Här finns samlad grundläggande information om pyramiderna och relaterade formler och begrepp. Samtliga studeras med en handledare i matematik som förberedelse för tentamen.
Betrakta ett plan, en polygon 
ligger i den och en punkt S som inte ligger i den. Anslut S till alla hörn i polygonen. Den resulterande polyedern kallas en pyramid. Segmenten kallas laterala kanter. 
Polygonen kallas basen och punkten S kallas toppen av pyramiden. Beroende på talet n kallas pyramiden triangulär (n=3), fyrkantig (n=4), femkantig (n=5) och så vidare. Alternativt namn för den triangulära pyramiden - tetraeder. Höjden på en pyramid är vinkelrät ritad från dess spets till basplanet. 
En pyramid kallas korrekt if en vanlig polygon, och basen av höjden av pyramiden (basen av vinkelrät) är dess centrum.
Handledarens kommentar:
Blanda inte ihop begreppet "vanlig pyramid" och "vanlig tetraeder". I en vanlig pyramid är sidokanterna inte nödvändigtvis lika med basens kanter, men i en vanlig tetraeder är alla 6 kanterna på kanterna lika. Detta är hans definition. Det är lätt att bevisa att likheten innebär att mitten P av polygonen med en höjdbas, så en vanlig tetraeder är en vanlig pyramid.
Vad är en apotem?
En pyramids apotem är höjden på dess sidoyta. Om pyramiden är regelbunden, är alla dess apotemer lika. Det omvända är inte sant. 
Matematiklärare om sin terminologi: arbete med pyramider är till 80 % byggt genom två typer av trianglar:
1) Innehåller apotem SK och höjd SP
2) Innehåller den laterala kanten SA och dess projektion PA 
För att förenkla referenser till dessa trianglar är det bekvämare för en matematiklärare att namnge den första av dem apotemisk, och andra costal. Tyvärr hittar du inte denna terminologi i någon av läroböckerna, och läraren måste introducera den ensidigt.
Formel för pyramidvolym:
1) 
, var är arean av pyramidens bas, och är höjden på pyramiden
2) , där är radien för den inskrivna sfären och är pyramidens totala yta.
3) 
, där MN är avståndet mellan två korsande kanter, och är arean av parallellogrammet som bildas av mittpunkterna på de fyra återstående kanterna.
Pyramid Height Base Egenskap:
Punkt P (se figur) sammanfaller med mitten av den inskrivna cirkeln vid basen av pyramiden om något av följande villkor är uppfyllt:
1) Alla apotemer är lika
2) Alla sidoytor är lika lutande mot basen
3) Alla apotemer lutar lika mycket till pyramidens höjd
4) Pyramidens höjd är lika lutande mot alla sidoytor
Matematiklärarens kommentar: notera att alla punkter förenas av en gemensam egenskap: på ett eller annat sätt deltar sidoytor överallt (apotemer är deras element). Därför kan handledaren erbjuda en mindre exakt, men mer bekväm formulering för memorering: punkten P sammanfaller med centrum av den inskrivna cirkeln, pyramidens bas, om det finns någon lika information om dess sidoytor. För att bevisa det räcker det att visa att alla apotemiska trianglar är lika.
Punkten P sammanfaller med mitten av den omskrivna cirkeln nära pyramidens bas, om ett av de tre villkoren är sant:
1) Alla sidokanter är lika
2) Alla sidoribbor är lika lutande mot basen
3) Alla sidoribbor är lika lutande mot höjden
Den här lektionen ger definitionen och egenskaperna för en vanlig triangulär pyramid och dess specialfall - en tetraeder (se nedan). Länkar till exempel på problemlösning finns i slutet av lektionen.
Definition
Vanlig triangulär pyramid- Det här är en pyramid, vars bas är en vanlig triangel, och toppen projiceras in i mitten av basen.
Bilden visar:
ABC- Bas pyramider
OS - Höjd
KS - Apothem
OK - radien för cirkeln inskriven i basen
AO - radien av en cirkel omskriven runt basen av en vanlig triangulär pyramid
SKO - den dihedriska vinkeln mellan basen och ytan på pyramiden (de är lika i en vanlig pyramid)
Viktig. I en vanlig triangulär pyramid kanske längden på kanten (i figuren AS, BS, CS) inte är lika med längden på sidan av basen (i figuren AB, AC, BC). Om längden på kanten av en vanlig triangulär pyramid är lika med längden på sidan av basen, kallas en sådan pyramid en tetraeder (se nedan).
Egenskaper hos en vanlig triangulär pyramid:
- sidokanterna på en vanlig pyramid är lika
- alla sidoytor i en vanlig pyramid är likbenta trianglar
- i en vanlig triangulär pyramid kan du både skriva in och beskriva en sfär runt den
- om sfärernas mittpunkter som är inskrivna och omskrivna runt en regelbunden triangulär pyramid sammanfaller, är summan av planvinklarna i toppen av pyramiden lika med π (180 grader), och var och en av dem är lika med π / 3 (pi dividerat med 3 eller 60 grader).
- arean av den laterala ytan av en vanlig pyramid är lika med hälften av produkten av omkretsen av basen och apotem
- toppen av pyramiden projiceras på basen i mitten av en regelbunden liksidig triangel, som är mitten av den inskrivna cirkeln och skärningspunkten för medianerna
Formler för en vanlig triangulär pyramid
Formeln för volymen av en vanlig triangulär pyramid är:
V är volymen av en vanlig pyramid med en regelbunden (liksidig) triangel vid basen
h - höjden på pyramiden
a - längden på sidan av pyramidens bas
R - radien för den omskrivna cirkeln
r - radien för den inskrivna cirkeln
Eftersom en vanlig triangulär pyramid är ett specialfall av en vanlig pyramid, gäller formlerna som stämmer för en vanlig pyramid även för en vanlig triangulär pyramid - se formler för en vanlig pyramid.
Exempel på problemlösning:
Tetraeder
Ett specialfall av en vanlig triangulär pyramid är tetraeder.
Tetraederär en regelbunden polyeder (regelbunden triangulär pyramid) där alla ytor är regelbundna trianglar.
Vid tetraedern:
- Alla kanter är lika
- 4 ytor, 4 hörn och 6 kanter
- Alla dihedriska vinklar vid kanter och alla trihedriska vinklar vid hörn är lika
Medianen av en tetraeder- detta är ett segment som förbinder vertexet med skärningspunkten för medianerna på den motsatta sidan (medianerna för en liksidig triangel mittemot vertexen)
Bimedian tetraeder- detta är ett segment som förbinder mittpunkterna på korsande kanter (förbinder mittpunkterna på sidorna av en triangel, som är en av ytorna på en tetraeder)
Tetraederhöjd- detta är ett segment som förbinder vertexet med en punkt på det motsatta ansiktet och vinkelrätt mot detta ansikte (det vill säga det är höjden som dras från vilket ansikte som helst, som också sammanfaller med mitten av den omskrivna cirkeln).
Tetraeder har följande egenskaper:
- Alla medianer och bimedianer i en tetraeder skär varandra vid en punkt
- Denna punkt delar medianerna i förhållandet 3:1, räknat från toppen
- Denna punkt delar bimedianerna
Kapitel 1. Teoretisk studie av typer av sektioner och metoder för deras konstruktion i en vanlig fyrkantig pyramid
Pyramid (urgammal grekiska Πυραμίς, släktet P. πυραμίδος) är en polyeder vars bas är en polygon, och de återstående ytorna är trianglar med en gemensam vertex. Med antalet hörn av basen är pyramiderna triangulära, fyrkantiga, etc. Pyramiden är ett specialfall av en kon.
Början av pyramidens geometri lades i det gamla Egypten och Babylon, men den utvecklades aktivt i antikens Grekland. Den första att fastställa vad volymen på pyramiden är lika med var Demokrit, och Eudoxus från Cnidus bevisade det. Den forntida grekiske matematikern Euclid systematiserade kunskap om pyramiden i XII volymen av hans "Beginings", och tog också fram den första definitionen av pyramiden: en solid figur avgränsad av plan som konvergerar från ett plan vid en punkt.
pyramidelement
apotem - höjden på sidoytan på en vanlig pyramid, ritad från dess topp;
sidoytor - trianglar som konvergerar i toppen av pyramiden;
sidokanter - gemensamma sidor av sidoytorna;
Toppen av pyramiden är en punkt som förbinder sidokanterna och inte ligger i basens plan;
höjd - ett segment av en vinkelrät ritad genom toppen av pyramiden till planet för dess bas (ändarna på detta segment är toppen av pyramiden och basen av vinkelrät);
Diagonal sektion av en pyramid - en sektion av en pyramid som passerar genom toppen och diagonalen av basen;
bas - en polygon som inte tillhör toppen av pyramiden.
Pyramidegenskaper:
Antalet ytor på pyramiden är lika med dess antal hörn.
Varje polyeder med samma antal ytor som antalet hörn är en pyramid. Det totala antalet hörn i pyramiden är n+1, där n är antalet hörn vid basen.
Om alla sidokanter är lika, sedan:
§ nära basen av pyramiden kan en cirkel beskrivas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess mitt;
§ sidoribbor bildar lika vinklar med basplanet.
§ Det omvända är också sant, det vill säga om sidokanterna bildar lika vinklar med basplanet, eller om en cirkel kan beskrivas nära pyramidens bas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess centrum, då alla sidokanterna på pyramiden är lika.
Om sidoytorna lutar mot basplanet i en vinkel, sedan:
§ en cirkel kan inskrivas i pyramidens bas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess mitt;
§ höjderna på sidoytorna är lika;
§ arean på sidoytan är lika med hälften av produkten av basens omkrets och höjden på sidoytan.
Typer av sektioner i en vanlig fyrkantig pyramid:
Diagonal sektion av en pyramid
- apotem- höjden på sidoytan på en vanlig pyramid, som dras från dess topp (dessutom är apotem längden på vinkelrät, som sänks från mitten av en vanlig polygon till 1 av dess sidor);
- sidoytor (ASB, BSC, CSD, DSA) - trianglar som konvergerar i toppen;
- sido revben ( SOM , BS , CS , D.S. ) - gemensamma sidor av sidoytorna;
- toppen av pyramiden (v. S) - en punkt som förbinder sidokanterna och som inte ligger i basens plan;
- höjd ( SÅ ) - ett segment av vinkelrät, som dras genom toppen av pyramiden till planet för dess bas (ändarna av ett sådant segment kommer att vara toppen av pyramiden och basen av vinkelrät);
- diagonal sektion av en pyramid- sektion av pyramiden, som passerar genom toppen och diagonalen av basen;
- bas (ABCD) är en polygon som toppen av pyramiden inte tillhör.
pyramidegenskaper.
1. När alla sidokanter har samma storlek, då:
- nära basen av pyramiden är det lätt att beskriva en cirkel, medan toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel;
- sidoribbor bildar lika vinklar med basplanet;
- dessutom är det omvända också sant, d.v.s. när sidokanterna bildar lika vinklar med basplanet, eller när en cirkel kan beskrivas nära pyramidens bas och toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel, då har alla sidokanter på pyramiden samma storlek.
2. När sidoytorna har en lutningsvinkel mot basplanet med samma värde, då:
- nära basen av pyramiden är det lätt att beskriva en cirkel, medan toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel;
- höjderna på sidoytorna är lika långa;
- arean på sidoytan är ½ produkten av basens omkrets och höjden på sidoytan.
3. En sfär kan beskrivas nära pyramiden om pyramidens bas är en polygon runt vilken en cirkel kan beskrivas (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Sfärens centrum kommer att vara skärningspunkten för planen som passerar genom mittpunkterna på pyramidens kanter vinkelrätt mot dem. Av detta teorem drar vi slutsatsen att en sfär kan beskrivas både runt vilken triangulär som helst och runt vilken vanlig pyramid som helst.
4. En sfär kan inskrivas i en pyramid om halvledarplanen för pyramidens inre dihedrala vinklar skär varandra i 1:a punkten (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Denna punkt kommer att bli sfärens centrum.
Den enklaste pyramiden.
Beroende på antalet hörn av pyramidens bas är de uppdelade i triangulära, fyrkantiga och så vidare.
Pyramiden kommer triangulär, fyrkantig, och så vidare, när basen av pyramiden är en triangel, en fyrhörning och så vidare. En triangulär pyramid är en tetraeder - en tetraeder. Fyrkantig - pentaeder och så vidare.
- I kontakt med 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
