Paralelogramo regular. Definición de paralelogramo y sus propiedades.

Este es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares.

Propiedad 1. Cualquier diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales.

Prueba . Según la característica II (ángulos transversales y lado común).

El teorema está demostrado..

Propiedad 2. En un paralelogramo, los lados opuestos son iguales y los ángulos opuestos son iguales.

Prueba .
Asimismo,

El teorema está demostrado..

Propiedad 3. En un paralelogramo, las diagonales son bisecadas por el punto de intersección.

Prueba .

El teorema está demostrado..

Propiedad 4. La bisectriz del ángulo de un paralelogramo, que corta al lado opuesto, lo divide en triángulo isósceles y trapezoide. (Cap. palabras - vértice - ¿dos isósceles? -ka).

Prueba .

El teorema está demostrado..

Propiedad 5. En un paralelogramo, un segmento de recta con extremos en lados opuestos que pasa por el punto de intersección de las diagonales es bisecado por este punto.

Prueba .

El teorema está demostrado..

Propiedad 6. El ángulo entre las altitudes que caen desde el vértice de un ángulo obtuso de un paralelogramo es igual a un ángulo agudo de un paralelogramo.

Prueba .

El teorema está demostrado..

Propiedad 7. La suma de los ángulos de un paralelogramo adyacente a un lado es 180°.

Prueba .

El teorema está demostrado..

Construir la bisectriz de un ángulo. Propiedades de la bisectriz de un triángulo.

1) Construir un rayo arbitrario DE.

2) En un rayo dado, construye un círculo arbitrario con centro en el vértice y el mismo
con el centro al inicio del rayo construido.

3) F y G - puntos de intersección del círculo con los lados de un ángulo dado, H - punto de intersección del círculo con el rayo construido

Construya un círculo con centro en el punto H y radio igual a FG.

5) I es el punto de intersección de los círculos de la viga construida.

6) Dibuja una línea recta que pase por el vértice y I.

IDH es el ángulo requerido.
)

Propiedad 1. La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en proporción a los lados adyacentes.

Prueba . Sean x, y segmentos del lado c. Continuamos el rayo BC. En el rayo BC trazamos desde C un segmento CK igual a AC.

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos, es decir se encuentran en líneas paralelas

Propiedades de un paralelogramo:
Teorema 22. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.
Prueba. En el paralelogramo ABCD dibujamos una diagonal AC. Los triángulos ACD y ACB son iguales porque tienen un lado común AC y dos pares. ángulos iguales. adyacente a él: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (como ángulos transversales con líneas paralelas AD y BC). Esto significa que AB = CD y BC = AD, como los lados correspondientes de triángulos iguales, etc. De la igualdad de estos triángulos también se deduce que los ángulos correspondientes de los triángulos son iguales:
Teorema 23. Los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales: ∠ A=∠ C y ∠ B=∠ D.
La igualdad del primer par proviene de la igualdad de los triángulos ABD y CBD, y del segundo, ABC y ACD.
Teorema 24. Ángulos adyacentes de un paralelogramo, es decir Los ángulos adyacentes a un lado suman 180 grados.
Esto es así porque son ángulos interiores unilaterales.
Teorema 25. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan en su punto de intersección.
Prueba. Considere los triángulos BOC y AOD. Según la primera propiedad AD=BC ∠ OAD=∠ OCB y ∠ ODA=∠ OBC transversales para las rectas paralelas AD y BC. Por tanto, los triángulos BOC y AOD son iguales en ángulos laterales y adyacentes. Esto significa BO=OD y AO=OS, como los lados correspondientes de triángulos iguales, etc.

Signos de un paralelogramo
Teorema 26. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son iguales en pares, entonces es un paralelogramo.
Prueba. Sea el cuadrilátero ABCD los lados AD y BC, AB y CD respectivamente iguales (Fig. 2). Dibujemos la diagonal AC. Los triángulos ABC y ACD son iguales en tres lados. Entonces los ángulos BAC y DCA son iguales y, por tanto, AB es paralelo a CD. El paralelismo de los lados BC y AD se deriva de la igualdad de los ángulos CAD y ACB.
Teorema 27. Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son iguales en pares, entonces es un paralelogramo.
Sean ∠ A=∠ C y ∠ B=∠ D. Porque ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, entonces ∠ A+∠ B=180 o y los lados AD y BC son paralelos (basado en el paralelismo de rectas). También demostraremos el paralelismo de los lados AB y CD y concluiremos que ABCD es un paralelogramo por definición.
Teorema 28. Si las esquinas adyacentes de un cuadrilátero, es decir Los ángulos adyacentes a un lado suman 180 grados, entonces es un paralelogramo.
Si los ángulos interiores de un lado suman 180 grados, entonces las rectas son paralelas. Entonces AB es paralelo a CD y BC es paralelo a AD. Un cuadrilátero resulta ser un paralelogramo por definición.
Teorema 29. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan en el punto de intersección, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Prueba. Si AO = OC, BO = OD, entonces los triángulos AOD y BOC son iguales, ya que tienen ángulos iguales (verticales) en el vértice O, encerrado entre los pares. lados iguales. De la igualdad de los triángulos concluimos que AD y BC son iguales. Los lados AB y CD también son iguales y el cuadrilátero resulta ser un paralelogramo según el criterio 1.
Teorema 30. Si un cuadrilátero tiene un par de lados iguales y paralelos, entonces es un paralelogramo.
Sean los lados AB y CD del cuadrilátero ABCD paralelos e iguales. Dibujemos las diagonales AC y BD. Del paralelismo de estas rectas se deduce que los ángulos transversales ABO = CDO y BAO = OCD son iguales. Los triángulos ABO y CDO son iguales en ángulos laterales y adyacentes. Por lo tanto AO=OS, VO=ОD, es decir Las diagonales se dividen por la mitad por el punto de intersección y el cuadrilátero resulta ser un paralelogramo según el criterio 4.

En geometría se consideran casos especiales de paralelogramos.

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares.

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares. El área de un paralelogramo es igual al producto de su base (a) y su altura (h). También puedes encontrar su área a través de dos lados y un ángulo y a través de diagonales.

Propiedades de un paralelogramo

1. Los lados opuestos son idénticos

Primero que nada, dibujemos la diagonal \(AC\). Obtenemos dos triángulos: \(ABC\) y \(ADC\).

Dado que \(ABCD\) es un paralelogramo, se cumple lo siguiente:

\(AD || BC \Rightarrow \ángulo 1 = \ángulo 2\) como tumbarse transversalmente.

\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4\) como tumbarse transversalmente.

Por lo tanto, (según el segundo criterio: y \(AC\) es común).

Y eso significa \(\triángulo ABC = \triángulo ADC\), entonces \(AB = CD\) y \(AD = BC\) .

2. Los ángulos opuestos son idénticos

Según la prueba propiedades 1 Lo sabemos \(\ángulo 1 = \ángulo 2, \ángulo 3 = \ángulo 4\). Entonces la suma de los ángulos opuestos es: \(\ángulo 1 + \ángulo 3 = \ángulo 2 + \ángulo 4\). Teniendo en cuenta que \(\triángulo ABC = \triángulo ADC\) obtenemos \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .

3. Las diagonales se dividen por la mitad por el punto de intersección.

Por propiedad 1 sabemos que los lados opuestos son idénticos: \(AB = CD\) . Una vez más, observe los ángulos iguales que se encuentran transversalmente.

Así queda claro que \(\triangle AOB = \triangle COD\) según el segundo signo de igualdad de los triángulos (dos ángulos y el lado entre ellos). Es decir, \(BO = OD\) (opuesto a los ángulos \(\angle 2\) y \(\angle 1\) ) y \(AO = OC\) (opuesto a los ángulos \(\angle 3\) y \( \angle 4\) respectivamente).

Signos de un paralelogramo

Si solo hay una característica presente en tu problema, entonces la figura es un paralelogramo y puedes usar todas las propiedades de esta figura.

Para una mejor memorización, tenga en cuenta que el signo del paralelogramo responderá la siguiente pregunta: "¿Cómo saberlo?". Es decir, cómo saber que una figura dada es un paralelogramo.

1. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos dos lados son iguales y paralelos

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Flecha derecha ABCD\)- paralelogramo.

Miremos más de cerca. ¿Por qué \(AD || BC \)?

\(\triángulo ABC = \triángulo ADC\) Por propiedad 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) transversal cuando \(AB \) y \(CD \) y la secante \(AC \) son paralelas.

Pero si \(\triángulo ABC = \triángulo ADC\), entonces \(\angle 3 = \angle 4 \) (se encuentran frente a \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) y \(\angle 4 \) - los que se encuentran en forma transversal también son iguales).

La primera señal es correcta.

2. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son iguales

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) es un paralelogramo.

Consideremos esta señal. Dibujemos la diagonal \(AC\) nuevamente.

Por propiedad 1\(\triángulo ABC = \triángulo ACD\).

Resulta que: \(\ángulo 1 = \ángulo 2 \Rightarrow AD || BC \) Y \(\ángulo 3 = \ángulo 4 \Rightarrow AB || CD \), es decir, \(ABCD\) es un paralelogramo.

La segunda señal es correcta.

3. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son iguales

\(\ángulo A = \ángulo C\) , \(\ángulo B = \ángulo D \Rightarrow ABCD\)- paralelogramo.

\(2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ) \)(ya que \(\angle A = \angle C\) , \(\angle B = \angle D\) por condición).

Resulta, \(\alfa + \beta = 180^(\circ) \). Pero \(\alpha \) y \(\beta \) son unilaterales internos en la secante \(AB \) .

¿Palabra compuesta "paralelogramo"? Y detrás se esconde una figura muy sencilla.

Bueno, es decir, tomamos dos líneas paralelas:

Atravesado por dos más:

¡Y dentro hay un paralelogramo!

¿Qué propiedades tiene un paralelogramo?

Propiedades de un paralelogramo.

Es decir, ¿qué puedes usar si al problema se le da un paralelogramo?

El siguiente teorema responde a esta pregunta:

Dibujemos todo en detalle.

Qué significa primer punto del teorema? Y el hecho es que si TIENES un paralelogramo, seguramente lo obtendrás.

El segundo punto significa que si EXISTE un paralelogramo, entonces, nuevamente, ciertamente:

Bueno, y finalmente, el tercer punto significa que si TIENES un paralelogramo, asegúrate de:

¿Ves la gran variedad de opciones que hay? ¿Qué utilizar en el problema? Intente concentrarse en la cuestión de la tarea, o simplemente pruebe todo uno por uno; alguna "clave" será suficiente.

Ahora planteémonos otra pregunta: ¿cómo podemos reconocer un paralelogramo “de vista”? ¿Qué debe pasar con un cuadrilátero para que tengamos derecho a darle el “título” de paralelogramo?

Varios signos de un paralelogramo responden a esta pregunta.

Signos de un paralelogramo.

¡Atención! Comenzar.

Paralelogramo.

Tenga en cuenta: si encontró al menos un signo en su problema, entonces definitivamente tiene un paralelogramo y puede usar todas las propiedades de un paralelogramo.

2. Rectángulo

Creo que no será ninguna novedad para ti que

Primera pregunta: ¿un rectángulo es un paralelogramo?

¡Por supuesto que es! Después de todo, él tiene... ¿recuerdas nuestro signo 3?

Y de aquí, por supuesto, se deduce que en un rectángulo, como en cualquier paralelogramo, las diagonales se dividen por la mitad por el punto de intersección.

Pero el rectángulo también tiene una propiedad distintiva.

Propiedad rectángulo

¿Por qué esta propiedad es distintiva? Porque ningún otro paralelogramo tiene diagonales iguales. Formulémoslo más claramente.

Tenga en cuenta: para convertirse en un rectángulo, un cuadrilátero primero debe convertirse en un paralelogramo y luego demostrar la igualdad de las diagonales.

3. diamante

Y de nuevo la pregunta: ¿un rombo es un paralelogramo o no?

Con pleno derecho: un paralelogramo, porque tiene y (recuerde nuestra característica 2).

Y nuevamente, dado que un rombo es un paralelogramo, debe tener todas las propiedades de un paralelogramo. Esto significa que en un rombo, los ángulos opuestos son iguales, los lados opuestos son paralelos y las diagonales se bisecan en el punto de intersección.

Propiedades de un rombo

Mira la foto:

Como en el caso de un rectángulo, estas propiedades son distintivas, es decir, para cada una de estas propiedades podemos concluir que no se trata simplemente de un paralelogramo, sino de un rombo.

Signos de un diamante

Y de nuevo, presta atención: no debe haber simplemente un cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares, sino un paralelogramo. Cerciorarse:

No, claro, aunque sus diagonales son perpendiculares, y la diagonal es la bisectriz de los ángulos y. Pero... las diagonales no se dividen por la mitad por el punto de intersección, por lo tanto, NO son un paralelogramo y, por lo tanto, NO son un rombo.

Es decir, un cuadrado es un rectángulo y un rombo al mismo tiempo. Veamos qué pasa.

¿Está claro por qué? - rombo es la bisectriz del ángulo A, que es igual a. Esto significa que se divide (y también) en dos ángulos a lo largo.

Bueno, está bastante claro: las diagonales de un rectángulo son iguales; Las diagonales de un rombo son perpendiculares y, en general, un paralelogramo de diagonales se divide por la mitad por el punto de intersección.

NIVEL PROMEDIO

Propiedades de los cuadriláteros. Paralelogramo

Propiedades de un paralelogramo

¡Atención! Palabras " propiedades de un paralelogramo"Quiero decir que si en tu tarea Hay paralelogramo, entonces se pueden utilizar todos los siguientes.

Teorema sobre las propiedades de un paralelogramo.

En cualquier paralelogramo:

Entendamos por qué todo esto es cierto, en otras palabras LO PROBAREMOS teorema.

Entonces, ¿por qué 1) es cierto?

Si es un paralelogramo, entonces:

• acostado entrecruzado
• yaciendo como cruces.

Esto significa (según el criterio II: y - general.)

¡Bueno, eso es todo, eso es todo! - demostrado.

¡Pero por cierto! ¡También probamos 2)!

¿Por qué? Pero (mira la foto), eso es, precisamente porque.

Sólo quedan 3).

Para ello, todavía tienes que dibujar una segunda diagonal.

Y ahora vemos eso - según la característica II (ángulos y el lado "entre ellos").

Propiedades probadas! Pasemos a las señales.

Signos de un paralelogramo

Recuerda que el signo del paralelogramo responde a la pregunta “¿cómo sabes?” que una figura es un paralelogramo.

En iconos es así:

¿Por qué? Sería bueno entender por qué, ya es suficiente. Pero mira:

Bueno, descubrimos por qué el signo 1 es verdadero.

Bueno, ¡es aún más fácil! Dibujemos una diagonal nuevamente.

Lo que significa:

Y También es fácil. ¡Pero diferente!

Medio, . ¡Guau! Pero también: ¡interno unilateral con secante!

Por lo tanto el hecho de que eso signifique eso.

Y si miras desde el otro lado, entonces: ¡unilateral interno con secante! Y por lo tanto.

¿Ves lo genial que es?

Y de nuevo sencillo:

Exactamente lo mismo, y.

Prestar atención: si usted encontró al menos un signo de un paralelogramo en tu problema, entonces tienes exactamente paralelogramo y puedes usar todos Propiedades de un paralelogramo.

Para mayor claridad, mire el diagrama:

Propiedades de los cuadriláteros. Rectángulo.

Propiedades del rectángulo:

El punto 1) es bastante obvio; después de todo, el signo 3 () simplemente se cumple

Y punto 2) - muy importante. Entonces, demostremos que

Esto significa en dos lados (y - general).

Bueno, como los triángulos son iguales, entonces sus hipotenusas también son iguales.

¡Lo demostró!

E imagina, la igualdad de diagonales es una propiedad distintiva de un rectángulo entre todos los paralelogramos. Es decir, esta afirmación es cierta ^

Entendamos ¿por qué?

Esto significa (es decir, los ángulos de un paralelogramo). Pero recordemos una vez más que es un paralelogramo, y por tanto.

Medio, . Bueno, por supuesto, ¡se deduce que cada uno de ellos! Después de todo, ¡tienen que darlo todo!

Entonces demostraron que si paralelogramo De repente (!) las diagonales resultan ser iguales, entonces esto exactamente un rectángulo.

¡Pero! ¡Prestar atención! Esto es sobre paralelogramos! No cualquiera cuadrilátero con diagonales iguales- un rectángulo, y solo¡paralelogramo!

Propiedades de los cuadriláteros. Rombo

Y de nuevo la pregunta: ¿un rombo es un paralelogramo o no?

Con pleno derecho: un paralelogramo, porque lo tiene (recuerde nuestra característica 2).

Y nuevamente, dado que un rombo es un paralelogramo, debe tener todas las propiedades de un paralelogramo. Esto significa que en un rombo, los ángulos opuestos son iguales, los lados opuestos son paralelos y las diagonales se bisecan en el punto de intersección.

Pero también existen propiedades especiales. Formulémoslo.

Propiedades de un rombo

¿Por qué? Bueno, como un rombo es un paralelogramo, entonces sus diagonales se dividen por la mitad.

¿Por qué? ¡Sí, por eso!

En otras palabras, las diagonales resultaron ser bisectrices de las esquinas del rombo.

Como en el caso de un rectángulo, estas propiedades son distintivo, cada uno de ellos es también un signo de rombo.

Signos de un diamante.

¿Por qué es esto? Y mira,

Eso significa ambos Estos triángulos son isósceles.

Para ser un rombo, un cuadrilátero primero debe "convertirse" en un paralelogramo y luego exhibir la característica 1 o la característica 2.

Propiedades de los cuadriláteros. Cuadrado

Es decir, un cuadrado es un rectángulo y un rombo al mismo tiempo. Veamos qué pasa.

¿Está claro por qué? Un cuadrado, un rombo, es la bisectriz de un ángulo igual a. Esto significa que se divide (y también) en dos ángulos a lo largo.

Bueno, está bastante claro: las diagonales de un rectángulo son iguales; Las diagonales de un rombo son perpendiculares y, en general, un paralelogramo de diagonales se divide por la mitad por el punto de intersección.

¿Por qué? Bueno, apliquemos el teorema de Pitágoras a...

RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Propiedades de un paralelogramo:

1. Los lados opuestos son iguales: , .
2. Los ángulos opuestos son iguales: , .
3. Los ángulos de un lado suman: , .
4. Las diagonales se dividen por la mitad por el punto de intersección: .

Propiedades del rectángulo:

1. Las diagonales del rectángulo son iguales: .
2. Un rectángulo es un paralelogramo (para un rectángulo se cumplen todas las propiedades de un paralelogramo).

Propiedades de un rombo:

1. Las diagonales de un rombo son perpendiculares: .
2. Las diagonales de un rombo son las bisectrices de sus ángulos: ; ; ; .
3. Un rombo es un paralelogramo (para un rombo se cumplen todas las propiedades de un paralelogramo).

Propiedades de un cuadrado:

Un cuadrado es un rombo y un rectángulo a la vez, por tanto, para un cuadrado se cumplen todas las propiedades de un rectángulo y un rombo. Y:

Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.

Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%!

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