Moto di un corpo sotto l'azione della gravità: definizione, formule. Legge di gravità

Il moto di un corpo sotto l'azione della gravità è uno degli argomenti centrali della fisica dinamica. Anche un normale scolaro sa che la sezione dinamica si basa su tre. Proviamo a capire a fondo questo argomento e un articolo che descrive ogni esempio in dettaglio ci aiuterà a rendere il più utile possibile lo studio del movimento di un corpo sotto l'influenza della gravità.

Un po' di storia

La gente osservava con curiosità vari fenomeni che si svolgono nelle nostre vite. L'umanità per molto tempo non è stata in grado di comprendere i principi e la struttura di molti sistemi, ma un lungo percorso di studio del mondo che ci circonda ha portato i nostri antenati a una rivoluzione scientifica. Al giorno d'oggi, quando la tecnologia si sta sviluppando a una velocità incredibile, le persone difficilmente pensano a come funzionano determinati meccanismi.

Nel frattempo, i nostri antenati si sono sempre interessati ai misteri dei processi naturali e alla struttura del mondo, cercando risposte alle domande più difficili e non hanno smesso di studiare finché non hanno trovato le risposte. Così, ad esempio, il famoso scienziato Galileo Galilei, già nel XVI secolo, si poneva delle domande: "Perché i corpi cadono sempre, che tipo di forza li attrae sulla terra?" Nel 1589 avviò una serie di esperimenti i cui risultati si rivelarono molto preziosi. Ha studiato in dettaglio i modelli caduta libera vari corpi, facendo cadere oggetti dalla famosa torre della città di Pisa. Le leggi che dedusse furono migliorate e descritte in modo più dettagliato dalle formule di un altro famoso scienziato inglese: Sir Isaac Newton. È lui che possiede le tre leggi su cui si basa quasi tutta la fisica moderna.

Il fatto che le leggi del moto dei corpi, descritte più di 500 anni fa, siano ancora attuali, significa che il nostro pianeta è soggetto a leggi immutabili. Uomo modernoè necessario studiare almeno superficialmente i principi di base della disposizione del mondo.

Concetti di base e ausiliari della dinamica

Per comprendere appieno i principi di un tale movimento, devi prima familiarizzare con alcuni concetti. Quindi, i termini teorici più necessari:

• L'interazione è l'azione dei corpi l'uno sull'altro, in cui c'è un cambiamento o l'inizio del loro movimento l'uno rispetto all'altro. Esistono quattro tipi di interazione: elettromagnetica, debole, forte e gravitazionale.
• La velocità è una grandezza fisica che denota la velocità con cui si muove un corpo. La velocità è un vettore, il che significa che non ha solo un valore, ma anche una direzione.
• L'accelerazione è il valore che ci mostra il tasso di variazione della velocità di un corpo in un periodo di tempo. Lei è anche
• La traiettoria del percorso è una curva, e talvolta una linea retta, che il corpo delinea quando si muove. Con moto rettilineo uniforme, la traiettoria può coincidere con il valore di spostamento.
• Il percorso è la lunghezza della traiettoria, cioè esattamente quanto il corpo ha percorso in un certo lasso di tempo.
• Un sistema di riferimento inerziale è un ambiente in cui si soddisfa la prima legge di Newton, cioè il corpo mantiene la sua inerzia, a condizione che tutte le forze esterne siano completamente assenti.

I concetti di cui sopra sono abbastanza per disegnare o immaginare correttamente nella testa una simulazione del movimento di un corpo sotto l'influenza della gravità.

Cosa significa forza?

Passiamo al concetto principale del nostro argomento. Quindi, la forza è una quantità, il cui significato è l'impatto o l'influenza di un corpo su un altro quantitativamente. E la gravità è la forza che agisce assolutamente su ogni corpo situato sulla superficie o vicino al nostro pianeta. La domanda sorge spontanea: da dove viene questo potere? La risposta sta nella legge gravità.

Cos'è la gravità?

Qualsiasi corpo dal lato della Terra è influenzato dalla forza gravitazionale, che gli conferisce una certa accelerazione. La gravità ha sempre una direzione verticale verso il basso, verso il centro del pianeta. In altre parole, la gravità attira gli oggetti verso la terra, motivo per cui gli oggetti cadono sempre. Si scopre che la gravità lo è caso speciale forza di gravità. Newton dedusse una delle formule principali per trovare la forza di attrazione tra due corpi. Si presenta così: F \u003d G * (m 1 x m 2) / R 2.

Qual è l'accelerazione di caduta libera?

Un corpo liberato da una certa altezza vola sempre verso il basso sotto l'influenza della gravità. Il movimento di un corpo sotto l'azione della gravità verticalmente su e giù può essere descritto da equazioni, dove la costante principale sarà il valore dell'accelerazione "g". Questo valore è dovuto esclusivamente all'azione della forza di attrazione e il suo valore è di circa 9,8 m/s 2 . Si scopre che un corpo lanciato da un'altezza senza una velocità iniziale si sposterà verso il basso con un'accelerazione pari al valore "g".

Moto di un corpo sotto l'azione della gravità: formule per risolvere i problemi

La formula di base per trovare la forza di gravità è la seguente: F gravità \u003d mxg, dove m è la massa del corpo su cui agisce la forza e "g" è l'accelerazione di gravità (per semplificare i compiti, è considerata essere pari a 10 m/s 2) .

Ci sono molte altre formule usate per trovare l'uno o l'altro sconosciuto nel libero movimento del corpo. Quindi, ad esempio, per calcolare il percorso percorso dal corpo, è necessario sostituire i valori noti in questa formula: S \u003d V 0 xt + axt 2 / 2 (il percorso è uguale a la somma dei prodotti della velocità iniziale moltiplicata per il tempo e dell'accelerazione per il quadrato del tempo, divisa per 2).

Equazioni per descrivere il moto verticale di un corpo

Il movimento di un corpo sotto l'azione della gravità lungo la verticale può essere descritto da un'equazione simile a questa: x \u003d x 0 + v 0 xt + axt 2 / 2. Usando questa espressione, puoi trovare le coordinate del corpo in un momento noto. Devi solo sostituire i valori noti nel problema: la posizione iniziale, la velocità iniziale (se il corpo non è stato semplicemente rilasciato, ma spinto con una certa forza) e l'accelerazione, nel nostro caso sarà uguale alla accelerazione g.

Allo stesso modo, puoi trovare la velocità di un corpo che si muove sotto l'influenza della gravità. L'espressione per trovare un valore sconosciuto in qualsiasi momento: v \u003d v 0 + gxt (il valore della velocità iniziale può essere uguale a zero, quindi la velocità sarà uguale al prodotto dell'accelerazione di caduta libera per il valore del tempo per che il corpo si muove).

Il movimento dei corpi sotto l'azione della gravità: compiti e metodi per le loro soluzioni

Per molti problemi che coinvolgono la gravità, consigliamo di utilizzare il seguente piano:

1. Per determinare da soli un sistema di riferimento inerziale conveniente, è solitamente consuetudine scegliere la Terra, perché soddisfa molti dei requisiti per l'ISO.
2. Disegna un piccolo disegno o disegno che mostri le principali forze che agiscono sul corpo. Il moto di un corpo sotto l'influenza della gravità implica uno schizzo o diagramma che indichi in quale direzione si muove il corpo se è soggetto ad un'accelerazione pari a g.
3. Quindi dovresti scegliere la direzione per proiettare le forze e le accelerazioni risultanti.
4. Scrivi quantità sconosciute e determina la loro direzione.
5. Infine, usando le formule sopra per risolvere i problemi, calcola tutte le incognite sostituendo i dati nelle equazioni per trovare l'accelerazione o la distanza percorsa.

Soluzione pronta per un compito facile

Quando si tratta di un fenomeno come il movimento di un corpo sotto l'influenza di come è più pratico risolvere il problema, può essere difficile. Tuttavia, ci sono alcuni trucchi, usando i quali puoi facilmente risolvere anche il compito più difficile. Quindi, diamo un'occhiata a esempi dal vivo di come risolvere un particolare problema. Cominciamo con un problema di facile comprensione.

Un corpo è stato rilasciato da un'altezza di 20 m senza velocità iniziale. Determina quanto tempo ci vorrà per raggiungere la superficie terrestre.

Soluzione: conosciamo il percorso percorso dal corpo, sappiamo che la velocità iniziale era pari a 0. Possiamo anche determinare che solo la gravità agisce sul corpo, si scopre che questo è il movimento del corpo sotto l'influenza della gravità , e quindi dovremmo usare questa formula: S = V 0 x t + a x t 2 /2. Poiché nel nostro caso a \u003d g, dopo alcune trasformazioni otteniamo la seguente equazione: S \u003d g x t 2 / 2. Ora resta solo da esprimere il tempo attraverso questa formula, otteniamo che t 2 \u003d 2S / g. Sostituiamo i valori noti ​​​​(supponiamo che g \u003d 10 m / s 2) t 2 \u003d 2 x 20 / 10 \u003d 4. Pertanto, t \u003d 2 s.

Quindi la nostra risposta è: il corpo cadrà a terra in 2 secondi.

Un trucco che ti consente di risolvere rapidamente il problema è il seguente: puoi notare che il movimento descritto del corpo nel problema sopra avviene in una direzione (verticalmente verso il basso). È molto simile al movimento uniformemente accelerato, poiché nessuna forza agisce sul corpo, ad eccezione della gravità (trascuriamo la forza della resistenza dell'aria). Grazie a ciò, puoi utilizzare una formula semplice per trovare un percorso con movimento uniformemente accelerato, aggirando le immagini dei disegni con la disposizione delle forze che agiscono sul corpo.

Un esempio di risoluzione di un problema più complesso

E ora vediamo come è meglio risolvere i problemi per il movimento di un corpo sotto l'influenza della gravità, se il corpo non si muove verticalmente, ma ha una natura più complessa del movimento.

Ad esempio, l'attività seguente. Un oggetto di massa m si muove con accelerazione sconosciuta lungo un piano inclinato il cui coefficiente di attrito è k. Determinare il valore dell'accelerazione presente durante lo spostamento dato corpo, se è noto l'angolo di inclinazione α.

Soluzione: dovresti utilizzare il piano descritto sopra. Prima di tutto, disegna un disegno di un piano inclinato con l'immagine del corpo e tutte le forze che agiscono su di esso. Si scopre che su di esso agiscono tre componenti: la forza di gravità, l'attrito e la forza di reazione del supporto. L'equazione generale delle forze risultanti è la seguente: F attrito + N + mg = ma.

Il clou principale del problema è la condizione di inclinazione ad angolo un. Per ox e per l'asse oy si deve tenere conto di questa condizione, quindi si ottiene la seguente espressione: mg x sin α - Friction F = ma (per l'asse ox) e N - mg x cos α = Friction F (per l'asse ox) e N - mg x cos α = Friction F (per l'asse ox) asse oy).

L'attrito F è facile da calcolare con la formula per trovare la forza di attrito, è uguale a k x mg (coefficiente di attrito moltiplicato per il prodotto della massa corporea e dell'accelerazione di caduta libera). Dopo tutti i calcoli, non resta che sostituire i valori trovati nella formula, si otterrà un'equazione semplificata per calcolare l'accelerazione con cui il corpo si muove lungo un piano inclinato.

Secondo la seconda legge di Newton, il prerequisito per la configurazione del moto, in altre parole il prerequisito per l'accelerazione dei corpi, è la forza. In meccanica si considerano forze di varia natura fisica. Molti fenomeni meccanici e i processi sono determinati dall'azione delle forze gravità. Legge di gravità globale fu scoperto da I. Newton nel 1682. Già nel 1665, il 23enne Newton suggerì che le forze che mantengono la Luna nella sua orbita sono della stessa natura delle forze che fanno cadere una mela sulla Terra. Secondo la sua ipotesi, le forze attrattive (forze gravitazionali) agiscono tra tutti i corpi dell'Universo, dirette lungo la striscia di collegamento centri di massa(Fig. 1.10.1). Per un corpo a forma di palla omogenea, il baricentro coincide con il centro della palla.

Negli anni successivi, Newton cercò di trovare una spiegazione fisica per leggi del moto planetario, scoperto dall'astrologo I. Keplero all'inizio del XVII secolo, e danno un'espressione quantitativa delle forze gravitazionali. Sapendo come si muovono i pianeti, Newton voleva scoprire quali forze agiscono su di loro. Questo percorso è chiamato problema inverso della meccanica. Se il compito principale della meccanica è determinare le coordinate di un corpo di massa nota e la sua velocità in qualsiasi momento in base alle forze note che agiscono sul corpo e date condizioni iniziali ( compito regolare dei meccanici), quindi quando si risolve il problema inverso, è necessario trovare le forze che agiscono sul corpo, se è chiaro come si muove. La soluzione di questo problema portò Newton alla scoperta della legge di gravitazione globale. Tutti i corpi sono attratti l'uno dall'altro con una forza direttamente proporzionale alla loro massa e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro:

Il coefficiente di proporzionalità G è simile per tutti i corpi in natura. Lo chiamano costante gravitazionale

Molti fenomeni in natura sono spiegati dall'azione delle forze gravitazionali globali. Il movimento dei pianeti nel sistema solare, il movimento dei satelliti artificiali della Terra, le traiettorie di volo dei missili balistici, il movimento dei corpi vicino alla superficie terrestre: tutti questi fenomeni sono spiegati sulla base della legge di gravitazione globale e delle leggi di dinamica. Una delle manifestazioni della forza di gravità globale è gravità. Quindi è consuetudine chiamare la forza di attrazione dei corpi sulla Terra vicino alla sua superficie. Se M è la massa della Terra, RЗ è il suo raggio, m è la massa del dato corpo, allora la forza di gravità è uguale a

dove g - accelerazione di gravità alla superficie terrestre:

La forza di gravità è orientata verso il centro della Terra. In assenza di altre forze, il corpo cade liberamente sulla Terra con accelerazione di caduta libera. Il valore medio dell'accelerazione di caduta libera per diversi punti sulla superficie terrestre è 9,81 m/s2. Conoscendo l'accelerazione di caduta libera e il raggio della Terra (RЗ = 6,38 106 m), possiamo calcolare la massa della Terra M:

Quando ci si allontana dalla superficie terrestre, la forza di gravità e l'accelerazione di caduta libera cambiano in proporzione al quadrato della distanza r dal centro della Terra. Riso. 1.10.2 illustra il cambiamento nella forza gravitazionale che agisce su un astronauta in una nave cosmica mentre si allontana dalla Terra. Si presume che la forza con cui un astronauta viene attratto dalla Terra vicino alla sua superficie sia 700 N.

Un esempio di un sistema di due corpi interagenti è il sistema Terra-Luna. La Luna si trova a una distanza rL = 3,84 106 m dalla Terra, questa distanza è circa 60 volte maggiore del raggio della Terra RЗ. Come segue, l'accelerazione di caduta libera aL, dovuta alla gravità terrestre, nell'orbita della Luna è

Con una tale accelerazione diretta verso il centro della Terra, la Luna si muove in un'orbita. Come segue, questa accelerazione è accelerazione centripeta. Può essere calcolato utilizzando la formula cinematica per l'accelerazione centripeta (vedi §1.6):

dove T = 27,3 giorni è il periodo di ascensione della Luna attorno alla Terra. La coincidenza dei risultati dei calcoli eseguiti con metodi diversi conferma l'ipotesi di Newton circa la natura unificata della forza che tiene in orbita la Luna e la forza di gravità. Il campo gravitazionale della Luna determina l'accelerazione di caduta libera gL sulla sua superficie. La massa della Luna è 81 volte inferiore alla massa della Terra e il suo raggio è circa 3,7 volte inferiore al raggio della Terra. Pertanto, l'accelerazione gL sarà determinata dall'espressione:

Gli astronauti che sono sbarcati sulla luna si sono trovati in tali condizioni di debole gravità. Una persona in tali condizioni può fare enormi salti. Ad esempio, se una persona in condizioni terrestri salta a un'altezza di 1 m, sulla Luna potrebbe saltare a un'altezza di oltre 6 m Consideriamo ora la questione dei satelliti artificiali della Terra. I satelliti artificiali si muovono all'esterno l'atmosfera terrestre, e solo le forze gravitazionali della Terra agiscono su di esse. A seconda della velocità iniziale, la linea di moto di un corpo galattico può essere diversa (vedi §1.24). Considereremo qui solo il caso del movimento satellite artificiale radiale vicino alla Terra orbita. Tali satelliti volano ad altitudini dell'ordine di 200–300 km e la distanza dal centro della Terra può essere approssimativamente considerata uguale al suo raggio R3. Poi accelerazione centripeta satellite, riportatogli dalle forze di gravità, è approssimativamente uguale all'accelerazione di caduta libera g. Indichiamo la velocità del satellite in orbita vicino alla Terra come υ1. Questa velocità è chiamata prima velocità galattica. Usando la formula cinematica per l'accelerazione centripeta (vedi §1.6), otteniamo:

Muovendosi a tale velocità, il satellite girerebbe intorno alla Terra nel tempo, infatti il ​​periodo dell'orbita del satellite in un'orbita radiale vicino alla superficie terrestre supera di poco il valore indicato a causa della differenza tra il raggio dell'orbita reale e il raggio della Terra. Il moto del satellite può essere considerato come caduta libera simile al movimento di proiettili o missili balistici. La differenza sta unicamente nel fatto che la velocità del satellite è così grande che il raggio di curvatura della sua linea di moto è uguale al raggio della Terra. Per i satelliti che si muovono lungo traiettorie radiali a una distanza significativa dalla Terra, la gravità terrestre si indebolisce in proporzione al quadrato del raggio r della linea di movimento. La velocità del satellite υ si trova dalla condizione

Pertanto, nelle grandi orbite, la velocità di movimento dei satelliti è inferiore rispetto all'orbita vicina alla Terra. Il periodo T del ricorso di tale satellite è

Qui T1 è il periodo orbitale del satellite in orbita vicino alla Terra. Il periodo orbitale del satellite aumenta con l'aumentare del raggio dell'orbita. È facile calcolare che con un raggio di orbita r pari a circa 6,6 R3, il periodo orbitale del satellite sarà pari a 24 ore. Un satellite con un tale periodo di elevazione, lanciato sul piano dell'equatore, si librerà immobile su un certo punto superficie terrestre. Tali satelliti sono utilizzati nei sistemi di comunicazione radio galattici. Viene chiamata un'orbita di raggio r = 6.6R3 geostazionario.

(I termini gravità e gravitazione sono equivalenti).

Accelerazione, che sperimenta il corpo m 2 , situato a distanza R da questo corpo m 1 è uguale a:
.
Questo valore non dipende dalla natura (composizione) e dalla massa del corpo che riceve l'accelerazione. Questo rapporto esprime un fatto sperimentale, noto anche a Galilai, secondo il quale tutti i corpi cadono in gravità. Campo terrestre con la stessa accelerazione.

Newton stabilì che l'accelerazione e la forza sono inversamente proporzionali confrontando l'accelerazione dei corpi che cadono vicino alla superficie terrestre con l'accelerazione con cui la Luna si muove nella sua orbita. (Il raggio della Terra e la distanza approssimativa dalla Luna erano noti a quel tempo.) Inoltre, è stato dimostrato che le leggi di Keplero seguono la legge di gravitazione universale, che fu trovata da I. Keplero elaborando numerose osservazioni dei moti dei pianeti. Così è nata la meccanica celeste. Una brillante conferma della teoria newtoniana di T. fu la predizione dell'esistenza di un pianeta oltre Urano (astronomo inglese J. Adams, astronomo francese W. Le Verrier, 1843-45) e la scoperta di questo pianeta, che fu chiamato Nettuno (Astronomo tedesco I. Galle, 1846).

La mosca che descrive il moto dei pianeti include il prodotto G e la massa del Sole, è conosciuta con grande accuratezza. Per definire la stessa costante G sono necessari esperimenti di laboratorio per misurare la forza di gravità. interazione di due corpi di massa nota. Il primo esperimento di questo tipo è stato avviato dagli inglesi. scienziato G. Cavendish (1798). Conoscere G, è possibile determinare ass. il valore della massa del Sole, della Terra e degli altri corpi celesti.

La legge di gravità nella forma (1) è direttamente applicabile ai corpi puntiformi. Si può dimostrare che è valido anche per corpi estesi con una distribuzione di massa sfericamente simmetrica, e Rè la distanza tra i centri di simmetria dei corpi. Per sferico corpi situati abbastanza distanti tra loro, la legge (1) vale approssimativamente.

Nel corso dello sviluppo della teoria della termodinamica, l'idea dell'interazione diretta della forza dei corpi ha gradualmente lasciato il posto all'idea di un campo. Gravità campo nella teoria di Newton è caratterizzato dal potenziale , dove x,y,z- coordinate, T- tempo, nonché intensità di campo, ad es.
.
Potenziale di gravità. il campo creato da un insieme di masse a riposo non dipende dal tempo. Gravità diversi potenziali. i corpi soddisfano i principi della sovrapposizione, cioè potenziale k.-l. il punto del loro campo comune è uguale alla somma dei potenziali dei corpi in esame.

Si presume che la gravitazionale il campo è descritto nel sistema di coordinate inerziale, cioè in un sistema di coordinate, rispetto al quale il corpo mantiene uno stato di quiete o moto rettilineo uniforme se nessuna forza agisce su di esso. In gravitazionale campo la forza che agisce su una particella di materia è uguale al prodotto della sua massa e l'intensità del campo nella posizione della particella: F=mg. L'accelerazione di una particella rispetto al sistema di coordinate inerziale (la cosiddetta accelerazione assoluta) è, ovviamente, G.

Punto corpo con massa dm crea gravità. potenziale
.
Un mezzo continuo distribuito nello spazio con una densità (può dipendere dal tempo) crea gravità. potenziale uguale alla somma dei potenziali di tutti gli elementi dell'ambiente. In questo caso, l'intensità del campo è espressa come somma vettoriale delle forze create da tutte le particelle.

Gravità il potenziale obbedisce all'equazione di Poisson:
. (2)

È chiaro che il potenziale di un corpo sfericamente simmetrico isolato dipende solo da R. Al di fuori di tale corpo, il potenziale coincide con il potenziale di un corpo puntiforme situato al centro di simmetria e avente la stessa massa m. Se a r>R, poi a r>R. Ciò giustifica l'approssimazione punti materiali nella meccanica celeste, dove di solito si tratta di quasi sferici. corpi tra l'altro piuttosto distanti. L'esatta equazione di Poissnoa, tenendo conto della distribuzione reale e asimmetrica delle masse, viene utilizzata, ad esempio, nello studio della struttura della Terra con metodi gravimetrici. La legge di T. nella forma dell'equazione di Poisson viene applicata in teoria. studio della struttura delle stelle. Nelle stelle, la forza di gravità, che varia da punto a punto, è bilanciata da un gradiente di pressione; nelle stelle rotanti, la forza centrifuga viene aggiunta al gradiente di pressione.

Notiamo alcune caratteristiche fondamentali del classico teorie t.
1) Nell'equazione del moto di un corpo materiale - la seconda legge della meccanica di Newton, mun=F(dove F - forza agente, un- l'accelerazione acquisita dal corpo), e la legge di gravitazione di Newton include la stessa caratteristica del corpo: la sua massa. Ciò implica che la massa inerziale del corpo e la sua gravitazionale massa sono uguali (per maggiori dettagli, vedere la sezione 3).

2) Valore istantaneo della gravità. il potenziale è completamente determinato dalla distribuzione istantanea della massa nello spazio e dalle condizioni limite per il potenziale all'infinito. Per distribuzioni limitate di materia, è accettata la condizione di svanire all'infinito (a ). L'aggiunta di un termine costante al potenziale viola la condizione all'infinito, ma non cambia l'intensità del campo G e non cambia l'ur-zione del movimento dei corpi materiali in un dato campo.

3) Transizione secondo le trasformazioni galileiane ( x"=x-vt, t"=t) da un sistema di coordinate inerziale all'altro, muovendosi rispetto al primo a velocità costante v, non cambia l'equazione di Poisson e non cambia l'equazione del movimento dei corpi materiali. In altre parole, la meccanica, inclusa la teoria della teoria di Newton, è invariante rispetto alle trasformazioni galileiane.

4) Transizione da un sistema di coordinate inerziale ad un'accelerazione in movimento con accelerazione un(T)(senza rotazione) non cambia l'equazione di Poisson, ma porta alla comparsa di un termine aggiuntivo che non dipende dalle coordinate mun in ur-zioni di movimento. Esattamente la stessa navetta nelle equazioni del moto si verifica se nel sistema di coordinate inerziale a gravitazionale. al potenziale, aggiungi un termine che dipende linearmente dalle coordinate, cioè aggiungere un campo T. T. omogeneo, un campo T. omogeneo può essere compensato in condizioni di movimento accelerato.

2. Movimento dei corpi sotto l'azione delle forze gravitazionali

Il compito più importante della meccanica celeste newtoniana è yavl. il problema del moto di corpi materiali a due punti che interagiscono gravitazionalmente. Per risolverlo, usando la legge di gravità di Newton, compongono le equazioni del moto dei corpi. Le soluzioni delle Isole Sante di queste ur-zioni sono note con esauriente completezza. Secondo una soluzione ben nota, si può stabilire che alcune grandezze che caratterizzano il sistema rimangono costanti nel tempo. Si chiamano integrali del moto. Principale integrali del moto (quantità conservate) yavl. energia, quantità di moto, momento angolare del sistema. Per un sistema a due corpi, una meccanica completa energia e, uguale alla somma della cinetica. energia ( T) ed energia potenziale ( u), viene salvato:
E=T+U= cost,
dov'è la cinetica l'energia di due corpi.

Nel classico meccanica celeste energia potenziale per gravità. interazione telefonica. Per una coppia di corpi, l'energia gravitazionale (potenziale) è:
,
dov'è la gravitazionale potenziale di massa m 2 nel luogo della massa m 1, a è il potenziale creato dalla massa m 1 nel luogo della massa m 2. Valore zero u hanno corpi distanziati a distanza infinita. Perché quando i corpi si avvicinano, la loro cinetica l'energia aumenta e l'energia potenziale diminuisce, quindi, il segno u negativo.

Per i sistemi gravitanti stazionari, cfr. valore abs valori di gravità. il doppio dell'energia cfr. valori cinetici. le energie delle particelle che compongono il sistema (vedi). Quindi, ad esempio, per una piccola massa m, ruotando in un'orbita circolare attorno corpo centrale, la condizione di uguaglianza della forza centrifuga mv2 /r la forza gravitazionale porta a , cioè cinetico energia mentre. Quindi, u=-2T e E=U+T=-T= cost

Nella teoria della gravità di Newton, un cambiamento nella posizione di una particella porta istantaneamente a un cambiamento nel campo nello spazio (l'interazione gravitazionale avviene a velocità infinita). In altre parole, nel classico teoria T. il campo ha lo scopo di descrivere l'interazione istantanea a distanza, non ha una sua. gradi di libertà, non possono propagarsi e irradiarsi. È chiaro quale sia l'idea di gravitazione. il campo è valido solo approssimativamente per moti sufficientemente lenti delle sorgenti. Contabilità della velocità finita di propagazione della gravità. l'interazione è prodotta nella teoria relativistica della termodinamica (vedi sotto).

Nella teoria non relativistica della gravità, l'energia meccanica totale di un sistema di corpi (compresa l'energia delle interazioni gravitazionali) deve rimanere invariata indefinitamente. La teoria di Newton ammette una sistematica una diminuzione di tale energia solo in presenza di dissipazioni associate alla conversione di parte dell'energia in calore, ad esempio. negli urti anelastici dei corpi. Se i corpi sono viscosi, allora le loro deformazioni e oscillazioni quando si muovono per gravità. il campo riduce anche l'energia del sistema dei corpi a causa della conversione dell'energia in calore.

3. Accelerazione e gravità

massa corporea inerziale ( io) è un valore che caratterizza la sua capacità di acquisire l'una o l'altra accelerazione sotto l'azione di una data forza. La massa inerziale è inclusa nella seconda legge della meccanica di Newton. Gravità peso ( m g) caratterizza la capacità del corpo di creare l'uno o l'altro campo T. Gravità. la massa è inclusa nella legge di T.

Dagli esperimenti di Galileo, con l'accuratezza con cui sono stati impostati, è risultato che tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla loro natura e massa inerziale. Ciò significa che la forza con cui la Terra agisce su questi corpi dipende solo dalla loro massa inerziale, e la forza è proporzionale alla massa inerziale del corpo in questione. Ma secondo la terza legge di Newton, il corpo in studio agisce sulla Terra esattamente con la stessa forza con cui la Terra agisce sul corpo. Di conseguenza, la forza creata dal corpo in caduta dipende solo da una delle sue caratteristiche - la massa inerziale - ed è ad essa proporzionale. Allo stesso tempo, il corpo in caduta agisce sulla Terra con una forza determinata dalla gravità. peso corporeo. Quindi, per tutti i corpi gravitazionali. la massa è proporzionale all'inerzia. Conteggio io e m g semplicemente coincidendo, trovare dagli esperimenti un valore numerico specifico della costante G.

Proporzionalità di inerziale e gravitazionale. masse in corpi di diversa natura fu oggetto di ricerca negli esperimenti di Hung. fisico R. Eötvös (1922), Amer. il fisico R. Dicke (1964) e il fisico sovietico V.B. Braginsky (1971). Viene testato in laboratorio con elevata precisione (con un errore

L'elevata precisione di questi esperimenti consente di stimare l'influenza sulla massa di vari tipi di energia di legame tra le particelle del corpo (vedi ). Proporzionalità di inerziale e gravitazionale. massa significa che fisico. le interazioni all'interno del corpo sono ugualmente coinvolte nella creazione delle sue forze inerziali e gravitazionali. peso

Relativo a un sistema di coordinate che si muove con accelerazione un, tutti i corpi liberi acquisiscono la stessa accelerazione - un. A causa dell'uguaglianza tra inerziale e gravitazionale. masse, acquisiscono tutte la stessa accelerazione relativa al sistema di coordinate inerziale sotto l'influenza delle forze gravitazionali. campi con intensità G=-un. Ecco perché possiamo dire che dal punto di vista delle leggi della meccanica, gravità omogenea. campo è indistinguibile dal campo di accelerazione. In una disomogenea gravitazionale la compensazione del campo dell'intensità del campo mediante l'accelerazione in una volta in tutto lo spazio è impossibile. Tuttavia, l'intensità del campo può essere compensata accelerando un sistema di coordinate appositamente selezionato lungo l'intera traiettoria di un corpo che si muove liberamente sotto l'azione delle forze T. Viene chiamato tale sistema di coordinate. in caduta libera. In esso si verifica il fenomeno dell'assenza di gravità.

Movimento spaziale. veicolo spaziale (satellite) nel campo T. terrestre può essere considerato come il movimento di un sistema di coordinate in caduta. L'accelerazione degli astronauti e di tutti gli oggetti sulla nave rispetto alla Terra è la stessa e uguale all'accelerazione della caduta libera, e l'uno rispetto all'altro è praticamente zero, quindi sono in assenza di gravità.

In caduta libera a gravità non uniforme. La compensazione del campo dell'intensità del campo mediante l'accelerazione non può essere onnipresente, poiché l'accelerazione delle particelle vicine in caduta libera non è esattamente la stessa, ad es. le particelle hanno accelerazione relativa. Nello spazio su una nave, le accelerazioni relative sono praticamente impercettibili, poiché in ordine di grandezza sono cm / s 2, dove Rè la distanza dalla nave al centro della terra, è la massa della terra, X- la dimensione della nave. Queste accelerazioni possono essere trascurate e la forza gravitazionale può essere utilizzata. Il campo terrestre in lontananza R dal suo centro omogeneo di volume con una dimensione caratteristica X. In un dato volume di spazio, la disomogeneità gravitazionale il campo può essere stabilito da osservazioni con una precisione sufficientemente elevata, ma per una data precisione delle osservazioni, è possibile specificare la quantità di spazio in cui il campo apparirà omogeneo.

Le accelerazioni relative si manifestano, ad esempio, sulla Terra sotto forma di maree oceaniche. La forza con cui la Luna attira la Terra è diversa in diversi punti della Terra. Le parti della superficie dell'acqua più vicine alla Luna sono attratte più fortemente del baricentro della Terra e, a sua volta, è più forte delle parti più lontane degli oceani. Lungo la linea che collega la Luna e la Terra, le accelerazioni relative sono dirette dal centro della Terra e in direzioni ortogonali - verso il centro. Di conseguenza, il guscio d'acqua della Terra è deformato in modo da essere esteso sotto forma di un ellissoide lungo la linea Terra-Luna. A causa della rotazione della Terra, le gobbe di marea rotolano sulla superficie dell'oceano due volte al giorno. Una deformazione della marea simile ma minore è causata da disomogeneità di gravità. campi del sole.

A. Einstein, basato sull'equivalenza dei campi omogenei T. e dei sistemi di coordinate accelerati in meccanica, ha suggerito che tale equivalenza si applica in generale a tutto, senza eccezioni, fisico. fenomeni. Questo postulato è chiamato principio di equivalenza: tutti i processi fisici procedono esattamente allo stesso modo (nelle stesse condizioni) in un sistema di riferimento inerziale situato in un campo gravitazionale uniforme, e in un sistema di riferimento che avanza con accelerazione in assenza delle forze gravitazionali. campi. Il principio di equivalenza giocato ruolo importante nella costruzione della teoria di Einstein T.

4. Meccanica relativistica e teoria dei campi

Lo studio di el.-mag. fenomeni di M. Faraday e D. Maxwell nella seconda metà del XIX secolo. ha portato alla creazione della teoria di el.-magn. campi. Le conclusioni di questa teoria sono state confermate sperimentalmente. Le equazioni di Maxwell non sono invarianti rispetto alle trasformazioni galileiane, ma sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz, cioè le leggi dell'elettromagnetismo sono formulate allo stesso modo in tutti i sistemi di coordinate inerziali collegati da trasformazioni di Lorentz.

Se il sistema di coordinate inerziale x", y", z", t" si sposta rispetto al sistema di coordinate inerziale x, y, z, t a velocità costante v in direzione dell'asse X, allora le trasformazioni di Lorentz hanno la forma:
y"=y, z"=z, .
A basse velocità () e trascurando i termini ( v/c) 2 e vx/c 2 queste trasformazioni passano alle trasformazioni galileiane.

Logica analisi delle contraddizioni sorte confrontando le conclusioni della teoria di el.-mag. fenomeni dal classico idee sullo spazio e sul tempo, hanno portato alla costruzione di una teoria della relatività privata (speciale). Un passo decisivo fu compiuto da A. Einstein (1905), un ruolo enorme nella sua costruzione fu svolto dalle opere del fisico olandese G. Lorenz e dei francesi. matematico A. Poincaré. La relatività particolare richiede una revisione delle idee classiche sullo spazio e sul tempo. Nel classico In fisica, l'intervallo di tempo tra due eventi (ad esempio, tra due lampi di luce), così come il concetto di simultaneità degli eventi, hanno un significato assoluto. Non dipendono dal movimento dell'osservatore. Nella teoria della relatività non è così: i giudizi sugli intervalli di tempo tra gli eventi e sui segmenti di lunghezza dipendono dal movimento dell'osservatore (il sistema di coordinate a lui associato). Queste quantità risultano essere relative approssimativamente nello stesso senso in cui sono relative, a seconda della posizione degli osservatori, yavl. i loro giudizi sull'angolo sotto il quale vedono la stessa coppia di oggetti. Invariante, assoluto, indipendente dal sistema di coordinate, yavl. solo intervallo 4-dimensionale ds tra eventi, anche come periodo di tempo dt, e l'elemento distanza tra loro:
ds 2 =C 2 dt 2 -dx 2 -dio 2 -dz 2 . (3)
Il passaggio da un frame inerziale all'altro, preservando ds 2 invariato, viene eseguito esattamente secondo le trasformazioni di Lorentz.

Invarianza ds 2 significa che lo spazio e il tempo sono combinati in un unico mondo a 4 dimensioni: lo spazio-tempo. L'espressione (3) può anche essere scritta come:
, (4)
dove gli indici e scorrere i valori 0, 1, 2, 3 e la somma viene eseguita su di essi, X 0 =ct, X 1 =X, X 2 =y, X 3 =z, , altre quantità sono uguali a zero. L'insieme delle quantità è chiamato tensore metrico dello spazio-tempo piatto o mondo di Minkowski [nella relatività generale (GR) è stato dimostrato che lo spazio-tempo ha una curvatura, vedi sotto].

Nel termine "tensore metrico" la parola "metrica" ​​indica il ruolo di queste grandezze nella determinazione delle distanze e degli intervalli di tempo. In generale, metrico tensore è una raccolta di dieci funzioni a seconda di X 0 , X 1 , X 2 , X 3 nel sistema di coordinate selezionato. metrico tensore (o semplicemente metrico) permette di determinare la distanza e l'intervallo di tempo tra gli eventi separati da .

Specialista. la teoria della relatività stabilisce la velocità limite del movimento dei corpi materiali e la propagazione delle interazioni in generale. Questa velocità coincide con la velocità della luce nel vuoto. Insieme a un cambiamento di idee su spazio e tempo, speciale. la teoria della relatività ha chiarito il concetto di massa, quantità di moto, forza. Nella meccanica relativistica, cioè in meccanica invariante per trasformazioni di Lorentz, la massa inerziale di un corpo dipende dalla velocità: , dove m 0 - corpi. L'energia del corpo e la sua quantità di moto sono combinate in un vettore energia-momento a 4 componenti. Per continuum puoi inserire la densità di energia, la densità di quantità di moto e la densità di flusso di quantità di moto. Queste quantità sono combinate in una quantità a 10 componenti: il tensore energia-momento. Tutti i componenti subiscono una trasformazione congiunta quando ci si sposta da un sistema di coordinate all'altro. Teoria relativistica di el.-magnet. i campi (elettrodinamica) sono molto più ricchi dell'elettrostatica, il che è valido solo nel limite dei moti lenti delle cariche. In elettrodinamica, c'è una combinazione di elettrico. e campi magnetici. La contabilizzazione del tasso finito di propagazione dei cambiamenti di campo e del ritardo nel trasferimento dell'interazione porta al concetto di el.-magnete. onde, to-rye portano via energia dal sistema radiante.

Allo stesso modo, la teoria relativistica della termodinamica si rivelò più complicata di quella di Newton. Gravità il campo di un corpo in movimento ha un numero di sv-in, simile a sv-you el.-mag. campi di un corpo carico in movimento in elettrodinamica. Gravità il campo a grande distanza dai corpi dipende dalla posizione e dal movimento dei corpi nel passato, poiché gravitazionale. il campo si propaga a velocità finita. Diventa possibile la radiazione e la distribuzione dei gravitati. onde (vedi). La teoria relativistica della termodinamica, come ci si poteva aspettare, si rivelò non lineare.

5. La curvatura dello spazio-tempo nella relatività generale

Secondo il principio di equivalenza, nessuna osservazione, utilizzando leggi di natura, può distinguere l'accelerazione creata da un campo omogeneo T. dall'accelerazione di un sistema di coordinate in movimento. A gravità omogenea. campo, è possibile ottenere un'accelerazione zero di tutte le particelle poste in una data regione dello spazio, se le consideriamo in un sistema di coordinate che cadono liberamente insieme alle particelle. Un tale sistema di coordinate è rappresentato mentalmente sotto forma di un laboratorio con pareti rigide e orologi situati al suo interno. La situazione è diversa per gravità non uniforme. campo in cui le particelle libere vicine hanno accelerazioni relative. Si muoveranno con accelerazione, anche se piccola, rispetto al centro del laboratorio (sistema di coordinate), e tale sistema di coordinate dovrebbe essere riconosciuto solo come inerziale localmente. È possibile considerare il sistema di coordinate come inerziale solo nella regione in cui è lecito trascurare le accelerazioni relative delle particelle. Pertanto, in una gravitazionale non uniforme campo solo in una piccola regione dello spazio-tempo e con una precisione limitata, lo spazio-tempo può essere considerato piatto e f-loy (3) può essere utilizzato per determinare l'intervallo tra gli eventi.

Impossibilità di introdurre un sistema di coordinate inerziale in gravità non uniforme. il campo rende tutti i sistemi di coordinate immaginabili più o meno uguali. Ur-niya gravitat. i campi devono essere scritti in modo tale da essere validi in tutti i sistemi di coordinate, senza dare la preferenza a c.-l. di loro. Da qui il nome della teoria relativistica della termodinamica - la teoria della relatività generale.

Gravità i campi prodotti da corpi reali, come il Sole o la Terra, sono sempre disuniformi. Sono chiamati campi veri o non rimovibili. In una tale gravità campo, nessun sistema di coordinate locale-inerziale può essere esteso all'intero spazio-tempo. Ciò significa che l'intervallo ds 2 non può essere ridotto alla forma (3) nell'intero continuum spazio-temporale, cioè lo spazio-tempo non può essere piatto. Einstein ha avuto l'idea radicale di identificare le gravità non uniformi. campi con curvatura spazio-temporale. Da queste posizioni, gravitazionale il campo di qualsiasi corpo può essere considerato come una distorsione della geometria dello spazio-tempo da parte di questo corpo.

Fondamenti di matematica. apparati per la geometria di uno spazio con curvatura (geometria non euclidea) furono stabiliti nei lavori di N.I. Lobachevskij, Hung. matematica J. Bolyai, tedesco. matematici K. Gauss e G. Riemann. Nella geometria non euclidea, lo spazio-tempo curvo è caratterizzato dalla metrica. tensore incluso nell'espressione per l'intervallo invariante:
, (5)
un caso speciale di questa espressione yavl. formula (4). Avendo un insieme di funzioni, si può sollevare la questione dell'esistenza di tali trasformazioni di coordinate, che tradurrebbero (5) in (3), cioè permetterebbe di verificare se lo spazio-tempo è piatto. Le trasformazioni desiderate sono possibili se e solo se un certo tensore, composto da f-zioni, quadrati delle loro derivate prime e seconde, è uguale a zero. Questo tensore è chiamato tensore di curvatura. Nel caso generale, ovviamente, non è uguale a zero.

Un insieme di valori viene utilizzato per una descrizione invariante, indipendente dalla scelta del sistema di coordinate, della geometrica. st-in curvo spazio-tempo. Con fisico punto di vista del tensore di curvatura, espresso in termini di derivate seconde del gravitazionale. potenziali, descrive le accelerazioni di marea in gravità non uniforme. campo.

Il tensore di curvatura è una grandezza dimensionale, la sua dimensione è il quadrato della lunghezza reciproca. La curvatura in ogni punto dello spazio-tempo corrisponde a lunghezze caratteristiche - raggi di curvatura. In una piccola regione spazio-temporale che circonda un dato punto, uno spazio-tempo curvo è indistinguibile da uno piatto fino a piccoli termini, dove lè la dimensione caratteristica della regione. In questo senso, la curvatura del mondo ha le stesse proprietà, diciamo, della curvatura il globo: è insignificante nelle piccole regioni. Il tensore di curvatura in un dato punto non può essere "distrutto" da alcuna trasformazione di coordinate. Tuttavia, in un certo sistema di coordinate e con una precisione predeterminata, il campo T. in una piccola regione dello spazio-tempo può considerarsi assente. In quest'area, tutte le leggi della fisica acquistano la forma che è conforme allo speciale. teoria della relatività. Così si manifesta il principio di equivalenza, che è stato alla base della teoria della termodinamica durante la sua costruzione.

metrico il tensore spazio-temporale, ed in particolare la curvatura del mondo, sono disponibili per la determinazione sperimentale. Per provare la curvatura del globo, è necessario disporre di una piccola scala "ideale" e utilizzarla per misurare la distanza tra punti sufficientemente distanti sulla superficie. Un confronto delle distanze misurate indicherà la differenza tra la geometria reale e quella euclidea. Allo stesso modo, la geometria dello spazio-tempo può essere stabilita da misurazioni effettuate con righelli e orologi "ideali". È naturale presumere, seguendo Einstein, che le proprietà di un piccolo atomo "ideale" non dipendano da dove si trova nel mondo. Pertanto, dopo aver effettuato, ad esempio, una misura dello spostamento della frequenza della luce (determinando lo spostamento verso il rosso gravitazionale), è possibile in linea di principio determinare la metrica. tensore spazio-temporale e sua curvatura.

6. Equazioni di Einstein

Sommando il tensore di curvatura con la metrica. il tensore può formare un tensore simmetrico , che ha lo stesso numero di componenti del tensore della quantità di moto della materia, che funge da fonte di gravità. campi.

Einstein ha suggerito che le equazioni di gravità dovrebbero stabilire una relazione tra e . Inoltre, ne tenne conto in gravitazionale campo, l'equazione di continuità per la materia deve essere soddisfatta nello stesso modo in cui l'equazione di continuità corrente viene eseguita in elettrodinamica. Tali ur-zioni vengono eseguite automaticamente se l'ur-niya gravita. scrivi campi come questo:
. (6)
Queste sono le equazioni di Einstein, ottenute da lui nel 1916. Queste equazioni derivano anche dalle variazioni. principio che indipendentemente gli ha mostrato. matematico D. Hilbert.

Le equazioni di Einstein esprimono la connessione tra distribuzione e moto della materia, da un lato, e geometrica. St. tu spazio-tempo - dall'altro.

Nelle equazioni (6) sul lato sinistro ci sono le componenti del tensore che descrivono la geometria dello spazio-tempo, e sulla destra - le componenti del tensore energia-momento che descrivono il fisico. Isole Sacre della materia e dei campi (sorgenti dei campi gravitazionali). Le quantità non sono solo funzioni che descrivono il campo gravitazionale, ma allo stesso tempo sono componenti del tensore metrico spazio-temporale.

Einstein scrisse che la maggior parte del suo lavoro (teoria della relatività speciale, natura quantistica della luce) era in linea con i problemi reali del suo tempo.Se questi lavori sarebbero stati realizzati da altri scienziati con un ritardo non superiore a 2-3 anni Einstein fece un'eccezione per la relatività generale e scrisse che la teoria relativistica della termodinamica avrebbe potuto essere ritardata di 50 anni. dati in uno spazio-tempo piatto interpretazioni di T.

Va sottolineato che è proprio in astronomia e cosmologia che si incontrano domande in cui si incontrano questioni geometriche avvicinati a yavl. preferito. Un esempio è il cosmologico la teoria di un universo spazialmente chiuso, così come la teoria. Pertanto, la teoria di Einstein, basata sul geometrico concetto conserva il suo pieno significato.

Nel geometrico interpretazione del moto di un punto materiale in gravità. il campo è un movimento lungo una traiettoria quadridimensionale - geodetica. linee di spazio-tempo. In un mondo con curvatura, la geodetica. linea generalizza il concetto di retta nella geometria euclidea. Le ur-zioni del moto della materia contenute nelle ur-nie di Einstein si riducono alle ur-zioni della geodetica. linee per corpi puntiformi. I corpi (particelle), che non possono essere considerati puntiformi, deviano nel loro movimento dalla geodetica. linee e sperimentare l'azione delle forze di marea.

7. Campi gravitazionali deboli ed effetti osservati

Campo T. Il più astronomico. oggetti yavl. debole. Un esempio è la gravità. campo della terra. Affinché il corpo lasci per sempre la Terra, deve ricevere una velocità di 11,2 km / s vicino alla superficie terrestre, ad es. la velocità è piccola rispetto alla velocità della luce. In altre parole, gravitazionale il potenziale della Terra è piccolo rispetto al quadrato della velocità della luce, che è yavl. criterio per la debolezza di gravità. campi.

Nell'approssimazione di campo debole, le leggi della teoria della gravitazione e della meccanica newtoniana seguono dalle equazioni della relatività generale. Gli effetti della relatività generale in tali condizioni rappresentano solo piccole correzioni.

L'effetto più semplice, anche se difficile da osservare, yavl. rallentando lo scorrere del tempo per gravità. campo o, in una formulazione più comune, l'effetto dello spostamento della frequenza della luce. Se un segnale luminoso con una frequenza viene emesso in un punto con un valore gravitazionale potenziale ed è accettato con una frequenza in un punto con un valore potenziale (dove c'è esattamente lo stesso trasduttore per il confronto di frequenza), quindi l'uguaglianza deve valere. Effetto gravità. lo spostamento di frequenza della luce è stato previsto da Einstein nel 1911 sulla base della legge di conservazione dell'energia dei fotoni nella gravità. campo. È stabilito in modo affidabile negli spettri delle stelle, misurato con una precisione fino all'1% in laboratorio e con una precisione fino all'1% in condizioni spaziali. volo. Nell'esperimento più accurato è stato utilizzato uno standard di frequenza del maser dell'idrogeno; un razzo che è salito a un'altezza di 10 mila km. Un altro standard simile è stato fissato sulla Terra. Le loro frequenze sono state confrontate a diverse altezze. I risultati hanno confermato la variazione di frequenza prevista.

Quando passa vicino a un corpo gravitante, un el.-mag. il segnale subisce un ritardo relativistico nel tempo di propagazione. Secondo il suo fisico natura, questo effetto è simile al precedente. Secondo le osservazioni radio dei pianeti e in particolare dello spazio interplanetario. navi, l'effetto ritardo coincide con il valore calcolato entro lo 0,1% (vedi).

Il più importante dal punto di vista della verifica della relatività generale yavl. rotazione dell'orbita di un corpo che ruota attorno a un centro gravitante (è anche chiamato effetto di spostamento del perielio). Questo effetto permette di rivelare la natura non lineare della gravità relativistica. campi. Secondo la meccanica celeste newtoniana, il moto dei pianeti attorno al Sole è descritto dall'equazione dell'ellisse: , dove p=a(1-e 2) - parametro orbita, un- semiasse grande, e- eccentricità (vedi). Tenendo conto delle correzioni relativistiche, la traiettoria ha la forma:
.
Per ogni rivoluzione del pianeta attorno al Sole, il suo asse maggiore è ellittico. l'orbita è ruotata di un angolo nella direzione del moto. Per Mercurio, l'angolo di rotazione relativistico è di un secolo. Il fatto che l'angolo di rotazione si accumuli nel tempo rende più facile osservare questo effetto. Durante un giro, l'angolo di rotazione dell'asse maggiore dell'orbita è così insignificante ~ 0,1" che il suo rilevamento è notevolmente complicato dalla curvatura dei raggi luminosi all'interno sistema solare. Tuttavia, moderno i dati radar confermano l'effetto relativistico dello spostamento del perielio di Mercurio con una precisione dell'1%.

Gli effetti elencati sono classico. È anche possibile verificare altre previsioni della relatività generale (ad esempio la precessione dell'asse del giroscopio) in condizioni di debole gravitazione. campo del sistema solare. Gli effetti relativistici vengono utilizzati non solo per testare la teoria, ma anche per perfezionare i parametri astrofisici, ad esempio per determinare la massa dei componenti delle stelle binarie. Pertanto, in un sistema binario, inclusa la pulsar PSR 1913+16, si osserva l'effetto di spostamento del perielio, che ha permesso di determinare la massa totale dei componenti del sistema con una precisione dell'1%.

8. Gravità e fisica quantistica

Le equazioni di Einstein includono la gravità classica. campo caratterizzato dalle componenti della metrica. tensor , e la materia energia-momentum enzor . Per descrivere il movimento dei corpi gravitanti, la natura quantistica della materia, di regola, non è importante. Questo perché di solito hanno a che fare con la gravità. interazione macroscopica. corpi, costituiti da un numero enorme di atomi e molecole. La descrizione quantomeccanica del moto di tali corpi è praticamente indistinguibile da quella classica. La scienza non ha ancora dati sperimentali sulla gravità. interazione in condizioni in cui le proprietà quantistiche delle particelle che interagiscono con la gravità diventano essenziali. campo e proprietà quantistiche della gravità stessa. campi.

Processi quantistici che coinvolgono la gravità. I campi sono certamente importanti nello spazio (vedi , ) e, eventualmente, diventeranno disponibili per lo studio anche in condizioni di laboratorio. L'unificazione della teoria della termodinamica con la teoria dei quanti è uno dei problemi più importanti della fisica e la sua soluzione è già iniziata.

In condizioni normali, l'influenza della gravità. campo sui sistemi quantistici è estremamente piccolo. Per eccitare l'atomo est. gravitazionale campo, accelerazione relativa, creato dalla gravità. campo ad una distanza di "raggio dell'atomo di idrogeno" cm e pari a , dovrebbe essere comparabile con l'accelerazione con cui l'elettrone si muove nell'atomo, . (Qui - il raggio di curvatura del campo gravitazionale della Terra, pari a: vedi) In gravitazionale campo della Terra con un margine di 10 19 questo rapporto non è soddisfatto, quindi gli atomi in condizioni terrestri sotto l'influenza della gravità non sono eccitati e non subiscono spostamenti di energia. livelli.

Tuttavia, in determinate condizioni, la probabilità di transizioni in un sistema quantistico sotto l'azione delle forze gravitazionali. i margini possono essere evidenti. È su questo principio che alcuni moderni ipotesi sulla rivelazione della gravità. onde.

In sistemi quantistici (macroscopici) appositamente creati, la transizione tra livelli quantistici vicini può avvenire anche sotto l'influenza di un campo gravitazionale alternato molto debole. onde. Un esempio di un tale sistema è un magnete elettrico. campo in una cavità con pareti altamente riflettenti. Se inizialmente il sistema aveva n quanti di campo (fotoni) (), quindi sotto l'influenza della gravità. onde, il loro numero può cambiare con una probabilità notevole e diventare uguale a n+2 o n-2. In altre parole, sono possibili transizioni con l'energia. livello e sono, in linea di principio, rilevabili.

Il ruolo delle gravitazioni intense è particolarmente importante. campi. Tali campi esistevano probabilmente all'inizio dell'espansione dell'Universo, vicino al cosmologico singolarità e possono verificarsi negli ultimi stadi di gravità. crollo. L'elevata intensità di questi campi si manifesta nel fatto che sono in grado di portare ad effetti osservabili (la produzione di coppie di particelle) anche in assenza di atomi, particelle reali o fotoni. Questi campi hanno un impatto efficace sul fisico. vuoto - fisico. campi nello stato energetico più basso. Nel vuoto, a causa delle fluttuazioni dei campi quantizzati, i cosiddetti. particelle virtuali, in realtà non osservabili. Se l'intensità dell'esterno gravitazionale il campo è così grande che a distanze caratteristiche dei campi e delle particelle quantistici, è in grado di produrre un lavoro che supera l'energia di una coppia di particelle, quindi, di conseguenza, può nascere una coppia di particelle - la loro trasformazione da una coppia virtuale in sono soli. Condizione necessaria questo processo dovrebbe essere la comparabilità del raggio di curvatura caratteristico che descrive l'intensità della gravità. campo, con lunghezza d'onda Compton, associato a particelle con massa a riposo m. Una condizione simile deve essere soddisfatta per particelle prive di massa in modo che sia possibile il processo di produzione di una coppia di quanti con energia. Nell'esempio sopra di una cavità contenente un el.-mag. campo, questo processo è simile a una transizione con una probabilità paragonabile all'unità da uno stato di vuoto n=0 a uno stato che descrive due quanti, N=2. Nella gravità ordinaria campi, la probabilità di tali processi è trascurabile. Tuttavia, nello spazio, potrebbero portare alla nascita di particelle nell'Universo primordiale, così come al cosiddetto. "evaporazione" quantistica di buchi neri di piccola massa (secondo) opere dell'inglese. scienziato S. Hawking).

Gravitazionale intenso campi che possono influenzare in modo significativo le fluttuazioni zero di altri fisici. i campi dovrebbero ugualmente influenzare efficacemente le proprie fluttuazioni zero. Se il processo di nascita della fisica quantistica. campi, allora con la stessa probabilità (e in alcuni casi con probabilità anche maggiore) dovrebbe essere possibile il processo di nascita dei quanti gravitazionali stessi. campi - gravioni. Una considerazione rigorosa ed esaustiva di tali processi è possibile solo sulla base di teoria dei quanti T. Una tale teoria non è stata ancora creata. Applicazione alla gravità. campo delle stesse idee e metodi, che hanno portato alla riuscita costruzione dell'elettrodinamica quantistica, incontra serie difficoltà. Non è ancora chiaro quali percorsi prenderà lo sviluppo della teoria quantistica di T. Una cosa è certa: il modo più importante per testare tali teorie sarà la ricerca nello spazio dei fenomeni previsti dalla teoria.

Perché una pietra liberata dalle mani cade a terra? Perché è attratto dalla Terra, dirà ognuno di voi. Infatti, il sasso cade sulla Terra con un'accelerazione di caduta libera. Di conseguenza, una forza diretta verso la Terra agisce sulla pietra dal lato della Terra.

Secondo la terza legge di Newton, la pietra agisce anche sulla Terra con lo stesso modulo di forza diretto verso la pietra. In altre parole, tra la Terra e la pietra agiscono forze di mutua attrazione.

L'ipotesi di Newton

Newton è stato il primo a indovinare, e poi a dimostrare rigorosamente, che la ragione che ha causato la caduta di una pietra sulla Terra, il movimento della Luna attorno alla Terra e dei pianeti attorno al Sole, è la stessa. Questa è la forza gravitazionale che agisce tra qualsiasi corpo dell'Universo. Ecco il corso del suo ragionamento dato nell'opera principale di Newton "Principi matematici della filosofia naturale": Se lo lanci con maggiore velocità, cadrà ulteriormente” (Fig. 3.2). Continuando questi ragionamenti, Newton giunge alla conclusione che se non fosse per la resistenza dell'aria, allora la traiettoria di un sasso lanciato da un'alta montagna ad una certa velocità potrebbe diventare tale da non raggiungere mai la superficie terrestre, ma si muoverebbe attorno ad esso “come i pianeti descrivono le loro orbite nello spazio celeste.

Riso. 3.2

Ora ci siamo così abituati al movimento dei satelliti intorno alla Terra che non c'è bisogno di spiegare il pensiero di Newton in modo più dettagliato.

Quindi, secondo Newton, anche il movimento della Luna attorno alla Terra o dei pianeti attorno al Sole è una caduta libera, ma solo una caduta che dura senza fermarsi per miliardi di anni. Il motivo di una tale "caduta" (sia che si tratti davvero della caduta di una normale pietra sulla Terra o del movimento dei pianeti nelle loro orbite) è la forza di gravitazione universale. Da cosa dipende questa forza?

La dipendenza della forza di gravità dalla massa dei corpi

Nel § 1.23 abbiamo parlato della caduta libera dei corpi. Sono stati citati gli esperimenti di Galileo, che hanno dimostrato che la Terra comunica la stessa accelerazione a tutti i corpi in un dato luogo, indipendentemente dalla loro massa. Ciò è possibile solo se la forza di attrazione verso la Terra è direttamente proporzionale alla massa del corpo. È in questo caso che l'accelerazione di caduta libera, pari al rapporto tra la forza di gravità e la massa del corpo, è un valore costante.

Infatti, in questo caso, un aumento della massa m, per esempio, di un fattore due comporterà un aumento del modulo di forza anche di un fattore due, e l'accelerazione, che è uguale al rapporto, sarà rimane invariato.

Generalizzando questa conclusione per le forze di gravità tra qualsiasi corpo, concludiamo che la forza di gravitazione universale è direttamente proporzionale alla massa del corpo su cui questa forza agisce. Ma almeno due corpi partecipano all'attrazione reciproca. Ciascuno di essi, secondo la terza legge di Newton, è soggetto allo stesso modulo di forze gravitazionali. Pertanto, ciascuna di queste forze deve essere proporzionale sia alla massa di un corpo che alla massa dell'altro corpo.

Così La forza gravitazionale tra due corpi è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse.:

Cos'altro determina la forza gravitazionale che agisce su un dato corpo da un altro corpo?

La dipendenza della forza di gravità dalla distanza tra i corpi

Si può presumere che la forza di gravità dovrebbe dipendere dalla distanza tra i corpi. Per verificare la correttezza di questa ipotesi e per trovare la dipendenza della forza di gravità dalla distanza tra i corpi, Newton si rivolse al moto del satellite terrestre: la Luna. Il suo moto era studiato a quei tempi molto più accuratamente del moto dei pianeti.

La rivoluzione della Luna intorno alla Terra avviene sotto l'influenza della forza gravitazionale tra di loro. Approssimativamente, l'orbita della Luna può essere considerata un cerchio. Pertanto, la Terra impartisce accelerazione centripeta alla Luna. Si calcola con la formula

dove R è il raggio dell'orbita lunare, pari a circa 60 raggi della Terra, T \u003d 27 giorni 7 h 43 min \u003d 2,4 10 6 s è il periodo della rivoluzione della Luna attorno alla Terra. Dato che il raggio della Terra R 3 = 6,4 10 6 m, otteniamo che l'accelerazione centripeta della Luna è uguale a:

Il valore trovato di accelerazione è inferiore all'accelerazione di caduta libera di corpi vicino alla superficie terrestre (9,8 m/s 2) di circa 3600 = 60 2 volte.

Pertanto, un aumento della distanza tra il corpo e la Terra di 60 volte ha portato a una diminuzione dell'accelerazione impartita dalla gravità terrestre e, di conseguenza, della forza di attrazione stessa di 60 2 volte (1).

Quindi segue conclusione importante: l'accelerazione impartita ai corpi dalla forza di gravità verso la terra diminuisce in proporzione inversa al quadrato della distanza dal centro della terra:

dove C 1 - fattore costante, lo stesso per tutti i corpi.

Le leggi di Keplero

Lo studio del moto dei pianeti ha mostrato che questo moto è causato dalla forza di gravità verso il Sole. Utilizzando attente osservazioni a lungo termine dell'astronomo danese Tycho Brahe, lo scienziato tedesco Johannes Kepler in inizio XVII v. stabilirono le leggi cinematiche del moto planetario - le cosiddette leggi di Keplero.

La prima legge di Keplero

Tutti i pianeti si muovono in ellissi con il Sole in uno dei fuochi.

Un'ellisse (Fig. 3.3) è una curva piatta chiusa, la somma delle distanze da qualsiasi punto di cui a due punti fissi, detti fuochi, è costante. Questa somma di distanze è uguale alla lunghezza dell'asse maggiore AB dell'ellisse, cioè

dove F 1 e F 2 sono i fuochi dell'ellisse e b = è il suo asse maggiore; O è il centro dell'ellisse. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è chiamato perielio e il punto più lontano da esso è chiamato afelio. Se il Sole è a fuoco F 1 (vedi Fig. 3.3), allora il punto A è il perielio e il punto B è l'afelio.

Riso. 3.3

Seconda legge di Keplero

Il raggio vettore del pianeta per gli stessi intervalli di tempo descrive aree uguali. Quindi, se i settori in ombra (Fig. 3.4) hanno la stessa area, allora i percorsi s 1, s 2, s 3 saranno percorsi dal pianeta in intervalli di tempo uguali. Si può vedere dalla figura che s 1 > s 2 . Di conseguenza, la velocità lineare del pianeta in diversi punti della sua orbita non è la stessa. Al perielio, la velocità del pianeta è massima, all'afelio - la più piccola.

Riso. 3.4

La terza legge di Keplero

I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti attorno al Sole sono correlati come i cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite. Indicando il semiasse maggiore dell'orbita e il periodo di rivoluzione di uno dei pianeti attraverso b 1 e T 1 e l'altro - attraverso b 2 e T 2, la terza legge di Keplero può essere scritta come segue:

Sulla base delle leggi di Keplero, si possono trarre alcune conclusioni sulle accelerazioni impartite ai pianeti dal Sole. Per semplicità, assumiamo che le orbite non siano ellittiche, ma circolari. Per i pianeti del sistema solare, questa sostituzione non è un'approssimazione molto approssimativa.

Quindi la forza di attrazione dal lato del Sole in questa approssimazione dovrebbe essere diretta per tutti i pianeti al centro del Sole.

Se con T indichiamo i periodi di rivoluzione dei pianeti, e con R i raggi delle loro orbite, allora, secondo la terza legge di Keplero, per due pianeti possiamo scrivere

Accelerazione normale quando ci si sposta in un cerchio a \u003d ω 2 R. Pertanto, il rapporto tra le accelerazioni dei pianeti

Usando l'equazione (3.2.4), otteniamo

Poiché la terza legge di Keplero è valida per tutti i pianeti, l'accelerazione di ciascun pianeta è inversamente proporzionale al quadrato della sua distanza dal Sole:

La costante C 2 è la stessa per tutti i pianeti, ma non coincide con la costante C 1 nella formula dell'accelerazione impartita ai corpi dal globo.

Le espressioni (3.2.2) e (3.2.6) mostrano che la forza gravitazionale in entrambi i casi (attrazione per la Terra e attrazione per il Sole) dà a tutti i corpi un'accelerazione che non dipende dalla loro massa e decresce inversamente al quadrato di la distanza tra loro:

Legge di gravità

L'esistenza delle dipendenze (3.2.1) e (3.2.7) significa che la forza di gravitazione universale

Nel 1667 Newton formulò finalmente la legge di gravitazione universale:

La forza di mutua attrazione di due corpi è direttamente proporzionale al prodotto delle masse di questi corpi ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra loro. Il coefficiente di proporzionalità G è chiamato costante gravitazionale(2).

Interazione di punti e corpi estesi

La legge di gravitazione universale (3.2.8) vale solo per tali corpi, le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza tra loro. In altre parole, è valido solo per i punti materiali. In questo caso, le forze di interazione gravitazionale sono dirette lungo la linea che collega questi punti (Fig. 3.5). Tali forze sono dette centrali.

Riso. 3.5

Per trovare la forza gravitazionale che agisce su un dato corpo da un altro, nel caso in cui non si possa trascurare la dimensione dei corpi, procedere come segue. Entrambi i corpi sono mentalmente divisi in elementi così piccoli che ognuno di essi può essere considerato un punto. Sommando le forze gravitazionali agenti su ciascun elemento di un dato corpo da tutti gli elementi di un altro corpo, otteniamo la forza agente su questo elemento (Fig. 3.6). Dopo aver eseguito tale operazione per ogni elemento di un dato corpo e sommando le forze risultanti, trovano la forza gravitazionale totale che agisce su questo corpo. Questo compito è difficile.

Riso. 3.6

C'è, tuttavia, un caso praticamente importante in cui la formula (3.2.8) è applicabile a corpi estesi. Si può dimostrare che i corpi sferici, la cui densità dipende solo dalle distanze dei loro centri, a distanze tra loro maggiori della somma dei loro raggi, si attraggono con forze i cui moduli sono determinati dalla formula (3.2.8). In questo caso, R è la distanza tra i centri delle palline.

E infine, poiché le dimensioni dei corpi che cadono sulla Terra sono molto più piccole delle dimensioni della Terra, questi corpi possono essere considerati puntiformi. Quindi sotto R nella formula (3.2.8) si dovrebbe capire la distanza dal corpo dato al centro della Terra.

Domande per l'autoesame

1. La distanza tra Marte e il Sole è del 52% maggiore della distanza tra la Terra e il Sole. Qual è la durata di un anno su Marte?
2. Come cambierà la forza di attrazione tra le sfere se le sfere di alluminio (Fig. 3.7) vengono sostituite da sfere di acciaio della stessa massa? lo stesso volume?

Riso. 3.7

(1) È interessante notare che, da studente, Newton si rese conto che la Luna si muove sotto l'influenza della gravità verso la Terra. Ma a quel tempo il raggio della Terra non era noto esattamente e i calcoli non portavano al risultato corretto. Solo 16 anni dopo apparvero nuovi dati corretti e fu pubblicata la legge di gravitazione universale.

(2) Dal vocabolo latino gravitas - pesantezza.