Dinamica:
Dinamica punto materiale
§ 28. Teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto materiale. Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto materiale
Problemi con soluzioni
28.1 Un convoglio ferroviario si muove lungo un tratto di binario orizzontale e rettilineo. In frenata si sviluppa una forza di resistenza pari a 0,1 del peso del treno. Nel momento in cui inizia la frenata la velocità del treno è di 20 m/s. Trova il tempo di frenata e lo spazio di frenata.
SOLUZIONE
28.2 Un corpo pesante senza velocità iniziale scende lungo un piano inclinato scabro che forma un angolo α=30° con l'orizzonte. Determinare durante quale tempo T il corpo andrà per la strada lunghezza l=39,2 m, se coefficiente di attrito f=0,2.
SOLUZIONE
28.3 Un treno di massa 4*10^5 kg effettua una salita i=tg α=0,006 (dove α è l'angolo di salita) alla velocità di 15 m/s. Il coefficiente di attrito (coefficiente di resistenza totale) quando il treno si muove è 0,005. 50 s dopo che il treno è entrato in salita, la sua velocità scende a 12,5 m/s. Trova la forza di trazione della locomotiva diesel.
SOLUZIONE
28.4 Un peso M è fissato all'estremità di un filo inestensibile MOA, parte del quale OA è fatto passare attraverso un tubo verticale; il peso si muove attorno all'asse del tubo lungo una circonferenza di raggio MC=R, compiendo 120 giri al minuto. Infilando lentamente il filo OA nel tubo, accorciare la parte esterna del filo alla lunghezza OM1, alla quale il peso descrive un cerchio di raggio R/2. Quante rivoluzioni al minuto fa il peso attorno a questo cerchio?
SOLUZIONE
28.5 Per determinare la massa di un treno carico, è stato installato un dinamometro tra le locomotive diesel e le carrozze. La lettura media del dinamometro per 2 minuti risultò essere 10^6 N. Nello stesso tempo, il treno ha acquisito una velocità di 16 m/s (all'inizio il treno si è fermato). Trova la massa della composizione se il coefficiente di attrito è f=0,02.
SOLUZIONE
28.6 Quale dovrebbe essere il coefficiente di attrito f delle ruote di un'auto frenata su strada, se a una velocità di guida v=20 m/s si ferma 6 s dopo l'inizio della frenata?
SOLUZIONE
28.7 Un proiettile di massa 20 g vola fuori dalla canna di un fucile ad una velocità v=650 m/s, attraversando la canna nel tempo t=0,00095 s. Determina la pressione media dei gas che espellono un proiettile se l'area della sezione trasversale del canale è σ=150 mm^2.
SOLUZIONE
28.8 Il punto M si muove attorno ad un centro fisso sotto l'influenza della forza di attrazione verso questo centro. Trovare la velocità v2 nel punto della traiettoria più lontano dal centro se la velocità del punto nella posizione più vicina ad esso è v1=30 cm/s e r2 è cinque volte maggiore di r1.
SOLUZIONE
28.9 Trovare l'impulso della risultante di tutte le forze agenti sul proiettile durante il tempo in cui il proiettile si sposta dalla posizione iniziale O alla posizione più alta M. Dati: v0=500 m/s; α0=60°; v1=200m/s; massa del proiettile 100 kg.
SOLUZIONE
28.10 Due asteroidi M1 e M2 descrivono la stessa ellisse, nel cui fuoco S si trova il Sole. La distanza tra loro è così piccola che l'arco M1M2 dell'ellisse può essere considerato un segmento di linea retta. È noto che la lunghezza dell'arco M1M2 era uguale ad a quando il suo centro era al perielio P. Assumendo che gli asteroidi si muovano con velocità settoriali uguali, determinare la lunghezza dell'arco M1M2 quando il suo centro passa per l'afelio A, se è noto che SP = R1 e SA =R2.
SOLUZIONE
28.11 Un ragazzo di massa 40 kg sta in piedi sui pattini di una slitta sportiva, la cui massa è di 20 kg, e spinge ogni secondo con un impulso di 20 N*s. Trovare la velocità acquisita dalla slitta in 15 s se il coefficiente di attrito è f=0,01.
SOLUZIONE
28.12 Un punto si muove uniformemente su una circonferenza con una velocità v=0,2 m/s, compiendo un giro completo nel tempo T=4 s. Trovare l'impulso S delle forze che agiscono sul punto durante un semiciclo, se la massa del punto è m=5 kg. Determinare il valore medio della forza F.
SOLUZIONE
28.13 Due pendoli matematici sospesi su fili di lunghezza l1 e l2 (l1>l2) oscillano con la stessa ampiezza. Entrambi i pendoli cominciarono simultaneamente a muoversi nella stessa direzione dalle loro posizioni estreme. Trovare la condizione che le lunghezze l1 e l2 devono soddisfare affinché i pendoli ritornino simultaneamente nella posizione di equilibrio dopo un certo periodo di tempo. Determinare l’intervallo di tempo più breve T.
SOLUZIONE
28.14 Una palla di massa m, legata ad un filo inestensibile, scivola lungo un piano orizzontale liscio; l'altra estremità del filo viene tirata a velocità costante in un foro praticato sull'aereo. Determinare il movimento della pallina e la tensione del filo T, se è noto che nel momento iniziale il filo si trova in linea retta, la distanza tra la pallina e il foro è uguale a R, e la proiezione della la velocità iniziale della pallina perpendicolare alla direzione del filo è pari a v0.
SOLUZIONE
28.15 Determinare la massa M del Sole, avendo i seguenti dati: raggio della Terra R=6,37*106 m, densità media 5,5 t/m3, semiasse maggiore dell'orbita terrestre a=1,49*10^11 m, tempo di rivoluzione della Terra attorno al Sole T=365,25 giorni. Forza gravità universale tra due masse pari a 1 kg distanti 1 m si considera pari a gR2/m H, dove m è la massa della Terra; Dalle leggi di Keplero segue che la forza di attrazione della Terra da parte del Sole è pari a 4π2a3m/(T2r2), dove r è la distanza della Terra dal Sole.
SOLUZIONE
28.16 Un punto di massa m, soggetto all'azione di una forza centrale F, descrive la lemniscata r2=a cos 2φ, dove a è un valore costante, r è la distanza del punto dal centro della forza; nell'istante iniziale r=r0 la velocità del punto è pari a v0 e forma un angolo α con la retta che collega il punto con il centro della forza. Determina l'entità della forza F, sapendo che dipende solo dalla distanza r. Dalla formula di Binet F =-(mc2/r2)(d2(1/r)/dφ2+1/r), dove c è la doppia velocità settoriale del punto.
SOLUZIONE
28.17 Un punto M, la cui massa è m, si muove vicino a un centro fisso O sotto l'influenza di una forza F emanante da questo centro e dipendente solo dalla distanza MO=r. Sapendo che la velocità del punto v=a/r, dove a è un valore costante, determinare l'entità della forza F e la traiettoria del punto.
SOLUZIONE
28.18 Determinare il movimento di un punto la cui massa è 1 kg sotto l'azione di una forza di attrazione centrale, inversamente proporzionale al cubo della distanza del punto dal baricentro, dati i seguenti dati: a una distanza di 1 m , la forza è 1 N. Nell'istante iniziale la distanza del punto dal baricentro è 2 m, la velocità v0=0,5 m/s e forma un angolo di 45° con la direzione della retta tracciata dal centro al punto.
SOLUZIONE
28.19 Una particella M di massa 1 kg è attratta verso un centro fisso O da una forza inversamente proporzionale alla quinta potenza della distanza. Questa forza è pari a 8 N alla distanza di 1 m. Nell'istante iniziale la particella si trova a una distanza OM0 = 2 m e ha una velocità perpendicolare a OM0 e pari a 0,5 m/s. Determinare la traiettoria della particella.
SOLUZIONE
28.20 Un punto di massa 0,2 kg, che si muove sotto l'influenza di una forza attrattiva verso un centro stazionario secondo la legge di gravità di Newton, descrive un'ellisse completa con semiassi 0,1 m e 0,08 m per 50 s. Determina i valori più grande e più piccolo della forza di attrazione F durante questo movimento.
SOLUZIONE
28.21 Un pendolo matematico, la cui oscillazione dura un secondo, è chiamato pendolo dei secondi e viene utilizzato per contare il tempo. Trova la lunghezza l di questo pendolo, assumendo che l'accelerazione dovuta alla gravità sia 981 cm/s2. A che ora mostrerà questo pendolo sulla Luna, dove l'accelerazione di gravità è 6 volte inferiore a quella della Terra? Quale lunghezza l1 dovrebbe avere il secondo pendolo lunare?
SOLUZIONE
28.22 Ad un certo punto sulla Terra, il pendolo dei secondi conta il tempo correttamente. Quando viene spostato in un altro luogo, resta indietro di T secondi al giorno. Determina l'accelerazione dovuta alla gravità nella nuova posizione del pendolo dei secondi.
Delle due principali caratteristiche dinamiche, la quantità è vettoriale. A volte, studiando il movimento di un punto, invece di cambiare il vettore stesso, risulta necessario considerare il cambiamento nel suo momento. Momento di un vettore rispetto ad un dato centro DI o assi z indicato con o e chiamato di conseguenza momento angolare O momento cinetico punti relativi a questo centro (asse). Il momento di un vettore si calcola allo stesso modo del momento di una forza. In questo caso, il vettore è considerato attaccato al punto in movimento. Modulo , Dove H- lunghezza di una perpendicolare lasciata al centro DI alla direzione del vettore (Fig. 15).
Teorema dei momenti rispetto al centro. Troviamo un punto materiale che si muove sotto l'influenza di una forza F(Fig. 15), la relazione tra i momenti dei vettori e rispetto ad un centro fisso DI. Alla fine è stato dimostrato .
Allo stesso modo 
In questo caso il vettore è perpendicolare al piano passante per il centro DI e vettore e vettore - perpendicolare al piano passante per il centro DI e vettore .
Fig.15
Differenziando l'espressione rispetto al tempo si ottiene:
Ma, come prodotto vettoriale di due vettori paralleli, a . Quindi,
Dimostriamo quindi il seguente teorema dei momenti rispetto al centro: la derivata temporale del momento della quantità di moto di un punto preso rispetto a un centro fisso è uguale al momento della forza agente sul punto rispetto allo stesso centro
.
Un teorema simile vale per i momenti del vettore
forze attorno ad un certo asse z, che può essere verificato proiettando entrambi i lati dell'uguaglianza 
a questo asse. L'espressione matematica del teorema del momento rispetto ad un asse è data dalla formula 
.
Domande di autotest
Quali sono le due misure? movimento meccanico e i corrispondenti misuratori di azione della forza?
Quali forze sono chiamate forze motrici?
Quali forze sono chiamate forze di resistenza?
Annotare le formule per determinare il lavoro nei movimenti traslatori e rotazionali?
Cos'è la forza circonferenziale? Cos'è la coppia?
Enunciare il teorema del lavoro risultante.
Come viene determinato il lavoro di una forza costante in grandezza e direzione durante il movimento rettilineo?
Qual è il lavoro compiuto dalla forza di attrito radente se questa forza è costante in intensità e direzione?
Che cosa in modo sempliceÈ possibile calcolare il lavoro costante in grandezza e direzione della forza su un movimento curvilineo?
Qual è il lavoro compiuto dalla forza risultante?
Come esprimere il lavoro elementare di una forza attraverso il percorso elementare del punto di applicazione della forza e come - attraverso l'incremento delle coordinate dell'arco di questo punto?
Qual è l'espressione vettoriale del lavoro elementare?
Qual è l'espressione del lavoro elementare della forza attraverso la proiezione della forza sugli assi coordinati?
Scrivere vari tipi un integrale curvilineo che determina il lavoro di una forza variabile su uno spostamento curvilineo finito.
Qual è il metodo grafico per determinare il lavoro di una forza variabile su uno spostamento curvilineo?
Come si calcolano il lavoro della gravità e il lavoro della forza elastica?
A quali spostamenti è il lavoro della gravità: a) positivo, b) negativo, c) uguale a zero.
In quale caso il lavoro della forza elastica è positivo e in quale è negativo?
Quale forza è chiamata: a) conservativa; b) non conservatore; c) dissipativo?
Cos’è chiamato potenziale delle forze conservatrici?
Quale campo è chiamato potenziale?
Qual è la funzione della forza?
Cos'è un campo di forza? Fornisci esempi di campi di forza.
Quali sono le relazioni matematiche tra il potenziale di campo e la funzione di forza?
Come determinare il lavoro elementare delle potenziali forze del campo e il lavoro di queste forze sullo spostamento finale del sistema se è nota la funzione forza del campo?
Qual è il lavoro compiuto dalle forze che agiscono sui punti del sistema in un campo potenziale durante uno spostamento chiuso?
Qual è l'energia potenziale del sistema in qualsiasi posizione?
Qual è la variazione di energia potenziale di un sistema meccanico quando si sposta da una posizione all'altra?
Quale relazione esiste tra la funzione forza di un campo potenziale e l'energia potenziale di un sistema situato in questo campo?
Calcolare la variazione di energia cinetica di un punto di massa 20 kg se la sua velocità aumenta da 10 a 20 m/s?
Come vengono determinate le proiezioni? assi coordinati forza che agisce in un campo potenziale su un punto qualsiasi del sistema?
Quali superfici sono chiamate equipotenziali e quali sono le loro equazioni?
Qual è la direzione della forza che agisce su un punto materiale in un campo potenziale rispetto alla superficie equipotenziale che passa attraverso questo punto?
Qual è l'energia potenziale di un punto materiale e di un sistema meccanico sotto l'influenza della gravità?
Che forma hanno le superfici equipotenziali del campo gravitazionale e della forza gravitazionale newtoniana?
Qual è la legge di conservazione e trasformazione dell'energia meccanica?
Perché un punto materiale descrive una curva piatta sotto l'influenza di una forza centrale?
Cos'è chiamata velocità di settore e come esprimerne la grandezza coordinate polari?
Qual è la legge delle aree?
Che tipo ha? equazione differenziale in forma Binet, determinare la traiettoria di un punto che si muove sotto l'influenza di una forza centrale?
Quale formula viene utilizzata per determinare il modulo della forza gravitazionale newtoniana?
Qual è la forma canonica dell'equazione di una sezione conica e a quali valori di eccentricità la traiettoria di un corpo che si muove nel campo della forza gravitazionale newtoniana rappresenta un cerchio, un'ellisse, una parabola, un'iperbole?
Formulare le leggi del moto planetario scoperte da Keplero.
In quali condizioni iniziali un corpo diventa un satellite della Terra e in quali condizioni è in grado di superare la gravità?
Quali sono il primo e il secondo velocità di fuga?
Annotare le formule per calcolare il lavoro durante i movimenti traslatori e rotazionali?
Un'auto del peso di 1000 kg viene spostata lungo un binario orizzontale lungo 5 m, il coefficiente di attrito è 0,15. Determinare il lavoro compiuto dalla gravità?
Annotare le formule per calcolare la potenza per i movimenti traslatori e rotazionali?
Determinare la potenza necessaria per sollevare un carico del peso di 0,5 kN ad un'altezza di 10 m in 1 minuto?
Qual è il lavoro compiuto dalla forza applicata ad un corpo in movimento rettilineo del peso di 100 kg se la velocità del corpo aumenta da 5 a 25 m/s?
Determinare l'efficienza complessiva del meccanismo se, con una potenza del motore di 12,5 kW e una forza di resistenza al movimento totale di 2 kN, la velocità di movimento è di 5 m/s.
Se un'auto guida su una montagna con la stessa potenza del motore, riduce la sua velocità. Perché?
Lavoro di forza costante durante il movimento lineare W=10 J. Che angolo forma la direzione della forza con la direzione dello spostamento?
1) angolo acuto;
2) angolo retto;
3) angolo ottuso.
Come cambierà l'energia cinetica di un punto che si muove rettilineamente se la sua velocità raddoppia?
1) raddoppierà;
2) aumenterà di quattro volte.
Qual è il lavoro compiuto dalla gravità quando un corpo si muove orizzontalmente?
1) il prodotto della gravità e dello spostamento;
2) il lavoro compiuto dalla gravità è zero.
Problemi da risolvere in autonomia
Compito 1. Un sasso viene lanciato orizzontalmente da una torre alta 25 m con una velocità di 15 m/s. Trova la cinetica e energia potenziale pietra un secondo dopo l'inizio del movimento. Peso della pietra 0,2 kg.
Compito 2. Un sasso viene lanciato con un angolo di 60° rispetto all'orizzontale con una velocità di 15 m/s. Trova l'energia cinetica, potenziale e totale della pietra: 1) un secondo dopo l'inizio del movimento, 2) nel punto più alto della traiettoria. Peso della pietra 0,2 kg. Trascurare la resistenza dell'aria.
Compito 3.
Compito 4. Il serbatoio, che pesa 15 tonnellate e ha una potenza di 368 kW, scala una montagna con una pendenza di 30°. Qual è la velocità massima che può raggiungere un carro armato?
Compito 5. Un lampadario del peso di 100 kg è sospeso al soffitto su una catena metallica lunga 5 m Qual è l'altezza alla quale può essere inclinato il lampadario in modo che la catena non si rompa durante le oscillazioni successive, se è noto che la rottura avviene sotto tensione. forza di 2 kN?
Compito 6. Il vento che soffia con velocità v 0 = 20 m/s agisce su una vela di superficie s = 25 m 2 con una forza F = UN sρ(v 0 -v) 2 /2, dove UN- coefficiente adimensionale, ρ - densità dell'aria, v - velocità della nave. Determinare le condizioni in cui l'energia eolica è massima. Trovare il lavoro compiuto dalla forza del vento.
Compito 7. Un'auto del peso di 1 tonnellata si muove in discesa con il motore spento alla velocità costante di 54 km/h. La pendenza della montagna è di 4 m ogni 100 m di percorrenza. Quanta potenza deve sviluppare il motore di questa macchina affinché l'auto possa muoversi alla stessa velocità in salita con la stessa pendenza?
Compito 8. Un martello del peso di 1,5 tonnellate colpisce un pezzo grezzo rovente steso su un'incudine e deforma il pezzo grezzo. La massa dell'incudine insieme al pezzo grezzo è di 20 tonnellate. Determinare l'efficienza durante un impatto con il martello, supponendo che l'impatto sia anelastico. Considerare utile il lavoro svolto durante la deformazione del pezzo grezzo.
Compito 9. Il percussore (parte d'impatto) di un martello da palo del peso di 500 kg cade su un palo del peso di 100 kg ad una velocità di 4 m/s. Determinare: a) l'energia cinetica del percussore al momento dell'impatto; b) energia spesa per approfondire il palo nel terreno, c) energia spesa per la deformazione del palo, d) efficienza dell'impatto del percussore sul palo. L'impatto del battitore sul palo è da considerarsi anelastico.
Problema 10. Il proiettile esce dal cannone con un angolo α rispetto all'orizzontale e con una velocità v 0 . Nella parte superiore della traiettoria, il proiettile si rompe in due parti uguali e le velocità delle parti immediatamente dopo l'esplosione sono orizzontali e giacciono nel piano della traiettoria. Una metà è caduta a distanza s dall'arma, nella direzione dello sparo. Determina il punto in cui è caduta la seconda metà, se è noto che è caduta più in basso della prima. Supponiamo che il volo del proiettile avvenga in uno spazio senz'aria.
Problema 11. Il proiettile vola nello spazio senz'aria lungo una parabola e si spezza in due parti uguali nel punto più alto della traiettoria. Una metà del proiettile è caduta verticalmente verso il basso, l'altra metà a una distanza orizzontale dal luogo dell'esplosione. Determinare la velocità del proiettile prima dell'esplosione, se è noto che l'esplosione è avvenuta ad un'altezza H e metà del proiettile che cadeva verticalmente è caduto per il tempo τ.
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Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto materiale
Slancio
Momento d'impulso del punto M rispetto al centro O è un vettore diretto perpendicolare al piano passante per il vettore quantità di moto e il centro O nella direzione da cui è visibile la rotazione del vettore quantità di moto rispetto al centro O in senso antiorario.
Momento d'impulso del punto M rispetto all'asse ed è uguale al prodotto della proiezione del vettore quantità di moto su un piano perpendicolare all'asse sulla spalla di questa proiezione rispetto al punto O dell'intersezione dell'asse con il piano.
Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto materiale rispetto al centro
La derivata temporale del momento della quantità di moto di un punto materiale rispetto a un centro fisso è uguale a somma geometrica momenti delle forze agenti su un punto rispetto allo stesso centro.
Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto materiale rispetto ad un asse
Derivata temporale del momento della quantità di moto di un punto materiale rispetto ad alcuni asse fissoè uguale alla somma algebrica dei momenti delle forze agenti su un punto rispetto allo stesso asse.
Leggi di conservazione del momento angolare di un punto materiale
- Se la linea d'azione delle forze risultanti applicate ad un punto materiale passa sempre per un centro fisso, il momento angolare del punto materiale rimane costante.
- Se il momento delle forze risultanti applicate ad un punto materiale rispetto ad un determinato asse è sempre uguale a zero, allora il momento angolare del punto materiale rispetto allo stesso asse rimane costante.
Teorema sulla variazione del momento angolare principale di un sistema
Momento cinetico
Momento cinetico o momento principale della quantità di moto di un sistema meccanico rispetto al centro chiamato vettore uguale alla somma geometrica del momento angolare di tutti i punti materiali del sistema rispetto allo stesso centro.
Momento cinetico o momento principale della quantità di moto di un sistema meccanico rispetto ad un asse chiamare la somma algebrica dei momenti delle quantità di moto di tutti i punti materiali rispetto allo stesso asse
Proiezione momento cinetico sistema meccanico rispetto al centro O sull'asse passante per questo centro è uguale al momento cinetico del sistema rispetto a questo asse.
Il teorema sulla variazione del momento principale della quantità di moto del sistema (rispetto al centro) - teorema dei momenti
La derivata temporale del momento cinetico di un sistema meccanico rispetto ad un centro fisso è geometricamente uguale al momento principale delle forze esterne agenti su questo sistema rispetto allo stesso centro
Teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema meccanico (rispetto all'asse)
La derivata temporale del momento cinetico di un sistema meccanico rispetto ad un determinato asse è uguale al momento principale delle forze esterne rispetto allo stesso asse.
Leggi di conservazione del momento angolare di un sistema meccanico
- Se il momento principale delle forze esterne rispetto ad un centro fisso è sempre uguale a zero, allora il momento cinetico del sistema meccanico rispetto a questo centro è un valore costante.
- Se il momento principale delle forze esterne rispetto a un determinato asse è zero, il momento cinetico del sistema meccanico rispetto allo stesso asse è un valore costante.
- Il teorema del momento ha grande valore nello studio del moto rotatorio dei corpi e consente di non tener conto di forze interne ovviamente sconosciute.
- Le forze interne non possono modificare il momento angolare principale del sistema.
Momento di un sistema rotante
Per un sistema che ruota attorno ad un asse fisso (o ad un asse passante per il centro di massa), il momento angolare attorno all'asse di rotazione è uguale al prodotto del momento di inerzia attorno a questo asse e la velocità angolare.
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Esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico
Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico. Sono stati effettuati la scelta del materiale, il calcolo delle sollecitazioni ammissibili, il calcolo della resistenza al contatto e alla flessione.
Un esempio di risoluzione di un problema di flessione della trave
Nell'esempio vengono costruiti i diagrammi forze di taglio e momenti flettenti, è stata trovata una sezione pericolosa ed è stata scelta una trave a I. Il problema ha analizzato la costruzione di diagrammi utilizzando le dipendenze differenziali, effettuata analisi comparativa diverse sezioni trasversali della trave.
Un esempio di risoluzione di un problema di torsione dell'albero
Il compito è testare la resistenza di un albero in acciaio con un determinato diametro, materiale e sollecitazione ammissibile. Durante la soluzione vengono costruiti diagrammi di coppie, sollecitazioni di taglio e angoli di torsione. Il peso proprio dell'albero non viene preso in considerazione
Un esempio di risoluzione di un problema di tensione-compressione di un'asta
Il compito è testare la resistenza di una barra d'acciaio alle sollecitazioni ammissibili specificate. Durante la soluzione vengono costruiti i diagrammi delle forze longitudinali, delle tensioni normali e degli spostamenti. Il peso proprio della canna non viene preso in considerazione
Applicazione del teorema sulla conservazione dell'energia cinetica
Un esempio di risoluzione di un problema utilizzando il teorema sulla conservazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico
Determinazione della velocità e dell'accelerazione di un punto utilizzando determinate equazioni del moto
Un esempio di risoluzione di un problema per determinare la velocità e l'accelerazione di un punto utilizzando determinate equazioni del moto
Determinazione delle velocità e delle accelerazioni di punti di un corpo rigido durante il moto piano parallelo
Un esempio di risoluzione di un problema per determinare le velocità e le accelerazioni dei punti di un corpo rigido durante il movimento piano parallelo
Determinazione delle forze nelle barre di una capriata piana
Un esempio di risoluzione del problema di determinazione delle forze nelle aste di una capriata piatta utilizzando il metodo Ritter e il metodo di taglio dei nodi
La quantità di movimento del sistema, come quantità vettoriale, è determinata dalle formule (4.12) e (4.13).
Teorema. La derivata della quantità di moto del sistema rispetto al tempo è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne che agiscono su di esso.
Nelle proiezioni degli assi cartesiani otteniamo equazioni scalari.
Puoi scrivere un vettore
(4.28)
ed equazioni scalari
Che esprimono il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale: la variazione della quantità di moto del sistema in un certo periodo di tempo è uguale alla somma degli impulsi nello stesso periodo di tempo. Quando si risolvono i problemi, vengono utilizzate più spesso le equazioni (4.27).
Legge di conservazione della quantità di moto
Teorema sulla variazione del momento angolare
Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto rispetto al centro: la derivata temporale del momento angolare di un punto rispetto a un centro fisso è pari a momento vettoriale, agendo su un punto di forza relativo allo stesso centro.
O 
(4.30)
Confrontando (4.23) e (4.30), vediamo che i momenti dei vettori e sono legati dalla stessa dipendenza di cui sono legati i vettori e loro stessi (Fig. 4.1). Se proiettiamo l'uguaglianza sull'asse passante per il centro O, otteniamo
(4.31)
Questa uguaglianza esprime il teorema del momento angolare di un punto rispetto ad un asse.
|
(4.32)
Se proiettiamo l'espressione (4.32) sull'asse passante per il centro O, otteniamo un'uguaglianza che caratterizza il teorema sulla variazione del momento angolare rispetto all'asse.
(4.33)
Sostituendo la (4.10) nell'uguaglianza (4.33), possiamo scrivere l'equazione differenziale di un corpo rigido rotante (ruote, assi, alberi, rotori, ecc.) in tre forme.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Pertanto, è consigliabile utilizzare il teorema sulla variazione della quantità di moto cinetica per studiare il movimento di un corpo rigido, molto comune nella tecnologia, la sua rotazione attorno ad un asse fisso.
Legge di conservazione del momento angolare di un sistema
1. Inserisci l'espressione (4.32) .
Quindi dall’equazione (4.32) segue che, cioè se la somma dei momenti di tutte le forze esterne applicate al sistema rispetto a un dato centro è uguale a zero, allora il momento cinetico del sistema rispetto a questo centro sarà numericamente e direzionalmente costante.
2. Se , allora . Pertanto, se la somma dei momenti delle forze esterne che agiscono sul sistema rispetto a un determinato asse è zero, allora il momento cinetico del sistema rispetto a questo asse sarà un valore costante.
Questi risultati esprimono la legge di conservazione del momento angolare.
Nel caso di un corpo rigido rotante, segue dall'uguaglianza (4.34) che, se , allora . Da qui arriviamo alle seguenti conclusioni:
Se il sistema è immutabile (assolutamente solido), quindi, e il corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso con velocità angolare costante.
Se il sistema è mutevole, allora . Quando si aumenta (quindi singoli elementi i sistemi si allontanano dall'asse di rotazione) la velocità angolare diminuisce, perché , e quando diminuisce aumenta, quindi, nel caso di un sistema variabile, con l'aiuto di forze interne è possibile modificare la velocità angolare.
Secondo compito D2 lavoro di provaè dedicato al teorema sulla variazione del momento angolare di un sistema rispetto ad un asse.
Problema D2
Una piattaforma orizzontale omogenea (circolare con raggio R o rettangolare con lati R e 2R, dove R = 1,2 m) con massa kg ruota con velocità angolare attorno all'asse verticale z, distanziata dal centro di massa C della piattaforma ad una distanza distanza OC = b (Fig. E2.0 – D2.9, tabella D2); Le dimensioni di tutte le piattaforme rettangolari sono mostrate in Fig. D2.0a (vista dall'alto).
In questo momento, un carico D con una massa di kg inizia a muoversi lungo lo scivolo della piattaforma (sotto l'influenza di forze interne) secondo la legge, dove s è espresso in metri, t - in secondi. Allo stesso tempo, una coppia di forze con un momento M (espresso in newtonometri; in M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Determinare, trascurando la massa dell’albero, la dipendenza cioè velocità angolare della piattaforma in funzione del tempo.
In tutte le figure il carico D è mostrato in una posizione in cui s > 0 (quando s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Indicazioni. Problema D2 – applicare il teorema sulla variazione del momento angolare del sistema. Quando si applica il teorema ad un sistema costituito da una piattaforma e un carico, il momento angolare del sistema rispetto all'asse z viene determinato come la somma dei momenti della piattaforma e del carico. Va tenuto presente che la velocità assoluta del carico è costituita dalla relativa e velocità portatili, cioè. . Pertanto, la quantità di movimento di questo carico 
. Quindi puoi usare il teorema di Varignon (statica), secondo il quale ; questi momenti si calcolano allo stesso modo dei momenti delle forze. La soluzione è spiegata più dettagliatamente nell'esempio D2.
Quando si risolve un problema, è utile rappresentare in un disegno ausiliario una vista della piattaforma dall'alto (dall'estremità z), come fatto in Fig. D2.0, a – D2.9, a.
Il momento d'inerzia di una piastra di massa m rispetto all'asse Cz, perpendicolare alla piastra e passante per il suo baricentro, è pari a: per una piastra rettangolare con lati e
;
Per una piastra rotonda di raggio R
| Numero di condizione | B | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5 t -0,6 t 0,8 t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
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Esempio D2. Una piattaforma orizzontale omogenea (rettangolare con lati 2l e l), avente una massa, è rigidamente fissata ad un albero verticale e ruota con esso attorno ad un asse z con velocità angolare (Fig. D2a ). In quel momento sull'albero inizia ad agire una coppia M diretta in senso opposto ; caricare contemporaneamente D massa situata nella trincea AB al punto CON, inizia a muoversi lungo lo scivolo (sotto l'influenza di forze interne) secondo la legge s = CD = F(t).
Dato: m 1 = 16 kg, t2= 10kg, l= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - in metri, t - in secondi), M= kt, Dove k=6Nm/s. Determinare: - la legge della variazione della velocità angolare della piattaforma.
Soluzione. Consideriamo sistema meccanico composto da una piattaforma e un carico D. Per determinare w applichiamo il teorema sulla variazione del momento angolare del sistema rispetto all'asse z:
(1)
Descriviamo le forze esterne che agiscono sul sistema: la forza gravitazionale della reazione e la coppia M. Poiché le forze e sono parallele all'asse z e le reazioni intersecano questo asse, i loro momenti relativi all'asse z sono uguali a zero. Quindi, considerando la direzione per il momento positiva (cioè antioraria), otteniamo 
e l'equazione (1) assumerà questa forma.
In alcuni problemi, invece della quantità di moto stessa, il suo momento relativo a un centro o asse è considerato una caratteristica dinamica di un punto in movimento. Questi momenti sono definiti allo stesso modo dei momenti di forza.
Quantità di moto punto materiale rispetto ad un centro O è chiamato vettore definito dall'uguaglianza
Viene anche chiamato momento angolare di un punto momento cinetico .
Slancio rispetto a qualsiasi asse, passante per il centro O, è uguale alla proiezione del vettore quantità di moto su questo asse.
Se la quantità di movimento è data dalle sue proiezioni 
sull'asse delle coordinate e si danno le coordinate del punto nello spazio, quindi il momento angolare relativo all'origine si calcola come segue:
Le proiezioni del momento angolare sugli assi coordinati sono pari a:
L'unità SI della quantità di moto è – .
Teorema sulla variazione del momento angolare di un punto.
Teorema. La derivata temporale del momento della quantità di moto di un punto rispetto a un centro è uguale al momento della forza agente sul punto rispetto allo stesso centro.
Dimostrazione: Differenziamo il momento angolare rispetto al tempo
, 
, quindi , (*)
Q.E.D.
Teorema. La derivata temporale del momento della quantità di moto di un punto rispetto a un asse qualsiasi è uguale al momento della forza agente sul punto rispetto allo stesso asse.
Per dimostrarlo è sufficiente proiettare l'equazione vettoriale (*) su questo asse. Per l'asse sarà simile a questo:
Corollari dai teoremi:
1. Se il momento della forza rispetto a un punto è zero, allora il momento della quantità di moto rispetto a questo punto è un valore costante.
2. Se il momento della forza rispetto ad un asse è zero, allora il momento della quantità di moto rispetto a questo asse è un valore costante.
Lavoro di forza. Energia.
Una delle principali caratteristiche della forza che valuta l'effetto della forza su un corpo durante un movimento.
Lavoro di forza elementare una quantità scalare pari al prodotto di uno spostamento elementare e alla proiezione di una forza su questo spostamento.
L’unità di lavoro SI è –
Quando quando 
Casi particolari:
Lo spostamento elementare è pari al differenziale del raggio del vettore del punto di applicazione della forza.
Lavoro di forza elementare uguale a prodotto scalare forze sullo spostamento elementare o sul differenziale del raggio del vettore del punto di applicazione della forza.
Lavoro di forza elementare è uguale al prodotto scalare dell'impulso elementare della forza per la velocità del punto.
Se la forza è data dalle sue proiezioni () sugli assi coordinati e lo spostamento elementare è dato dalle sue proiezioni () sugli assi coordinati, allora lavoro di base la forza è pari a:
(espressione analitica del lavoro elementare).
Il lavoro compiuto da una forza su qualsiasi spostamento finito è uguale all'integrale del lavoro elementare compiuto lungo questo spostamento.
Potenza è una quantità che determina il lavoro compiuto da una forza nell'unità di tempo. In generale la potenza è uguale alla derivata prima del lavoro.
, 
Energia uguale al prodotto scalare della forza per la velocità.
L’unità SI di potenza è – 
Nella tecnologia, l'unità di forza è considerata .
Esempio 1. Lavoro di gravità.
Lasciamo che il punto M, interessato dalla forza di gravità P, si sposti dalla posizione 
posizionare Scegliamo gli assi delle coordinate in modo che l'asse sia diretto verticalmente verso l'alto.
Quindi, , , e
Il lavoro compiuto dalla gravità è uguale al prodotto dell'entità della forza presa con segno più o meno e lo spostamento verticale del punto di applicazione. Il lavoro è positivo se punto di partenza sopra il punto finale e negativo se il punto iniziale è sotto il punto finale.
Esempio 2. Lavoro della forza elastica.
Consideriamo un punto materiale fissato ad un irrigidimento elastico c, che oscilla lungo l'asse x. Forza elastica (o forza di richiamo). Lasciamo che il punto M, su cui agisce solo la forza elastica, si sposti da una posizione all'altra. ( , ).
La potenza di una coppia di forze è uguale a
Energia cinetica di un punto
Energia cinetica punto materiale (o la sua forza vitale) è chiamata metà del prodotto della massa di un punto per il quadrato della sua velocità.
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