Այլ կերպ ասած, վեկտորների խմբի գծային կախվածությունը նշանակում է, որ նրանց մեջ կա վեկտոր, որը կարող է ներկայացվել այս խմբի այլ վեկտորների գծային համադրությամբ։

Ասենք։ Հետո

Հետևաբար վեկտորը xգծայինորեն կախված այս խմբի վեկտորներից:

Վեկտորներ x, y, ..., զկոչվում են գծային անկախ վեկտորներ, եթե (0) հավասարությունից բխում է, որ

α=β= ...= γ=0.

Այսինքն՝ վեկտորների խմբերը գծային անկախ են, եթե ոչ մի վեկտոր չի կարող ներկայացվել այս խմբի այլ վեկտորների գծային համադրությամբ։

Վեկտորների գծային կախվածության որոշում

Թող տրվեն n կարգի m տողային վեկտորներ.

Գաուսյան բացառություն անելով՝ մենք մատրիցը (2) նվազեցնում ենք վերին եռանկյունի ձևի։ Վերջին սյունակի տարրերը փոխվում են միայն այն դեպքում, երբ տողերը վերադասավորվում են: Մ վերացման քայլերից հետո մենք ստանում ենք.

Որտեղ ես 1 , ես 2 , ..., ես m - տողերի ինդեքսներ, որոնք ստացվում են տողերի հնարավոր փոխակերպմամբ: Հաշվի առնելով տողերի ինդեքսներից ստացված տողերը՝ մենք բացառում ենք նրանց, որոնք համապատասխանում են զրոյական տողի վեկտորին։ Մնացած տողերը կազմում են գծային անկախ վեկտորներ: Նկատի ունեցեք, որ մատրիցը (2) կազմելիս՝ փոխելով տողերի վեկտորների հաջորդականությունը, կարող եք գծային ձևով ստանալ մեկ այլ խումբ. Ոչ կախված վեկտորներ. Բայց ենթատարածությունը, որը ձևավորում են վեկտորների այս երկու խմբերը, համընկնում են։

Վեկտորների գծային կախվածություն և գծային անկախություն:
Վեկտորների հիմքը. Affine կոորդինատային համակարգ

Դահլիճում շոկոլադներով սայլ կա, և յուրաքանչյուր այցելու այսօր կստանա քաղցր զույգ՝ գծային հանրահաշիվով վերլուծական երկրաչափություն: Այս հոդվածը կանդրադառնա բարձրագույն մաթեմատիկայի միանգամից երկու բաժինների, և մենք կտեսնենք, թե ինչպես են դրանք գոյակցում մեկ փաթաթում: Ընդմիջեք, կերեք Twix: ... անիծյալ, ինչ անհեթեթություն: Չնայած, լավ, ես գոլ չեմ խփի, ի վերջո, պետք է դրական վերաբերվել սովորելուն։

Վեկտորների գծային կախվածություն, գծային վեկտորի անկախություն, վեկտորների հիմքըիսկ մյուս տերմիններն ունեն ոչ միայն երկրաչափական մեկնաբանություն, այլ, ամենից առաջ, հանրահաշվական նշանակություն։ «Վեկտոր» հասկացությունը գծային հանրահաշվի տեսանկյունից միշտ չէ, որ այն «սովորական» վեկտորն է, որը մենք կարող ենք պատկերել հարթության վրա կամ տարածության մեջ: Պետք չէ հեռուն փնտրել ապացույցների համար, փորձեք նկարել հնգչափ տարածության վեկտոր . Կամ եղանակի վեկտորը, որի համար ես հենց նոր գնացի Gismeteo՝ համապատասխանաբար ջերմաստիճան և մթնոլորտային ճնշում։ Օրինակը, իհարկե, ճիշտ չէ հատկությունների տեսանկյունից վեկտորային տարածություն, բայց, այնուամենայնիվ, ոչ ոք չի արգելում այս պարամետրերը որպես վեկտոր ձեւակերպել։ Աշնանային շունչ...

Ոչ, ես չեմ պատրաստվում ձանձրացնել ձեզ տեսությամբ, գծային վեկտորային տարածություններով, խնդիրն այն է հասկանալսահմանումներ և թեորեմներ: Նոր տերմինները (գծային կախվածություն, անկախություն, գծային համակցություն, հիմք և այլն) վերաբերում են բոլոր վեկտորներին հանրահաշվական տեսանկյունից, սակայն բերվելու են երկրաչափական օրինակներ։ Այսպիսով, ամեն ինչ պարզ է, մատչելի և պարզ: Բացի վերլուծական երկրաչափության խնդիրներից, մենք կդիտարկենք նաև մի քանիսը բնորոշ առաջադրանքներհանրահաշիվ Նյութը յուրացնելու համար խորհուրդ է տրվում ծանոթանալ դասերին Վեկտորներ կեղծամների համարԵվ Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Հարթ վեկտորների գծային կախվածություն և անկախություն:
Հարթության հիմք և աֆինային կոորդինատային համակարգ

Դիտարկենք ձեր համակարգչի գրասեղանի հարթությունը (ընդամենը սեղան, մահճակալի սեղան, հատակ, առաստաղ, ինչ ուզում եք): Առաջադրանքը բաղկացած կլինի հետևյալ գործողություններից.

1) Ընտրեք ինքնաթիռի հիմքը. Կոպիտ ասած, սեղանի սեղանն ունի երկարություն և լայնություն, ուստի ինտուիտիվ է, որ հիմքը կառուցելու համար կպահանջվի երկու վեկտոր: Մեկ վեկտորն ակնհայտորեն բավարար չէ, երեք վեկտորը շատ է:

2) Ընտրված հիմքի վրա սահմանել կոորդինատային համակարգ(կոորդինատների ցանց) սեղանի բոլոր օբյեկտներին կոորդինատներ նշանակելու համար:

Մի զարմացեք, սկզբում բացատրությունները մատների վրա կլինեն։ Ավելին, ձեր վրա: Խնդրում ենք տեղադրել ձախ ցուցամատըսեղանի եզրին, որպեսզի նա նայի մոնիտորի վրա: Սա կլինի վեկտոր: Հիմա տեղ փոքր մատը աջ ձեռք սեղանի եզրին նույն կերպ - այնպես, որ այն ուղղված լինի մոնիտորի էկրանին: Սա կլինի վեկտոր: Ժպտա, դու հիանալի տեսք ունես: Ի՞նչ կարող ենք ասել վեկտորների մասին: Տվյալների վեկտորներ համագիծ, ինչը նշանակում է գծայինարտահայտված միմյանց միջոցով.
, լավ, կամ հակառակը՝ , որտեղ ինչ-որ թիվ տարբերվում է զրոյից:

Այս գործողության նկարը կարող եք տեսնել դասարանում: Վեկտորներ կեղծամների համար, որտեղ ես բացատրեցի վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնը։

Արդյո՞ք ձեր մատները հիմք կդնեն համակարգչային սեղանի հարթության վրա: Ակնհայտորեն ոչ: Գոյություն ունեցող վեկտորները շարժվում են ետ ու առաջ միայնակուղղությունը, իսկ ինքնաթիռն ունի երկարություն և լայնություն։

Նման վեկտորները կոչվում են գծային կախված.

Հղում: «Գծային», «գծային» բառերը նշանակում են այն փաստը, որ մաթեմատիկական հավասարումների և արտահայտությունների մեջ չկան քառակուսիներ, խորանարդներ, այլ հզորություններ, լոգարիթմներ, սինուսներ և այլն: Կան միայն գծային (1-ին աստիճանի) արտահայտություններ և կախվածություններ։

Երկու հարթ վեկտոր գծային կախվածեթե և միայն եթե դրանք համակցված են.

Ձեր մատները խաչեք սեղանի վրա այնպես, որ նրանց միջև լինի 0 կամ 180 աստիճանից այլ անկյուն: Երկու հարթ վեկտորգծային Ոչկախված, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք համակցված չեն. Այսպիսով, հիմքը ստացված է. Պետք չէ ամաչել, որ հիմքը «շեղված» է տարբեր երկարությունների ոչ ուղղահայաց վեկտորներով։ Շատ շուտով մենք կտեսնենք, որ դրա կառուցման համար հարմար է ոչ միայն 90 աստիճանի անկյունը, և ոչ միայն հավասար երկարության միավոր վեկտորները

Ցանկացածհարթության վեկտոր միակ ելքըընդլայնվում է ըստ հիմքի՝
, որտեղ են իրական թվերը: Թվերը կոչվում են վեկտորի կոորդինատներըայս հիմքում։

Ասվում է նաև, որ վեկտորներկայացված է որպես գծային համադրությունհիմքի վեկտորներ. Այսինքն՝ արտահայտությունը կոչվում է վեկտորի տարրալուծումհիմքովկամ գծային համադրությունհիմքի վեկտորներ.

Օրինակ, կարող ենք ասել, որ վեկտորը քայքայված է հարթության օրթոնորմալ հիմքի երկայնքով, կամ կարող ենք ասել, որ այն ներկայացված է որպես վեկտորների գծային համակցություն։

Եկեք ձևակերպենք հիմքի սահմանումպաշտոնապես: Ինքնաթիռի հիմքըկոչվում է գծային անկախ (ոչ սյունաձև) վեկտորների զույգ, , որտեղ ցանկացածհարթ վեկտորը հիմքի վեկտորների գծային համակցություն է:

Սահմանման էական կետը վեկտորների վերցված լինելու փաստն է որոշակի կարգով. Հիմքեր - սրանք երկու բոլորովին տարբեր հիմքեր են: Ինչպես ասում են՝ ձախ ձեռքի փոքրիկ մատը չես կարող փոխարինել աջ ձեռքի փոքր մատի փոխարեն։

Մենք պարզել ենք հիմքը, բայց դա բավարար չէ կոորդինատային ցանց սահմանել և կոորդինատներ նշանակել ձեր համակարգչի սեղանի յուրաքանչյուր կետին: Ինչու դա բավարար չէ: Վեկտորները ազատ են և թափառում են ամբողջ հարթության վրա: Այսպիսով, ինչպե՞ս եք կոորդինատներ հատկացնում սեղանի այն փոքրիկ կեղտոտ կետերին, որոնք մնացել են վայրի հանգստյան օրերից հետո: Անհրաժեշտ է մեկնարկային կետ: Եվ նման ուղենիշը բոլորին ծանոթ կետ է՝ կոորդինատների ծագումը։ Եկեք հասկանանք կոորդինատային համակարգը.

Սկսեմ «դպրոցական» համակարգից։ Արդեն ներածական դասում Վեկտորներ կեղծամների համարԵս ընդգծեցի որոշ տարբերություններ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի և օրթոնորմալ հիմքի միջև: Ահա ստանդարտ նկարը.

Երբ խոսում են ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, ապա ամենից հաճախ նրանք նկատի ունեն կոորդինատների ծագումը, կոորդինատային առանցքներև սանդղակ առանցքների երկայնքով: Փորձեք որոնողական համակարգում մուտքագրել «ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ», և կտեսնեք, որ շատ աղբյուրներ ձեզ կպատմեն 5-6-րդ դասարաններից ծանոթ կոորդինատային առանցքների և հարթության վրա կետերի գծագրման մասին:

Մյուս կողմից, թվում է, թե ուղղանկյուն համակարգկոորդինատները կարող են ամբողջությամբ որոշվել օրթոնորմալ հիմունքներով: Եվ դա գրեթե ճիշտ է: Ձևակերպումը հետևյալն է.

ծագում, Եվ օրթոնորմալհիմքը դրված է Դեկարտյան ուղղանկյուն հարթության կոորդինատային համակարգ . Այսինքն՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը հաստատսահմանվում է մեկ կետով և երկու միավոր ուղղանկյուն վեկտորներով: Ահա թե ինչու դուք տեսնում եք նկարը, որը ես տվեցի վերևում. երկրաչափական խնդիրներում հաճախ (բայց ոչ միշտ) գծվում են և՛ վեկտորները, և՛ կոորդինատային առանցքները:

Կարծում եմ, բոլորը հասկանում են, որ օգտագործելով կետ (ծագում) և օրթոնորմալ հիմք ՑԱՆԿԱՑԱԾ ԿԵՏ ինքնաթիռում և ՑԱՆԿԱՑԱԾ ՎԵԿՏՈՐ ինքնաթիռումկոորդինատները կարող են նշանակվել: Պատկերավոր ասած՝ «ինքնաթիռում ամեն ինչ կարելի է համարակալել»։

Արդյո՞ք կոորդինատների վեկտորները պետք է լինեն միավոր: Ոչ, դրանք կարող են ունենալ կամայական ոչ զրոյական երկարություն: Դիտարկենք կամայական ոչ զրոյական երկարության կետ և երկու ուղղանկյուն վեկտոր.

Նման հիմքը կոչվում է ուղղանկյուն. Վեկտորներով կոորդինատների ծագումը որոշվում է կոորդինատային ցանցով, և հարթության ցանկացած կետ, ցանկացած վեկտոր ունի իր կոորդինատները տվյալ հիմքում: Օրինակ, կամ. Ակնհայտ անհարմարությունն այն է, որ կոորդինատների վեկտորները ընդհանուր առմամբունեն տարբեր երկարություններ, բացի միասնությունից: Եթե ​​երկարությունները հավասար են մեկին, ապա ստացվում է սովորական օրթոնորմալ հիմքը։

! Նշում ուղղանկյուն հիմքում, ինչպես նաև ներքևում հարթության և տարածության աֆինային հիմքերում առանցքների երկայնքով միավորներ են համարվում. ՊԱՅՄԱՆԱԿԱՆ. Օրինակ, x առանցքի երկայնքով մեկ միավորը պարունակում է 4 սմ, օրդինատների առանցքի մեկ միավորը պարունակում է 2 սմ:

Եվ երկրորդ հարցը, որին փաստացի արդեն տրվել է պատասխան, այն է, թե արդյոք հիմքի վեկտորների միջև անկյունը պետք է հավասար լինի 90 աստիճանի: Ո՛չ։ Ինչպես նշվում է սահմանման մեջ, հիմքի վեկտորները պետք է լինեն միայն ոչ գծային. Համապատասխանաբար, անկյունը կարող է լինել ամեն ինչ, բացի 0-ից և 180 աստիճանից:

Ինքնաթիռի մի կետ կանչեց ծագում, Եվ ոչ գծայինվեկտորներ, , հավաքածու աֆին հարթության կոորդինատային համակարգ :

Երբեմն նման կոորդինատային համակարգ կոչվում է թեքհամակարգ. Որպես օրինակ՝ գծանկարը ցույց է տալիս կետեր և վեկտորներ.

Ինչպես հասկանում եք, աֆինային կոորդինատային համակարգը նույնիսկ ավելի քիչ հարմար է վեկտորների և հատվածների երկարությունների բանաձևերը, որոնք մենք քննարկել ենք դասի երկրորդ մասում, դրանում չեն աշխատում. Վեկտորներ կեղծամների համար, շատ համեղ բանաձեւեր՝ կապված վեկտորների սկալյար արտադրյալ. Բայց վավեր են վեկտորներ ավելացնելու և վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնները, այս առնչությամբ հատված բաժանելու բանաձևերը, ինչպես նաև որոշ այլ տեսակի խնդիրներ, որոնք մենք շուտով կքննարկենք:

Եվ եզրակացությունն այն է, որ ամենահարմար հատուկ դեպքը աֆինային համակարգկոորդինատները դեկարտյան ուղղանկյուն համակարգ է: Դրա համար ամենից հաճախ պետք է նրան տեսնել, սիրելիս: ...Սակայն այս կյանքում ամեն ինչ հարաբերական է. կան բազմաթիվ իրավիճակներ, երբ թեք անկյունը (կամ մեկ այլ, օրինակ. բևեռային) կոորդինատային համակարգ. Եվ մարդանմաններին կարող են դուր գալ նման համակարգերը =)

Անցնենք գործնական մասին։ Այս դասի բոլոր խնդիրները վավեր են ինչպես ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի, այնպես էլ ընդհանուր աֆինական գործի համար: Այստեղ ոչ մի բարդ բան չկա.

Ինչպե՞ս որոշել հարթ վեկտորների համակցվածությունը:

Տիպիկ բան. Որպեսզի երկու հարթ վեկտոր եղել են համագիծ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրանց համապատասխան կոորդինատները լինեն համաչափԸստ էության, սա ակնհայտ հարաբերությունների կոորդինատ առ կոորդինատային մանրամասնություն է:

Օրինակ 1

ա) Ստուգեք, արդյոք վեկտորները համագիծ են .
բ) Արդյո՞ք վեկտորները հիմք են կազմում: ?

Լուծում:
ա) Եկեք պարզենք, արդյոք կա վեկտորների համար համամասնության գործակիցը, որպեսզի հավասարությունները բավարարվեն.

Ես ձեզ անպայման կպատմեմ «foppish» տեսակի հավելվածի մասին այս կանոնից, որը գործնականում բավականին լավ է աշխատում։ Գաղափարն այն է, որ անմիջապես կազմվի համամասնությունը և տեսնել, թե արդյոք դա ճիշտ է.

Վեկտորների համապատասխան կոորդինատների հարաբերություններից կազմենք համամասնություն.

Եկեք կրճատենք.
, հետևաբար, համապատասխան կոորդինատները համաչափ են, հետևաբար,

Հարաբերությունները կարող են լինել հակառակը, սա համարժեք տարբերակ է.

Ինքնաթեստավորման համար կարող եք օգտագործել այն փաստը, որ համագիծ վեկտորները գծային կերպով արտահայտված են միմյանց միջոցով: Այս դեպքում հավասարությունները տեղի են ունենում . Դրանց վավերականությունը հեշտությամբ կարելի է ստուգել վեկտորներով տարրական գործողությունների միջոցով.

բ) Երկու հարթ վեկտորներ հիմք են կազմում, եթե դրանք համագիծ չեն (գծային անկախ): Մենք ուսումնասիրում ենք վեկտորները համակողմանիության համար . Եկեք ստեղծենք համակարգ.

Առաջին հավասարումից հետևում է, որ , երկրորդ հավասարումից հետևում է, որ , ինչը նշանակում է համակարգը անհամապատասխան է(լուծումներ չկան): Այսպիսով, վեկտորների համապատասխան կոորդինատները համաչափ չեն։

ԵզրակացությունՎեկտորները գծային անկախ են և հիմք են կազմում:

Լուծման պարզեցված տարբերակը հետևյալն է.

Վեկտորների համապատասխան կոորդինատներից համամասնություն կազմենք :
, ինչը նշանակում է, որ այս վեկտորները գծային անկախ են և հիմք են կազմում։

Սովորաբար այս տարբերակը չի մերժվում վերանայողների կողմից, սակայն խնդիր է առաջանում այն ​​դեպքերում, երբ որոշ կոորդինատներ հավասար են զրոյի։ Սրա նման: . Կամ այսպես. . Կամ այսպես. . Ինչպե՞ս աշխատել այստեղ համամասնության վրա: (իրոք, դուք չեք կարող բաժանել զրոյի): Այդ իսկ պատճառով պարզեցված լուծումը ես անվանեցի «անհեթեթ»:

Պատասխան.ա), բ) ձև.

Փոքր ստեղծագործական օրինակ ձեր սեփական լուծման համար.

Օրինակ 2

Պարամետրի ինչ արժեքով են վեկտորները դրանք կլինե՞ն համագիծ:

Նմուշի լուծույթում պարամետրը հայտնաբերվում է համամասնության միջոցով:

Գոյություն ունի էլեգանտ հանրահաշվական եղանակ՝ վեկտորների համակեցությունը ստուգելու համար, եկեք համակարգենք մեր գիտելիքները և ավելացնենք այն որպես հինգերորդ կետ:

Երկու հարթ վեկտորների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են:

2) վեկտորները հիմք են կազմում.
3) վեկտորները համակողմանի չեն.

+ 5) այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը զրո չէ.

Համապատասխանաբար, Հետևյալ հակադիր պնդումները համարժեք են:
1) վեկտորները գծային կախված են.
2) վեկտորները հիմք չեն կազմում.
3) վեկտորները համակողմանի են.
4) վեկտորները կարող են գծային արտահայտվել միմյանց միջոցով.
+ 5) այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի.

Ես իսկապես, իսկապես հույս ունեմ, որ դա այս պահինդուք արդեն հասկանում եք այն բոլոր տերմիններն ու արտահայտությունները, որոնց հանդիպում եք:

Եկեք մանրամասնորեն նայենք նոր՝ հինգերորդ կետին. երկու հարթ վեկտոր համագիծ են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ տվյալ վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի:. Օգտագործման համար այս հատկանիշիԲնականաբար, դուք պետք է կարողանաք գտնել որոշիչները.

Եկեք որոշենքՕրինակ 1 երկրորդ ձևով.

ա) Հաշվենք վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը :
, ինչը նշանակում է, որ այս վեկտորները համագիծ են։

բ) Երկու հարթ վեկտորներ հիմք են կազմում, եթե դրանք համագիծ չեն (գծային անկախ): Հաշվենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը :
, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները գծային անկախ են և հիմք են կազմում։

Պատասխան.ա), բ) ձև.

Այն շատ ավելի կոմպակտ և գեղեցիկ տեսք ունի, քան համամասնություններով լուծումը:

Դիտարկված նյութի օգնությամբ հնարավոր է հաստատել ոչ միայն վեկտորների համագծայինությունը, այլև ապացուցել հատվածների և ուղիղ գծերի զուգահեռությունը։ Եկեք քննարկենք որոշակի երկրաչափական ձևերի հետ կապված մի քանի խնդիր:

Օրինակ 3

Տրված են քառանկյան գագաթները։ Ապացուցեք, որ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

ԱպացույցԽնդրի մեջ գծանկար ստեղծելու կարիք չկա, քանի որ լուծումը լինելու է զուտ վերլուծական։ Հիշենք զուգահեռագծի սահմանումը.
Զուգահեռագիծ Այն քառանկյունը, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են, կոչվում է:

Այսպիսով, անհրաժեշտ է ապացուցել.
1) հակադիր կողմերի զուգահեռություն և.
2) հակադիր կողմերի զուգահեռությունը և.

Մենք ապացուցում ենք.

1) Գտեք վեկտորները.

2) Գտեք վեկտորները.

Արդյունքը նույն վեկտորն է («ըստ դպրոցի»՝ հավասար վեկտորներ): Կոլինայնությունը միանգամայն ակնհայտ է, բայց ավելի լավ է որոշումը ֆորմալացնել հստակ, դասավորվածությամբ։ Եկեք հաշվարկենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը.
, ինչը նշանակում է, որ այս վեկտորները համագիծ են, և .

ԵզրակացությունՔառանկյան հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են, ինչը նշանակում է, որ այն ըստ սահմանման զուգահեռագիծ է: Ք.Ե.Դ.

Ավելի լավ և տարբեր թվեր.

Օրինակ 4

Տրված են քառանկյան գագաթները։ Ապացուցեք, որ քառանկյունը trapezoid է:

Ապացույցի ավելի խիստ ձևակերպման համար ավելի լավ է, իհարկե, ստանալ տրապիզոիդի սահմանումը, բայց բավական է պարզապես հիշել, թե ինչ տեսք ունի այն։

Սա խնդիր է, որը դուք կարող եք ինքնուրույն լուծել: Ամբողջական լուծում դասի վերջում.

Եվ հիմա ժամանակն է ինքնաթիռից դանդաղ շարժվել դեպի տիեզերք.

Ինչպե՞ս որոշել տիեզերական վեկտորների համակցվածությունը:

Կանոնը շատ նման է. Որպեսզի երկու տիեզերական վեկտորները համակողմանի լինեն, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրանց համապատասխան կոորդինատները լինեն համաչափ..

Օրինակ 5

Պարզեք՝ արդյոք հետևյալ տիեզերական վեկտորները համագիծ են.

Ա) ;
բ)
V)

Լուծում:
ա) Ստուգենք՝ կա՞ արդյոք համաչափության գործակից վեկտորների համապատասխան կոորդինատների համար.

Համակարգը լուծում չունի, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները համակողմանի չեն:

«Պարզեցված»-ը ձևակերպվում է համամասնությունը ստուգելով: Այս դեպքում:
– համապատասխան կոորդինատները համաչափ չեն, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները համագիծ չեն:

Պատասխան.վեկտորները համակողմանի չեն:

բ-գ) Սրանք անկախ որոշման կետեր են: Փորձեք այն երկու եղանակով.

Գոյություն ունի երրորդ կարգի որոշիչի միջոցով տարածական վեկտորները ստուգելու մեթոդ, այս մեթոդը ներկայացված է հոդվածում Վեկտորների վեկտորային արտադրյալ.

Հարթության դեպքի նման, դիտարկված գործիքները կարող են օգտագործվել տարածական հատվածների և ուղիղ գծերի զուգահեռությունը ուսումնասիրելու համար։

Բարի գալուստ երկրորդ բաժին.

Վեկտորների գծային կախվածություն և անկախություն եռաչափ տարածության մեջ:
Տարածական հիմք և աֆինային կոորդինատային համակարգ

Շատ օրինաչափություններ, որոնք մենք ուսումնասիրել ենք ինքնաթիռում, վավեր կլինեն տիեզերքի համար: Փորձեցի նվազագույնի հասցնել տեսական նշումները, քանի որ տեղեկատվության առյուծի բաժինն արդեն ծամել է։ Այնուամենայնիվ, խորհուրդ եմ տալիս ուշադիր կարդալ այն ներածական մասը, քանի որ կհայտնվեն նոր տերմիններ և հասկացություններ։

Այժմ, համակարգչային սեղանի հարթության փոխարեն, մենք ուսումնասիրում ենք եռաչափ տարածությունը: Նախ, եկեք ստեղծենք դրա հիմքը: Ինչ-որ մեկը հիմա ներսում է, ինչ-որ մեկը դրսում, բայց ամեն դեպքում մենք չենք կարող խուսափել երեք չափերից՝ լայնություն, երկարություն և բարձրություն: Հետևաբար, հիմք կառուցելու համար կպահանջվի երեք տարածական վեկտոր: Մեկ-երկու վեկտորը բավարար չէ, չորրորդն ավելորդ է։

Եվ կրկին մենք տաքանում ենք մեր մատների վրա: Խնդրում ենք ձեռքը վեր բարձրացնել և տարածել տարբեր ուղղություններով բթամատ, ցուցամատ և միջնամատ. Սրանք կլինեն վեկտորներ, նրանք նայում են տարբեր ուղղություններով, ունեն տարբեր երկարություններ և ունեն տարբեր անկյուններ միմյանց միջև: Շնորհավորում ենք, եռաչափ տարածության հիմքը պատրաստ է: Ի դեպ, ուսուցիչներին դա ցույց տալու կարիք չկա, որքան էլ մատներդ պտտես, բայց սահմանումներից փախուստ չկա =)

Հաջորդիվ, եկեք ինքներս մեզ մի կարևոր հարց տանք. արդյո՞ք ցանկացած երեք վեկտոր ստեղծում է եռաչափ տարածության հիմքը? Խնդրում ենք երեք մատները ամուր սեղմել համակարգչի սեղանի վերևի վրա: Ինչ է պատահել? Երեք վեկտորներ գտնվում են նույն հարթության վրա, և, կոպիտ ասած, կորցրել ենք չափերից մեկը՝ բարձրությունը։ Նման վեկտորներն են համակողմանիև միանգամայն ակնհայտ է, որ եռաչափ տարածության հիմքը ստեղծված չէ։

Հարկ է նշել, որ համակողմանի վեկտորները պարտադիր չէ, որ պառկեն նույն հարթության վրա, դրանք կարող են լինել զուգահեռ հարթություններում (պարզապես դա մի արեք ձեր մատներով, միայն Սալվադոր Դալին է դա արել =)):

ՍահմանումՎեկտորները կոչվում են համակողմանի, եթե կա հարթություն, որին զուգահեռ են։ Այստեղ տրամաբանական է ավելացնել, որ եթե նման հարթություն գոյություն չունի, ապա վեկտորները չեն լինի համահավասար։

Երեք համակողմանի վեկտորներ միշտ գծային կախված են, այսինքն՝ գծային կերպով արտահայտվում են միմյանց միջոցով։ Պարզության համար նորից պատկերացնենք, որ նրանք պառկած են նույն հարթության մեջ։ Նախ, վեկտորները ոչ միայն համահավասար են, այլ նաև կարող են լինել համագիծ, այնուհետև ցանկացած վեկտոր կարող է արտահայտվել ցանկացած վեկտորի միջոցով: Երկրորդ դեպքում, եթե, օրինակ, վեկտորները համակողմանի չեն, ապա երրորդ վեկտորը նրանց միջոցով արտահայտվում է յուրովի. (իսկ ինչու հեշտ է կռահել նախորդ բաժնի նյութերից):

Ճիշտ է նաև հակառակը. երեք ոչ համաչափ վեկտորներ միշտ գծային անկախ են, այսինքն՝ ոչ մի կերպ չեն արտահայտվում միմյանց միջոցով։ Եվ, ակնհայտ է, միայն նման վեկտորները կարող են հիմք հանդիսանալ եռաչափ տարածության համար։

Սահմանում: Եռաչափ տարածության հիմքըկոչվում է գծային անկախ (ոչ համահարթակ) վեկտորների եռակի, վերցված որոշակի հերթականությամբ, և տարածության ցանկացած վեկտոր միակ ելքըքայքայվում է տվյալ հիմքի վրա, որտեղ են վեկտորի կոորդինատները այս հիմքում

Հիշեցնեմ, որ կարող ենք ասել նաև, որ վեկտորը ներկայացված է ձևով գծային համադրությունհիմքի վեկտորներ.

Կոորդինատային համակարգի հայեցակարգը ներկայացվում է ճիշտ այնպես, ինչպես հարթության դեպքում, բավարար են մեկ կետ և ցանկացած երեք գծային անկախ վեկտոր.

ծագում, Եվ ոչ համաչափվեկտորներ, վերցված որոշակի հերթականությամբ, հավաքածու եռաչափ տարածության աֆինային կոորդինատային համակարգ :

Իհարկե, կոորդինատային ցանցը «թեք» է և անհարմար, բայց, այնուամենայնիվ, կառուցված կոորդինատային համակարգը մեզ թույլ է տալիս. հաստատորոշել ցանկացած վեկտորի կոորդինատները և տարածության ցանկացած կետի կոորդինատները: Ինքնաթիռի նման, որոշ բանաձևեր, որոնք ես արդեն նշեցի, չեն աշխատի տարածության աֆինային կոորդինատային համակարգում:

Աֆինային կոորդինատային համակարգի առավել ծանոթ և հարմար հատուկ դեպքը, ինչպես բոլորը կռահում են, այն է ուղղանկյուն տիեզերական կոորդինատային համակարգ:

Տիեզերքում մի կետ կոչվում է ծագում, Եվ օրթոնորմալհիմքը դրված է Դեկարտյան ուղղանկյուն տիեզերական կոորդինատային համակարգ . Ծանոթ նկար.

Նախքան գործնական առաջադրանքներին անցնելը, եկեք նորից համակարգենք տեղեկատվությունը.

Տիեզերական երեք վեկտորների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են:
1) վեկտորները գծային անկախ են.
2) վեկտորները հիմք են կազմում.
3) վեկտորները հավասարաչափ չեն.
4) վեկտորները չեն կարող գծային արտահայտվել միմյանց միջոցով.
5) այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը տարբերվում է զրոյից:

Հակառակ հայտարարությունները, կարծում եմ, հասկանալի են։

Տիեզերական վեկտորների գծային կախվածությունը/անկախությունը ավանդաբար ստուգվում է որոշիչի միջոցով (կետ 5): Մնացած գործնական առաջադրանքները կլինեն ընդգծված հանրահաշվական բնույթի։ Ժամանակն է կախել երկրաչափական փայտիկը և օգտագործել գծային հանրահաշվի բեյսբոլի մահակը.

Տիեզերքի երեք վեկտորհավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ տվյալ վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի. .

Ես կցանկանայի ձեր ուշադրությունը հրավիրել մի փոքր տեխնիկական նրբերանգի վրա. վեկտորների կոորդինատները կարելի է գրել ոչ միայն սյունակներում, այլև տողերում (որոշիչի արժեքը դրանից չի փոխվի. տե՛ս որոշիչների հատկությունները): Բայց սյունակներում շատ ավելի լավ է, քանի որ ավելի ձեռնտու է որոշ գործնական խնդիրներ լուծելու համար։

Այն ընթերցողների համար, ովքեր մի փոքր մոռացել են որոշիչները հաշվարկելու մեթոդները, կամ գուցե ընդհանրապես քիչ են հասկանում դրանք, ես խորհուրդ եմ տալիս իմ ամենահին դասերից մեկը. Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Օրինակ 6

Ստուգեք՝ արդյոք հետևյալ վեկտորները կազմում են եռաչափ տարածության հիմքը.

ԼուծումՓաստորեն, ամբողջ լուծումը հանգում է որոշիչի հաշվարկին:

ա) Հաշվենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը (որոշիչը բացահայտվում է առաջին տողում).

, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները գծային անկախ են (ոչ համահունչ) և կազմում են եռաչափ տարածության հիմքը։

ՊատասխանելԱյս վեկտորները հիմք են կազմում

բ) Սա անկախ որոշման կետ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Կան նաև ստեղծագործական առաջադրանքներ.

Օրինակ 7

Պարամետրի ո՞ր արժեքով վեկտորները կլինեն համահավասար:

ԼուծումՎեկտորները համահավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի.

Ըստ էության, դուք պետք է լուծեք հավասարումը որոշիչով: Մենք ցատկում ենք զրոների վրա, ինչպես օդապարիկները jerboas-ի վրա. ավելի լավ է բացել որոշիչը երկրորդ տողում և անմիջապես ազատվել մինուսներից.

Մենք իրականացնում ենք հետագա պարզեցումներ և հարցը հասցնում ենք ամենապարզին գծային հավասարում:

Պատասխանելժամը

Դա անելու համար հեշտ է ստուգել այստեղ, դուք պետք է փոխարինեք ստացված արժեքը սկզբնական որոշիչով և համոզվեք, որ դա , նորից բացելով։

Եզրափակելով, եկեք նայենք ևս մեկին բնորոշ առաջադրանք, որն ավելի հանրահաշվական է իր բնույթով և ավանդաբար ներառված է գծային հանրահաշվի կուրսում։ Այն այնքան տարածված է, որ այն արժանի է իր սեփական թեմային.

Ապացուցեք, որ եռաչափ տարածության հիմքը կազմում են 3 վեկտորներ
և այս հիմքում գտե՛ք 4-րդ վեկտորի կոորդինատները

Օրինակ 8

Տրված են վեկտորներ. Ցույց տվեք, որ վեկտորները հիմք են կազմում եռաչափ տարածության մեջ և գտե՛ք վեկտորի կոորդինատները այս հիմքում:

ԼուծումՆախ, եկեք զբաղվենք պայմանով: Ըստ պայմանի՝ տրվում են չորս վեկտորներ, և, ինչպես տեսնում եք, դրանք արդեն ունեն կոորդինատներ ինչ-որ հիմքով։ Թե ինչ է այս հիմքը, մեզ չի հետաքրքրում։ Եվ հետաքրքիր է հետևյալը. երեք վեկտորները կարող են նոր հիմք ստեղծել։ Եվ առաջին փուլը լիովին համընկնում է Օրինակ 6-ի լուծման հետ, անհրաժեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք վեկտորները իսկապես գծային անկախ են.

Եկեք հաշվարկենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը.

, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները գծային անկախ են և կազմում են եռաչափ տարածության հիմքը։

! Կարևոր Վեկտորային կոորդինատներ Պարտադիրգրի առնել սյունակների մեջորոշիչ, ոչ թե տողերով: Հակառակ դեպքում, հետագա լուծման ալգորիթմում շփոթություն կառաջանա։

Ներկայացված է մեր կողմից գծային գործողություններ վեկտորների վրահնարավորություն է տալիս ստեղծել տարբեր արտահայտություններ վեկտորային մեծություններև փոխակերպել դրանք՝ օգտագործելով այս գործողությունների համար սահմանված հատկությունները:

Հիմնվելով a 1, ..., a n վեկտորների տրված բազմության վրա, կարող եք ստեղծել ձևի արտահայտություն

որտեղ a 1-ը, ...-ը և n-ը կամայական իրական թվեր են: Այս արտահայտությունը կոչվում է վեկտորների գծային համակցություն a 1, ..., a n. α i, i = 1, n թվերը ներկայացնում են գծային համակցման գործակիցներ. Վեկտորների բազմությունը կոչվում է նաև վեկտորների համակարգ.

Վեկտորների գծային համակցության ներդրված հայեցակարգի հետ կապված՝ խնդիր է առաջանում նկարագրել վեկտորների մի շարք, որոնք կարելի է գրել որպես վեկտորների տվյալ համակարգի գծային համակցություն a 1, ..., a n։ Բացի այդ, կան բնական հարցեր այն պայմանների վերաբերյալ, որոնց դեպքում կա վեկտորի ներկայացում գծային համակցության տեսքով, և նման ներկայացման եզակիության մասին:

Սահմանում 2.1. a 1, ..., և n վեկտորները կոչվում են գծային կախված, եթե կա α 1 , ... , α n գործակիցների բազմություն այնպիսին, որ

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

և այդ գործակիցներից առնվազն մեկը զրոյական չէ: Եթե ​​նշված գործակիցների բազմությունը գոյություն չունի, ապա վեկտորները կոչվում են գծային անկախ.

Եթե ​​α 1 = ... = α n = 0, ապա, ակնհայտորեն, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0: Հաշվի առնելով սա, մենք կարող ենք ասել, որ վեկտորները a 1, ..., և n-ը գծային անկախ են, եթե (2.2) հավասարությունից բխում է, որ α 1 , ... , α n բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի։

Հետևյալ թեորեմը բացատրում է, թե ինչու է նոր հայեցակարգը կոչվում «կախվածություն» (կամ «անկախություն») տերմինը և ապահովում է գծային կախվածության պարզ չափանիշ։

Թեորեմ 2.1.Որպեսզի a 1, ..., և n, n > 1 վեկտորները գծային կախված լինեն, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրանցից մեկը լինի մյուսների գծային համակցությունը։

◄ Անհրաժեշտություն. Ենթադրենք, որ a 1, ..., և n վեկտորները գծային կախված են: Համաձայն գծային կախվածության 2.1 սահմանման՝ ձախ կողմում (2.2) հավասարության մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական գործակից, օրինակ α 1։ Առաջին անդամը թողնելով հավասարության ձախ կողմում, մնացածը տեղափոխում ենք աջ կողմ, փոխելով իրենց նշանները, ինչպես միշտ: Ստացված հավասարությունը α 1-ի բաժանելով՝ ստանում ենք

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

դրանք. a 1 վեկտորի ներկայացումը որպես մնացած վեկտորների գծային համակցություն a 2, ..., a n.

Համարժեքություն. Օրինակ, առաջին վեկտորը a 1 կարող է ներկայացվել որպես մնացած վեկտորների գծային համակցություն՝ a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n: Բոլոր տերմինները աջից ձախ տեղափոխելով՝ մենք ստանում ենք 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, այսինքն. a 1, ..., a n վեկտորների գծային համակցություն α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n գործակիցներով, հավասար զրոյական վեկտոր.Այս գծային համակցության մեջ ոչ բոլոր գործակիցներն են զրո: Համաձայն սահմանման 2.1-ի՝ a 1, ... և n վեկտորները գծային կախված են:

Գծային կախվածության սահմանումը և չափանիշը ձևակերպված են երկու կամ ավելի վեկտորների առկայություն ենթադրելու համար: Այնուամենայնիվ, կարելի է խոսել նաև մեկ վեկտորի գծային կախվածության մասին։ Այս հնարավորությունն իրականացնելու համար «վեկտորները գծային կախված են» փոխարեն պետք է ասել «վեկտորների համակարգը գծային կախված է»։ Հեշտ է տեսնել, որ «մեկ վեկտորի համակարգը գծային կախված է» արտահայտությունը նշանակում է, որ այս մեկ վեկտորը զրո է (գծային համակցության մեջ կա միայն մեկ գործակից, և այն չպետք է հավասար լինի զրոյի):

Գծային կախվածության հայեցակարգն ունի պարզ երկրաչափական մեկնաբանություն: Հետևյալ երեք հայտարարությունները պարզաբանում են այս մեկնաբանությունը.

Թեորեմ 2.2.Երկու վեկտորներ գծային կախված են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք համագիծ.

◄ Եթե a և b վեկտորները գծային կախված են, ապա նրանցից մեկը, օրինակ a, արտահայտվում է մյուսի միջոցով, այսինքն. a = λb որոշ իրական թվի λ. Ըստ սահմանման 1.7 աշխատանքներըվեկտորները մեկ թվի համար, a և b վեկտորները համագիծ են:

Թող a և b վեկտորները լինեն համագիծ: Եթե ​​երկուսն էլ զրո են, ապա ակնհայտ է, որ դրանք գծային կախված են, քանի որ դրանց ցանկացած գծային համակցություն հավասար է զրոյական վեկտորի։ Թող այս վեկտորներից մեկը հավասար չլինի 0-ի, օրինակ b վեկտորը: λ-ով նշանակենք վեկտորի երկարությունների հարաբերակցությունը՝ λ = |a|/|b|: Գոյություն ունեցող վեկտորները կարող են լինել միակողմանիկամ հակառակ ուղղորդված. Վերջին դեպքում փոխում ենք λ-ի նշանը։ Այնուհետև, ստուգելով սահմանումը 1.7, մենք համոզվում ենք, որ a = λb. Համաձայն թեորեմ 2.1-ի՝ a և b վեկտորները գծային կախված են:

Դիտողություն 2.1.Երկու վեկտորների դեպքում, հաշվի առնելով գծային կախվածության չափանիշը, ապացուցված թեորեմը կարող է վերաձեւակերպվել հետևյալ կերպ. երկու վեկտորները համագիծ են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ նրանցից մեկը ներկայացված է որպես մյուսի արտադրյալ թվով։ Սա հարմար չափանիշ է երկու վեկտորների համակցվածության համար։

Թեորեմ 2.3.Երեք վեկտորներ գծային կախված են, եթե և միայն եթե դրանք համակողմանի.

◄ Եթե a, b, c երեք վեկտորները գծային կախված են, ապա, ըստ Թեորեմ 2.1-ի, դրանցից մեկը, օրինակ a, մյուսների գծային համակցությունն է՝ a = βb + γc: Եկեք միավորենք b և c վեկտորների սկզբնաղբյուրները A կետում: Այնուհետև βb, γս վեկտորները կունենան ընդհանուր ծագում A կետում և երկայնքով: ըստ զուգահեռագծի կանոնի՝ դրանց գումարը կազմում էդրանք. վեկտորը կլինի A և ծագման վեկտոր վերջ, որը բաղադրիչ վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի գագաթն է։ Այսպիսով, բոլոր վեկտորները գտնվում են նույն հարթության մեջ, այսինքն՝ համահունչ:

Թող a, b, c վեկտորները լինեն համահարթակ: Եթե ​​այս վեկտորներից մեկը զրո է, ապա ակնհայտ է, որ այն կլինի մյուսների գծային համակցությունը։ Բավական է վերցնել զրոյի հավասար գծային համակցության բոլոր գործակիցները։ Հետևաբար, մենք կարող ենք ենթադրել, որ բոլոր երեք վեկտորները զրո չեն: Համատեղելի սկսվել էԱյս վեկտորների մի ընդհանուր կետում O. Թող դրանց ծայրերը լինեն համապատասխանաբար A, B, C կետերը (նկ. 2.1): C կետի միջով մենք զուգահեռ գծեր ենք քաշում O, A և O, B կետերով անցնող գծերին զուգահեռ: Նշանակելով հատման կետերը որպես A" և B", մենք ստանում ենք OA"CB" զուգահեռագիծ, հետևաբար, OC" = OA": + OB". Վեկտոր OA" և ոչ զրոյական a = OA վեկտորը համագիծ են, և, հետևաբար, դրանցից առաջինը կարելի է ստանալ՝ երկրորդը բազմապատկելով իրական թվով α:OA" = αOA: Նմանապես, OB" = βOB, β ∈ R. Արդյունքում մենք ստանում ենք, որ OC" = α OA. + βOB, այսինքն՝ c վեկտորը a և b վեկտորների գծային համակցություն է: Համաձայն 2.1 թեորեմի՝ a, b, c վեկտորները գծային կախված են:

Թեորեմ 2.4.Ցանկացած չորս վեկտոր գծային կախված է:

◄ Մենք ապացուցումն իրականացնում ենք նույն սխեմայով, ինչ թեորեմ 2.3-ում: Դիտարկենք կամայական չորս վեկտորներ a, b, c և d: Եթե ​​չորս վեկտորներից մեկը զրո է, կամ դրանց մեջ կան երկու համագիծ վեկտորներ, կամ չորս վեկտորներից երեքը համահավասար են, ապա այս չորս վեկտորները գծային կախված են։ Օրինակ, եթե a և b վեկտորները միաձույլ են, ապա մենք կարող ենք նրանց գծային համակցությունը αa + βb = 0 դարձնել ոչ զրոյական գործակիցներով, ապա ավելացնել մնացած երկու վեկտորները այս համակցությանը՝ որպես գործակից վերցնելով զրոները։ Ստանում ենք 0-ի հավասար չորս վեկտորների գծային համակցություն, որոնցում կան ոչ զրոյական գործակիցներ։

Այսպիսով, մենք կարող ենք ենթադրել, որ ընտրված չորս վեկտորների մեջ ոչ մի վեկտոր զրոյական չէ, երկուսը համակողմանի չեն և ոչ մի երեքը համահավասար չեն: Որպես ընդհանուր սկիզբ ընտրենք O կետը, ապա a, b, c, d վեկտորների ծայրերը կլինեն A, B, C, D որոշ կետեր (նկ. 2.2): D կետով գծում ենք OBC, OCA, OAB հարթություններին զուգահեռ երեք հարթություն և թող A", B", C" այս հարթությունների հատման կետերը լինեն համապատասխանաբար OA, OB, OS ուղիղ գծերի հետ: Ստանում ենք. զուգահեռական OA" C "B" C" B"DA", իսկ a, b, c վեկտորները ընկած են O գագաթից դուրս եկող նրա եզրերի վրա: Քանի որ OC"DC" քառանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա OD = OC" + OC «Իր հերթին, OC հատվածը OA"C"B զուգահեռագիծ է, ուստի OC" = OA" + OB" և OD = OA" + OB" + OC" .

Մնում է նշել, որ OA ≠ 0 և OA" , OB ≠ 0 և OB" , OC ≠ 0 և OC" վեկտորների զույգերը համագիծ են, և, հետևաբար, հնարավոր է ընտրել α, β, γ գործակիցները, որպեսզի. OA" = αOA , OB" = βOB և OC" = γOC: Մենք վերջապես ստանում ենք OD = αOA + βOB + γOC: Հետևաբար, OD վեկտորն արտահայտվում է մյուս երեք վեկտորների միջոցով, և բոլոր չորս վեկտորները, համաձայն Թեորեմ 2.1-ի, գծային կախված են:

Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք.

• ինչ են համակողմանի վեկտորները;
• որո՞նք են վեկտորների համակողմանիության պայմանները.
• ինչ հատկություններ կան համակողմանի վեկտորների;
• որքա՞ն է համագիծ վեկտորների գծային կախվածությունը:

Սահմանում 1

Գոյություն ունեցող վեկտորները վեկտորներ են, որոնք զուգահեռ են մեկ ուղղի կամ ընկած են մեկ գծի վրա:

Օրինակ 1

Վեկտորների համակողմանիության պայմանները

Երկու վեկտորները համագիծ են, եթե հետևյալ պայմաններից որևէ մեկը ճշմարիտ է.

• պայման 1 . a և b վեկտորները համագիծ են, եթե կա λ այնպիսի թիվ, որ a = λ b;
• պայման 2 . a և b վեկտորները համագիծ են՝ հավասար կոորդինատային հարաբերություններով.

a = (a 1 ; a 2), b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• պայման 3 . a և b վեկտորները համագիծ են, պայմանով, որ խաչաձև արտադրյալը և զրոյական վեկտորը հավասար են.

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Ծանոթագրություն 1

Վիճակ 2 կիրառելի չէ, եթե վեկտորի կոորդինատներից մեկը զրո է:

Ծանոթագրություն 2

Վիճակ 3 կիրառվում է միայն այն վեկտորների համար, որոնք նշված են տարածության մեջ:

Վեկտորների համակողմանիությունը ուսումնասիրելու խնդիրների օրինակներ

Օրինակ 1

Մենք ուսումնասիրում ենք a = (1; 3) և b = (2; 1) վեկտորները համակողմանիության համար:

Ինչպե՞ս լուծել:

Այս դեպքում անհրաժեշտ է օգտագործել 2-րդ collinearity պայմանը։ Տրված վեկտորների համար այն ունի հետևյալ տեսքը.

Հավասարությունը կեղծ է. Սրանից կարելի է եզրակացնել, որ a և b վեկտորները ոչ սույնագիծ են:

Պատասխանել : ա | | բ

Օրինակ 2

a = (1; 2) և b = (- 1; m) վեկտորի m ո՞ր արժեքն է անհրաժեշտ, որպեսզի վեկտորները լինեն համագիծ:

Ինչպե՞ս լուծել:

Օգտագործելով երկրորդ համակեցության պայմանը, վեկտորները կլինեն համագիծ, եթե դրանց կոորդինատները համաչափ են.

Սա ցույց է տալիս, որ m = - 2:

Պատասխան. մ = - 2:

Վեկտորային համակարգերի գծային կախվածության և գծային անկախության չափանիշներ

Թեորեմ

Վեկտորային տարածության վեկտորների համակարգը գծային կախված է միայն այն դեպքում, եթե համակարգի վեկտորներից մեկը կարող է արտահայտվել այս համակարգի մնացած վեկտորներով:

Ապացույց

Թող համակարգը e 1 , e 2 , . . . , e n-ը գծային կախված է: Եկեք գրենք այս համակարգի գծային համակցությունը, որը հավասար է զրոյական վեկտորին.

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

որոնցում համակցման գործակիցներից առնվազն մեկը հավասար չէ զրոյի.

Թողեք a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, . . . , n.

Մենք հավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք ոչ զրոյական գործակցի.

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Նշենք.

A k - 1 a m , որտեղ m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Այս դեպքում:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

կամ e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Սրանից հետևում է, որ համակարգի վեկտորներից մեկն արտահայտվում է համակարգի մյուս բոլոր վեկտորների միջոցով։ Ինչը պետք էր ապացուցել (և այլն):

Համարժեքություն

Թող վեկտորներից մեկը գծային կերպով արտահայտվի համակարգի բոլոր մյուս վեկտորների միջոցով.

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Մենք e k վեկտորը տեղափոխում ենք այս հավասարության աջ կողմ.

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Քանի որ e k վեկտորի գործակիցը հավասար է - 1 ≠ 0-ի, մենք e 1, e 2, վեկտորների համակարգով ստանում ենք զրոյի ոչ տրիվիալ ներկայացում: . . , e n , իսկ սա իր հերթին նշանակում է, որ այս համակարգըվեկտորները գծային կախված են: Ինչը պետք էր ապացուցել (և այլն):

Հետևանք.

• Վեկտորների համակարգը գծայինորեն անկախ է, երբ նրա վեկտորներից ոչ մեկը չի կարող արտահայտվել համակարգի բոլոր մյուս վեկտորներով:
• Վեկտորների համակարգը, որը պարունակում է զրոյական վեկտոր կամ երկու հավասար վեկտոր, գծային կախվածություն ունի:

Գծային կախված վեկտորների հատկությունները

1. 2 և եռաչափ վեկտորների համար բավարար է հետևյալ պայմանը՝ երկու գծային կախված վեկտորները համագիծ են։ Երկու համագիծ վեկտորները գծային կախված են:
2. Եռաչափ վեկտորների համար բավարարվում է հետևյալ պայմանը՝ երեք գծային կախված վեկտորները համահարթակ են։ (3 համահարթակ վեկտորները գծային կախված են):
3. n-չափ վեկտորների համար բավարարվում է հետևյալ պայմանը՝ n + 1 վեկտորները միշտ գծային կախված են։

Վեկտորների գծային կախվածություն կամ գծային անկախություն պարունակող խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ 3

Ստուգենք վեկտորները a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 գծային անկախության համար:

Լուծում. Վեկտորները գծային կախված են, քանի որ վեկտորների չափերը փոքր են վեկտորների քանակից:

Օրինակ 4

Ստուգենք վեկտորները a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 գծային անկախության համար:

Լուծում. Մենք գտնում ենք այն գործակիցների արժեքները, որոնց դեպքում գծային համակցությունը հավասար կլինի զրոյական վեկտորի.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Մենք վեկտորի հավասարումը գրում ենք գծային ձևով.

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Մենք լուծում ենք այս համակարգը՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդը.

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2-րդ տողից հանում ենք 1-ին, 3-ից՝ 1-ին.

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1-ին տողից հանում ենք 2-րդը, 3-րդին ավելացնում ենք 2-րդը.

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Լուծումից հետևում է, որ համակարգն ունի բազմաթիվ լուծումներ։ Սա նշանակում է, որ գոյություն ունի այնպիսի թվերի արժեքների ոչ զրոյական համակցություն x 1, x 2, x 3, որոնց համար a, b, c-ի գծային համակցությունը հավասար է զրոյական վեկտորի: Հետևաբար, a, b, c վեկտորներն են գծային կախված. ​​​​​​​

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Թող լինի վեկտորների հավաքածու՝ ծավալային թվաբանական տարածքում .

Սահմանում 2.1.Վեկտորների հավաքածու կանչեց գծային անկախվեկտորների համակարգ, եթե հավասարությունը ձևի է

կատարվում է միայն թվային պարամետրերի զրոյական արժեքներով .

Եթե ​​հավասարությունը (2.1) կարելի է բավարարել, պայմանով, որ գործակիցներից առնվազն մեկը տարբերվի զրոյից, ապա վեկտորների նման համակարգ կկոչվի. գծային կախված .

Օրինակ 2.1.Ստուգեք վեկտորների գծային անկախությունը

Լուծում.Եկեք ստեղծենք ձևի հավասարություն (2.1)

Այս արտահայտության ձախ կողմը կարող է զրո դառնալ միայն պայմանը բավարարելու դեպքում , ինչը նշանակում է, որ համակարգը գծային անկախ է։

Օրինակ 2.1.Կլինե՞ն վեկտորներ։ գծային անկախ?

Լուծում.Հեշտ է ստուգել, ​​որ հավասարությունը ճիշտ է արժեքների համար , . Սա նշանակում է, որ վեկտորների այս համակարգը գծային կախվածություն ունի։

Թեորեմ 2.1. Եթե ​​վեկտորների համակարգը գծային կախված է, ապա այս համակարգի ցանկացած վեկտոր կարող է ներկայացվել որպես համակարգի մնացած վեկտորների գծային համակցություն (կամ սուպերպոզիցիա):

Ապացույց. Ենթադրենք, որ վեկտորների համակարգը գծային կախված. Այնուհետեւ, ըստ սահմանման, կա թվերի հավաքածու , որոնց մեջ առնվազն մեկ թիվ տարբերվում է զրոյից, և հավասարությունը (2.1) վավեր է.

Առանց ընդհանրության կորստի, մենք ենթադրում ենք, որ ոչ զրոյական գործակիցը , այսինքն . Այնուհետև վերջին հավասարությունը կարելի է բաժանել և այնուհետև արտահայտել որպես վեկտոր.

.

Այսպիսով, վեկտորը ներկայացված է որպես վեկտորների սուպերպոզիցիա . Թեորեմ 1-ն ապացուցված է:

Հետևանք. Եթե գծային անկախ վեկտորների բազմություն է, ապա այս բազմությունից ոչ մի վեկտոր չի կարող արտահայտվել մյուսներով.

Թեորեմ 2.2. Եթե ​​վեկտորների համակարգը պարունակում է զրոյական վեկտոր, ապա այդպիսի համակարգը անպայմանորեն կախված կլինի գծային.

Ապացույց. Թող վեկտորը լինի զրոյական վեկտոր, այսինքն .

Այնուհետև մենք ընտրում ենք հաստատուններ ( ) հետևյալ կերպ.

, .

Այս դեպքում բավարարվում է հավասարությունը (2.1): Ձախ կողմում գտնվող առաջին անդամը հավասար է զրոյի, քանի որ զրոյական վեկտոր է: Մնացած անդամները դառնում են զրո, երբ բազմապատկվում են զրոյական հաստատուններով ( ) Այսպիսով,

ժամը , ինչը նշանակում է վեկտորները գծային կախված. Թեորեմ 2.2-ն ապացուցված է:

Հաջորդ հարցը, որին պետք է պատասխանենք, այն է, թե ինչ ամենամեծ թիվըվեկտորները կարող են ձևավորել գծային անկախ համակարգՎ n- ծավալային թվաբանական տարածություն. 2.1 պարագրաֆում բնական հիմքը (1.4) դիտարկվել է.

Պարզվել է, որ ծավալային տարածության կամայական վեկտորը բնական հիմքի վեկտորների գծային համակցություն է, այսինքն՝ կամայական վեկտոր։ արտահայտվում է բնական հիմքով որպես

, (2.2)

որտեղ են վեկտորի կոորդինատները, որոնք որոշ թվեր են: Հետո հավասարություն

հնարավոր է միայն , և հետևաբար վեկտորների համար բնական հիմքը կազմում է գծային անկախ համակարգ: Եթե ​​այս համակարգին ավելացնենք կամայական վեկտոր , ապա, հիմնվելով 1-ին թեորեմի հետևության վրա, համակարգը կախված կլինի, քանի որ վեկտորն արտահայտվում է վեկտորներով. ըստ բանաձևի (2.2):

Այս օրինակը ցույց է տալիս, որ n-չափային թվաբանական տարածություն կան գծային անկախ վեկտորներից բաղկացած համակարգեր: Եվ եթե այս համակարգին ավելացնենք գոնե մեկ վեկտոր, ապա կստանանք գծային կախված վեկտորների համակարգ։ Ապացուցենք, որ եթե վեկտորների թիվը գերազանցում է տարածության չափը, ապա դրանք գծային կախված են։

Թեորեմ 2.3.Չափային թվաբանական տարածության մեջ չկա համակարգ, որը բաղկացած է ավելի քան գծային անկախ վեկտորներ.

Ապացույց. Դիտարկենք կամայական ծավալային վեկտորները.

………………………

Թող . Կազմենք վեկտորների գծային համակցություն (2.3) և հավասարեցնենք այն զրոյի.

Վեկտորային հավասարությունը (2.4) համարժեք է կոորդինատների սկալյար հավասարություններին վեկտորներ :

(2.5)

Այս հավասարությունները կազմում են համակարգ միատարր հավասարումներանծանոթ մարդկանց հետ . Քանի որ անհայտների քանակով ավելի շատ համարհավասարումներ ( ), ապա 1-ին բաժնի 9.3 թեորեմի հետևանքով համասեռ համակարգը (2.5) ունի ոչ զրոյական լուծում։ Հետևաբար, հավասարությունը (2.4) վավեր է որոշ արժեքների համար , որոնց մեջ ոչ բոլորն են հավասար զրոյի, ինչը նշանակում է, որ վեկտորների համակարգը (2.3) գծային կախվածություն ունի։ Թեորեմ 2.3-ն ապացուցված է:

Հետևանք. Չափային տարածության մեջ կան համակարգեր, որոնք բաղկացած են գծային անկախ վեկտորներից, և ցանկացած համակարգ, որը պարունակում է ավելի քան վեկտորներ, գծային կախված կլինի:

Սահմանում 2.2.Գծային անկախ վեկտորների համակարգ կոչվում է տարածության հիմքը, եթե տարածության մեջ որևէ վեկտոր կարող է արտահայտվել որպես այս գծային անկախ վեկտորների գծային համակցություն։

2.3. Գծային վեկտորի փոխակերպում

Դիտարկենք երկու վեկտոր և -չափային թվաբանական տարածություն:

Սահմանում 3.1.Եթե ​​յուրաքանչյուր վեկտոր Եթե ​​նույն տարածությունից վեկտորը կապված է, ապա մենք ասում ենք, որ տրված է չափային թվաբանական տարածության որոշակի փոխակերպում:

Մենք կնշանակենք այս փոխակերպումը . Մենք վեկտորը կանվանենք պատկեր։ Մենք կարող ենք գրել հավասարությունը

. (3.1)

Սահմանում 3.2.Փոխակերպումը (3.1) կկոչվի գծային, եթե այն բավարարում է հետևյալ հատկություններին.

, (3.2)

, (3.3)

որտեղ է կամայական սկալարը (թիվը):

Եկեք սահմանենք փոխակերպումը (3.1) կոորդինատային ձևով: Թող վեկտորների կոորդինատները Եվ կապված կախվածությամբ

(3.4)

Բանաձևերը (3.4) սահմանում են փոխակերպումը (3.1) կոորդինատային ձևով: Հնարավորություններ ( ) հավասարումների համակարգերը (3.4) կարելի է ներկայացնել որպես մատրիցա

կոչվում է փոխակերպման մատրիցա (3.1):

Ներկայացնենք սյունակի վեկտորները

,

որի տարրերը վեկտորների կոորդինատներն են Եվ համապատասխանաբար, այսպես Եվ . Այսուհետ սյունակների վեկտորները կանվանենք վեկտորներ։

Այնուհետև փոխակերպումը (3.4) կարելի է գրել մատրիցային տեսքով

. (3.5)

Փոխակերպումը (3.5) գծային է՝ պայմանավորված մատրիցների վրա կատարվող թվաբանական գործողությունների հատկություններով։

Դիտարկենք մի փոխակերպում, որի պատկերը զրոյական վեկտոր է: Մատրիցային ձևով այս փոխակերպումը նման կլինի

, (3.6)

իսկ կոորդինատային ձևով՝ ներկայացնում ենք գծային միատարր հավասարումների համակարգ

(3.7)

Սահմանում 3.3.Գծային փոխակերպումը կոչվում է ոչ այլասերված, եթե գծային փոխակերպման մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, այսինքն. . Եթե ​​որոշիչն անհետանում է, ապա փոխակերպումը կլինի այլասերված .

Հայտնի է, որ (3.7) համակարգը ունի տրիվիալ (ակնհայտ) լուծում՝ զրո։ Այս լուծումը եզակի է, եթե մատրիցայի որոշիչը զրո չէ:

Համակարգի ոչ զրոյական լուծումները (3.7) կարող են հայտնվել, եթե գծային փոխակերպումը այլասերված է, այսինքն՝ եթե մատրիցայի որոշիչը զրո է:

Սահմանում 3.4. Փոխակերպման աստիճանը (3.5) փոխակերպման մատրիցայի աստիճանն է։

Կարելի է ասել, որ նույն թիվը հավասար է մատրիցայի գծային անկախ տողերի թվին։

Անդրադառնանք գծային փոխակերպման երկրաչափական մեկնաբանությանը (3.5):

Օրինակ 3.1.Թող տրվի գծային փոխակերպման մատրիցա , Որտեղ Վերցնենք կամայական վեկտոր , Որտեղ և գտնել նրա պատկերը.
Հետո վեկտորը
.

Եթե , ապա վեկտորը կփոխի և՛ երկարությունը, և՛ ուղղությունը։ Նկ.1-ում .

Եթե , ապա մենք ստանում ենք պատկերը

,

այսինքն՝ վեկտոր
կամ , ինչը նշանակում է, որ այն կփոխի միայն երկարությունը, բայց չի փոխի ուղղությունը (նկ. 2):

Օրինակ 3.2.Թող , . Եկեք գտնենք պատկերը.

,

այն է
, կամ .

Վեկտոր փոխակերպման արդյունքում այն ​​փոխել է իր ուղղությունը հակառակ ուղղությամբ, մինչդեռ վեկտորի երկարությունը պահպանվել է (նկ. 3):

Օրինակ 3.3.Դիտարկենք մատրիցը գծային փոխակերպում. Հեշտ է ցույց տալ, որ այս դեպքում վեկտորի պատկերը լիովին համընկնում է բուն վեկտորի հետ (նկ. 4): Իսկապես,

.

Կարելի է ասել, որ վեկտորների գծային փոխակերպումը փոխում է սկզբնական վեկտորը ինչպես երկարությամբ, այնպես էլ ուղղությամբ: Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում կան մատրիցներ, որոնք փոխակերպում են վեկտորը միայն ուղղությամբ (օրինակ 3.2) կամ միայն երկարությամբ (օրինակ 3.1, դեպք. ).

Հարկ է նշել, որ նույն գծի վրա ընկած բոլոր վեկտորները կազմում են գծային կախված վեկտորների համակարգ։

Եկեք վերադառնանք գծային փոխակերպմանը (3.5)

և հաշվի առեք վեկտորների հավաքածուն , որի համար պատկերը զրոյական վեկտոր է, ուստի .

Սահմանում 3.5. Վեկտորների մի շարք, որոնք հավասարման լուծում են , կազմում է -չափային թվաբանական տարածության ենթատարածություն և կոչվում է գծային փոխակերպման միջուկ.

Սահմանում 3.6. Գծային վերափոխման թերություն կոչվում է այս փոխակերպման միջուկի չափը, այսինքն. ամենամեծ թիվը գծային անկախ վեկտորներ, բավարարելով հավասարումը .

Քանի որ մենք նկատի ունենք մատրիցայի աստիճանը գծային փոխակերպման աստիճանով, մենք կարող ենք ձևակերպել հետևյալ պնդումը մատրիցայի թերության վերաբերյալ. թերությունը հավասար է տարբերությանը. , որտեղ է մատրիցայի չափը և նրա աստիճանն է։

Եթե ​​գծային փոխակերպման մատրիցայի աստիճանը (3.5) փնտրվում է Գաուսի մեթոդով, ապա դասակարգումը համընկնում է արդեն փոխակերպված մատրիցայի հիմնական անկյունագծում գտնվող ոչ զրոյական տարրերի թվի հետ, իսկ թերությունը որոշվում է զրոյի թվով։ շարքեր.

Եթե ​​գծային փոխակերպումը ոչ այլասերված է, այսինքն , ապա դրա թերությունը դառնում է զրո, քանի որ միջուկը միակ զրոյական վեկտորն է։

Եթե ​​գծային փոխակերպումը այլասերված է և , ապա համակարգը (3.6) բացի զրոյականից այլ լուծումներ ունի, իսկ թերությունն այս դեպքում արդեն տարբերվում է զրոյից։

Առանձնահատուկ հետաքրքրություն են ներկայացնում փոխակերպումները, որոնք երկարությունը փոխելիս չեն փոխում վեկտորի ուղղությունը։ Ավելի ճիշտ՝ վեկտորը թողնում են սկզբնական վեկտորը պարունակող գծի վրա՝ պայմանով, որ գիծն անցնի սկզբնաղբյուրով։ Նման վերափոխումները կքննարկվեն 2011թ հաջորդ կետը 2.4.