Ազատության մեկ աստիճան ունեցող համակարգի ընդհանրացված ուժ։ Անալիտիկ մեխանիկա

Եկեք համակարգ ունենանք նյութական կետեր, ստորադասվում են s պահող պարտատոմսերին, որոնց հավասարումներն ունեն վերը նշված ձևը։

Եթե ​​համակարգը ազատ լիներ, ապա նրա կետերի բոլոր դեկարտյան կոորդինատները անկախ կլինեին։ Համակարգի դիրքը նշելու համար անհրաժեշտ կլինի նշել նրա կետերի բոլոր դեկարտյան կոորդինատները։ Դեկարտյան կոորդինատների ոչ ազատ մեխանիկական համակարգում դրա կետերը պետք է բավարարեն սահմանափակման հավասարումները, ուստի դրանցից միայն կոորդինատները կլինեն անկախ:

Փոխադարձ անկախ սկալյար մեծությունների թիվը, որոնք եզակիորեն որոշում են դիրքը մեխանիկական համակարգտարածության մեջ կոչվում է համակարգի ազատության աստիճանների թիվը։

Հետևաբար, N ազատ նյութական կետերից բաղկացած մեխանիկական համակարգը ունի ազատության աստիճաններ։ N նյութական կետերի ոչ ազատ համակարգ՝ ազատության աստիճանների զսպող միացումներով։

Ոչ ազատ համակարգի դիրքը որոշելիս կարող ենք ինքնուրույն նշել միայն կոորդինատները. Մնացած s կոորդինատները որոշվում են սահմանափակման հավասարումներով: Այնուամենայնիվ, ոչ ազատ համակարգի դիրքը կարելի է ճշտել ավելի հարմար ձևով. անկախ դեկարտյան կոորդինատների փոխարեն կարելի է նշել նույն թվով այլ երկրաչափական մեծություններ, որոնց միջոցով Դեկարտյան կոորդինատները (և կախված, և անկախ) կարող են եզակի արտահայտվել: Որպես այդպիսի մեծություններ կարող են ընտրվել անկյունները, գծային հեռավորությունները, մակերեսները և այլն, որոնք կոչվում են համակարգի ընդհանրացված կոորդինատներ։ Հարմարությունն այն է, որ ընդհանրացված կոորդինատները կարող են ընտրվել՝ հաշվի առնելով պարտադրված կապերը, այսինքն. Համակարգի համար թույլատրված շարժման բնույթին համապատասխան վերադրված միացումների ամբողջ շարքով: Այս դեպքում միացումները հաշվի են առնվում ավտոմատ կերպով, և կարիք չկա լուծելու կապերի հավասարումները կախված կոորդինատների նկատմամբ։

Օրինակ 1. Ֆիզիկական ճոճանակի դիրքը, որը բաղկացած է O կետում կախված ծանր ձողից O A, ամբողջությամբ որոշվում է անկյունը դնելով (նկ. 78): Եթե ​​տրված է անկյունը, ապա տրված հեռավորությամբ գավազանի ցանկացած կետի համար կարելի է հաշվարկել նրա դեկարտյան կոորդինատները.

Օրինակ 2. Շարժվող հարթակի վրա մաթեմատիկական ճոճանակից բաղկացած մեխանիկական համակարգի համար (Նկար 79) դիրքը տարածության մեջ ամբողջությամբ որոշվում է s և (տրված) արժեքներով:

Հարթակի դիրքը որոշվում է s հեռավորությամբ, M կետային զանգվածի կոորդինատները նույնպես հեշտությամբ հաշվարկվում են.

Մեծությունները (օրինակ 1) և s (օրինակ 2) նշված համակարգերի ընդհանրացված կոորդինատներն են։ Այս հայեցակարգը կարող է տարածվել կամայական մեխանիկական համակարգի դեպքում:

Այսպիսով, մեխանիկական համակարգի ընդհանրացված կոորդինատները միմյանցից անկախ ցանկացած երկրաչափական մեծություններ են, որոնք եզակիորեն որոշում են համակարգի դիրքը տարածության մեջ։ Ընդհանրացված կոորդինատների թիվը հավասար է համակարգի ազատության աստիճանների թվին։

Անկախ նրանից երկրաչափական իմաստև, համապատասխանաբար, չափերը, ընդհանրացված կոորդինատները նշվում են միատեսակ, q տառով թվով. Այն փաստից, որ ընդհանրացված կոորդինատները եզակիորեն որոշում են մեխանիկական համակարգի դիրքը ընտրված Oxyz կոորդինատային համակարգում, հետևում է, որ կան գործառույթներ.

արտահայտելով համակարգի բոլոր կետերի դեկարտյան կոորդինատները ընդհանրացված կոորդինատների և, հավանաբար, ժամանակի t. Այս գործառույթների հատուկ տեսակը տարբեր կերպ է սահմանվում յուրաքանչյուր համակարգի համար (տես օրինակներ 1 և 2):

Եթե ​​մուտքագրեք կետերի շառավղային վեկտորները (), այդ ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել վեկտորային տեսքով

Այժմ ներկայացնենք ընդհանրացված ուժ հասկացությունը։ Եկեք ֆիքսենք համակարգը t ժամանակի կամայական պահին և ասենք դրա հնարավոր շարժումը այս դիրքից:

Արդյունքում, թող ընդհանրացված կոորդինատները ստանան հավելումներ (վարիացիաներ): Մենք կգտնենք համակարգի կետերի համապատասխան տարրական տեղաշարժերը՝ հաշվարկելով ֆունկցիաների դիֆերենցիալները ֆիքսված () ժամանակում.

Հաշվարկելով կիրառվող ուժերի հնարավոր աշխատանքը՝ մենք գտնում ենք.

Երևում է, որ հնարավոր աշխատանքն արտահայտվում է առաջին աստիճանի միատարր ֆունկցիայով (գծային ձև)՝ գործակիցներով ընդհանրացված կոորդինատների տատանումների նկատմամբ։

այսինքն. նման է

Գործակիցները կոչվում են ընդհանրացված ուժեր:

Այսպիսով, յուրաքանչյուր ընդհանրացված կոորդինատ ունի իր ընդհանրացված ուժը: Այս դեպքում ընդհանրացված կոորդինատին համապատասխանող ընդհանրացված ուժը կոչվում է այս ընդհանրացված կոորդինատի փոփոխության գործակիցը համակարգի կետերի վրա կիրառվող ուժերի հնարավոր աշխատանքի արտահայտման մեջ:

Ընդհանրացված ուժեր կարող են մուտքագրվել ուժերի առանձին խմբերի համար, օրինակ՝ ակտիվ ուժերի, կապի ռեակցիաների, պոտենցիալ ուժերի համար և այլն։ Այնուհետև ընդհանուր ընդհանրացված ուժը կարտահայտվի այս ընտրված խմբերին համապատասխանող ընդհանրացված ուժերի գումարով։ Այսպիսով, եթե ակտիվ ուժերբաժանված ակտիվ ուժերի և միացման ռեակցիաների, ապա ընդհանուր ընդհանրացված ուժերը հավասար կլինեն

որտեղ ընդհանրացված ակտիվ ուժեր են, միացումների ընդհանրացված ռեակցիաներ են։

Իդեալական կապերի ընդհանրացված ռեակցիաները միշտ հավասար են զրոյի։ Այդ իսկ պատճառով, ընդհանրացված ուժերը հաշվարկելիս կարելի է անտեսել իդեալական կապերի ռեակցիաները։

Օրինակ 3. Հաշվե՛ք ֆիզիկական ճոճանակի ընդհանրացված ուժը, որը բաղկացած է երկարությամբ և զանգվածով OA ձողից (նկ. 80):

Լուծում. Ֆիզիկական ճոճանակազատության մեկ աստիճան ունեցող համակարգ է։ Հետևաբար ճոճանակի դիրքը որոշվում է մեկ ընդհանրացված կոորդինատով, որի համար ընտրում ենք դեպի ուղղահայաց թեքության անկյունը։

Մենք պատկերում ենք ճոճանակը կամայական դիրքում և կիրառում գործող ուժեր: Ա-ի հենակետում արձագանքը պետք չէ ցույց տալ, քանի որ կախվածքը իդեալական կապ է, և դրա ներդրումը ընդհանրացված ուժին զրո է: Մենք տեղեկացնում ենք հնարավոր շարժման համակարգին՝ ճոճանակի տարրական պտույտը անկյան տակ աճող անկյան ուղղությամբ: Աշխատանքը կատարվում է միայն ճոճանակի քաշով։ Դրա կիրառման կետը (ձողի ծանրության կենտրոնը C) կնկարագրի երկարության աղեղը և կբարձրանա ուղղահայաց երկայնքով որոշակի քանակով, լրացնելով. հիմնական աշխատանք

Դիտարկենք իդեալական միացումներով մեխանիկական համակարգ: Թող լինեն համակարգի ակտիվ ուժերը։ Եկեք մեխանիկական համակարգին տանք վիրտուալ տեղաշարժ և հաշվարկենք համակարգի ուժերի տարրական աշխատանքը այս տեղաշարժի վրա.

.

Օգտագործելով հավասարությունը (17.2) մենք արտահայտում ենք տատանումները
շառավիղի վեկտոր միավորներ Մ կտատանումների միջոցով
ընդհանրացված կոորդինատներ.

հետևաբար,

. (17.6)

Փոխենք հավասարության մեջ գումարման կարգը (17.6).

. (17.7)

Արտահայտությամբ (17.7) նշենք.

. (17.8)

.

Ընդհանրացված ուժեր Ք ժ անվանել համակարգային ուժերի տարրական աշխատանքի արտահայտման ընդհանրացված կոորդինատների տատանումների գործակիցները.

Կախված ընդհանրացված կոորդինատների տատանումների չափից
ընդհանրացված ուժեր Ք ժկարող է ունենալ ուժի չափեր, մոմենտ և այլն։

Ընդհանրացված ուժերի հաշվարկման մեթոդներ

Դիտարկենք ընդհանրացված ուժերի հաշվարկման երեք եղանակ.

1. Ընդհանրացված ուժերի որոշում՝ օգտագործելով հիմնական բանաձևը(17.8)

. (17.9)

Բանաձևը (17.9) գործնականում հազվադեպ է օգտագործվում: Խնդիրները լուծելիս առավել հաճախ օգտագործվում է երկրորդ մեթոդը.

2. Ընդհանրացված կոորդինատների «սառեցման» մեթոդ:

Եկեք մեխանիկական համակարգին տանք այնպիսի վիրտուալ տեղաշարժ, որ ընդհանրացված կոորդինատների բոլոր տատանումները բացառությամբ
հավասար են զրոյի.

Եկեք հաշվարկենք այս շարժման աշխատանքը
համակարգի նկատմամբ կիրառված բոլոր ակտիվ ուժերը

.

Ըստ սահմանման՝ տատանումների բազմապատկիչ
հավասար է առաջին ընդհանրացված ուժին Ք 1 .

և սահմանել երկրորդ ընդհանրացված ուժը Ք 2, հաշվարկելով վիրտուալ աշխատանքհամակարգի բոլոր ուժերը

.

Եկեք նմանապես հաշվարկենք համակարգի մյուս բոլոր ընդհանրացված ուժերը:

3. Պոտենցիալ ուժային դաշտի դեպք.

Ենթադրենք, հայտնի է պոտենցիալ էներգիամեխանիկական համակարգ

Հետո
և ըստ բանաձևի (32.8)

Ստատիկների վիրտուալ շարժումների սկզբունքը ընդհանրացված կոորդինատներում

Ստատիկների վիրտուալ տեղաշարժերի սկզբունքի համաձայն՝ իդեալական պահող հոլոնոմիկ, անշարժ կապեր ունեցող համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայման է.

զրոյական սկզբնական արագությամբ:

Անցնելով ընդհանրացված կոորդինատներին՝ ստանում ենք

. (17.11)

Քանի որ ընդհանրացված կոորդինատների տատանումները անկախ են, արտահայտության զրոյին հավասարություն (17.11) հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ ընդհանրացված կոորդինատների տատանումների բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի.

Այսպիսով, Որպեսզի իդեալական, հոլոնոմիկ, անշարժ և զսպող միացումներով մեխանիկական համակարգը լինի հավասարակշռության մեջ, անհրաժեշտ և բավարար է, որ համակարգի բոլոր ընդհանրացված ուժերը հավասար լինեն զրոյի (համակարգի սկզբնական զրոյական արագությունների դեպքում):

Լագրանժի հավասարումներ ընդհանրացված կոորդինատներում (երկրորդ տեսակի Լագրանժի հավասարումներ)

Լագրանժի հավասարումները բխում են դինամիկայի ընդհանուր հավասարումից՝ վիրտուալ տեղաշարժերը փոխարինելով իրենց արտահայտություններով ընդհանրացված կոորդինատների տատանումների միջոցով։ Դրանք համակարգ են դիֆերենցիալ հավասարումներՄեխանիկական համակարգի շարժումը ընդհանրացված կոորդինատներով.

. (17.13)

Որտեղ
- ընդհանրացված արագություններ,

Տ  կինետիկ էներգիահամակարգը ներկայացված է որպես ընդհանրացված կոորդինատների և ընդհանրացված արագությունների ֆունկցիա

Ք ժ- ընդհանրացված ուժեր.

Համակարգի հավասարումների թիվը (17.13) որոշվում է ազատության աստիճանների քանակով և կախված չէ համակարգում ընդգրկված մարմինների քանակից։ Իդեալական կապերի դեպքում միայն ակտիվ ուժերը կմտնեն հավասարումների աջ կողմերում: Եթե ​​կապերը իդեալական չեն, ապա դրանց ռեակցիաները պետք է դասակարգվեն որպես ակտիվ ուժեր։

Մեխանիկական համակարգի վրա ազդող պոտենցիալ ուժերի դեպքում (17.13) հավասարումները ձև են ստանում.

.

Եթե ​​ներկայացնենք Lagrange ֆունկցիան Լ = Տ  Պ, այնուհետև հաշվի առնելով, որ պոտենցիալ էներգիան կախված չէ ընդհանրացված արագություններից, մենք պոտենցիալ ուժերի դեպքում ստանում ենք երկրորդ կարգի Լագրանժի հավասարումները հետևյալ ձևով.

.

Երկրորդ տեսակի Լագրանժի հավասարումներ կազմելիս անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ քայլերը.

Սահմանեք մեխանիկական համակարգի ազատության աստիճանների քանակը և ընտրեք դրա ընդհանրացված կոորդինատները:

Կազմեք համակարգի կինետիկ էներգիայի արտահայտություն և ներկայացրեք այն որպես ընդհանրացված կոորդինատների և ընդհանրացված արագությունների ֆունկցիա:

Օգտագործելով վերը նշված մեթոդները, գտեք համակարգի ընդհանրացված ակտիվ ուժերը:

Կատարեք Լագրանժի հավասարումներում անհրաժեշտ տարբերակման բոլոր գործողությունները:

Օրինակ։

Որտեղ Ջ զ պտտման առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահը զ,
- մարմնի անկյունային արագություն.

3. Սահմանենք ընդհանրացված ուժը. Եկեք մարմնին տանք վիրտուալ տեղաշարժ  և հաշվարկենք համակարգի բոլոր ակտիվ ուժերի վիրտուալ աշխատանքը.

Հետևաբար, Ք = Մ զ համակարգի ակտիվ ուժերի հիմնական մոմենտը մարմնի պտտման առանցքի նկատմամբ.

4. Կատարենք տարբերակման գործողություններ Լագրանժի հավասարման մեջ

: (17.14)

. (17.15)

Հավասարությունները (17.15) փոխարինելով (173

14) ստանում ենք մարմնի պտտման շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը

.

Եկեք գրենք համակարգի կետերի վրա գործող ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը համակարգի հնարավոր տեղաշարժի վրա.

Թող հոլոնոմական համակարգը ունենա որոշվում է ազատության աստիճանը և, հետևաբար, նրա դիրքը տարածության մեջ ընդհանրացված կոորդինատներ
.

(225) փոխարինելով (226)-ով և ըստ ինդեքսների գումարման կարգի փոփոխություն Եվ , ստանում ենք

. (226")

որտեղ է սկալյար մեծությունը

կանչեց ընդհանրացված ուժ՝ կապված ընդհանրացված կոորդինատի հետ . Օգտագործելով հայտնի արտահայտությունԵրկու վեկտորների սկալյար արտադրյալի համար հաղորդվող ուժը կարող է ներկայացվել նաև որպես

- կոորդինատային առանցքների վրա ուժի կանխատեսումներ.
– ուժի կիրառման կետի կոորդինատները.

Ընդհանրացված ուժի չափը (226")-ի համաձայն կախված է հետևյալ չափից , համընկնում է չափի հետ :

, (228)

այսինքն՝ ընդհանրացված ուժի չափը հավասար է ուժի (էներգիայի) աշխատանքի չափմանը կամ ուժի մոմենտին՝ բաժանված ընդհանրացված կոորդինատի չափման վրա, որին վերագրված է ընդհանրացված ուժը։ Այստեղից հետևում է, որ ընդհանրացված ուժը կարող է ունենալ ուժի չափ կամ ուժի պահ։

Ընդհանրացված ուժի հաշվարկ

1. Ընդհանրացված ուժը կարող է հաշվարկվել (227) բանաձևով, որը սահմանում է այն, այսինքն.

2. Ընդհանրացված ուժերը կարող են հաշվարկվել որպես տարրական աշխատանքի (226") արտահայտության մեջ ընդհանրացված կոորդինատների համապատասխան տատանումների գործակիցներ, այսինքն.

3. Ընդհանրացված ուժերի հաշվարկման ամենահարմար մեթոդը, որը ստացվում է (226 «»), այն է, եթե համակարգին տրվի այնպիսի հնարավոր շարժում, որ փոխվի միայն մեկ ընդհանրացված կոորդինատը, իսկ մյուսները չփոխվեն։ Այսպիսով, եթե
, իսկ մնացածը
, ապա (179")-ից ունենք

.

Ցուցանիշ ցույց է տալիս, որ տարրական աշխատանքների գումարը հաշվարկվում է հնարավոր տեղաշարժի վրա, որի ընթացքում փոխվում է միայն կոորդինատը (տարբերվում է) . Եթե ​​փոփոխական կոորդինատն է , Դա

. (227")

Ուժերի համակարգի հավասարակշռության պայմանները ընդհանրացված ուժերի առումով

Համակարգի հավասարակշռության պայմանները բխում են հնարավոր շարժումների սկզբունքից։ Դրանք վերաբերում են համակարգերին, որոնց համար այս սկզբունքը ճշմարիտ է. մեխանիկական համակարգի հավասարակշռության համար, որը ենթակա է հոլոնոմիկ, անշարժ, իդեալական և չազատող սահմանափակումներին, այն պահին, երբ համակարգի բոլոր կետերի արագությունները հավասար են զրոյի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ բոլոր ընդհանրացված ուժերը հավասար լինեն զրոյի.

. (228")

3.6.7. Դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը ցանկացած միացումներով համակարգի համար (համակցված դ'Ալեմբեր-Լագրանժի սկզբունքկամ մեխանիկայի ընդհանուր հավասարում):

, (229)

Որտեղ – կիրառվող ակտիվ ուժ - համակարգի րդ կետը; - կապերի ռեակցիայի ուժը;
- կետային իներցիայի ուժ; - հնարավոր շարժում.

Համակարգի հավասարակշռության դեպքում, երբ համակարգի կետերի բոլոր իներցիոն ուժերը վերանում են, այն վերածվում է հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքի։ Այն սովորաբար օգտագործվում է իդեալական միացումներով համակարգերի համար, որոնց համար պայմանը բավարարված է

Այս դեպքում (229) ընդունում է ձևերից մեկը.

,

,

. (230)

Այսպիսով, դինամիկայի ընդհանուր հավասարման համաձայն՝ իդեալական միացումներով համակարգի շարժման ցանկացած պահին բոլոր ակտիվ ուժերի և համակարգի կետերի իներցիայի ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը հավասար է զրոյի՝ համակարգի ցանկացած հնարավոր շարժման դեպքում։ կապերով.

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարմանը կարելի է տալ այլ, համարժեք ձևեր։ Ընդլայնելով վեկտորների սկալյար արտադրյալը՝ այն կարող է արտահայտվել որպես

Որտեղ
- կոորդինատներ - համակարգի րդ կետը. Հաշվի առնելով, որ իներցիայի ուժերի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա այս առանցքների վրա արագացումների պրոյեկցիաների միջոցով արտահայտվում են հարաբերություններով.

,

դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը կարող է տրվել ձևով

Այս տեսքով այն կոչվում է դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը վերլուծական ձևով.

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարումն օգտագործելիս անհրաժեշտ է կարողանալ հաշվարկել համակարգի իներցիոն ուժերի տարրական աշխատանքը հնարավոր տեղաշարժերի վրա։ Դա անելու համար կիրառեք սովորական ուժերի համար ստացված տարրական աշխատանքի համապատասխան բանաձեւերը: Դիտարկենք դրանց կիրառումը կոշտ մարմնի իներցիոն ուժերի նկատմամբ նրա շարժման առանձին դեպքերում։

Առաջ շարժման ժամանակ. Այս դեպքում մարմինն ունի ազատության երեք աստիճան և պարտադրված սահմանափակումների պատճառով կարող է կատարել միայն թարգմանական շարժում։ Մարմնի հնարավոր շարժումները, որոնք թույլ են տալիս կապեր, նույնպես թարգմանական են։

Թարգմանական շարժման ժամանակ իներցիայի ուժերը կրճատվում են մինչև արդյունքը
. Մարմնի հնարավոր փոխադրական շարժման վրա իներցիայի ուժերի տարրական աշխատանքների գումարի համար մենք ստանում ենք

Որտեղ
– զանգվածի կենտրոնի և մարմնի ցանկացած կետի հնարավոր շարժումը, քանի որ մարմնի բոլոր կետերի թարգմանական հնարավոր շարժումը նույնն է. արագացումները նույնպես նույնն են, այսինքն.
.

Երբ կոշտ մարմինը պտտվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ: Մարմինն այս դեպքում ունի ազատության մեկ աստիճան։ Այն կարող է պտտվել ֆիքսված առանցքի շուրջ
. Հնարավոր շարժումը, որը թույլատրվում է վերադրված միացումներով, նաև մարմնի պտույտն է տարրական անկյան տակ.
ֆիքսված առանցքի շուրջ:

Իներցիայի ուժերը կրճատվել են մինչև մի կետ պտտման առանցքի վրա, կրճատվում են մինչև հիմնական վեկտորը և գլխավոր կետը
. Հիմնական վեկտորըիներցիոն ուժերը կիրառվում են ֆիքսված կետի վրա, և դրա տարրական աշխատանքը հնարավոր տեղաշարժի վրա զրոյական է: Իներցիոն ուժերի հիմնական պահի համար ոչ զրոյական տարրական աշխատանքը կկատարվի միայն պտտման առանցքի վրա դրա պրոյեկցիայի միջոցով.
. Այսպիսով, դիտարկվող հնարավոր տեղաշարժի վրա իներցիայի ուժերի աշխատանքի գումարի համար ունենք

,

եթե անկյունը
զեկուցել աղեղի սլաքի ուղղությամբ անկյունային արագացում.

Հարթ շարժման մեջ. Պարտադրված կապեր ամուր, թույլ տվեք այս դեպքում միայն հարթության հնարավոր շարժումը: Ընդհանուր դեպքում, այն բաղկացած է բևեռի հետ միասին թարգմանական հնարավոր շարժումից, որի համար մենք ընտրում ենք զանգվածի կենտրոնը և պտույտ տարրական անկյան միջով։
առանցքի շուրջ
, անցնելով զանգվածի կենտրոնով և ուղղահայաց այն հարթությանը, որին զուգահեռ մարմինը կարող է կատարել հարթ շարժում։

Քանի որ կոշտ մարմնի հարթ շարժման իներցիոն ուժերը կարող են կրճատվել մինչև հիմնական վեկտորը և գլխավոր կետը
(եթե որպես կրճատման կենտրոն ընտրենք զանգվածի կենտրոնը), ապա իներցիայի ուժերի տարրական աշխատանքի գումարը հարթության վրա հնարավոր տեղաշարժը կկրճատվի մինչև իներցիայի ուժի վեկտորի տարրական աշխատանքը։
զանգվածի կենտրոնի հնարավոր շարժման և իներցիայի ուժերի հիմնական մոմենտի տարրական աշխատանքի վրա առանցքի շուրջ տարրական պտտվող շարժման վրա
, անցնելով զանգվածի կենտրոնով։ Այս դեպքում ոչ զրոյական տարրական աշխատանքը կարող է իրականացվել միայն առանցքի վրա իներցիայի ուժերի հիմնական մոմենտի պրոյեկցիայի միջոցով:
, այսինքն.
. Այսպիսով, քննարկվող գործում ունենք

եթե պտույտը տարրական անկյան տակ է
ուղիղ աղեղային սլաքով դեպի .

Իհարկե, այս ընդհանրացված ուժը հաշվարկելիս պոտենցիալ էներգիան պետք է որոշվի որպես ընդհանրացված կոորդինատների ֆունկցիա.

P = P ( ք 1 , ք 2 , ք 3 ,…,qs).

Նշումներ.

Առաջին։ Ընդհանրացված ռեակցիայի ուժերը հաշվարկելիս իդեալական կապերը հաշվի չեն առնվում։

Երկրորդ. Ընդհանրացված ուժի չափը կախված է ընդհանրացված կոորդինատի չափից։ Այսպիսով, եթե չափը [ ք] – մետր, ապա չափը

[Q]= Նմ/մ = Նյուտոն, եթե [ ք] – ռադիան, ապա [Q] = Nm; Եթե ​​[ ք] = m 2, ապա [Q] = H/m և այլն:

Օրինակ 4.Օղակը սահում է ուղղահայաց հարթության վրա ճոճվող ձողի երկայնքով: Մքաշը Ռ(նկ. 10): Ձողը համարում ենք անկշիռ։ Եկեք սահմանենք ընդհանրացված ուժեր.

Նկ.10

Լուծում.Համակարգն ունի ազատության երկու աստիճան. Մենք նշանակում ենք երկու ընդհանրացված կոորդինատներ սԵվ .

Գտնենք կոորդինատին համապատասխան ընդհանրացված ուժը ս.Այս կոորդինատին տալիս ենք ավելացում՝ կոորդինատը թողնելով անփոփոխ և հաշվարկելով միակ ակտիվ ուժի աշխատանքը։ Ռ, մենք ստանում ենք ընդհանրացված ուժ

Այնուհետև ավելացնում ենք կոորդինատը՝ ենթադրելով ս= կոնստ. Երբ ձողը պտտվում է անկյան տակ, ուժի կիրառման կետն է Ռ, մատանի Մ, կտեղափոխվի դեպի . Ընդհանրացված ուժը կլինի

Քանի որ համակարգը պահպանողական է, ընդհանրացված ուժերը կարող են հայտնաբերվել նաև պոտենցիալ էներգիայի օգտագործմամբ: Մենք ստանում ենք Եվ . Պարզվում է, որ շատ ավելի պարզ է.

Լագրանժի հավասարակշռության հավասարումներ

Ըստ սահմանման (7) ընդհանրացված ուժեր , կ = 1,2,3,…,ս, Որտեղ ս- ազատության աստիճանների քանակը.

Եթե ​​համակարգը գտնվում է հավասարակշռության մեջ, ապա ըստ հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքի (1) . Ահա միացումներով թույլատրված շարժումները, հնարավոր շարժումները։ Հետևաբար, երբ նյութական համակարգը գտնվում է հավասարակշռության մեջ, նրա բոլոր ընդհանրացված ուժերը հավասար են զրոյի.

Ք կ= 0, (կ=1,2,3,…, ս). (10)

Այս հավասարումները հավասարակշռության հավասարումներ ընդհանրացված կոորդինատներումկամ Լագրանժի հավասարակշռության հավասարումներ , թույլ տվեք ևս մեկ մեթոդ լուծել ստատիկ խնդիրները:

Եթե ​​համակարգը պահպանողական է, ապա . Սա նշանակում է, որ այն գտնվում է հավասարակշռության դիրքում։ Այսինքն, նման նյութական համակարգի հավասարակշռության դիրքում նրա պոտենցիալ էներգիան կա՛մ առավելագույնն է, կա՛մ նվազագույնը, այսինքն. П(q) ֆունկցիան ունի ծայրահեղություն:

Դա ակնհայտ է ամենապարզ օրինակի վերլուծությունից (նկ. 11): Գնդակի պոտենցիալ էներգիան դիրքում Մ 1-ն ունի նվազագույն, դիրքում Մ 2 - առավելագույնը: Կարելի է նկատել, որ դիրքում Մ 1 հավասարակշռությունը կայուն կլինի; հղի Մ 2 - անկայուն:

Նկ.11

Հավասարակշռությունը համարվում է կայուն, եթե այս դիրքում գտնվող մարմնին տրվում է ցածր արագություն կամ տեղաշարժվում է փոքր հեռավորության վրա, և այդ շեղումները ապագայում չեն ավելանում:

Կարելի է ապացուցել (Լագրանժ-Դիրիխլեի թեորեմ), որ եթե պահպանողական համակարգի հավասարակշռության դիրքում նրա պոտենցիալ էներգիան նվազագույն է, ապա այս հավասարակշռության դիրքը կայուն է։

Ազատության մեկ աստիճան ունեցող պահպանողական համակարգի համար նվազագույն պոտենցիալ էներգիայի պայմանը և, հետևաբար, հավասարակշռության դիրքի կայունությունը որոշվում է երկրորդ ածանցյալով, նրա արժեքը հավասարակշռության դիրքում,

Օրինակ 5.Միջուկ ՕԱքաշը Ռկարող է պտտվել առանցքի շուրջ ուղղահայաց հարթությունում ՄԱՍԻՆ(նկ. 12): Եկեք գտնենք և ուսումնասիրենք հավասարակշռության դիրքերի կայունությունը։

Նկ.12

Լուծում.Ձողն ունի ազատության մեկ աստիճան։ Ընդհանրացված կոորդինատ – անկյուն:

Ցածր, զրոյական դիրքի համեմատ, պոտենցիալ էներգիա P = Phկամ

Հավասարակշռության դիրքում պետք է լինի . Այսպիսով, մենք ունենք երկու հավասարակշռության դիրքեր, որոնք համապատասխանում են անկյուններին և (դիրքեր ՕԱ 1 և ՕԱ 2). Եկեք ուսումնասիրենք դրանց կայունությունը: Գտնելով երկրորդ ածանցյալը. Իհարկե, հետ, . Հավասարակշռության դիրքը կայուն է. ժամը, . Երկրորդ հավասարակշռության դիրքն անկայուն է։ Արդյունքներն ակնհայտ են.

Ընդհանրացված իներցիոն ուժեր.

Օգտագործելով նույն մեթոդը (8), որով հաշվարկվել են ընդհանրացված ուժերը Ք կ, համապատասխան գործող, ճշտված, ուժերի, որոշվում են նաև ընդհանրացված ուժերը Ս կՀամակարգի կետերի իներցիայի ուժերին համապատասխան.

Եվ, քանի որ Դա

Մի քանի մաթեմատիկական փոխակերպումներ.

Ակնհայտորեն,

Քանի որ a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), ապա

Սա նշանակում է, որ արագության մասնակի ածանցյալը նկատմամբ

Բացի այդ, վերջին տերմինում (14) կարող եք փոխել տարբերակման կարգը.

Փոխարինելով (15) և (16)-ը (14), իսկ այնուհետև (14)-ը (13), մենք ստանում ենք.

Վերջին գումարը բաժանելով երկուսի և նկատի ունենալով, որ ածանցյալների գումարը հավասար է գումարի ածանցյալին, ստանում ենք.

որտեղ է համակարգի կինետիկ էներգիան և ընդհանրացված արագությունն է:

Լագրանժի հավասարումներ.

Ըստ սահմանման (7) և (12) ընդհանրացված ուժեր

Բայց հիմնվելով ընդհանուր դինամիկայի հավասարման վրա (3), աջ մասհավասարությունը զրո է։ Եվ քանի որ ամեն ինչ ( կ = 1,2,3,…,ս) տարբերվում են զրոյից, ապա . Փոխարինելով ընդհանրացված իներցիայի ուժի արժեքը (17), մենք ստանում ենք հավասարումը

Այս հավասարումները կոչվում են շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ ընդհանրացված կոորդինատներում, երկրորդ տեսակի Լագրանժի հավասարումներ կամ պարզապես – Լագրանժի հավասարումներ.

Այս հավասարումների թիվը հավասար է նյութական համակարգի ազատության աստիճանների թվին։

Եթե ​​համակարգը պահպանողական է և շարժվում է պոտենցիալ դաշտային ուժերի ազդեցության տակ, երբ ընդհանրացված ուժերն են, ապա Լագրանժի հավասարումները կարող են կազմվել ձևով.

Որտեղ Լ = Տ– P կոչվում է Լագրանժի ֆունկցիա (ենթադրվում է, որ P պոտենցիալ էներգիան կախված չէ ընդհանրացված արագություններից):

Հաճախ նյութական համակարգերի շարժումն ուսումնասիրելիս պարզվում է, որ որոշ ընդհանրացված կոորդինատներ ք ժբացահայտորեն ներառված չեն Lagrange ֆունկցիայի մեջ (կամ մեջ Տև P). Նման կոորդինատները կոչվում են ցիկլային. Այս կոորդինատներին համապատասխանող Լագրանժի հավասարումները ստացվում են ավելի պարզ։

Նման հավասարումների առաջին ինտեգրալը կարելի է անմիջապես գտնել։ Այն կոչվում է ցիկլային ինտեգրալ.

Լագրանժի հավասարումների հետագա ուսումնասիրությունները և փոխակերպումները հատուկ բաժնի առարկա են տեսական մեխանիկա- «Անալիտիկ մեխանիկա»:

Լագրանժի հավասարումները մի շարք առավելություններ ունեն համակարգերի շարժման ուսումնասիրման այլ մեթոդների համեմատ։ Հիմնական առավելությունները՝ հավասարումներ կազմելու եղանակը բոլոր խնդիրներում նույնն է, խնդիրներ լուծելիս հաշվի չեն առնվում իդեալական միացումների ռեակցիաները։

Եվ ևս մեկ բան. այս հավասարումներով կարելի է ուսումնասիրել ոչ միայն մեխանիկական, այլև այլ ֆիզիկական համակարգեր (էլեկտրական, էլեկտրամագնիսական, օպտիկական և այլն):

Օրինակ 6.Շարունակենք ռինգի շարժման մեր ուսումնասիրությունը Մճոճվող ձողի վրա (օրինակ 4):

Ընդհանրացված կոորդինատները նշանակված են – և s (նկ. 13): Ընդհանրացված ուժերը սահմանվում են՝ և .

Նկ.13

Լուծում.Օղակի կինետիկ էներգիան Որտեղ ա և .

Մենք կազմում ենք երկու Լագրանժի հավասարումներ

ապա հավասարումները այսպիսի տեսք ունեն.

Մենք ստացել ենք երկու ոչ գծային երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնց լուծումը պահանջում է հատուկ մեթոդներ։

Օրինակ 7.Եկեք ստեղծենք ճառագայթի շարժման դիֆերենցիալ հավասարում ԱԲ, որը գլորվում է առանց գլանաձեւ մակերեսով սահելու (նկ. 14)։ Ճառագայթի երկարությունը ԱԲ = լ, քաշ - Ռ.

Հավասարակշռության դիրքում ճառագայթը հորիզոնական էր և ծանրության կենտրոն ՀԵՏայն գտնվում էր գլանի վերին կետում: Ճառագայթն ունի ազատության մեկ աստիճան: Նրա դիրքը որոշվում է ընդհանրացված կոորդինատով՝ անկյունով (նկ. 76):

Նկ.14

Լուծում.Համակարգը պահպանողական է. Հետևաբար, մենք կկազմենք Լագրանժի հավասարումը՝ օգտագործելով P=mgh պոտենցիալ էներգիան՝ հաշվարկված հորիզոնական դիրքի համեմատ: Շփման կետում կա արագությունների ակնթարթային կենտրոն և (հավասար է անկյունով շրջանաձև աղեղի երկարությանը):

Ուստի (տե՛ս նկ. 76) և.

Կինետիկ էներգիա (ճառագայթը ենթարկվում է հարթ զուգահեռ շարժման)

Մենք գտնում ենք հավասարման համար անհրաժեշտ ածանցյալները և

Եկեք հավասարություն կազմենք

կամ, վերջապես,

Ինքնաթեստի հարցեր

Ինչպե՞ս է կոչվում կաշկանդված մեխանիկական համակարգի հնարավոր շարժումը:

Ինչպե՞ս են կապված համակարգի հնարավոր և իրական շարժումները:

Ինչ կապեր են կոչվում՝ ա) ստացիոնար; բ) իդեալական.

Ձևակերպեք հնարավոր շարժումների սկզբունքը. Գրի՛ր նրա բանաձևային արտահայտությունը։

Հնարավո՞ր է վիրտուալ շարժումների սկզբունքը կիրառել ոչ իդեալական կապեր ունեցող համակարգերի վրա։

Որո՞նք են մեխանիկական համակարգի ընդհանրացված կոորդինատները:

Որքա՞ն է մեխանիկական համակարգի ազատության աստիճանների թիվը:

Ո՞ր դեպքում են համակարգի կետերի դեկարտյան կոորդինատները կախված ոչ միայն ընդհանրացված կոորդինատներից, այլև ժամանակից։

Ինչպե՞ս են կոչվում մեխանիկական համակարգի հնարավոր շարժումները:

Արդյո՞ք հնարավոր շարժումները կախված են համակարգի վրա գործող ուժերից:

Մեխանիկական համակարգի ո՞ր միացումներն են կոչվում իդեալական:

Ինչու՞ շփման միջոցով ստեղծված կապը իդեալական կապ չէ:

Ինչպե՞ս է ձևակերպվում հնարավոր շարժումների սկզբունքը։

Ի՞նչ տեսակներ կարող է ունենալ աշխատանքային հավասարումը:

Ինչու՞ է հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքը պարզեցնում հավասարակշռության պայմանների ստացումը կիրառվող ուժերի համար սեփականության համակարգեր, բաղկացած մեծ թիվհեռ.

Ինչպե՞ս են աշխատանքային հավասարումները կառուցվում ազատության մի քանի աստիճան ունեցող մեխանիկական համակարգի վրա ազդող ուժերի համար:

Ինչ հարաբերությունների մեջ է առաջ մղող ուժիսկ դիմադրության ուժը ամենապարզ մեքենաներում:

Ինչպե՞ս է այն ձևակերպվում: Ոսկե կանոնմեխանիկա?

Ինչպե՞ս են որոշվում միացումների ռեակցիաները՝ օգտագործելով հնարավոր շարժումների սկզբունքը:

Ո՞ր կապերն են կոչվում հոլոնոմիկ:

Որքա՞ն է մեխանիկական համակարգի ազատության աստիճանների թիվը:

Որո՞նք են համակարգի ընդհանրացված կոորդինատները:

Քանի՞ ընդհանրացված կոորդինատներ ունի ոչ ազատ մեխանիկական համակարգը:

Քանի՞ աստիճանի ազատություն ունի մեքենայի ղեկը:

Ի՞նչ է ընդհանրացված ուժը:

Գրե՛ք մի բանաձև, որն արտահայտում է համակարգի վրա կիրառվող բոլոր ուժերի ընդհանուր տարրական աշխատանքը ընդհանրացված կոորդինատներով:

Ինչպե՞ս է որոշվում ընդհանրացված ուժի չափը:

Ինչպե՞ս են հաշվարկվում ընդհանրացված ուժերը պահպանողական համակարգերում:

Գրի՛ր իդեալական միացումներով համակարգի դինամիկայի ընդհանուր հավասարումն արտահայտող բանաձեւերից մեկը։ Ինչ ֆիզիկական իմաստայս հավասարումը?

Ո՞րն է համակարգի նկատմամբ կիրառվող ակտիվ ուժերի ընդհանրացված ուժը:

Ո՞րն է ընդհանրացված իներցիոն ուժը:

Ձևակերպե՛ք դ'Ալամբերի սկզբունքը ընդհանրացված ուժերի մեջ.

Ո՞րն է դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը:

Ի՞նչ է կոչվում համակարգի ինչ-որ ընդհանրացված կոորդինատին համապատասխանող ընդհանրացված ուժ և ի՞նչ չափում ունի այն:

Որո՞նք են իդեալական կապերի ընդհանրացված ռեակցիաները:

Ստացե՛ք դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը ընդհանրացված ուժերի մեջ:

Ինչպիսի՞ն են մեխանիկական համակարգի նկատմամբ կիրառվող ուժերի հավասարակշռության պայմանները, որոնք ստացվում են ընդհանրացված ուժերի դինամիկայի ընդհանուր հավասարումից:

Ո՞ր բանաձևերն են արտահայտում ընդհանրացված ուժեր՝ դեկարտյան կոորդինատների ֆիքսված առանցքների վրա ուժերի նախագծման միջոցով:

Ինչպե՞ս են որոշվում ընդհանրացված ուժերը պահպանողական և ոչ պահպանողական ուժերի դեպքում։

Ո՞ր կապերն են կոչվում երկրաչափական:

Տրե՛ք հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքի վեկտորային պատկեր:

Անվանեք այն, ինչ ձեզ հարկավոր է և բավարար պայմանԻդեալական անշարժ երկրաչափական կապերով մեխանիկական համակարգի հավասարակշռությունը:

Ի՞նչ հատկություն ունի պահպանողական համակարգի ուժային ֆունկցիան հավասարակշռության վիճակում:

Գրե՛ք Լագրանժի երկրորդ տեսակի դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը:

Քանի՞ Լագրանժի երկրորդ տեսակի հավասարումներ կարելի է կառուցել սահմանափակ մեխանիկական համակարգի համար:

Արդյո՞ք մեխանիկական համակարգի Լագրանժի հավասարումների թիվը կախված է համակարգում ընդգրկված մարմինների թվից:

Ո՞րն է համակարգի կինետիկ ներուժը:

Ո՞ր մեխանիկական համակարգերի համար է գործում Լագրանժի ֆունկցիան:

Ի՞նչ արգումենտներով է մեխանիկական համակարգին պատկանող կետի արագության վեկտորի ֆունկցիան սազատության աստիճաններ?

Ո՞րն է համակարգի կետի արագության վեկտորի մասնակի ածանցյալը որոշ ընդհանրացված արագության նկատմամբ:

Ո՞ր արգումենտների ֆունկցիան է համակարգի կինետիկ էներգիան ենթակա հոլոնոմական ոչ անշարժ սահմանափակումների:

Ի՞նչ ձև ունեն Լագրանժի երկրորդ տեսակի հավասարումները: Որքա՞ն է այս հավասարումների թիվը յուրաքանչյուր մեխանիկական համակարգի համար:

Ի՞նչ ձև են ստանում երկրորդ կարգի Լագրանժի հավասարումները, երբ համակարգի վրա միաժամանակ գործում են պահպանողական և ոչ պահպանողական ուժեր։

Ո՞րն է Լագրանժի ֆունկցիան կամ կինետիկ ներուժը:

Ի՞նչ ձև ունեն երկրորդ տեսակի Լագրանժի հավասարումները պահպանողական համակարգի համար:

Նայած ինչ փոփոխականներԱրդյո՞ք պետք է արտահայտվի մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիան Լագրանժի հավասարումները կազմելիս:

Ինչպե՞ս է որոշվում առաձգական ուժերի ազդեցությամբ մեխանիկական համակարգի պոտենցիալ էներգիան:

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

Առաջադրանք 1.Օգտագործելով հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքը, որոշեք կոմպոզիտային կառույցների միացումների ռեակցիաները: Կառուցվածքային դիագրամները ներկայացված են Նկ. 15, իսկ լուծման համար անհրաժեշտ տվյալները տրված են աղյուսակում: 1. Նկարներում բոլոր չափերը մետրերով են։

Աղյուսակ 1

Ռ 1, kN Ռ 2, kN ք, կՆ/մ Մ, կՆմ Ռ 1, kN Ռ 2, kN ք, կՆ/մ Մ, կՆմ

Տարբերակ 1 Տարբերակ 2

Տարբերակ 3 Տարբերակ 4

Տարբերակ 5 Տարբերակ 6

Տարբերակ 7 Տարբերակ 8

Նկ.16 Նկ.17

Լուծում.Հեշտ է ստուգել, ​​որ այս հարցում Լագրանժի սկզբունքի կիրառման բոլոր պայմանները բավարարված են (համակարգը գտնվում է հավասարակշռության մեջ, կապերը՝ անշարժ, հոլոնոմիկ, սահմանափակող և իդեալական)։

Ազատվենք ռեակցիային համապատասխան կապից XԱ (նկ. 17): Դա անելու համար A կետում ֆիքսված ծխնիը պետք է փոխարինել, օրինակ, ձողային հենարանով, որի դեպքում համակարգը ստանում է ազատության մեկ աստիճան: Ինչպես արդեն նշվեց, համակարգի հնարավոր շարժումը որոշվում է նրա վրա դրված սահմանափակումներով և կախված չէ կիրառվող ուժերից: Հետևաբար, հնարավոր տեղաշարժերի որոշումը կինեմատիկական խնդիր է: Քանի որ այս օրինակում շրջանակը կարող է շարժվել միայն նկարի հարթության վրա, դրա հնարավոր շարժումները նույնպես հարթ են։ Հարթ շարժման ժամանակ մարմնի շարժումը կարելի է դիտարկել որպես պտույտ արագությունների ակնթարթային կենտրոնի շուրջ։ Եթե ​​արագությունների ակնթարթային կենտրոնը գտնվում է անվերջության վրա, ապա դա համապատասխանում է ակնթարթային փոխադրական շարժման դեպքին, երբ մարմնի բոլոր կետերի տեղաշարժերը նույնն են։

Արագությունների ակնթարթային կենտրոնը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ մարմնի ցանկացած երկու կետերի արագությունների ուղղությունները։ Հետևաբար, կոմպոզիտային կառուցվածքի հնարավոր տեղաշարժերը որոշելը պետք է սկսվի այն տարրի հնարավոր տեղաշարժերը գտնելուց, որոնց համար հայտնի են այդպիսի արագությունները: Այս դեպքում դուք պետք է սկսեք շրջանակից CDB, իր կետից ի վեր INանշարժ է և, հետևաբար, այս շրջանակի հնարավոր շարժումը նրա պտտումն է առանցքի շուրջ անկյան տակ, որն անցնում է առանցքի B միջով: Այժմ, իմանալով կետի հնարավոր շարժումը ՀԵՏ(այն միաժամանակ պատկանում է համակարգի երկու շրջանակներին) և կետի հնարավոր շարժումը Ա(Ա կետի հնարավոր շարժումը նրա շարժումն է առանցքի երկայնքով X), գտե՛ք շրջանակի ակնթարթային արագության կենտրոնը C 1 AES. Այսպիսով, շրջանակի հնարավոր շարժումը AESնրա պտույտն է C 1 կետի շուրջ անկյան տակ: Անկյունների միջև կապը և որոշվում է C կետի շարժման միջոցով (տես նկ. 17):

EC 1 C և BCD եռանկյունների նմանությունից ունենք

Արդյունքում մենք ստանում ենք կախվածությունը.

Հնարավոր շարժումների սկզբունքով

Եկեք հաջորդաբար հաշվարկենք այստեղ ներառված հնարավոր աշխատատեղերը.

Q=2q – արդյունք բաշխված բեռ, որի կիրառման կետը ներկայացված է Նկ. 79; նրա կատարած հնարավոր աշխատանքը հավասար է.

1. Ընդհանրացված ուժը կարող է հաշվարկվել (227) բանաձևով, որը սահմանում է այն, այսինքն.

2. Ընդհանրացված ուժերը կարող են հաշվարկվել որպես տարրական աշխատանքի (226") արտահայտության մեջ ընդհանրացված կոորդինատների համապատասխան տատանումների գործակիցներ, այսինքն.

3. Ընդհանրացված ուժերի հաշվարկման ամենահարմար մեթոդը, որը ստացվում է (226 «»), այն է, եթե համակարգին տրվի այնպիսի հնարավոր շարժում, որ փոխվի միայն մեկ ընդհանրացված կոորդինատը, իսկ մյուսները չփոխվեն։ Այսպիսով, եթե, և մնացածը , ապա (179")-ից ունենք

.

Ցուցանիշը ցույց է տալիս, որ տարրական աշխատանքների գումարը հաշվարկվում է հնարավոր տեղաշարժի վրա, որի ընթացքում փոխվում է միայն կոորդինատը (տարբերվում է)։ Եթե ​​փոփոխական կոորդինատը , ապա

. (227")

Ուժերի համակարգի հավասարակշռության պայմանները ընդհանրացված ուժերի առումով

Համակարգի հավասարակշռության պայմանները բխում են հնարավոր շարժումների սկզբունքից։ Դրանք վերաբերում են համակարգերին, որոնց համար այս սկզբունքը ճշմարիտ է. մեխանիկական համակարգի հավասարակշռության համար, որը ենթակա է հոլոնոմիկ, անշարժ, իդեալական և չազատող սահմանափակումներին, այն պահին, երբ համակարգի բոլոր կետերի արագությունները հավասար են զրոյի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ բոլոր ընդհանրացված ուժերը հավասար լինեն զրոյի.

. (228")

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը ցանկացած կապերով համակարգի համար (Դ'Ալեմբեր-Լագրանժի համակցված սկզբունքը)կամ մեխանիկայի ընդհանուր հավասարում):

, (229)

որտեղ է ակտիվ ուժը, որը կիրառվում է համակարգի րդ կետի վրա. - կապերի ռեակցիայի ուժը; - կետային իներցիայի ուժ; - հնարավոր շարժում.

Համակարգի հավասարակշռության դեպքում, երբ համակարգի կետերի բոլոր իներցիոն ուժերը վերանում են, այն վերածվում է հնարավոր տեղաշարժերի սկզբունքի։ Այն սովորաբար օգտագործվում է իդեալական միացումներով համակարգերի համար, որոնց համար պայմանը բավարարված է

Այս դեպքում (229) ընդունում է ձևերից մեկը.

,

,

. (230)

Այսպիսով, դինամիկայի ընդհանուր հավասարման համաձայն՝ իդեալական միացումներով համակարգի շարժման ցանկացած պահին բոլոր ակտիվ ուժերի և համակարգի կետերի իներցիայի ուժերի տարրական աշխատանքների գումարը հավասար է զրոյի՝ համակարգի ցանկացած հնարավոր շարժման դեպքում։ կապերով.

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարմանը կարելի է տալ այլ, համարժեք ձևեր։ Բացահայտող սկալյար արտադրանքվեկտորներ, այն կարող է արտահայտվել որպես

որտեղ են համակարգի րդ կետի կոորդինատները: Հաշվի առնելով, որ իներցիայի ուժերի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա այս առանցքների վրա արագացումների պրոյեկցիաների միջոցով արտահայտվում են հարաբերություններով.

,

դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը կարող է տրվել ձևով

Այս տեսքով այն կոչվում է դինամիկայի ընդհանուր հավասարումը վերլուծական ձևով.

Դինամիկայի ընդհանուր հավասարումն օգտագործելիս անհրաժեշտ է կարողանալ հաշվարկել համակարգի իներցիոն ուժերի տարրական աշխատանքը հնարավոր տեղաշարժերի վրա։ Դա անելու համար կիրառեք սովորական ուժերի համար ստացված տարրական աշխատանքի համապատասխան բանաձեւերը: Դիտարկենք դրանց կիրառումը կոշտ մարմնի իներցիոն ուժերի նկատմամբ նրա շարժման առանձին դեպքերում։

Առաջ շարժման ժամանակ. Այս դեպքում մարմինն ունի ազատության երեք աստիճան և պարտադրված սահմանափակումների պատճառով կարող է կատարել միայն թարգմանական շարժում։ Մարմնի հնարավոր շարժումները, որոնք թույլ են տալիս կապեր, նույնպես թարգմանական են։

Թարգմանական շարժման ժամանակ իներցիայի ուժերը կրճատվում են մինչև արդյունքը . Մարմնի հնարավոր փոխադրական շարժման վրա իներցիայի ուժերի տարրական աշխատանքների գումարի համար մենք ստանում ենք

որտեղ է զանգվածի կենտրոնի և մարմնի ցանկացած կետի հնարավոր տեղաշարժը, քանի որ մարմնի բոլոր կետերի թարգմանական հնարավոր տեղաշարժը նույնն է. արագացումները նույնպես նույնն են, այսինքն.

Երբ կոշտ մարմինը պտտվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ: Մարմինն այս դեպքում ունի ազատության մեկ աստիճան։ Այն կարող է պտտվել ֆիքսված առանցքի շուրջ: Հնարավոր շարժումը, որը թույլատրվում է վերադրված միացումներով, նույնպես մարմնի պտույտն է տարրական անկյան տակ ֆիքսված առանցքի շուրջ։

Պտտման առանցքի մի կետի իջեցված իներցիոն ուժերը կրճատվում են մինչև հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը: Իներցիոն ուժերի հիմնական վեկտորը կիրառվում է ֆիքսված կետի վրա, իսկ հնարավոր տեղաշարժի վրա դրա տարրական աշխատանքը զրոյական է։ Իներցիոն ուժերի հիմնական պահի համար ոչ զրոյական տարրական աշխատանքը կկատարվի միայն պտտման առանցքի վրա դրա պրոյեկցիայի միջոցով: Այսպիսով, դիտարկվող հնարավոր տեղաշարժի վրա իներցիայի ուժերի աշխատանքի գումարի համար ունենք

,

եթե անկյունը նշված է անկյունային արագացման աղեղային սլաքի ուղղությամբ:

Հարթ շարժման մեջ. Այս դեպքում կոշտ մարմնի վրա դրված սահմանափակումները թույլ են տալիս միայն հնարավոր հարթ շարժումը: Ընդհանուր դեպքում այն ​​բաղկացած է բևեռի հետ միասին հնարավոր փոխադրական շարժումից, որի համար մենք ընտրում ենք զանգվածի կենտրոնը, և պտույտ տարրական անկյան միջով առանցքի շուրջ, որն անցնում է զանգվածի կենտրոնով և ուղղահայաց է այն հարթությանը, որին զուգահեռ: մարմինը կարող է կատարել հարթ շարժում: