С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения
Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.
1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0) и прямая L :
Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:
- построить прямую L 1 , проходящую через точку M 0 и перпендикулярную прямой L ,
- найти пересечение прямых L и L 1 (точка M 1)
Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0) имеет следующий вид:
Откроем скобки
 | (5) |
Подставим значения x и y в (4):
где x 1 =mt" +x" , y 1 =pt" +y" .
Пример 1. Найти проекцию точки M 0 (1, 3) на прямую
Т.е. m =4, p =5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M" (x" , y" )=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x" =2, y" =-3. Подставим значения m, p, x 0 , y 0 , x", y" в (5"):
2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и прямая L :
Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:
- построить плоскость α , проходящую через точку M 0 и перпендикулярную прямой L ,
- найти пересечение плоскости α и прямой L (точка M 1)
Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) имеет следующий вид:
Откроем скобки
| (10) |
Подставим значения x и y в (9):
| m (mt +x" )+p (pt +y" )+l (lt +z" )−m x 0 −p y 0 −l z 0 =0 |
| m 2 t +mx" +p 2 t +py" +l 2 t +ly" −m x 0 −p y 0 −l z 0 =0 |
В этой статье сначала дано определение проекции точки на прямую (на ось) и приведен поясняющий рисунок. Далее разобран способ нахождения координат проекции точки на прямую во введенной прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве, показаны решения примеров с подробными пояснениями.
Навигация по странице.
Проекция точки на прямую – определение.
Так как все геометрические фигуры состоят из точек, а проекция фигуры представляет собой множество проекций всех точек этой фигуры, то для проецирования фигуры на прямую необходимо уметь проецировать точки этой фигуры на данную прямую.
Так что же называют проекцией точки на прямую?
Определение.
Проекция точки на прямую – это либо сама точка, если она лежит на данной прямой, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.
На приведенном ниже рисунке точка H 1 является проекцией точки M 1 на прямую a , а точка M 2 есть проекция самой точки М 2 на прямую a , так как М 2 лежит на прямой a .
Это определение проекции точки на прямую справедливо как для случая на плоскости, так и для случая в трехмерном пространстве.
На плоскости, чтобы построить проекцию точки М 1 на прямую a нужно провести прямую b , которая проходит через точку М 1 и перпендикулярна прямой a . Тогда точка пересечения прямых a и b является проекцией точки М 1 на прямую a .
В трехмерном пространстве проекцией точки М 1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости , проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .
Нахождение координат проекции точки на прямую – теория и примеры.
Начнем с нахождения координат проекции точки на прямую, когда проецируемая точка и прямая заданы в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости. После этого покажем, как находятся координаты проекции точки на прямую в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.
Координаты проекции точки на прямую на плоскости.
Пусть на плоскости зафиксирована Oxy , задана точка , прямая a и требуется определить координаты проекции точки М 1 на прямую a .
Решим эту задачу.
Проведем через точку М 1 прямую b , перпендикулярную прямой a , и обозначим точку пересечения прямых a и b как H 1 . Тогда H 1 – проекция точки М 1 на прямую a .
Из проведенного построения логически следует алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a :
Разберемся с нахождением координат проекции точки на прямую при решении примера.
Пример.
На плоскости относительно прямоугольной системы координат Oxy
заданы точка и прямая a
, которой соответствует общее уравнение прямой вида 
Решение.
Уравнение прямой a нам известно из условия, так что можно переходить ко второму шагу алгоритма.
Получим уравнение прямой b
, которая проходит через точку М 1
и перпендикулярна прямой a
. Для этого нам потребуются координаты направляющего вектора прямой b
.Так как прямая b
перпендикулярна прямой a
, то нормальный вектор прямой a
является направляющим вектором прямой b
. Очевидно, нормальным вектором прямой является вектор с координатами , следовательно, направляющим вектором прямой b
является вектор . Теперь мы можем написать каноническое уравнение прямой b
, так как знаем координаты точки , через которую она проходит, и координаты ее направляющего вектора: .
Осталось найти координаты точки пересечения прямых a
и b
, которые дадут искомые координаты проекции точки М 1
на прямую a
. Для этого сначала перейдем от канонических уравнений прямой b
к ее общему уравнению: . Теперь составим систему уравнений из общих уравнений прямых a
и b
, после чего найдем ее решение (при необходимости обращайтесь к статье ):
Таким образом, проекция точки на прямую имеет координаты .
Ответ:
Пример.
На плоскости в прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки . Найдите координаты проекции точки М 1 на прямую АВ .
Решение.
Для нахождения координат проекции точки М 1 на прямую АВ будем действовать по полученному алгоритму.
Напишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Теперь можно от полученного канонического уравнения прямой АВ перейти к общему уравнению прямой АВ и продолжить решение по аналогии с предыдущим примером. Но давайте рассмотрим другой способ нахождения уравнения прямой b , проходящей через точку М 1 перпендикулярно прямой АВ .
Из канонического уравнения прямой АВ
получим уравнение прямой с угловым коэффициентом : 
. Угловой коэффициент прямой АВ
равен , а угловой коэффициент прямой b
, которая перпендикулярна прямой АВ
, равен (смотрите условие перпендикулярности прямых). Тогда уравнение прямой b
, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , имеет вид .
Чтобы определить координаты проекции точки на прямую АВ
осталось решить систему уравнений 
:
Ответ:
Давайте еще отдельно остановимся на нахождении координат проекции точки на координатные прямые Ox и Oy , а также на прямые, им параллельные.
Очевидно, что проекцией точки на координатную прямую Ox , которой соответствует неполное общее уравнение прямой вида , является точка с координатами . Аналогично, проекция точки на координатную прямую Oy имеет координаты .
Любая прямая, параллельная оси абсцисс, может быть задана неполным общим уравнением вида 
, а прямая, параллельная оси ординат, - уравнением вида 
. Проекциями точки на прямые и являются точки с координатами и соответственно.
Пример.
Какие координаты имеют проекции точки на координатную прямую Oy и на прямую .
Решение.
Проекцией точки на прямую Oy является точка с координатами .
Перепишем уравнение прямой как . Теперь хорошо видно, что проекция точки на прямую имеет координаты .
Ответ:
И .
Координаты проекции точки на прямую в трехмерном пространстве.
Теперь переходим к нахождению координат проекции точки на прямую относительно прямоугольной системы координат Oxyz , введенной в трехмерном пространстве.
Пусть в пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz
, задана точка 
, прямая a
и требуется найти координаты проекции точки М 1
на прямую a
.
Решим эту задачу.
Построим плоскость , которая проходит через точку М 1
перпендикулярно к прямой a
. Проекцией точки М 1
на прямую a
является точка пересечения прямой a
и плоскости . Таким образом, получаем алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a
:
Рассмотрим решение примера.
Пример.
В прямоугольной системе координат Oxyz
задана точка и прямая a
, причем прямую a
определяют канонические уравнения прямой в пространстве вида 
. Найдите координаты проекции точки М 1
на прямую a
.
Решение.
Для определения координат проекции точки М 1 на прямую a воспользуемся полученным алгоритмом.
Уравнения прямой a нам сразу известны из условия, так что переходим ко второму шагу.
Получим уравнение плоскости , которая перпендикулярна к прямой a
и проходит через точку . Для этого нам нужно знать координаты нормального вектора плоскости . Найдем их. Из канонических уравнений прямой a
видны координаты направляющего вектора этой прямой: . Направляющий вектор прямой a
является нормальным вектором плоскости, которая перпендикулярна к прямой a
. То есть, 
- нормальный вектор плоскости . Тогда уравнение плоскости , проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид .
Осталось найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости - они являются искомыми координатами проекции точки на прямую a . Покажем два способа их нахождения.
Первый способ.
Из канонических уравнений прямой a получим уравнения двух пересекающихся плоскостей , которые определяют прямую a:
Координаты точки пересечения прямой 
и плоскости 
мы получим, решив систему линейных уравнений вида 
. Применим (если Вам больше нравиться или какой-нибудь другой метод решения систем линейных уравнений, то применяйте его):
Таким образом, точка с координатами является проекцией точки М 1 на прямую a .
Второй способ.
Зная канонические уравнения прямой a
, легко записать ее параметрические уравнения прямой в пространстве : 
. Подставим в уравнение плоскости вида вместо x
, y
и z
их выражения через параметр:
Теперь мы можем вычислить искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости по параметрическим уравнениям прямой a при :
1-12. Проекция точки на плоскость или прямую
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты проекции Р" точки P{^PiУРЧzp) па плоскость Ах + By -\- Cz-\- D = О,
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Проекция Р" точки Р на плоскость является ос нованием перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту плоскость.
1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п = = {А, В, С}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
X = At-\- хр, у = Bt-\-yp, Z =z Ct-\- Zp.
3. Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относи тельно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересечение прямой и плоскости.
4. Найденное значение ^о подставляем в параметрические уравне ния прямой и получаем искомые координаты точки Р".
ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди нат проекции точки на прямую.
ПРИМЕР. Найти координаты проекции Р " точки Р(1,2,-1) на плоскость Зж - 2/4-22: - 4 = 0.
1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п =
Гл. 1. Ансиитическая геометрия |
||||
= {3, -1,2}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид |
||||
У-2 _ z-hl |
||||
2. Найдем координаты ТОЧЮЙ пересечения Р" этой прямой с задан |
||||
ной плоскостью. Положим |
||||
х-~1 __ у-2 __ Z + 1 _ |
||||
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид |
||||
3. Подставляя эти выражения для х^ у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра ^, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:
3(3t + 1) - l{-t + 2) + 2{2t - 1) - 27 = О = > to = 2.
4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = 2, получаем жо = 7, уо = О, ^о = 1.
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следо вательно, проекция точки Р на плоскость имеет координаты (7,0,1).
Ответ. Проекция Р" имеет координаты (7,0,1).
У с л о в ия ЗАДАЧ. Найти координаты |
проекции точки I^ на плос- |
||||
4х + бу -f 4z - |
|||||
2х + 6у"-2г-\-11 |
|||||
4 х - 5 2 / - г - 7 |
|||||
ж-f-42/+ З2: 4-5 = 0. |
|||||
2х -h Юу + lOz - |
|||||
2х -МО2/ -f- lOz - |
|||||
Ответы. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).
1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты точки Q, симметрич
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомая точка Q лежит на прямой, перпенди кулярной данной и пересекающей ее в точке Р". Поскольку точка Р " делит отрезок PQ пополам, координаты жд, уд и ZQ ТОЧКИ Q определяются из условий
2 " ^ , УР" = |
2 ~ ^ . ^Р" = |
||||
где xp,yp,zp |
Координаты точ1си Р и xp^^ypf^zp/ - координаты |
||||
ее проекции Р" на данную прямую.
1. Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р " (см. задачу 1.12). Для этого:
а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, т.е. п = а = {l^m^n}. Получаем
1{х - Хр) + т{у - УР) -f n{z - zp) = 0;
б) найдем координаты точки пересечения Р " этой плоскости с за данной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметри ческой форме
X = Н-\- жо, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.
Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересе чение прямой и плоскости;
в) найденное значение to подставляем в параметрические уравне ния прямой и получаем искомые координаты точки Р".
2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан ной прямой, определяем из условий (1). Получаем
XQ = 2хр/ - Хр, yq = 2ур" - ур, ZQ = 22;р/ - zp.
ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди нат точки, симметричной данной, относительно плоскости.
ПРИМЕР. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, -1,2) относительно прямой
X - 1 _ у __ Z -\-1
Р ЕШЕНИЕ.
1. Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р". Для этого:
а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: n = a = {1,0,-2}. Тогда
Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, на ходим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости: to = -1;
в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = -1, получаем
жр/ = О, г/р/ = О, zpr = 1.
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следова тельно, проекция точки Р на прямую есть Р"(0,0,1).
2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан ной прямой, определяются из условий (1):
XQ = 2хр" - Хр = -2,
VQ = 2ур/ - 2/р = 1,
ZQ = 2zpf - zp = 0.
Ответ. Точка Q имеет координаты (-2,1,0).
Условия ЗАДАЧ. Найти координаты точки, симметричной точ ке Р от^носителъно заданной прямой.
X - 1 |
||||||||
