Rangen på identitetsmatrisen är lika. Beräkna rangordningen för en matris med hjälp av elementära transformationer

Talet r kallas matrisens A rang om:
1) matrisen A innehåller en moll som inte är noll av ordningen r;
2) alla minderåriga av ordning (r + 1) och högre, om de finns, är lika med noll.
Annars är rangen på en matris den högsta ordningen av en mindreårig som inte är noll.
Beteckningar: rangA , r A eller r .
Det följer av definitionen att r är ett positivt heltal. För en nollmatris anses rangordningen vara noll.

Serviceuppdrag. Online-kalkylatorn är utformad för att hitta matris rang. Lösningen sparas i Word- och Excel-format. se lösningsexempel.

Instruktion. Välj måtten på matrisen, klicka på Nästa.

Definition . Låt en matris med rang r ges. Varje mollmatris annan än noll och av ordningen r kallas grundläggande, och raderna och kolumnerna i dess komponenter kallas grundläggande rader och kolumner.
Enligt denna definition kan matrisen A ha flera basisminorer.

Rangen för identitetsmatrisen E är n (antal rader).

Exempel 1 . Med tanke på två matriser, och deras minderåriga , . Vilken av dem kan läggas till grund?
Lösning. Den mindre M 1 =0, så den kan inte vara en grund för någon av matriserna. Minor M 2 =-9≠0 och har ordning 2, så den kan tas som basmatriser för A eller / och B, förutsatt att de har rangordning lika med 2 . Eftersom detB=0 (som en determinant med två proportionella kolumner), kan rangB=2 och M 2 tas som basmoll för matris B. Rangen för matris A är 3, beroende på att detA=-27≠ 0 och därför måste ordningen basminor för denna matris vara 3, det vill säga M 2 är inte en bas för matrisen A . Observera att matrisen A har en unik basisminor lika med determinanten för matrisen A .

Sats (om grundmoll). Varje rad (kolumn) i en matris är en linjär kombination av dess grundläggande rader (kolumner).
Konsekvenser från satsen.

1. Alla (r+1) kolumner (rader) i en matris med rang r är linjärt beroende.
2. Om rangordningen för en matris är mindre än antalet rader (kolumner), så är dess rader (kolumner) linjärt beroende. Om rangA är lika med antalet rader (kolumner), så är raderna (kolumnerna) linjärt oberoende.
3. Determinanten för en matris A är lika med noll om och endast om dess rader (kolumner) är linjärt beroende.
4. Om ytterligare en rad (kolumn) multiplicerad med något annat tal än noll läggs till en rad (kolumn) i en matris, kommer matrisens rangordning inte att ändras.
5. Om du stryker över en rad (kolumn) i matrisen, som är en linjär kombination av andra rader (kolumner), så ändras inte matrisens rangordning.
6. Rangen för en matris är lika med det maximala antalet av dess linjärt oberoende rader (kolumner).
7. Det maximala antalet linjärt oberoende rader är detsamma som det maximala antalet linjärt oberoende kolumner.

Exempel 2 . Hitta rangordningen för en matris .
Lösning. Baserat på definitionen av rangordningen för en matris kommer vi att leta efter en moll av högsta ordningen som skiljer sig från noll. Först transformerar vi matrisen till en enklare form. För att göra detta, multiplicera den första raden i matrisen med (-2) och lägg till den andra, multiplicera den sedan med (-1) och lägg till den tredje.

Matrix rangär den största beställningen av sina minderåriga som inte är noll. Rangen för en matris betecknas med eller .

Om alla minorer av ordningen i en given matris är noll, så är alla högre ordningens minorer i denna matris också noll. Detta följer av definitionen av bestämningsfaktorn. Detta innebär en algoritm för att hitta rangordningen för en matris.

Om alla första ordningens mindreåriga (element i matrisen ) är lika med noll, då . Om minst en av första ordningens minderåriga skiljer sig från noll och alla andra ordningens minderåriga är lika med noll, då . Dessutom räcker det att bara titta igenom de minderåriga av andra ordningen, som gränsar till icke-noll moll av första ordningen. Om det finns en andra ordningens minderårig än noll, undersöker man de minderåriga av tredje ordningen som omger den icke-noll andra ordningens minderåriga. Detta fortsätter tills ett av två fall uppnås: antingen är alla minderåriga av ordning, som gränsar till icke-noll moll av -:e ordningen, lika med noll, eller så finns det inga sådana minderåriga. Sedan .

Exempel 10 Beräkna rangordningen för matrisen.

Första ordningens moll (element ) skiljer sig från noll. Den moll som omger den är också icke-noll.

Alla dessa minderåriga är lika med noll, så .

Ovanstående algoritm för att hitta rangordningen för en matris är inte alltid bekväm, eftersom den involverar beräkning av ett stort antal determinanter. När man beräknar rangordningen för en matris är det mest praktiskt att använda elementära transformationer, med hjälp av vilka matrisen reduceras till en så enkel form att det är uppenbart vad dess rang är.

Elementära matristransformationer kallas följande transformationer:

Ø multiplikation av valfri rad (kolumn) i matrisen med ett tal som inte är noll;

Ø tillägg till en rad (kolumn) av en annan rad (kolumn), multiplicerat med ett godtyckligt tal.

Halva Jordan matrisradtransformation:

med ett upplösningselement kallas följande uppsättning transformationer med matrisrader:

Ø lägg till u multiplicerat med ett tal till den första raden, etc.;

Ø lägg till u multiplicerat med talet på sista raden.

Semi-Jordan transformation av matriskolonner med ett upplösningselement kallas följande uppsättning transformationer med matriskolumner:

Ø till den första kolumnen lägg till th, multiplicerat med ett tal osv.;

Ø till den sista kolumnen lägg till th, multiplicerat med talet.

Efter att ha utfört dessa transformationer är den resulterande matrisen:

Semi-Jordan transformation av rader eller kolumner i en kvadratisk matris ändrar inte dess determinant.

Elementära transformationer av en matris ändrar inte dess rangordning. Låt oss visa ett exempel hur man beräknar rangordningen för en matris med hjälp av elementära transformationer. rader (kolumner) är linjärt beroende.

Låt lite matris ges:

.

Välj i denna matris godtyckliga linjer och godtyckliga kolumner
. Sedan avgörande ordning, sammansatt av matriselement
belägen i skärningspunkten mellan valda rader och kolumner kallas en moll -th order matris
.

Definition 1.13. Matrix rang
är den största ordningen av moll som inte är noll i denna matris.

För att beräkna rangen för en matris bör man överväga alla dess minderåriga av den minsta ordningen och, om åtminstone en av dem inte är noll, gå vidare till övervägandet av minderåriga av högsta ordningen. Detta tillvägagångssätt för att bestämma rangen för en matris kallas för gränsmetoden (eller metoden för gränsande minderåriga).

Uppgift 1.4. Med metoden att gränsa till minderåriga, bestämma rangen för en matris
.

.

Tänk på första ordningens gränsning, till exempel,
. Sedan övergår vi till övervägandet av någon avgränsning av andra ordningen.

Till exempel,
.

Låt oss slutligen analysera gränsen för den tredje ordningen.

.

Så den högsta ordningen för en moll som inte är noll är 2, därför
.

När man löser uppgift 1.4 kan man lägga märke till att serierna av gränsande biroller av andra ordningen inte är noll. I detta avseende äger följande uppfattning rum.

Definition 1.14. Grundmoll i en matris är vilken moll som helst som inte är noll vars ordning är lika med matrisens rangordning.

Sats 1.2.(Grundläggande molsats). Grundläggande rader (grundkolumner) är linjärt oberoende.

Observera att raderna (kolumnerna) i en matris är linjärt beroende om och endast om minst en av dem kan representeras som en linjär kombination av de andra.

Sats 1.3. Antalet linjärt oberoende matrisrader är lika med antalet linjärt oberoende matriskolumner och är lika med matrisens rangordning.

Sats 1.4.(Nödvändigt och tillräckligt villkor för att determinanten ska vara lika med noll). För att vara avgörande -:e ordningen är lika med noll, är det nödvändigt och tillräckligt att dess rader (kolumner) är linjärt beroende.

Att beräkna rangordningen för en matris utifrån dess definition är för krångligt. Detta blir särskilt viktigt för matriser av hög ordning. I detta avseende beräknas i praktiken rangordningen för en matris baserat på tillämpningen av satserna 10.2 - 10.4, såväl som användningen av begreppen matrisekvivalens och elementära transformationer.

Definition 1.15. Två matriser
och kallas likvärdiga om deras rangordning är lika, d.v.s.
.

Om matriser
och är likvärdiga, notera då
 .

Sats 1.5. Rangen på en matris ändras inte från elementära transformationer.

Vi kommer att kalla elementära transformationer av matrisen
någon av följande åtgärder på matrisen:

Ersätta rader med kolumner och kolumner med motsvarande rader;

Permutation av matrisrader;

Sträcka över en linje, vars alla element är lika med noll;

Multiplicera valfri sträng med ett tal som inte är noll;

Lägga till elementen i en rad motsvarande element i en annan rad multiplicerat med samma tal
.

Följd av sats 1.5. Om matrisen
erhålls från matrisen genom att använda ett ändligt antal elementära transformationer, sedan matriserna
och är likvärdiga.

Vid beräkning av rangordningen för en matris bör den reduceras till en trapetsform med hjälp av ett ändligt antal elementära transformationer.

Definition 1.16. Vi kommer att kalla trapetsformad en sådan form av representation av en matris när i gränsande moll av största ordningen förutom noll, försvinner alla element under de diagonala. Till exempel:

.

Här
, matriselement
vrid till noll. Då kommer representationsformen för en sådan matris att vara trapetsformad.

Som regel reduceras matriser till en trapetsform med den Gaussiska algoritmen. Tanken med den Gaussiska algoritmen är att genom att multiplicera elementen i den första raden i matrisen med motsvarande faktorer, uppnår de att alla element i den första kolumnen ligger under elementet
, skulle bli noll. Genom att sedan multiplicera elementen i den andra kolumnen med motsvarande multiplikatorer uppnår vi att alla element i den andra kolumnen ligger under elementet
, skulle bli noll. Fortsätt på liknande sätt.

Uppgift 1.5. Bestäm rangen för en matris genom att reducera den till en trapetsform.

.

För bekvämligheten med att tillämpa den Gaussiska algoritmen kan du byta första och tredje rad.








.

Uppenbarligen här
. Men för att få resultatet till en mer elegant form kan ytterligare transformationer över kolumnerna fortsätta.










.

För att arbeta med begreppet rangordning av en matris behöver vi information från ämnet "Algebraiska komplement och biroller. Typer av biämnen och algebraiska komplement" . Först och främst handlar det om termen "matrix minor", eftersom vi kommer att bestämma rangen av en matris exakt genom minderåriga.

Matrix rang namnge den maximala ordningen för dess minderåriga, bland vilka det finns minst en som inte är lika med noll.

Likvärdiga matriserär matriser vars rangordningar är lika med varandra.

Låt oss förklara mer i detalj. Anta att det finns minst en bland andra ordningens minderåriga som skiljer sig från noll. Och alla minderåriga, vars ordning är högre än två, är lika med noll. Slutsats: matrisens rang är 2. Eller, till exempel, bland minderåriga i tionde ordningen finns det åtminstone en som inte är lika med noll. Och alla minderåriga, vars ordning är högre än 10, är ​​lika med noll. Slutsats: rangen på matrisen är 10.

Rangen för matrisen $A$ anges på följande sätt: $\rang A$ eller $r(A)$. Rangen för nollmatrisen $O$ sätts lika med noll, $\rang O=0$. Låt mig påminna dig om att för att bilda en matrismoll krävs det att rader och kolumner stryks över, men det är omöjligt att stryka ut fler rader och kolumner än vad matrisen själv innehåller. Till exempel, om matrisen $F$ har storleken $5\x4$ (dvs. den innehåller 5 rader och 4 kolumner), då är den maximala ordningen för mindreåriga fyra. Det kommer inte längre att vara möjligt att bilda femte ordningens minderåriga, eftersom de kommer att kräva 5 kolumner (och vi har bara 4). Detta innebär att rangen på matrisen $F$ inte kan vara större än fyra, d.v.s. $\rang F≤4$.

I en mer allmän form betyder ovanstående att om matrisen innehåller $m$ rader och $n$ kolumner, så får dess rang inte överstiga det minsta av talen $m$ och $n$, dvs. $\rang A≤\min(m,n)$.

Metoden för att hitta den följer i princip av själva definitionen av rangen. Processen att hitta rangordningen för en matris per definition kan schematiskt representeras enligt följande:

Låt mig förklara detta diagram mer i detalj. Låt oss börja resonera redan från början, d.v.s. med första ordningens minderåriga av någon matris $A$.

1. Om alla första ordningens minderåriga (det vill säga element i matrisen $A$) är lika med noll, då $\rang A=0$. Om det bland de minderåriga av första ordningen finns minst en som inte är lika med noll, då $\rang A≥ 1$. Vi går vidare till verifieringen av minderåriga av den andra ordningen.
2. Om alla andra ordningens minderåriga är lika med noll, då $\rang A=1$. Om det bland andra ordningens minderåriga finns minst en som inte är lika med noll, då $\rang A≥ 2$. Vi går vidare till verifiering av minderåriga av tredje ordningen.
3. Om alla minderåriga av tredje ordningen är lika med noll, då $\rang A=2$. Om det bland de minderåriga i tredje ordningen finns minst en som inte är lika med noll, då $\rang A≥ 3$. Låt oss gå vidare till att kontrollera minderåriga i fjärde ordningen.
4. Om alla minderåriga av fjärde ordningen är lika med noll, då $\rang A=3$. Om det finns minst en moll som inte är noll av fjärde ordningen, då $\rang A≥ 4$. Vi går vidare till verifiering av minderåriga i den femte ordningen och så vidare.

Vad väntar oss i slutet av denna procedur? Det är möjligt att det bland mollarna i k:te ordningen finns åtminstone en som skiljer sig från noll, och alla molor i (k + 1):e ordningen kommer att vara lika med noll. Det betyder att k är den maximala ordningen av minderåriga bland vilka det finns minst en som inte är lika med noll, dvs. rangen blir lika med k. Det kan finnas en annan situation: bland minorerna i k:te ordningen kommer det att finnas minst en som inte är lika med noll, och minorerna i (k + 1):e ordningen kan inte bildas. I det här fallet är matrisens rangordning också lika med k. Kort sagt, ordningen för den senast sammansatta moll som inte är noll och kommer att vara lika med rangen på matrisen.

Låt oss gå vidare till exempel där processen att hitta rangordningen för en matris per definition kommer att illustreras tydligt. Återigen betonar jag att i exemplen i detta ämne kommer vi att hitta rangordningen för matriser med endast definitionen av rangen. Andra metoder (beräkning av rangordningen för en matris med metoden att gränsa till minderåriga, beräkning av rangordningen för en matris med metoden för elementära transformationer) beaktas i följande ämnen.

Förresten, det är inte alls nödvändigt att starta proceduren för att hitta rangen från minderåriga av den minsta ordningen, som gjordes i exemplen nr 1 och nr 2. Du kan omedelbart gå till minderåriga av högre ordning (se exempel nr 3).

Exempel #1

Hitta rangordningen för en matris $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array)\right)$.

Denna matris har storlek $3\ gånger 5$, dvs. innehåller tre rader och fem kolumner. Av siffrorna 3 och 5 är 3 minimum, så rangordningen för matrisen $A$ är som mest 3, d.v.s. $\rank A≤ 3$. Och denna ojämlikhet är uppenbar, eftersom vi inte längre kan bilda minderåriga av den fjärde ordningen - de behöver 4 rader, och vi har bara 3. Låt oss fortsätta direkt till processen att hitta rangen för en given matris.

Bland de minderåriga av första ordningen (det vill säga bland elementen i matrisen $A$) finns ettor som inte är noll. Till exempel 5, -3, 2, 7. I allmänhet är vi inte intresserade av det totala antalet element som inte är noll. Det finns minst ett element som inte är noll - och det räcker. Eftersom det finns minst en som inte är noll bland de minderåriga av första ordningen, drar vi slutsatsen att $\rang A≥ 1$ och fortsätter att kontrollera andra ordningens minderåriga.

Låt oss börja utforska minderåriga av andra ordningen. Till exempel, vid skärningspunkten mellan raderna #1, #2 och kolumnerna #1, #4 finns element av följande mindre: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (array) \right| $. För denna determinant är alla element i den andra kolumnen lika med noll, därför är själva determinanten lika med noll, dvs. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (se egenskap #3 i egenskapen för determinanter). Eller så kan du helt enkelt beräkna denna determinant med formel nr 1 från avsnittet om beräkning av andra och tredje ordningens determinanter:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Den första moll av den andra ordningen vi kollade visade sig vara lika med noll. Vad står det? Om behovet av att ytterligare kontrollera andra ordningens minderåriga. Antingen visar sig de alla vara noll (och då blir rangordningen lika med 1), eller bland dem finns det minst en mindre som skiljer sig från noll. Låt oss försöka göra ett bättre val genom att skriva en andra ordningens moll vars element är placerade i skärningspunkten mellan raderna #1, #2 och kolumnerna #1 och #5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array)\right|$. Låt oss hitta värdet på denna moll av andra ordningen:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Denna moll är inte lika med noll. Slutsats: bland minderåriga i andra ordningen finns det minst en annan än noll. Därav $\rank A≥ 2$. Det är nödvändigt att gå vidare till studiet av minderåriga av tredje ordningen.

Om vi ​​för bildandet av minderåriga av tredje ordningen väljer kolumn #2 eller kolumn #4, kommer sådana minderåriga att vara lika med noll (eftersom de kommer att innehålla en nollkolumn). Det återstår att kontrollera endast en mindre av den tredje ordningen, vars element är belägna i skärningspunkten mellan kolumn nr 1, nr 3, nr 5 och raderna nr 1, nr 2, nr 3. Låt oss skriva detta mindre och hitta dess värde:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Så alla minderåriga av tredje ordningen är lika med noll. Den sista moll som inte var noll vi kompilerade var av andra ordningen. Slutsats: den maximala ordningen för minderåriga, bland vilka det finns minst en annan än noll, är lika med 2. Därför är $\rang A=2$.

Svar: $\rank A=2$.

Exempel #2

Hitta rangordningen för en matris $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Vi har en kvadratisk matris av fjärde ordningen. Vi noterar genast att rangordningen för denna matris inte överstiger 4, dvs. $\rank A≤ 4$. Låt oss börja hitta rangordningen för en matris.

Bland de minderåriga i första ordningen (det vill säga bland elementen i matrisen $A$) finns det minst en som inte är lika med noll, så $\rang A≥ 1$. Vi går vidare till verifieringen av minderåriga av den andra ordningen. Till exempel, vid skärningspunkten mellan raderna nr 2, nr 3 och kolumner nr 1 och nr 2 får vi följande moll av andra ordningen: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Låt oss räkna ut det:

$$ \left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Bland andra ordningens minderåriga finns det minst en som inte är lika med noll, så $\rang A≥ 2$.

Låt oss gå vidare till minderåriga av tredje ordningen. Låt oss till exempel hitta en minderårig vars element är belägna i skärningspunkten mellan raderna nr 1, nr 3, nr 4 och kolumner nr 1, nr 2, nr 4:

$$ \left | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Eftersom denna minderåriga av tredje ordningen visade sig vara lika med noll, är det nödvändigt att undersöka ytterligare en minderårig av tredje ordningen. Antingen kommer alla att vara lika med noll (då kommer rangordningen att vara lika med 2), eller bland dem kommer det att finnas minst en som inte är lika med noll (då kommer vi att börja studera minderåriga av fjärde ordningen). Tänk på en minderårig av tredje ordningen vars element är belägna i skärningspunkten mellan raderna nr 2, nr 3, nr 4 och kolumner nr 2, nr 3, nr 4:

$$ \left| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Det finns minst en mindreårig som inte är noll bland minderåriga av tredje ordningen, så $\rang A≥ 3$. Låt oss gå vidare till att kontrollera minderåriga i fjärde ordningen.

Varje moll av fjärde ordningen ligger i skärningspunkten mellan fyra rader och fyra kolumner i matrisen $A$. Med andra ord, fjärde ordningens moll är determinanten för matrisen $A$, eftersom denna matris bara innehåller 4 rader och 4 kolumner. Determinanten för denna matris beräknades i exempel nr 2 i ämnet "Reducering av determinantens ordning. Nedbrytning av determinanten i en rad (kolumn)", så låt oss bara ta det färdiga resultatet:

$$ \left| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (array)\right|=86. $$

Så, fjärde ordningens moll är inte lika med noll. Vi kan inte längre bilda minderåriga av femte ordningen. Slutsats: den högsta ordningen av minderåriga, bland vilka det finns minst en annan än noll, är 4. Resultat: $\rang A=4$.

Svar: $\rank A=4$.

Exempel #3

Hitta rangordningen för en matris $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( array)\right)$.

Observera genast att denna matris innehåller 3 rader och 4 kolumner, så $\rang A≤ 3$. I de tidigare exemplen började vi processen att hitta rangen genom att överväga minderåriga av den minsta (första) ordningen. Här kommer vi att omedelbart försöka kontrollera de minderåriga av högsta möjliga ordning. För matrisen $A$ är dessa minderåriga av tredje ordningen. Tänk på en minderårig av tredje ordningen vars element ligger i skärningspunkten mellan raderna nr 1, nr 2, nr 3 och kolumner nr 2, nr 3, nr 4:

$$ \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Så den högsta ordningen av minderåriga, bland vilka det finns minst en som inte är lika med noll, är 3. Därför är matrisens rangordning 3, d.v.s. $\rank A=3$.

Svar: $\rank A=3$.

Generellt sett är det i allmänhet en ganska tidskrävande uppgift att hitta rangordningen för en matris per definition. Till exempel har en relativt liten $5\x4$-matris 60 andra ordningens minderåriga. Och även om 59 av dem är lika med noll, kan den 60:e minor visa sig vara icke-noll. Sedan måste du utforska tredje ordningens mindreåriga, av vilka denna matris har 40 bitar. Vanligtvis försöker man använda mindre besvärliga metoder, såsom metoden att gränsa till minderåriga eller metoden för motsvarande transformationer.

Tänk på en rektangulär matris. Om vi ​​i denna matris väljer godtyckligt k linjer och k kolumner, då bildar elementen i skärningspunkten mellan de markerade raderna och kolumnerna en kvadratisk matris av k:te ordningen. Determinanten för denna matris kallas k-te ordningen moll matris A. Uppenbarligen har matrisen A moll av vilken ordning som helst från 1 till det minsta av talen m och n. Bland alla minderåriga som inte är noll i matrisen A finns det minst en minderårig vars ordning är störst. Den största av de icke-nollordningar av minderåriga i en given matris kallas rang matriser. Om rangordningen för matris A är r, då betyder detta att matrisen A har en moll som inte är noll r, men varje mindre av ordning större än r, är lika med noll. Rangen för en matris A betecknas med r(A). Det är uppenbart att förhållandet

Beräkna rangordningen för en matris med hjälp av minderåriga

Rangen på en matris hittas antingen av gränsen till minderåriga eller genom metoden för elementära transformationer. När man beräknar rangen för en matris på det första sättet, bör man gå från minderåriga av lägre ordning till minderåriga av högre ordning. Om en icke-noll moll D av k:te ordningen av matrisen A redan har hittats, måste endast (k + 1):e ordningens moll som gränsar till moll D beräknas, d.v.s. innehåller den som minderårig. Om de alla är noll, så är matrisens rangordning k.

Exempel 1Hitta rangordningen för en matris med metoden att gränsa till minderåriga

.

Lösning.Vi börjar med minderåriga av 1:a ordningen, d.v.s. från elementen i matrisen A. Låt oss till exempel välja det mindre (elementet) М 1 = 1 som finns i den första raden och den första kolumnen. Gränsande med hjälp av den andra raden och den tredje kolumnen får vi den mindre M 2 = , som skiljer sig från noll. Vi övergår nu till minderåriga av 3:e ordningen, som gränsar till M 2 . Det finns bara två av dem (du kan lägga till en andra kolumn eller en fjärde). Vi räknar ut dem: = 0. Således visade sig alla angränsande minderåriga av tredje ordningen vara lika med noll. Rangen för matris A är två.

Beräkna rangordningen för en matris med hjälp av elementära transformationer

ElementärtFöljande matristransformationer kallas:

1) permutation av två rader (eller kolumner),

2) multiplicera en rad (eller kolumn) med ett tal som inte är noll,

3) lägga till en rad (eller kolumn) till en rad (eller kolumn) multiplicerat med något tal.

De två matriserna kallas likvärdig, om en av dem erhålls från den andra med hjälp av en ändlig uppsättning elementära transformationer.

Likvärdiga matriser är generellt sett inte lika, men deras rangordning är lika. Om matriserna A och B är ekvivalenta skrivs detta så här: A~b.

KanoniskEn matris är en matris som har flera 1:or i rad i början av huvuddiagonalen (vars antal kan vara noll), och alla andra element är lika med noll, till exempel,

.

Med hjälp av elementära transformationer av rader och kolumner kan vilken matris som helst reduceras till en kanonisk. Rangen för en kanonisk matris är lika med antalet ettor på dess huvuddiagonal.

Exempel 2Hitta rangordningen för en matris

och föra den till kanonisk form.

Lösning. Subtrahera den första raden från den andra raden och arrangera om dessa rader:

.

Nu, från den andra och tredje raden, subtrahera den första, multiplicerat med 2 respektive 5:

;

subtrahera den första från den tredje raden; vi får matrisen

vilket är ekvivalent med matrisen A, eftersom den erhålls från den med hjälp av en ändlig uppsättning elementära transformationer. Uppenbarligen är rangordningen för matris B 2, och därför är r(A)=2. Matrisen B kan lätt reduceras till den kanoniska. Subtrahera den första kolumnen, multiplicerad med lämpliga tal, från alla efterföljande, vänder vi till noll alla element i den första raden, förutom den första, och elementen i de återstående raderna ändras inte. Sedan subtraherar vi den andra kolumnen, multiplicerad med lämpliga siffror, från alla efterföljande, vänder vi till noll alla element i den andra raden, förutom den andra, och får den kanoniska matrisen:

.