 = 180°, då a||b.

4. Om motsvarande vinklar är lika, är linjerna parallella:

Om ∠2 = ∠4, då a||b.

5. Om de inre tvärgående vinklarna är lika, är linjerna parallella:

Om ∠1 = ∠3, då a||b.

Egenskaper för parallella linjer

Påståenden omvända till egenskaperna hos parallella linjer är deras egenskaper. De är baserade på egenskaperna hos vinklar som bildas av skärningen av två parallella linjer med en tredje linje.

1. När två parallella linjer skär en tredje linje är summan av de inre ensidiga vinklarna som bildas av dem lika med 180°:

Om a||b, sedan ∠1 + ∠2 = 180°.

2. När två parallella linjer skär en tredje linje är motsvarande vinklar som de bildar lika:

Om a||b, sedan ∠2 = ∠4.

3. När två parallella linjer skär en tredje linje är de tvärgående vinklarna de bildar lika:

Om a||b, sedan ∠1 = ∠3.

Följande egenskap är ett specialfall för varje föregående:

4. Om en linje på ett plan är vinkelrät mot en av två parallella linjer, är den också vinkelrät mot den andra:

Om a||b Och c⊥a, Den där c⊥b.

Den femte egenskapen är axiomet för parallella linjer:

5. Genom en punkt som inte ligger på en given linje kan endast en linje dras parallellt med den givna linjen.

Detta kapitel ägnas åt studiet av parallella linjer. Detta är namnet på två raka linjer i ett plan som inte skär varandra. Vi ser segment av parallella linjer i miljön - det här är två kanter på ett rektangulärt bord, två kanter på ett bokomslag, två vagnstänger etc. Parallella linjer spelar en mycket viktig roll i geometrin viktig roll. I det här kapitlet kommer du att lära dig om vad geometrins axiom är och vad axiomet för parallella linjer är, ett av geometrins mest kända axiom.

I punkt 1 noterade vi att två linjer antingen har en gemensam punkt, det vill säga att de skär varandra, eller så har de inte en enda gemensam punkt, det vill säga att de inte skär varandra.

Definition

Parallellen mellan linjerna a och b betecknas som följer: a || b.

Figur 98 visar linjerna a och b vinkelräta mot linjen c. I paragraf 12 fastställde vi att sådana linjer a och b inte skär varandra, dvs de är parallella.

Ris. 98

Tillsammans med parallella linjer övervägs ofta parallella segment. De två segmenten kallas parallell, om de ligger på parallella linjer. I figur 99 är segmenten AB och CD parallella (AB || CD), men segmenten MN och CD är inte parallella. Parallellen mellan ett segment och en rät linje (fig. 99, b), en stråle och en rät linje, ett segment och en stråle, två strålar (fig. 99, c) bestäms på liknande sätt.

Ris. 99 Tecken på parallellitet mellan två linjer

Den raka linjen med kallas sekant i förhållande till räta linjer a och b, om den skär dem i två punkter (fig. 100). När linjerna a och b skär tvärgående c bildas åtta vinklar, som anges med siffror i figur 100. Vissa par av dessa vinklar har speciella namn:

tvärgående vinklar 3 och 5, 4 och 6;
ensidiga vinklar 4 och 5, 3 och 6;
motsvarande vinklar: 1 och 5, 4 och 8, 2 och 6, 3 och 7.

Ris. 100

Låt oss överväga tre tecken på parallellitet för två raka linjer som är associerade med dessa par av vinklar.

Sats

Bevis

Låt de skärande linjerna a och b korsvis vinklarna AB vara lika: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).

Låt oss bevisa att en || b. Om vinklarna 1 och 2 är räta (fig. 101, b), så är linjerna a och b vinkelräta mot linjen AB och därför parallella.

Ris. 101

Låt oss överväga fallet när vinklarna 1 och 2 inte är rätta.

Från mitten O av segment AB ritar vi en vinkelrät OH till den räta linjen a (Fig. 101, c). På rät linje b från punkt B kommer vi att lägga av segmentet ВН 1, lika med segmentet AH, som visas i figur 101, c, och rita segmentet OH 1. Trianglar OHA och OH 1 B är lika på båda sidor och vinkeln mellan dem (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), därför ∠3 = ∠4 och ∠5 = ∠6. Av likheten ∠3 = ∠4 följer att punkten H 1 ligger på fortsättningen av strålen OH, dvs punkterna H, O och H 1 ligger på samma räta linje, och av likheten ∠5 = ∠6 följer att vinkel 6 är en rät linje (eftersom vinkel 5 är en rät vinkel). Så, linjerna a och b är vinkelräta mot linjen HH 1, så de är parallella. Teoremet har bevisats.

Sats

Bevis

Låt motsvarande vinklar vara lika när linjerna a och b skär tvärgående c, till exempel ∠1 =∠2 (Fig. 102).

Ris. 102

Eftersom vinklarna 2 och 3 är vertikala, så är ∠2 = ∠3. Av dessa två likheter följer att ∠1 = ∠3. Men vinklarna 1 och 3 är korsvis, så linjerna a och b är parallella. Teoremet har bevisats.

Sats

Bevis

Låt skärningen av räta linjer a och b med ett tvärgående c summera de ensidiga vinklarna lika med 180°, till exempel ∠1 + ∠4 = 180° (se fig. 102).

Eftersom vinklarna 3 och 4 ligger intill varandra, så är ∠3 + ∠4 = 180°. Av dessa två likheter följer att de tvärgående vinklarna 1 och 3 är lika, därför är linjerna a och b parallella. Teoremet har bevisats.

Praktiska sätt att konstruera parallella linjer

Tecken på parallella linjer ligger till grund för metoderna för att konstruera parallella linjer med olika verktyg som används i praktiken. Tänk till exempel på metoden att konstruera parallella linjer med hjälp av en ritruta och en linjal. För att konstruera en rät linje som går genom punkt M och parallell med en given linje a, applicerar vi en ritruta på rät linje a, och en linjal på den som visas i figur 103. Sedan flyttar vi kvadraten längs linjalen, ser vi till att att punkten M är på sidan av kvadraten och rita en rak linje b. De raka linjerna a och b är parallella, eftersom motsvarande vinklar, betecknade i figur 103 med bokstäverna α och β, är lika.

Ris. 103 Figur 104 visar en metod för att konstruera parallella linjer med användning av en tvärstång. Denna metod används i ritövningar.

Ris. 104 En liknande metod används vid snickeriarbete, där ett block (två träplankor fästa med ett gångjärn, fig. 105) används för att markera parallella linjer.

Ris. 105

Uppgifter

186. I figur 106 skärs linjerna a och b av linje c. Bevisa att en || b, om:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, och vinkel 7 är tre gånger större än vinkel 3.

Ris. 106

187. Baserat på data i figur 107, bevisa att AB || D.E.

Ris. 107

188. Segment AB och CD skär varandra vid sin gemensamma mittpunkt. Bevisa att linjerna AC och BD är parallella.

189. Använd data i figur 108 och bevisa att BC || A.D.

Ris. 108

190. I figur 109 är AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Bevisa att DE || AC.

Ris. 109

191. Segment BK är bisektrisen av triangeln ABC. En rät linje dras genom punkt K, som skär sidan BC i punkt M så att BM = MK. Bevisa att linjerna KM och AB är parallella.

192. I triangel ABC är vinkel A 40° och vinkel ALL, intill vinkel ACB, är 80°. Bevisa att bisektrisen för vinkeln ALL är parallell med den räta linjen AB.

193. I triangeln ABC är ∠A = 40°, ∠B = 70°. En rät linje BD dras genom vertex B så att strålen BC är bisektrisen av vinkeln ABD. Bevisa att linjerna AC och BD är parallella.

194. Rita en triangel. Rita en rak linje parallellt med den motsatta sidan genom varje vertex i denna triangel, med hjälp av en ritruta och en linjal.

195. Rita triangel ABC och markera punkt D på sidan AC. Genom punkt D, med hjälp av en ritruta och en linjal, rita raka linjer parallella med de två andra sidorna av triangeln.

Parallelliteten hos två linjer kan bevisas utifrån satsen, enligt vilken två perpendikulära ritade i förhållande till en linje kommer att vara parallella. Det finns vissa tecken på parallellitet mellan linjer - det finns tre av dem, och vi kommer att överväga dem alla mer specifikt.

Det första tecknet på parallellism

Linjer är parallella om, när de skär en tredje linje, de inre vinklarna som bildas, som ligger tvärs över, kommer att vara lika.

Låt oss säga att när räta linjer AB och CD korsar den räta linjen EF, bildades vinklar /1 och /2. De är lika, eftersom den räta linjen EF löper i en sluttning i förhållande till de andra två räta linjerna. Där linjerna skär varandra sätter vi punkterna Ki L - vi har ett sekantsegment EF. Vi finner dess mitt och sätter punkt O (bild 189).

Vi släpper en vinkelrät från punkt O på linjen AB. Låt oss kalla det OM. Vi fortsätter vinkelrät tills den skär linjen CD. Som ett resultat är den ursprungliga räta linjen AB strikt vinkelrät mot MN, vilket betyder att CD_|_MN också är det, men detta påstående kräver bevis. Som ett resultat av att rita en vinkelrät och en skärningslinje bildade vi två trianglar. En av dem är MIN, den andra är NOK. Låt oss titta på dem mer i detalj. tecken på parallella linjer grad 7

Dessa trianglar är lika, eftersom, i enlighet med villkoren för satsen, /1 =/2, och i enlighet med konstruktionen av trianglar, sidan OK = sidan OL. Vinkel MOL =/NOK, eftersom dessa är vertikala vinklar. Det följer av detta att sidan och två vinklar intill den av en av trianglarna är lika med sidan respektive två vinklar intill den i den andra triangeln. Således triangel MOL = triangel NOK, och därför vinkel LMO = vinkel KNO, men vi vet att /LMO är rak, vilket betyder att motsvarande vinkel KNO också är rät. Det vill säga, vi kunde bevisa att mot den räta linjen MN är både den räta linjen AB och den räta linjen CD vinkelräta. Det vill säga att AB och CD är parallella med varandra. Detta är vad vi behövde bevisa. Låt oss överväga de återstående tecknen på parallellitet av linjer (grad 7), som skiljer sig från det första tecknet i bevismetoden.

Andra tecknet på parallellism

Enligt det andra kriteriet för linjers parallellitet måste vi bevisa att vinklarna som erhålls vid skärningen av parallella linjer AB och CD på linjen EF kommer att vara lika. Således är tecknen på parallellitet för två linjer, både den första och den andra, baserade på likheten mellan vinklarna som erhålls när den tredje linjen skär dem. Låt oss anta att /3 = /2 och vinkeln 1 = /3 eftersom den är vertikal mot den. Alltså, och /2 kommer att vara lika med vinkel 1, men det bör beaktas att både vinkel 1 och vinkel 2 är inre, tvärliggande vinklar. Allt vi behöver göra är följaktligen att tillämpa vår kunskap, nämligen att två segment kommer att vara parallella om, när de skär den tredje räta linjen, de bildade tvärgående vinklarna är lika. Därmed fick vi reda på att AB || CD.

Vi kunde bevisa att, förutsatt att två vinkelräta linjer till en linje är parallella, enligt motsvarande sats, är tecknet på parallella linjer uppenbart.

Det tredje tecknet på parallellism

Det finns också ett tredje tecken på parallellitet, vilket bevisas av summan av ensidiga inre vinklar. Detta bevis på tecknet på linjers parallellitet tillåter oss att dra slutsatsen att två linjer kommer att vara parallella om, när de skär den tredje linjen, summan av de resulterande ensidiga inre vinklarna blir lika med 2d. Se figur 192.

Lektionens mål: I den här lektionen kommer du att bekanta dig med begreppet "parallella linjer", lära dig hur du kan verifiera linjers parallellitet, samt vilka egenskaper vinklarna som bildas av parallella linjer och en transversal har.

Parallella linjer

Du vet att begreppet "rät linje" är ett av de så kallade odefinierbara begreppen inom geometri.

Du vet redan att två linjer kan sammanfalla, det vill säga ha alla gemensamma punkter, eller skära varandra, det vill säga ha en gemensam punkt. Raka linjer skär varandra i olika vinklar, och vinkeln mellan de räta linjerna anses vara den minsta av de vinklar som bildas av dem. Ett speciellt fall av skärning kan betraktas som fallet med vinkelräthet, när vinkeln som bildas av räta linjer är lika med 90 0.

Men två raka linjer kanske inte har gemensamma punkter, det vill säga de får inte skära varandra. Sådana linjer kallas parallell.

Arbeta med en elektronisk utbildningsresurs « ».

För att bekanta dig med begreppet "parallella linjer", arbeta i videolektionsmaterialet

Så nu vet du definitionen av parallella linjer.

Från materialen i videolektionsfragmentet lärde du dig om de olika typerna av vinklar som bildas när två räta linjer skär varandra med en tredje.

Hörnpar 1 och 4; 3 och 2 kallas invändiga ensidiga hörn(de ligger mellan raka linjer a Och b).

par av vinklar 5 och 8; 7 och 6 kallas yttre ensidiga hörn(de ligger utanför linjerna a Och b).

par av vinklar 1 och 8; 3 och 6; 5 och 4; 7 och 2 kallas ensidiga vinklar i räta vinklar a Och b och sekant c. Som du kan se, av ett par motsvarande vinklar, ligger en mellan den räta vinkeln a Och b, och den andra är utanför dem.

Tecken på parallella linjer

Det är uppenbart att med hjälp av definitionen är det omöjligt att dra slutsatsen att två linjer är parallella. Därför, för att dra slutsatsen att två linjer är parallella, använd tecken.

Du kan redan formulera en av dem efter att ha bekantat dig med materialet i den första delen av videolektionen:

Sats 1. Två linjer vinkelräta mot den tredje skär inte varandra, det vill säga de är parallella.

Du kommer att bli bekant med andra tecken på parallellitet mellan linjer baserat på likheten mellan vissa par av vinklar genom att arbeta med materialen i den andra delen av videolektionen"Tecken på parallella linjer."

Därför bör du känna till ytterligare tre tecken på parallella linjer.

Sats 2 (det första tecknet på parallella linjer). Om, när två linjer korsar varandra, de involverade vinklarna är lika, då är linjerna parallella.

Ris. 2. Illustration för det första tecknet parallellitet mellan linjer

Upprepa det första tecknet på parallella linjer en gång till genom att arbeta med den elektroniska utbildningsresursen « ».

Sålunda, när man bevisar det första tecknet på linjers parallellitet, används tecknet på trianglars likhet (på två sidor och vinkeln mellan dem), liksom tecknet på linjers parallellitet som är vinkelräta mot en rät linje.

Övning 1.

Skriv ner formuleringen av det första tecknet på parallella linjer och dess bevis i dina anteckningsböcker.

Sats 3 (andra tecknet på parallella linjer). Om, när två linjer skär varandra med en tvärgående, motsvarande vinklar är lika, då är linjerna parallella.

Upprepa det andra tecknet på parallella linjer en gång till genom att arbeta med den elektroniska utbildningsresursen « ».

När man bevisar det andra tecknet på linjers parallellitet används egenskapen vertikala vinklar och det första tecknet på linjers parallellitet.

Uppgift 2.

Skriv ner formuleringen av det andra kriteriet för linjers parallellitet och dess bevis i dina anteckningsböcker.

Sats 4 (tredje tecknet på parallella linjer). Om, när två linjer skär varandra med en tvärgående, summan av ensidiga vinklar är lika med 180 0, då är linjerna parallella.

Upprepa det tredje tecknet på parallella linjer en gång till genom att arbeta med den elektroniska utbildningsresursen « ».

Sålunda, när man bevisar det första tecknet på linjers parallellitet, används egenskapen för intilliggande vinklar och det första tecknet på linjers parallellitet.

Uppgift 3.

Skriv ner formuleringen av det tredje kriteriet för parallella linjer och dess bevis i dina anteckningsböcker.

För att öva på att lösa enkla problem, arbeta med materialet i den elektroniska utbildningsresursen « ».

Tecken på parallellitet mellan linjer används för att lösa problem.

Titta nu på exempel på att lösa problem på tecknen på parallella linjer, arbeta med materialen i videolektionen"Lösa problem på ämnet "Tecken på parallella linjer."

Testa dig själv nu genom att slutföra uppgifterna i den elektroniska utbildningsresursen för kontroll « ».

Alla som vill arbeta med att lösa mer komplexa problem kan arbeta med videohandledningsmaterialen "Uppgifter om tecken på parallellitet mellan linjer."

Egenskaper för parallella linjer

Parallella linjer har en uppsättning egenskaper.

Du kommer att lära dig vad dessa egenskaper är genom att arbeta med videohandledningsmaterialen "Egenskaper hos parallella linjer."

Så ett viktigt faktum som du bör känna till är samtidighetsaxiomet.

Axiom för parallellism. Genom en punkt som inte ligger på en given linje är det möjligt att dra en linje parallell med den givna, och dessutom bara en.

Som du lärde dig från videohandledningen, baserat på detta axiom, kan två konsekvenser formuleras.

Följd 1. Om en linje skär en av de parallella linjerna, så skär den också den andra parallella linjen.

Följd 2. Om två linjer är parallella med en tredje, så är de parallella med varandra.

Uppgift 4.

Skriv ner formuleringen av de angivna följderna och deras bevis i dina anteckningsböcker.

Egenskaperna för vinklar som bildas av parallella linjer och en transversal är satser som är inversa till motsvarande egenskaper.

Så från videolektionsmaterialen lärde du dig egenskapen med tvärliggande vinklar.

Sats 5 (sats invers till det första kriteriet för parallella linjer). När två parallella linjer korsar varandra är vinklarna lika.

Uppgift 5.

Upprepa den första egenskapen för parallella linjer igen genom att arbeta med den elektroniska utbildningsresursen « ».

Sats 6 (sats vänder sig till det andra kriteriet för linjers parallellitet). När två parallella linjer skär varandra är motsvarande vinklar lika.

Uppgift 6.

Skriv ner påståendet om denna sats och dess bevis i dina anteckningsböcker.

Upprepa den andra egenskapen för parallella linjer igen genom att arbeta med den elektroniska utbildningsresursen « ».

Sats 7 (sats vänder sig mot det tredje kriteriet för linjers parallellitet). När två parallella linjer skär varandra är summan av ensidiga vinklar 180 0.

Uppgift 7.

Skriv ner påståendet om denna sats och dess bevis i dina anteckningsböcker.

Upprepa den tredje egenskapen för parallella linjer en gång till genom att arbeta med den elektroniska utbildningsresursen « ».

Alla egenskaper hos parallella linjer används också för att lösa problem.

Överväga typiska exempel lösa problem genom att arbeta med videolektionsmaterial "Parallella linjer och problem på vinklarna mellan dem och det tvärgående."

KAPITEL III.
PARALLELL DIREKT

§ 35. TECKN PÅ PARALLELLA TVÅ LINJER.

Satsen att två vinkelräta mot en linje är parallella (§ 33) ger ett tecken på att två linjer är parallella. Du kan ta ut mer allmänna tecken parallellitet mellan två linjer.

1. Det första tecknet på parallellism.

Om, när två räta linjer skär en tredje, de inre vinklarna som ligger tvärs över är lika, då är dessa linjer parallella.

Låt räta linjer AB och CD skäras av räta linjer EF och / 1 = / 2. Ta punkt O - mitten av segmentet KL av sekanten EF (Fig. 189).

Låt oss sänka den vinkelräta OM från punkt O på den räta linjen AB och fortsätta den tills den skär den räta linjen CD, AB_|_MN. Låt oss bevisa att CD_|_MN.
För att göra detta, överväg två trianglar: MOE och NOK. Dessa trianglar är lika med varandra. Verkligen: / 1 = / 2 enligt villkoren för satsen; ОK = ОL - efter konstruktion;
/ MOL = / NOK, som vertikala vinklar. Således är sidan och två intilliggande vinklar i en triangel respektive lika med sidan och två intilliggande vinklar för en annan triangel; därav, /\ MOL = /\ NOK, och därmed
/ LMO = / VET, men / LMO är direkt, vilket betyder / KNO är också rak. Således är linjerna AB och CD vinkelräta mot samma linje MN, därför är de parallella (§ 33), vilket var det som behövde bevisas.

Notera. Skärningen av räta linjer MO och CD kan fastställas genom att vrida triangeln MOL runt punkt O med 180°.

2. Det andra tecknet på parallellism.

Låt oss se om räta linjer AB och CD är parallella om, när de skär den tredje räta linjen EF, motsvarande vinklar är lika.

Låt till exempel några motsvarande vinklar vara lika / 3 = / 2 (ritning 190);
/ 3 = / 1, eftersom vinklarna är vertikala; Betyder att, / 2 kommer att vara lika / 1. Men vinklarna 2 och 1 är skärande inre vinklar, och vi vet redan att om när två räta linjer skär den tredje, de skärande inre vinklarna är lika, då är dessa linjer parallella. Därför AB || CD.

Om, när två linjer skär en tredje, motsvarande vinklar är lika, då är dessa två linjer parallella.

Konstruktionen av parallella linjer med hjälp av en linjal och en rittriangel är baserad på denna egenskap. Detta görs enligt följande.

Låt oss fästa triangeln på linjalen som visas på ritning 191. Vi flyttar triangeln så att en av dess sidor glider längs linjalen, och ritar flera raka linjer längs någon annan sida av triangeln. Dessa linjer kommer att vara parallella.

3. Det tredje tecknet på parallellism.

Låt oss veta att när två räta linjer AB och CD skär en tredje rät linje, är summan av alla inre ensidiga vinklar lika med 2 d(eller 180°). Kommer de räta linjerna AB och CD att vara parallella i detta fall (bild 192).

Låta / 1 och / 2 är invändiga ensidiga vinklar och summerar till 2 d.
Men / 3 + / 2 = 2d som intilliggande vinklar. Därav, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Härifrån / 1 = / 3, och dessa inre vinklar ligger korsvis. Därför AB || CD.

Om, när två räta linjer skär en tredje, summan av de inre ensidiga vinklarna är lika med 2 d, då är dessa två linjer parallella.

Träning.

Bevisa att linjerna är parallella:
a) om yttre tvärgående vinklar är lika (fig. 193);
b) om summan av externa ensidiga vinklar är lika med 2 d(ritning 194).