Divisione di numeri con segni diversi: regola ed esempi. Divisione di numeri con segni diversi, regola, esempi Moltiplicazione di numeri negativi e positivi

Argomento della lezione aperta: "Moltiplicazione di numeri negativi e positivi"

L'appuntamento: 17/03/2017

Insegnante: Kuts V.V.

Classe: 6 g

Scopo e obiettivi della lezione:

introdurre regole per moltiplicare due numeri negativi e numeri con segno diverso;

promuovere lo sviluppo del linguaggio matematico, della memoria di lavoro, dell'attenzione volontaria, del pensiero visivo-efficace;

formazione di processi interni di sviluppo intellettuale, personale, emotivo.

coltivare una cultura del comportamento nel lavoro frontale, individuale e di gruppo.

Tipo di lezione: lezione di presentazione primaria di nuove conoscenze

Forme di studio: frontale, lavoro in coppia, lavoro in gruppo, lavoro individuale.

Metodi di insegnamento: verbale (conversazione, dialogo); visivo (lavorare con materiale didattico); deduttivo (analisi, applicazione delle conoscenze, generalizzazione, attività progettuali).

Concetti e termini : modulo di numero, numeri positivi e negativi, moltiplicazione.

Risultati pianificati apprendimento

- saper moltiplicare numeri con segni diversi, moltiplicare numeri negativi;

Applica la regola per moltiplicare numeri positivi e negativi quando risolvi esercizi, fissa le regole per moltiplicare frazioni decimali e ordinarie.

Regolamentazione - essere in grado di determinare e formulare l'obiettivo nella lezione con l'aiuto di un insegnante; pronuncia la sequenza di azioni nella lezione; lavorare secondo un piano collettivo; valutare la correttezza dell'azione. Pianifica la tua azione in base al compito; apportare gli adeguamenti necessari all'azione dopo il suo completamento sulla base della sua valutazione e tenendo conto degli errori commessi; esprimi la tua ipotesi.comunicativo - essere in grado di formulare oralmente i propri pensieri; ascoltare e comprendere il discorso degli altri; concordare congiuntamente le regole di comportamento e di comunicazione a scuola e seguirle.

cognitivo - saper navigare nel proprio sistema di conoscenze, distinguere nuove conoscenze da già conosciute con l'aiuto di un insegnante; acquisire nuove conoscenze; trova le risposte alle domande usando il libro di testo, la tua esperienza di vita e le informazioni ricevute durante la lezione.

Formazione di un atteggiamento responsabile nei confronti dell'apprendimento basato sulla motivazione ad apprendere cose nuove;

Formazione della competenza comunicativa nel processo di comunicazione e cooperazione con i pari nelle attività educative;

Essere in grado di svolgere un'autovalutazione basata sul criterio del successo delle attività educative; concentrarsi sul successo dell'apprendimento.

Durante le lezioni

Elementi strutturali della lezione

Compiti didattici

Attività dell'insegnante prevista

Attività studentesca prevista

Risultato

1. Momento organizzativo

Motivazione per attività di successo

Verifica la disponibilità per la lezione.

- Buon pomeriggio ragazzi! Siediti! Verifica di avere tutto pronto per la lezione: quaderno e libro di testo, diario e materiale per scrivere.

Sono felice di vederti alla lezione oggi di buon umore.

Guardati negli occhi, sorridi, augura al tuo compagno un buon umore lavorativo con gli occhi.

Ti auguro anche un buon lavoro oggi.

Ragazzi, il motto della lezione di oggi sarà una citazione dello scrittore francese Anatole France:

“Imparare non può che essere divertente. Per digerire la conoscenza, bisogna assorbirla con gusto”.

Ragazzi, chi mi dirà cosa significa assorbire la conoscenza con appetito?

Quindi oggi assorbiremo le conoscenze con grande piacere durante la lezione, perché ci saranno utili in futuro.

Pertanto, apriamo i quaderni e scriviamo il numero, ottimo lavoro.

Umore emotivo

- Con interesse, con piacere.

Pronto per iniziare la lezione

Motivazione positiva per imparare un nuovo argomento

2. Attivazione dell'attività cognitiva

Preparali ad apprendere nuove conoscenze e modi di fare le cose.

Organizzare un sondaggio faccia a faccia sul materiale trattato.

Ragazzi, chi mi dirà qual è l'abilità più importante in matematica? ( Dai un'occhiata). Correttamente.

Quindi ti metterò alla prova ora, quanto sai contare.

Ora faremo un esercizio di matematica.

Lavoriamo come al solito, contiamo oralmente e scriviamo la risposta per iscritto. Ti do 1 min.

5,2-6,7=-1,5

2,9+0,3=-2,6

9+0,3=9,3

6+7,21=13,21

15,22-3,34=-18,56

Controlliamo le risposte.

Controlleremo le risposte, se sei d'accordo con la risposta, poi batti le mani, se non sei d'accordo, poi pesti i piedi.

Bravi ragazzi.

Dimmi, quali azioni abbiamo eseguito con i numeri?

Quale regola abbiamo usato per contare?

Formula queste regole.

Rispondi alle domande risolvendo piccoli esempi.

Addizione e sottrazione.

Sommando numeri con segni diversi, sommando numeri con segni negativi e sottraendo numeri positivi e negativi.

La prontezza degli studenti a formulare un problema problematico, a trovare modi per risolvere il problema.

3. Motivazione per stabilire l'argomento e lo scopo della lezione

Incoraggiare gli studenti a definire l'argomento e lo scopo della lezione.

Organizzare il lavoro in coppia.

Bene, è ora di passare allo studio di nuovo materiale, ma prima ripetiamo il materiale delle lezioni precedenti. Un cruciverba matematico ci aiuterà in questo.

Ma questo cruciverba non è ordinario, contiene una parola chiave che ci racconterà l'argomento della lezione di oggi.

Il cruciverba giace sui vostri tavoli, lo lavoreremo in coppia. E una volta in coppia, allora mi ricordi com'è in coppia?

Ci siamo ricordati della regola del lavoro in coppia, ma ora iniziamo a risolvere il cruciverba, ti do 1,5 minuti. Chi fa tutto, metta le sue penne così posso vedere.

(Allegato 1)

1. Quali numeri vengono utilizzati per il conteggio?

2. Si chiama la distanza dall'origine a qualsiasi punto?

3. I numeri rappresentati da una frazione vengono chiamati?

4. Due numeri che differiscono tra loro solo per i segni chiamati?

5. Quali numeri si trovano a destra di zero sulla linea delle coordinate?

6. Si chiamano i numeri naturali, i loro numeri opposti e lo zero?

7. Quale numero è chiamato neutro?

8. Un numero che mostra la posizione di un punto su una retta?

9. Quali numeri si trovano a sinistra di zero sulla linea delle coordinate?

Quindi, il tempo è scaduto. Controlliamo.

Abbiamo risolto l'intero cruciverba e quindi ripetuto il materiale delle lezioni precedenti. Alzi la mano chi ha commesso un solo errore e chi ne ha fatti due? (Quindi ragazzi siete fantastici).

Bene, ora torniamo al nostro cruciverba. All'inizio ho detto che conteneva una parola che ci avrebbe detto l'argomento della lezione.

Allora, qual è l'argomento della nostra lezione?

E cosa moltiplichiamo oggi?

Pensiamo, per questo ricordiamo i tipi di numeri che già conosciamo.

Pensiamo a quali numeri sappiamo già moltiplicare?

Quali numeri impareremo a moltiplicare oggi?

Scrivi sul tuo quaderno l'argomento della lezione: "Moltiplicare numeri positivi e negativi".

Quindi, ragazzi, abbiamo capito di cosa parleremo oggi nella lezione.

Dimmi, per favore, lo scopo della nostra lezione, cosa dovrebbe imparare ciascuno di voi e cosa dovrebbe cercare di imparare entro la fine della lezione?

Ragazzi, bene, per raggiungere questo obiettivo, quali compiti dovremo risolvere con voi?

Giusto. Questi sono i due compiti che dovremo risolvere con voi oggi.

Lavorare in coppia, impostare l'argomento e lo scopo della lezione.

1.Naturale

2.Modulo

3. Razionale

4.Di fronte

5. Positivo

6. Intero

7.Zero

8.Coordinare

9. Negativo

-"Moltiplicazione"

Numeri positivi e negativi

"Moltiplicazione di numeri positivi e negativi"

Lo scopo della lezione:

Impara a moltiplicare numeri positivi e negativi

Innanzitutto, per imparare a moltiplicare numeri positivi e negativi, devi ottenere una regola.

In secondo luogo, quando otteniamo la regola, cosa dovremmo fare? (impara ad applicarlo quando risolvi gli esempi).

4. Imparare nuove conoscenze e modi di agire

Acquisire nuove conoscenze sull'argomento.

-Organizzare il lavoro in gruppo (apprendimento di nuovo materiale)

- Ora, per raggiungere il nostro obiettivo, inizieremo il primo compito, deriveremo una regola per moltiplicare numeri positivi e negativi.

E il lavoro di ricerca ci aiuterà in questo. E chi mi dirà perché si chiama ricerca? - In questo lavoro esploreremo per scoprire le regole "Moltiplicazione di numeri positivi e negativi".

Il tuo lavoro di ricerca si svolgerà in gruppi, in totale avremo 5 gruppi di ricerca.

Ci siamo ripetuti nella testa come dovremmo lavorare in gruppo. Se qualcuno ha dimenticato, le regole sono di fronte a te sullo schermo.

Lo scopo del tuo lavoro di ricerca: esplorando i compiti, deduci gradualmente la regola "Moltiplicazione di numeri negativi e positivi" nell'attività n. 2, nell'attività n. 1 hai 4 attività in totale. E per risolvere questi problemi, il nostro termometro ti aiuterà, ogni gruppo ne ha uno.

Tutte le voci sono fatte su un pezzo di carta.

Una volta che il gruppo ha una soluzione per il primo problema, la mostri alla lavagna.

Ti vengono dati 5-7 minuti per lavorare.

(Allegato 2 )

Lavorare in gruppi (compilare la tabella, condurre ricerche)

Regole per lavorare in gruppo.

Lavorare in gruppo è molto facile

Conosci cinque regole da seguire:

primo: non interrompere,

quando racconta

amico, dovrebbe esserci silenzio intorno;

secondo: non gridare forte,

e dare argomenti;

e la terza regola è semplicemente:

decidere cosa è importante per te;

quarto: non basta sapere oralmente

deve essere registrato;

e quinto: riassumere, pensare,

cosa potresti fare

Padronanza

le conoscenze e i metodi di azione determinati dagli obiettivi della lezione

5.Fizminutka

Stabilire la correttezza dell'assimilazione di nuovo materiale in questa fase, identificare idee sbagliate e la loro correzione

Ok, ho messo tutte le tue risposte nella tabella, ora diamo un'occhiata a ogni riga nella nostra tabella (vedi presentazione)

Quali conclusioni possiamo trarre dallo studio della tabella.

1 riga. Quali numeri stiamo moltiplicando? Che numero è la risposta?

2 righe. Quali numeri stiamo moltiplicando? Che numero è la risposta?

3 righe. Quali numeri stiamo moltiplicando? Che numero è la risposta?

4 righe. Quali numeri stiamo moltiplicando? Che numero è la risposta?

E così hai analizzato gli esempi e sei pronto a formulare le regole, per questo hai dovuto colmare le lacune nel secondo compito.

Come moltiplicare un numero negativo per uno positivo?

- Come moltiplicare due numeri negativi?

Riposiamoci un po'.

Risposta positiva - siediti, negativa - alzati.

5*6

2*2

7*(-4)

2*(-3)

8*(-8)

7*(-2)

5*3

4*(-9)

5*(-5)

9*(-8)

15*(-3)

7*(-6)

Moltiplicando i numeri positivi si ottiene sempre un numero positivo.

Moltiplicando un numero negativo per un numero positivo si ottiene sempre un numero negativo.

Moltiplicando i numeri negativi si ottiene sempre un numero positivo.

Moltiplicando un numero positivo per un numero negativo si ottiene un numero negativo.

Per moltiplicare due numeri con segni diversi,moltiplicare moduli di questi numeri e metti un segno "-" davanti al numero risultante.

- Per moltiplicare due numeri negativi, è necessariomoltiplicare loro moduli e mettere un segno davanti al numero risultante «+».

Gli studenti eseguono esercizi fisici, rafforzando le regole.

Prevenire la fatica

7.Fissaggio primario di nuovo materiale

Per padroneggiare la capacità di applicare le conoscenze acquisite nella pratica.

Organizzare un lavoro frontale e indipendente sul materiale coperto.

Fisseremo le regole e ci racconteremo in coppia queste stesse regole. Ti do un minuto per questo.

Dimmi, possiamo ora passare alla risoluzione di esempi? Sì possiamo.

Apriamo pagina 192 n. 1121

Tutti insieme faremo la prima e la seconda riga a) 5 * (-6) = 30

b) 9*(-3)=-27

g) 0,7*(-8)=-5,6

h) -0,5*6=-3

n) 1,2*(-14)=-16,8

o) -20,5*(-46)=943

tre persone alla lavagna

Hai 5 minuti per risolvere gli esempi.

E controlliamo tutto insieme.

Attività creative in coppia (Appendice 3)

Inserisci i numeri in modo che su ogni piano il loro prodotto sia uguale al numero sul tetto della casa.

Risolvi esempi utilizzando le conoscenze acquisite

Alzi la mano chi non ha commesso errori, bravo....

Azioni attive degli studenti per applicare la conoscenza nella vita.

9. Riflessione (esito della lezione, valutazione dei risultati delle attività degli studenti)

Fornire agli studenti una riflessione, ad es. la loro valutazione delle loro attività

Organizza un riassunto della lezione

La nostra lezione è giunta al termine, riassumiamo.

Rivisitiamo l'argomento della nostra lezione, vero? Qual era il nostro obiettivo? - Abbiamo raggiunto questo obiettivo?

Quali difficoltà ti ha creato questo argomento?

- Ragazzi, bene, per valutare il vostro lavoro nella lezione, dovete disegnare una faccina sorridente in cerchi che sono sui vostri tavoli.

Un'emoticon sorridente significa che capisci tutto. Il verde significa che capisci, ma devi esercitarti e una faccina triste, se non capisci nulla. (Dammi mezzo minuto)

Bene, ragazzi, siete pronti a mostrare come avete lavorato in classe oggi? Quindi, alziamo e, io rilancio anche una faccina per te.

Sono molto contento di te oggi alla lezione! Vedo che tutti hanno capito il materiale. Ragazzi, siete fantastici!

Lezione finita, grazie per aver letto!

Rispondi alle domande e valuta il tuo lavoro

Si NOI abbiamo.

L'apertura degli studenti al trasferimento e alla comprensione delle loro azioni, per identificare gli aspetti positivi e negativi della lezione

10 .Informazioni sui compiti

Fornire una comprensione dello scopo, del contenuto e dei metodi di fare i compiti

Fornisce la comprensione dello scopo dei compiti.

Compiti a casa:

1. Impara le regole della moltiplicazione
2. N. 1121 (3a colonna).
3. Compito creativo: componi un test di 5 domande a scelta multipla.

Scrivi i compiti, cercando di comprendere e capire.

Attuazione della necessità di raggiungere le condizioni per il completamento con successo dei compiti da parte di tutti gli studenti, in conformità con il compito e il livello di sviluppo degli studenti

In questo articolo, daremo una definizione di divisione di un numero negativo per uno negativo, formuleremo e giustificheremo la regola, forniremo esempi di divisione di numeri negativi e analizzeremo il corso della loro soluzione.

Divisione di numeri negativi. regola

Ricordiamo qual è l'essenza dell'operazione di divisione. Questa azione è la scoperta di un moltiplicatore sconosciuto per un prodotto noto e un altro moltiplicatore noto. Un numero c si dice quoziente dalla divisione dei numeri aeb se il prodotto c · b = a è vero. In questo caso, a ÷ b = c .

Regola per dividere i numeri negativi

Il quoziente di divisione di un numero negativo per un altro numero negativo è uguale al quoziente di divisione dei moduli di questi numeri.

Siano aeb numeri negativi. Quindi

a ÷ b = a ÷ b .

Questa regola riduce la divisione di due numeri negativi alla divisione di numeri positivi. Vale non solo per gli interi, ma anche per i numeri razionali e reali. Il risultato della divisione di un numero negativo per un numero negativo è sempre un numero positivo.

Ecco un'altra formulazione di questa regola, adatta per numeri razionali e reali. Si dà usando numeri reciproci e dice: per dividere un numero negativo a per il numero indefinito, moltiplicare per il numero b - 1 , il reciproco di b .

a ÷ b = a · b - 1 .

La stessa regola che riduce la divisione alla moltiplicazione può essere applicata anche alla divisione di numeri con segni diversi.

L'uguaglianza a ÷ b = a b - 1 può essere dimostrata utilizzando la proprietà di moltiplicazione dei numeri reali e la definizione di numeri reciproci. Scriviamo le uguaglianze:

un b - 1 b = un b - 1 b = un 1 = un .

In virtù della definizione dell'operazione di divisione, questa uguaglianza dimostra che esiste un quoziente nella divisione di un numero per il numero b.
Passiamo agli esempi.

Iniziamo con casi semplici, per passare a quelli più complessi.

Esempio 1. Come dividere i numeri negativi

Dividi - 18 per - 3 .
I moduli divisore e dividendo sono rispettivamente 3 e 18. Scriviamo:

18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6 .

Esempio 2. Come dividere i numeri negativi

Dividi - 5 per - 2 .
Allo stesso modo, scriviamo secondo la regola:

5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .

Lo stesso risultato si otterrà se utilizziamo la seconda formulazione della regola con il numero inverso.

5 ÷ - 2 = - 5 - 1 2 = 5 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .

Quando si dividono numeri razionali frazionari, è più conveniente rappresentarli come frazioni ordinarie. Tuttavia, puoi anche dividere i decimali finali.

Esempio 3. Come dividere i numeri negativi

Dividere - 0,004 per - 0,25 .

Per prima cosa, scriviamo i moduli di questi numeri: 0 , 004 e 0 , 25 .

Ora puoi scegliere uno dei due metodi:

1. Separa le frazioni decimali con una colonna.
2. Vai alle frazioni ordinarie ed esegui la divisione.

Diamo un'occhiata a entrambi i metodi.

1. Eseguendo la divisione delle frazioni decimali per una colonna, spostare la virgola di due cifre a destra.

Risposta: - 0, 004 ÷ 0, 25 = 0, 016

2. Ora diamo una soluzione con la traduzione delle frazioni decimali in quelle ordinarie.

0 , 004 = 4 1000 ; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0 , 016

I risultati ottenuti sono gli stessi.

In conclusione, notiamo che se il dividendo e il divisore sono numeri irrazionali e sono dati in termini di radici, potenze, logaritmi, ecc., il risultato della divisione viene scritto come un'espressione numerica, il cui valore approssimativo viene calcolato se necessario.

Esempio 4. Come dividere i numeri negativi

Calcola il quoziente dei numeri - 0 , 5 e - 5 .

0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Compito 1. Un punto si muove in linea retta da sinistra a destra con una velocità di 4 dm. al secondo e sta attualmente passando per il punto A. Dove sarà il punto in movimento dopo 5 secondi?

È facile capire che il punto sarà a 20 dm. a destra di A. Scriviamo la soluzione di questo problema in numeri relativi. Per fare ciò, siamo d'accordo sui seguenti segni:

1) la velocità a destra sarà indicata dal segno +, a sinistra dal segno -, 2) la distanza del punto in movimento da A a destra sarà indicata dal segno + ea sinistra dal segno -, 3) l'intervallo di tempo dopo il momento presente dal segno + e fino al momento presente dal segno -. Nel nostro problema vengono dati i seguenti numeri: velocità = + 4 dm. al secondo, tempo \u003d + 5 secondi e si è scoperto, come hanno capito aritmeticamente, il numero + 20 dm., Esprimendo la distanza del punto in movimento da A dopo 5 secondi. Dal significato del problema, vediamo che si riferisce alla moltiplicazione. Pertanto, è conveniente scrivere la soluzione del problema:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Compito 2. Un punto si muove in linea retta da sinistra a destra con una velocità di 4 dm. al secondo e sta attualmente passando per il punto A. Dov'era questo punto 5 secondi fa?

La risposta è chiara: il punto era a sinistra di A ad una distanza di 20 dm.

La soluzione è conveniente, a seconda delle condizioni relative ai segni, e, tenendo presente che il significato del problema non è cambiato, scrivilo come segue:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Compito 3. Un punto si muove in linea retta da destra a sinistra con una velocità di 4 dm. al secondo e sta attualmente passando per il punto A. Dove sarà il punto in movimento dopo 5 secondi?

La risposta è chiara: 20 dm. a sinistra di A. Pertanto, nelle stesse condizioni di segno, possiamo scrivere la soluzione a questo problema come segue:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Compito 4. Un punto si muove in linea retta da destra a sinistra con una velocità di 4 dm. al secondo e sta attualmente passando per il punto A. Dov'era il punto in movimento 5 secondi fa?

La risposta è chiara: a una distanza di 20 dm. a destra di A. Pertanto, la soluzione a questo problema dovrebbe essere scritta come segue:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

I problemi considerati indicano come estendere l'azione della moltiplicazione ai numeri relativi. Abbiamo nei problemi 4 casi di moltiplicazione di numeri con tutte le possibili combinazioni di segni:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

In tutti e quattro i casi, i valori assoluti di questi numeri devono essere moltiplicati, il prodotto deve mettere un segno + quando i fattori hanno lo stesso segno (1° e 4° caso) e segno -, quando i fattori hanno segni diversi(casi 2 e 3).

Da qui vediamo che il prodotto non cambia dalla permutazione del moltiplicando e del moltiplicatore.

Esercizi.

Facciamo un esempio di calcolo, che include sia l'addizione che la sottrazione e la moltiplicazione.

Per non confondere l'ordine delle azioni, presta attenzione alla formula

Qui si scrive la somma dei prodotti di due coppie di numeri: quindi prima si moltiplica il numero a per il numero b, poi si moltiplica il numero c per il numero d, quindi si sommano i prodotti risultanti. Anche nella formula

devi prima moltiplicare il numero b per c e poi sottrarre il prodotto risultante da a.

Se vuoi sommare il prodotto dei numeri aeb a c e moltiplicare la somma risultante per d, allora dovresti scrivere: (ab + c)d (confronta con la formula ab + cd).

Se fosse necessario moltiplicare la differenza dei numeri aeb per c, allora scriveremmo (a - b)c (confrontare con la formula a - bc).

Pertanto, stabiliremo in generale che se l'ordine delle azioni non è indicato tra parentesi, dobbiamo prima eseguire la moltiplicazione, quindi l'addizione o la sottrazione.

Procediamo al calcolo della nostra espressione: eseguiamo prima le addizioni scritte all'interno di tutte le parentesi piccole, otteniamo:

Ora dobbiamo eseguire la moltiplicazione all'interno delle parentesi quadre e quindi sottrarre il prodotto risultante da:

Ora eseguiamo le azioni all'interno delle parentesi tonde: prima la moltiplicazione e poi la sottrazione:

Ora resta da eseguire la moltiplicazione e la sottrazione:

16. Il prodotto di più fattori. Sia richiesto di trovare

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Qui occorre moltiplicare il primo numero per il secondo, il prodotto risultante per il 3 e così via Non è difficile stabilire in base al precedente che i valori assoluti di tutti i numeri devono essere moltiplicati tra loro.

Se tutti i fattori erano positivi, allora sulla base del precedente troviamo che il prodotto deve avere anche il segno +. Se uno qualsiasi dei fattori fosse negativo

es. (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

quindi il prodotto di tutti i fattori che lo precedono darebbe un segno + (nel nostro esempio, (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, moltiplicando il prodotto risultante per un numero negativo (nel nostro esempio , +24 per -1) otterrebbe il segno del nuovo prodotto -; moltiplicandolo per il successivo fattore positivo (nel nostro esempio -24 per +5), otteniamo di nuovo un numero negativo; poiché tutti gli altri fattori sono assunti positivo, il segno del prodotto non può più cambiare.

Se ci fossero due fattori negativi, allora, argomentando come sopra, troverebbero che in un primo momento, fino a raggiungere il primo fattore negativo, il prodotto sarebbe positivo, moltiplicandolo per il primo fattore negativo, il nuovo prodotto risulterebbe essere negativo e tale sarebbe e rimanere fino a raggiungere il secondo fattore negativo; quindi, moltiplicando un numero negativo per uno negativo, il nuovo prodotto risulterebbe positivo, che rimarrà tale in futuro, se gli altri fattori sono positivi.

Se esistesse anche un terzo fattore negativo, allora il prodotto positivo ottenuto moltiplicandolo per questo terzo fattore negativo diverrebbe negativo; rimarrebbe tale se gli altri fattori fossero tutti positivi. Ma se c'è anche un quarto fattore negativo, moltiplicarlo renderà il prodotto positivo. Argomentando allo stesso modo, troviamo che in generale:

Per scoprire il segno del prodotto di più fattori, bisogna guardare quanti di questi fattori sono negativi: se non ce ne sono o se sono pari, allora il prodotto è positivo: se c'è un numero dispari di fattori negativi, allora il prodotto è negativo.

Quindi ora possiamo scoprirlo facilmente

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Ora è facile vedere che il segno del prodotto, così come il suo valore assoluto, non dipendono dall'ordine dei fattori.

Conviene, quando si tratta di numeri frazionari, trovare subito il prodotto:

Questo è conveniente perché non devi fare moltiplicazioni inutili, poiché l'espressione frazionaria precedentemente ottenuta viene ridotta il più possibile.

Questo articolo fornisce una panoramica dettagliata dividere i numeri con segni diversi. Innanzitutto, viene data la regola per dividere i numeri con segni diversi. Di seguito sono riportati esempi di divisione dei numeri positivi per negativi e negativi per positivi.

Navigazione della pagina.

Regola per dividere i numeri con segni diversi

Nella divisione articoli degli interi si ottiene la regola per dividere gli interi con segni diversi. Può essere esteso sia ai numeri razionali che ai numeri reali ripetendo tutti gli argomenti dell'articolo specificato.

Così, regola per dividere i numeri con segni diversi ha la seguente formulazione: per dividere un numero positivo per un negativo o un numero negativo per uno positivo, è necessario dividere il dividendo per il modulo del divisore e mettere un segno meno davanti al numero risultante.

Scriviamo questa regola di divisione usando le lettere. Se i numeri aeb hanno segni diversi, la formula è valida a:b=−|a|:|b| .

Dalla regola vocale, è chiaro che il risultato della divisione di numeri con segni diversi è un numero negativo. Infatti, poiché il modulo del dividendo e il modulo del divisore sono più positivi del numero, il loro quoziente è un numero positivo e il segno meno rende questo numero negativo.

Si noti che la regola considerata riduce la divisione di numeri con segni diversi alla divisione di numeri positivi.

Puoi dare un'altra formulazione della regola per dividere i numeri con segni diversi: per dividere il numero a per il numero b, devi moltiplicare il numero a per il numero b −1, il reciproco del numero b. Questo è, a:b=a b -1 .

Questa regola può essere utilizzata quando è possibile andare oltre l'insieme degli interi (poiché non tutti gli interi hanno un inverso). In altre parole, è applicabile all'insieme dei numeri razionali così come all'insieme dei numeri reali.

È chiaro che questa regola per dividere i numeri con segni diversi ti consente di passare dalla divisione alla moltiplicazione.

La stessa regola viene utilizzata quando si dividono i numeri negativi.

Resta da considerare come questa regola per dividere i numeri con segni diversi viene applicata nella risoluzione degli esempi.

Esempi di divisione di numeri con segni diversi

Consideriamo soluzioni di diverse caratteristiche esempi di divisione di numeri con segni diversi cogliere il principio di applicazione delle regole di cui al comma precedente.

Esempio.

Dividi il numero negativo −35 per il numero positivo 7 .

Soluzione.

La regola per dividere i numeri con segni diversi prescrive innanzitutto di trovare i moduli del dividendo e del divisore. Il modulo di −35 è 35 e il modulo di 7 è 7. Ora dobbiamo dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore, cioè dobbiamo dividere 35 per 7. Ricordando come viene eseguita la divisione dei numeri naturali, otteniamo 35:7=5. Rimane l'ultimo passaggio della regola per dividere i numeri con segni diversi: metti un meno davanti al numero risultante, abbiamo -5.

Ecco l'intera soluzione: .

Si potrebbe procedere da una diversa formulazione della regola per la divisione dei numeri con segni diversi. In questo caso, troviamo prima il numero che è il reciproco del divisore 7. Questo numero è la frazione comune 1/7. In questo modo, . Resta da eseguire la moltiplicazione di numeri con segni diversi: . Ovviamente siamo arrivati ​​allo stesso risultato.

Risposta:

(−35):7=−5 .

Esempio.

Calcola il quoziente 8:(−60) .

Soluzione.

Per la regola di dividere i numeri con segni diversi, abbiamo 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . L'espressione risultante corrisponde a una frazione ordinaria negativa (vedi il segno di divisione come una barra di frazione), puoi ridurre la frazione di 4, otteniamo .

Scriviamo brevemente l'intera soluzione: .

Risposta:

.

Quando si dividono numeri razionali frazionari con segni diversi, il loro dividendo e divisore sono solitamente rappresentati come frazioni ordinarie. Ciò è dovuto al fatto che non è sempre conveniente eseguire la divisione con numeri in una notazione diversa (ad esempio in decimale).

Esempio.

Soluzione.

Il modulo del dividendo è , e il modulo del divisore è 0,(23) . Per dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore, passiamo alle frazioni ordinarie.

Traduciamo un numero misto in una frazione ordinaria: , così come

In questo articolo vedremo come dividere i numeri positivi per quelli negativi e viceversa. Diamo un'analisi dettagliata della regola per dividere i numeri con segni diversi e forniamo anche esempi.

Regola per dividere i numeri con segni diversi

La regola per gli interi con segno diverso, ottenuta nell'articolo sulla divisione degli interi, vale anche per i numeri razionali e reali. Diamo una formulazione più generale di questa regola.

Regola per dividere i numeri con segni diversi

Quando si divide un numero positivo per uno negativo e viceversa, è necessario dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore e scrivere il risultato con un segno meno.

In forma letterale, si presenta così:

a ÷ - b = - a ÷ b

UN ÷ b = - un ÷ b .

Dividendo numeri con segni diversi si ottiene sempre un numero negativo. La regola considerata, infatti, riduce la divisione dei numeri con segno diverso alla divisione dei numeri positivi, poiché i moduli del dividendo e del divisore sono positivi.

Un'altra formulazione matematica equivalente di questa regola è:

a ÷ b = a b - 1

Per dividere i numeri a e b di segno diverso, devi moltiplicare il numero a per il reciproco del numero b, cioè b - 1. Questa formulazione è applicabile sull'insieme dei numeri razionali e reali, permette di passare dalla divisione alla moltiplicazione.

Consideriamo ora come applicare in pratica la teoria sopra descritta.

Come dividere i numeri con segni diversi? Esempi

Di seguito consideriamo alcuni esempi tipici.

Esempio 1. Come dividere i numeri con segni diversi?

Dividi - 35 per 7.

Per prima cosa, scriviamo i moduli del dividendo e del divisore:

35 = 35 , 7 = 7 .

Ora separiamo i moduli:

35 7 = 35 7 = 5 .

Aggiungiamo un segno meno davanti al risultato e otteniamo la risposta:

Ora usiamo una diversa formulazione della regola e calcoliamo il reciproco di 7 .

Ora facciamo la moltiplicazione:

35 1 7 = - - 35 1 7 = - 35 7 = - 5 .

Esempio 2. Come dividere i numeri con segni diversi?

Se dividiamo i numeri frazionari con segni razionali, il dividendo e il divisore devono essere rappresentati come frazioni ordinarie.

Esempio 3. Come dividere i numeri con segni diversi?

Dividi il numero misto - 3 3 22 per la frazione decimale 0 , (23) .

I moduli del dividendo e del divisore sono rispettivamente 3 3 22 e 0 , (23) . Convertendo 3 3 22 in una frazione comune, otteniamo:

3 3 22 = 3 22 + 3 22 = 69 22 .

Possiamo anche rappresentare il divisore come una frazione comune:

0 , (23) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 - 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .

Ora dividiamo le frazioni ordinarie, eseguiamo riduzioni e otteniamo il risultato:

69 22 ÷ 23 99 = - 69 22 99 23 = - 3 2 9 1 = - 27 2 = - 13 1 2 .

In conclusione, considera il caso in cui il dividendo e il divisore sono numeri irrazionali e sono scritti come radici, logaritmi, potenze, ecc.

In una situazione del genere, il quoziente viene scritto come un'espressione numerica, semplificata il più possibile. Se necessario, il suo valore approssimativo viene calcolato con la precisione richiesta.

Esempio 4. Come dividere i numeri con segni diversi?

Dividi i numeri 5 7 e - 2 3 .

Secondo la regola per dividere i numeri con segni diversi, scriviamo l'uguaglianza:

5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ 2 3 = - 5 7 2 3 .

Eliminiamo l'irrazionalità nel denominatore e otteniamo la risposta finale:

5 7 2 3 = - 5 4 3 14 .

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