Att projicera en punkt på tre plan av koordinatvinkelprojektioner börjar med att få dess bild på H-planet - det horisontella projektionsplanet. För att göra detta förs en projektionsstråle genom punkt A (fig. 4.12, a) vinkelrätt mot planet H.
I figuren är vinkelrät mot H-planet parallell med Oz-axeln. Skärningspunkten för strålen med H-planet (punkt a) väljs godtyckligt. Segmentet Aa bestämmer på vilket avstånd punkt A är belägen från planet H, och anger därigenom tydligt positionen för punkt A i figuren i förhållande till projektionsplanen. Punkt a är en rektangulär projektion av punkt A på planet H och kallas horisontell projektion av punkt A (fig. 4.12, a).
För att erhålla en bild av punkt A på plan V (fig. 4.12,b) förs en projektionsstråle genom punkt A vinkelrätt mot frontplanet av projektioner V. I figuren är vinkelrät mot plan V parallell med Oy-axeln . På plan H kommer avståndet från punkt A till plan V att representeras av segmentet aa x, parallellt med Oy-axeln och vinkelrätt mot Ox-axeln. Om vi föreställer oss att den projicerande strålen och dess bild utförs samtidigt i riktning mot planet V, då när bilden av strålen skär Ox-axeln i punkt a x, kommer strålen att skära V-planet i punkt a." från punkt a x i V-planet en vinkelrät mot Ox-axeln , som är bilden av den utskjutande strålen Aa på planet V, vid skärningen med den utskjutande strålen, erhålls punkt a." Punkt a" är frontprojektionen av punkt A, dvs dess bild på planet V.
Bilden av punkt A på profilprojektionsplanet (Fig. 4.12, c) är konstruerad med hjälp av en utskjutande stråle vinkelrät mot W-planet. I figuren är vinkelrät mot W-planet parallell med Ox-axeln. Den utskjutande strålen från punkt A till plan W på plan H kommer att representeras av ett segment aa y, parallellt med Ox-axeln och vinkelrätt mot Oy-axeln. Från punkten Oy, parallellt med Oz-axeln och vinkelrätt mot Oy-axeln, konstrueras en bild av den utskjutande strålen aA och i skärningspunkten med den utskjutande strålen erhålls punkt a." Punkt a" är en profilprojektion av punkt A. , dvs en bild av punkt A på planet W.
Punkt a" kan konstrueras genom att rita ett segment a"a z från punkt a" (bilden av den utskjutande strålen Aa" på plan V) parallellt med Ox-axeln, och från punkt a z - ett segment a"a z parallellt med Oy axeln tills den skär den utskjutande strålen.
Efter att ha mottagit tre projektioner av punkt A på projektionsplanen, expanderas koordinatvinkeln till ett plan, som visas i fig. 4.11,b, tillsammans med projektionerna av punkt A och de utskjutande strålarna, och punkt A och de utskjutande strålarna Aa, Aa" och Aa" tas bort. Kanterna på de kombinerade projektionsplanen är inte ritade, utan endast projektionsaxlarna Oz, Oy och Ox, Oy 1 ritas (Fig. 4.13).
Analys av den ortogonala ritningen av punkten visar att tre avstånd - Aa", Aa och Aa" (Fig. 4.12, c), som kännetecknar positionen för punkt A i rymden, kan bestämmas genom att kassera själva projektionsobjektet - punkt A, på en koordinatvinkel förvandlad till ett plan (Fig. 4.13). Segmenten a"a z, aa y och Oa x är lika med Aa" som motsatta sidor av motsvarande rektanglar (fig. 4.12c och 4.13). De bestämmer avståndet vid vilken punkt A är belägen från profilprojektionsplanet. Segmenten a"a x, a"a y1 och Oa y är lika med segmentet Aa, som definierar avståndet från punkt A till det horisontella projektionsplanet, segmenten aa x, a"a z och Oa y 1 är lika med segmentet Aa ", definierar avståndet från punkt A till frontalplanet av projektioner.
Segmenten Oa x, Oa y och Oa z, placerade på projektionsaxlarna, är ett grafiskt uttryck för dimensionerna för X-, Y- och Z-koordinaterna för punkt A. Koordinaterna för punkten indikeras med indexet för motsvarande bokstav . Genom att mäta storleken på dessa segment kan du bestämma punktens position i rymden, d.v.s. ställa in punktens koordinater.
På diagrammet är segmenten a"a x och aa x placerade som en linje vinkelrät mot Ox-axeln, och segmenten a"a z och a"a z - till Oz-axeln. Dessa linjer kallas projektionsförbindelselinjer. De skär de projektionsaxlar vid punkterna ax respektive a z. Projektionsanslutningslinjen som förbinder den horisontella projektionen av punkt A med profil ett visade sig vara "skuren" vid punkt a y.
Två projektioner av samma punkt är alltid placerade på samma projektionsanslutningslinje, vinkelrät mot utsprångens axel.
För att representera positionen för en punkt i rymden räcker det med två av dess projektioner och ett givet ursprung (punkt O). I fig. 4.14, b två projektioner av en punkt bestämmer fullständigt dess position i rymden. Med dessa två projektioner är det möjligt att konstruera en profilprojektion av punkt A. Därför, i framtiden, om det inte finns något behov av en profilprojektion, kommer diagram att konstrueras på två projektionsplan: V och H.
Ris. 4.14. Ris. 4.15.
Låt oss titta på flera exempel på att konstruera och läsa en ritning av en punkt.
Exempel 1. Bestämning av koordinaterna för punkt J som anges i diagrammet i två projektioner (Fig. 4.14). Tre segment mäts: segment OB X (X-koordinat), segment b X b (Y-koordinat) och segment b X b" (Z-koordinat). Koordinaterna skrivs i följande ordning: X, Y och Z, efter bokstaven beteckning på punkten, till exempel B20; 30; 15.
Exempel 2. Konstruera en punkt vid givna koordinater. Punkt C ges av koordinaterna C30; 10; 40. På Ox-axeln (Fig. 4.15) hitta punkten c x där projektionsanslutningslinjen skär projektionsaxeln. För att göra detta plottas X-koordinaten (storlek 30) längs Ox-axeln från origo (punkt O) och en punkt med x erhålls. En projektionsförbindelselinje dras genom denna punkt vinkelrätt mot Ox-axeln och Y-koordinaten (storlek 10) läggs ner från punkten, en punkt c erhålls - en horisontell projektion av punkt C. Z-koordinaten (storlek 40) är upplagd från punkten c x längs projektionsanslutningslinjen, erhålls punkten c" - frontalprojektion av punkt C.
Exempel 3. Konstruktion av en profilprojektion av en punkt med hjälp av givna projektioner. Projektionerna av punkt D är givna - d och d". Genom punkt O ritas projektionsaxlarna Oz, Oy och Оу 1 (Fig. 4.16, a). För att konstruera en profilprojektion av punkt D punkt d", en projektion anslutningslinjen dras vinkelrätt mot Oz-axeln och fortsätter den till höger bakom Oz-axeln. Profilprojektionen av punkt D kommer att placeras på denna linje. Den kommer att placeras på samma avstånd från Oz-axeln som den horisontella projektionen av punkt d är placerad: från Ox-axeln, dvs på ett avstånd dd x. Segmenten d z d" och dd x är desamma, eftersom de definierar samma avstånd - avståndet från punkt D till frontalplanet av projektioner. Detta avstånd är Y-koordinaten för punkt D.
Grafiskt är segmentet d z d" konstruerat genom att överföra segmentet dd x från det horisontella projektionsplanet till profilplanet. För att göra detta, rita en projektionsförbindelselinje parallell med Ox-axeln, erhåll en punkt d y på Oy-axeln (Fig. 4.16, b. Överför sedan storleken på Od y-segmentet till Oy-axeln 1 genom att rita en båge från punkt O med en radie lika med segmentet Od y till skärningen med Oy-axeln 1 (Fig. 4.16, b) ), får vi punkt dy 1. Denna punkt kan också konstrueras, som visas i Fig. 4.16, c, genom att dra en rät linje i en vinkel 45° mot Oy-axeln från punkt d y. Från punkt d y1, rita en projektionsanslutningslinje parallell med Oz-axeln och på den låg ett segment lika med segmentet d"d x, vilket erhåller punkt d".
Överföring av värdet av segmentet d x d till profilplanet av projektioner kan göras med hjälp av den konstanta räta linjen på ritningen (fig. 4.16, d). I detta fall dras projektionsanslutningslinjen dd y genom den horisontella projektionen av punkten parallellt med Oy 1-axeln tills den skär en konstant rät linje, och sedan parallellt med Oy-axeln tills den skär med fortsättningen av projektionen anslutningsledning d"d z.
Särskilda fall av placering av punkter i förhållande till projektionsplan
Positionen för en punkt i förhållande till projektionsplanet bestäms av motsvarande koordinat, dvs storleken på segmentet av projektionsförbindelselinjen från Ox-axeln till motsvarande projektion. I fig. 4.17 Y-koordinaten för punkt A bestäms av segmentet aa x - avståndet från punkt A till plan V. Z-koordinaten för punkt A bestäms av segmentet a "a x - avståndet från punkt A till plan H. Om en av koordinaterna är noll, då ligger punkten på projektionsplanet Figur 4.17 visar exempel på olika placeringar av punkter i förhållande till projektionsplan. Z-koordinaten för punkt B är noll, punkten är i H-planet. Dess frontalprojektion är noll. på Ox-axeln och sammanfaller med punkten b x. Y-koordinaten för punkt C är noll, punkten är belägen på plan V, dess horisontella projektion c är på Ox-axeln och sammanfaller med punkt c x.
Därför, om en punkt är på projektionsplanet, så ligger en av projektionerna för denna punkt på projektionsaxeln.
I fig. 4.17, Z- och Y-koordinaterna för punkt D är lika med noll, därför är punkt D på Ox-projektionsaxeln och dess två projektioner sammanfaller.
Projektionsapparat
Projektionsapparaten (fig. 1) inkluderar tre projektionsplan:
π 1 – horisontellt projektionsplan;
π 2 – frontalplan av projektioner;
π 3– profilprojektionsplan .
Projektionsplanen är inbördes vinkelräta ( π 1^ π 2^ π 3), och deras skärningslinjer bildar axlarna:
Skärning av plan π 1 Och π 2 bilda en axel 0X (π 1∩ π 2 = 0X);
Skärning av plan π 1 Och π 3 bilda en axel 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);
Skärning av plan π 2 Och π 3 bilda en axel 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).
Skärningspunkten för axlarna (OX∩OY∩OZ=0) anses vara startpunkten (punkt 0).
Eftersom planen och axlarna är inbördes vinkelräta liknar en sådan apparat det kartesiska koordinatsystemet.
Projektionsplanen delar upp hela rymden i åtta oktanter (i fig. 1 anges de med romerska siffror). Projektionsplan anses vara ogenomskinliga och betraktaren är alltid med jag-th oktant.
Ortogonal projektion med projektionscentra S 1, S 2 Och S 3 för horisontella, frontala respektive profilprojektionsplan.
A.
Från projektionscenter S 1, S 2 Och S 3 utskjutande strålar kommer ut l 1, l 2 Och l 3 A
- A 1 A;
- A 2– frontalprojektion av en punkt A;
- A 3– profilprojektion av en punkt A.
En punkt i rymden kännetecknas av sina koordinater A(x,y,z). Poäng Yxa, A y Och A z respektive på axlarna 0X, 0Y Och 0Z visa koordinater x, y Och z poäng A. I fig. 1 ger alla nödvändiga noteringar och visar sambanden mellan punkten A rymden, dess projektioner och koordinater.
Punktdiagram
För att få en plot av en poäng A(fig. 2), i projektionsapparaten (fig. 1) planet π 1 A 1 0X π 2. Sedan planet π 3 med punktprojektion A 3, rotera moturs runt axeln 0Z, tills den är i linje med planet π 2. Riktning av planets rotationer π 2 Och π 3 visas i fig. 1 pilar. Samtidigt rakt A 1 A x Och A 2 A x 0X vinkelrät A 1 A 2 och de raka linjerna A 2 A x Och A 3 A x kommer att placeras på en gemensam axel 0Z vinkelrät A 2 A 3. I det följande kommer vi att kalla dessa linjer respektive vertikal Och horisontell kommunikationslinjer.
Det bör noteras att när man flyttar från projektionsapparaten till diagrammet försvinner det projicerade objektet, men all information om dess form, geometriska dimensioner och dess placering i rymden bevaras.
A(x A , y A , z Ax A, y A Och zA i följande sekvens (fig. 2). Denna sekvens kallas metoden för att konstruera ett punktdiagram.
1. Axlar ritas ortogonalt OX, OY Och UNS.
2. På axeln OXE xA poäng A och få punktens position Yxa.
3. Genom poängen Yxa vinkelrätt mot axeln OXE
Yxa längs axeln OY det numeriska värdet för koordinaten plottas y A poäng A A 1 på diagrammet.
Yxa längs axeln UNS det numeriska värdet för koordinaten plottas zA poäng A A 2 på diagrammet.
6. Genom poängen A 2 parallellt med axeln OXE en horisontell kommunikationslinje dras. Skärningspunkten mellan denna linje och axeln UNS kommer att ge punktens position A z.
7. På en horisontell kommunikationslinje från en punkt A z längs axeln OY det numeriska värdet för koordinaten plottas y A poäng A och positionen för profilprojektionen av punkten bestäms A 3 på diagrammet.
Karakteristika för poäng
Alla punkter i rymden är indelade i punkter med särskilda och allmänna positioner.
Punkter av särskild position. Punkterna som hör till projektionsapparaten kallas punkter med speciell position. Dessa inkluderar punkter som hör till projektionsplan, axlar, ursprung och projektionscentra. De karakteristiska egenskaperna hos särskilda positionspunkter är:
Metamatematisk - ett, två eller alla numeriska koordinatvärden är lika med noll och (eller) oändlighet;
På ett diagram är två eller alla projektioner av en punkt placerade på axlarna och (eller) placerade i oändligheten.
Punkter av allmän ståndpunkt. Punkter med allmän position inkluderar punkter som inte hör till projektionsapparaten. Till exempel, prick A i fig. 1 och 2.
I det allmänna fallet karakteriserar de numeriska värdena för koordinaterna för en punkt dess avstånd från projektionsplanet: koordinat X från planet π 3; samordna y från planet π 2; samordna z från planet π 1. Det bör noteras att tecknen för de numeriska värdena för koordinaterna indikerar riktningen i vilken punkten rör sig bort från projektionsplanen. Beroende på kombinationen av tecken för de numeriska värdena för koordinaterna för en punkt, beror det på vilken oktan den är i.
Tvåbildsmetod
I praktiken används, förutom den fullständiga projektionsmetoden, tvåbildsmetoden. Det skiljer sig genom att denna metod eliminerar den tredje projektionen av objektet. För att erhålla projektionsapparaten med tvåbildsmetoden, exkluderas profilprojektionsplanet med dess projektionscentrum från hela projektionsapparaten (fig. 3). Dessutom på axeln 0X en referenspunkt tilldelas (punkt 0 ) och från den vinkelrät mot axeln 0X i projektionsplan π 1 Och π 2 rita yxor 0Y Och 0Z respektive.
I denna enhet är hela utrymmet uppdelat i fyra kvadranter. I fig. 3 anges de med romerska siffror.
Projektionsplan anses vara ogenomskinliga och betraktaren är alltid med jag-te kvadranten.
Låt oss överväga enhetens funktion med exemplet att projicera en punkt A.
Från projektionscenter S 1 Och S 2 utskjutande strålar kommer ut l 1 Och l 2. Dessa strålar passerar genom punkten A och korsar projektionsplanen från dess projektioner:
- A 1– horisontell projektion av en punkt A;
- A 2– frontalprojektion av en punkt A.
För att få en plot av en poäng A(fig. 4), i projektionsapparaten (fig. 3) planet π 1 med den resulterande projektionen av punkten A 1 rotera medurs runt en axel 0X, tills den är i linje med planet π 2. Riktning för planets rotation π 1 visas i fig. 3 pilar. I det här fallet, på diagrammet för en punkt som erhålls med metoden för två bilder, återstår bara en vertikal kommunikationslinje A 1 A 2.
I praktiken rita en punkt A(x A , y A , z A) utförs enligt de numeriska värdena för dess koordinater x A, y A Och zA i följande sekvens (fig. 4).
1. Axeln är ritad OXE och en referenspunkt tilldelas (punkt 0 ).
2. På axeln OXE det numeriska värdet för koordinaten plottas xA poäng A och få punktens position Yxa.
3. Genom poängen Yxa vinkelrätt mot axeln OXE en vertikal kommunikationslinje dras.
4. På en vertikal kommunikationslinje från en punkt Yxa längs axeln OY det numeriska värdet för koordinaten plottas y A poäng A och läget för den horisontella projektionen av punkten bestäms A 1 OYär inte ritad, men det antas att dess positiva värden ligger under axeln OXE, och negativa är högre.
5. På en vertikal kommunikationslinje från en punkt Yxa längs axeln UNS det numeriska värdet för koordinaten plottas zA poäng A och läget för den frontala projektionen av punkten bestäms A 2 på diagrammet. Det bör noteras att i diagrammet axeln UNSär inte ritad, men det antas att dess positiva värden är placerade ovanför axeln OXE, och negativa är lägre.
Tävlande poäng
Punkter på samma utskjutande stråle kallas konkurrerande punkter. I riktning mot den utskjutande strålen har de en gemensam projektion för sig, d.v.s. deras projektioner är identiska. En karakteristisk egenskap konkurrerande punkter på diagrammet är identisk sammanträffande av deras projektioner med samma namn. Konkurrensen ligger i synligheten av dessa projektioner i förhållande till observatören. Med andra ord, i rymden för en observatör är en av punkterna synlig, den andra inte. Och följaktligen på ritningen: en av projektionerna av de konkurrerande punkterna är synliga och projektionen av den andra punkten är osynlig.
På den rumsliga projektionsmodellen (Fig. 5) från två konkurrerande punkter A Och I synlig punkt A enligt två ömsesidigt kompletterande egenskaper. Av kedjan att döma S 1 →A→B punkt A närmare betraktaren än punkten I. Och följaktligen längre från projektionsplanet π 1(de där. zA > zA).
Ris. 5 Fig.6
Om själva punkten är synlig A, då är dess projektion också synlig A 1. I förhållande till att projektionen sammanfaller med den B 1. För tydlighetens skull och, om nödvändigt, på diagrammet, är osynliga projektioner av punkter vanligtvis omgivna inom parentes.
Låt oss ta bort punkterna på modellen A Och I. Deras sammanfallande projektioner på planet kommer att finnas kvar π 1 och separata projektioner – på π 2. Låt oss villkorligt lämna den frontala projektionen av observatören (⇩) placerad i mitten av projektionen S 1. Sedan längs kedjan av bilder ⇩ → A 2 → B 2 det kommer att gå att bedöma zA > z B och att själva punkten är synlig A och dess projektion A 1.
Låt oss på samma sätt överväga konkurrerande poäng MED Och D i utseende relativt π2-planet. Eftersom den gemensamma utskjutande strålen av dessa punkter l 2 parallellt med axeln 0Y, då ett tecken på synligheten av konkurrerande poäng MED Och D bestäms av ojämlikhet y C > y D. Därför den punkten D stängd av en prick MED och följaktligen projiceringen av punkten D 2 kommer att omfattas av projektionen av punkten C 2 på ytan π 2.
Låt oss överväga hur synligheten för konkurrerande punkter i en komplex ritning bestäms (fig. 6).
Att döma av de sammanträffande prognoserna A 1≡I 1 själva punkterna A Och Iär på en utskjutande stråle parallell med axeln 0Z. Detta gör att koordinaterna kan jämföras zA Och z B dessa punkter. För att göra detta använder vi det frontala projektionsplanet med separata bilder av punkterna. I detta fall zA > z B. Av detta följer att projektionen är synlig A 1.
Poäng C Och D i den komplexa ritningen som betraktas (fig. 6) är också på samma utskjutande stråle, men endast parallella med axeln 0Y. Därför från jämförelse y C > y D vi drar slutsatsen att projektion C 2 är synlig.
Allmän regel . Synlighet för matchande projektioner av konkurrerande punkter bestäms genom att jämföra koordinaterna för dessa punkter i riktning mot en gemensam projektionsstråle. Projektionen av punkten vars koordinat är större är synlig. I detta fall jämförs koordinaterna på projektionsplanet med separata bilder av punkterna.
Positionen för en punkt i rymden kan specificeras av dess två ortogonala projektioner, till exempel horisontell och frontal, frontal och profil. Kombinationen av två ortogonala projektioner låter dig ta reda på värdet av alla koordinater för en punkt, konstruera en tredje projektion och bestämma oktanten i vilken den är belägen. Låt oss titta på flera typiska problem från kursen i beskrivande geometri.
För en given komplex ritning av punkterna A och B är det nödvändigt:
Låt oss först bestämma koordinaterna för punkt A, som kan skrivas på formen A (x, y, z). Horisontell projektion av punkt A - punkt A", med koordinaterna x, y. Låt oss rita vinkelräta från punkt A" till x, y-axlarna och hitta A x, A y, respektive. X-koordinaten för punkt A är lika med längden på segmentet A x O med ett plustecken, eftersom A x ligger i området för positiva värden på x-axeln. Med hänsyn till ritningens skala finner vi x = 10. Y-koordinaten är lika med längden på segmentet A y O med ett minustecken, eftersom t. A y ligger i området för negativa värden av y-axel. Med hänsyn till ritningens skala, y = –30. Den frontala projektionen av punkt A - punkt A"" har koordinaterna x och z. Låt oss släppa vinkelrät från A"" till z-axeln och hitta A z. Z-koordinaten för punkt A är lika med längden på segmentet A z O med ett minustecken, eftersom A z ligger i området för negativa värden på z-axeln. Med hänsyn till ritningsskalan z = –10. Således är koordinaterna för punkt A (10, –30, –10).
Koordinaterna för punkt B kan skrivas som B (x, y, z). Betrakta den horisontella projektionen av punkt B - punkt B". Eftersom den ligger på x-axeln, då är B x = B" och koordinaten B y = 0. Abskissan x för punkt B är lika med längden på segmentet B x O med ett plustecken. Med hänsyn till ritningsskalan x = 30. Den frontala projektionen av punkt B är t. B˝ har koordinaterna x, z. Låt oss rita en vinkelrät från B"" till z-axeln och på så sätt hitta B z. Applikationen z för punkt B är lika med längden på segmentet B z O med ett minustecken, eftersom B z ligger i området för negativa värden på z-axeln. Med hänsyn till ritningens skala bestämmer vi värdet z = –20. Så koordinaterna för B är (30, 0, -20). Alla nödvändiga konstruktioner presenteras i figuren nedan.
Konstruktion av projektioner av punkter
Punkterna A och B i planet P 3 har följande koordinater: A""" (y, z); B""" (y, z). I detta fall ligger A"" och A""" på samma vinkelrät mot z-axeln, eftersom de har en gemensam z-koordinat. På samma sätt ligger B"" och B""" på en gemensam vinkelrät mot z-axeln. För att hitta profilprojektionen för punkt A plottar vi längs y-axeln värdet på motsvarande koordinat som hittades tidigare. I figuren görs detta med hjälp av en cirkulär båge med radien A y O. Efter detta ritar du en vinkelrät från A y tills den skär vinkelrät från punkt A"" till z-axeln. Skärningspunkten för dessa två perpendicularer bestämmer positionen för A""".
Punkt B""" ligger på z-axeln, eftersom y-ordinaten för denna punkt är noll. För att hitta profilprojektionen för punkt B i denna uppgift behöver du bara rita en vinkelrät från B"" till z-axeln. skärningspunkten för denna vinkelrät med z-axeln är B """.
Bestämma positionen för punkter i rymden
Om du visuellt föreställer den rumsliga layouten, sammansatt av projektionsplan P 1, P 2 och P 3, platsen för oktanterna, såväl som ordningen för att omvandla layouten till diagram, kan du direkt bestämma att punkt A är belägen i III-oktanten , och punkt B ligger i planet P 2.
Ett annat alternativ för att lösa detta problem är metoden för undantag. Till exempel är koordinaterna för punkt A (10, -30, -10). En positiv abskissa x låter oss bedöma att punkten ligger i de första fyra oktanterna. En negativ y-ordinat indikerar att punkten är i den andra eller tredje oktanten. Slutligen indikerar den negativa applikationen z att punkten A är belägen i den tredje oktanten. Följande tabell illustrerar tydligt resonemanget ovan.
| Oktanter | Koordinattecken | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Koordinater för punkt B (30, 0, -20). Eftersom ordinatan för punkt B är noll, ligger denna punkt i projektionsplanet P 2. Den positiva abskissan och den negativa applikationen av t. B indikerar att den är belägen på gränsen mellan den tredje och fjärde oktanten.
Konstruktion av en visuell bild av punkter i systemet av plan P 1, P 2, P 3
Med hjälp av en frontal isometrisk projektion byggde vi en rumslig layout av III-oktanten. Det är en rektangulär trihedron, vars ytor är planen P 1, P 2, P 3, och vinkeln (-y0x) är 45 º. I detta system kommer segment längs x-, y- och z-axlarna att plottas i naturlig storlek utan förvrängning.
Låt oss börja konstruera en visuell bild av punkt A (10, -30, -10) med dess horisontella projektion A. Efter att ha plottat motsvarande koordinater längs abskissan och ordinataaxeln hittar vi punkterna A x och A y. Skärningen av vinkelräta linjer rekonstruerad från A x och A y respektive till x- och y-axlarna bestämmer positionen för punkt A". Om vi lägger av från A" parallellt med z-axeln mot dess negativa värden segmentet AA", vars längd är 10, hittar vi positionen för punkt A.
Den visuella bilden av punkt B (30, 0, -20) är konstruerad på ett liknande sätt - i P2-planet längs x- och z-axlarna måste du plotta motsvarande koordinater. Skärningspunkten för perpendikulära rekonstruerade från B x och B z kommer att bestämma positionen för punkt B.
Med rektangulär projektion består systemet av projektionsplan av två inbördes vinkelräta projektionsplan (Fig. 2.1). De kom överens om att placera den ena horisontellt och den andra vertikalt.
Projektionsplanet som ligger horisontellt kallas horisontellt projektionsplan och beteckna sch, och planet vinkelrätt mot det är frontalplan av projektionerl 2. Själva systemet av projektionsplan betecknas p/s 2. Vanligtvis används förkortade uttryck: plan L[, plan n 2. Skärningslinje mellan plan sch Och till 2 kallad projektionsaxelÅH. Den delar upp varje projektionsplan i två delar - golv. Det horisontella projektionsplanet har främre och bakre, och frontplanet har övre och nedre golv.
Flygplan sch Och n 2 dela upp utrymmet i fyra delar, kallat i kvartal och betecknas med romerska siffror I, II, III och IV (se fig. 2.1). Den första fjärdedelen är den del av utrymmet som begränsas av de övre ihåliga frontala och främre ihåliga horisontella projektionsplanen. För de återstående fjärdedelarna av utrymmet liknar definitionerna den föregående.
Alla maskintekniska ritningar är bilder byggda på samma plan. I fig. 2.1 systemet med projektionsplan är rumsligt. För att flytta till bilder på samma plan kom vi överens om att kombinera projektionsplanen. Vanligtvis platt n 2 lämnas orörlig, och planet P rotera i den riktning som anges av pilarna (se fig. 2.1) runt axeln ÅH i en vinkel på 90° tills den är i linje med planet n 2. Med denna rotation går det främre golvet i horisontalplanet ner och baksidan går upp. Efter att ha kombinerat planen ser de ut
gift med fig. 2.2. Man tror att projektionsplanen är ogenomskinliga och observatören är alltid i det första kvartalet. I fig. 2.2 beteckningen av plan som är osynliga efter att ha kombinerat golven tas inom parentes, vilket är brukligt för att markera osynliga figurer i ritningar.
Den projicerade punkten kan placeras i valfri fjärdedel av rymden eller på vilket projektionsplan som helst. I alla fall, för att konstruera projektioner, ritas projektionslinjer genom den och deras mötespunkter med plan 711 och 712, som är projektioner, hittas.
Tänk på projektionen av en punkt som ligger i det första kvartalet. Systemet med projektionsplan 711/712 och punkten specificeras A(Fig. 2.3). Två raka LINJER dras genom den, vinkelräta mot PLAN 71) OCH 71 2. En av dem kommer att skära plan 711 vid punkten A", kallad horisontell projektion av punkt A, och den andra är planet 712 vid punkten A", kallad frontalprojektion av punkt A.
Utskjutande raka linjer AA" Och AA" bestämma projektionsplanet a. Den är vinkelrät mot planen Kip 2, eftersom det passerar genom vinkelräta till dem och skär projektionsplanen längs raka linjer A "Ah och A "Ah. Projektionsaxel ÅH vinkelrätt mot planet os, som skärningslinjen för två plan 71| och 71 2, vinkelrätt mot det tredje planet (a), och därför mot varje rät linje som ligger i det. Särskilt, 0X1A"A x Och 0X1A "Ah.
När man kombinerar plan, ett segment A "Ah, platt till 2, förblir orörlig, och segmentet Ett "A x tillsammans med plan 71) kommer att roteras runt axeln ÅH tills den är i linje med plan 71 2. Vy över kombinerade projektionsplan tillsammans med punktprojektioner A visas i fig. 2.4, A. Efter att ha kombinerat poängen A", Axe och A" kommer att ligga på en rak linje, vinkelrät mot axeln ÅH. Detta innebär att två projektioner av samma punkt
ligga på en gemensam vinkelrät mot projektionsaxeln. Denna vinkelräta som förbinder två projektioner av samma punkt kallas projektionskommunikationslinje.
Ritning i fig. 2.4, A kan förenklas mycket. Beteckningarna för de kombinerade projektionsplanen är inte markerade i ritningarna och de rektanglar som konventionellt begränsar projektionsplanen är inte avbildade, eftersom planen är obegränsade. Förenklad punktritning A(Fig. 2.4, b)även kallad diagram(från franskan ?ren - teckning).
Visat i fig. 2.3 fyrhörning AE4 "A HA"är en rektangel och dess motsatta sidor är lika och parallella. Därför avståndet från punkten A att flyga P, mätt med ett segment AA", på ritningen bestäms av segmentet Ett "Ah. Segmentet A "A x = AA" låter dig bedöma avståndet från en punkt A att flyga till 2. Ritningen av en punkt ger således en fullständig bild av dess läge i förhållande till projektionsplanen. Till exempel, enligt ritningen (se fig. 2.4, b) det kan hävdas att poängen A ligger i det första kvartalet och bort från planet n 2 på ett mindre avstånd än från planet sedan dess Ett "A x Ett "Ah.
Låt oss gå vidare till att projicera en punkt i den andra, tredje och fjärde fjärdedelen av rymden.
När du projicerar en punkt I, belägen i andra kvartalet (fig. 2.5), efter att ha kombinerat planen, kommer båda dess projektioner att vara ovanför axeln ÅH.
Den horisontella projektionen av punkt C, specificerad i tredje kvartalet (fig. 2.6), är placerad ovanför axeln ÅH, och den främre är lägre.
Punkt D som visas i fig. 2.7, beläget i fjärde kvartalet. Efter att ha kombinerat projektionsplanen kommer båda dess projektioner att ligga under axeln ÅH.
Genom att jämföra ritningar av punkter belägna i olika delar av rymden (se fig. 2.4-2.7), kan du märka att var och en kännetecknas av sin egen placering av projektioner i förhållande till projektionsaxeln ÅH.
I speciella fall kan den projicerade punkten ligga på projektionsplanet. Då sammanfaller en av dess projektioner med själva punkten, och den andra kommer att placeras på projektionsaxeln. Till exempel för en punkt E, liggande på ett plan sch(Fig. 2.8), den horisontella projektionen sammanfaller med själva spetsen, och den främre är på axeln ÅH. Vid punkten E, ligger på ett plan till 2(Fig. 2.9), horisontell projektion på axeln ÅH, och den främre sammanfaller med själva spetsen.
- I kontakt med 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
