Sammanfattning nyckelord:Heltal. Aritmetiska operationer på naturliga tal. Delbarhet av naturliga tal. Primtal och sammansatta tal. Nedbrytning av ett naturligt tal till primtalsfaktorer. Tecken på delbarhet med 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Den största gemensamma divisorn (GCD), såväl som den minsta gemensamma multipeln (LCM). Division med resten.
Heltalär tal som används för att räkna objekt - 1, 2, 3, 4 , … Men antalet 0 är inte naturligt!
Mängden naturliga tal är N. Inspelning "3 ∈ N" betyder att talet tre tillhör mängden naturliga tal, och notationen "0 ∉ N" betyder att siffran noll inte tillhör denna mängd.
Decimaltalssystem- positionsnummersystem baserat på 10 .
Aritmetiska operationer på naturliga tal
För naturliga tal definieras följande åtgärder: addition, subtraktion, multiplikation, division, exponentiering, rotextraktion. De fyra första stegen är aritmetisk.
Låt då a, b och c vara naturliga tal
1. TILLÄGG. Term + Term = Summa
Tilläggsegenskaper
1. Kommutativ a + b = b + a.
2. Kombinativ a + (b + c) \u003d (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.
2. SUBTRAKTERA. Minskad - Subtraherad = Skillnad
subtraktionsegenskaper
1. Subtraktion av summan från talet a - (b + c) \u003d a - b - c.
2. Subtrahera ett tal från summan (a + b) - c \u003d a + (b - c); (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a \u003d 0.
3. MULTIPLIKATION. Multiplikator * Multiplikator = Produkt
Multiplikationsegenskaper
1. Kommutativ a * b \u003d b * a.
2. Kombinativ a * (b * c) \u003d (a * b) * c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. Fördelning (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc.
4. DIVISION. Utdelning: Divisor = Kvotient
divisionsfastigheter
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Du kan inte dividera med noll!
3. 0: a=0.
Procedur
1. Först av allt, åtgärder inom parentes.
2. Sedan multiplikation, division.
3. Och endast i slutet av addition, subtraktion.
Delbarhet av naturliga tal. Primtal och sammansatta tal.
Divider för ett naturligt tal A kallas det naturliga tal med vilket A delas utan rest. siffra 1 är en divisor av vilket naturligt tal som helst.
Det naturliga talet kallas enkel om den bara har två divisor: ett och själva talet. Till exempel är talen 2, 3, 11, 23 primtal.
Ett tal med fler än två delare kallas sammansatt. Till exempel är siffrorna 4, 8, 15, 27 sammansatta tal.
delbarhetstecken Arbetar flera tal: om minst en av faktorerna är delbar med något tal, så är produkten också delbar med detta tal. Arbete 24 15 77 delat med 12 , eftersom faktorn för detta nummer 24 delat med 12 .
Tecken på summans delbarhet (skillnad) tal: om varje term är delbar med något tal, så är hela summan delbar med detta tal. Om a:b Och c:b, Den där (a + c): b. Och om a:b, A c ej delbart med b, Den där a+c inte delbart med nummer b.
Om a:c Och c:b, Den där a:b. Baserat på det faktum att 72:24 och 24:12 drar vi slutsatsen att 72:12.
Representationen av ett tal som en produkt av potenser av primtal kallas sönderdela ett tal i primtalsfaktorer.
Grundläggande sats för aritmetik: alla naturliga tal (utom 1 ) eller är enkel, eller så kan den brytas ned i primtalsfaktorer på bara ett sätt.
Vid nedbrytning av ett tal i primtalsfaktorer används delbarhetstecken och "kolumn"-notationen används, i detta fall är divisorn placerad till höger om den vertikala stapeln och kvoten skrivs under utdelningen.
Till exempel uppgiften: dekomponera ett tal i primtalsfaktorer 330 . Lösning:
Tecken på delbarhet med 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 och 11.
Det finns tecken på delbarhet i 6, 15, 45 etc., det vill säga till siffror vars produkt kan faktoriseras 2, 3, 5, 9 Och 10 .
Största gemensamma delare
Det största naturliga talet med vilket vart och ett av de två givna naturliga talen är delbart kallas största gemensamma delaren dessa siffror ( GCD). Till exempel, gcd (10; 25) = 5; och GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.
Om den största gemensamma delaren av två naturliga tal är 1 , då kallas dessa nummer coprime.
Algoritm för att hitta den största gemensamma delaren(GCD)
GCD används ofta i problem. Till exempel delades 155 anteckningsböcker och 62 pennor lika mellan elever i samma klass. Hur många elever går i den här klassen?
Lösning: Att hitta antalet elever i den här klassen reduceras till att hitta den största gemensamma delaren av talen 155 och 62, eftersom anteckningsböcker och pennor delades lika. 155 = 531; 62 = 231. GCD (155; 62) = 31.
Svar: 31 elever i klassen.
Minsta gemensamma nämnare
Multipel av ett naturligt tal Aär ett naturligt tal som är delbart med A spårlöst. Till exempel nummer 8 har multiplar: 8, 16, 24, 32 , … Alla naturliga tal har oändligt många multiplar.
Minsta gemensamma nämnare(LCM) är det minsta naturliga talet som är en multipel av dessa tal.
Algoritmen för att hitta den minsta gemensamma multipeln ( NOC):
LCM används också ofta vid problem. Till exempel startade två cyklister samtidigt på cykelbanan i samma riktning. Den ena gör en cirkel på 1 min och den andra på 45 s. Inom vilket minsta antal minuter efter rörelsens start kommer de att mötas vid starten?
Lösning: Antalet minuter efter vilka de möts igen vid start ska vara delbart med 1 min, såväl som på 45 s. På 1 min = 60 s. Det vill säga, det är nödvändigt att hitta LCM (45; 60). 45 = 325; 60 = 22 3 5. NOC (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Som ett resultat visar det sig att cyklisterna kommer att mötas vid starten efter 180 s = 3 min.
Svar: 3 min.
Division med resten
Om ett naturligt tal A inte delbart med ett naturligt tal b, då kan du göra division med resten. I det här fallet kallas den resulterande kvoten Ofullständig. Rätt jämställdhet är:
a = b n + r,
Var A- delbart b- avdelare, n- ofullständig kvot, r- resten. Låt till exempel utdelningen vara 243 , avdelare - 4 , Då 243: 4 = 60 (återstående 3). Det vill säga a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r \u003d 3, sedan 243 = 60 4 + 3 .
Tal som är delbara med 2 utan spår, kallas även: a = 2n,n ∈ N.
Resten av numren kallas udda: b = 2n + 1,n ∈ N.
Detta är en sammanfattning av ämnet. "Heltal. Tecken på delbarhet». För att fortsätta, välj nästa steg:
- Gå till nästa abstrakt:
Uppsättning naturliga tal = (1, 2, 3...). Det vill säga att mängden naturliga tal är mängden av alla heltal. positiva siffror. Operationerna addition, multiplikation, subtraktion och division definieras på naturliga tal. Resultatet av addition, multiplikation och subtraktion av två naturliga tal är ett heltal. Och resultatet av att dividera två naturliga tal kan vara antingen ett heltal eller ett bråktal.
Till exempel: 20: 4 = 5 - resultatet av division är ett heltal.
20: 3 \u003d 6 2/3 - resultatet av division är ett bråktal.
Ett naturligt tal n sägs vara delbart med ett naturligt tal m om resultatet av divisionen är ett heltal. I det här fallet kallas talet m en divisor av talet n, och talet n kallas en multipel av talet m.
I det första exemplet är 20 delbart med 4, 4 är en divisor av 20, 20 är en multipel av 4.
I det andra exemplet är talet 20 inte delbart med talet 3, så det kan inte vara fråga om divisorer och multiplar.
Ett tal n kallas primtal om det inte har några andra delare än sig själv och en. Exempel på primtal: 2, 7, 11, 97 osv.
Ett tal n kallas sammansatt om det har andra delare än sig själv och en.
Vilket naturligt tal som helst kan sönderdelas till en produkt av primtal, och denna nedbrytning är unik, upp till faktorernas ordning. Till exempel: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - alla dessa expansioner skiljer sig endast i faktorernas ordning.
Den största gemensamma divisorn av två tal m och n är det största naturliga talet som är en divisor av både m och en divisor av n. Till exempel, för talen 34 och 85 är den största gemensamma delaren 17.
Den minsta gemensamma multipeln av två tal m och n är det minsta naturliga talet som är en multipel av både m och n. Till exempel, för talen 15 och 4, skulle den minsta gemensamma multipeln vara 60.
Ett naturligt tal som är delbart med två primtal är också delbart med deras produkt. Till exempel, om ett tal är delbart med 2 och 3, är det också delbart med 6 = 23, om med 11 och med 7, då med 77.
Exempel: talet 6930 är delbart med 11 - 6930: 11 \u003d 630, och är delbart med 7 - 6930: 7 \u003d 990. Vi kan säkert säga att detta tal också är delbart med 77. Låt oss kontrollera: 6930: 7 u003d 90.
Algoritm för att dekomponera talet n i primtalsfaktorer:
1. Hitta den minsta primtalsdelaren av n (annat än 1) - a1.
2. Dividera talet n med a1, beteckna kvoten med n1.
3. n=a1 nl.
4. Vi gör samma operation med n1 tills vi får ett primtal.
Exempel: Faktorisera talet 17 136 i primtalsfaktorer
1. Den minsta primtalsdelaren förutom 1 är 2.
2. 17 136: 2 = 8 568;
3. 17 136 = 8 568 2.
4. Den minsta primtalsdelaren av 8568 är 2.
5. 8 568: 2 = 4284;
6. 17 136 = 4284 2 2.
7. Den minsta primtalsdelaren av 4284 är 2.
8. 4284: 2 = 2142;
9. 17 136 = 2142 2 2 2.
10. Den minsta primtalsdelaren av 2142 är 2.
11. 2142: 2 = 1071;
12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.
13. Den minsta primtallaren av 1071 är 3.
14. 1071: 3 = 357;
15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.
16. Den minsta primtallaren av 357 är 3.
17. 357: 3 = 119;
18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.
19. Den minsta primtalsdelaren av 119 är 7.
20. 119: 7 = 17;
21. 17 är ett primtal, så 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.
Vi har erhållit en nedbrytning av talet 17 136 till primtalsfaktorer.
gemensam multipel av naturliga talaOchbär ett tal som är en multipel av vart och ett av de givna talen.
Det minsta antalet av alla gemensamma multiplar A Och b kallad den minsta gemensamma multipeln av dessa tal.
Minsta gemensamma multipel av tal A Och b låt oss beteckna K( A, b).
Till exempel är två siffror 12 och 18 gemensamma multipler: 36, 72, 108, 144, 180, etc. Talet 36 är den minsta gemensamma multipeln av talen 12 och 18. Du kan skriva: K (12, 18) \u003d 36.
För den minsta gemensamma multipeln är följande påståenden sanna:
1. Minsta gemensamma multipel av tal A Och b
2. Minsta gemensamma multipel av tal A Och b inte mindre än det större av de givna talen, dvs. Om a >b, sedan K( A, b) ≥ A.
3. En gemensam multipel av tal A Och bär delbart med deras minsta gemensamma multipel.
Största gemensamma delare
Gemensam divisor för naturliga tal a ochbär talet som är divisor för vart och ett av de givna talen.
Det största antalet av alla vanliga taldelare A Och b kallas den största gemensamma delaren av de givna talen.
Största gemensamma delare av tal A Och b låt oss beteckna D( A, b).
Till exempel för siffrorna 12 och 18 är de gemensamma divisorerna talen: 1, 2, 3, 6. Talet 6 är 12 och 18. Du kan skriva: D(12, 18) = 6.
Talet 1 är en gemensam divisor för två naturliga tal a Och b. Om dessa tal inte har några andra gemensamma delare, då D( A, b) = 1, och siffrorna A Och b kallad coprime.
Till exempel är talen 14 och 15 coprime eftersom D(14, 15) = 1.
För den största gemensamma delaren är följande påståenden sanna:
1. Största gemensamma delare av tal a Och b finns alltid och är unik.
2. Största gemensamma delare av tal A Och b inte överstiger det minsta av de givna talen, dvs. Om a< b, Den där D(a, b) ≤ a.
3. Största gemensamma delare av tal a Och bär delbart med vilken gemensam divisor som helst för dessa tal.
Största gemensamma multipel av tal A Och b och deras största gemensamma divisor är relaterade: produkten av den minsta gemensamma multipeln och den största gemensamma divisorn av tal A Och bär lika med produkten av dessa tal, dvs. K( a, b)D( a, b) = a· b.
Konsekvenserna följer av detta uttalande:
a) Den minsta gemensamma multipeln av två relativt primtal är lika med produkten av dessa tal, dvs. D( a, b) = 1 => K( a, b) = a· b;
Till exempel, för att hitta den minsta gemensamma multipeln av talen 14 och 15, räcker det att multiplicera dem, eftersom D(14, 15) = 1.
b) A delbart med produkten av coprimtal m Och n, är det nödvändigt och tillräckligt att det är delbart med m, och igen n.
Detta påstående är ett tecken på delbarhet med tal, som kan representeras som en produkt av två samprimtal.
c) De kvoter som erhålls genom att dividera två givna tal med deras största gemensamma delare är coprimtal.
Denna egenskap kan användas när man kontrollerar riktigheten av den hittade största gemensamma divisorn för givna tal. Låt oss till exempel kontrollera om talet 12 är den största gemensamma delaren av talen 24 och 36. För att göra detta delar vi enligt det sista påståendet 24 och 36 med 12. Vi får talen 2 respektive 3, vilket är coprime. Därför är D(24, 36)=12.
Uppgift 32. Formulera och bevisa testet för delbarhet med 6.
Lösning xär delbart med 6, är det nödvändigt och tillräckligt att det är delbart med 2 och 3.
Låt numret xär delbart med 6. Sedan från det faktum att x 6 och 62, följer därav x 2. Och från det faktum att x 6 och 63, följer härav x 3. Vi har bevisat att för att ett tal ska vara delbart med 6 måste det vara delbart med 2 och 3.
Låt oss visa huruvida detta tillstånd är tillräckligt. Därför att x 2 och x 3, då x- den gemensamma multipeln av talen 2 och 3. Varje gemensam multipel av talen är delbar med deras minsta multipel, vilket betyder x K(2;3).
Eftersom D(2, 3)=1, då K(2, 3)=2 3=6. Därav, x 6.
Uppgift 33. Formulera vid 12, 15 och 60.
Lösning. För att få ett naturligt tal xär delbart med 12 är det nödvändigt och tillräckligt att det är delbart med 3 och 4.
För att få ett naturligt tal xär delbart med 15, är det nödvändigt och tillräckligt att det är delbart med 3 och 5.
För att få ett naturligt tal xär delbart med 60, är det nödvändigt och tillräckligt att det är delbart med 4, 3 och 5.
Uppgift 34. Hitta siffror a Och b, om K( a, b)=75, a· b=375.
Lösning. Använd formeln K( a,b)D( a,b)=a· b, hittar vi den största gemensamma delaren av de önskade talen A Och b:
D( a, b) === 5.
Då kan de önskade siffrorna representeras som A= 5R, b= 5q, Var sid Och q sid och 5 q till jämlikhet a b= 275. Få 5 sid·5 q=375 eller sid· q=15. Vi löser den resulterande ekvationen med två variabler genom urval: vi hittar par av samprimtal vars produkt är lika med 15. Det finns två sådana par: (3, 5) och (1, 15). Därför önskade siffror A Och b dessa är: 15 och 25 eller 5 och 75.
Uppgift 35. Hitta siffror A Och b, om det är känt att D( a, b) = 7 och a· b= 1470.
Lösning. Sedan D( a, b) = 7, då kan de önskade talen representeras som A= 7R, b= 7q, Var sid Och qär relativt primtal. Ersättningsuttryck 5 R och 5 q till jämlikhet a b = 1470. Sedan 7 sid 7 q= 1470 eller sid· q= 30. Vi löser den resulterande ekvationen med två variabler genom urval: vi hittar par av samprimtal vars produkt är lika med 30. Det finns fyra sådana par: (1, 30), (2, 15), (3, 10) , (5, 6). Därför önskade siffror A Och b dessa är: 7 och 210, 14 och 105, 21 och 70, 35 och 42.
Uppgift 36. Hitta siffror A Och b, om det är känt att D( a, b) = 3 och A:b= 17:14.
Lösning. Därför att a:b= 17:14, alltså A= 17R Och b= 14sid, Var R- största gemensamma delare av tal A Och b. Därav, A= 17 3 = 51, b= 14 3 = 42.
Problem 37. Hitta siffror A Och b, om det är känt att K( a, b) = 180, a:b= 4:5.
Lösning. Därför att a: b=4:5, alltså A=4R Och b=5R, Var R- största gemensamma delare av tal a Och b. Sedan R 180=4 R·5 R. Var R=9. Därav, a= 36 och b=45.
Problem 38. Hitta siffror A Och b, om det är känt att D( a,b)=5, K( a,b)=105.
Lösning. Sedan D( a, b) K( a, b) = a· b, Den där a· b= 5 105 = 525. Dessutom kan de önskade talen representeras som A= 5R Och b= 5q, Var sid Och qär relativt primtal. Ersättningsuttryck 5 R och 5 q till jämlikhet A· b= 525. Sedan 5 sid·5 q=525 eller sid· q=21. Vi hittar par av samprimtal vars produkt är lika med 21. Det finns två sådana par: (1, 21) och (3, 7). Därför önskade siffror A Och b dessa är: 5 och 105, 15 och 35.
Uppgift 39. Bevisa att antalet n(2n+ 1)(7n+ 1) är delbart med 6 för alla naturliga n.
Lösning. Talet 6 är sammansatt, det kan representeras som en produkt av två samprimtal: 6 = 2 3. Om vi bevisar det givet nummerär delbart med 2 och 3, så, baserat på testet för delbarhet med ett sammansatt tal, kommer det att vara möjligt att dra slutsatsen att det är delbart med 6.
För att bevisa att antalet n(2n+ 1)(7n+ 1) är delbart med 2, det finns två möjligheter att överväga:
1) när delbart med 2, dvs. n= 2k. Sedan produkten n(2n+ 1)(7n+ 1) kommer att se ut så här: 2 k(4k+ 1)(14k+ 1). Denna produkt är delbar med 2, eftersom den första faktorn är delbar med 2;
2) när inte delbart med 2, dvs. n= 2k+ 1. Sedan produkten n(2n+ 1 )(7n+ 1) kommer att se ut så här: (2 k+ 1)(4k+ 3)(14k+ 8). Denna produkt är delbar med 2, eftersom den sista faktorn är delbar med 2.
För att bevisa att arbetet n(2n+ 1)(7n+ 1) är delbart med 3, tre möjligheter måste övervägas:
1) när delbart med 3, dvs. n= 3k. Sedan produkten n(2n+ 1)(7n+ 1) kommer att se ut så här: 3 k(6k+ 1)(21k+ 1). Denna produkt är delbar med 3, eftersom den första faktorn är delbar med 3;
2) n vid delat med 3 är resten 1, dvs. n= 3k+ 1. Sedan produkten n(2n+ 1)(7n+ 1) kommer att se ut så här: (3 k+ 1)(6k+ 3)(21k+ 8). Denna produkt är delbar med 3, eftersom den andra faktorn är delbar med 3;
3) n vid division med 3 ger det en rest av 2, d.v.s. n= 3k+ 2. Sedan produkten n(2n+ 1)(7n+ 1) kommer att se ut så här: (3 k+ 2)(6k+ 5)(21k+ 15). Denna produkt är delbar med 3, eftersom den sista faktorn är delbar med 3.
Så det är bevisat att produkten n(2n+ 1)(7n+ 1) är delbart med 2 och 3. Så det är delbart med 6.
Övningar för självständigt arbete
1. Två nummer ges: 50 och 75. Skriv ner uppsättningen:
a) delare av talet 50; b) delare av talet 75; c) gemensamma delare för dessa tal.
Vilken är den största gemensamma delaren för 50 och 75?
2. Är talet 375 en gemensam multipel av talen: a) 125 och 75; b) 85 och 15?
3. Hitta siffror A Och b, om det är känt att K( a, b) = 105, a· b= 525.
4. Hitta siffror A Och b, om det är känt att D( a, b) = 7, a· b= 294.
5. Hitta siffror A Och b, om det är känt att D( a, b) = 5, a:b= 13:8.
6. Hitta siffror A Och b, om det är känt att K( a, b) = 224, a:b= 7:8.
7. Hitta siffror a Och b, om det är känt att D( a, b) = 3, K( a; b) = 915.
8. Bevisa testet för delbarhet med 15.
9. Skriv ut de som är delbara med 12 från uppsättningen siffror 1032, 2964, 5604, 8910, 7008.
10. Formulera tecken på delbarhet med 18, 36, 45, 75.
- I kontakt med 0
- Google Plus 0
- OK 0
- Facebook 0
