Equazioni differenziali.

Concetti di base sulle equazioni differenziali ordinarie.

Definizione 1. Equazione differenziale ordinaria n-esimo ordine per la funzione y discussione X è chiamata relazione della forma

dove F è una data funzione dei suoi argomenti. Nel nome di questa classe di equazioni matematiche, il termine "differenziale" sottolinea che includono le derivate (funzioni formate come risultato della differenziazione); il termine - "ordinario" dice che la funzione desiderata dipende da un solo argomento reale.

Un'equazione differenziale ordinaria potrebbe non contenere esplicitamente un argomento X, la funzione desiderata e qualsiasi sua derivata, ma la derivata più alta deve essere inclusa nell'equazione n- ordine. Per esempio

a) è un'equazione del primo ordine;

b) è un'equazione del terzo ordine.

Quando si scrivono equazioni differenziali ordinarie, viene spesso utilizzata la notazione delle derivate attraverso differenziali:

in) è un'equazione del secondo ordine;

d) è un'equazione del primo ordine,

formandosi dopo la divisione per dx forma equivalente dell'equazione: .

Una funzione è chiamata soluzione di un'equazione differenziale ordinaria se, quando sostituita in essa, diventa un'identità.

Ad esempio, l'equazione del 3° ordine

Ha una soluzione .

Trovare con un metodo o con l'altro, ad esempio, la selezione, una funzione che soddisfi un'equazione non significa risolverla. Risolvere un'equazione differenziale ordinaria significa trovare tutto funzioni che formano un'identità quando sostituite nell'equazione. Per l'equazione (1.1), la famiglia di tali funzioni è formata con l'aiuto di costanti arbitrarie ed è chiamata soluzione generale dell'equazione differenziale ordinaria n esimo ordine, e il numero di costanti coincide con l'ordine dell'equazione: y(x): In questo caso, la soluzione è chiamata integrale generale dell'equazione (1.1).

Ad esempio, la seguente espressione è una soluzione generale di un'equazione differenziale: , e il secondo termine può essere scritto come , poiché una costante arbitraria divisa per 2 può essere sostituita da una nuova costante arbitraria .

Impostando alcuni valori ammissibili per tutte le costanti arbitrarie nella soluzione generale o nell'integrale generale, otteniamo una certa funzione che non contiene più costanti arbitrarie. Questa funzione è chiamata soluzione particolare o integrale particolare dell'equazione (1.1). Per trovare i valori di costanti arbitrarie, e quindi la soluzione particolare, vengono utilizzate varie condizioni aggiuntive all'equazione (1.1). Ad esempio, possono essere fornite le cosiddette condizioni iniziali per la (1.2).

Nella parte destra delle condizioni iniziali (1.2), sono riportati i valori numerici della funzione e delle derivate e il numero totale di condizioni iniziali è uguale al numero di costanti arbitrarie da determinare.

Il problema di trovare una soluzione particolare all'equazione (1.1) dalle condizioni iniziali è chiamato problema di Cauchy.

§ 2. Equazioni differenziali ordinarie del 1° ordine - concetti di base.

Equazione differenziale ordinaria del 1° ordine ( n=1) ha la forma: oppure, se risolvibile rispetto alla derivata: . Decisione comune y=y(x, C) oppure l'integrale generale delle equazioni del 1° ordine contiene una costante arbitraria. L'unica condizione iniziale per l'equazione del 1° ordine permette di determinare il valore della costante dalla soluzione generale o dall'integrale generale. Quindi, si troverà una soluzione particolare o, che è anche il problema di Cauchy, verrà risolto. La questione dell'esistenza e dell'unicità di una soluzione al problema di Cauchy è una delle questioni centrali nella teoria generale delle equazioni differenziali ordinarie. Per un'equazione del primo ordine, in particolare, vale il teorema, che qui viene accettato senza dimostrazione.

Teorema 2.1. Se in un'equazione una funzione e la sua derivata parziale sono continue in una regione D aereo XOY , e viene dato un punto in questa regione, allora esiste e, inoltre, un'unica soluzione che soddisfa sia l'equazione che la condizione iniziale.

La soluzione geometricamente generale dell'equazione del 1° ordine è una famiglia di curve nel piano XOY, che non hanno punti in comune e differiscono l'uno dall'altro in un parametro: il valore della costante C. Queste curve sono chiamate curve integrali per l'equazione data. Le curve integrali dell'equazione hanno un'ovvia proprietà geometrica: in ogni punto, la tangente della pendenza della tangente alla curva è uguale al valore del lato destro dell'equazione in quel punto: . In altre parole, l'equazione è data nel piano XOY campo delle direzioni delle tangenti alle curve integrali. Commento: Va notato che per l'equazione vengono fornite l'equazione e la cosiddetta equazione in forma simmetrica .

Equazioni differenziali del primo ordine con variabili separabili.

Definizione. Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma (3.1)

o un'equazione della forma (3.2)

Per separare le variabili nell'equazione (3.1), cioè ridurre questa equazione alla cosiddetta equazione con variabili separate, eseguire le seguenti azioni:

;

Ora dobbiamo risolvere l'equazione g(y)=0. Se ha una soluzione reale si=a, poi y=a sarà anche una soluzione dell'equazione (3.1).

L'equazione (3.2) è ridotta a un'equazione con variabili separate dividendo per il prodotto:

, che ci permette di ottenere l'integrale generale dell'equazione (3.2): . (3.3)

Le curve integrali (3.3) saranno integrate con soluzioni se tali soluzioni esistono.

Risolvi l'equazione: .

Separazione delle variabili:

.

Integrando, otteniamo

Equazioni differenziali ordinarie.

La soluzione di vari problemi geometrici, fisici e ingegneristici porta spesso a equazioni che mettono in relazione variabili indipendenti che caratterizzano un particolare problema con alcune funzioni di queste variabili e derivate di questa funzione di vari ordini.

Ad esempio, possiamo considerare il caso più semplice di moto uniformemente accelerato di un punto materiale.

È noto che lo spostamento di un punto materiale durante un moto uniformemente accelerato è funzione del tempo ed è espresso dalla formula:

A sua volta, l'accelerazione unè la derivata del tempo t dalla velocità V, che è anche una derivata rispetto al tempo t dallo spostamento S. Quelli.

Quindi otteniamo:
- l'equazione mette in relazione la funzione f(t) con la variabile indipendente t e la derivata del secondo ordine della funzione f(t).

Definizione. equazione differenziale chiamata equazione relativa a variabili indipendenti, loro funzioni e derivate (o differenziali) di questa funzione.

Definizione. Se un'equazione differenziale ha una variabile indipendente, viene chiamata equazione differenziale ordinaria, se sono presenti due o più variabili indipendenti, viene chiamata tale equazione differenziale equazione alle derivate parziali.

Definizione. Viene chiamato l'ordine più alto delle derivate in un'equazione l'ordine dell'equazione differenziale.

Esempio.

- equazione differenziale ordinaria del 1° ordine. In generale, è scritto
.

- equazione differenziale ordinaria del 2° ordine. In generale, è scritto

- equazione differenziale in derivate parziali del primo ordine.

Definizione. Soluzione generale l'equazione differenziale è una tale funzione differenziabile y = (x, C), che, quando sostituita nell'equazione originale invece di una funzione sconosciuta, trasforma l'equazione in un'identità.

Proprietà della soluzione generale.

1) Perché Poiché la costante C è un valore arbitrario, in generale l'equazione differenziale ha un numero infinito di soluzioni.

2) In qualsiasi condizione iniziale x \u003d x 0, y (x 0) \u003d y 0, esiste un tale valore C \u003d C 0 per il quale la soluzione dell'equazione differenziale è la funzione y \u003d  (x, C0).

Definizione. Viene chiamata una soluzione della forma y \u003d  (x, C 0). decisione privata equazione differenziale.

Definizione. Problema di Cauchy(Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - Matematico francese) è chiamato trovare una soluzione particolare a un'equazione differenziale della forma y \u003d  (x, C 0) che soddisfi le condizioni iniziali y (x 0) \u003d y 0 .

Il teorema di Cauchy. (teorema sull'esistenza e unicità della soluzione dell'equazione differenziale del 1° ordine)

Se la funzionef(X, y) è continuo in alcuni dominiDin aereoXOYe ha una derivata parziale continua in questa regione
, quindi qualunque sia il punto (x 0 , y 0 ) nell'area diD, C'è solo una soluzione
equazioni
, definito in un intervallo contenente il punto x 0 , accettando per x = x 0 significato (X 0 ) = y 0 , cioè. esiste una soluzione unica per l'equazione differenziale.

Definizione. integrante equazione differenziale è qualsiasi equazione che non contenga derivate, per la quale questa equazione differenziale è una conseguenza.

Esempio. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale
.

La soluzione generale dell'equazione differenziale si cerca integrando i lati sinistro e destro dell'equazione, che viene preliminarmente trasformata come segue:

Ora integriamo:

è la soluzione generale dell'equazione differenziale originale.

Supponiamo che siano date alcune condizioni iniziali: x 0 = 1; y 0 = 2, allora abbiamo

Sostituendo il valore ottenuto della costante nella soluzione generale, otteniamo una soluzione particolare per determinate condizioni iniziali (la soluzione del problema di Cauchy).

Definizione. curva integrale viene chiamato il grafico y = (x) della soluzione di un'equazione differenziale sul piano XOY.

Definizione. soluzione speciale di un'equazione differenziale è tale soluzione, in tutti i punti di cui è chiamata la condizione di unicità di Cauchy (cfr. Il teorema di Cauchy.) non è soddisfatto, cioè in un intorno di un punto (x, y) ci sono almeno due curve integrali.

Le soluzioni singolari non dipendono dalla costante C.

Non è possibile ottenere soluzioni speciali dalla soluzione generale per nessun valore della costante C. Se costruiamo una famiglia di curve integrali di un'equazione differenziale, la soluzione speciale sarà rappresentata da una retta che tocca almeno una curva integrale in corrispondenza di ciascuno dei suoi punti.

Si noti che non tutte le equazioni differenziali hanno soluzioni singolari.

Esempio.
Trova una soluzione speciale se esiste.

Questa equazione differenziale ha anche una soluzione speciale a= 0. Questa soluzione non può essere ottenuta da quella generale, tuttavia, sostituendo nell'equazione originale, otteniamo un'identità. opinione che la soluzione y = 0 si può ottenere dalla soluzione generale per DA 1 = 0 sbagliato, perché C 1 = e C  0.

Equazioni differenziali del primo ordine.

Definizione. Equazione differenziale del primo ordineè la relazione che collega la funzione, la sua derivata prima e la variabile indipendente, cioè proporzioni:

Se questo rapporto viene convertito nel modulo
allora questa equazione differenziale del primo ordine sarà chiamata equazione, consentito rispetto alla derivata.

Rappresentiamo la funzione f(x,y) come:
quindi, sostituendo nell'equazione precedente, abbiamo:

questo cosiddetto forma differenziale equazioni del primo ordine.

Equazioni della formay ’ = f ( X ).

Sia definita e continua la funzione f(x) su un intervallo

un< x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как
. Se vengono fornite le condizioni iniziali x 0 e y 0, è possibile determinare la costante C.

Equazioni variabili separabili

Definizione. Equazione differenziale
chiamato equazione separabile se può essere scritto nel modulo

.

Questa equazione può anche essere rappresentata come:

Passiamo alla nuova notazione

Noi abbiamo:

Dopo aver trovato gli integrali corrispondenti, si ottiene una soluzione generale di un'equazione differenziale con variabili separabili.

Se sono date le condizioni iniziali, quando vengono sostituite nella soluzione generale, si trova un valore C costante e, di conseguenza, una soluzione particolare.

Esempio. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale:

L'integrale sul lato sinistro è preso per parti (vedi Fig. Integrazione per parti.):

questo è l'integrale generale dell'equazione differenziale originale, poiché la funzione desiderata e non è espressa in termini di variabile indipendente. Questo è ciò che differenza generale (privato) integrante dal generale (privato) soluzioni.

Per verificare la correttezza della risposta ottenuta, la differenziamo rispetto alla variabile x.

- Giusto

Esempio. Trova una soluzione a un'equazione differenziale
a condizione che y(2) = 1.

per y(2) = 1 otteniamo

Totale:
o
- decisione privata;

Visita medica:
, totale

- Giusto.

Esempio. risolvere l'equazione

- integrale generale

- decisione comune

Esempio. risolvere l'equazione

Esempio. risolvere l'equazione
a condizione che y(1) = 0.

L'integrale sul lato sinistro sarà preso per parti (vedi Fig. Integrazione per parti.).

Se y(1) = 0, allora

Quindi l'integrale privato è:
.

Esempio. Risolvi l'equazione.

Per trovare l'integrale sul lato sinistro dell'equazione, vedere Tabella degli integrali di base. voce 16. Otteniamo l'integrale generale:

Esempio. risolvere l'equazione

Trasformiamo l'equazione data:

Abbiamo ottenuto l'integrale generale di questa equazione differenziale. Se esprimiamo la funzione desiderata y da questa relazione, otteniamo la soluzione generale.

Esempio. risolvere l'equazione
.

;
;

Supponiamo che siano date alcune condizioni iniziali x 0 e y 0. Quindi:

Otteniamo una soluzione privata

Equazioni omogenee.

Definizione. Viene chiamata la funzione f(x, y). omogeneon– esima dimensione rispetto ai loro argomenti x e y, se per qualsiasi valore del parametro t (tranne zero) vale l'identità:

Esempio. La funzione è omogenea?

Pertanto, la funzione f(x, y) è omogenea del 3° ordine.

Definizione. Equazione differenziale della forma
chiamato omogeneo, se il suo lato destro f(x, y) è una funzione omogenea di dimensione zero rispetto ai suoi argomenti.

Qualsiasi equazione della forma è omogenea se le funzioni P(X, y) e Q(X, y) sono funzioni omogenee della stessa dimensione.

La soluzione di qualsiasi equazione omogenea si basa sulla riduzione di questa equazione a un'equazione con variabili separabili.

Considera l'equazione omogenea

Perché la funzione f(x, y) è omogenea di dimensione zero, allora possiamo scrivere:

Perché il parametro t è generalmente arbitrario, supponiamo che . Noi abbiamo:

Il lato destro dell'uguaglianza risultante dipende in realtà da un solo argomento
, cioè.

L'equazione differenziale originale può quindi essere scritta come:

quindi, abbiamo ottenuto un'equazione con variabili separabili per la funzione incognita u.

Esempio. risolvere l'equazione
.

Introduciamo una funzione ausiliaria tu.

.

Si noti che la funzione introdotta da noi tuè sempre positivo, perché in caso contrario, l'equazione differenziale originale contenente
.

Sostituiamo nell'equazione originale:

Separazione delle variabili:

Integrando si ottiene:

Ripassando dalla funzione ausiliaria alla funzione y, otteniamo la soluzione generale:

Equazioni che si riducono a omogenee.

Oltre alle equazioni sopra descritte, esiste una classe di equazioni che, con l'aiuto di alcune sostituzioni, possono essere ridotte a omogenee.

Queste sono equazioni della forma
.

Se il determinante
quindi le variabili possono essere separate per sostituzione

dove  e  sono soluzioni del sistema di equazioni

Esempio. risolvere l'equazione

Noi abbiamo

Trovare il valore del determinante
.

Risolviamo il sistema di equazioni

Applichiamo la sostituzione nell'equazione originale:

Sostituzione della variabile
sostituendo nell'espressione sopra scritta, abbiamo:

Viene considerato un metodo per risolvere equazioni differenziali con variabili separabili. Viene fornito un esempio di soluzione dettagliata di un'equazione differenziale con variabili separabili.

Contenuto

Definizione

Let s (X), q (X)- funzioni della variabile x ;
p (y), r (y)- funzioni della variabile y .

Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma

Metodo per risolvere un'equazione differenziale con variabili separabili

Considera l'equazione:
(io) .
Esprimiamo la derivata y in termini di differenziali.
;
.
Moltiplica per dx .
(ii)
Dividi l'equazione per s (x)r(y). Questo può essere fatto se s (x) r(y) ≠ 0. Per s (x) r(y) ≠ 0 noi abbiamo
.
Integrando si ottiene l'integrale generale in quadrature
(iii) .

Poiché abbiamo diviso per s (x)r(y), quindi otteniamo l'integrale dell'equazione per s (x) ≠ 0 e r (y) ≠ 0. Successivamente, è necessario risolvere l'equazione
r (y) = 0.
Se questa equazione ha radici, allora sono anche soluzioni dell'equazione (i). Sia l'equazione r (y) = 0. ha n radici a i , r (a io ) = 0, io = 1, 2, ... , n. Allora le costanti y = a i sono soluzioni dell'equazione (i). Alcune di queste soluzioni possono essere già contenute nell'integrale generale (iii).

Si noti che se l'equazione originale è data nella forma (ii), anche l'equazione dovrebbe essere risolta
S (x) = 0.
Le sue radici b j , s (bj) = 0, j = 1, 2, ... , m. dare soluzioni x = b j .

Un esempio di risoluzione di un'equazione differenziale con variabili separabili

risolvere l'equazione

Esprimiamo la derivata in termini di differenziali:


Moltiplica per dx e dividi per . Per y ≠ 0 abbiamo:

Integriamo.

Calcoliamo gli integrali usando la formula.



Sostituendo, otteniamo l'integrale generale dell'equazione
.

Consideriamo ora il caso, y = 0 .
È ovvio che y = 0 è una soluzione dell'equazione originale. Non è incluso nell'integrale generale.
Quindi aggiungiamolo al risultato finale.

; y= 0 .

Riferimenti:
NM Gunther, RO Kuzmin, Raccolta di problemi in matematica superiore, Lan, 2003.

Spesso, la semplice menzione di equazioni differenziali mette gli studenti a disagio. Perché sta succedendo? Molto spesso, perché quando si studiano le basi del materiale, sorge una lacuna nella conoscenza, a causa della quale un ulteriore studio delle differenze diventa semplicemente una tortura. Niente è chiaro cosa fare, come decidere da dove iniziare?

Tuttavia, cercheremo di mostrarti che le diffuse non sono così difficili come sembrano.

Concetti di base della teoria delle equazioni differenziali

Da scuola, conosciamo le equazioni più semplici in cui dobbiamo trovare l'incognita x. Infatti equazioni differenziali solo leggermente diverso da loro - invece di una variabile X hanno bisogno di trovare una funzione y(x) , che trasformerà l'equazione in un'identità.

Le equazioni differenziali sono di grande importanza pratica. Questa non è una matematica astratta che non ha nulla a che fare con il mondo che ci circonda. Con l'aiuto di equazioni differenziali, vengono descritti molti processi naturali reali. Ad esempio, le vibrazioni delle corde, il movimento di un oscillatore armonico, per mezzo di equazioni differenziali in problemi di meccanica, trovano la velocità e l'accelerazione di un corpo. Anche DU sono ampiamente utilizzati in biologia, chimica, economia e molte altre scienze.

Equazione differenziale (DU) è un'equazione contenente le derivate della funzione y(x), la funzione stessa, variabili indipendenti e altri parametri in varie combinazioni.

Esistono molti tipi di equazioni differenziali: equazioni differenziali ordinarie, lineari e non lineari, omogenee e non omogenee, equazioni differenziali del primo e dell'ordine superiore, equazioni alle derivate parziali e così via.

La soluzione di un'equazione differenziale è una funzione che la trasforma in identità. Esistono soluzioni generali e particolari di telecomando.

La soluzione generale dell'equazione differenziale è l'insieme generale di soluzioni che trasformano l'equazione in un'identità. Una soluzione particolare di un'equazione differenziale è una soluzione che soddisfa condizioni aggiuntive specificate inizialmente.

L'ordine di un'equazione differenziale è determinato dall'ordine più alto delle derivate in essa incluse.

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie sono equazioni contenenti una variabile indipendente.

Si consideri la più semplice equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Sembra:

Questa equazione può essere risolta semplicemente integrando il suo lato destro.

Esempi di tali equazioni:

Equazioni variabili separabili

In generale, questo tipo di equazione si presenta così:

Ecco un esempio:

Risolvendo una tale equazione, è necessario separare le variabili, portandole nella forma:

Dopodiché, resta da integrare entrambe le parti e ottenere una soluzione.

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Tali equazioni assumono la forma:

Qui p(x) e q(x) sono alcune funzioni della variabile indipendente e y=y(x) è la funzione desiderata. Ecco un esempio di tale equazione:

Risolvendo una tale equazione, il più delle volte usano il metodo di variazione di una costante arbitraria o rappresentano la funzione desiderata come prodotto di altre due funzioni y(x)=u(x)v(x).

Per risolvere tali equazioni è necessaria una certa preparazione e sarà abbastanza difficile prenderle "per capriccio".

Un esempio di risoluzione di un DE con variabili separabili

Quindi abbiamo considerato i tipi più semplici di telecomando. Ora diamo un'occhiata a uno di loro. Sia un'equazione con variabili separabili.

Innanzitutto, riscriviamo la derivata in una forma più familiare:

Quindi separeremo le variabili, ovvero in una parte dell'equazione raccoglieremo tutti i "giochi" e nell'altra le "x":

Ora resta da integrare entrambe le parti:

Integriamo e otteniamo la soluzione generale di questa equazione:

Naturalmente, risolvere equazioni differenziali è una specie di arte. Devi essere in grado di capire a quale tipo appartiene un'equazione e anche imparare a vedere quali trasformazioni devi fare con essa per portarla in una forma o nell'altra, per non parlare solo della capacità di differenziare e integrare. E ci vuole pratica (come per tutto) per riuscire a risolvere DE. E se al momento non hai tempo per capire come si risolvono le equazioni differenziali o il problema di Cauchy ti è sorto come un osso in gola o non sai come formattare correttamente una presentazione, contatta i nostri autori. In breve tempo, ti forniremo una soluzione già pronta e dettagliata, i cui dettagli potrai comprendere in qualsiasi momento a te conveniente. Nel frattempo, ti suggeriamo di guardare un video sull'argomento "Come risolvere le equazioni differenziali":

Viene considerato un metodo per risolvere le equazioni differenziali riducendole a equazioni con variabili separabili. Viene fornito un esempio di una soluzione dettagliata di un'equazione differenziale che si riduce a un'equazione con variabili separabili.

Contenuto

Formulazione del problema

Considera l'equazione differenziale
(io) ,
dove f è una funzione, a, b, c sono costanti, b ≠ 0 .
Questa equazione è ridotta a un'equazione con variabili separabili.

Metodo di soluzione

Facciamo una sostituzione:
u = ax + di + c
Qui y è una funzione di x . Pertanto, u è anche una funzione di x .
Differenziare rispetto a x
u′ = (ax + per + c)′ = a + per′
Sostituto (io)
u′ = a + per′ = a + b f(ax + per + c) = a + b f (u)
O:
(ii)
Separare le variabili. Moltiplica per dx e dividi per a + b f (u). Se a + b f (u) ≠ 0, poi

Integrando si ottiene l'integrale generale dell'equazione originale (io) in quadrati:
(iii) .

Infine, considera il caso
(iv) a + b f (u) = 0.
Supponiamo che questa equazione abbia n radici u = r i , a + b f (r io ) = 0, io = 1, 2, ...n. Poiché la funzione u = r i è costante, la sua derivata rispetto a x è uguale a zero. Pertanto, u = r i è una soluzione dell'equazione (ii).
Tuttavia, l'equazione (ii) non corrisponde all'equazione originale (io) e, forse, non tutte le soluzioni u = r i , espresse in termini di variabili x e y , soddisfano l'equazione originale (io).

Pertanto, la soluzione dell'equazione originale è l'integrale generale (iii) e alcune radici dell'equazione (iv).

Un esempio di risoluzione di un'equazione differenziale che si riduce a un'equazione con variabili separabili

risolvere l'equazione
(1)

Facciamo una sostituzione:
u = x - y
Differenziare rispetto a x ed eseguire trasformazioni:
;

Moltiplica per dx e dividi per u 2 .

Se u ≠ 0, quindi otteniamo:

Integriamo:

Applichiamo la formula dalla tabella degli integrali:

Calcoliamo l'integrale

Quindi
;
, o

Decisione comune:
.

Consideriamo ora il caso u = 0 o u = x - y = 0 , o
y=x.
Poiché y′ = (x)′ = 1, allora y = x è una soluzione dell'equazione originale (1) .

;
.

Riferimenti:
NM Gunther, RO Kuzmin, Raccolta di problemi in matematica superiore, Lan, 2003.