Equazioni differenziali lineari omogenee del 2° ordine. Equazioni differenziali omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Lineare omogeneo equazioni differenziali il secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma

dove p e q sono numeri reali. Diamo un'occhiata ad esempi di come vengono risolte equazioni differenziali omogenee del secondo ordine con coefficienti costanti.

La soluzione di un'equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine dipende dalle radici dell'equazione caratteristica. L'equazione caratteristica è l'equazione k²+pk+q=0.

1) Se le radici dell'equazione caratteristica sono numeri reali diversi:

allora la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma

2) Se le radici dell'equazione caratteristica sono numeri reali uguali

(ad esempio, con discriminante uguale a zero), allora la soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine è

3) Se le radici dell'equazione caratteristica sono numeri complessi

(ad esempio, con discriminante uguale a un numero negativo), allora la soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea del secondo ordine si scrive nella forma

Esempi di risoluzione di equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Trova soluzioni generali di equazioni differenziali omogenee del secondo ordine:

Compiliamo l'equazione caratteristica: k²-7k+12=0. Il suo discriminante è D=b²-4ac=1>0, quindi le radici sono numeri reali diversi.

Quindi, la soluzione generale di questo DE omogeneo del 2° ordine è

Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica:

Le radici sono reali e distinte. Quindi abbiamo una soluzione generale a questa equazione differenziale omogenea:

In questo caso, l'equazione caratteristica

Le radici sono diverse e valide. Pertanto, la soluzione generale per un'equazione differenziale omogenea del 2° ordine è qui

Equazione caratteristica

Poiché le radici sono reali e uguali, per questa equazione differenziale scriviamo la soluzione generale come

L'equazione caratteristica è qui

Poiché il discriminante è numero negativo, le radici dell'equazione caratteristica sono numeri complessi.

La soluzione generale di questa equazione differenziale omogenea del secondo ordine ha la forma

Equazione caratteristica

Da qui troviamo la soluzione generale a questo differenziale. equazioni:

Esempi di autotest.

Equazioni differenziali del 2° ordine

§1. Metodi per ridurre l'ordine di un'equazione.

L’equazione differenziale del 2° ordine ha la forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" larghezza="19" altezza="25 src=">.gif" larghezza="119" altezza="25 src="> ( o Differenziale" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">Equazione differenziale del 2° ordine). Problema di Cauchy per un'equazione differenziale del 2° ordine (1..gif" larghezza="85" altezza= "25 src =">.gif" larghezza="85" altezza="25 src=">.gif" altezza="25 src=">.

Lascia che l'equazione differenziale del 2° ordine abbia la forma: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" Height="25 src=">..gif" width="39" Height=" 25 src=">.gif" larghezza="265" altezza="28 src=">.

Pertanto, l'equazione del 2o ordine https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" larghezza="34" altezza="25 src=">.gif" larghezza="118" altezza =" 25 src=">.gif" larghezza="117" altezza="25 src=">.gif" larghezza="34" altezza="25 src=">. Risolvendolo, otteniamo l'integrale generale dell'equazione differenziale originale, dipendente da due costanti arbitrarie: DIV_ADBLOCK219">

Esempio 1. Risolvi l'equazione differenziale https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" Height="25 src=">.gif" Height="25 src=">.gif " larghezza="39" altezza="25 src=">.gif" larghezza="157" altezza="25 src=">.gif" larghezza="112" altezza="25 src=">.

Questa è un'equazione differenziale con variabili separabili: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" Height="41 src=">, cioè.gif" width= " 96" altezza="25 src=">.gif" larghezza="53" altezza="25 src=">.gif" larghezza="48" altezza="38 src=">..gif" larghezza=" 99 " altezza="38 src=">..gif" larghezza="95" altezza="25 src=">.

2..gif" larghezza="117" altezza="25 src=">, cioè.gif" larghezza="102" altezza="25 src=">..gif" larghezza="117" altezza= "25 src =">.gif" larghezza="106" altezza="25 src=">.gif" larghezza="34" altezza="25 src=">.gif" larghezza="117" altezza="25 src=" >.gif" larghezza="111" altezza="27 src=">

Soluzione.

Questa equazione del 2° ordine chiaramente non include la funzione desiderata https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" Height="25 src=">.gif" width= " 33" altezza="25 src=">.gif" larghezza="105" altezza="36 src=">, che è un'equazione lineare..gif" larghezza="109" altezza="36 src=">. .gif" larghezza="144" altezza="36 src=">.gif" altezza="25 src="> da alcune funzioni..gif" larghezza="25" altezza="25 src=">.gif " larghezza="127" altezza="25 src=">.gif" larghezza="60" altezza="25 src="> – l'ordine dell'equazione viene abbassato.

§2. Equazione differenziale lineare del 2° ordine.

L'equazione differenziale lineare del 2° ordine (LDE) ha la seguente forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" larghezza="42" altezza="25 src=">.gif" larghezza="42" altezza="25 src=">. gif" width="42" Height="25 src="> e, dopo aver introdotto nuove notazioni per i coefficienti, scriviamo l'equazione nella forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" larghezza="76" altezza="25 src=">.gif" larghezza="35" altezza="25 src=">. gif" larghezza="30" altezza="25 src="> continua..gif" larghezza="165" altezza="25 src=">.gif" larghezza="95" altezza="25 src="> – numeri arbitrari.

Teorema. Se https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" Height="25 src="> - la soluzione è

Anche https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" Height="25 src="> sarà una soluzione a questa equazione.

Prova.

Inseriamo l'espressione https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" Height="25 src=">.

Riorganizziamo i termini:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" larghezza="42" altezza="25 src=">.gif" larghezza="54" altezza="25 src=">. gif" width="94" Height="25 src="> è anche una soluzione a questa equazione.

Corollario 2. Supponendo che https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" Height="25 src="> sia anche una soluzione a questa equazione.

Commento. La proprietà delle soluzioni dimostrate nel teorema rimane valida per problemi di qualsiasi ordine.

§3. Il determinante di Vronskij.

Definizione. Sistema di funzioni https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" larghezza="61" altezza="25 src=">.gif" larghezza="110" altezza="47 src= " >..gif" larghezza="106" altezza="42 src=">..gif" larghezza="42" altezza="25 src=">.gif" larghezza="181" altezza="47 src= " >.gif" larghezza="42" altezza="25 src="> equazioni (2.3)..gif" larghezza="182" altezza="25 src="> (3.1)

Infatti, ..gif" larghezza="18" altezza="25 src="> soddisfa l'equazione (2..gif" larghezza="42" altezza="25 src="> è una soluzione dell'equazione (3.1). .gif" larghezza="87" altezza="28 src=">..gif" larghezza="182" altezza="34 src=">..gif" larghezza="162" altezza="42 src="> .gif" larghezza="51" altezza="25 src="> si ottiene l'identità.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" Height="25 src=">, in cui il determinante per soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (2..gif " larghezza= "42" altezza="25 src=">.gif" altezza="25 src="> entrambi i fattori sul lato destro della formula (3.2) sono diversi da zero.

§4. Struttura della soluzione generale del filone del 2° ordine.

Teorema. Se https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" Height="25 src="> sono soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (2..gif" width=" 19" altezza="25 src=">.gif" larghezza="129" altezza="25 src=">è una soluzione dell'equazione (2.3), segue dal teorema sulle proprietà delle soluzioni al lode del 2° ordine.. gif" larghezza="85 " altezza="25 src=">.gif" larghezza="19" altezza="25 src=">.gif" larghezza="220" altezza="47">

Le costanti https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" Height="25 src="> da questo sistema di equazioni algebriche lineari sono determinate in modo univoco, poiché il determinante di questo sistema https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" Height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" larghezza="138" altezza="25 src=">.gif" larghezza="19" altezza="25 src=">. gif" larghezza="69" altezza="25 src=">.gif" larghezza="235" altezza="48 src=">..gif" larghezza="143" altezza="25 src="> (5 ..gif" width="77" Height="25 src=">. Secondo il paragrafo precedente, la soluzione generale del 2° ordine Lod è facilmente determinata se si conoscono due soluzioni parziali linearmente indipendenti di questa equazione. Un metodo semplice per trovare soluzioni parziali di un'equazione a coefficienti costanti suggerita da L. Euler..gif" width="25" Height="26 src=">, otteniamo equazione algebrica, che si chiama caratteristica:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" Height="26 src="> sarà una soluzione all'equazione (5.1) solo per quei valori di k che sono le radici dell'equazione caratteristica (5.2)..gif" larghezza="49" altezza="25 src=">..gif" larghezza="76" altezza="28 src=">.gif" larghezza= "205" altezza="47 src ="> e la soluzione generale (5..gif" larghezza="45" altezza="25 src=">..gif" larghezza="74" altezza="26 src=" >..gif" larghezza="83 " altezza="26 src=">. Verifichiamo che questa funzione soddisfi l'equazione (5.1)..gif" larghezza="190" altezza="26 src="> nell'equazione (5.1), otteniamo

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" larghezza="328" altezza="26 src=">, perché..gif" larghezza="137" altezza="26 src= ">.

Soluzioni particolari https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" larghezza="86" altezza="28 src="> sono linearmente indipendenti, perché..gif" larghezza="166" altezza ="26 src=">.gif" larghezza="45" altezza="25 src=">..gif" larghezza="65" altezza="33 src=">.gif" larghezza="134" altezza = "25 src=">.gif" larghezza="267" altezza="25 src=">.gif" larghezza="474" altezza="25 src=">.

Entrambe le parentesi sul lato sinistro di questa uguaglianza sono identicamente uguali a zero..gif" larghezza="174" altezza="25 src=">..gif" larghezza="132" altezza="25 src="> è il la soluzione dell'equazione (5.1) ..gif" larghezza="129" altezza="25 src="> sarà simile a:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" larghezza="179" altezza="25 src="> f(x) (6.1)

è presentato come la somma della soluzione generale https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" Height="25 src="> (6.2)

e qualsiasi soluzione particolare https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" Height="25 src="> sarà una soluzione all'equazione (6.1)..gif" larghezza=" 272" altezza="25 src="> f(x). Questa uguaglianza è un'identità, perché..gif" larghezza="128" altezza="25 src="> f(x). Pertanto.gif" larghezza="85" altezza="25 src=">.gif" larghezza ="138" altezza="25 src=">.gif" larghezza="18" altezza="25 src="> sono soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione. Così:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" larghezza="289" altezza="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" larghezza="19" altezza="25 src=">.gif" larghezza="11" altezza="25 src=">. gif" larghezza="51" altezza="25 src=">, e tale determinante, come abbiamo visto sopra, è diverso da zero..gif" larghezza="19" altezza="25 src="> dal sistema di equazioni (6 ..gif" larghezza="76" altezza="25 src=">.gif" larghezza="76" altezza="25 src=">.gif" larghezza="140" altezza="25 src ="> risolverà l'equazione

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" Height="25 src="> nell'equazione (6.5), otteniamo

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" larghezza="140" altezza="25 src=">.gif" larghezza="128" altezza="25 src="> f (x) (7.1)

dove https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" Height="25 src="> equazione (7.1) nel caso in cui il lato destro f(x ) ha una forma speciale Questo metodo è chiamato metodo dei coefficienti indefiniti e consiste nel selezionare una soluzione particolare a seconda del tipo del membro destro f(x).

1..gif" larghezza="282" altezza="25 src=">.gif" larghezza="53" altezza="25 src=">, può essere zero. Indichiamo la forma in cui deve essere presa una particolare soluzione in questo caso.

a) Se il numero https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" larghezza="393" altezza="25 src=">.gif" larghezza="157" altezza="25 origine =>>.

Soluzione.

Per l'equazione https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" larghezza="86" altezza="25 src=">..gif" larghezza="62" altezza="25 src = ">..gif" larghezza="101" altezza="25 src=">.gif" larghezza="153" altezza="25 src=">.gif" larghezza="383" altezza="25 src= ">.

Riduciamo entrambe le parti a https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" Height="25 src="> sui lati sinistro e destro dell'uguaglianza

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" larghezza="111" altezza="40 src=">

Dal sistema di equazioni risultante troviamo: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" Height="25 src="> e la soluzione generale al dato l'equazione è:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" larghezza="11" altezza="25 src=">.gif" larghezza="423" altezza="25 src=">,

dove https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" larghezza="158" altezza="25 src=">.

Soluzione.

La corrispondente equazione caratteristica ha la forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" larghezza="53" altezza="25 src=">.gif" larghezza="85" altezza="25 src=">. gif" larghezza="45" altezza="25 src=">.gif" larghezza="219" altezza="25 src=">..gif" larghezza="184" altezza="35 src=">. Finale abbiamo la seguente espressione per la soluzione generale:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" larghezza="170" altezza="25 src=">.gif" larghezza="13" altezza="25 src="> eccellente da zero. Indichiamo il tipo di soluzione particolare in questo caso.

a) Se il numero https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" Height="25 src=">,

dove https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" Height="25 src="> è la radice dell'equazione caratteristica per l'equazione (5..gif" larghezza="229 " altezza="25 src=">,

dove https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" larghezza="147" altezza="25 src=">.

Soluzione.

Radici dell'equazione caratteristica per l'equazione https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" larghezza="58" altezza="25 src=">.gif" larghezza="203" altezza ="25 origine=">.

Il lato destro dell'equazione fornita nell'esempio 3 ha una forma speciale: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" Height="25 src= ">.gif " larghezza="55" altezza="25 src=">.gif" larghezza="229" altezza="25 src=">.

Per determinare https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" larghezza="11" altezza="25 src=">.gif" larghezza="43" altezza="25 src=" > e sostituiscilo nell'equazione data:

Citando termini simili, equiparando i coefficienti su https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" Height="25 src=">.gif" width="100" Height = "25 origine=">.

La soluzione generale finale all'equazione data ha la forma: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" Height="25 src=">.gif" width= "47" altezza="25 src=">.gif" larghezza="10" altezza="25 src="> rispettivamente, e uno di questi polinomi può essere uguale a zero. Indichiamo il tipo di soluzione particolare in questo caso generale.

a) Se il numero https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" Height="51">, (7.2)

dove https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" larghezza="121" altezza="25 src=">.

b) Se il numero https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" Height="25 src=">, la soluzione particolare per lndu sarà simile a:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" larghezza="17" altezza="25 src=">. Nell'espressione (7..gif" larghezza="121" altezza= " 25 src=">.

Esempio 4. Indicare il tipo di soluzione particolare dell'equazione

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" larghezza="129" altezza="25 src=">..gif" larghezza="95" altezza="25 src="> . La soluzione generale di Lodu ha la forma:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" larghezza="183" altezza="25 src=">..gif" larghezza="42" altezza="25 src="> ..gif" larghezza="36" altezza="25 src=">.gif" larghezza="351" altezza="25 src=">.

Ulteriori coefficienti https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" larghezza="34" altezza="25 src=">.gif" larghezza="42" altezza="28 src=" > esiste una soluzione particolare per l'equazione con lato destro f1(x) e Variazione" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variazioni di costanti arbitrarie (metodo Lagrange).

Trovare direttamente una soluzione particolare ad un'equazione, tranne nel caso di un'equazione a coefficienti costanti e con termini liberi speciali, è molto difficile. Pertanto, per trovare una soluzione generale dell'equazione, si utilizza solitamente il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, che consente sempre di trovare la soluzione generale dell'equazione in quadrature se è noto il sistema fondamentale delle soluzioni della corrispondente equazione omogenea . Questo metodo è il seguente.

Secondo quanto sopra, la soluzione generale di un’equazione lineare omogenea è:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" larghezza="46" altezza="25 src=">.gif" larghezza="51" altezza="25 src="> – non costanti, ma alcune funzioni di f(x), ancora sconosciute. . deve essere preso dall'intervallo. Infatti, in questo caso, il determinante di Wronski è diverso da zero in tutti i punti dell'intervallo, cioè in tutto lo spazio - la radice complessa dell'equazione caratteristica..gif" larghezza="20" altezza="25 src="> Soluzioni parziali linearmente indipendenti della forma:

Nella formula di soluzione generale, questa radice corrisponde ad un'espressione della forma.

§ 9. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Definizione di un LODE del secondo ordine a coefficienti costanti

Equazione caratteristica:

Caso 1. Discriminante maggiore di zero

Caso 2. Il discriminante è zero

Caso 3. Discriminante inferiore a zero

Algoritmo per trovare una soluzione generale ad un LODE del secondo ordine a coefficienti costanti

§ 10. Equazioni differenziali lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Determinazione degli LPDE del secondo ordine a coefficienti costanti

Metodo di variazione delle costanti

Metodo per risolvere LNDDE con un secondo membro destro speciale

Teorema sulla struttura della soluzione generale della LNDE

1. Funzione R (X) – polinomio di grado T

2. Funzione R (X) – prodotto di un numero per funzione esponenziale

3. Funzione R (X) - somma funzioni trigonometriche

Algoritmo per trovare una soluzione generale ad un LPDE con un membro destro speciale

Applicazione

§ 9. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Viene chiamata l'equazione differenziale del secondo ordine Equazione differenziale omogenea lineare (LODE) a coefficienti costanti, se assomiglia a:

Dove P E Q

Per trovare una soluzione generale ad un LODE è sufficiente trovare le sue due diverse soluzioni parziali e . Allora la soluzione generale del LODE avrà la forma

Dove CON 1 e CON

Leonard Euler ha proposto di cercare soluzioni particolari dell'LDE nella forma

Dove k– un certo numero.

Differenziando questa funzione due volte e sostituendo le espressioni con A, sì" E sì" nell'equazione, otteniamo:

L'equazione risultante viene chiamata equazione caratteristica LODU. Per compilarlo è sufficiente sostituire nell'equazione originale sì", sì" E A di conseguenza a k 2 , k e 1:

Avendo risolto l'equazione caratteristica, cioè trovare le radici k 1 e k 2, troveremo anche soluzioni particolari all'originale LODE.

L'equazione caratteristica è un'equazione quadratica, le sue radici si trovano attraverso il discriminante

In questo caso sono possibili i tre casi seguenti.

Caso 1. Discriminante maggiore di zero , quindi, le radici k 1 e k 2 validi e distinti:

k 1¹ k 2

Dove CON 1 e CON 2 – costanti arbitrarie indipendenti.

Caso 2. Il discriminante è zero , quindi, le radici k 1 e k 2 reali e uguali:

k 1 = k 2 = k

In questo caso la soluzione generale del LODE ha la forma:

Dove CON 1 e CON 2 – costanti arbitrarie indipendenti.

Caso 3. Discriminante inferiore a zero . In questo caso l’equazione non ha radici reali:

Non ci sono radici.

In questo caso la soluzione generale del LODE ha la forma:

Dove CON 1 e CON 2 – costanti indipendenti arbitrarie,

Pertanto, trovare una soluzione generale a un LODE del secondo ordine con coefficienti costanti si riduce a trovare le radici dell'equazione caratteristica e utilizzare formule per la soluzione generale dell'equazione (senza ricorrere al calcolo degli integrali).

Algoritmo per trovare una soluzione generale ad un LODE del secondo ordine a coefficienti costanti:

1. Riduci l'equazione alla forma dove P E Q– alcuni numeri reali.

2. Crea un'equazione caratteristica.

3. Trova il discriminante dell'equazione caratteristica.

4. Usando le formule (vedi Tabella 1), a seconda del segno del discriminante, scrivi la soluzione generale.

Tabella 1

Tabella delle possibili soluzioni generali

L'equazione differenziale lineare del 2° ordine (LDE) ha la seguente forma:

dove , , e – funzioni specificate, continua sull'intervallo su cui si cerca la soluzione. Supponendo che a 0 (x) ≠ 0, dividiamo la (2.1) per e, dopo aver introdotto nuove notazioni per i coefficienti, scriviamo l'equazione nella forma:

Accettiamo senza dimostrazione che (2.2) abbia un'unica soluzione su un intervallo che soddisfi qualsiasi condizione iniziale , , se sull'intervallo considerato le funzioni , e sono continue. Se , allora l'equazione (2.2) è detta omogenea, altrimenti l'equazione (2.2) è detta disomogenea.

Consideriamo le proprietà delle soluzioni del filone del 2° ordine.

Definizione. Una combinazione lineare di funzioni è l'espressione , dove sono numeri arbitrari.

Teorema. Se e – soluzione

allora anche la loro combinazione lineare sarà una soluzione di questa equazione.

Prova.

Inseriamo l'espressione nella (2.3) e mostriamo che il risultato è l'identità:

Riorganizziamo i termini:

Poiché le funzioni sono soluzioni dell'equazione (2.3), ciascuna delle parentesi nell'ultima equazione è identicamente uguale a zero, che è ciò che doveva essere dimostrato.

Corollario 1. Dal teorema dimostrato segue che se è una soluzione dell'equazione (2.3), allora esiste anche una soluzione di questa equazione.

Corollario 2. Supponendo , vediamo che la somma di due soluzioni di Lod è anche una soluzione di questa equazione.

Commento. La proprietà delle soluzioni dimostrate nel teorema rimane valida per problemi di qualsiasi ordine.

§3. Il determinante di Vronskij.

Definizione. Un sistema di funzioni si dice linearmente indipendente su un certo intervallo se nessuna di queste funzioni può essere rappresentata come una combinazione lineare di tutte le altre.

Nel caso di due funzioni ciò significa che , cioè. . L'ultima condizione può essere riscritta come o . Il determinante nel numeratore di questa espressione è è chiamato determinante di Wronski per le funzioni e . Pertanto, il determinante di Wronski per due funzioni linearmente indipendenti non può essere identicamente uguale a zero.

Permettere è il determinante di Wronski per soluzioni linearmente indipendenti ed equazione (2.3). Assicuriamoci mediante sostituzione che la funzione soddisfi l'equazione. (3.1)

Veramente, . Poiché le funzioni e soddisfano l'equazione (2.3), allora , cioè – soluzione dell'equazione (3.1). Troviamo questa soluzione: ; . , , .

. Dove ,

(3.2)

Sul lato destro di questa formula è necessario prendere il segno più, poiché solo in questo caso si ottiene l'identità. Così,

§4. Struttura della soluzione generale del filone del 2° ordine.

Teorema. Questa formula è chiamata formula di Liouville. È stato mostrato sopra che il determinante di Wronski per funzioni linearmente indipendenti non può essere identicamente uguale a zero. Di conseguenza, esiste un punto in cui il determinante per soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (2.3) è diverso da zero. Quindi dalla formula di Liouville segue che la funzione sarà diversa da zero per tutti i valori nell'intervallo in esame, poiché per qualsiasi valore entrambi i fattori sul lato destro della formula (3.2) sono diversi da zero. Se e sono soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione (2.3), allora la loro combinazione lineare

Prova.

, dove e sono costanti arbitrarie, sarà la soluzione generale di questa equazione. Che cosa è una soluzione dell'equazione (2.3), segue dal teorema sulle proprietà delle soluzioni al 2° ordine di Lodo. Dobbiamo solo mostrare che questa è la soluzione Volere generale

, cioè. è necessario mostrare che per qualsiasi condizione iniziale si possono scegliere costanti arbitrarie in modo tale da soddisfare tali condizioni. Scriviamo le condizioni iniziali nella forma:

,

Le costanti e da questo sistema di equazioni algebriche lineari sono determinate in modo univoco, poiché il determinante di questo sistema è il valore del determinante di Wronski per soluzioni linearmente indipendenti di Lodu a:

e tale determinante, come abbiamo visto nel paragrafo precedente, è diverso da zero. Il teorema è dimostrato. Esempio. , dove e sono costanti arbitrarie, è una soluzione generale di Lod.

Soluzione.

È facile verificare mediante sostituzione che le funzioni e soddisfano questa equazione. Queste funzioni sono linearmente indipendenti, poiché . Pertanto, secondo il teorema sulla struttura della soluzione generale, il 2° ordine lode è una soluzione generale di questa equazione.

Equazione differenziale lineare del secondo ordine chiamata equazione della forma

sì"" + P(X)sì" + Q(X)sì = F(X) ,

Dove sìè la funzione da trovare, e P(X) , Q(X) E F(X) - funzioni continue su un certo intervallo ( un, b) .

Se il lato destro dell'equazione è zero ( F(X) = 0), allora viene chiamata l'equazione lineare equazione omogenea . La parte pratica di questa lezione sarà principalmente dedicata a tali equazioni. Se il lato destro dell'equazione non è uguale a zero ( F(X) ≠ 0), allora l'equazione si chiama .

Nei problemi per cui dobbiamo risolvere l'equazione sì"" :

sì"" = −P(X)sì" − Q(X)sì + F(X) .

Le equazioni differenziali lineari del secondo ordine hanno un'unica soluzione Problemi di Cauchy .

Equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine e sua soluzione

Consideriamo un'equazione differenziale omogenea lineare del secondo ordine:

sì"" + P(X)sì" + Q(X)sì = 0 .

Se sì1 (X) E sì2 (X) sono soluzioni particolari di questa equazione, allora sono vere le seguenti affermazioni:

1) sì1 (X) + sì 2 (X) - è anche una soluzione a questa equazione;

2) Ci1 (X) , Dove C- Anche una costante arbitraria (costante) è una soluzione a questa equazione.

Da queste due affermazioni segue che la funzione

C1 sì 1 (X) + C 2 sì 2 (X)

è anche una soluzione a questa equazione.

Sorge una domanda giusta: è questa la soluzione Soluzione generale di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine , cioè una soluzione tale in cui, per valori diversi C1 E C2 È possibile ottenere tutte le possibili soluzioni dell’equazione?

La risposta a questa domanda è: forse, ma a determinate condizioni. Questo condizione su quali proprietà dovrebbero avere particolari soluzioni sì1 (X) E sì2 (X) .

E questa condizione si chiama condizione indipendenza lineare soluzioni private.

Teorema. Funzione C1 sì 1 (X) + C 2 sì 2 (X) è una soluzione generale a un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine se le funzioni sì1 (X) E sì2 (X) linearmente indipendenti.

Definizione. Funzioni sì1 (X) E sì2 (X) sono detti linearmente indipendenti se il loro rapporto è una costante diversa da zero:

sì1 (X)/sì 2 (X) = k ; k = cost ; k ≠ 0 .

Tuttavia, determinare per definizione se queste funzioni sono linearmente indipendenti è spesso molto laborioso. Esiste un modo per stabilire l'indipendenza lineare utilizzando il determinante di Wronski W(X) :

Se il determinante di Wronski è diverso da zero, allora le soluzioni sono linearmente indipendenti . Se il determinante di Wronski è zero, allora le soluzioni sono linearmente dipendenti.

Esempio 1. Trovare la soluzione generale di un'equazione differenziale omogenea lineare.

Soluzione. Integriamo due volte e, come è facile vedere, affinché la differenza tra la derivata seconda di una funzione e la funzione stessa sia uguale a zero, le soluzioni devono essere associate ad un esponenziale la cui derivata è uguale a se stessa. Cioè, le soluzioni parziali sono e .

Dal determinante di Wronski

non è uguale a zero, allora queste soluzioni sono linearmente indipendenti. Pertanto, la soluzione generale di questa equazione può essere scritta come:

.

Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti: teoria e pratica

Equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti chiamata equazione della forma

sì"" + pi" + qy = 0 ,

Dove P E Q- valori costanti.

Il fatto che si tratti di un'equazione del secondo ordine è indicato dalla presenza della derivata seconda della funzione desiderata, e la sua omogeneità è indicata dallo zero a destra. I valori già menzionati sopra sono detti coefficienti costanti.

A risolvere un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti , bisogna prima risolvere la cosiddetta equazione caratteristica della forma

k² + pq + Q = 0 ,

che, come si può vedere, è un'equazione quadratica ordinaria.

A seconda della soluzione dell'equazione caratteristica, sono possibili tre diverse opzioni soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti , che ora analizzeremo. Per completezza, assumeremo che tutte le soluzioni particolari siano state testate dal determinante di Wronski e che esso non sia uguale a zero in tutti i casi. Gli scettici, tuttavia, possono verificarlo da soli.

Le radici dell'equazione caratteristica sono reali e distinte

In altre parole, . In questo caso, la soluzione di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma

.

Esempio 2. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare

.

Esempio 3. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare

.

Soluzione. L'equazione caratteristica ha la forma, le sue radici e sono reali e distinte. Le corrispondenti soluzioni parziali dell'equazione sono: e . La soluzione generale di questa equazione differenziale ha la forma

.

Le radici dell'equazione caratteristica sono reali e uguali

Questo è, . In questo caso, la soluzione di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma

.

Esempio 4. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare

.

Soluzione. Equazione caratteristica ha radici uguali. Le corrispondenti soluzioni parziali dell'equazione sono: e . La soluzione generale di questa equazione differenziale ha la forma

Esempio 5. Risolvere un'equazione differenziale omogenea lineare

.

Soluzione. L'equazione caratteristica ha radici uguali. Le corrispondenti soluzioni parziali dell'equazione sono: e . La soluzione generale di questa equazione differenziale ha la forma