¿Cuál es la suma de los ángulos de un polígono convexo? Polígono regular

En octavo grado, durante las lecciones de geometría en la escuela, a los estudiantes se les presenta por primera vez el concepto de polígono convexo. Muy pronto aprenderán que esta figura tiene una propiedad muy interesante. Por muy complejo que sea, la suma de todos los ángulos internos y externos de un polígono convexo adquiere un valor estrictamente definido. En este artículo, un tutor de matemáticas y física habla sobre a qué es igual la suma de los ángulos de un polígono convexo.

Suma de ángulos interiores de un polígono convexo

¿Cómo probar esta fórmula?

Antes de pasar a la prueba de esta afirmación, recordemos qué polígono se llama convexo. Un polígono convexo es un polígono que se encuentra completamente en un lado de una línea que contiene cualquiera de sus lados. Por ejemplo, el que se muestra en esta figura:

Si el polígono no cumple la condición especificada, se llama no convexo. Por ejemplo, así:

La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es igual a , donde es el número de lados del polígono.

La prueba de este hecho se basa en el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo, bien conocido por todos los escolares. Estoy seguro de que este teorema también te resulta familiar. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es .

La idea es dividir un polígono convexo en varios triángulos. Esto se puede hacer de diferentes maneras. Dependiendo del método que elijamos, la evidencia será ligeramente diferente.

1. Divide el polígono convexo en triángulos utilizando todas las diagonales posibles extraídas de algún vértice. Es fácil entender que entonces nuestro n-gon se dividirá en triángulos:

Además, la suma de todos los ángulos de todos los triángulos resultantes es igual a la suma de los ángulos de nuestro n-gon. Después de todo, cada ángulo de los triángulos resultantes es un ángulo parcial de nuestro polígono convexo. Es decir, la cantidad requerida es igual a .

2. También puedes seleccionar un punto dentro del polígono convexo y conectarlo a todos los vértices. Entonces nuestro n-gon se dividirá en triángulos:

Además, la suma de los ángulos de nuestro polígono en este caso será igual a la suma de todos los ángulos de todos estos triángulos menos el ángulo central, que es igual a . Es decir, la cantidad requerida vuelve a ser igual a .

Suma de ángulos exteriores de un polígono convexo.

Hagamos ahora la pregunta: "¿Cuál es la suma de los ángulos externos de un polígono convexo?" Esta pregunta se puede responder de la siguiente manera. Cada esquina externa es adyacente a la interna correspondiente. Por lo tanto es igual a:

Entonces la suma de todos los ángulos externos es igual a . Es decir, es igual.

Es decir, se obtiene un resultado muy divertido. Si trazamos todos los ángulos externos de cualquier n-gón convexo secuencialmente uno tras otro, entonces el resultado será exactamente el plano completo.

Este interesante hecho se puede ilustrar de la siguiente manera. Reduzcamos proporcionalmente todos los lados de algún polígono convexo hasta que se fusione en un punto. Después de que esto suceda, todos los ángulos externos se separarán entre sí y así llenarán todo el plano.

Dato interesante, ¿no? Y hay muchos de esos hechos en geometría. ¡Así que aprendan geometría, queridos escolares!

El material sobre a qué es igual la suma de los ángulos de un polígono convexo fue preparado por Sergey Valerievich.

Polígonos. Tipos de polígonos. Ángulos internos y externos de un polígono convexo. Suma de ángulos interiores de un n-gón convexo (teorema). Suma de ángulos exteriores de un n-gón convexo (teorema). Polígonos regulares. Círculo circunscrito a un polígono regular (teorema, corolario 1,2)

El ángulo interior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo formado por sus lados que convergen en este vértice. El ángulo externo de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al interno en este vértice. esquina interioresquina exterior

Teorema. La suma de los ángulos internos de un polígono convexo es (n – 2) · 180 о, donde n es el número de lados del polígono. Dado: n-gon convexo. Demuestre: α = (n – 2) ·180 о Demostración Dentro del n-gón, tome un punto arbitrario O y conéctelo a todos los vértices. El polígono se dividirá en n triángulos con un vértice común O. La suma de los ángulos de cada triángulo es 180º, por lo tanto, la suma de los ángulos de todos los triángulos es 180º. Esta suma, además de la suma de todos los ángulos internos del polígono, incluye la suma de los ángulos de los triángulos en el vértice O, igual a 360 grados. Por tanto, la suma de todos los ángulos internos de un polígono es igual a 180 o n – 360 o = (n – 2) · 180 o. Entonces, n = (n – 2) 180o. Etc. oh

Teorema. La suma de los ángulos externos de un polígono convexo, tomados uno en cada vértice, no depende de n y es igual a 360, donde n es el número de lados del n-gón. Prueba. Dado que el ángulo externo de un polígono es adyacente al ángulo interno correspondiente, y la suma de los ángulos adyacentes es igual a 180, entonces la suma de los ángulos externos de un polígono es igual a: 180 о n – (n – 2) · 180 о = 180 о · n – 180 о · n о = 360 о . Externo e interno interno Entonces, la suma de los ángulos externos de un polígono convexo, tomados uno en cada vértice, no depende de n y es igual a 360 o, donde n es el número de lados del n-gón. Etc.

Teorema. En cualquier polígono regular se puede inscribir un círculo, y sólo uno. Prueba. Sea A1,A2,…,A n un polígono regular, O el centro del círculo circunscrito. OA1A2 = OA2A3 = OAnA1, por lo tanto, las alturas de estos triángulos dibujados desde el vértice O también son iguales a ОН1 = ОН2 =…= ОНn. Por lo tanto, un círculo con centro O y radio OH1 pasa por los puntos H1, H2, ..., Hn y toca los lados del polígono en estos puntos, es decir, el círculo está inscrito en el polígono dado. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 Un

Demostremos que sólo hay un círculo inscrito. Supongamos que hay otra circunferencia con centro O y radio OA. Entonces su centro es equidistante de los lados del polígono, es decir, El punto O1 se encuentra en cada una de las bisectrices de las esquinas del polígono y, por tanto, coincide con el punto O de intersección de estas bisectrices. El radio de este círculo es igual a la distancia desde el punto O a los lados del polígono, es decir es igual a OH1 El teorema está demostrado. Corolario 1 Un círculo inscrito en un polígono regular toca los lados del polígono en sus puntos medios. Corolario 2 El centro de un círculo circunscrito a un polígono regular coincide con el centro de un círculo inscrito en el mismo polígono.

Tu polígono. Por ejemplo, si necesitas encontrar los ángulos de un polígono regular con 15 lados, sustituye n=15 en la ecuación. Obtendrá S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.

Luego, divide la suma resultante de los ángulos internos por su número. Por ejemplo, en un polígono, el número de ángulos es el número de lados, es decir, 15. Así, se obtiene que el ángulo es 2340⁰/15=156⁰. Cada ángulo interior de un polígono mide 156⁰.

Si te resulta más cómodo calcular los ángulos de un polígono en radianes, procede de la siguiente manera. Resta el número 2 del número de lados y multiplica la diferencia resultante por el número P (Pi). Luego divide el producto por el número de ángulos del polígono. Por ejemplo, si necesita calcular los ángulos de un góndolo regular de 15, proceda de la siguiente manera: P*(15-2)/15=13/15P, o 0,87P, o 2,72 (pero, como , el número P permanece sin cambios). O simplemente divide el tamaño del ángulo en grados por 57,3: eso es lo que contiene un radian.

También puedes intentar calcular los ángulos de un polígono regular en grados. Para hacer esto, reste 2 del número de lados, divida el número resultante por el número de lados y multiplique el resultado por 200. Esta unidad de medida de ángulos casi nunca se usa hoy en día, pero si decide calcular los ángulos en grados, No olvides que los grados se dividen en segundos y minutos métricos (100 segundos por minuto).

Es posible que necesites calcular el ángulo exterior de un polígono regular, en cuyo caso hazlo. Reste el ángulo interno de 180⁰; como resultado, obtendrá el valor del ángulo adyacente, es decir, externo. Puede tomar un valor de -180⁰ a +180⁰.

Consejo útil

Si logras descubrir los ángulos de un polígono regular, podrás construirlo fácilmente. Dibuja un lado de cierta longitud y usa un transportador para dibujar el ángulo deseado. Mida exactamente la misma distancia (todos los lados del polígono regular son iguales) y nuevamente reserve el ángulo deseado. Continúe hasta que los lados se unan.

Fuentes:

• ángulo en un polígono regular

Un polígono circunscrito es un polígono cuyos lados tocan todos el círculo inscrito en él. Sólo se puede describir un polígono regular, es decir, uno en el que todos los lados sean iguales. Los arquitectos antiguos se enfrentaban a la solución de un problema similar cuando necesitaban diseñar, por ejemplo, una columna. Las tecnologías modernas permiten hacer esto en un tiempo mínimo, pero el principio de funcionamiento sigue siendo el mismo que en la geometría clásica.

Necesitará

• - Brújula;
• - transportador;
• - gobernante;
• - papel.

Instrucciones

Dibuja un círculo con lo dado. Defina su centro como O y dibuje uno de los radios para que pueda comenzar la construcción. Para describir un polígono a su alrededor, necesita su único parámetro: el número de lados. Etiquétalo n.

Recuerda, el ángulo de cualquier círculo. Es 360°. En base a esto, es posible calcular los ángulos de los sectores cuyos lados conectarán el centro del círculo con los puntos de contacto con los lados del polígono. El número de estos sectores es igual al número de lados del polígono, es decir, n. Encuentra el ángulo α usando la fórmula α = 360°/n.

Usando un transportador, traza el ángulo resultante a partir del radio y dibuja otro radio a través de él. Para garantizar cálculos precisos, utilice una calculadora y redondee valores sólo en casos excepcionales. A partir de este nuevo radio, apartamos nuevamente la esquina del sector y trazamos otra línea recta entre el centro y la línea circular. Construye todos los ángulos de la misma manera.

Triángulo, cuadrado, hexágono: casi todo el mundo conoce estas figuras. Pero no todo el mundo sabe qué es un polígono regular. Pero todos son iguales: un polígono regular es aquel que tiene ángulos y lados iguales. Hay muchas figuras de este tipo, pero todas tienen las mismas propiedades y se les aplican las mismas fórmulas.

Propiedades de los polígonos regulares

Cualquier polígono regular, ya sea un cuadrado o un octágono, puede inscribirse en una circunferencia. Esta propiedad básica se utiliza a menudo al construir una figura. Además, se puede inscribir un círculo en un polígono. En este caso, el número de puntos de contacto será igual al número de sus lados. Es importante que un círculo inscrito en un polígono regular tenga un centro común con él. Estas figuras geométricas están sujetas a los mismos teoremas. Cualquier lado de un n-gón regular está relacionado con el radio del círculo R que lo rodea, por lo que se puede calcular mediante la siguiente fórmula: a = 2R ∙ sin180°. A través de él puedes encontrar no solo los lados, sino también el perímetro del polígono.

Cómo encontrar el número de lados de un polígono regular

Cualquiera consta de un cierto número de segmentos iguales entre sí que, cuando se conectan, forman una línea cerrada. En este caso, todos los ángulos de la figura resultante tienen el mismo valor. Los polígonos se dividen en simples y complejos. El primer grupo incluye un triángulo y un cuadrado. Los polígonos complejos tienen más lados. Estos también incluyen figuras en forma de estrella. Para polígonos regulares complejos, los lados se encuentran inscribiéndolos en un círculo. Demos una prueba. Dibuja un polígono regular con un número arbitrario de lados n. Dibuja un círculo a su alrededor. Establece el radio R. Ahora imagina que te dan un n-gon. Si los puntos de sus ángulos se encuentran en un círculo y son iguales entre sí, entonces los lados se pueden encontrar usando la fórmula: a = 2R ∙ sinα: 2.

Calcular el número de lados de un triángulo regular inscrito

Un triángulo equilátero es un polígono regular. Se le aplican las mismas fórmulas que a un cuadrado y un n-gón. Un triángulo se considerará regular si sus lados tienen la misma longitud. En este caso, los ángulos son 60⁰. Construyamos un triángulo con una longitud de lado dada a. Conociendo su mediana y su altura, puedes encontrar el valor de sus lados. Para ello utilizaremos el método de hallar mediante la fórmula a = x: cosα, donde x es la mediana o altura. Como todos los lados del triángulo son iguales, obtenemos a = b = c. Entonces será verdadera la siguiente afirmación: a = b = c = x: cosα. De manera similar, puedes encontrar el valor de los lados en un triángulo isósceles, pero x será la altura dada. En este caso, conviene proyectarlo estrictamente sobre la base de la figura. Entonces, conociendo la altura x, encontramos el lado a del triángulo isósceles usando la fórmula a = b = x: cosα. Después de encontrar el valor de a, puedes calcular la longitud de la base c. Apliquemos el teorema de Pitágoras. Buscaremos el valor de la mitad de la base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Entonces c = 2xtanα. De esta sencilla forma podrás encontrar el número de lados de cualquier polígono inscrito.

Calcular los lados de un cuadrado inscrito en un círculo

Como cualquier otro polígono regular inscrito, un cuadrado tiene lados y ángulos iguales. Se le aplican las mismas fórmulas que a un triángulo. Puedes calcular los lados de un cuadrado usando el valor de la diagonal. Consideremos este método con más detalle. Se sabe que una diagonal divide un ángulo por la mitad. Inicialmente su valor era de 90 grados. Así, después de la división, se forman dos, cuyos ángulos en la base serán iguales a 45 grados. En consecuencia, cada lado del cuadrado será igual, es decir: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, donde e es la diagonal del cuadrado, o la base del triángulo rectángulo formado después división. Esta no es la única forma de encontrar los lados de un cuadrado. Inscribamos esta figura en un círculo. Conociendo el radio de este círculo R, encontramos el lado del cuadrado. Lo calcularemos de la siguiente manera: a4 = R√2. Los radios de los polígonos regulares se calculan mediante la fórmula R = a: 2tg (360 o: 2n), donde a es la longitud del lado.

Cómo calcular el perímetro de un n-gon

El perímetro de un n-gon es la suma de todos sus lados. Es fácil de calcular. Para hacer esto, necesita conocer el significado de todos los lados. Para algunos tipos de polígonos existen fórmulas especiales. Te permiten encontrar el perímetro mucho más rápido. Se sabe que cualquier polígono regular tiene lados iguales. Por tanto, para calcular su perímetro basta con conocer al menos uno de ellos. La fórmula dependerá del número de lados de la figura. En general, se ve así: P = an, donde a es el valor del lado y n es el número de ángulos. Por ejemplo, para encontrar el perímetro de un octágono regular con un lado de 3 cm, debes multiplicarlo por 8, es decir, P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Para un hexágono con un lado de 5 cm, calculamos de la siguiente manera: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Y así para cada polígono.

Encontrar el perímetro de un paralelogramo, cuadrado y rombo

Dependiendo de cuántos lados tenga un polígono regular se calcula su perímetro. Esto facilita mucho la tarea. Efectivamente, a diferencia de otras figuras, en este caso no es necesario buscar todos sus lados, uno es suficiente. Usando el mismo principio, encontramos el perímetro de los cuadriláteros, es decir, un cuadrado y un rombo. A pesar de que se trata de figuras diferentes, la fórmula para ellas es la misma: P = 4a, donde a es el lado. Pongamos un ejemplo. Si el lado de un rombo o cuadrado mide 6 cm, entonces encontramos el perímetro de la siguiente manera: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Para un paralelogramo, solo los lados opuestos son iguales. Por tanto, su perímetro se encuentra utilizando un método diferente. Entonces, necesitamos saber el largo a y el ancho b de la figura. Luego aplicamos la fórmula P = (a + b) ∙ 2. Un paralelogramo en el que todos los lados y ángulos entre ellos son iguales se llama rombo.

Encontrar el perímetro de un triángulo equilátero y rectángulo

El perímetro del correcto se puede encontrar usando la fórmula P = 3a, donde a es la longitud del lado. Si se desconoce, se puede encontrar a través de la mediana. En un triángulo rectángulo sólo dos lados tienen el mismo valor. La base se puede encontrar mediante el teorema de Pitágoras. Una vez conocidos los valores de los tres lados calculamos el perímetro. Se puede encontrar usando la fórmula P = a + b + c, donde a y b son lados iguales y c es la base. Recuerde que en un triángulo isósceles a = b = a, lo que significa a + b = 2a, entonces P = 2a + c. Por ejemplo, el lado de un triángulo isósceles mide 4 cm, encontremos su base y perímetro. Calculamos el valor de la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras con = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Ahora calculamos el perímetro P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Cómo encontrar los ángulos de un polígono regular.

Un polígono regular aparece en nuestras vidas todos los días, por ejemplo, un cuadrado, un triángulo o un octágono regulares. Parecería que no hay nada más fácil que construir tú mismo esta figura. Pero esto sólo es sencillo a primera vista. Para construir cualquier n-gón, necesitas saber el valor de sus ángulos. ¿Pero cómo encontrarlos? Incluso los científicos antiguos intentaron construir polígonos regulares. Descubrieron cómo colocarlos en círculos. Y luego se marcaron los puntos necesarios y se conectaron con líneas rectas. Para figuras simples se resolvió el problema constructivo. Se obtuvieron fórmulas y teoremas. Por ejemplo, Euclides, en su famosa obra "Inception", se ocupó de la resolución de problemas de 3, 4, 5, 6 y 15 gónos. Encontró formas de construirlos y encontrar ángulos. Veamos cómo hacer esto para un 15 gon. Primero necesitas calcular la suma de sus ángulos interiores. Es necesario utilizar la fórmula S = 180⁰(n-2). Entonces, nos dan un góno de 15, lo que significa que el número n es 15. Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula y obtenemos S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Encontramos la suma de todos los ángulos interiores de un góno de 15. Ahora necesitas obtener el valor de cada uno de ellos. Hay 15 ángulos en total, hacemos el cálculo 2340⁰: 15 = 156⁰. Esto significa que cada ángulo interno es igual a 156⁰, ahora usando una regla y un compás puedes construir un góndola regular de 15. Pero ¿qué pasa con los n-gons más complejos? Durante muchos siglos, los científicos han luchado por resolver este problema. Fue encontrado recién en el siglo XVIII por Carl Friedrich Gauss. Pudo construir un 65537-gon. Desde entonces, el problema se considera oficialmente resuelto por completo.

Cálculo de ángulos de n-gonos en radianes.

Por supuesto, hay varias formas de encontrar los ángulos de los polígonos. La mayoría de las veces se calculan en grados. Pero también se pueden expresar en radianes. ¿Cómo hacerlo? Debe proceder de la siguiente manera. Primero, averiguamos el número de lados de un polígono regular, luego le restamos 2. Esto significa que obtenemos el valor: n - 2. Multiplicamos la diferencia encontrada por el número n (“pi” = 3,14). Ahora solo queda dividir el producto resultante por el número de ángulos en el n-gón. Consideremos estos cálculos usando el mismo decágono como ejemplo. Entonces, el número n es 15. Apliquemos la fórmula S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Por supuesto, esta no es la única forma de calcular un ángulo en radianes. Simplemente puedes dividir el ángulo en grados por 57,3. Después de todo, esto es cuántos grados equivalen a un radianes.

Cálculo de ángulos en grados.

Además de los grados y radianes, puedes intentar encontrar los ángulos de un polígono regular en grados. Esto se hace de la siguiente manera. Resta 2 del número total de ángulos y divide la diferencia resultante por el número de lados de un polígono regular. Multiplicamos el resultado obtenido por 200. Por cierto, prácticamente no se utiliza una unidad de medida de ángulos como los grados.

Cálculo de ángulos externos de n-gonos.

Para cualquier polígono regular, además del interno, también puedes calcular el ángulo externo. Su valor se encuentra de la misma forma que para otras figuras. Entonces, para encontrar el ángulo externo de un polígono regular, necesitas saber el valor del ángulo interno. Además, sabemos que la suma de estos dos ángulos siempre es igual a 180 grados. Por tanto, hacemos los cálculos de la siguiente manera: 180⁰ menos el valor del ángulo interno. Encontramos la diferencia. Será igual al valor del ángulo adyacente a él. Por ejemplo, el ángulo interno de un cuadrado es de 90 grados, lo que significa que el ángulo externo será 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Como vemos, no es difícil de encontrar. El ángulo externo puede tomar un valor de +180⁰ a -180⁰, respectivamente.

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