Teniendo la forma estándar $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, en la que el lado izquierdo es el diferencial total de alguna función $F \left( x,y\right)$, se llama ecuación en diferenciales completos.
La ecuación en diferenciales totales siempre se puede reescribir como $dF\left(x,y\right)=0$, donde $F\left(x,y\right)$ es una función tal que $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.
Integramos ambos lados de la ecuación $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; la integral del lado derecho cero es igual a una constante arbitraria $C$. Por lo tanto, la solución general de esta ecuación en forma implícita es $F\left(x,y\right)=C$.
Para que una ecuación diferencial dada sea una ecuación en diferenciales totales, es necesario y suficiente que la condición $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ estar satisfecho. Si se cumple la condición especificada, entonces existe una función $F\left(x,y\right)$, para la cual podemos escribir: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, de donde obtenemos dos relaciones : $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ y $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.
Integramos la primera relación $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ sobre $x$ y obtenemos $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, donde $U\left(y\right)$ es una función arbitraria de $y$.
Seleccionémoslo de manera que se cumpla la segunda relación $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$. Para hacer esto, diferenciamos la relación resultante para $F\left(x,y\right)$ con respecto a $y$ e igualamos el resultado a $Q\left(x,y\right)$. Obtenemos: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\derecha)$.
La solución adicional es:
- de la última igualdad encontramos $U"\left(y\right)$;
- integra $U"\left(y\right)$ y encuentra $U\left(y\right)$;
- sustituye $U\left(y\right)$ en la igualdad $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ y finalmente obtenemos la función $F\left(x,y\right)$.
Encontramos la diferencia:
Integramos $U"\left(y\right)$ sobre $y$ y encontramos $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.
Encuentra el resultado: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.
Escribimos la solución general en la forma $F\left(x,y\right)=C$, a saber:
Encuentre una solución particular $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, donde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2$:
La solución parcial tiene la forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.
En este tema veremos el método para restaurar una función desde su diferencial total, daremos ejemplos de problemas con análisis completo soluciones.
Sucede que las ecuaciones diferenciales (DE) de la forma P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 pueden contener diferenciales completos de algunas funciones en los lados izquierdos. Entonces podemos encontrar la integral general de la ecuación diferencial si primero reconstruimos la función a partir de su diferencial total.
Ejemplo 1
Considere la ecuación P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. El lado izquierdo contiene el diferencial de una determinada función. U(x, y) = 0. Para ello se debe cumplir la condición ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.
El diferencial total de la función U (x, y) = 0 tiene la forma d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Teniendo en cuenta la condición ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x obtenemos:
P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y
∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)
Transformando la primera ecuación del sistema de ecuaciones resultante, podemos obtener:
U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)
Podemos encontrar la función φ (y) a partir de la segunda ecuación del sistema obtenido anteriormente:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y
Así encontramos la función deseada U (x, y) = 0.
Ejemplo 2
Encuentre la solución general para la ecuación diferencial (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.
Solución
P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y
Comprobemos si se cumple la condición ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:
∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y
Nuestra condición se cumple.
Según los cálculos, podemos concluir que el lado izquierdo de la ecuación diferencial original es el diferencial total de alguna función U (x, y) = 0. Necesitamos encontrar esta función.
Dado que (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y es el diferencial total de la función U (x, y) = 0, entonces
∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y
Integramos la primera ecuación del sistema con respecto a x:
U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)
Ahora diferenciamos el resultado resultante con respecto a y:
∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)
Transformando la segunda ecuación del sistema, obtenemos: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Esto significa que
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C
donde C es una constante arbitraria.
Obtenemos: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. La integral general de la ecuación original es x 3 3 - x y 2 + C = 0.
Veamos otro método para encontrar una función usando un diferencial total conocido. Implica el uso de una integral curvilínea desde un punto fijo (x 0, y 0) hasta un punto con coordenadas variables (x, y):
U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C
En tales casos, el valor de la integral no depende de ninguna manera del camino de integración. Podemos tomar como camino de integración una línea discontinua, cuyos enlaces se ubican paralelos a los ejes de coordenadas.
Ejemplo 3
Encuentre la solución general de la ecuación diferencial (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.
Solución
Comprobemos si se cumple la condición ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:
∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y
Resulta que el lado izquierdo de la ecuación diferencial está representado por el diferencial total de alguna función U (x, y) = 0. Para encontrar esta función es necesario calcular la integral de recta del punto (1 ; 1) antes (x,y). Tomemos como camino de integración una línea discontinua, cuyos tramos pasarán en línea recta. y = 1 desde el punto (1, 1) al (x, 1) y luego desde el punto (x, 1) al (x, y):
∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2
Hemos obtenido una solución general a una ecuación diferencial de la forma x y - x y 2 + C = 0.
Ejemplo 4
Determine la solución general de la ecuación diferencial y · cos x d x + sen 2 x d y = 0 .
Solución
Comprobemos si se cumple la condición ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.
Dado que ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, entonces la condición no se cumplirá. Esto significa que el lado izquierdo de la ecuación diferencial no es el diferencial completo de la función. Esta es una ecuación diferencial con variables separables y otras soluciones son adecuadas para resolverla.
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Muestra cómo reconocer una ecuación diferencial en diferenciales totales. Se dan métodos para resolverlo. Se da un ejemplo de cómo resolver una ecuación en diferenciales totales de dos maneras.
ContenidoIntroducción
Una ecuación diferencial de primer orden en diferenciales totales es una ecuación de la forma:(1) ,
donde el lado izquierdo de la ecuación es el diferencial total de alguna función U (x,y) de las variables x, y:
.
Donde.
Si se encuentra tal función U (x,y), entonces la ecuación toma la forma:
du (x, y) = 0.
Su integral general es:
Ud. (x, y) = C,
donde C es una constante.
Si una ecuación diferencial de primer orden se escribe en términos de su derivada:
,
entonces es fácil darle forma (1)
. Para hacer esto, multiplica la ecuación por dx. Entonces . Como resultado, obtenemos una ecuación expresada en términos de diferenciales:
(1)
.
Propiedad de una ecuación diferencial en diferenciales totales
Para que la ecuación (1)
era una ecuación en diferenciales totales, es necesario y suficiente que la relación se mantenga:
(2)
.
Prueba
Suponemos además que todas las funciones utilizadas en la prueba están definidas y tienen derivadas correspondientes en algún rango de valores de las variables xey. Punto x 0 , y 0 también pertenece a esta zona.
Demostremos la necesidad de la condición (2).
Deja que el lado izquierdo de la ecuación (1)
es el diferencial de alguna función U (x,y):
.
Entonces
;
.
Dado que la segunda derivada no depende del orden de derivación, entonces
;
.
Resulta que . (2)
Condición de necesidad
probado..
Demostremos la suficiencia de la condición (2) (2)
:
(2)
.
Que se cumpla la condición (x,y) Demostremos que es posible encontrar dicha función U
.
que su diferencial es: (x,y) Esto significa que existe tal función U
(3)
;
(4)
.
, que satisface las ecuaciones: (3)
Encontremos tal función. integremos la ecuación 0
por x de x
;
;
(5)
.
a x, suponiendo que y es una constante: (2)
:
.
Derivamos con respecto a y, suponiendo que x es una constante y aplicamos (4)
La ecuacion
.
será ejecutado si 0
Integrar sobre y desde y
;
;
.
juguete: (5)
:
(6)
.
Sustituir en
.
Entonces, hemos encontrado una función cuyo diferencial
Se ha demostrado la suficiencia. (6) en la formula , Ud.(x0, y0) (x,y) es una constante: el valor de la función U 0 , y 0 en el punto x
. Se le puede asignar cualquier valor.
Cómo reconocer una ecuación diferencial en diferenciales totales
(1)
.
Considere la ecuación diferencial: (2)
:
(2)
.
Para determinar si esta ecuación está en diferenciales totales, debe verificar la condición
Si se cumple, entonces esta ecuación está en diferenciales totales. Si no, entonces esta no es una ecuación diferencial total.
Ejemplo
.
Comprueba si la ecuación está en diferenciales totales:
,
.
Aquí
.
Derivamos con respecto a y, considerando x constante:
.
Porque el:
,
entonces la ecuación dada está en diferenciales totales.
Métodos para resolver ecuaciones diferenciales en diferenciales totales.
Método de extracción diferencial secuencial.
Mayoría método sencillo resolver la ecuación en diferenciales totales es el método de selección secuencial del diferencial. Para ello utilizamos fórmulas de diferenciación escritas en forma diferencial:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
En estas fórmulas, u y v son expresiones arbitrarias formadas por cualquier combinación de variables.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación:
.
Anteriormente encontramos que esta ecuación está en diferenciales totales. Transformémoslo:
(P1) .
Resolvemos la ecuación aislando secuencialmente el diferencial.
;
;
;
;
.
juguete: (P1):
;
.
Método de integración sucesiva
En este método buscamos la función U. (x,y), satisfaciendo las ecuaciones:
(3)
;
(4)
.
integremos la ecuación (3)
en x, considerando y constante:
.
Aquí φ (y)- una función arbitraria de y que debe determinarse. Es la constante de la integración. Sustituir en la ecuación (4)
:
.
De aquí:
.
Integrando encontramos φ (y) y, por tanto, U (x,y).
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación en diferenciales totales:
.
Anteriormente encontramos que esta ecuación está en diferenciales totales. Introduzcamos la siguiente notación:
,
.
Buscando la función U (x,y), cuyo diferencial es el lado izquierdo de la ecuación:
.
Entonces:
(3)
;
(4)
.
integremos la ecuación (3)
en x, considerando y constante:
(P2)
.
Diferenciar con respecto a y:
.
sustituyamos en (4)
:
;
.
Integramos:
.
sustituyamos en (P2):
.
Integral general de la ecuación:
Ud. (x, y) = constante.
Combinamos dos constantes en una.
Método de integración a lo largo de una curva.
Función U definida por la relación:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
se puede encontrar integrando esta ecuación a lo largo de la curva que conecta los puntos , Ud. Y (x,y):
(7)
.
Porque el
(8)
,
entonces la integral depende solo de las coordenadas de la inicial , Ud. y final (x,y) puntos y no depende de la forma de la curva. De (7)
Y (8)
encontramos:
(9)
.
aquí x 0
y y 0
- permanente. Por lo tanto U , Ud.- también constante.
En la prueba se obtuvo un ejemplo de tal definición de U:
(6)
.
Aquí la integración se realiza primero a lo largo de un segmento paralelo al eje y desde el punto (x 0 , y 0 ) al punto (x 0 , y). Luego la integración se realiza a lo largo de un segmento paralelo al eje x desde el punto (x 0 , y) al punto (x,y) .
De manera más general, es necesario representar la ecuación de una curva que conecta puntos (x 0 , y 0 ) Y (x,y) en forma paramétrica:
X 1 = s(t 1); y 1 = r(t1);
X 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
e integrar sobre t 1
de t 0
a t.
La forma más sencilla de realizar la integración es mediante un segmento que conecta puntos. (x 0 , y 0 ) Y (x,y). En este caso:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0
; t = 1
;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Después de la sustitución, obtenemos la integral sobre t de 0
antes 1
.
Sin embargo, este método conduce a cálculos bastante engorrosos.
Referencias:
V.V. Stepanov, Curso de ecuaciones diferenciales, "LKI", 2015.
Diferencial llamada ecuación de la forma
PAG(x,y)dx + q(x,y)dy = 0 ,
donde el lado izquierdo es el diferencial total de cualquier función de dos variables.
Denotemos la función desconocida de dos variables (esto es lo que hay que encontrar al resolver ecuaciones en diferenciales totales) por F y volveremos a ello pronto.
Lo primero a lo que debes prestar atención es que debe haber un cero en el lado derecho de la ecuación y el signo que conecta los dos términos en el lado izquierdo debe ser un signo más.
En segundo lugar, se debe observar cierta igualdad, lo que confirma que esta ecuación diferencial es una ecuación en diferenciales totales. Este cheque es parte obligatoria algoritmo para resolver ecuaciones en diferenciales totales (está en el segundo párrafo de esta lección), por lo que el proceso de encontrar una función F bastante laborioso e importante etapa inicial asegúrese de que no perdamos el tiempo.
Entonces, la función desconocida que es necesario encontrar se denota por F. La suma de los diferenciales parciales de todas las variables independientes da el diferencial total. Por lo tanto, si la ecuación es una ecuación diferencial total, el lado izquierdo de la ecuación es la suma de las diferenciales parciales. Entonces por definición
dF = PAG(x,y)dx + q(x,y)dy .
Recordemos la fórmula para calcular el diferencial total de una función de dos variables:
Resolviendo las dos últimas igualdades, podemos escribir
.
Diferenciamos la primera igualdad con respecto a la variable "y", la segunda - con respecto a la variable "x":
.
que es una condición para que una ecuación diferencial dada sea realmente una ecuación diferencial total.
Algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales en diferenciales totales.
Paso 1. Asegúrate de que la ecuación sea una ecuación diferencial total. Para que la expresión 
era el diferencial total de alguna función F(x,y) es necesario y suficiente para que . En otras palabras, necesitas tomar la derivada parcial con respecto a X y la derivada parcial con respecto a y otro término y, si estas derivadas son iguales, entonces la ecuación es una ecuación diferencial total.
Paso 2. Escribe un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que formen la función. F:
Paso 3. Integre la primera ecuación del sistema - por X (y F:
,
y.
Una opción alternativa (si es más fácil encontrar la integral de esta manera) es integrar la segunda ecuación del sistema - por y (X permanece constante y se elimina del signo integral). De esta manera también se restablece la función. F:
,
¿Dónde se encuentra una función aún desconocida de X.
Etapa 4. El resultado del paso 3 (la integral general encontrada) se diferencia por y(alternativamente - según X) e igualar a la segunda ecuación del sistema:
,
y en una versión alternativa - a la primera ecuación del sistema:
.
De la ecuación resultante determinamos (alternativamente)
Paso 5. El resultado del paso 4 es integrar y encontrar (alternativamente, encontrar).
Paso 6. Sustituya el resultado del paso 5 en el resultado del paso 3 - en la función restaurada por integración parcial F. Constante arbitraria C a menudo se escribe después del signo igual, en el lado derecho de la ecuación. Así obtenemos una solución general de la ecuación diferencial en diferenciales totales. Como ya se mencionó, tiene la forma. F(x,y) = C.
Ejemplos de soluciones a ecuaciones diferenciales en diferenciales totales.
Ejemplo 1.
Paso 1. ecuación en diferenciales totales
X un término en el lado izquierdo de la expresión
y la derivada parcial con respecto a y otro termino
ecuación en diferenciales totales
.
Paso 2. F:
Paso 3. Por X (y permanece constante y se elimina del signo integral). Así restauramos la función. F:
¿Dónde se encuentra una función aún desconocida de y.
Etapa 4. y
.
.
Paso 5.
Paso 6. F. Constante arbitraria C
:
.
¿Qué error es más probable que ocurra aquí? Los errores más comunes son tomar una integral parcial sobre una de las variables para la integral habitual de un producto de funciones e intentar integrar por partes o una variable de reemplazo, y también tomar la derivada parcial de dos factores como la derivada de una producto de funciones y buscar la derivada usando la fórmula correspondiente.
Hay que recordar esto: al calcular una integral parcial con respecto a una de las variables, la otra es una constante y se quita del signo de la integral, y al calcular la derivada parcial con respecto a una de las variables, la otra también es una constante y la derivada de la expresión se encuentra como la derivada de la variable "actuante" multiplicada por la constante.
Entre ecuaciones en diferenciales totales No es raro encontrar ejemplos con una función exponencial. Este es el siguiente ejemplo. También destaca el hecho de que su solución utiliza una opción alternativa.
Ejemplo 2. Resolver ecuación diferencial
.
Paso 1. Asegurémonos de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales
. Para hacer esto, encontramos la derivada parcial con respecto a X un término en el lado izquierdo de la expresión 
y la derivada parcial con respecto a y otro termino
. Estas derivadas son iguales, lo que significa que la ecuación es ecuación en diferenciales totales
.
Paso 2. Escribamos un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que formen la función F:
Paso 3. Integramos la segunda ecuación del sistema - por y (X permanece constante y se elimina del signo integral). Así restauramos la función. F:
¿Dónde se encuentra una función aún desconocida de X.
Etapa 4. Diferenciamos el resultado del paso 3 (la integral general encontrada) con respecto a X
e igualar a la primera ecuación del sistema:
De la ecuación resultante determinamos:
.
Paso 5. Integramos el resultado del paso 4 y encontramos: 
.
Paso 6. Sustituimos el resultado del paso 5 en el resultado del paso 3, en la función restaurada por integración parcial. F. Constante arbitraria C escribe después del signo igual. Así obtenemos el total resolver una ecuación diferencial en diferenciales totales
:
.
En el siguiente ejemplo volvemos de opción alternativa a lo principal.
Ejemplo 3. Resolver ecuación diferencial
Paso 1. Asegurémonos de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales
. Para hacer esto, encontramos la derivada parcial con respecto a y un término en el lado izquierdo de la expresión
y la derivada parcial con respecto a X otro termino 
. Estas derivadas son iguales, lo que significa que la ecuación es ecuación en diferenciales totales
.
Paso 2. Escribamos un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que formen la función F:
Paso 3. Integramos la primera ecuación del sistema - 
Por X (y permanece constante y se elimina del signo integral). Así restauramos la función. F:
¿Dónde se encuentra una función aún desconocida de y.
Etapa 4. Diferenciamos el resultado del paso 3 (la integral general encontrada) con respecto a y
e igualar a la segunda ecuación del sistema:
De la ecuación resultante determinamos:
.
Paso 5. Integramos el resultado del paso 4 y encontramos: 
Paso 6. Sustituimos el resultado del paso 5 en el resultado del paso 3, en la función restaurada por integración parcial. F. Constante arbitraria C escribe después del signo igual. Así obtenemos el total resolver una ecuación diferencial en diferenciales totales
:
.
Ejemplo 4. Resolver ecuación diferencial
Paso 1. Asegurémonos de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales
. Para hacer esto, encontramos la derivada parcial con respecto a y un término en el lado izquierdo de la expresión
y la derivada parcial con respecto a X otro termino
. Estas derivadas son iguales, lo que significa que la ecuación es una ecuación diferencial total.
Paso 2. Escribamos un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que formen la función F:
Paso 3. Integramos la primera ecuación del sistema - 
Por X (y permanece constante y se elimina del signo integral). Así restauramos la función. F:
¿Dónde se encuentra una función aún desconocida de y.
Etapa 4. Diferenciamos el resultado del paso 3 (la integral general encontrada) con respecto a y
e igualar a la segunda ecuación del sistema:
De la ecuación resultante determinamos:
.
Paso 5. Integramos el resultado del paso 4 y encontramos: 
Paso 6. Sustituimos el resultado del paso 5 en el resultado del paso 3, en la función restaurada por integración parcial. F. Constante arbitraria C escribe después del signo igual. Así obtenemos el total resolver una ecuación diferencial en diferenciales totales
:
.
Ejemplo 5. Resolver ecuación diferencial
.
Paso 1. Asegurémonos de que la ecuación sea ecuación en diferenciales totales
. Para hacer esto, encontramos la derivada parcial con respecto a y un término en el lado izquierdo de la expresión 
y la derivada parcial con respecto a X otro termino 
. Estas derivadas son iguales, lo que significa que la ecuación es ecuación en diferenciales totales
.
Puede suceder que el lado izquierdo de la ecuación diferencial
es el diferencial total de alguna función:
y por tanto, la ecuación (7) toma la forma .
Si la función es una solución de la ecuación (7), entonces y, por lo tanto,
donde es una constante, y viceversa, si alguna función convierte la ecuación finita (8) en una identidad, entonces, derivando la identidad resultante, obtenemos , y por tanto, , donde es una constante arbitraria, es la integral general del original ecuación.
Si se dan valores iniciales, entonces la constante se determina a partir de (8) y
es la integral parcial deseada. Si está en el punto , entonces la ecuación (9) se define como una función implícita de .
Para que el lado izquierdo de la ecuación (7) sea un diferencial completo de alguna función, es necesario y suficiente que
Si se cumple esta condición especificada por Euler, entonces la ecuación (7) se puede integrar fácilmente. En realidad, . Por otro lado, . Por eso,
Al calcular la integral, la cantidad se considera como una constante, por lo tanto es una función arbitraria de . Para determinar la función, diferenciamos la función encontrada con respecto a y, ya que , obtenemos
A partir de esta ecuación determinamos y, integrando, encontramos .
Como sabes por el curso. Análisis matemático, aún más simple, puedes definir una función por su diferencial total, tomando la integral curvilínea de entre algún punto fijo y un punto con coordenadas variables a lo largo de cualquier camino:
La mayoría de las veces, como camino de integración, es conveniente tomar una línea discontinua compuesta por dos enlaces paralelos a los ejes de coordenadas; en este caso
Ejemplo. .
El lado izquierdo de la ecuación es el diferencial total de alguna función, ya que
Por tanto, la integral general tiene la forma
Se puede utilizar otro método para definir una función:
Detrás punto de partida Elegimos, por ejemplo, el origen de las coordenadas, como ruta de integración: una línea discontinua. Entonces
y la integral general tiene la forma
Lo cual coincide con el resultado anterior, dando lugar a un denominador común.
En algunos casos, cuando el lado izquierdo de la ecuación (7) no es un diferencial completo, es fácil seleccionar una función, después de multiplicar por la cual el lado izquierdo de la ecuación (7) se convierte en un diferencial completo. Esta función se llama factor integrante. Tenga en cuenta que la multiplicación por un factor integrante puede dar lugar a la aparición de soluciones parciales innecesarias que convierten este factor a cero.
Ejemplo. .
Obviamente, después de la multiplicación por un factor, el lado izquierdo se convierte en un diferencial total. De hecho, después de multiplicar por obtenemos
o, integrando, . Multiplicando por 2 y potenciando tenemos .
Por supuesto, el factor integrador no siempre se elige tan fácilmente. En el caso general, para encontrar el factor integrante, es necesario seleccionar al menos una solución parcial de la ecuación en derivadas parciales, o en forma expandida, que no sea idénticamente cero.
que, después de dividir y transferir algunos términos a otra parte de la igualdad, se reduce a la forma
En el caso general, integrar esta ecuación diferencial parcial no es de ninguna manera una tarea más sencilla que integrar la ecuación original, pero en algunos casos seleccionar una solución particular a la ecuación (11) no es difícil.
Además, considerando que el factor integrante es función de un solo argumento (por ejemplo, es función de solo o solo , o función de solo , o solo , etc.), se puede integrar fácilmente la ecuación (11) y indicar las condiciones bajo las cuales existe un factor integrante del tipo considerado. Esto identifica clases de ecuaciones para las cuales el factor integrante se puede encontrar fácilmente.
Por ejemplo, encontremos las condiciones bajo las cuales la ecuación tiene un factor integrante que depende solo de , es decir . En este caso, la ecuación (11) se simplifica y toma la forma , de donde, considerando función continua de, obtenemos
Si es función solo de , entonces existe un factor integrante que depende solo de , y es igual a (12), en caso contrario no existe un factor integrante de la forma.
La condición para la existencia de un factor integrante que dependa únicamente de se cumple, por ejemplo, para ecuación lineal o . De hecho, y por lo tanto. Las condiciones para la existencia de factores integrantes de la forma, etc., se pueden encontrar de forma completamente similar.
Ejemplo.¿Tiene la ecuación un factor integrante de la forma ?
Denotemos. La ecuación (11) en toma la forma , de donde o
Para la existencia de un factor integrante de un tipo determinado, es necesario y, bajo el supuesto de continuidad, suficiente que sea sólo una función. En este caso, por tanto, el factor integrante existe y es igual a (13). Cuando recibimos. Multiplicando la ecuación original por , la reducimos a la forma
Integrando obtenemos , y después de la potenciación tendremos , o en coordenadas polares- familia de espirales logarítmicas.
Ejemplo. Encuentre la forma de un espejo que refleja paralelamente a una dirección dada todos los rayos que emanan de un punto dado.
Situemos el origen de coordenadas en Punto dado y dirija el eje x paralelo a la dirección especificada en las condiciones del problema. Deje que el rayo caiga sobre el espejo en el punto . Consideremos una sección del espejo por un plano que pasa por el eje de abscisas y el punto . Dibujemos una tangente a la sección de la superficie del espejo considerada en el punto . Dado que el ángulo de incidencia del haz igual al ángulo reflexión, entonces el triángulo es isósceles. Por eso,
Recibió ecuación homogénea se integra fácilmente cambiando variables, pero es aún más fácil, libre de irracionalidad en el denominador, reescribirlo en la forma . Esta ecuación tiene un factor integrante obvio , , , (familia de parábolas).
Este problema se puede resolver aún más simplemente en coordenadas y , donde , y la ecuación para la sección de las superficies requeridas toma la forma .
Es posible demostrar la existencia de un factor integrante, o lo que es lo mismo, la existencia de una solución distinta de cero de la ecuación diferencial parcial (11) en algún dominio si las funciones y tienen derivadas continuas y con respecto a al menos una de estas funciones no desaparece. Por lo tanto, el método del factor integrante puede considerarse como un método general para integrar ecuaciones de la forma; sin embargo, debido a la dificultad de encontrar el factor integrante, este método se usa con mayor frecuencia en los casos en que el factor integrante es obvio.
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