Consideriamo una superficie definita da un'equazione della forma

Introduciamo la seguente definizione.

Definizione 1. Una linea retta è detta tangente alla superficie in un punto se lo è

tangente a qualsiasi curva giacente sulla superficie e passante per il punto.

Poiché per il punto P passano infinite curve diverse che giacciono sulla superficie, allora, in generale, ci saranno infinite tangenti alla superficie che passano per questo punto.

Introduciamo il concetto di punto singolare e ordinario di una superficie

Se in un punto tutte e tre le derivate sono uguali a zero o almeno una di queste derivate non esiste, allora il punto M si dice punto singolare della superficie. Se in un punto esistono tutte e tre le derivate e sono continue, e almeno una di esse è diversa da zero, allora il punto M si dice punto ordinario della superficie.

Ora possiamo formulare il seguente teorema.

Teorema. Tutte le linee tangenti ad una data superficie (1) nel suo punto ordinario P giacciono sullo stesso piano.

Prova. Consideriamo una certa linea L sulla superficie (fig. 206) passante per un dato punto P della superficie. Sia la curva in esame data da equazioni parametriche

La tangente alla curva sarà la tangente alla superficie. Le equazioni di questa tangente hanno la forma

Se le espressioni (2) vengono sostituite nell'equazione (1), allora questa equazione si trasformerà in un'identità rispetto a t, poiché la curva (2) giace sulla superficie (1). Differenziandolo otteniamo

Le proiezioni di questo vettore dipendono - dalle coordinate del punto P; si noti che poiché il punto P è ordinario, queste proiezioni nel punto P non svaniscono contemporaneamente e quindi

tangente ad una curva passante per il punto P e giacente sulla superficie. Le proiezioni di questo vettore sono calcolate in base alle equazioni (2) al valore del parametro t corrispondente al punto P.

Calcoliamo prodotto scalare vettori N e che è uguale alla somma dei prodotti delle proiezioni omonime:

Basandosi sull'uguaglianza (3), l'espressione a destra è uguale a zero, quindi,

Dall'ultima uguaglianza segue che il vettore LG e il vettore tangente alla curva (2) nel punto P sono perpendicolari. Il ragionamento sopra vale per qualsiasi curva (2) passante per il punto P e giacente sulla superficie. Di conseguenza, ciascuna tangente alla superficie nel punto P è perpendicolare allo stesso vettore N e quindi tutte queste tangenti giacciono sullo stesso piano perpendicolare al vettore LG. Il teorema è stato dimostrato.

Definizione 2. Il piano in cui si trovano tutte le linee tangenti alle linee sulla superficie che passano per il suo punto P è chiamato piano tangente alla superficie nel punto P (Fig. 207).

Si noti che nei punti singolari della superficie potrebbe non esserci un piano tangente. In tali punti le linee tangenti alla superficie potrebbero non trovarsi sullo stesso piano. Ad esempio, il vertice di una superficie conica è un punto singolare.

Le tangenti alla superficie conica in questo punto non giacciono sullo stesso piano (formano esse stesse una superficie conica).

Scriviamo l'equazione del piano tangente alla superficie (1) in un punto ordinario. Poiché questo piano è perpendicolare al vettore (4), quindi, la sua equazione ha la forma

Se l'equazione della superficie è data nella forma o l'equazione del piano tangente in questo caso assume la forma

Commento. Se inseriamo la formula (6), questa formula assumerà la forma

suo lato destro rappresenta il differenziale completo della funzione. Quindi, . Pertanto, il differenziale totale di una funzione di due variabili in un punto corrispondente agli incrementi delle variabili indipendenti xey è uguale all'incremento corrispondente dell'applicata del piano tangente alla superficie, che è il grafico di questa funzione.

Definizione 3. Una linea retta tracciata attraverso un punto della superficie (1) perpendicolare al piano tangente è chiamata normale alla superficie (Fig. 207).

Scriviamo le equazioni normali. Poiché la sua direzione coincide con la direzione del vettore N, le sue equazioni avranno la forma

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4. TEORIA DELLE SUPERFICI.

4.1 EQUAZIONI SUPERFICIALI.

Una superficie nello spazio tridimensionale può essere specificata:

1) implicitamente: F ( X , sì , z ) =0 (4.1)

2) esplicitamente: z = F ( X , sì ) (4.2)

3) parametricamente: (4.3)

O:
(4.3’)

dove sono gli argomenti scalari
a volte chiamate coordinate curvilinee. Ad esempio, la sfera
conviene specificare in coordinate sferiche:
.

4.2 PIANO TANGENTE E NORMALE ALLA SUPERFICIE.

Se una linea giace sulla superficie (4.1), allora le coordinate dei suoi punti soddisfano l'equazione della superficie:

Differenziando questa identità, otteniamo:

(4.4)

O
(4.4 ’ )

in ogni punto della curva sulla superficie. Pertanto, il vettore del gradiente nei punti non singolari della superficie (in cui la funzione (4.5) è differenziabile e
) è perpendicolare ai vettori tangenti a qualsiasi linea sulla superficie, ovvero può essere utilizzato come vettore normale per compilare l'equazione del piano tangente nel punto M 0 (X 0 , sì 0 , z 0 ) superficie

(4.6)

e come vettore di direzione nell'equazione normale:

(4.7)

Nel caso di specificazione esplicita (4.2) della superficie, le equazioni del piano tangente e della normale, rispettivamente, assumono la forma:

(4.8)

E
(4.9)

Con la rappresentazione parametrica della superficie (4.3), i vettori
giacciono nel piano tangente e l'equazione del piano tangente può essere scritta come:

(4.10)

e il loro prodotto vettoriale può essere preso come vettore normale alla direzione:

e l'equazione normale può essere scritta come:

(4.11)

Dove
— valori dei parametri corrispondenti al punto M 0 .

Nel seguito ci limiteremo a considerare solo i punti della superficie in cui si trovano i vettori

non sono uguali a zero e non sono paralleli.

Esempio 4.1 Crea equazioni per il piano tangente e la normale al punto M 0 (1,1,2) alla superficie di un paraboloide di rivoluzione
.

Soluzione: Poiché l'equazione del paraboloide è data esplicitamente, allora secondo (4.8) e (4.9) dobbiamo trovare
al punto M 0 :

, e nel punto M 0
. Quindi l'equazione del piano tangente al punto M 0 assumerà la forma:

2(X -1)+2(sì -1)-(z-2)=0 o 2 X +2 sì – z - 2=0 e l'equazione normale
.

Esempio 4.2 Componi le equazioni per il piano tangente e la normale ad un punto arbitrario dell'elicoide
, .

Soluzione. Qui ,

Equazione del piano tangente:

O

Equazioni normali:

.

4.3 PRIMA FORMA DI SUPERFICIE QUADRATICA.

Se la superficie è data dall'equazione

poi la curva
può essere dato dall'equazione
(4.12)

Differenziale del vettore del raggio
lungo la curva, corrispondente allo spostamento dal punto M 0 al punto M più vicino, è uguale a

(4.13)

Perché
è il differenziale dell'arco di curva corrispondente allo stesso spostamento), quindi

(4.14)

Dove .

L'espressione a destra della (4.14) è chiamata la prima forma quadratica della superficie e gioca un ruolo enorme nella teoria delle superfici.

Integro il differenzialeds che vanno da T 0 (corrisponde al punto M 0) a t (corrisponde al punto M), otteniamo la lunghezza del corrispondente segmento della curva

(4.15)

Conoscendo la prima forma quadratica di una superficie, puoi trovare non solo le lunghezze, ma anche gli angoli tra le curve.

Se du , dv sono differenziali di coordinate curvilinee corrispondenti ad uno spostamento infinitesimo lungo una curva, e
- invece, tenendo conto della (4.13):

(4.16)

Utilizzando la formula

(4.17)

la prima forma quadratica permette di calcolare l'area della regione
superfici.

Esempio 4.3 Su un elicoide, trova la lunghezza dell'elica
tra due punti.

Soluzione. Perché sull'elica
, Quello . Troviamolo al punto
prima forma quadratica. Avendo designato ev = T , otteniamo l'equazione di questa linea elicoidale nella forma . Forma quadratica:

= - prima forma quadratica.

Qui . Nella formula (4.15) in questo caso
e lunghezza dell'arco:

=

4.4 FORMA DELLA SECONDA SUPERFICIE QUADRATICA.

Denotiamo
- vettore unitario normale alla superficie
:

(4.18) . (4.23)

Una linea su una superficie è chiamata linea di curvatura se la sua direzione in ciascun punto è la direzione principale.

4.6 CONCETTO DI LINEE GEODETICHE SU UNA SUPERFICIE.

Definizione 4.1 . Una curva su una superficie si dice geodetica se è normale principale in ogni punto in cui la curvatura è diversa da zero essa coincide con la normale alla superficie.

Per ogni punto della superficie in qualsiasi direzione passa solo una geodetica. Su una sfera, ad esempio, i cerchi massimi sono geodetiche.

Una parametrizzazione della superficie è detta semi-geodetica se una famiglia di linee coordinate è costituita da geodetiche e la seconda è ortogonale ad essa. Ad esempio, su una sfera ci sono meridiani (geodetiche) e paralleli.

Una geodetica su un segmento sufficientemente piccolo è la più breve tra tutte le curve ad essa vicine che collegano gli stessi punti.

Equazione del piano normale

1.

4.

Piano tangente e normale alla superficie

Sia data una certa superficie, A sia un punto fisso della superficie e B sia un punto variabile della superficie,

(Fig. 1).

Vettore diverso da zero

→

N

chiamato vettore normale alla superficie nel punto A, se

lim B→A j = π 2 .

Un punto della superficie F (x, y, z) = 0 si dice ordinario se in questo punto

1. le derivate parziali F " x , F " y , F " z sono continue;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Se almeno una di queste condizioni viene violata, viene chiamato il punto della superficie punto speciale della superficie .

Teorema 1. Se M(x 0 , y 0 , z 0 ) è un punto ordinario della superficie F (x , y , z) = 0 , allora il vettore

→ N = grado F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → io + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → J + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

è normale a questa superficie nel punto M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Prova riportato nel libro di I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Corso di matematica superiore: Calcolo integrale. Funzioni di più variabili. Equazioni differenziali. M.: Casa editrice MPEI, 2002 (p. 128).

Normale alla superficie ad un certo punto esiste una linea retta il cui vettore direzione è normale alla superficie in questo punto e che passa per questo punto.

Canonico equazioni normali può essere rappresentato nella forma

x−x0 F "x (x0, y0, z0) = y − y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F " z ( x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Piano tangente alla superficie in un certo punto è un piano che passa per questo punto perpendicolare alla normale alla superficie in questo punto.

Da questa definizione ne consegue che Equazione del piano tangente ha la forma:

(3)

Se un punto su una superficie è singolare, allora in quel punto il vettore normale alla superficie potrebbe non esistere e, quindi, la superficie potrebbe non avere un piano normale e un piano tangente.

Significato geometrico differenziale completo funzioni di due variabili

Sia la funzione z = f (x, y) differenziabile nel punto a (x 0, y 0). Il suo grafico è la superficie

f(x, y) − z = 0.

Poniamo z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Allora il punto A (x 0 , y 0 , z 0 ) appartiene alla superficie.

Le derivate parziali della funzione F (x, y, z) = f (x, y) − z sono

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

e nel punto A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. sono continui;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Pertanto A è un punto ordinario della superficie F (x, y, z) e in questo punto esiste un piano tangente alla superficie. Secondo la (3), l’equazione del piano tangente ha la forma:

f " X (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 ) - (z - z 0 ) = 0.

Lo spostamento verticale di un punto sul piano tangente quando ci si sposta dal punto a (x 0, y 0) a un punto arbitrario p (x, y) è B Q (Fig. 2). Il corrispondente incremento degli applicati è

(z - z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 )

Qui sul lato destro c'è un differenziale D funzione z z = f (x, y) nel punto a (x 0, x 0). Quindi,
D f(x0,y0). è l'incremento dell'applicata di un punto del piano tangente al grafico della funzione f (x, y) nel punto (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Dalla definizione di differenziale segue che la distanza tra il punto P sul grafico di una funzione e il punto Q sul piano tangente è infinitesimamente maggiore ordine elevato rispetto alla distanza dal punto p al punto a.

Consideriamo le applicazioni geometriche della derivata di una funzione di più variabili. Sia specificata implicitamente una funzione di due variabili: . Questa funzione nel suo dominio di definizione è rappresentata da una certa superficie (Sezione 5.1). Prendiamo un punto arbitrario su questa superficie , in cui tutte e tre le derivate parziali , , esistono e sono continue, e almeno una di esse non è uguale a zero.

Un punto con tali caratteristiche viene chiamato ordinario punto della superficie. Se almeno uno dei requisiti di cui sopra non è soddisfatto, il punto viene chiamato speciale punto della superficie.

Attraverso un punto selezionato sulla superficie si possono disegnare numerose curve, ognuna delle quali può avere una tangente.

Definizione 5.8.1 . Il piano in cui si trovano tutte le linee tangenti alle linee sulla superficie che passano per un certo punto è chiamato piano tangente a questa superficie nel punto .

Per disegnare un dato piano sono sufficienti due linee tangenti, cioè due curve sulla superficie. Queste possono essere curve ottenute come risultato del taglio di una determinata superficie con piani , (Fig. 5.8.1).

Scriviamo l'equazione di una linea tangente ad una curva che giace all'intersezione della superficie e del piano. Poiché questa curva si trova nel sistema di coordinate, l'equazione della tangente ad essa nel punto, secondo il paragrafo 2.7, ha la forma:

. (5.8.1)

Di conseguenza, l'equazione della tangente alla curva che giace all'intersezione della superficie e del piano nel sistema di coordinate nello stesso punto ha la forma:

. (5.8.2)

Usiamo implicitamente l'espressione per la derivata data funzione(clausola 5.7). Allora, eh. Sostituendo tali derivate nelle (5.8.1) e (5.8.2), otteniamo rispettivamente:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Poiché le espressioni risultanti non sono altro che equazioni di rette in forma canonica (sezione 15), allora dalla (5.8.3) si ottiene il vettore direzione , e da (5.8.4) – . Il prodotto vettoriale darà un vettore normale alle linee tangenti date, e quindi al piano tangente:

Ne consegue che l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto ha la forma (punto 14):

Definizione 5.8.2 . Una linea retta tracciata attraverso un punto la superficie perpendicolare al piano tangente in questo punto è chiamata normale alla superficie.

Poiché il vettore direzione della normale alla superficie coincide con la normale al piano tangente, l'equazione normale ha la forma:

.

Campo scalare

Sia specificata una regione nello spazio, che occupi parte o tutto questo spazio. Lascia che ogni punto di quest'area, secondo una legge, sia associato a una certa quantità scalare (numero).

Definizione 5.9.1 . Un'area dello spazio, a ciascun punto della quale è associato, secondo una legge ben nota, una certa quantità scalare, è chiamata campo scalare.

Se all'area è associato un qualche tipo di sistema di coordinate, ad esempio un sistema cartesiano rettangolare, ogni punto acquisisce le proprie coordinate. In questo caso la quantità scalare diventa funzione delle coordinate: nel piano – , nello spazio tridimensionale – . La funzione stessa che descrive questo campo è spesso chiamata campo scalare. A seconda della dimensione dello spazio, un campo scalare può essere piatto, tridimensionale, ecc.

Va sottolineato che la grandezza del campo scalare dipende solo dalla posizione del punto nella regione, ma non dipende dalla scelta del sistema di coordinate.

Definizione 5.9.2 . Un campo scalare che dipende solo dalla posizione di un punto nella regione, ma non dal tempo, è detto stazionario.

I campi scalari non stazionari, cioè dipendenti dal tempo, non verranno considerati in questa sezione.

Esempi di campi scalari includono il campo della temperatura, il campo della pressione nell'atmosfera e il campo dell'altezza sopra il livello dell'oceano.

Dal punto di vista geometrico, i campi scalari sono spesso rappresentati utilizzando le cosiddette linee o superfici piane.

Definizione 5.9.3 . L'insieme di tutti i punti nello spazio in cui si trova il campo scalare ha lo stesso significato è chiamata superficie piana o superficie equipotenziale. Nel caso piatto di un campo scalare, questo insieme è chiamato linea di livello o linea equipotenziale.

Ovviamente, l'equazione della superficie piana ha la forma , linee di livello – . Dando alle costanti valori diversi in queste equazioni, otteniamo una famiglia di superfici o linee di livello. Per esempio, (sfere annidate una dentro l'altra con raggi diversi) o (famiglia di ellissi).

Esempi di linee di livello dalla fisica includono isoterme (linee di uguale temperatura), isobare (linee di uguale pressione); dalla geodesia: linee di uguale altezza, ecc.

Il grafico di una funzione di 2 variabili z = f(x,y) è una superficie proiettata sul piano XOY nel dominio di definizione della funzione D.
Considera la superficie σ , data dall'equazione z = f(x,y), dove f(x,y) è una funzione differenziabile, e sia M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) un punto fisso sulla superficie σ, cioè z0 = f(x0,y0). Scopo. Il calcolatore online è progettato per trovare Equazioni del piano tangente e delle normali alla superficie. La soluzione è redatta in formato Word. Se hai bisogno di trovare l'equazione di una tangente ad una curva (y = f(x)), allora devi utilizzare questo servizio.

Regole per l'immissione delle funzioni:

Regole per l'immissione delle funzioni:

Piano tangente alla superficie σ a suo punto M 0 è il piano in cui giacciono le tangenti a tutte le curve disegnate sulla superficie σ attraverso il punto M 0 .
L'equazione del piano tangente alla superficie definita dall'equazione z = f(x,y) nel punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ha la forma:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Il vettore è chiamato vettore normale alla superficie σ nel punto M0. Il vettore normale è perpendicolare al piano tangente.
Normale alla superficie σ al punto M 0 è una linea retta passante per questo punto e avente la direzione del vettore N.
Le equazioni canoniche della normale alla superficie definita dall'equazione z = f(x,y) nel punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), dove z 0 = f(x 0 ,y 0), hanno la forma:

Esempio n. 1. La superficie è data dall'equazione x 3 +5y. Trovare l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0 (0;1).
Soluzione. Scriviamo le equazioni tangenti in forma generale: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - sì 0 )
Secondo le condizioni del problema, x 0 = 0, y 0 = 1, quindi z 0 = 5
Troviamo le derivate parziali della funzione z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Nel punto M 0 (0,1) i valori delle derivate parziali sono:
f"x(0;1) = 0
f"y(0;1) = 5
Utilizzando la formula, otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) oppure -5 y+z = 0

Esempio n.2. La superficie è definita implicitamente y 2 -1/2*x 3 -8z. Trova l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0 (1;0;1).
Soluzione. Trovare le derivate parziali di una funzione. Poiché la funzione è specificata in modo implicito, cerchiamo le derivate utilizzando la formula:

Per la nostra funzione:

Poi:

Al punto M 0 (1,0,1) valori delle derivate parziali:
f"x(1;0;1) = -3/16
f"y(1;0;1) = 0
Utilizzando la formula, otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) oppure 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Esempio. Superficie σ dato dall'equazione z= y/x + xy – 5X 3. Trovare l'equazione del piano tangente e normale alla superficie σ al punto M 0 (X 0 ,sì 0 ,z 0), appartenente a lei, se X 0 = –1, sì 0 = 2.
Troviamo le derivate parziali della funzione z= F(X,sì) = y/x + xy – 5X 3:
f x '( X,sì) = (y/x + xy – 5X 3)’ x = – y/x 2 + sì – 15X 2 ;
sì '( X,sì) = (y/x + xy – 5X 3)’ y = 1/x + X.
Punto M 0 (X 0 ,sì 0 ,z 0) appartiene alla superficie σ , quindi possiamo calcolare z 0 , sostituendo il dato X 0 = –1 e sì 0 = 2 nell'equazione della superficie:

z= y/x + xy – 5X 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Al punto M 0 (–1, 2, 1) valori della derivata parziale:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Usando la formula (5) otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie σ al punto M 0:
z – 1= –15(X + 1) – 2(sì – 2) z – 1= –15X – 15 – 2sì+ 4 15X + 2sì + z + 10 = 0.
Usando la formula (6) otteniamo equazioni canoniche normale alla superficie σ al punto M 0: .
Risposte: equazione del piano tangente: 15 X + 2sì + z+10 = 0; equazioni normali: .

Esempio n. 1. Data una funzione z=f(x,y) e due punti A(x 0, y 0) e B(x 1, y 1). Richiesto: 1) calcolare il valore z 1 della funzione nel punto B; 2) calcolare il valore approssimativo z 1 della funzione nel punto B in base al valore z 0 della funzione nel punto A, sostituendo l'incremento della funzione quando ci si sposta dal punto A al punto B con un differenziale; 3) creare un'equazione per il piano tangente alla superficie z = f(x,y) nel punto C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Soluzione.
Scriviamo le equazioni tangenti in forma generale:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Secondo le condizioni del problema, x 0 = 1, y 0 = 2, quindi z 0 = 25
Troviamo le derivate parziali della funzione z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
Nel punto M 0 (1,2) i valori delle derivate parziali sono:
f" x (1;2) = 26
f"y(1;2) = 36
Utilizzando la formula, otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
O
-26 x-36 y+z+73 = 0

Esempio n.2. Scrivi le equazioni del piano tangente e normale al paraboloide ellittico z = 2x 2 + y 2 nel punto (1;-1;3).