In terza media, gli scolari nelle lezioni di matematica vengono introdotti al concetto di "radicale" o, in poche parole, "radice". Fu allora che incontrarono per la prima volta il problema della semplificazione dei radicali complessi. I radicali complessi sono espressioni in cui una radice è sotto un'altra. Pertanto, a volte vengono chiamati radicali nidificati. In questo articolo il tutor di matematica e fisica ne parla in dettaglio come semplificare un radicale complesso.
Metodi per semplificare radicali complessi
Semplificare un radicale complesso significa eliminare la radice esterna. È meglio iniziare a studiare questo argomento semplificando i doppi radicali. Dopotutto, se impariamo a semplificare i doppi radicali, allora saremo in grado di semplificare anche quelli più complessi.
Come ci liberiamo della radice esterna? È chiaro che per questo è necessario trasformare l'espressione radicale, presentandola sotto forma di un quadrato completo. Per fare ciò utilizzeremo la nota formula “Quadrato della differenza”:
Qui, come puoi vedere, il termine negativo ha un fattore a destra. Pertanto, prendiamo questo fattore alla radice. Per fare ciò, lo presentiamo come un prodotto di:
Poi e. Resta solo da prestare attenzione al fatto che 
. Ora possiamo vedere che sotto la radice abbiamo una differenza al quadrato:
Adesso ricordiamocelo. Esattamente il modulo. Questo è molto importante in questo caso perché la radice quadrata è un numero positivo. Quindi otteniamo:
Bene, poiché title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}
È così che siamo riusciti a semplificare questo radicale. Ma ci sono anche casi più complessi in cui non è immediatamente possibile indovinare come rappresentare un'espressione radicale sotto forma di un quadrato completo. Ad esempio, nel seguente esempio.
Per non tormentarti a lungo, puoi utilizzare il seguente metodo.
Lascia che ti ricordi che il nostro obiettivo è rappresentare l'espressione sotto la radice come un quadrato perfetto. Nello specifico in questo esempio, sotto forma di quadrato della somma:
Ebbene, il quadrato della somma si rivela secondo la nota formula, che abbiamo già scritto oggi:
Quindi, l'idea, in effetti, è di prendere la parte irrazionale dell'espressione radicale per e la parte razionale per. Quindi otteniamo il seguente sistema di equazioni:
È chiaro che . Altrimenti la seconda equazione del sistema non è soddisfatta. Quindi esprimiamo il coefficiente della seconda equazione:
Il denominatore di questa frazione non è uguale a zero, il che significa che il suo numeratore è uguale a zero. Otteniamo un'equazione biquadratica, che può essere risolta nel modo standard (per maggiori dettagli vedere il video allegato). Risolvendolo, otteniamo ben 4 radici. Puoi prenderne uno qualunque. Mi piace di più. Poi . Quindi, finalmente otteniamo:
Ecco un modo per semplificare un radicale complesso. Ce n'è uno in più. Per coloro a cui piace memorizzare formule complesse, cosa che a me non piace. Ma per completezza vi parlerò anche di lui.
Formula dei radicali complessi
Ecco come appare la formula:
Abbastanza spaventoso, non è vero? Ma non abbiate paura, in alcuni casi può effettivamente essere utilizzato con successo. Diamo un'occhiata ad un esempio:
Sostituiamo i valori corrispondenti nella formula:
Questa è la risposta.
Allora, oggi in classe ho parlato di come semplificare un radicale complesso. Se non conoscevi in precedenza i metodi discussi oggi, molto probabilmente hai ancora molto da imparare per sentirti sicuro nell'esame di stato unificato o nell'esame di ammissione in matematica. Ma non preoccuparti, posso insegnarti tutto questo. Tutte le informazioni necessarie sulle mie lezioni sono attive. Buona fortuna a te!
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Lezione e presentazione sull'argomento: "Conversione di espressioni contenenti un radicale"
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Ragazzi, nell'ultima lezione abbiamo studiato le proprietà dell'ennesima radice. Oggi vedremo come applicarli per risolvere vari problemi che possono sorgere nella pratica.
Facciamo un piccolo promemoria delle proprietà delle nostre radici:
1. $((\sqrt[n](a)))^n=a$; $\sqrt[n](a^n)=a$.
2. $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](b)$.
3. $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))$, $b≠0$.
4. $((\sqrt[n](a)))^k=\sqrt[n](a^k)$.
5. $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
6. $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^(k))$.
Utilizzando le nostre formule possiamo trasformare espressioni contenenti radicali (operazione di estrazione della radice); tali espressioni sono dette irrazionali.
Esempio.
Semplifica l'espressione:
a) $\quadrato(48a^7)$.
b) $((\sqrt(a^3)))^2$.
Soluzione.
a) Riduciamo l'espressione radicale alla forma: $16*a^4*3a^3$.
Quindi, utilizzando la formula 2 del nostro promemoria, l'espressione originale assumerà la forma:
$\sqrt(48a^7)=\sqrt(16*a^4*3a^3)=\sqrt(16)*\sqrt(a^4)*\sqrt(3a^3)=2a*\sqrt( 3a^3)$.
L'espressione che abbiamo ottenuto è considerata più semplice, poiché il segno di radice ha un'espressione più semplice.
Una trasformazione di questo tipo si chiama sottrazione del moltiplicatore al segno radicale.
B) Usiamo la formula 4: $((\sqrt(a^3)))^2=\sqrt(((a^3))^2)=\sqrt(a^6)$.
Trasformiamo l'espressione risultante utilizzando lo stesso metodo del primo esempio. $\sqrt(a^6)=\sqrt(a^5*a)=\sqrt(a^5)*\sqrt(a)=a*\sqrt(a)$.
Quando si posiziona un moltiplicatore al di fuori del segno del radicale, è necessario prestare particolare attenzione al segno del fattore da rimuovere. Nel caso delle potenze pari può essere positivo o negativo.
Diamo un'occhiata ad un esempio: $\sqrt(x^6*y)$.
Non sappiamo nulla del segno del numero x; trasformando la nostra espressione otteniamo: $x*\sqrt(y)$.
In realtà questa voce non è corretta. Ripetiamo: non sappiamo nulla del segno del numero x. Come comportarsi in questo caso?
Per essere sicuri che la risposta sia corretta è meglio presentarla nella forma: $|x|*\sqrt(y)$.
La formula generalizzata per le radici con esponente pari sarà simile a questa: $\sqrt(a^(2n))=|a|$.
Ragazzi, abbiamo esaminato l'operazione di spostare il moltiplicatore oltre il segno radicale. Esiste anche un'operazione inversa: l'introduzione di un moltiplicatore sotto il segno del radicale.
Esempio.
Confronta i numeri $4\sqrt(2)$ e $2\sqrt(4)$.
Soluzione.
Sappiamo: $4=\sqrt(64)$ e $2=\sqrt(8)$.
Trasformiamo l'espressione originale:
$4\sqrt(2)=\sqrt(64)*\sqrt(2)=\sqrt(128)$.
$2\sqrt(4)=\sqrt(8)*\sqrt(4)=\sqrt(32)$.
Le radici di entrambe le espressioni sono le stesse. Il numero la cui espressione radicale è maggiore è maggiore. Nel nostro caso: $\sqrt(128)>\sqrt(32)$.
Esempio.
Semplifica l'espressione: $\sqrt(x^3*\sqrt(x))$.
Soluzione.
Inseriamo un'espressione contenente il terzo grado sotto il segno della radice:
$x^3*\sqrt(x)=\sqrtx^(12)*\sqrt(x)=\sqrt(x^(13))$.
Usiamo la formula 5. L'espressione originale può essere rappresentata come: $\sqrt(\sqrt(x^(13)))=\sqrt(x^(13))$.
Esempio.
Segui questi passi:
a) $(\sqrt(a)-\sqrt(b))(\sqrt(a)+\sqrt(b))$.
b) $(\sqrt(a)-\sqrt(b))(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))$.
Soluzione:
a) Usiamo la formula della differenza dei quadrati:
$(\sqrt(a)-\sqrt(b))(\sqrt(a)+\sqrt(b))=(\sqrt(a^2)+\sqrt(b^2))$.
Ora semplifichiamo l'espressione che abbiamo ricevuto, utilizziamo la formula 6 del nostro promemoria:
$(\sqrt(a^2)-\sqrt(b^2))=(\sqrt(a)-\sqrt(b))$ (l'esponente radice e il grado dell'espressione radicale sono stati divisi per 2.
Risposta: $(\sqrt(a^2)-\sqrt(b^2))(\sqrt(a^2)+\sqrt(b^2))=(\sqrt(a)-\sqrt(b) )$.
B) Osserviamo attentamente la nostra espressione. È simile alla formula della differenza dei cubi, quindi applichiamola:
$(\sqrt(a)-\sqrt(b))(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=((\sqrt(a)))^3- ((\sqrt(b)))^3=a-b$.
Esempio.
Segui questi passi:
a) $\sqrt(a^5)*\sqrt(a^3)$.
b) $\sqrt(3-\sqrt(3))*\sqrt(12+6\sqrt(3))$.
Soluzione.
Puoi moltiplicare solo radici dello stesso grado. Riduciamo le nostre espressioni allo stesso esponente radice.
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a^(10))$ (moltiplicato per 2).
$\sqrt(a^3)=\sqrt(a^(9))$ (moltiplicato per 3).
$\sqrt(a^5)*\sqrt(a^3)=\sqrt(a^(10))*\sqrt(a^9)=\sqrt(a^(19))$.
Semplifichiamo l'espressione risultante:
$\sqrt(a^(19))=\sqrt(a^(12)*a^7)=|a|*\sqrt(a^7)$.
Prestiamo attenzione al fatto che l'esponente della radice delle nostre espressioni è pari. Ciò significa che l'espressione radicale contiene solo numeri positivi, cioè $a≥0$, ma poi $|a|=a$.
Risposta: $\sqrt(a^5)*\sqrt(a^3)=a*\sqrt(a^7)$.
B) Questo esempio può essere risolto in due modi. Diamo un'occhiata a ciascun metodo:
1 modo. Portiamo il primo fattore alla 4a potenza:
$\sqrt(3-\sqrt(3))=\sqrt(((3-\sqrt(3)))^2)=\sqrt(9-6\sqrt(3)+3)=\sqrt(12 -6\quadrato(3))$.
Moltiplichiamo i radicali:
$\quadrato(12-6\quadrato(3))*\quadrato(12+6\quadrato(3))=\quadrato(((12-6\quadrato(3)))*(12+6\quadrato( 3)))=\sqrt(144-36*3)=\sqrt(144-108)=\sqrt(36)=\sqrt(6^2)=\sqrt(6)$.
Metodo 2. Diamo un'occhiata all'espressione radicale nel secondo fattore:
$12+6\quadrato(3)=9+6\quadrato(3)+3=3^2+2*3*\quadrato(3)+((\quadrato(3)))^2=((3+ \sqrt(3)))^2$.
Possiamo convertire il moltiplicatore nel suo insieme:
$\sqrt(12+6\sqrt(3))=\sqrt(((3+\sqrt3))^2)=\sqrt(3+\sqrt(3))$ (diviso per 2 esponenti).
Trasformiamo l'intera espressione:
$\sqrt(3-\sqrt(3))*\sqrt(12+\sqrt(3))=\sqrt(3-\sqrt(3))*\sqrt(3+\sqrt(3))=\ sqrt((3-\sqrt(3))*(3+\sqrt(3)))=\sqrt(9-3)=\sqrt(6)$.
Esempio.
Fattorizza l'espressione: $\sqrt(x^8)-2\sqrt(x^4y^2)+\sqrt(y^4)$.
Soluzione.
Riscriviamo l'espressione originale come:
$\sqrt(x^8)-2\sqrt(x^4y^2)+\sqrt(y^4)=((\sqrt(x^4)))^2-2*\sqrt(x^4 )*\sqrt(y^2)+((\sqrt(y^2)))^2$ è la cosiddetta “differenza al quadrato”.
$\quadrato(x^8)-2\quadrato(x^4y^2)+\quadrato(y^4)=((\quadrato(x^4)-\quadrato(y^2)))^2= ((x\sqrt(x)-\sqrt(y^2)))^2$.
Esempio.
Riduci la frazione: $\frac(\sqrt(x)-\sqrt(y))(\sqrt(x)-2\sqrt(xy)+\sqrt(y))$.
Soluzione.
1 modo.
Consideriamo separatamente numeratore e denominatore:
$\sqrt(x)-\sqrt(y)=\sqrt(x^2)-\sqrt(y^2)=(\sqrt(x)-\sqrt(y))(\sqrt(x)+\ sqrt(y))$.
$\sqrt(x)-2\sqrt(xy)+\sqrt(y)=\sqrt(x^2)-2\sqrt(xy)+\sqrt(y^2)=((\sqrt(x) -\sqrt(y)))^2$.
Accorciamo l'espressione risultante:
$\frac(\sqrt(x)-\sqrt(y))(\sqrt(x)-2\sqrt(xy)+\sqrt(y))$=$\frac((\sqrt(x)-\ sqrt(y))(\sqrt(x)+\sqrt(y)))(((\sqrt(x)-\sqrt(y)))^2)$=$\frac(\sqrt(x)+ \sqrt(y))(\sqrt(x)-\sqrt(y))$.
Metodo 2.
Introduciamo un cambio di variabili.
Sia $a=\sqrt(x)$, $b=\sqrt(y)$. Quindi $\sqrt(x)=a^2$ e $\sqrt(y)=b^2$.
$\frac(\sqrt(x)-\sqrt(y))(\sqrt(x)-2\sqrt(xy)+\sqrt(y))=\frac(a^2-b^2)(( a^2-2ab+b)^2)=\frac((a-b)(a+b))(((a-b)^2))=\frac((a+b))((a-b))=\ frac(\sqrt(x)+\sqrt(y))(\sqrt(x)-\sqrt(y))$.
Cambiare le variabili spesso semplifica la soluzione. Lavorare con le espressioni razionali è molto più semplice e più familiare che con quelle irrazionali.
Problemi da risolvere in autonomia
1. Semplifica l'espressione:a) $\sqrt(162a^5)$.
b) $((\sqrt(a^5)))^3$.
2. Confronta i numeri: $3\sqrt(4)$ e $2\sqrt(5)$.
3. Semplificare l'espressione: $\sqrt((x^2)*\sqrt(x^2))$.
4. Segui questi passaggi:
a) $\sqrt(a^7)*\sqrt(a^4)$.
b) $\sqrt(4-\sqrt(3))*\sqrt(19+8\sqrt(3))$.
5. Fattorizza l'espressione: $\sqrt(x^6)-6\sqrt(x^3y^5)+9\sqrt(y^(10))$.
6. Riduci la frazione: $\frac(\sqrt(x)-\sqrt(y))(\sqrt(x)+2\sqrt(xy)+\sqrt(y))$.
Le proprietà delle radici sono alla base delle due trasformazioni successive, chiamate portarle sotto il segno della radice e portarle fuori da sotto il segno della radice, alle quali ora ci rivolgiamo.
Inserimento di un moltiplicatore sotto il segno della radice
Introdurre un fattore sotto il segno implica sostituire l'espressione , dove B e C sono alcuni numeri o espressioni, e n è un numero naturale maggiore di uno, con un'espressione identicamente uguale della forma o .
Ad esempio, dopo aver introdotto un fattore 2 sotto il segno della radice, un'espressione irrazionale assume la forma .
I fondamenti teorici di questa trasformazione, le regole per la sua attuazione, nonché le soluzioni a vari esempi tipici sono forniti nell'articolo che introduce un moltiplicatore sotto il segno della radice.
Rimuovere il moltiplicatore da sotto il segno della radice
Una trasformazione, in un certo senso opposta all'introduzione di un fattore sotto il segno della radice, è togliere il fattore sotto il segno della radice. Consiste nel rappresentare la radice come prodotto per n dispari o come prodotto per n pari, dove B e C sono alcuni numeri o espressioni.
Per fare un esempio, torniamo al paragrafo precedente: l’espressione irrazionale, tolto il fattore sotto il segno della radice, assume la forma . Un altro esempio: rimuovendo il fattore da sotto il segno della radice nell'espressione si ottiene il prodotto, che può essere riscritto come .
Su cosa si basa questa trasformazione e con quali regole viene effettuata, esamineremo in un articolo a parte la rimozione del moltiplicatore da sotto il segno della radice. Lì forniremo anche soluzioni ad esempi ed elencheremo modi per ridurre un'espressione radicale a una forma conveniente per la moltiplicazione.
Conversione di frazioni contenenti radici
Le espressioni irrazionali possono contenere frazioni che hanno radici nel numeratore e nel denominatore. Con tali frazioni puoi eseguire qualsiasi operazione di base trasformazioni di identità delle frazioni.
Innanzitutto, nulla ti impedisce di lavorare con espressioni al numeratore e al denominatore. Ad esempio, considera la frazione. L'espressione irrazionale al numeratore è ovviamente identicamente uguale a e, ricorrendo alle proprietà delle radici, l'espressione al denominatore può essere sostituita dalla radice . Di conseguenza, la frazione originale viene convertita nella forma .
In secondo luogo, puoi cambiare il segno davanti a una frazione cambiando il segno del numeratore o del denominatore. Ad esempio, si verificano le seguenti trasformazioni di un'espressione irrazionale: 
.
In terzo luogo, a volte è possibile e consigliabile ridurne una frazione. Ad esempio, come negarsi il piacere di ridurre una frazione 
all'espressione irrazionale, di conseguenza otteniamo 
.
È chiaro che in molti casi, prima di ridurre una frazione, è necessario fattorizzare le espressioni del suo numeratore e denominatore, cosa che in casi semplici può essere ottenuta mediante formule di moltiplicazione abbreviate. E a volte aiuta ridurre una frazione sostituendo una variabile, il che consente di passare dalla frazione originale con irrazionalità a una frazione razionale, con cui è più comodo e familiare lavorare.
Prendiamo ad esempio l'espressione . Introduciamo nuove variabili e, in queste variabili l'espressione originale ha la forma. Avendo eseguito nel numeratore
Argomento della lezione:
"Conversione di espressioni contenenti radicali"
Lo scopo della lezione:
Educativo:
Formazione della capacità di risolvere compiti sulla trasformazione di espressioni contenenti radicali;
consolidare i concetti di proprietà della radice N-Ahia;
contribuire al miglioramento delle competenze e delle capacità lavorative Microsoft Office Excel per l'elaborazione delle informazioni in produzione.
Sviluppo:
sviluppo delle capacità di pensiero: strutturare oggetti (identificare le parti componenti di un oggetto e disporle in forma gerarchica).
sviluppare il pensiero creativo (produttivo) (nel processo di composizione di un puzzle),
Educativo:
coltivare una cultura generale e dell'informazione, duro lavoro, perseveranza, pazienza, attitudine attenta alla tecnologia informatica, instillando negli studenti le capacità di indipendenza nel lavoro.
Tipo di lezione: sistematizzazione della conoscenza
Tipo di lezione: problema
Tecniche metodiche: visivo - illustrativo: rebus, test al computer, pratico: soluzione selettiva di esempi, compiti di produzione
Attrezzature e sussidi visivi per la didattica: lezione al computer con sistema operativo Windows XP e pacchetto software Microsoft Office 2003, proiettore multimediale, presentazione, prova al computer, dispense (rebus).
Collegamenti interdisciplinari: matematica - informatica - formazione industriale.
Durante le lezioni:
IO .Organizzazione del tempo: Preparare gli studenti per la lezione
(controllo assenze a lezione, disponibilità quaderni), comunicazione dell'argomento e degli obiettivi
lezione. Diapositiva1,2
Motivazione.
Diapositiva3,4
A causa del grande accumulo di dati digitali nella produzione, l'elaborazione delle informazioni non è possibile senza l'uso della tecnologia informatica. Gli operatori informatici elaborano le informazioni utilizzando la tecnologia dell'informazione. Oggi nella lezione applicheremo le tue conoscenze matematiche e professionali per risolvere un problema di produzione.
Compito:
Calcolare il valore medio del fattore di potenza per l'officina se le letture del contatore di energia attiva all'inizio e alla fine del mese erano rispettivamente 2326 e 2476 kWh, le letture dell'energia reattiva all'inizio e alla fine del mese erano 1673 e 1773 kWh , rispettivamente. Eseguire i calcoli nel programma Microsoft Office Excel 2003.
Diapositiva 5.
Ma inizieremo a risolvere il problema un po’ più tardi.
Briefing sulla sicurezza. Diapositiva 6.
II.Aggiornamento delle conoscenze di base:
2.1 Test al computer (6 persone, 10 minuti)
Diapositiva 7.
2.2 Rilievo frontale (con il restante gruppo):
2.2.1 Cos'è un radicale? Diapositiva 8.
2.2.3 Elenco:
a) proprietà della radice N-esimo grado. Diapositiva 9.
b) la radice di una frazione. Diapositiva 10.
c) Estrarre la radice dalla radice. Diapositiva 11.
d) la proprietà principale della radice. Diapositiva 12.
Verifica del test (se necessario, analisi del test tramite proiettore multimediale).
III. Lavoro pratico.
Diapositiva 13.
Risolvi gli esempi In base alla risposta nell'esempio, seleziona la lettera corrispondente nel rebus, scrivi la risposta nella tabella. Il termine risultante “----” è una sequenza organizzata di azioni.
IV.Rinforzo del materiale rivestito.
L'insegnante analizza la soluzione del problema alla lavagna.
Diapositiva 14.
Per calcolare il valore medio del fattore di potenza per l'officina, che non deve superare 0,99-0,75 (solo in questo caso non vi è alcun fermo macchina), è necessario trovare il coseno dell'angolo. I calcoli vengono effettuati utilizzando il teorema di Pitagora (poiché il triangolo è rettangolo): il primo cateto è l'energia reattiva, il secondo cateto è l'energia attiva, l'ipotenusa è l'energia totale. Il coseno dell'angolo è il rapporto tra l'energia attiva e l'energia totale. E l'energia totale è un radicale del secondo ordine
Gli studenti, utilizzando una scheda di istruzioni, eseguono il lavoro su un computer utilizzando Microsoft Ufficio Excel 2003.
V.Riepilogo della lezione:
Oggi in classe abbiamo confermato le parole dello scienziato russo M.V. Lomonosov
“ Che qualcuno provi a eliminare i diplomi dalla matematica, e vedrà che senza di essi non si va lontano”.(MV Lomonosov) . Senza radicali, non è possibile calcolare i costi energetici di un'impresa e studiando in questo liceo nella professione di "Operatore informatico" e ricevendo informazioni sul lavoro con apparecchiature informatiche in corsi di formazione industriale, è possibile elaborare qualsiasi informazione utilizzando le informazioni tecnologia. Pertanto, le parole di Nathan Rothschild "Chi possiede le informazioni, possiede il mondo" sono molto rilevanti quando si lavora nella propria professione in qualsiasi impresa o fabbrica.
Valutazione per la lezione.
VI.Compiti a casa: § 36. N. 36.17, N. 36.23- In contatto con 0
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