Lektionens mål:

Pedagogisk: skapa förutsättningar för elevernas bildande av en holistisk idé om den n:te roten, färdigheter för medveten och rationell användning av rotens egenskaper vid lösning av olika problem.

Utvecklandet: skapa förutsättningar för utveckling av algoritmiskt, kreativt tänkande, utveckla självkontrollförmåga.

Pedagogisk: främja utvecklingen av intresse för ämnet, aktivitet, odla noggrannhet i arbetet, förmågan att uttrycka sin egen åsikt och ge rekommendationer.

Under lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick.

God eftermiddag God timme!

Jag är så glad att se dig.

Klockan har redan ringt

Lektionen börjar.

Vi log. Vi kom ikapp.

Vi tittade på varandra

Och de satte sig tyst tillsammans.

2. Lektionsmotivation.

Den enastående franske filosofen och vetenskapsmannen Blaise Pascal hävdade: "En persons storhet ligger i hans förmåga att tänka." Idag ska vi försöka känna oss som fantastiska människor genom att själva upptäcka kunskap. Mottot för dagens lektion kommer att vara orden från den antika grekiske matematikern Thales:

Vad finns det mer än något annat i världen? - Plats.

Vad är snabbast? - Sinne.

Vad är det klokaste? - Tid.

Vad är det bästa? - Uppnå vad du vill.

Jag skulle vilja att var och en av er uppnår det önskade resultatet i dagens lektion.

3. Uppdatering av kunskap.

1. Namnge de ömsesidiga algebraiska operationerna på siffror. (Addition och subtraktion, multiplikation och division)

2. Är det alltid möjligt att utföra en algebraisk operation som division? (Nej, du kan inte dividera med noll)

3. Vilken annan operation kan du utföra med siffror? (Exponentiering)

4. Vilken operation blir hennes baksida? (rotextraktion)

5. Vilken grad av rot kan du extrahera? (Andra roten)

6. Vilka egenskaper hos kvadratroten känner du till? (Extrahera kvadratroten av en produkt, från en kvot, från en rot, höjning till en potens)

7. Hitta betydelsen av uttrycken:

Från historien. Redan för 4 000 år sedan sammanställde babyloniska vetenskapsmän, tillsammans med multiplikationstabeller och ömsesidiga tabeller (med hjälp av vilka division av tal reducerades till multiplikation), tabeller med kvadrater av tal och kvadratrötter av tal. Samtidigt kunde de hitta det ungefärliga värdet av kvadratroten av vilket heltal som helst.

4. Studera nytt material.

Uppenbarligen, i enlighet med de grundläggande egenskaperna hos potenser med naturliga exponenter, från alla positiva tal finns det två motsatta värden av roten till en jämn potens, till exempel är talen 4 och -4 kvadratrötter av 16, eftersom ( -4) 2 = 42 = 16, och siffrorna 3 och -3 är de fjärde rötterna av 81, eftersom (-3)4 = 34 = 81.

Dessutom finns det ingen jämn rot av ett negativt tal eftersom den jämna potensen av ett reellt tal är icke-negativ. När det gäller roten av en udda grad, för varje reellt tal finns det bara en rot av en udda grad från detta tal. Till exempel är 3 den tredje roten av 27, eftersom 33 = 27, och -2 är den femte roten av -32, eftersom (-2)5 = 32.

På grund av att det finns två rötter av jämn grad från ett positivt tal, introducerar vi begreppet en aritmetisk rot för att eliminera denna tvetydighet hos roten.

Ett icke-negativt värde av den n:te roten av ett icke-negativt tal kallas en aritmetisk rot.

Beteckning: - roten av n:e graden.

Talet n kallas potensen av den aritmetiska roten. Om n = 2, så anges inte rotens grad och skrivs. Roten av den andra graden kallas vanligtvis kvadratroten, och roten av den tredje graden kallas kubikroten.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = a, p - även a ≥ 0, b ≥ 0

n - udda a, b - valfri

Egenskaper

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b >0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - naturliga tal

5. Konsolidering av nytt material.

Muntligt arbete

a) Vilka uttryck är vettiga?

b) För vilka värden av variabeln a är uttrycket meningsfullt?

Lös nr 3, 4, 7, 9, 11.

6. Idrottsminut.

Måttlighet behövs i alla frågor,

Låt det vara huvudregeln.

Gymnastik, eftersom du har tänkt länge,

Gymnastik tröttar inte ut kroppen,

Men det rensar kroppen helt!

Blunda, slappna av i kroppen,

Tänk dig - ni är fåglar, ni flyger plötsligt!

Nu simmar du i havet som en delfin,

Nu plockar du mogna äpplen i trädgården.

Vänster, höger, såg sig omkring,

Öppna dina ögon och gå tillbaka till verksamheten!

7. Självständigt arbete.

Arbeta i par med. 178 nr 1, nr 2.

8. D/z. Lär dig punkt 10 (sid. 160-161), lös nr 5, 6, 8, 12, 16(1, 2).

9. Lektionssammanfattning. Reflektion av aktivitet.

Nådde lektionen sitt mål?

Vad har du lärt dig?

Sitbatalova Alma Kaparovna

matematiklärare

Lyceum nr 15

Astana

"Argumentera, ta fel, gör misstag, men för guds skull, tänk och, även om det är snett, gör det själv."

G. Lessing.

För att utveckla elevernas förmåga att arbeta med information, lära dem att tänka självständigt och kunna arbeta i team kan olika pedagogiska tekniker användas. Författaren ger företräde åt grupparbetsformen.

Årskurs 11

Lektionens ämne: Den n:te roten och dess egenskaper.

Syftet med lektionen:

Bildande hos eleverna av en holistisk förståelse för rotenn -th grad, färdigheter för medveten och rationell användning av rotens egenskaper vid lösning av olika problem;förstå principerna för att förenkla uttryck som innehåller en radikal. Kontrollera nivån på elevernas förståelse av ämnets frågor.

Lektionens mål:

1. Uppdatera nödvändiga kunskaper och färdigheter.Ge begreppet en rotn-th graden, överväg dess egenskaper.

2. Organisera elevernas mentala aktivitet för att lösa problemet (bygg den nödvändiga kommunikationen).Främja utvecklingen av algoritmiskt, kreativt tänkande, utveckla självkontrollförmåga. Att främja utvecklingen av intresse för ämnet och verksamheten.

3. Odla respekt för andras åsikter och andras arbete genom analys och tillägnande av ett nytt sätt att agera,förmåga att arbeta i ett team, uttrycka sin egen åsikt, ge rekommendationer.

Utrustning:

Dator, projektor och duk för demonstration av presentationen; uppgiftskort för grupparbeten; kort med en tabell för att bedöma tilldelningen av en ny typ av aktivitet; tomma dubbla ark för studenter att göra självständigt arbete på flera nivåer; kort med flernivåuppgifter.

Lektionstyp:

Kombinerad (systematisering och generalisering, assimilering av ny kunskap, testning och utvärdering av kunskap).

Former för organisation av utbildningsverksamhet :

Individuell, polylog, dialog, arbete med texten på en bild, lärobok.

Metoder :

Visuellt, verbalt, grafiskt, villkorligt symboliskt, forskning.

Motivation av elevers kognitiva aktivitet:

Säg det till elevernastudera rotens egenskapernDen e graden är en generalisering av egenskaperna hos den examen som redan är kända för studenter.

Lektionsplanering:

Organisatoriskt och motiverande ( lärarens hälsning , acceptans av ämnet, lektionsmål , inkludering i arbetet ).

Uppdaterar kunskap (systematisering och generalisering, assimilering av ny kunskap).

Tillämpning av det som har lärts ( fastställa riktigheten och medvetenheten om att bemästra nytt utbildningsmaterial; identifiera luckor och missuppfattningar och korrigera dem).

Kontroll och självkontroll (Kunnskapskontroll).

Reflexion (Mobilisera eleverna att reflektera över sitt beteende (motivation, aktivitetsmetoder, kommunikation).

Sammanfattande (Ge en analys och bedömning av framgången med att nå målet och skissera utsikterna för fortsatt arbete).

Läxa (Säkerställa en förståelse för syfte, innehåll och metoder för att göra läxor).

Under lektionerna:

Organisatoriskt och motiverande ( lärarens hälsning , acceptans av ämnet, lektionsmål, inkludering i arbetet, 1-2 min ). Hälsningar studenter, meddelande ämne "Rootn– graden och dess egenskaper”, kommunikation av syfte och metod för verksamheten.

Uppdaterar kunskap (systematisering och generalisering, assimilering av ny kunskap, 15 min).

Upprepning av grundläggande kunskaper (systematisering och generalisering):

Klassen är indelad i tre grupper.

Lärarens verksamhet: ställa frågor:

Definition av aritmetisk kvadratrot.

Egenskaper för den aritmetiska kvadratroten.

Egenskaper för en examen med naturlig exponent.

Skriv egenskaper på bladet,

,

Svara på frågor,

Slutföra uppgifter.

Assimilering av ny kunskap:

Lärarens verksamhet: Nya koncept introduceras:

DEFINITION. Rotn e graden blanda detta nummer kallasn vars th grad är lika meda .

DEFINITION. Aritmetisk rotn e graden blandA ring ett icke-negativt nummern vars th grad är lika meda .

Grundläggande egenskaper hos aritmetiska röttern -e graden.

När ensn det finns två röttern potensen av ett positivt tala , rotn Den e potensen av talet 0 är lika med rodret, den jämna potensroten av negativa tal finns inte. För uddandet finns en rotn -nej från vilket nummer som helsta och bara en därtill.

För alla siffror följande jämlikheter gäller:

1) ; 3) ;

2) 4) ;

5) ; 6) .

Exempel på uppgifter ges på bilden:

Studentaktiviteter i grupp:

Skriv själv egenskaper på bladet,

Kontrollera bilden för noggrannhet,

Svara på frågor,

Slutföra uppgifter.

Tillämpning av det som har lärts ( fastställa riktigheten och medvetenheten om att bemästra nytt utbildningsmaterial; identifiera luckor och missuppfattningar och korrigera dem, 15 min).

Lärarens verksamhet: Ger en kommentar om ytterligare åtgärder:

Arbeta i grupper stegvis,

Framför varje grupp finns ett papper med samma uppgift, men med olika förutsättningar (på bilden "Förenkla uttrycket"):

- Steg 1 "Generering av idéer".

1 skede:

Ange nummer 1.

Skriv ner ordningen på förväntade åtgärder som krävs för att slutföra uppgiften.

Hantera gruppaktiviteter (för att säkerställa att alla elever är involverade i arbetet).

- Steg 2 "Idéanalys".

Bekanta dig med aktivitetsinstruktionerna på bilden:

Skede:

Ange nummer 2.

Slutför uppgiften med den föreslagna algoritmen, förbättra den vid behov.

Dra och skriv ner en slutsats om huruvida uppgiften kan genomföras med den föreslagna algoritmen.

Ledning av gruppaktiviteter.

- Steg 3 "Examination".

:

Skede:

Ange nummer 3.

Kontrollera att uppgiften är korrekt enligt algoritmen.

Dra och skriv ner en slutsats om det var möjligt att skapa den nödvändiga algoritmen och slutför uppgiften korrekt.

- Steg 4 "Presentation av resultat".

Bekanta dig med aktivitetsinstruktionerna på bilden:

Skede:

Utvärdera aktiviteterna i alla grupper i varje steg.

Välj individuellt i vilket skede det var lättare att arbeta och i vilket skede svårigheter uppstod.

Studentaktiviteter i grupp:

i steg 1:analysera uppgifter, utföra nödvändiga åtgärder,

i steg 2:analysera en algoritm som föreslagits av en annan grupp, pågöra justeringar vid behov,slutföra uppgifter,

i steg 3: analysera arbetettidigare grupper, avsluta,

i steg 4:analysera slutsatsen, kontrollera att lösningen är korrekt med svaret på bilden, fyll i kort med en tabell, välj den roll där de är mer framgångsrika.

En minuts hälsa (gymnastik för ögonen).

Kontroll och självkontroll (Kunskapstest, 7 min.)

Lärarens verksamhet: Ger instruktioner för att utföra självständigt arbete:

Alla elever slutför uppgifter på nivå 1 (vid "3") på korten på bilden:

Självständigt arbete. Betyg "3".

jag alternativ.

A)

b)

2). Jämför siffror:

II alternativ.

1). Hitta värdet på ett numeriskt uttryck:

A)

b)

2). Jämför siffror:

:

Självständigt arbete. Betyg "3".

Svar :

jag alternativ

1). a) 11

b) 15

2). <

II alternativ

1). a) 7

b) 15

2. >

3. Vem slutförde uppgiften på nivå 1?

4. Elever som har klarat av nivå 1 går vidare till nivå 2-uppgifter (vid "4"), de som inte har klarat dem stannar kvar på nivå 1 av uppgiften på bilden, på kort:

Självständigt arbete.

Betyg "3".

1). Hitta värdet på ett numeriskt uttryck:

A)

b)

2). Jämför siffror:

Betyg "4".

1). Lös ekvationen:

A)

b)

2). Förenkla uttrycket:

Självtest baserat på svaren på bilden:

Självständigt arbete.

Svar :

Betyg "3".

1). a) 13

b) 6

2). <

Betyg "4".

1). A)

b)

2). 2a

6. Vem flyttade till nivå 3?

Vem stannade på nivå 2?

Vem flyttade till nivå 2?

Vem stannade på nivå 1?

7. Elever som fått en "4" slutför uppgifter på nivå 3 (vid "5").

Studenter som inte får en "4" och har slutfört nivå 1 slutför nivå 2-uppgifter.

Elever som inte får en "3" slutför uppgifter på nivå 1 på korten på bilden:

Självständigt arbete.

Betyg "4".

Betyg "5".

Betyg "4"?

Betyg "3"?

10. Vem klarade nivå 1-uppgifterna?

Studentaktiviteter i grupp:

Slutföra uppgifter.

Utför ett självtest och ge betyget "3" om alla uppgifter är klara.

Presentera resultaten.

Slutföra uppgifter.

Utför ett självtest: sätt "3" om alla uppgifter på nivå 1 är klara; sätt "4" om 2 av 3 uppgifter på nivå 2 är klara.

Presentera resultaten.

Slutföra uppgifter.

Utför ett självtest: sätt "3" om alla uppgifter på nivå 1 är klara; sätt "4" om 2 uppgifter på nivå 2 är klara; ge betyget "5" om minst 1 uppgift av 2 är klar.

Presentera resultaten.

Reflexion (Mobilisera eleverna att reflektera över sitt beteende (motivation, aktivitetsmetoder, kommunikation, 3 min).

Lärarens verksamhet: Ger kommentarer om att skriva "Cinquain", instruktioner på bilden:

Sinkwine.

Rad 1 – ämnet eller ämnet anges (ett substantiv);

Rad 2 – beskrivning av ämnet (två adjektiv eller particip);

Rad 3 – karakteriserar ämnets handlingar (tre verb);

Rad 4 - uttryck för författarens inställning till ämnet (fyra ord);

Rad 5 – en synonym som generaliserar eller utökar innebörden av ämnet (ett ord).

Studentaktiviteter i grupp:

Bekanta dig med algoritmen för att skriva Sinkwine,

De skriver Cinquain på blad av självständigt arbete,

Sinkwine läses upp om så önskas,

Skicka in blad för verifiering.

Sammanfattande (Ge en analys och bedömning av framgången med att nå målet och skissera utsikterna för efterföljande arbete, 1-2 min).

Lärarens verksamhet: Analys av prestationsbedömning i olika skeden av lektionen: Varför var det lättare (svårare) för dig i en eller annan roll? Varje elevs arbete bedöms.

Studentaktiviteter i grupp: svara på frågan.

Läxa (Säkerställa förståelse för syfte, innehåll och metoder för att göra läxor, 1-2 min).

Lärarens verksamhet: Ger instruktioner för att göra läxor:(A. Abylkasimova, naturlig matematik, t.ex.)
5 §, nr 83 (2; 4), nr 84 (2; 3), nr 86, 87 (3; 4), nr 89.

‹ ›

För att ladda ner materialet, skriv in din e-post, ange vem du är och klicka på knappen

Video tutorial 2: Egenskaper för rötter av grad n > 1

Föreläsning: Rot av grad n > 1 och dess egenskaper

Rot

Anta att du har en ekvation av formen:

Lösningen till denna ekvation är x 1 = 2 och x 2 = (-2). Båda lösningarna är lämpliga som svar, eftersom tal med lika moduler när de höjs till en jämn potens ger samma resultat.

Detta var ett enkelt exempel, men vad kan vi göra om t.ex.

Låt oss försöka rita funktionen y=x 2 . Dess graf är en parabel:

På grafen måste du hitta punkter som motsvarar värdet y = 3. Dessa punkter är:

Det betyder att detta värde inte kan kallas ett heltal, utan kan representeras som en kvadratrot.

Vilken rot som helst är irrationellt tal. Irrationella tal inkluderar rötter och icke-periodiska oändliga bråk.

Roten ur- detta är ett icke-negativt tal "a", vars radikala uttryck är lika med det givna talet "a" i kvadrat.

Till exempel,

Det vill säga att vi som ett resultat bara får ett positivt värde. Men som en lösning på en andragradsekvation av formen

Lösningen är x 1 = 4, x 2 = (-4).

Egenskaper av kvadratrot

1. Vilket värde x än tar, är detta uttryck sant i alla fall:

2. Jämföra tal som innehåller kvadratrötter. För att jämföra dessa siffror måste du ange både det ena och det andra numret under rottecknet. Antalet blir större vars radikala uttryck är större.

Ange siffran 2 under rottecknet

Låt oss nu sätta siffran 4 under rottecknet. Som ett resultat av detta får vi

Och först nu kan de två resulterande uttrycken jämföras:

3. Ta bort multiplikatorn under roten.

Om ett radikalt uttryck kan delas upp i två faktorer, varav en kan tas bort från rottecknet, är det nödvändigt att använda denna regel.

4. Det finns en egenskap som är motsatsen till detta - att införa en multiplikator under roten. Vi använde uppenbarligen den här egenskapen i den andra fastigheten.

eller genom att använda formeln för skillnaden mellan kvadrater så här:

• (x 2 -4)*(x 2 +4)=0.

Produkten av två faktorer är lika med noll om minst en av dem är lika med noll.

Uttrycket x 2 +4 kan inte vara lika med noll, därför är allt som återstår (x 2 -4)=0.

Vi löser det och får två svar.

Svar: x=-2 och x=2.

Vi fann att ekvationen x 4 =16 bara har 2 reella rötter. Dessa är rötter av fjärde graden från talet 16. Dessutom kallas den positiva roten för den aritmetiska roten av den fjärde graden från talet 16. Och de betecknas 4√16. Det vill säga 4√16=2.

Definition

• En aritmetisk rot av en naturlig potens n>=2 av ett icke-negativt tal a är något icke-negativt tal, när det höjs till potensen n erhålls talet a.

Det kan bevisas att för alla icke-negativa a och naturliga n, kommer ekvationen xn =a att ha en enda icke-negativ rot. Det är denna rot som kallas den aritmetiska roten av den n:e graden av talet a.

Den aritmetiska roten av den n:e graden av ett tal betecknas på följande sätt: n√a.

Siffran a kallas i detta fall ett radikalt uttryck.

I fallet när n=2 skriver de inte två, utan skriver helt enkelt √a.

Aritmetiska rötter av andra och tredje graden har deras speciella namn.

En aritmetisk rot av andra graden kallas kvadratrot och en aritmetisk rot av tredje graden kallas kubrot.

Med bara definitionen av en aritmetisk rot kan man bevisa att n√a är lika med b. För att göra detta måste vi visa att:

• 1. b är större än eller lika med noll.
• 2. bn =a.

Till exempel, 3√(64) = 4, eftersom 1. 4>0, 2. 4 3 =64.

En konsekvens av definitionen av en aritmetisk rot.

• (n√a) n = a.
• n√(a n) = a.

Till exempel, (5√2) 5 = 2.

Extrahera den n:te roten

Att extrahera den n:te roten är den åtgärd som används för att hitta den n:te roten. Att ta den n:te roten är motsatsen till att höja den till n:te potensen.

Låt oss titta på ett exempel.

Lös ekvationen x 3 = -27.

Låt oss skriva om denna ekvation i formen (-x) 3 =27.

Låt oss sätta y=-x, sedan y 3 =27. Denna ekvation har en positiv rot y= 3√27 = 3.

Denna ekvation har inga negativa rötter, eftersom y 3

Vi finner att ekvationen 3 =27 bara har en rot.

För att återgå till den ursprungliga ekvationen, finner vi att den också bara har en rot x=-y=-3.

Rotn-e graden och dess egenskaper

Vad är en rotnexamen? Hur extraherar man roten?

I åttan har du redan blivit bekant med roten ur. Vi löste typiska exempel med rötter med hjälp av vissa egenskaper hos rötter. Bestämde också Kvadratisk ekvation, där utan att extrahera kvadratroten - inget sätt. Men kvadratroten är bara ett specialfall av ett bredare begrepp - rot n e graden . Utöver kvadratroten finns det till exempel kubrötter, fjärde, femte och högre potenser. Och för att framgångsrikt arbeta med sådana rötter skulle det vara en bra idé att först vara på bekant med kvadratrötter.) Därför, alla som har problem med dem, rekommenderar jag starkt att upprepa detta.

Att extrahera roten är en av operationerna omvänt mot att höja till en potens.) Varför "en av"? För när vi extraherar roten letar vi efter bas enligt känt grad och indikator. Och det finns en annan omvänd operation - att hitta indikator enligt känt grad och grund. Denna operation kallas att hitta logaritm Det är mer komplext än rotextraktion och studeras på gymnasiet.)

Så låt oss bekanta oss!

Först, beteckningen. Kvadratroten, som vi redan vet, betecknas så här: . Denna ikon kallas väldigt vackert och vetenskapligt - radikal. Vilka är rötterna till andra grader? Det är väldigt enkelt: ovanför radikalens "svans", skriv dessutom exponenten för graden vars rot eftersträvas. Om du letar efter en kubrot, skriv då en trippel: . Om roten är av fjärde graden, då, följaktligen, . Och så vidare.) I allmänhet betecknas den n:te roten så här:

Var .

siffraa , som i kvadratrötter, kallas radikalt uttryck , och här är numretn Det här är nytt för oss. Och det heter rotindex .

Hur extraherar man rötter av alla grader? Precis som kvadrater - räkna ut vilket tal i n:te potens som ger oss taleta .)

Hur tar man till exempel kubroten av 8? Det är ? Vilket nummer kubad ger oss 8? En tvåa, naturligtvis.) Så de skriver:

Eller . Vilket tal i fjärde potens ger 81? Tre.) Så,

Vad sägs om den tionde roten av 1? Tja, det är en no brainer att en till vilken makt som helst (inklusive den tionde) är lika med en.) Det vill säga:

Och generellt sett.

Det är samma historia med noll: noll till vilken naturlig kraft som helst är lika med noll. Det är, .

Som du kan se, jämfört med kvadratrötter, är det svårare att ta reda på vilket tal som ger oss det radikala talet i en eller annan grada . Svårare plocka upp svara och kontrollera att det är korrekt genom att höja det till en maktn . Situationen är avsevärt förenklad om du känner till krafterna hos populära nummer personligen. Så nu tränar vi. :) Låt oss känna igen graderna!)

Svar (i oordning):

Jaja! Det finns fler svar än uppgifter.) Eftersom till exempel 2 8, 4 4 och 16 2 alla är samma nummer 256.

Har du övat? Låt oss sedan titta på några exempel:

Svar (också i oordning): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Hände? Fantastisk! Låt oss gå vidare.)

Begränsningar i rötterna. Aritmetisk rotne graden.

De n:te rötterna har, liksom kvadratrötter, också sina egna begränsningar och sina egna knep. I huvudsak skiljer de sig inte från dessa begränsningar för kvadratrötter.

Det passar inte, eller hur? Vad är 3, vad som är -3 till fjärde potens blir +81. :) Och med vilken rot som helst även grader från ett negativt tal kommer att vara samma låt. Och detta betyder det Det är omöjligt att extrahera rötter av jämn grad från negativa tal . Detta är en tabubelagd handling i matematik. Det är lika förbjudet som att dividera med noll. Därför uttryck som , och liknande - inte vettigt.

Men rötterna udda negativa tals styrkor – tack!

Till exempel, ; , och så vidare.)

Och från positiva siffror kan du extrahera alla rötter, av alla grader, med sinnesfrid:

I allmänhet är det förståeligt, tycker jag.) Och förresten, roten behöver inte extraheras exakt. Det här är bara exempel, rent för förståelse.) Det händer att i processen att lösa (till exempel ekvationer) uppstår ganska dåliga rötter. Något liknande . Kubroten kan extraheras perfekt från en åtta, men här finns en sjua under roten. Vad ska man göra? Det är ok. Allt är precis detsamma.är ett tal som, när det kuberas, ger oss 7. Bara detta nummer är väldigt fult och lurvigt. Här är det:

Dessutom tar detta nummer aldrig slut och har ingen punkt: siffrorna följer helt slumpmässigt. Det är irrationellt... I sådana fall lämnas svaret i form av en rot.) Men om roten extraheras rent (till exempel ), så måste naturligtvis roten beräknas och skrivas ner:

Återigen tar vi vårt experimentnummer 81 och extraherar den fjärde roten från det:

För tre i fjärde blir 81. Nåväl, bra! Men också minus tre i fjärde blir det också 81!

Detta resulterar i oklarhet:

Och för att eliminera det, precis som i kvadratrötter, introducerades en speciell term: aritmetisk rotne graden bland a - det här är vad det är icke-negativ siffra,n-th grad som är lika med a .

Och svaret med plus eller minus heter annorlunda - algebraisk rotne graden. Vilken jämn kraft som helst har en algebraisk rot två motsatta tal. I skolan arbetar man bara med aritmetiska rötter. Därför kasseras helt enkelt negativa tal i aritmetiska rötter. Till exempel skriver de: . Själva pluset står naturligtvis inte: det medföra.

Allt verkar enkelt, men... Men hur är det med udda rötter av negativa tal? När allt kommer omkring, när du extraherar det får du alltid ett negativt tal! Eftersom alla negativa tal in udda grad ger också ett negativt tal. Och den aritmetiska roten fungerar bara med icke-negativa tal! Det är därför det är aritmetik.)

I sådana rötter är det vad de gör: de tar ut minustecknet från under roten och placerar det framför roten. Så här:

I sådana fall sägs det så uttrycks genom en aritmetisk (d.v.s. redan icke-negativ) rot .

Men det finns en punkt som kan orsaka förvirring - det här är lösningen av enkla ekvationer med potenser. Till exempel, här är ekvationen:

Vi skriver svaret: . Faktum är att det här svaret bara är en kortversion av två svar:

Missförståndet här är att jag redan skrivit lite högre att i skolan räknas endast icke-negativa (d.v.s. aritmetiska) rötter. Och här är ett av svaren med minus... Vad ska jag göra? Aldrig! Tecknen här är resultatet av att lösa ekvationen. A själva roten– värdet är fortfarande icke-negativt! Se efter själv:

Nåväl, är det tydligare nu? Med parentes?)

Med en udda grad är allt mycket enklare - det fungerar alltid där ute ett rot. Med plus eller minus. Till exempel:

Så om vi Bara vi extraherar roten (av jämn grad) från ett tal, då får vi alltid ett icke-negativt resultat. Eftersom det är en aritmetisk rot. Men om vi bestämmer oss ekvationen med en jämn grad, då får vi två motsatta rötter, eftersom detta är lösning på ekvationen.

Det finns inga problem med udda rötter (kubisk, femte, etc.). Låt oss ta ut det för oss själva och oroa oss inte för tecknen. Ett plus under roten betyder att resultatet av extraktion är ett plus. Minus betyder minus.)

Och nu är det dags att träffas egenskaper hos rötter. Några kommer redan att vara bekanta för oss från kvadratrötter, men flera nya kommer att läggas till. Gå!

Rötters egenskaper. Roten till arbetet.

Denna egenskap är redan bekant för oss från kvadratrötter. För rötter av andra grader är allt liknande:

Det är, roten av produkten är lika med produkten av rötterna av varje faktor separat.

Om indikatornn till och med, då båda radikalernaa Ochb måste naturligtvis vara icke-negativ, annars är formeln meningslös. I fallet med en udda exponent finns det inga begränsningar: vi flyttar fram minusen under rötterna och arbetar sedan med aritmetiska rötter.)

Som med kvadratrötter är den här formeln lika användbar från vänster till höger som från höger till vänster. Genom att använda formeln från vänster till höger kan du extrahera rötterna från arbetet. Till exempel:

Denna formel är förresten giltig inte bara för två, utan för hur många faktorer som helst. Till exempel:

Du kan också använda den här formeln för att extrahera rötter från stora tal: för att göra detta delas talet under roten upp i mindre faktorer, och sedan extraheras rötterna separat från varje faktor.

Till exempel denna uppgift:

Antalet är ganska stort. Är roten extraherad från den? slät– det är också oklart utan miniräknare. Det skulle vara trevligt att ta hänsyn till det. Vad exakt är talet 3375 delbart med? Det ser ut som 5: den sista siffran är fem.) Dela:

Oj, delbart med 5 igen! 675:5 = 135. Och 135 är återigen delbart med fem. När tar detta slut!)

135:5 = 27. Med siffran 27 är allt redan klart - det är tre kuber. Betyder att,

Sedan:

Vi extraherade roten bit för bit, och det är okej.)

Eller det här exemplet:

Återigen faktoriserar vi enligt kriterierna för delbarhet. Vilken? Vid 4, eftersom de sista siffrorna 40 är delbart med 4. Och med 10, eftersom den sista siffran är noll. Det betyder att vi kan dividera med 40 i ett svep:

Vi vet redan om siffran 216 att det är en sexkubbar. Det är,

Och 40 kan i sin tur utökas som . Sedan

Och så får vi äntligen:

Det gick inte att extrahera roten rent, men det är okej. Hur som helst, vi förenklade uttrycket: vi vet att under roten (oavsett om det är kvadratiskt, till och med kubiskt, vad som helst) är det vanligt att lämna minsta möjliga antal.) I det här exemplet utförde vi en mycket användbar operation, som också redan är bekant för oss från kvadratrötter. Känner du igen? Ja! Vi utförd multiplikatorer från roten. I det här exemplet tog vi ut en tvåa och en sexa, dvs. nummer 12.

Hur tar man ut multiplikatorn från rottecknet?

Att ta en faktor (eller faktorer) bortom rottecknet är väldigt enkelt. Vi faktoriserar det radikala uttrycket och extraherar det som utvinns.) Och det som inte utvinns lämnar vi under roten. Ser:

Vi faktorerar numret 9072. Eftersom vi har en fjärdepotensrot försöker vi först och främst att faktorisera den till faktorer som är fjärdepotenser av naturliga tal - 16, 81, etc.

Låt oss försöka dividera 9072 med 16:

Delad!

Men 567 verkar vara delbart med 81:

Betyder att, .

Sedan

Rötters egenskaper. Multiplicera rötter.

Låt oss nu överväga den omvända tillämpningen av formeln - från höger till vänster:

Vid första anblicken, inget nytt, men utseendet lurar.) Omvänd tillämpning av formeln utökar våra möjligheter avsevärt. Till exempel:

Hmm, så vad är det för fel med det? De multiplicerade det och det var allt. Det finns verkligen inget speciellt här. Normal multiplikation av rötter. Här är ett exempel!

Rötterna kan inte extraheras enbart från faktorerna separat. Men resultatet är utmärkt.)

Återigen är formeln giltig för ett antal faktorer. Till exempel måste du beräkna följande uttryck:

Huvudsaken här är uppmärksamhet. Exemplet innehåller annorlunda rötter – kub och fjärde graden. Och ingen av dem är definitivt extraherad...

Och formeln för produkten av rötter är endast tillämplig på rötter med identisk indikatorer. Därför kommer vi att gruppera kubrötter i en separat grupp och fjärdegradsrötter i en separat grupp. Och sedan, ser du, kommer allt att växa ihop.))

Och du behövde ingen miniräknare.)

Hur anger man en multiplikator under rottecknet?

Nästa användbara sak är lägga till ett tal till roten. Till exempel:

Går det att ta bort trippeln inuti roten? Elementärt! Om vi ​​förvandlar tre till rot, då kommer formeln för produkten av rötter att fungera. Så låt oss förvandla tre till en rot. Eftersom vi har en rot av fjärde graden, kommer vi också att förvandla den till en rot av fjärde graden.) Så här:

Sedan

En rot kan förresten göras från vilket icke-negativt tal som helst. Och i den grad vi vill (allt beror på det specifika exemplet). Detta kommer att vara den n:te roten av just detta tal:

Och nu - uppmärksamhet! En källa till mycket allvarliga fel! Det är inte för inte som jag sa här om icke-negativ tal. Den aritmetiska roten fungerar bara med dessa. Om vi ​​har ett negativt tal någonstans i uppgiften så lämnar vi antingen minuset bara så där, framför roten (om det är utanför), eller så blir vi av med minuset under roten, om det är inuti. Jag påminner dig om det är under roten även grad är alltså ett negativt tal uttrycket är inte vettigt.

Till exempel denna uppgift. Ange multiplikatorn under rottecknet:

Om vi ​​nu tar till roten minus två, då kommer vi att ha grymt fel:

Vad är det för fel här? Och faktum är att den fjärde makten, på grund av sin paritet, glatt "ätit" detta minus, vilket resulterade i att ett uppenbart negativt tal förvandlades till ett positivt. Och den korrekta lösningen ser ut så här:

I rötterna av udda grader, även om minus inte "äts upp", är det också bättre att lämna det utanför:

Här är den udda roten kubisk, och vi har all rätt att trycka minus under roten också. Men i sådana exempel är det att föredra att också lämna minus utanför och skriva svaret uttryckt genom en aritmetisk (icke-negativ) rot, eftersom roten, även om den har rätt till liv, är inte aritmetik.

Så, med att skriva in numret under roten, är allt också klart, hoppas jag.) Låt oss gå vidare till nästa egenskap.

Rötters egenskaper. Roten till en bråkdel. Rotdelning.

Den här egenskapen replikerar också helt den för kvadratrötter. Först nu utökar vi det till rötter av vilken grad som helst:

Roten till ett bråk är lika med roten av täljaren delat med roten av nämnaren.

Om n är jämnt, då taleta måste vara icke-negativ och numretb – strikt positiv (kan inte delas med noll). I fallet med en udda indikator kommer den enda begränsningen att vara .

Denna egenskap låter dig enkelt och snabbt extrahera rötter från fraktioner:

Tanken är tydlig tycker jag. Istället för att arbeta med hela bråket går vi vidare till att arbeta separat med täljaren och separat med nämnaren.) Om bråket är en decimal eller, fasansfulla, ett blandat tal, så går vi först över till vanliga bråk:

Låt oss nu se hur denna formel fungerar från höger till vänster. Även här dyker det upp mycket användbara möjligheter. Till exempel detta exempel:

Rötterna kan inte extraheras exakt från täljaren och nämnaren, men från hela bråket går det bra.) Du kan lösa detta exempel på ett annat sätt - ta bort faktorn under roten i täljaren och reducera den sedan:

Som du önskar. Svaret kommer alltid att vara detsamma – det korrekta. Om du inte gör misstag på vägen.)

Så vi har sorterat ut multiplikationen/divisionen av rötter. Låt oss gå upp till nästa steg och överväga den tredje egenskapen - roten till makten Och roten till kraften .

Rot till grad. Roten till graden.

Hur höjer man en rot till en makt? Låt oss till exempel säga att vi har ett nummer. Kan denna siffra höjas till en makt? I en kub till exempel? Säkert! Multiplicera roten med sig själv tre gånger, och - enligt formeln för produkten av rötter:

Här är roten och graden som omömsesidigt förstöras eller kompenseras. Ja, om vi höjer ett tal som, när det höjs till en kub, ger oss en trea, till just den här kuben, vad får vi då? Vi får en trea såklart! Och detta kommer att vara fallet för alla icke-negativa nummer. I allmänhet:

Om exponenterna och roten är olika så är det inga problem heller. Om du känner till egenskaperna hos grader.)

Om exponenten är mindre än exponenten för roten, trycker vi helt enkelt graden under roten:

I allmänhet blir det:

Tanken är klar: vi höjer det radikala uttrycket till en makt, och förenklar det sedan, tar bort faktorerna under roten, om möjligt. Omn även dåa måste vara icke-negativa. Varför är förståeligt, tycker jag.) Och omn udda, då finns det inga begränsningar påa inte längre tillgänglig:

Låt oss ta itu med det nu roten till graden . Det vill säga, det är inte själva roten som kommer att höjas till en makt, utan radikalt uttryck. Det är inget komplicerat här heller, men det finns mycket mer utrymme för misstag. Varför? Eftersom negativa siffror spelar in, vilket kan orsaka förvirring i tecknen. För nu, låt oss börja med rötterna till udda krafter - de är mycket enklare.

Låt oss ha siffran 2. Kan vi kubera den? Säkert!

Låt oss nu ta kubroten tillbaka från siffran åtta:

Vi började med en tvåa och återvände till en tvåa.) Inte konstigt: kuben kompenserades för genom den omvända operationen - utvinningen av kubroten.

Ett annat exempel:

Allt är bra här också. Graden och roten kompenserade varandra. I allmänhet, för rötter av udda potenser kan vi skriva följande formel:

Denna formel är giltig för alla reella tala . Antingen positivt eller negativt.

Det vill säga att en udda grad och roten av samma grad alltid kompenserar varandra och ett radikalt uttryck erhålls. :)

Men med även i viss mån kanske det här tricket inte längre fungerar. Se efter själv:

Inget speciellt här ännu. Fjärde graden och roten till fjärde graden balanserade också varandra och resultatet blev helt enkelt två, d.v.s. radikalt uttryck. Och för vem som helst icke-negativ siffrorna kommer att vara desamma. Låt oss nu bara ersätta två i denna rot med minus två. Det vill säga, låt oss beräkna följande rot:

Minus av de två "brändes ut" på grund av den fjärde graden. Och som ett resultat av att extrahera roten (arithmetik!) fick vi positiv siffra. Det var minus två, nu är det plus två.) Men om vi helt enkelt tanklöst hade "minskat" graden och roten (samma!), skulle vi ha

Vilket är ett allvarligt misstag, ja.

Därför för även exponent, formeln för roten av en grad ser ut så här:

Här har vi lagt till modultecknet, som inte är älskat av många, men det är inget skrämmande med det: tack vare det fungerar formeln även för alla reella tala. Och modulen skär helt enkelt bort nackdelarna:

Endast i rötter av n:e graden uppträdde ytterligare en distinktion mellan jämna och udda grader. Även grader, som vi ser, är mer nyckfulla, ja.)

Låt oss nu överväga en ny användbar och mycket intressant egenskap, som redan är karakteristisk för rötter av n:e graden: om exponenten för roten och exponenten för det radikala uttrycket multipliceras (divideras) med samma naturliga tal, då rotens värde kommer inte att förändras.

Det påminner lite om den grundläggande egenskapen hos en bråkdel, eller hur? I bråk kan vi också multiplicera (dividera) täljaren och nämnaren med samma tal (förutom noll). Faktum är att denna egenskap hos rötter också är en konsekvens av den grundläggande egenskapen hos en bråkdel. När vi möts examen med rationell exponent, då blir allt klart. Vad, hur och var.)

Direkt tillämpning av denna formel tillåter oss att förenkla absolut alla rötter från alla krafter. Inklusive, om exponenterna för det radikala uttrycket och själva roten annorlunda. Till exempel måste du förenkla följande uttryck:

Låt oss göra det helt enkelt. Till att börja med väljer vi den fjärde potensen av tiondelen under roten och - varsågod! Hur? Enligt gradernas egenskaper förstås! Vi tar ut multiplikatorn under roten eller arbetar med formeln för roten av potensen.

Men låt oss förenkla det med bara den här egenskapen. För att göra detta, låt oss representera de fyra under roten som:

Och nu - det mest intressanta - mentalt förkorta indexet under roten (två) med indexet för roten (fyra)! Och vi får: