En kubisk ekvation som innehåller koefficienter med en reell rot, de andra två anses vara ett komplext konjugatpar. Ekvationer med binomialer och reflexiver kommer att beaktas, liksom sökandet efter rationella rötter. All information kommer att stödjas av exempel.

Lösning av en tvåtermskubisk ekvation av formen A x 3 + B = 0

En kubikekvation som innehåller ett binomial är A x 3 + B = 0. Den måste reduceras till x 3 + B A = 0 genom att dividera med A annat än noll. Därefter kan du tillämpa formeln för förkortad multiplikation av summan av kuber. Det förstår vi

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 - B A 3 x + B A 2 3 = 0

Resultatet av den första parentesen kommer att ha formen x = - B A 3, och kvadrattrinomialet - x 2 - B A 3 x + B A 2 3, och endast med komplexa rötter.

Exempel 1

Hitta rötterna till kubikekvationen 2 x 3 - 3 = 0.

Lösning

Du måste hitta x från ekvationen. Låt oss skriva ner:

2 x 3 - 3 = 0 x 3 - 3 2 = 0

Det är nödvändigt att tillämpa den förkortade multiplikationsformeln. Då får vi det

x 3 - 3 2 = 0 x - 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Låt oss öppna den första parentesen och få x = 3 3 2 6. Den andra parentesen har inga egentliga rötter eftersom diskriminanten är mindre än noll.

Svar: x = 3 3 2 6 .

Lösa en reciprok kubikekvation av formen A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Andragradsekvationens form är A x 3 + B x 2 + B x + A = 0, där värdena för A och B är koefficienter. Gruppering är nödvändig. Det förstår vi

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 - x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B - A + A

Roten till ekvationen är x = - 1, för att erhålla rötterna till det kvadratiska trinomiet A x 2 + x B - A + A är det nödvändigt att använda den genom att hitta diskriminanten.

Exempel 2

Lös en ekvation av formen 5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 0.

Lösning

Ekvationen är ömsesidig. Gruppering är nödvändig. Det förstår vi

5 x 3 - 8 x 2 - 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 - 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 - x + 1 - 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 - 5 x + 5 - 8 x = = x + 1 5 x 2 - 13 x + 5 = 0

Om x = - 1 är roten till ekvationen, måste du hitta rötterna till det givna trinomiet 5 x 2 - 13 x + 5:

5 x 2 - 13 x + 5 = 0 D = (- 13) 2 - 4 5 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 - 69 2 5 = 13 10 - 69 10

Svar:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 - 69 10 x 3 = - 1

Lösa kubikekvationer med rationella rötter

Om x = 0, så är det roten till en ekvation av formen A x 3 + B x 2 + C x + D = 0. Med den fria termen D = 0 blir ekvationen A x 3 + B x 2 + C x = 0. När vi tar ut x inom parentes ser vi att ekvationen ändras. När den löses genom diskriminanten eller Vieta, kommer den att ha formen x A x 2 + B x + C = 0.

Exempel 3

Hitta rötterna till den givna ekvationen 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0.

Lösning

Låt oss förenkla uttrycket.

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

X = 0 är roten till ekvationen. Du måste hitta rötterna till ett kvadratiskt trinomium av formen 3 x 2 + 4 x + 2. För att göra detta är det nödvändigt att likställa med noll och fortsätta lösningen med en diskriminant. Det förstår vi

D = 4 2 - 4 3 2 = - 8. Eftersom dess värde är negativt finns det inga rötter till trinomialet.

Svar: x = 0.

När koefficienterna för ekvationen A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 är heltal, då kan irrationella rötter erhållas i svaret. Om A ≠ 1, då multipliceras med A 2 på båda sidor av ekvationen, ändras variablerna, det vill säga y = A x:

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 x 3 + B A 2 x 2 + C A A A x + D A 2 = 0 y = A x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Vi kommer fram till formen av en kubikekvation. Rötterna kan vara hela eller rationella. För att få identisk likhet är det nödvändigt att ersätta divisorer i den resulterande ekvationen. Då blir den resulterande y 1 roten. Detta betyder att roten av den ursprungliga ekvationen är x 1 = y 1 A. Det är nödvändigt att dividera polynomet A x 3 + B x 2 + C x + D med x - x 1 . Då kan vi hitta rötterna till kvadrattrinomialet.

Exempel 4

Lösning

Det är nödvändigt att utföra omvandlingen genom att multiplicera båda delarna med 2 2 och ersätta en variabel som y = 2 x. Det förstår vi

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 - 11 2 2 x 2 + 24 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Fritiden är lika med 36, då är det nödvändigt att fixa alla dess divisorer:

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±36

Det är nödvändigt att ersätta y 3 - 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 för att få en identitet av formen

1 3 - 11 1 2 + 24 1 + 36 = 50 ≠ 0 (- 1) 3 - 11 (- 1) 2 + 24 (- 1) + 36 = 0

Härifrån ser vi att y = - 1 är en rot. Detta betyder x = y 2 = - 1 2 .

Det har vi

2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 - 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 - 6 x + 9

Sedan måste du hitta rötterna till en andragradsekvation av formen x 2 - 6 x + 9. Vi har att ekvationen ska reduceras till formen x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2, där x = 3 kommer att vara dess rot.

Svar: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Kommentar

Algoritmen kan användas för ömsesidiga ekvationer. Det kan ses att - 1 är dess rot, vilket betyder att vänster sida kan delas med x + 1. Först då kommer det att vara möjligt att hitta rötterna till kvadrattrinomialet. I avsaknad av rationella rötter används andra lösningsmetoder för att faktorisera polynomet.

Lösa kubiska ekvationer med Cardanos formel

Att hitta kubrötter är möjligt med Cardano-formeln. När A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0, är det nödvändigt att hitta B 1 = A 1 A 0, B 2 = A 2 A 0, B 3 = A 3 A 0.

Därefter p = - B 1 2 3 + B 2 och q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3.

De resulterande p och q i Cardano-formeln. Det förstår vi

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - q 2 4 + p 3 27 3

Valet av kubrötter måste uppfylla utdatavärdet - p 3 . Då är rötterna till den ursprungliga ekvationen x = y - B 1 3 . Låt oss titta på lösningen till föregående exempel med Cardanos formel.

Exempel 5

Hitta rötterna till den givna ekvationen 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 = 0.

Lösning

Det kan ses att A 0 = 2, A 1 = - 11, A 2 = 12, A 3 = 9.

Det är nödvändigt att hitta B 1 = A 1 A 0 = - 11 2, B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6, B 3 = A 3 A 0 = 9 2.

Det följer att

p = - B 1 2 3 + B 2 = - - 11 2 2 3 + 6 = - 121 12 + 6 = - 49 12 q = 2 B 1 3 27 - B 1 B 2 3 + B 3 = 2 - 11 2 3 27 - - 11 2 6 3 + 9 2 = 343 108

Vi byter in i Cordano-formeln och får

y = - q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + - q 2 - - q 2 4 + p 3 27 3 = = - 343 216 + 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 + - 343 2 - 343 2 4 108 2 - 49 3 27 12 3 3 = = - 343 216 3 + - 343 216 3

343 216 3 har tre betydelser. Låt oss titta på dem nedan.

343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π k 3 + i sin π + 2 π k 3, k = 0, 1, 2

Om k = 0, då - 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Om k = 1, då - 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = - 7 6

Om k = 2, då - 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 - i · 3 2

Det är nödvändigt att dela upp i par, då får vi - p 3 = 49 36.

Då får vi paren: 7 6 1 2 + i · 3 2 och 7 6 1 2 - i · 3 2, - 7 6 och - 7 6, 7 6 1 2 - i · 3 2 och 7 6 1 2 + i · 3 2.

Låt oss transformera med Cordanos formel:

y 1 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i 3 2 + 7 6 1 2 - i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = - 7 6 + - 7 6 = - 14 6 y 3 = - 343 216 3 + - 343 216 3 = = 7 6 1 2 - i 3 2 + 7 6 1 2 + i 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 - B 1 3 = - 14 6 + 11 6 = - 1 2 x 3 = y 3 - B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Svar: x 1 = - 1 2 , x 2 , 3 = 3

När du löser kubiska ekvationer kan du hitta en reduktion till att lösa 4:e gradens ekvationer med Ferrari-metoden.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Tvist

FormelCardano

Mostovoy

Odessa

Tvist

Om tvisten som skulle äga rum mellan den berömde matematikern och den inte mindre kända doktorn gjordes bara de mest allmänna gissningarna, eftersom ingen egentligen visste någonting. De sa att en av dem bedrog den andra (det är okänt vem exakt och till vem). Nästan alla som samlades på torget hade de mest vaga föreställningarna om matematik, men alla såg fram emot att debatten skulle börja. Det var alltid intressant, man kunde skratta åt förloraren, oavsett om han hade rätt eller fel.

När stadshusets klockan slog fem slog portarna på vid gavel och folkmassan rusade in i katedralen. På ömse sidor om mittlinjen som förbinder ingången till altaret uppfördes två höga predikstolar nära de två sidopelarna, avsedda för debattörer. De närvarande lät ett högt ljud utan att bry sig om att de befann sig i kyrkan. Till sist, framför järngallret som skilde ikonostasen från resten av mittskeppet, dök en stadsskrikare i en svart och lila mantel upp och proklamerade: ”Illlustriska medborgare i staden Milano! Nu kommer den berömda matematikern Niccolo Tartaglia från Brenia att tala till dig. Hans motståndare var tänkt att vara matematikern och läkaren Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia anklagar Cardano för att vara den sista som i sin bok "Ars magna" publicerade en metod för att lösa en ekvation av 3:e graden, som tillhör honom, Tartaglia. Cardano själv kunde dock inte komma till debatten och skickade därför sin elev Luige Ferrari. Så, debatten förklaras öppen, dess deltagare bjuds in till avdelningarna.” En besvärlig man med krokig näsa och krulligt skägg klättrade upp på predikstolen till vänster om entrén, och en ung man i tjugoårsåldern med ett vackert, självsäkert ansikte steg upp till den motsatta predikstolen. Hela hans uppträdande återspeglade fullständigt förtroende för att varje gest och varje ord skulle tas emot med glädje.

Tartaglia började.

Kära herrar! Du vet att jag för 13 år sedan lyckades hitta ett sätt att lösa en ekvation av 3:e graden och sedan, med den här metoden, vann jag tvisten med Fiori. Min metod uppmärksammades av din medborgare Cardano, och han använde all sin listiga konst för att ta reda på hemligheten från mig. Han slutade varken från bedrägeri eller direkt förfalskning. Du vet också att för 3 år sedan publicerades Cardanos bok om algebras regler i Nürnberg, där min metod, så skamlöst stulen, gjordes tillgänglig för alla. Jag utmanade Cardano och hans elev på en tävling. Jag föreslog att lösa 31 problem, samma antal föreslogs av mina motståndare. En deadline sattes för att lösa problem - 15 dagar. På 7 dagar lyckades jag lösa de flesta problem som sammanställdes av Cardano och Ferrari. Jag skrev ut dem och skickade dem med bud till Milano. Jag fick dock vänta i hela fem månader tills jag fick svar på mina uppgifter. De löstes felaktigt. Detta gav mig anledning att utmana dem båda till en offentlig debatt.

Tartaglia tystnade. Den unge mannen tittade på den olyckliga Tartaglia och sa:

Kära herrar! Min värdiga motståndare tillät sig, i de allra första orden i sitt tal, att uttrycka så mycket förtal mot mig och min lärare; hans argument var så ogrundat att det knappast skulle ta mig några problem att motbevisa det första och visa er inkonsekvensen av den andra. Först och främst, vilken typ av bedrägeri kan vi prata om om Niccolo Tartaglia helt frivilligt delade sin metod med oss båda? Och så här skriver Geronimo Cardano om min motståndares roll i upptäckten av den algebraiska regeln. Han säger att det inte är han, Cardano, ”utan min vän Tartaglia som har äran att upptäcka något så vackert och fantastiskt, som överträffar mänskligt vett och alla begåvningar hos den mänskliga anden. Denna upptäckt är verkligen en himmelsk gåva, ett sådant underbart bevis på kraften i sinnet som förstod den, att ingenting kan anses ouppnåeligt för honom."

Min motståndare anklagade mig och min lärare för att ha gett fel lösning på sina problem. Men hur kan roten till en ekvation vara felaktig om vi genom att ersätta den i ekvationen och utföra alla de åtgärder som föreskrivs i denna ekvation kommer fram till identitet? Och om Senor Tartaglia vill vara konsekvent, då borde han ha svarat på anmärkningen varför vi, som stal, men med hans ord, hans uppfinning och använde den för att lösa de föreslagna problemen, fick fel lösning. Vi - min lärare och jag - anser inte att Signor Tartaglias uppfinning är av ringa betydelse. Denna uppfinning är underbar. Dessutom, genom att till stor del förlita mig på det, hittade jag ett sätt att lösa en ekvation av fjärde graden, och i Ars Magna talar min lärare om detta. Vad vill senor Tartaglia av oss? Vad försöker han uppnå med tvisten?

Mina herrar, herrar, ropade Tartaglia, "Jag ber er att lyssna på mig!" Jag förnekar inte att min unga motståndare är väldigt stark i logik och vältalighet. Men detta kan inte ersätta ett sant matematiskt bevis. Problemen som jag gav till Cardano och Ferrari löstes inte korrekt, men jag ska bevisa detta också. Låt oss till exempel ta en ekvation bland de lösta. Det är känt...

...Så här slutade denna tvist, som fortsätter att orsaka fler och fler nya tvister. Vem äger egentligen metoden för att lösa en 3:e gradens ekvation? Vi pratar nu - Niccolo Tartaglie. Han upptäckte det, och Cardano lurade honom att göra upptäckten. Och om vi nu kallar formeln som representerar rötterna till en ekvation av 3:e graden genom dess koefficienter för Cardano-formeln, så är detta en historisk orättvisa. Men är det orättvist? Hur beräknar man graden av deltagande av varje matematiker i upptäckten? Kanske kommer någon med tiden att kunna besvara den här frågan helt exakt, eller så förblir det ett mysterium...

Cardano formel

Med hjälp av modernt matematiskt språk och modern symbolik, kan härledningen av Cardanos formel hittas med hjälp av följande extremt elementära överväganden:

Låt oss ges en generell ekvation av tredje graden:

ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Om du sätter

, sedan ger vi ekvationen (1) att tänka på

Låt oss presentera en ny okänd U använder jämlikhet

Genom att introducera detta uttryck i (2) , vi får

därav

Om täljaren och nämnaren för den andra termen multipliceras med uttrycket och beaktas, kommer det resulterande uttrycket för u visar sig vara symmetrisk med avseende på tecknen "+" och "-", så får vi äntligen

(Produkten av kubiska radikaler i den senaste jämlikheten måste vara lika sid).

Detta är den berömda Cardano-formeln. Om du går från y tillbaka till x, då får vi en formel som bestämmer roten till en generell ekvation av 3:e graden.

Den unge mannen som behandlade Tartaglia så skoningslöst förstod matematik lika lätt som han förstod rätten till opretentiös sekretess. Ferrari hittar ett sätt att lösa en fjärdegradsekvation. Cardano inkluderade denna metod i sin bok. Vad är denna metod?

Låta (1)

- allmän ekvation av fjärde graden.

Om du sätter

sedan ekvationen (1) kan komma ihåg

Var p,q,r- vissa koefficienter beroende på a,b,c,d,e. Det är lätt att se att denna ekvation kan skrivas på följande sätt:

Faktum är att det räcker att öppna parenteserna, då alla termer som innehåller t, avbryter, och vi återgår till ekvationen (2) .

Låt oss välja en parameter t så att den högra sidan av ekvationen (3) var en perfekt kvadrat i förhållande till y. Som bekant är en nödvändig och tillräcklig förutsättning för detta att diskriminanten av trinomialets koefficienter försvinner (med avseende på y) står till höger:

Vi har fått en komplett kubikekvation, som vi nu kan lösa. Låt oss hitta någon av dess rötter och lägga till den i ekvationen (3) , kommer nu att ta formen

Detta är en andragradsekvation. När du löser det kan du hitta roten till ekvationen (2) , och därför (1) .

4 månader före sin död avslutade Cardano sin självbiografi, som han skrev intensivt under det senaste året och som var tänkt att sammanfatta hans svåra liv. Han kände döden närma sig. Enligt vissa rapporter kopplade hans eget horoskop hans död till hans 75-årsdag. Han dog den 21 september 1576. 2 dagar innan årsdagen. Det finns en version att han begick självmord i väntan på en nära förestående död eller till och med för att bekräfta sitt horoskop. I alla fall tog astrologen Cardano horoskopet på allvar.

En anteckning om Cardanos formel

Låt oss analysera formeln för att lösa ekvationen i den verkliga domänen. Så,

Vid beräkning x vi måste ta kvadratroten först och sedan kubikroten. Vi kan ta kvadratroten medan vi är kvar i den verkliga regionen om . Två kvadratrotsvärden som skiljer sig i tecken visas i olika termer för x. Värdena för kubroten i den verkliga domänen är unika och resultatet är en unik verklig rot x kl. Genom att undersöka grafen för det kubiska trinomialet är det lätt att verifiera att det faktiskt har en enda reell rot vid . Vid det finns tre riktiga rötter. När det finns en dubbel reell rot och en enkel rot, och när det finns en trippelrot x=0.

Låt oss fortsätta att studera formeln för . Visar sig. Tänk om en ekvation med heltalskoefficienter har en heltalsrot, när man beräknar den med formeln kan mellanliggande irrationaliteter uppstå. Till exempel har ekvationen en enda rot (verklig) - x=1. Cardanos formel ger uttrycket för denna enda verkliga rot

Men praktiskt taget alla bevis innebär att man använder det faktum att detta uttryck är roten till ekvationen. Om du inte gissar detta kommer oförstörbara kubiska radikaler att dyka upp under förvandlingen.

Cardano-Tartaglia-problemet glömdes snart bort. Formeln för att lösa den kubiska ekvationen var associerad med den "stora konsten" och började gradvis kallas formel Cardano.

Många hade en önskan att återställa den sanna bilden av händelser i en situation där deras deltagare utan tvekan inte berättade hela sanningen. För många var det viktigt att fastställa omfattningen av Cardanos skuld. I slutet av 1800-talet började en del av diskussionerna få karaktären av seriös historisk och matematisk forskning. Matematiker insåg vilken stor roll Cardanos arbete spelade i slutet av 1500-talet. Det blev tydligt vad Leibniz hade noterat ännu tidigare: ”Cardano var en stor man med alla sina brister; utan dem skulle han vara perfekt."

Förklarar hur man löser kubikekvationer. Fallet när en rot är känd övervägs. Metoder för att hitta heltals och rationella rötter. Tillämpning av formlerna Cardano och Vieta för att lösa alla kubikekvationer.

Innehåll

Här överväger vi att lösa formens kubikekvationer
(1) .
Därefter antar vi att dessa är reella tal.

(2) ,
sedan dividera det med , får vi en ekvation av formen (1) med koefficienter
.

Ekvation (1) har tre rötter: , och . En av rötterna är alltid verklig. Vi betecknar den verkliga roten som . Rötterna och kan vara antingen verkliga eller komplexa konjugat. Verkliga rötter kan vara multiplar. Till exempel, if , then och är dubbla rötter (eller rötter av multipel 2), och är en enkel rot.

Om en rot är känd

Låt oss veta en rot av kubikekvationen (1). Låt oss beteckna den kända roten som . Om vi sedan dividerar ekvation (1) med , får vi en andragradsekvation. När vi löser andragradsekvationen hittar vi ytterligare två rötter och .

För att bevisa detta använder vi det faktum att ett kubiskt polynom kan representeras som:
.
Sedan, dividera (1) med , får vi en andragradsekvation.

Exempel på delande polynom presenteras på sidan
"Division och multiplikation av ett polynom med ett polynom med ett hörn och en kolumn."
Att lösa andragradsekvationer diskuteras på sidan
"Rötterna till en andragradsekvation."

Om en av rötterna är hel

Om den ursprungliga ekvationen är:
(2) ,
och dess koefficienter , , , är heltal, då kan du försöka hitta heltalsroten. Om denna ekvation har en heltalsrot är den en divisor av koefficienten. Metoden för att hitta heltalsrötter är att vi hittar alla divisorer för talet och kontrollerar om ekvation (2) är uppfylld för dem. Om ekvation (2) är uppfylld, har vi hittat dess rot. Låt oss beteckna det som . Därefter dividerar vi ekvation (2) med . Vi får en andragradsekvation. När vi löser det hittar vi ytterligare två rötter.

Exempel på att definiera hela rötter ges på sidan
Exempel på faktoreringspolynom > > > .

Att hitta rationella rötter

Om i ekvation (2) , , , är heltal, och det inte finns några heltalsrötter, så kan du försöka hitta rationella rötter, det vill säga rötter av formen , där och är heltal.

För att göra detta, multiplicera ekvation (2) med och gör substitutionen:
;
(3) .
Därefter letar vi efter heltalsrötter i ekvation (3) bland delarna av den fria termen.

Om vi har hittat heltalsroten ur ekvation (3), då återgår vi till variabeln, får vi den rationella roten ur ekvation (2):
.

Cardano och Vieta formler för att lösa den kubiska ekvationen

Om vi inte känner till en enda rot, och det inte finns några hela rötter, kan vi hitta rötterna till kubiskakvationen med Cardano-formlerna.

Tänk på kubikekvationen:
(1) .
Låt oss göra ett byte:
.
Efter detta reduceras ekvationen till en ofullständig eller reducerad form:
(4) ,
Var
(5) ; .

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter, "Lan", 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Tvist

Cardano formel

Tvister under medeltiden var alltid ett intressant spektakel som lockade inaktiva stadsbor, unga som gamla. Ämnena för debatterna var varierande, men alltid vetenskapliga. Samtidigt förstod man vetenskapen som det som fanns med på listan över de så kallade sju liberala konsterna, vilket naturligtvis var teologi. Teologiska dispyter var de vanligaste. De bråkade om allt. Till exempel om huruvida en mus ska förknippas med den helige anden om den äter sakramentet, om Cumae Sibyll kunde ha förutsägt Jesu Kristi födelse, varför Frälsarens bröder och systrar inte helgonförklaras osv.
Om tvisten som skulle äga rum mellan den berömde matematikern och den inte mindre kända doktorn gjordes bara de mest allmänna gissningarna, eftersom ingen egentligen visste någonting. De sa att en av dem bedrog den andra (det är okänt vem exakt och till vem). Nästan alla som samlades på torget hade de mest vaga föreställningarna om matematik, men alla såg fram emot att debatten skulle börja. Det var alltid intressant, man kunde skratta åt förloraren, oavsett om han hade rätt eller fel.
När stadshusets klockan slog fem slog portarna på vid gavel och folkmassan rusade in i katedralen. På ömse sidor om mittlinjen som förbinder ingången till altaret uppfördes två höga predikstolar nära de två sidopelarna, avsedda för debattörer. De närvarande lät ett högt ljud utan att bry sig om att de befann sig i kyrkan. Till sist, framför järngallret som skilde ikonostasen från resten av mittskeppet, dök en stadsskrikare i en svart och lila mantel upp och proklamerade: ”Illlustriska medborgare i staden Milano! Nu kommer den berömda matematikern Niccolo Tartaglia från Brenia att tala till dig. Hans motståndare var tänkt att vara matematikern och läkaren Geronimo Cardano. Niccolo Tartaglia anklagar Cardano för att vara den sista som i sin bok "Ars magna" publicerade en metod för att lösa en tredje gradens ekvation som tillhörde honom, Tartaglia. Cardano själv kunde dock inte komma till debatten och skickade därför sin elev Luige Ferrari. Så, debatten förklaras öppen, dess deltagare bjuds in till avdelningarna.” En besvärlig man med krokig näsa och lockigt skägg steg upp till predikstolen till vänster om entrén, och en ung man i tjugoårsåldern med ett vackert, självsäkert ansikte steg upp till den motsatta predikstolen. Hela hans uppträdande återspeglade fullständigt förtroende för att varje gest och varje ord skulle tas emot med glädje.
Tartaglia började.

Kära herrar! Du vet att jag för 13 år sedan lyckades hitta ett sätt att lösa en ekvation av 3:e graden och sedan, med den här metoden, vann jag tvisten med Fiori. Min metod uppmärksammades av din medborgare Cardano, och han använde all sin listiga konst för att ta reda på hemligheten från mig. Han slutade varken från bedrägeri eller direkt förfalskning. Du vet också att för 3 år sedan publicerades Cardanos bok om algebras regler i Nürnberg, där min metod, så skamlöst stulen, gjordes tillgänglig för alla. Jag utmanade Cardano och hans elev på en tävling. Jag föreslog att lösa 31 problem, samma antal föreslogs av mina motståndare. En deadline sattes för att lösa problem - 15 dagar. På 7 dagar lyckades jag lösa de flesta problem som sammanställdes av Cardano och Ferrari. Jag skrev ut dem och skickade dem med bud till Milano. Jag fick dock vänta i hela fem månader tills jag fick svar på mina uppgifter. De löstes felaktigt. Detta gav mig anledning att utmana dem båda till en offentlig debatt.

Tartaglia tystnade. Den unge mannen tittade på den olyckliga Tartaglia och sa:

Kära herrar! Min värdiga motståndare tillät sig, i de allra första orden i sitt tal, att uttrycka så mycket förtal mot mig och min lärare; hans argument var så ogrundat att det knappast skulle ta mig några problem att motbevisa det första och visa er inkonsekvensen av den andra. Först och främst, vilken typ av bedrägeri kan vi prata om om Niccolo Tartaglia helt frivilligt delade sin metod med oss båda? Och så här skriver Geronimo Cardano om min motståndares roll i upptäckten av den algebraiska regeln. Han säger att det inte är han, Cardano, ”utan min vän Tartaglia som har äran att upptäcka något så vackert och fantastiskt, som överträffar mänskligt vett och alla begåvningar hos den mänskliga anden. Denna upptäckt är verkligen en himmelsk gåva, ett sådant underbart bevis på kraften i sinnet som har förstått den, att ingenting kan anses ouppnåeligt för den.”
Min motståndare anklagade mig och min lärare för att ha gett fel lösning på sina problem. Men hur kan roten till en ekvation vara felaktig om vi genom att ersätta den i ekvationen och utföra alla de åtgärder som föreskrivs i denna ekvation kommer fram till identitet? Och om Senor Tartaglia vill vara konsekvent, då borde han ha svarat på anmärkningen varför vi, som stal, men med hans ord, hans uppfinning och använde den för att lösa de föreslagna problemen, fick fel lösning. Vi - min lärare och jag - anser inte att Signor Tartaglias uppfinning är av ringa betydelse. Denna uppfinning är underbar. Dessutom, genom att till stor del förlita mig på det, hittade jag ett sätt att lösa en ekvation av fjärde graden, och i Ars Magna talar min lärare om detta. Vad vill senor Tartaglia av oss? Vad försöker han uppnå med tvisten?
Mina herrar, herrar, ropade Tartaglia, "Jag ber er att lyssna på mig!" Jag förnekar inte att min unga motståndare är väldigt stark i logik och vältalighet. Men detta kan inte ersätta ett sant matematiskt bevis. Problemen som jag gav till Cardano och Ferrari löstes inte korrekt, men jag ska bevisa detta också. Låt oss till exempel ta en ekvation bland de lösta. Det är känt...

Ett ofattbart ljud uppstod i kyrkan som helt absorberade slutet av meningen som den olyckliga matematikern inledde. Han fick inte fortsätta. Publiken krävde att han skulle hålla käften och att Ferrari skulle ta svängen. Tartaglia, som såg att det var helt värdelöst att fortsätta diskussionen, steg hastigt ner från predikstolen och gick ut genom den norra verandan in på torget. Publiken hälsade vilt till "vinnaren" av tvisten, Luigi Ferrari.
Därmed slutade denna tvist, som fortsätter att orsaka fler och fler nya tvister. Vem äger egentligen metoden för att lösa en 3:e gradens ekvation? Vi pratar nu - Niccolo Tartaglie. Han upptäckte det, och Cardano lurade honom att göra upptäckten. Och om vi nu kallar formeln som representerar rötterna till en ekvation av 3:e graden genom dess koefficienter för Cardano-formeln, så är detta en historisk orättvisa. Men är det orättvist? Hur beräknar man graden av deltagande av varje matematiker i upptäckten? Kanske kommer någon med tiden att kunna besvara den här frågan helt exakt, eller så förblir det ett mysterium...

Cardano formel

Med hjälp av modernt matematiskt språk och modern symbolik, kan härledningen av Cardanos formel hittas med hjälp av följande extremt elementära överväganden:
Låt oss ges en generell ekvation av tredje graden:

Om vi sätter , reducerar vi ekvation (1) till formen

, (2)

Var , .
Låt oss introducera ett nytt okänt med hjälp av jämlikhet .
Genom att introducera detta uttryck i (2), får vi

. (3)

Härifrån
,

därav,
.

Om täljaren och nämnaren för den andra termen multipliceras med uttrycket och ta hänsyn till att det resulterande uttrycket för visar sig vara symmetriskt med avseende på tecknen "" och "", så får vi slutligen

(Produkten av kubiska radikaler i den sista jämlikheten bör vara lika med ).
Detta är den berömda Cardano-formeln. Om vi går från igen till får vi en formel som bestämmer roten till en generell ekvation av 3:e graden.
Den unge mannen som behandlade Tartaglia så skoningslöst förstod matematik lika lätt som han förstod rätten till opretentiös sekretess. Ferrari hittar ett sätt att lösa en fjärdegradsekvation. Cardano inkluderade denna metod i sin bok. Vad är denna metod?
Låta
- (1)

Allmän ekvation av fjärde graden.
Om vi sätter kan ekvation (1) reduceras till formen

, (2)

där , , är några koefficienter beroende på , , , , . Det är lätt att se att denna ekvation kan skrivas på följande sätt:

. (3)

Faktum är att det räcker med att öppna parenteserna, då avbryter alla termer som innehåller varandra, och vi återgår till ekvation (2).
Låt oss välja en parameter så att den högra sidan av ekvation (3) är en perfekt kvadrat med avseende på . Som bekant är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för detta försvinnandet av diskriminanten av trinomialets koefficienter (med avseende på ) till höger:
. (4)

Vi har fått en komplett kubikekvation, som vi nu kan lösa. Låt oss hitta någon av dess rötter och skriva in den i ekvation (3), nu kommer den att ta formen

Härifrån
.

Detta är en andragradsekvation. Genom att lösa det kan man hitta roten till ekvation (2), och följaktligen (1).
4 månader före sin död avslutade Cardano sin självbiografi, som han skrev intensivt under det senaste året och som var tänkt att sammanfatta hans svåra liv. Han kände döden närma sig. Enligt vissa rapporter kopplade hans eget horoskop hans död till hans 75-årsdag. Han dog den 21 september 1576, 2 dagar före årsdagen. Det finns en version att han begick självmord i väntan på en nära förestående död eller till och med för att bekräfta sitt horoskop. I alla fall tog astrologen Cardano horoskopet på allvar.

En anteckning om Cardanos formel

Låt oss analysera formeln för att lösa ekvationen i den verkliga regionen. Så,
.

Innehåll

Se även: Vietas trigonometriska formel

Reducering av kubikekvationen till reducerad form

Tänk på kubikekvationen:
(1) ,
Var . Låt oss dela upp det i:
(2) ,
Var , , .
Vi antar vidare att , och - är reella tal.

Låt oss reducera ekvation (2) till en enklare form. För att göra detta, låt oss göra ett byte
.
;
;
.
Låt oss likställa koefficienten till noll. För att göra detta, låt oss sätta
:
;
;
.
Vi får följande ekvation:
(3) ,
Var
(4) ; .

Härledning av Cardanos formel

Vi löser ekvation (3). Göra ett byte
(5) :
;
;
;
.
För att denna ekvation ska vara uppfylld, låt oss sätta
(6) ;
(7) .

Från (7) har vi:
.
Låt oss ersätta (6):
;
.

Lösa en andragradsekvation.
(8) .
Låt oss ta det översta "+"-tecknet:
,
där vi introducerade notationen
.
Från (6) har vi:
.

Så vi hittade en lösning på ovanstående ekvation i följande form:
(5) ;
(9) ;
(10) ;
(7) ;
(11) .
Denna lösning kallas Cardano formel.

Om vi, när vi väljer kvadratrotens tecken i (8), tar det nedre tecknet, så kommer vi att byta plats och vi får inget nytt. Kvantiteterna och är lika med kubrötter, så de har tre värden. Från alla möjliga par måste du välja de som uppfyller ekvation (7).

Så, algoritmen för att lösa den reducerade kubikekvationen
(3)
Nästa.
1) Först bestämmer vi valfritt värde på kvadratroten.
2) Beräkna tre värden på kubroten.
3) Med formeln (7) beräknar vi värdet för varje värde:
.
Som ett resultat får vi tre par kvantiteter och .
4) För varje par av kvantiteter och , med hjälp av formel (5) hittar vi värdena för rötterna till den givna ekvationen (3).
5) Vi beräknar värdena för rötterna till den ursprungliga ekvationen (1) med hjälp av formeln
.
På detta sätt får vi värdena för de tre rötterna i den ursprungliga ekvationen. När två eller tre rötter är multiplar (lika).

I steg 3) i denna algoritm kan du göra det annorlunda. Vi kan beräkna tre värden av kvantiteten med formeln (10). Och gör sedan tre par rötter och så att relationen för varje par är uppfylld
(7) .

Fall Q ≥ 0

Låt oss överväga fallet. Dessutom är de reella siffror. Låt oss introducera lite notation. Låt och beteckna de verkliga värdena för kubrötter.

Låt oss hitta de återstående värdena för rötterna och . Låt oss skriva det i följande form:
; ,
där - är ett heltal;
- imaginär enhet, .
Sedan
.
Genom att tilldela värden får vi tre rötter:
, ;
, ;
, .
På samma sätt får vi tre rötter:
;
;
.

Nu grupperar vi dem i par så att följande relation är uppfylld för varje par:
(7) .
Sedan dess
.
Sedan
.
Härifrån får vi det första paret: .
Därefter märker vi det
.
Det är därför
; .
Sedan finns det två par till.

Nu får vi tre rötter av ovanstående ekvation:
;
;
.
De kan också skrivas i följande form:
(12) ; .
Dessa formler kallas Cardanos formel.

Vid , . De två rötterna är multiplar:
; .
När alla tre rötterna är multiplar:
.

Fall Q< 0

Om vi spårar härledningen av formel (12), kommer vi att se att hela slutsatsen förblir giltig för ett negativt värde. Det vill säga de kan vara komplexa. Sedan för och du kan välja vilka värden som helst av kubrötter som relationen håller mellan:
.