Hur man beräknar volymen av en sfär. Hur man hittar volymen på en boll: grundläggande formler och ett exempel på deras användning

Definition av en boll

Bollär en kropp vars alla punkter är belägna från en given punkt på ett avstånd som inte överstiger R.

Kalkylator online

Den givna punkten som avses i definitionen av en boll kallas Centrum denna boll. Och det nämnda avståndet är radie av denna boll.

En boll, i analogi med en cirkel, har också en diameter D D D, vilket är två gånger radien i längd:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

Formel för volymen av en boll i termer av dess radie

Bollens volym beräknas med följande formel:

Formel för volymen av en boll i termer av radie

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3

R R R- radien för denna boll.

Låt oss titta på några exempel.

Problem 1

En boll är inskriven i en kub, diagonal d d d som är lika med 500 cm \sqrt(500)\text( cm.)5 0 0 ​ centimeter . Hitta bollens volym.

Lösning

D = 500 d=\sqrt(500) d =5 0 0 ​

Först måste du bestämma längden på sidan av kuben. Vi kommer att anta att det är lika a a a. Därför är kubens diagonal lika (baserat på Pythagoras sats):

D = a 2 + a 2 + a 2 d=\sqrt(a^2+a^2+a^2)d =a 2 + a 2 + a 2 ​

D = 3 ⋅ a 2 d=\sqrt(3\cdot a^2)d =3 ⋅ a 2 ​

D = 3 ⋅ a d=\sqrt(3)\cdot ad =3 ​ ⋅ a

500 = 3 ⋅ a \sqrt(500)=\sqrt(3)\cdot a5 0 0 ​ = 3 ​ ⋅ a

A = 500 3 a=\sqrt(\frac(500)(3))a =3 5 0 0 ​ ​

A ≈ 12,9 a\ca12,9 a ≈1 2 . 9

Om en boll är inskriven i en kub är dess radie lika med halva längden på sidan av denna kub. Som ett resultat har vi:

R = 1 2 ⋅ a R=\frac(1)(2)\cdot aR=2 1 ​ ⋅ a

R = 1 2 ⋅ 12.9 ≈ 6.4 R=\frac(1)(2)\cdot 12.9\approx6.4R=2 1 ​ ⋅ 1 2 . 9 ≈ 6 . 4

Det sista steget är att hitta bollens volym med hjälp av formeln:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 4 3 ⋅ π ⋅ (6.4) 3 ≈ 1097, 5 cm 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3\approx\frac(4) )(3)\cdot\pi\cdot (6.4)^3\approx1097.5\text( cm)^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 ≈ 3 4 ​ ⋅ π ⋅ (6 . 4 ) 3 ≈ 1 0 9 7 , 5 centimeter3

Svar

1097,5 cm3. 1097,5\text( cm)^3.1 0 9 7 , 5 centimeter3 .

Formel för volymen av en boll i form av dess diameter

Volymen av en boll kan också hittas genom dess diameter. För att göra detta använder vi förhållandet mellan bollens radie och diameter:

D = 2 ⋅ R D=2\cdot R D=2 ⋅ R

R = D 2 R=\frac(D)(2) R=2 D​

Låt oss ersätta detta uttryck i formeln för bollens volym:

V = 4 3 ⋅ π ⋅ R 3 = 4 3 ⋅ π ⋅ (D 2) 3 = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(4)(3)\cdot\pi\cdot R^3=\frac(4) )(3)\cdot\pi\cdot\Big(\frac(D)(2)\Big)^3=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V=3 4 ​ ⋅ π ⋅ R 3 = 3 4 ​ ⋅ π ⋅ ( 2 D​ ) 3 = 6 π ​ ⋅ D 3

Volym av en boll genom diameter

V = π 6 ⋅ D 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3V=6 π ​ ⋅ D 3

D D D- diametern på denna boll.

Problem 2

Kulans diameter är 15 cm 15\text( cm.) 1 5 centimeter . Hitta dess volym.

Lösning

D=15 D=15 D=1 5

Ersätt omedelbart diametervärdet i formeln:

V = π 6 ⋅ D 3 = π 6 ⋅ 1 5 3 ≈ 1766,25 cm 3 V=\frac(\pi)(6)\cdot D^3=\frac(\pi)(6)\cdot 15^3\ cirka 1766.25\text( cm)^3V=6 π ​ ⋅ D 3 = 6 π ​ ⋅ 1 5 3 ≈ 1 7 6 6 . 2 5 centimeter3

Svar

$1766.25\text{centimeter3 .}$

Innan du börjar studera begreppet en boll, vad volymen av en boll är, och överväga formlerna för att beräkna dess parametrar, måste du komma ihåg begreppet en cirkel, som studerades tidigare i geometrikursen. De flesta handlingar i det tredimensionella rummet liknar eller följer av tvådimensionell geometri, justerat för utseendet på den tredje koordinaten och tredje graden.

Vad är en cirkel?

En cirkel är en figur på ett kartesiskt plan (visat i figur 1); oftast låter definitionen som "den geometriska platsen för alla punkter på planet, avståndet från vilket till given poäng(mitten) inte överstiger ett visst icke-negativt tal som kallas radien."

Som vi kan se från figuren är punkt O figurens mittpunkt, och mängden av absolut alla punkter som fyller cirkeln, till exempel A, B, C, K, E, är inte belägna längre än en given radie (gå inte längre än cirkeln som visas i Fig. .2).

Om radien är noll, förvandlas cirkeln till en punkt.

Problem med att förstå

Elever blandar ofta ihop dessa begrepp. Det är lätt att komma ihåg med en analogi. Bågen som barn snurrar i klassen fysisk kultur, - cirkel. Genom att förstå detta eller komma ihåg att de första bokstäverna i båda orden är "O", kommer barn att förstå skillnaden.

Introduktion av begreppet "boll"

En boll är en kropp (fig. 3) som begränsas av en viss sfärisk yta. Vilken typ av "sfärisk yta" det är kommer att framgå av dess definition: detta är det geometriska stället för alla punkter på ytan, avståndet från vilket till en given punkt (centrum) inte överstiger ett visst icke-negativt tal som kallas radie. Som vi ser är begreppen cirkel och sfärisk yta De är lika, bara utrymmena där de finns skiljer sig åt. Om vi ​​avbildar en boll i tvådimensionellt utrymme får vi en cirkel vars gräns är en cirkel (gränsen för en boll är en sfärisk yta). I figuren ser vi en sfärisk yta med radier OA = OB.

Bollen stängd och öppen

I vektor och metriska utrymmen två begrepp associerade med en sfärisk yta diskuteras också. Om bollen inkluderar denna sfär, kallas den stängd, men om inte, är bollen öppen. Dessa är mer "avancerade" begrepp de studeras på institut som en del av deras introduktion till analys. För enkel, jämn vardaglig användning räcker formlerna som studeras i stereometrikursen för årskurs 10-11. Det är dessa begrepp som är tillgängliga för nästan varje genomsnittlig utbildad person som kommer att diskuteras vidare.

Begrepp du behöver känna till för följande beräkningar

Radie och diameter.

En bolls radie och dess diameter bestäms på samma sätt som för en cirkel.

Radie är ett segment som förbinder valfri punkt på bollens gräns och punkten som är mitten av bollen.

Diameter är ett segment som förbinder två punkter på en bolls gräns och passerar genom dess centrum. Figur 5a visar tydligt vilka segment som är kulans radier, och figur 5b visar sfärens diametrar (segment som passerar genom punkt O).

Sektioner i en sfär (boll)

Varje sektion av en sfär är en cirkel. Om den passerar genom kulans mitt kallas den en stor cirkel (cirkel med diameter AB), de återstående sektionerna kallas små cirklar (cirkel med diameter DC).

Arean av dessa cirklar beräknas med hjälp av följande formler:

Här är S beteckningen för area, R för radie, D för diameter. Det finns också en konstant lika med 3,14. Men bli inte förvirrad att för att beräkna arean av en stor cirkel, används radien eller diametern på själva bollen (sfären), och för att bestämma området krävs dimensionerna för den lilla cirkelns radie.

Ett oändligt antal sådana sektioner som passerar genom två punkter med samma diameter som ligger på bollens gräns kan ritas. Som ett exempel, vår planet: två punkter på nord- och sydpolen, som är ändarna på jordens axel, och i geometrisk känsla- ändarna på diametern och meridianerna som passerar genom dessa två punkter (Figur 7). Det vill säga att antalet stora cirklar på en sfär tenderar till oändlighet.

Kuldelar

Om du skär av en "bit" från sfären med hjälp av ett visst plan (Figur 8), kommer det att kallas ett sfäriskt eller sfäriskt segment. Den kommer att ha en höjd - en vinkelrät från mitten av skärplanet till den sfäriska ytan O 1 K. Punkt K på den sfäriska ytan där höjden kommer kallas det sfäriska segmentets vertex. Och en liten cirkel med en radie på O 1 T (i det här fallet, enligt figuren, passerade planet inte genom sfärens centrum, men om sektionen passerar genom mitten, kommer tvärsnittscirkeln att vara stor), bildad genom att skära av det sfäriska segmentet, kommer att kallas basen av vår styckekula - sfäriska segment.

Om vi ​​kopplar varje baspunkt i ett sfäriskt segment till mitten av sfären får vi en figur som kallas en "sfärisk sektor".

Om två plan passerar genom en sfär och är parallella med varandra, kallas den del av sfären som är innesluten mellan dem ett sfäriskt lager (Figur 9, som visar en sfär med två plan och ett separat sfäriskt lager).

Ytan (markerad del i figur 9 till höger) av denna del av sfären kallas ett bälte (igen, för en bättre förståelse, kan en analogi dras med Globen, nämligen med sina klimatzoner - arktiska, tropiska, tempererade, etc.), och tvärsnittscirklarna kommer att vara baserna för det sfäriska lagret. Höjden på skiktet är en del av diametern ritad vinkelrätt mot skärplanen från mitten av baserna. Det finns också begreppet en sfärisk sfär. Det bildas när plan som är parallella med varandra inte skär sfären, utan berör den vid en punkt vardera.

Formler för att beräkna volymen av en boll och dess yta

Bollen bildas genom att rotera runt den fasta diametern på en halvcirkel eller cirkel. För att beräkna olika parametrar för ett givet objekt behövs inte mycket data.

Volymen av en sfär, formeln för beräkning som ges ovan, härleds genom integration. Låt oss ta reda på det punkt för punkt.

Vi betraktar en cirkel i ett tvådimensionellt plan, eftersom det, som nämnts ovan, är cirkeln som ligger till grund för konstruktionen av bollen. Vi använder bara dess fjärde del (Figur 10).

Vi tar en cirkel med enhetsradie och centrum vid origo. Ekvationen för en sådan cirkel är följande: X 2 + Y 2 = R 2. Vi uttrycker Y härifrån: Y 2 = R 2 - X 2.

Var noga med att notera att den resulterande funktionen är icke-negativ, kontinuerlig och avtagande på segmentet X (0; R), eftersom värdet på X i fallet när vi betraktar en fjärdedel av en cirkel ligger från noll till värdet på radie, det vill säga till enhet.

Nästa sak vi gör är att rotera vår kvartscirkel runt x-axeln. Som ett resultat får vi en halvklot. För att bestämma dess volym kommer vi att tillgripa integrationsmetoder.

Eftersom detta är volymen av endast en halvklot, fördubblar vi resultatet, från vilket vi finner att bollens volym är lika med:

Små nyanser

Om du behöver beräkna volymen av en boll genom dess diameter, kom ihåg att radien är halva diametern, och ersätt detta värde med formeln ovan.

Du kan också nå formeln för volymen av en boll genom området för dess gränsyta - sfären. Låt oss komma ihåg att arean av en sfär beräknas med formeln S = 4πr 2, vilket vi också kommer fram till ovanstående formel för volymen av en sfär. Från samma formler kan du uttrycka radien om problemsatsen innehåller ett volymvärde.

WikiHow övervakar noggrant sina redaktörers arbete för att säkerställa att varje artikel uppfyller våra standarder. hög standard kvalitet.

En bolls radie (betecknad som r eller R) är det segment som förbinder bollens centrum med någon punkt på dess yta. Precis som med en cirkel är en bolls radie en viktig kvantitet som behövs för att hitta bollens diameter, omkrets, yta och/eller volym. Men kulans radie kan också hittas från ett givet värde på diameter, omkrets och annan kvantitet. Använd en formel där du kan ersätta dessa värden.

Steg

Formler för beräkning av radie

Beräkna radien från diametern. Radien är lika med halva diametern, så använd formeln g = D/2. Detta är samma formel som används för att beräkna radien och diametern för en cirkel.

• Till exempel, givet en boll med en diameter på 16 cm. Radien för denna boll: r = 16/2 = 8 cm. Om diametern är 42 cm är radien det 21 cm (42/2=21).

1. Beräkna radien från omkretsen. Använd formeln: r = C/2π. Eftersom omkretsen av en cirkel är C = πD = 2πr, dividera sedan formeln för att beräkna omkretsen med 2π och få formeln för att hitta radien.

   • Till exempel, givet en boll med en omkrets på 20 cm. Radien för denna boll är: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • Samma formel används för att beräkna radien och omkretsen av en cirkel.

2. Beräkna radien från sfärens volym. Använd formeln: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Bollens volym beräknas med formeln V = (4/3)πr 3. Om du isolerar r på ena sidan av ekvationen får du formeln ((V/π)(3/4)) 3 = r, det vill säga för att beräkna radien, dividera bollens volym med π, multiplicera resultatet med 3/4, och höj det resulterande resultatet till en potens 1/3 (eller ta kubroten).

   • Till exempel, givet en boll med en volym på 100 cm 3 . Radien för denna boll beräknas enligt följande:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 cm= r

3. Beräkna radien från ytan. Använd formeln: g = √(A/(4 π)). Bollens yta beräknas med formeln A = 4πr 2. Om du isolerar r på ena sidan av ekvationen får du formeln √(A/(4π)) = r, det vill säga för att beräkna radien måste du extrahera Roten ur från ytan dividerat med 4π. Istället för att ta roten kan uttrycket (A/(4π)) höjas till styrkan 1/2.

   • Till exempel, givet en sfär med en yta på 1200 cm 3 . Radien för denna boll beräknas enligt följande:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 cm= r

   Bestämning av baskvantiteter

   1. Kom ihåg de grundläggande kvantiteterna som är relevanta för att beräkna radien för en boll. En bolls radie är det segment som förbinder bollens centrum med vilken punkt som helst på dess yta. En bolls radie kan beräknas från givna värden på diameter, omkrets, volym eller ytarea.

      Använd värdena för dessa kvantiteter för att hitta radien. Radie kan beräknas från givna värden för diameter, omkrets, volym och ytarea. Dessutom kan de angivna värdena hittas från ett givet radievärde. För att beräkna radien, konvertera helt enkelt formlerna för att hitta värdena som visas. Nedan finns formler (där radien ingår) för beräkning av diameter, omkrets, volym och ytarea.

   Hitta radien från avståndet mellan två punkter

   1. Hitta koordinaterna (x, y, z) för kulans mitt. En bolls radie är lika med avståndet mellan dess centrum och någon punkt som ligger på bollens yta. Om koordinaterna för bollens centrum och någon punkt som ligger på dess yta är kända, kan du hitta bollens radie med hjälp av en speciell formel genom att beräkna avståndet mellan två punkter. Hitta först koordinaterna för bollens mittpunkt. Tänk på att eftersom en boll är en tredimensionell figur kommer punkten att ha tre koordinater (x, y, z), snarare än två (x, y).

      • Låt oss titta på ett exempel. Givet en boll med mittkoordinater (4,-1,12) . Använd dessa koordinater för att hitta bollens radie.

   2. Hitta koordinaterna för en punkt som ligger på bollens yta. Nu måste vi hitta koordinaterna (x,y,z) några punkt som ligger på bollens yta. Eftersom alla punkter som ligger på bollens yta är belägna på samma avstånd från bollens mitt, kan du välja vilken punkt som helst för att beräkna bollens radie.

      • I vårt exempel, låt oss anta att någon punkt som ligger på bollens yta har koordinater (3,3,0) . Genom att beräkna avståndet mellan denna punkt och kulans mitt, hittar du radien.

   3. Beräkna radien med formeln d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Efter att ha tagit reda på koordinaterna för bollens centrum och en punkt som ligger på dess yta, kan du hitta avståndet mellan dem, vilket är lika med bollens radie. Avståndet mellan två punkter beräknas med formeln d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), där d är avståndet mellan punkterna , (x 1, y 1 ,z 1) – koordinater för bollens mittpunkt, (x 2 , y 2 , z 2) – koordinater för en punkt som ligger på bollens yta.

      • I exemplet under övervägande, istället för (x 1 ,y 1 ,z 1) ersätt (4,-1,12) och istället för (x 2 ,y 2 ,z 2) ersätt (3,3,0):
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12,69. Detta är den önskade radien för bollen.

   4. Tänk på att i allmänna fall r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Alla punkter som ligger på bollens yta är belägna på samma avstånd från bollens mitt. Om i formeln för att hitta avståndet mellan två punkter "d" ersätts med "r", får du en formel för att beräkna bollens radie från de kända koordinaterna (x 1,y 1,z 1) för bollens centrum och koordinaterna (x 2,y 2,z 2 ) vilken punkt som helst som ligger på bollens yta.

      • Kvadrera båda sidor av denna ekvation och du får r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2. Observera att denna ekvation motsvarar ekvationen för en sfär r 2 = x 2 + y 2 + z 2 med dess centrum vid koordinaterna (0,0,0).
   • Glöm inte ordningen för att utföra matematiska operationer. Om du inte kommer ihåg den här ordningen och din miniräknare kan arbeta med parenteser, använd dem.
   • Den här artikeln handlar om att beräkna radien för en boll. Men om du har problem med att lära dig geometri, är det bäst att börja med att beräkna kvantiteterna förknippade med en boll med hjälp av ett känt radievärde.
   • π (Pi) är en bokstav i det grekiska alfabetet som anger en konstant som är lika med förhållandet mellan diametern på en cirkel och längden på dess omkrets. Pi är ett irrationellt tal som inte skrivs som ett förhållande mellan reella tal. Det finns många approximationer, till exempel, förhållandet 333/106 gör att du kan hitta Pi med fyra decimaler. Som regel använder de det ungefärliga värdet på Pi, vilket är 3,14.

En boll är en geometrisk rotationskropp som bildas genom att en cirkel eller halvcirkel roteras runt dess diameter. En boll är också ett utrymme som begränsas av en sfärisk yta. Det finns många riktiga sfäriska objekt och relaterade problem som kräver att man bestämma volymen av en sfär.

Bolla och sfär

Cirkel - den äldsta geometrisk figur, och forntida vetenskapsmän fäste helig mening till det. Cirkeln är en symbol för oändlig tid och rum, en symbol för universum och existens. Enligt Pythagoras är cirkeln den vackraste av figurerna. I det tredimensionella rummet förvandlas en cirkel till en sfär, lika idealisk, kosmisk och vacker som en cirkel.

Sfär betyder "boll" på antik grekiska. En sfär är en yta som bildas av ett oändligt antal punkter på samma avstånd från figurens mitt. Det utrymme som begränsas av en sfär är en boll. En boll är en idealisk geometrisk figur, vars form många verkliga föremål tar. Till exempel i det verkliga livet har kanonkulor, lager eller bollar formen av en boll, i naturen - vattendroppar, trädkronor eller bär, i rymden - stjärnor, meteorer eller planeter.

Kulvolym

Att bestämma volymen av en sfärisk figur är en svår uppgift, eftersom en sådan geometrisk kropp inte kan delas upp i kuber eller triangulära prismor, vars volymformler redan är kända. Modern vetenskap låter dig beräkna volymen av en boll med hjälp av en bestämd integral, men hur härleddes volymformeln i Antikens Grekland när ingen någonsin hört talas om integraler? Arkimedes beräknade volymen av en sfär med hjälp av en kon och en cylinder, eftersom formlerna för volymerna för dessa figurer redan hade bestämts av den antika grekiske filosofen och matematikern Demokritos.

Arkimedes representerade en halv sfär med identiska koner och cylindrar, med radien för varje figur lika med dess höjd R = h. Den antika vetenskapsmannen föreställde sig konen och cylindern uppdelade i ett oändligt antal små cylindrar. Arkimedes insåg att om han subtraherar volymen av konen Vk från volymen av cylindern Vc, får han volymen av en halvklot Vsh:

0,5 Vsh = Vc − Vk

Volymen av en kon beräknas med en enkel formel:

Vk = 1/3 × Så × h,

men att veta att Så i det här fallet är cirkelns area och h = R, då omvandlas formeln till:

Vk = 1/3 × pi × R × R2 = 1/3 pi × R3

Cylinderns volym beräknas med formeln:

Vc = pi × R 2 × h,

men om vi antar att cylinderns höjd är lika med dess radie får vi:

Vc = pi x R3.

Med hjälp av dessa formler fick Arkimedes:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 eller Vsh = 4/3 pi × R 3

Den moderna definitionen av formeln för volymen av en boll härleds från integralen av området på den sfäriska ytan, men resultatet förblir detsamma

Vsh = 4/3 pi × R 3

Att beräkna volymen på en boll kan behövas både i verkligheten och när man löser abstrakta problem. För att beräkna volymen på en sfär med hjälp av en online-kalkylator behöver du bara veta en parameter att välja mellan: sfärens diameter eller radie. Låt oss titta på ett par exempel.

Exempel från livet

Kanonkulor

Låt oss säga att du vill veta hur mycket gjutjärn som behövs för att gjuta en kanonkula med en kaliber på sex fot. Du vet att diametern på en sådan kärna är 9,6 centimeter. Ange detta nummer i cellen "Diameter" på räknaren så får du svaret som

För att smälta en kanonkula av en given kaliber behöver du alltså 463 kubikcentimeter eller 0,463 liter gjutjärn.

Ballonger

Låter dig vara nyfiken på hur mycket luft som behövs för att pumpa luftballong idealisk sfärisk form. Du vet att den valda bollens radie är 10 cm. Ange detta värde i "Radius"-kalkylatorn så får du resultatet

Det betyder att för att blåsa upp en sådan ballong behöver du 4188 kubikcentimeter eller 4,18 liter luft.

Slutsats

Behovet av att bestämma volymen på en boll kan uppstå mest olika situationer: från abstrakta skolproblem till vetenskapliga forsknings- och produktionsfrågor. För att lösa frågor av vilken komplexitet som helst, använd vår online-kalkylator, som omedelbart kommer att ge dig det exakta resultatet och de nödvändiga matematiska beräkningarna.