Expandera uttrycksmodul:

Avsnitt 2. Grundegenskaper.

Ett annat viktigt faktum: modul är aldrig negativ. Vilket tal vi än tar - till och med positivt, till och med negativt - visar sig dess modul alltid vara positiv (eller i extrema fall noll). Det är därför som modulen ofta kallas för ett tals absoluta värde.

Dessutom, om vi kombinerar definitionen av modulen för ett positivt och negativt tal, så får vi en global definition av modulen för alla tal. Nämligen: modulen för ett tal är lika med detta tal i sig, om talet är positivt (eller noll), eller lika med det motsatta talet, om talet är negativt. Du kan skriva detta som en formel:

Det finns också en modul med noll, men den är alltid lika med noll. Dessutom är noll det enda tal som inte har en motsats.

Alltså, om vi betraktar funktionen $y=\left| x \right|$ och försök rita dess graf, får du en sådan "daw":

Modulus graf och ekvationslösning exempel

Från denna bild kan du direkt se att $\left| -m \höger|=\vänster| m \right|$, och moduldiagrammet faller aldrig under x-axeln. Men det är inte allt: den röda linjen markerar den raka linjen $y=a$, som med positiv $a$ ger oss två rötter samtidigt: $((x)_(1))$ och $((x) _(2)) $, men vi pratar om det senare. :)

Förutom en rent algebraisk definition finns det en geometrisk. Låt oss säga att det finns två punkter på tallinjen: $((x)_(1))$ och $((x)_(2))$. I det här fallet uttrycket $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ är bara avståndet mellan de angivna punkterna. Eller, om du vill, längden på segmentet som förbinder dessa punkter:

Det följer också av denna definition att modulen alltid är icke-negativ. Men tillräckligt med definitioner och teorier - låt oss gå vidare till riktiga ekvationer. :)

Grundformel

Okej, vi har listat ut definitionen. Men det blev inte lättare. Hur löser man ekvationer som innehåller just denna modul?

Lugn, bara lugn. Låt oss börja med de enklaste sakerna. Tänk på något i stil med detta:

\[\vänster| x\right|=3\]

Så modulo$x$ är 3. Vad kan $x$ vara lika med? Tja, av definitionen att döma kommer $x=3$ att passa oss bra. Verkligen:

\[\vänster| 3\höger|=3\]

Finns det andra siffror? Cap verkar antyda att det finns. Till exempel, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, dvs. den erforderliga jämlikheten är uppfylld.

Så om vi söker, tänker, kanske vi hittar fler siffror? Men bryt av: det finns inga fler siffror. Ekvation $\vänster| x \right|=3$ har bara två rötter: $x=3$ och $x=-3$.

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Låt istället för variabeln $x$ funktionen $f\left(x \right)$ hänga under modultecknet, och till höger, istället för trippeln, sätter vi ett godtyckligt tal $a$. Vi får ekvationen:

\[\vänster| f\left(x \right) \right|=a\]

Hur bestämmer du dig? Låt mig påminna dig: $f\left(x \right)$ är en godtycklig funktion, $a$ är vilket tal som helst. De där. någon alls! Till exempel:

\[\vänster| 2x+1 \right|=5\]

\[\vänster| 10x-5 \right|=-65\]

Låt oss titta på den andra ekvationen. Du kan genast säga om honom: han har inga rötter. Varför? Det stämmer: eftersom det kräver att modulen är lika med ett negativt tal, vilket aldrig händer, eftersom vi redan vet att modulen alltid är ett positivt tal eller, i extrema fall, noll.

Men med den första ekvationen är allt roligare. Det finns två alternativ: antingen finns det ett positivt uttryck under modultecknet och sedan $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, eller detta uttryck är fortfarande negativt, i vilket fall $\left| 2x+1 \höger|=-\vänster(2x+1 \höger)=-2x-1$. I det första fallet kommer vår ekvation att skrivas om som:

\[\vänster| 2x+1 \höger|=5\högerpil 2x+1=5\]

Och plötsligt visar det sig att submoduluttrycket $2x+1$ verkligen är positivt - det är lika med talet 5. Det vill säga, vi kan säkert lösa denna ekvation - den resulterande roten kommer att vara en del av svaret:

De som är särskilt vantro kan försöka ersätta den hittade roten i den ursprungliga ekvationen och se till att det verkligen kommer att finnas ett positivt tal under modulen.

Låt oss nu titta på fallet med ett negativt submoduluttryck:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Högerpil 2x+1=-5\]

hoppsan! Återigen, allt är klart: vi antog att $2x+1 \lt 0$, och som ett resultat fick vi att $2x+1=-5$ - verkligen, detta uttryck är mindre än noll. Vi löser den resulterande ekvationen, samtidigt som vi redan vet säkert att den hittade roten kommer att passa oss:

Totalt fick vi återigen två svar: $x=2$ och $x=3$. Ja, mängden beräkningar visade sig vara lite mer än i den mycket enkla ekvationen $\left| x \right|=3$, men i grunden har ingenting förändrats. Så det kanske finns någon form av universell algoritm?

Ja, en sådan algoritm finns. Och nu ska vi analysera det.

Att bli av med modulskylten

Låt oss ges ekvationen $\left| f\left(x \right) \right|=a$, och $a\ge 0$ (annars, som vi redan vet, finns det inga rötter). Då kan du bli av med modulotecknet enligt följande regel:

\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=a\högerpil f\vänster(x \höger)=\pm a\]

Således delas vår ekvation med modulen i två, men utan modulen. Det är hela tekniken! Låt oss försöka lösa ett par ekvationer. Låt oss börja med detta

\[\vänster| 5x+4 \right|=10\Högerpil 5x+4=\pm 10\]

Vi kommer separat att överväga när det finns en tia med plus till höger, och separat när det är med ett minus. Vi har:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Högerpil 5x=6\Högerpil x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Högerpil 5x=-14\Högerpil x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(align)\]

Det är allt! Vi fick två rötter: $x=1.2$ och $x=-2.8$. Hela lösningen tog bokstavligen två rader.

Okej, ingen fråga, låt oss titta på något lite mer allvarligt:

\[\vänster| 7-5x \right|=13\]

Återigen, öppna modulen med ett plus och ett minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Högerpil -5x=6\Högerpil x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Högerpil -5x=-20\Högerpil x=4. \\\end(align)\]

Återigen ett par rader – och svaret är klart! Som sagt, det är inget komplicerat i moduler. Du behöver bara komma ihåg några regler. Därför går vi vidare och går vidare med riktigt svårare uppgifter.

Variabel höger sidofodral

Tänk nu på denna ekvation:

\[\vänster| 3x-2 \right|=2x\]

Denna ekvation skiljer sig fundamentalt från alla tidigare. Hur? Och det faktum att uttrycket $2x$ står till höger om likhetstecknet – och vi kan inte på förhand veta om det är positivt eller negativt.

Hur ska man vara i så fall? Först måste vi förstå det en gång för alla om den högra sidan av ekvationen är negativ, kommer ekvationen inte att ha några rötter- vi vet redan att modulen inte kan vara lika med ett negativt tal.

Och för det andra, om den högra delen fortfarande är positiv (eller lika med noll), kan du fortsätta på exakt samma sätt som tidigare: öppna bara modulen separat med plustecknet och separat med minustecknet.

Således formulerar vi en regel för godtyckliga funktioner $f\left(x \right)$ och $g\left(x \right)$:

\[\vänster| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Högerpil \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

När det gäller vår ekvation får vi:

\[\vänster| 3x-2 \right|=2x\Högerpil \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Tja, vi kan hantera $2x\ge 0$-kravet på något sätt. I slutändan kan vi dumt ersätta rötterna som vi får från den första ekvationen och kontrollera om ojämlikheten håller eller inte.

Så låt oss lösa själva ekvationen:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Högerpil 3x=4\Högerpil x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Högerpil 3x=0\Högerpil x=0. \\\end(align)\]

Tja, vilken av dessa två rötter uppfyller kravet $2x\ge 0$? Ja båda! Därför blir svaret två siffror: $x=(4)/(3)\;$ och $x=0$. Det är lösningen. :)

Jag misstänker att en av eleverna redan har börjat bli uttråkad? Tja, överväg en ännu mer komplex ekvation:

\[\vänster| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \höger|=x-((x)^(3))\]

Även om det ser ondskefullt ut, är det i själva verket samma ekvation av formen "modul är lika med funktion":

\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=g\vänster(x \höger)\]

Och det löses på samma sätt:

\[\vänster| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \höger|=x-((x)^(3))\Högerpil \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \vänster(x-((x)^(3)) \höger), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Vi kommer att ta itu med ojämlikheten senare - det är på något sätt för ondskefullt (faktiskt enkelt, men vi kommer inte att lösa det). För nu, låt oss ta en titt på de resulterande ekvationerna. Tänk på det första fallet - det här är när modulen utökas med ett plustecken:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Tja, här är det enkelt att du behöver samla allt till vänster, ta med liknande och se vad som händer. Och detta är vad som händer:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Om vi ​​lägger den gemensamma faktorn $((x)^(2))$ utanför parentesen får vi en mycket enkel ekvation:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Högerpil \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Här använde vi en viktig egenskap hos produkten, för vilken vi faktoriserade det ursprungliga polynomet: produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll.

Nu kommer vi på samma sätt att ta itu med den andra ekvationen, som erhålls genom att expandera modulen med ett minustecken:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\vänster(-3x+2 \höger)=0. \\\end(align)\]

Återigen, samma sak: produkten är noll när minst en av faktorerna är noll. Vi har:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Tja, vi har tre rötter: $x=0$, $x=1.5$ och $x=(2)/(3)\;$. Tja, vad kommer att gå in i det slutliga svaret från denna uppsättning? För att göra detta, kom ihåg att vi har en ytterligare ojämlikhetsbegränsning:

Hur tar man hänsyn till detta krav? Låt oss bara ersätta de hittade rötterna och kontrollera om ojämlikheten gäller för dessa $x$ eller inte. Vi har:

\[\begin(align)& x=0\Högerpil x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Högerpil x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Högerpil x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Roten $x=1.5$ passar oss alltså inte. Och bara två rötter kommer att gå som svar:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Som du kan se, även i det här fallet var det inget svårt - ekvationer med moduler löses alltid enligt algoritmen. Du behöver bara ha en god förståelse för polynom och ojämlikheter. Därför går vi vidare till mer komplexa uppgifter - det kommer redan att finnas inte en, utan två moduler.

Ekvationer med två moduler

Hittills har vi bara studerat de enklaste ekvationerna - det fanns en modul och något annat. Vi skickade detta "något annat" till en annan del av ojämlikheten, bort från modulen, så att allt i slutändan skulle reduceras till en ekvation som $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ eller ännu enklare $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Men dagis är över - det är dags att överväga något mer seriöst. Låt oss börja med ekvationer så här:

\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=\vänster| g\vänster(x \höger) \höger|\]

Detta är en ekvation av formen "modulen är lika med modulen". En fundamentalt viktig punkt är frånvaron av andra termer och faktorer: bara en modul till vänster, en modul till till höger - och inget mer.

Man skulle nu kunna tro att sådana ekvationer är svårare att lösa än vad vi har studerat hittills. Men nej: dessa ekvationer löses ännu lättare. Här är formeln:

\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=\vänster| g\vänster(x \höger) \höger|\Högerpil f\vänster(x \höger)=\pm g\vänster(x \höger)\]

Allt! Vi likställer helt enkelt submoduluttryck genom att prefixet ett av dem med ett plus- eller minustecken. Och sedan löser vi de två resulterande ekvationerna - och rötterna är klara! Inga ytterligare begränsningar, inga ojämlikheter osv. Allt är väldigt enkelt.

Låt oss försöka lösa det här problemet:

\[\vänster| 2x+3 \höger|=\vänster| 2x-7 \right|\]

Elementär Watson! Öppna modulerna:

\[\vänster| 2x+3 \höger|=\vänster| 2x-7 \höger|\högerpil 2x+3=\pm \left(2x-7 \höger)\]

Låt oss överväga varje fall separat:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Högerpil 3=-7\Högerpil \emptyset ; \\& 2x+3=-\vänster(2x-7 \höger)\Högerpil 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Den första ekvationen har inga rötter. För när är $3=-7$? För vilka värden på $x$? "Vad fan är $x$? Är du hög? Det finns inga $x$ alls”, säger du. Och du kommer att ha rätt. Vi har fått en likhet som inte är beroende av variabeln $x$, och samtidigt är själva likheten felaktig. Det är därför det inte finns några rötter.

Med den andra ekvationen är allt lite mer intressant, men också väldigt, väldigt enkelt:

Som du kan se avgjordes allt bokstavligen på ett par rader - vi förväntade oss inget annat från en linjär ekvation. :)

Som ett resultat blir det slutliga svaret: $x=1$.

Tja, hur? Svår? Självklart inte. Låt oss prova något annat:

\[\vänster| x-1 \höger|=\vänster| ((x)^(2))-3x+2 \höger|\]

Återigen har vi en ekvation som $\left| f\vänster(x \höger) \höger|=\vänster| g\left(x \right) \right|$. Därför skriver vi om det omedelbart och avslöjar modultecknet:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \höger)\]

Kanske kommer någon nu att fråga: ”Hej, vad är det för nonsens? Varför är plus-minus på höger sida och inte på vänster sida? Lugn, jag ska förklara allt. På ett bra sätt borde vi faktiskt ha skrivit om vår ekvation enligt följande:

Sedan måste du öppna parenteserna, flytta alla termer i en riktning från likhetstecknet (eftersom ekvationen uppenbarligen kommer att vara kvadratisk i båda fallen) och sedan hitta rötterna. Men du måste erkänna: när "plus-minus" står framför tre termer (särskilt när en av dessa termer är ett kvadratiskt uttryck), ser det på något sätt mer komplicerat ut än situationen när "plus-minus" står framför bara två villkor.

Men ingenting hindrar oss från att skriva om den ursprungliga ekvationen enligt följande:

\[\vänster| x-1 \höger|=\vänster| ((x)^(2))-3x+2 \höger|\högerpil \vänster| ((x)^(2))-3x+2 \höger|=\vänster| x-1 \right|\]

Vad hände? Ja, inget speciellt: bytte bara vänster och höger sida. En bagatell, som i slutändan kommer att förenkla våra liv lite. :)

I allmänhet löser vi denna ekvation, med tanke på alternativ med plus och minus:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Högerpil ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\vänster(x-1 \höger)\Högerpil ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Den första ekvationen har rötter $x=3$ och $x=1$. Den andra är i allmänhet en exakt kvadrat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\vänster(x-1 \höger))^(2))\]

Därför har den en enda rot: $x=1$. Men vi har redan fått denna rot tidigare. Således kommer endast två siffror att gå in i det slutliga svaret:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Uppdrag slutfört! Du kan ta den från hyllan och äta en paj. Det finns 2 av dem, ditt genomsnitt. :)

Viktig notering. Närvaron av samma rötter för olika versioner av expansionen av modulen innebär att de ursprungliga polynomen bryts ner i faktorer, och bland dessa faktorer kommer det nödvändigtvis att finnas en gemensam sådan. Verkligen:

\[\begin(align)& \left| x-1 \höger|=\vänster| ((x)^(2))-3x+2 \höger|; \\&\vänster| x-1 \höger|=\vänster| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

En av modulegenskaperna: $\left| a\cdot b \höger|=\vänster| en \right|\cdot \left| b \right|$ (det vill säga produktens modul är lika med produkten av modulerna), så den ursprungliga ekvationen kan skrivas om som

\[\vänster| x-1 \höger|=\vänster| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Som ni ser har vi verkligen en gemensam faktor. Om du nu samlar alla moduler på ena sidan, kan du ta ut denna multiplikator ur konsolen:

\[\begin(align)& \left| x-1 \höger|=\vänster| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\&\vänster| x-1 \höger|-\vänster| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\vänster| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Nåväl, nu minns vi att produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Därmed har den ursprungliga ekvationen med två moduler reducerats till de två enklaste ekvationerna som vi pratade om alldeles i början av lektionen. Sådana ekvationer kan lösas på bara ett par rader. :)

Denna kommentar kan tyckas onödigt komplicerad och otillämplig i praktiken. Men i verkligheten kan du stöta på mycket mer komplexa uppgifter än de som vi analyserar idag. I dem kan moduler kombineras med polynom, aritmetiska rötter, logaritmer etc. Och i sådana situationer kan möjligheten att sänka ekvationens övergripande grad genom att sätta något utanför parentesen vara väldigt, väldigt praktisk. :)

Nu skulle jag vilja analysera en annan ekvation, som vid första anblicken kan verka galen. Många studenter ”sticker” på det - även de som tror att de har god förståelse för modulerna.

Denna ekvation är dock ännu lättare att lösa än vad vi ansåg tidigare. Och om du förstår varför får du ytterligare ett knep för att snabbt lösa ekvationer med moduler.

Så ekvationen är:

\[\vänster| x-((x)^(3)) \höger|+\vänster| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Nej, det här är inget stavfel: det är ett plus mellan modulerna. Och vi måste hitta för vilken $x$ summan av två moduler är lika med noll. :)

Vad är problemet? Och problemet är att varje modul är ett positivt tal, eller i extrema fall, noll. Vad händer när man lägger till två positiva tal? Uppenbarligen, återigen ett positivt tal:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Den sista raden kan ge dig en idé: det enda fallet där summan av modulerna är noll är om varje modul är lika med noll:

\[\vänster| x-((x)^(3)) \höger|+\vänster| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Högerpil \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

När är modulen lika med noll? Endast i ett fall - när undermoduluttrycket är lika med noll:

\[((x)^(2))+x-2=0\Högerpil \vänster(x+2 \höger)\vänster(x-1 \höger)=0\Högerpil \vänster[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Således har vi tre punkter där den första modulen sätts till noll: 0, 1 och −1; samt två punkter där den andra modulen nollställs: −2 och 1. Men vi behöver båda modulerna nollställas samtidigt, så bland siffrorna som hittas måste vi välja de som ingår i båda uppsättningarna. Uppenbarligen finns det bara ett sådant nummer: $x=1$ - detta kommer att vara det slutliga svaret.

uppdelningsmetod

Tja, vi har redan täckt en massa uppgifter och lärt oss många knep. Tror du att det är det? Men nej! Nu ska vi överväga den slutliga tekniken - och samtidigt den viktigaste. Vi kommer att prata om att dela ekvationer med en modul. Vad kommer att diskuteras? Låt oss gå tillbaka lite och överväga en enkel ekvation. Till exempel detta:

\[\vänster| 3x-5\höger|=5-3x\]

I princip vet vi redan hur man löser en sådan ekvation, eftersom det är en standard $\left| f\vänster(x \höger) \höger|=g\vänster(x \höger)$. Men låt oss försöka se på denna ekvation från en lite annan vinkel. Mer exakt, överväg uttrycket under modultecknet. Låt mig påminna dig om att modulen för vilket tal som helst kan vara lika med själva talet, eller så kan det vara motsatt det här talet:

\[\vänster| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Egentligen är denna tvetydighet hela problemet: eftersom talet under modulen ändras (det beror på variabeln) är det inte klart för oss om det är positivt eller negativt.

Men vad händer om vi initialt kräver att denna siffra är positiv? Låt oss till exempel kräva att $3x-5 \gt 0$ - i det här fallet kommer vi garanterat att få ett positivt tal under modultecknet, och vi kan helt bli av med denna modul:

Således kommer vår ekvation att förvandlas till en linjär, som lätt kan lösas:

Det är sant att alla dessa överväganden är meningsfulla endast under villkoret $3x-5 \gt 0$ - vi införde själva detta krav för att otvetydigt avslöja modulen. Så låt oss ersätta den hittade $x=\frac(5)(3)$ i detta tillstånd och kontrollera:

Det visar sig att för det angivna värdet på $x$ uppfylls inte vårt krav, eftersom uttryck visade sig vara lika med noll, och vi behöver det vara strikt större än noll. Tråkigt. :(

Men det är okej! Det finns trots allt ett annat alternativ $3x-5 \lt 0$. Dessutom: det finns också fallet $3x-5=0$ - detta måste också beaktas, annars kommer lösningen att vara ofullständig. Så, överväg $3x-5 \lt 0$-fallet:

Det är uppenbart att modulen öppnas med ett minustecken. Men då uppstår en märklig situation: samma uttryck kommer att sticka ut både till vänster och till höger i den ursprungliga ekvationen:

Jag undrar för vilken $x$ kommer uttrycket $5-3x$ att vara lika med uttrycket $5-3x$? Från sådana ekvationer skulle till och med Kaptenen uppenbarligen kvävas av saliv, men vi vet att denna ekvation är en identitet, d.v.s. det är sant för alla värden på variabeln!

Och det betyder att alla $x$ passar oss. Vi har dock en begränsning:

Med andra ord, svaret kommer inte att vara ett enda nummer, utan ett helt intervall:

Slutligen finns det ytterligare ett fall kvar att överväga: $3x-5=0$. Allt är enkelt här: det kommer att finnas noll under modulen, och nollmodulen är också lika med noll (detta följer direkt av definitionen):

Men sedan den ursprungliga ekvationen $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ kommer att skrivas om så här:

Vi har redan fått denna rot ovan när vi betraktade fallet $3x-5 \gt 0$. Dessutom är denna rot en lösning på ekvationen $3x-5=0$ - detta är begränsningen som vi själva införde för att annullera modulen. :)

Så, förutom intervallet, kommer vi också att vara nöjda med siffran som ligger i slutet av detta intervall:

Totalt slutligt svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Det är inte särskilt vanligt att se sådan skit i svaret på en ganska enkel (i huvudsak linjär) ekvation med modul Tja, vänja dig vid det: komplexiteten i modulen ligger i det faktum att svaren i sådana ekvationer kan vara helt oförutsägbara.

Mycket viktigare är något annat: vi har just demonterat en universell algoritm för att lösa en ekvation med en modul! Och denna algoritm består av följande steg:

1. Jämställ varje modul i ekvationen med noll. Låt oss ta några ekvationer;
2. Lös alla dessa ekvationer och markera rötterna på tallinjen. Som ett resultat kommer den raka linjen att delas upp i flera intervall, på vilka alla moduler är unikt utökade;
3. Lös den ursprungliga ekvationen för varje intervall och kombinera svaren.

Det är allt! Det återstår bara en fråga: vad ska man göra med själva rötterna, erhållna i det första steget? Låt oss säga att vi har två rötter: $x=1$ och $x=5$. De kommer att dela upp tallinjen i 3 delar:

Så vad är intervallen? Det är tydligt att det finns tre av dem:

1. Längst till vänster: $x \lt 1$ - själva enheten ingår inte i intervallet;
2. Central: $1\le x \lt 5$ - här ingår en i intervallet, men fem ingår inte;
3. Den längst till höger: $x\ge 5$ — de fem ingår bara här!

Jag tror att du redan förstår mönstret. Varje intervall inkluderar den vänstra änden och inkluderar inte den högra änden.

Vid första anblicken kan en sådan skiva tyckas obekväm, ologisk och generellt sett någon form av galen. Men tro mig: efter lite övning kommer du att upptäcka att detta är det mest tillförlitliga tillvägagångssättet och samtidigt inte stör otvetydigt avslöjande moduler. Det är bättre att använda ett sådant schema än att tänka varje gång: ge vänster / höger ände till det aktuella intervallet eller "kasta" det till nästa.

Det är här lektionen slutar. Ladda ner uppgifter för självlösning, öva, jämför med svar - så ses vi i nästa lektion, som kommer att ägnas åt ojämlikheter med moduler. :)