Hitta grunden för systemet av vektorer och vektorer som inte ingår i basen, expandera dem enligt basen:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Lösning. Betrakta ett homogent system av linjära ekvationer

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

eller i utökad form.

Vi kommer att lösa detta system med Gauss-metoden, utan att byta rader och kolumner, och dessutom välja huvudelementet inte i det övre vänstra hörnet, utan längs hela raden. Utmaningen är att välj den diagonala delen av det transformerade systemet av vektorer.

~ ~

~ ~ ~ .

Det tillåtna systemet av vektorer, motsvarande det ursprungliga, har formen

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

Var A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vektorer A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 bildar ett diagonalsystem. Därför vektorerna A 1 , A 3 , A 4 utgör grunden för vektorsystemet A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Låt oss nu utöka vektorerna A 2 Och A 5 på basis A 1 , A 3 , A 4 . För att göra detta utökar vi först motsvarande vektorer A 2 1 Och A 5 1 diagonalsystem A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, med tanke på att koefficienterna för expansionen av en vektor längs diagonalsystemet är dess koordinater x i.

Från (1) har vi:

A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 ·1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1 ·2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vektorer A 2 Och A 5 utökas i grund A 1 , A 3 , A 4 med samma koefficienter som vektorer A 2 1 Och A 5 1 diagonalsystem A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (dessa koefficienter x i). Därav,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Uppgifter. 1.Hitta basen för systemet av vektorer och vektorer som inte ingår i basen, expandera dem enligt basen:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Hitta alla baser i vektorsystemet:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

Definition av grund. Ett system av vektorer utgör en bas om:

1) den är linjärt oberoende,

2) vilken rymdvektor som helst kan uttryckas linjärt genom den.

Exempel 1. Utrymmesbas: .

2. I vektorsystemet basen är vektorerna: , därför att linjärt uttryckt i termer av vektorer.

Kommentar. För att hitta grunden för ett givet system av vektorer behöver du:

1) skriv koordinaterna för vektorerna i matrisen,

2) med hjälp av elementära transformationer, föra matrisen till en triangulär form,

3) rader som inte är noll i matrisen kommer att ligga till grund för systemet,

4) antalet vektorer i basen är lika med matrisens rangordning.

Kronecker-Capelli-satsen

Kronecker-Capelli-satsen ger ett heltäckande svar på frågan om kompatibiliteten hos ett godtyckligt system av linjära ekvationer med okända

Kronecker-Capelli-satsen. Ett system av linjära algebraiska ekvationer är konsekvent om och endast om rangordningen för systemets utökade matris är lika med rangordningen för huvudmatrisen, .

Algoritmen för att hitta alla lösningar till ett simultant system av linjära ekvationer följer av Kronecker–Capelli-satsen och följande satser.

Sats. Om rangen för ett gemensamt system är lika med antalet okända, så har systemet en unik lösning.

Sats. Om rangordningen för ett gemensamt system är mindre än antalet okända, så har systemet ett oändligt antal lösningar.

Algoritm för att lösa ett godtyckligt system av linjära ekvationer:

1. Hitta rangordningen för systemets huvudmatriser och utökade matriser. Om de inte är lika (), så är systemet inkonsekvent (har inga lösningar). Om rangen är lika ( , då är systemet konsekvent.

2. För ett gemensamt system hittar vi någon moll, vars ordning bestämmer matrisens rangordning (en sådan moll kallas bas). Låt oss komponera ett nytt ekvationssystem där koefficienterna för de okända är inkluderade i de grundläggande minor (dessa okända kallas de viktigaste okända), och kassera de återstående ekvationerna. Vi kommer att lämna de viktigaste okända med koefficienter till vänster och flytta de återstående okända (de kallas fria okända) till höger sida av ekvationerna.

3. Låt oss hitta uttryck för de viktigaste okända i termer av fria. Vi får den allmänna lösningen av systemet.

4. Genom att ge godtyckliga värden till de fria okända, får vi motsvarande värden för de viktigaste okända. På så sätt hittar vi dellösningar till det ursprungliga ekvationssystemet.

Linjär programmering. Grundläggande koncept

Linjär programmeringär en gren av matematisk programmering som studerar metoder för att lösa extrema problem som kännetecknas av ett linjärt samband mellan variabler och ett linjärt kriterium.

En nödvändig förutsättning för att skapa ett linjärt programmeringsproblem är begränsningar av tillgången på resurser, mängden efterfrågan, företagets produktionskapacitet och andra produktionsfaktorer.

Kärnan i linjär programmering är att hitta punkterna för det största eller minsta värdet av en viss funktion under en viss uppsättning restriktioner som åläggs argumenten och generatorerna begränsningssystem , som i regel har ett oändligt antal lösningar. Varje uppsättning variabelvärden (funktionsargument F ) som uppfyller systemet av begränsningar kallas giltig plan linjära programmeringsproblem. Fungera F , vars maximum eller minimum bestäms kallas målfunktion uppgifter. En genomförbar plan där maximalt eller minimum av en funktion uppnås F , ringde optimal plan uppgifter.

Systemet av restriktioner som bestämmer många planer dikteras av produktionsförhållandena. Linjärt programmeringsproblem ( ZLP ) är valet av den mest lönsamma (optimala) från en uppsättning genomförbara planer.

I sin allmänna formulering ser det linjära programmeringsproblemet ut så här:

Finns det några variabler? x = (x 1, x 2, ... x n) och funktionen av dessa variabler f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , som kallas mål funktioner. Uppgiften är satt: att hitta extremum (maximum eller minimum) för den objektiva funktionen f(x) förutsatt att variablerna x tillhör något område G :

Beroende på typ av funktion f(x) och regioner G och skilja mellan delar av matematisk programmering: kvadratisk programmering, konvex programmering, heltalsprogrammering, etc. Linjär programmering kännetecknas av det faktum att
en funktion f(x) är en linjär funktion av variablerna x 1, x 2, … x n
b) region G bestäms av systemet linjär jämlikheter eller ojämlikheter.

En linjär kombination av vektorer är en vektor
, där λ 1, ..., λ m är godtyckliga koefficienter.

Vektorsystem
kallas linjärt beroende om det finns en linjär kombination av det lika med , som har minst en koefficient som inte är noll.

Vektorsystem
kallas linjärt oberoende om i någon av dess linjära kombinationer lika med , alla koefficienter är noll.

Grunden för vektorsystemet
dess icke-tomma linjärt oberoende subsystem kallas, genom vilket vilken vektor som helst i systemet kan uttryckas.

Exempel 2. Hitta grunden för ett system av vektorer = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) och uttryck de återstående vektorerna genom basen.

Lösning: Vi bygger en matris där koordinaterna för dessa vektorer är ordnade i kolumner. Vi tar det till en stegvis form.

~
~
~
.

Grunden för detta system bildas av vektorerna ,,, som motsvarar de ledande elementen i linjerna, markerade i cirklar. Att uttrycka en vektor lös ekvationen x 1 +x 2 + x 4 =. Det reduceras till ett system av linjära ekvationer, vars matris erhålls från den ursprungliga permutationen av kolumnen som motsvarar , i stället för kolumnen med fria villkor. Därför, för att lösa systemet, använder vi den resulterande matrisen i stegvis form, vilket gör de nödvändiga omarrangeringarna i den.

Vi finner konsekvent:

xl + 4 = 3, xl = -1;

= -+2.

Anmärkning 1. Om det är nödvändigt att uttrycka flera vektorer genom basen, så konstrueras för var och en av dem ett motsvarande system av linjära ekvationer. Dessa system kommer endast att skilja sig åt i kolumnerna för gratismedlemmar. Därför, för att lösa dem, kan du skapa en matris, som kommer att ha flera kolumner med fria termer. Dessutom löses varje system oberoende av de andra.

Anmärkning 2. För att uttrycka någon vektor räcker det att endast använda basvektorerna för systemet som föregår den. I det här fallet finns det inget behov av att formatera om matrisen, det räcker med att sätta en vertikal linje på rätt plats.

Övning 2. Hitta grunden för vektorsystemet och uttryck de återstående vektorerna genom basen:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Grundläggande system av lösningar

Ett system av linjära ekvationer kallas homogent om alla dess fria termer är lika med noll.

Det grundläggande lösningssystemet för ett homogent system av linjära ekvationer är grunden för uppsättningen av dess lösningar.

Låt oss ges ett inhomogent system av linjära ekvationer. Ett homogent system associerat med ett givet är ett system som erhålls från ett givet genom att ersätta alla fria termer med nollor.

Om det inhomogena systemet är konsekvent och obestämt, så har dess godtyckliga lösning formen f n +  1 f o1 + ... +  k f o k, där f n är en speciell lösning av det inhomogena systemet och f o1, ... , f o k är de grundläggande systemlösningarna för det associerade homogena systemet.

Exempel 3. Hitta en speciell lösning på det inhomogena systemet från exempel 1 och det grundläggande systemet av lösningar till det associerade homogena systemet.

Lösning. Låt oss skriva lösningen som erhålls i exempel 1 i vektorform och dekomponera den resulterande vektorn till en summa över de fria parametrarna som finns i den och fasta numeriska värden:

= (x 1, x 2, x 3, x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 ).

Vi får f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Kommentar. Problemet med att hitta ett grundläggande system av lösningar till ett homogent system löses på liknande sätt.

Övning 3.1 Hitta det grundläggande lösningssystemet för ett homogent system:

A)

b)

c) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.

Övning 3.2. Hitta en speciell lösning på det inhomogena systemet och ett grundläggande system av lösningar på det associerade homogena systemet:

A)

b)

Linjärt beroende och linjärt oberoende av vektorer.
Grund för vektorer. Affint koordinatsystem

Det står en vagn med choklad i aulan, och varje besökare idag kommer att få ett sött par - analytisk geometri med linjär algebra. Den här artikeln kommer att beröra två avsnitt av högre matematik samtidigt, och vi kommer att se hur de samexisterar i ett omslag. Ta en paus, ät en Twix! ...fan, vilket gäng dumheter. Även om, okej, jag kommer inte att göra mål, i slutändan bör du ha en positiv inställning till att studera.

Linjärt beroende av vektorer, linjär vektor oberoende, basen för vektorer och andra termer har inte bara en geometrisk tolkning, utan framför allt en algebraisk betydelse. Själva begreppet "vektor" ur linjär algebras synvinkel är inte alltid den "vanliga" vektorn som vi kan avbilda på ett plan eller i rymden. Du behöver inte leta långt efter bevis, försök att rita en vektor av femdimensionellt rymd . Eller vädervektorn, som jag precis gick till Gismeteo för: temperatur respektive atmosfärstryck. Exemplet är naturligtvis felaktigt ur vektorrummets egenskaper, men ändå förbjuder ingen att formalisera dessa parametrar som en vektor. Höstens fläkt...

Nej, jag ska inte tråka ut dig med teori, linjära vektorrum, uppgiften är att förstå definitioner och satser. De nya termerna (linjärt beroende, oberoende, linjär kombination, bas, etc.) gäller för alla vektorer ur en algebraisk synvinkel, men geometriska exempel kommer att ges. Allt är alltså enkelt, tillgängligt och tydligt. Förutom problem med analytisk geometri kommer vi också att överväga några typiska algebraproblem. För att behärska materialet är det lämpligt att bekanta dig med lektionerna Vektorer för dummies Och Hur beräknar man determinanten?

Linjärt beroende och oberoende av planvektorer.
Planbas och affint koordinatsystem

Låt oss överväga planet på ditt datorbord (bara ett bord, nattduksbord, golv, tak, vad du än vill). Uppgiften kommer att bestå av följande åtgärder:

1) Välj plan grund. Grovt sett har en bordsskiva en längd och en bredd, så det är intuitivt att två vektorer kommer att krävas för att konstruera basen. En vektor är helt klart inte tillräckligt, tre vektorer är för mycket.

2) Baserat på den valda grunden ställ in koordinatsystem(koordinatrutnät) för att tilldela koordinater till alla objekt på tabellen.

Bli inte förvånad, först kommer förklaringarna att vara på fingrarna. Dessutom på din. Vänligen placera vänster pekfinger på kanten av bordsskivan så att han tittar på bildskärmen. Detta kommer att vara en vektor. Placera nu höger lillfinger på kanten av bordet på samma sätt - så att den är riktad mot bildskärmen. Detta kommer att vara en vektor. Le, du ser bra ut! Vad kan vi säga om vektorer? Datavektorer kolinjär, som betyder linjär uttryckt genom varandra:
, ja, eller vice versa: , där skiljer sig något tal från noll.

Du kan se en bild av denna åtgärd i klassen. Vektorer för dummies, där jag förklarade regeln för att multiplicera en vektor med ett tal.

Kommer dina fingrar att sätta grunden på planet för datorbordet? Uppenbarligen inte. Kolinjära vektorer färdas fram och tillbaka över ensam riktning, och ett plan har längd och bredd.

Sådana vektorer kallas linjärt beroende.

Referens: Orden "linjär", "linjär" betecknar det faktum att det i matematiska ekvationer och uttryck inte finns några kvadrater, kuber, andra potenser, logaritmer, sinus, etc. Det finns bara linjära (1:a gradens) uttryck och beroenden.

Två plana vektorer linjärt beroende om och bara om de är kolinjära.

Korsa fingrarna på bordet så att det finns någon annan vinkel mellan dem än 0 eller 180 grader. Två plana vektorerlinjär Inte beroende om och endast om de inte är kolinjära. Så grunden erhålls. Det finns ingen anledning att skämmas över att grunden visade sig vara "skev" med icke-vinkelräta vektorer av olika längd. Mycket snart kommer vi att se att inte bara en vinkel på 90 grader är lämplig för dess konstruktion, och inte bara enhetsvektorer av lika längd

Några plan vektor det enda sättet utökas enligt grunden:
, var finns reella tal. Numren kallas vektorkoordinater på denna grund.

Det sägs också att vektorpresenteras som Linjär kombination basvektorer. Det vill säga uttrycket kallas vektor nedbrytningpå grundval eller Linjär kombination basvektorer.

Till exempel kan vi säga att vektorn sönderdelas längs en ortonormal basis av planet, eller så kan vi säga att den representeras som en linjär kombination av vektorer.

Låt oss formulera definition av grund formellt: Grunden för planet kallas ett par linjärt oberoende (icke-kollinjära) vektorer, , vart i några en plan vektor är en linjär kombination av basvektorer.

En väsentlig punkt i definitionen är det faktum att vektorerna är tagna i en viss ordning. Baser – det är två helt olika grunder! Som de säger, du kan inte ersätta lillfingret på din vänstra hand i stället för lillfingret på din högra hand.

Vi har räknat ut grunden, men det räcker inte att sätta ett koordinatnät och tilldela koordinater till varje objekt på ditt datorbord. Varför räcker det inte? Vektorerna är fria och vandrar genom hela planet. Så hur tilldelar du koordinater till de där små smutsiga fläckarna på bordet som blivit över från en vild helg? Det behövs en utgångspunkt. Och ett sådant landmärke är en punkt som är bekant för alla - ursprunget till koordinater. Låt oss förstå koordinatsystemet:

Jag börjar med "skolsystemet". Redan i introduktionslektionen Vektorer för dummies Jag lyfte fram några skillnader mellan det rektangulära koordinatsystemet och den ortonormala basen. Här är standardbilden:

När de pratar om rektangulärt koordinatsystem, då menar de oftast origo, koordinataxlar och skala längs axlarna. Prova att skriva "rektangulärt koordinatsystem" i en sökmotor, så kommer du att se att många källor kommer att berätta om koordinataxlar som är bekanta från klass 5-6 och hur man ritar punkter på ett plan.

Å andra sidan verkar det som att ett rektangulärt koordinatsystem helt kan definieras i termer av en ortonormal grund. Och det är nästan sant. Formuleringen är som följer:

ursprung, Och ortonormala grunden är satt Kartesiska rektangulära plan koordinatsystem . Det vill säga det rektangulära koordinatsystemet definitivt definieras av en enda punkt och två enheter ortogonala vektorer. Det är därför du ser ritningen som jag gav ovan - i geometriska problem ritas ofta (men inte alltid) både vektorer och koordinataxlar.

Jag tror att alla förstår att använda en punkt (ursprung) och en ortonormal grund NÅGON PUNKT på planet och NÅGON VEKTOR på planet koordinater kan tilldelas. Bildligt talat, "allt på ett plan kan numreras."

Krävs koordinatvektorer för att vara enhet? Nej, de kan ha en godtycklig längd som inte är noll. Betrakta en punkt och två ortogonala vektorer med godtycklig längd som inte är noll:

En sådan grund kallas ortogonal. Ursprunget för koordinater med vektorer definieras av ett koordinatnät, och varje punkt på planet, vilken vektor som helst har sina koordinater i en given bas. Till exempel eller. Den uppenbara olägenheten är att koordinatvektorerna i allmänhet har andra längder än enhet. Om längderna är lika med enhet, erhålls den vanliga ortonormala basen.

! Notera : i den ortogonala basen, såväl som nedan i de affina baserna för plan och rymd, anses enheter längs axlarna VILLKORLIG. Till exempel innehåller en enhet längs x-axeln 4 cm och en enhet längs ordinata axeln innehåller 2 cm. Denna information räcker för att vid behov omvandla "icke-standardiserade" koordinater till "våra vanliga centimeter".

Och den andra frågan, som faktiskt redan har besvarats, är om vinkeln mellan basvektorerna måste vara lika med 90 grader? Nej! Som definitionen säger måste basvektorerna vara endast icke-kolinjär. Följaktligen kan vinkeln vara vad som helst utom 0 och 180 grader.

En punkt på planet ringde ursprung, Och icke-kollinjär vektorer, , uppsättning affint plan koordinatsystem :

Ibland kallas ett sådant koordinatsystem sned systemet. Som exempel visar ritningen punkter och vektorer:

Som du förstår är det affina koordinatsystemet ännu mindre bekvämt; formlerna för längderna på vektorer och segment, som vi diskuterade i den andra delen av lektionen, fungerar inte i det Vektorer för dummies, många läckra formler relaterade till skalär produkt av vektorer. Men reglerna för att lägga till vektorer och multiplicera en vektor med ett tal, formler för att dividera ett segment i denna relation, liksom några andra typer av problem som vi snart kommer att överväga är giltiga.

Och slutsatsen är att det mest bekväma specialfallet av ett affint koordinatsystem är det kartesiska rektangulära systemet. Det är därför du oftast måste träffa henne, min kära. ...Men allt i det här livet är relativt - det finns många situationer där en sned vinkel (eller någon annan, till exempel, polär) koordinatsystem. Och humanoider kanske gillar sådana system =)

Låt oss gå vidare till den praktiska delen. Alla problem i denna lektion är giltiga både för det rektangulära koordinatsystemet och för det allmänna affina fallet. Det är inget komplicerat här, allt material är tillgängligt även för en skolbarn.

Hur bestämmer man kollinearitet hos planvektorer?

Typisk sak. För två plana vektorer var kolinjära är det nödvändigt och tillräckligt att deras motsvarande koordinater är proportionella I huvudsak är detta en koordinat-för-koordinat-detaljering av det uppenbara förhållandet.

Exempel 1

a) Kontrollera om vektorerna är kolinjära .
b) Bildar vektorerna en bas? ?

Lösning:
a) Låt oss ta reda på om det finns vektorer proportionalitetskoefficient, så att jämlikheterna är uppfyllda:

Jag kommer definitivt att berätta om den "foppish" versionen av att tillämpa denna regel, som fungerar ganska bra i praktiken. Tanken är att omedelbart göra upp proportionen och se om den stämmer:

Låt oss göra en proportion från förhållandena mellan motsvarande koordinater för vektorerna:

Låt oss förkorta:
, sålunda är motsvarande koordinater proportionella, därför,

Relationen kan göras tvärtom; detta är ett likvärdigt alternativ:

För självtest kan du använda det faktum att kolinjära vektorer uttrycks linjärt genom varandra. I det här fallet sker jämlikheterna . Deras giltighet kan enkelt verifieras genom elementära operationer med vektorer:

b) Två plana vektorer utgör en bas om de inte är kolinjära (linjärt oberoende). Vi undersöker vektorer för kollinearitet . Låt oss skapa ett system:

Av den första ekvationen följer att , av den andra ekvationen följer att , vilket betyder systemet är inkonsekvent(inga lösningar). Således är de motsvarande koordinaterna för vektorerna inte proportionella.

Slutsats: vektorerna är linjärt oberoende och utgör en bas.

En förenklad version av lösningen ser ut så här:

Låt oss göra en proportion från motsvarande koordinater för vektorerna :
, vilket innebär att dessa vektorer är linjärt oberoende och utgör en bas.

Vanligtvis avvisas inte detta alternativ av granskare, men ett problem uppstår i de fall där vissa koordinater är lika med noll. Så här: . Eller så här: . Eller så här: . Hur går man igenom proportioner här? (du kan faktiskt inte dividera med noll). Det är av denna anledning som jag kallade den förenklade lösningen "foppish".

Svar: a), b) form.

Ett litet kreativt exempel på din egen lösning:

Exempel 2

Vilket värde på parametern har vektorerna kommer de att vara kolinjära?

I provlösningen hittas parametern genom proportionen.

Det finns ett elegant algebraiskt sätt att kontrollera vektorer för kollinearitet. Låt oss systematisera vår kunskap och lägga till den som den femte punkten:

För två plana vektorer är följande påståenden ekvivalenta:

2) vektorerna utgör en bas;
3) vektorerna är inte kolinjära;

+ 5) determinanten som består av koordinaterna för dessa vektorer är icke-noll.

Respektive, följande motsatta påståenden är likvärdiga:
1) vektorer är linjärt beroende;
2) vektorer utgör inte en bas;
3) vektorerna är kolinjära;
4) vektorer kan uttryckas linjärt genom varandra;
+ 5) determinanten som består av koordinaterna för dessa vektorer är lika med noll.

Jag hoppas verkligen att du vid det här laget redan förstår alla termer och påståenden du har stött på.

Låt oss ta en närmare titt på den nya, femte punkten: två plana vektorer är kolinjära om och endast om determinanten som består av koordinaterna för de givna vektorerna är lika med noll:. För att tillämpa denna funktion måste du naturligtvis kunna hitta bestämningsfaktorer.

Låt oss bestämma Exempel 1 på det andra sättet:

a) Låt oss beräkna determinanten som består av vektorernas koordinater :
, vilket betyder att dessa vektorer är kolinjära.

b) Två plana vektorer utgör en bas om de inte är kolinjära (linjärt oberoende). Låt oss beräkna determinanten som består av vektorkoordinater :
, vilket betyder att vektorerna är linjärt oberoende och utgör en bas.

Svar: a), b) form.

Det ser mycket mer kompakt och snyggare ut än en lösning med proportioner.

Med hjälp av det övervägda materialet är det möjligt att fastställa inte bara vektorernas kolinearitet, utan också att bevisa parallelliteten mellan segment och raka linjer. Låt oss överväga ett par problem med specifika geometriska former.

Exempel 3

Spetsen på en fyrhörning är givna. Bevisa att en fyrhörning är ett parallellogram.

Bevis: Det finns ingen anledning att skapa en ritning i problemet, eftersom lösningen kommer att vara rent analytisk. Låt oss komma ihåg definitionen av ett parallellogram:
Parallellogram En fyrhörning vars motsatta sidor är parallella i par kallas.

Därför är det nödvändigt att bevisa:
1) parallellitet mellan motsatta sidor och;
2) parallellitet av motsatta sidor och.

Vi bevisar:

1) Hitta vektorerna:

2) Hitta vektorerna:

Resultatet är samma vektor (”enligt skola” – lika vektorer). Kollinearitet är ganska uppenbart, men det är bättre att formalisera beslutet tydligt, med överenskommelse. Låt oss beräkna determinanten som består av vektorkoordinater:
, vilket betyder att dessa vektorer är kolinjära, och .

Slutsats: De motsatta sidorna av en fyrhörning är parallella i par, vilket betyder att det är ett parallellogram per definition. Q.E.D.

Fler bra och annorlunda figurer:

Exempel 4

Spetsen på en fyrhörning är givna. Bevisa att en fyrhörning är en trapets.

För en mer rigorös formulering av beviset är det naturligtvis bättre att få definitionen av en trapets, men det räcker med att helt enkelt komma ihåg hur det ser ut.

Detta är en uppgift för dig att lösa på egen hand. Fullständig lösning i slutet av lektionen.

Och nu är det dags att sakta flytta från planet till rymden:

Hur bestämmer man kollinearitet hos rymdvektorer?

Regeln är väldigt lika. För att två rymdvektorer ska vara kolinjära är det nödvändigt och tillräckligt att deras motsvarande koordinater är proportionella.

Exempel 5

Ta reda på om följande rymdvektorer är kolinjära:

A);
b)
V)

Lösning:
a) Låt oss kontrollera om det finns en proportionalitetskoefficient för motsvarande koordinater för vektorerna:

Systemet har ingen lösning, vilket betyder att vektorerna inte är kolinjära.

"Förenklad" formaliseras genom att kontrollera andelen. I detta fall:
– motsvarande koordinater är inte proportionella, vilket betyder att vektorerna inte är kolinjära.

Svar: vektorerna är inte kolinjära.

b-c) Dessa är punkter för oberoende beslut. Prova det på två sätt.

Det finns en metod för att kontrollera rumsliga vektorer för kollinearitet genom en tredje ordningens determinant; denna metod behandlas i artikeln Vektorprodukt av vektorer.

I likhet med planfallet kan de övervägda verktygen användas för att studera parallelliteten mellan rumsliga segment och räta linjer.

Välkommen till andra avsnittet:

Linjärt beroende och oberoende av vektorer i tredimensionellt rum.
Rumslig bas och affint koordinatsystem

Många av mönstren som vi undersökte på planet kommer att vara giltiga för rymden. Jag försökte minimera teorianteckningarna, eftersom lejonparten av informationen redan har tuggats. Jag rekommenderar dock att du läser den inledande delen noggrant, då nya termer och begrepp dyker upp.

Nu utforskar vi tredimensionellt rymden istället för datorbordets plan. Låt oss först skapa dess grund. Någon är nu inomhus, någon är utomhus, men vi kan i alla fall inte undgå tre dimensioner: bredd, längd och höjd. Därför kommer tre rumsliga vektorer att krävas för att konstruera en bas. En eller två vektorer räcker inte, den fjärde är överflödig.

Och återigen värmer vi upp på fingrarna. Räck upp handen och sprid den åt olika håll tumme, pek- och långfinger. Dessa kommer att vara vektorer, de tittar åt olika håll, har olika längd och har olika vinklar sinsemellan. Grattis, grunden för tredimensionellt utrymme är klar! Förresten, det finns ingen anledning att demonstrera detta för lärare, hur hårt man än vrider på fingrarna, men det går inte att undkomma definitioner =)

Låt oss sedan ställa en viktig fråga: bildar vilka tre vektorer som helst en bas för tredimensionellt rymd? Vänligen tryck tre fingrar ordentligt på ovansidan av datorbordet. Vad hände? Tre vektorer ligger i samma plan, och grovt sett har vi tappat en av dimensionerna - höjden. Sådana vektorer är i samma plan och det är ganska uppenbart att grunden för tredimensionellt utrymme inte skapas.

Det bör noteras att koplanära vektorer inte behöver ligga i samma plan, de kan vara i parallella plan (gör bara inte detta med fingrarna, bara Salvador Dali gjorde detta =)).

Definition: vektorer kallas i samma plan, om det finns ett plan med vilket de är parallella. Det är logiskt att lägga till här att om ett sådant plan inte existerar, så kommer vektorerna inte att vara i samma plan.

Tre koplanära vektorer är alltid linjärt beroende, det vill säga de uttrycks linjärt genom varandra. För enkelhetens skull, låt oss återigen föreställa oss att de ligger i samma plan. För det första är vektorer inte bara koplanära, de kan också vara kolinjära, sedan kan vilken vektor som helst uttryckas genom vilken vektor som helst. I det andra fallet, om till exempel vektorerna inte är kolinjära, så uttrycks den tredje vektorn genom dem på ett unikt sätt: (och varför är lätt att gissa utifrån materialen i föregående avsnitt).

Det omvända är också sant: tre icke-samplanära vektorer är alltid linjärt oberoende, det vill säga att de inte på något sätt uttrycks genom varandra. Och uppenbarligen kan bara sådana vektorer utgöra grunden för tredimensionellt rymd.

Definition: Grunden för det tredimensionella rummet kallas en trippel av linjärt oberoende (icke-samplanära) vektorer, tagna i en viss ordning, och valfri vektor av rymd det enda sättet sönderdelas över en given bas, där är vektorns koordinater i denna bas

Låt mig påminna dig om att vi också kan säga att vektorn är representerad i formen Linjär kombination basvektorer.

Konceptet med ett koordinatsystem introduceras på exakt samma sätt som för planfallet; en punkt och valfria tre linjärt oberoende vektorer är tillräckliga:

ursprung, Och icke-koplanär vektorer, tagna i en viss ordning, uppsättning affint koordinatsystem för tredimensionellt rymd :

Naturligtvis är koordinatnätet "snett" och obekvämt, men ändå tillåter det konstruerade koordinatsystemet oss definitivt bestämma koordinaterna för vilken vektor som helst och koordinaterna för vilken punkt som helst i rymden. I likhet med ett plan kommer vissa formler som jag redan har nämnt inte att fungera i rymdens affina koordinatsystem.

Det mest välbekanta och bekväma specialfallet av ett affint koordinatsystem, som alla gissar, är rektangulärt rymdkoordinatsystem:

En punkt i rymden kallas ursprung, Och ortonormala grunden är satt Kartesiskt rektangulärt rymdkoordinatsystem . Bekant bild:

Innan vi går vidare till praktiska uppgifter, låt oss återigen systematisera informationen:

För tre rymdvektorer är följande påståenden ekvivalenta:
1) vektorerna är linjärt oberoende;
2) vektorerna utgör en bas;
3) vektorerna är inte koplanära;
4) vektorer kan inte uttryckas linjärt genom varandra;
5) determinanten, sammansatt av koordinaterna för dessa vektorer, skiljer sig från noll.

Jag tror att de motsatta påståendena är förståeliga.

Linjärt beroende/oberoende av rymdvektorer kontrolleras traditionellt med hjälp av en determinant (punkt 5). De återstående praktiska uppgifterna kommer att vara av uttalad algebraisk karaktär. Det är dags att hänga upp geometripinnen och använda basebollträet i linjär algebra:

Tre vektorer av rymdenär koplanära om och endast om determinanten som består av koordinaterna för de givna vektorerna är lika med noll: .

Jag skulle vilja uppmärksamma en liten teknisk nyans: vektorernas koordinater kan skrivas inte bara i kolumner utan också i rader (determinantens värde kommer inte att ändras på grund av detta - se egenskaper hos determinanter). Men det är mycket bättre i kolumner, eftersom det är mer fördelaktigt för att lösa några praktiska problem.

För de läsare som lite har glömt metoderna för att beräkna bestämningsfaktorer, eller kanske har liten förståelse för dem alls, rekommenderar jag en av mina äldsta lektioner: Hur beräknar man determinanten?

Exempel 6

Kontrollera om följande vektorer utgör grunden för tredimensionellt rymd:

Lösning: Faktum är att hela lösningen handlar om att beräkna determinanten.

a) Låt oss beräkna determinanten som består av vektorkoordinater (determinanten avslöjas på första raden):

, vilket innebär att vektorerna är linjärt oberoende (inte i samma plan) och utgör grunden för tredimensionellt rymd.

Svar: dessa vektorer utgör en bas

b) Detta är en punkt för oberoende beslut. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Det finns också kreativa uppgifter:

Exempel 7

Vid vilket värde på parametern kommer vektorerna att vara i samma plan?

Lösning: Vektorer är koplanära om och endast om determinanten som består av koordinaterna för dessa vektorer är lika med noll:

I huvudsak måste du lösa en ekvation med en determinant. Vi sveper ner på nollor som drakar på jerboas - det är bäst att öppna determinanten på den andra raden och omedelbart bli av med minusen:

Vi utför ytterligare förenklingar och reducerar saken till den enklaste linjära ekvationen:

Svar: kl

Det är lätt att kontrollera här; för att göra detta måste du ersätta det resulterande värdet med den ursprungliga determinanten och se till att , öppnar den igen.

Avslutningsvis kommer vi att överväga ett annat typiskt problem, som är mer algebraiskt till sin natur och som traditionellt ingår i en linjär algebrakurs. Det är så vanligt att det förtjänar ett eget ämne:

Bevisa att 3 vektorer utgör grunden för det tredimensionella rummet
och hitta koordinaterna för den fjärde vektorn i denna bas

Exempel 8

Vektorer ges. Visa att vektorer utgör en bas i det tredimensionella rummet och hitta koordinaterna för vektorn i denna bas.

Lösning: Först, låt oss ta itu med tillståndet. Som villkor ges fyra vektorer, och som du kan se har de redan koordinater på någon grund. Vad denna grund är är inte av intresse för oss. Och följande sak är av intresse: tre vektorer kan mycket väl utgöra en ny grund. Och det första steget sammanfaller helt med lösningen i exempel 6; det är nödvändigt att kontrollera om vektorerna verkligen är linjärt oberoende:

Låt oss beräkna determinanten som består av vektorkoordinater:

, vilket innebär att vektorerna är linjärt oberoende och utgör grunden för det tredimensionella rummet.

! Viktig : vektorkoordinater Nödvändigtvis Skriv ner i kolumner determinant, inte i strängar. Annars kommer det att uppstå förvirring i den ytterligare lösningsalgoritmen.

I artikeln om n-dimensionella vektorer kom vi till konceptet med ett linjärt utrymme som genereras av en uppsättning n-dimensionella vektorer. Nu måste vi överväga lika viktiga begrepp, såsom dimensionen och grunden för ett vektorrum. De är direkt relaterade till konceptet med ett linjärt oberoende system av vektorer, så det rekommenderas dessutom att påminna dig själv om grunderna i detta ämne.

Låt oss presentera några definitioner.

Definition 1

Dimension av vektorutrymme– ett tal som motsvarar det maximala antalet linjärt oberoende vektorer i detta utrymme.

Definition 2

Vektor utrymme bas– en uppsättning linjärt oberoende vektorer, ordnade och lika i antal som rummets dimension.

Låt oss betrakta ett visst utrymme av n-vektorer. Dess dimension är på motsvarande sätt lika med n. Låt oss ta ett system av n-enhetsvektorer:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Vi använder dessa vektorer som komponenter i matris A: det blir enhetsmatris med dimensionen n gånger n. Rangen för denna matris är n. Därför är vektorsystemet e (1), e (2) , . . . , e(n) är linjärt oberoende. I det här fallet är det omöjligt att lägga till en enda vektor till systemet utan att bryta mot dess linjära oberoende.

Eftersom antalet vektorer i systemet är n, är dimensionen av rymden av n-dimensionella vektorer n, och enhetsvektorerna är e (1), e (2), . . . , e (n) är grunden för det angivna utrymmet.

Från den resulterande definitionen kan vi dra slutsatsen: alla system av n-dimensionella vektorer där antalet vektorer är mindre än n är inte en bas för rymden.

Om vi ​​byter den första och den andra vektorn får vi ett system av vektorer e (2), e (1) , . . . e (n). Det kommer också att ligga till grund för ett n-dimensionellt vektorrum. Låt oss skapa en matris genom att ta vektorerna för det resulterande systemet som dess rader. Matrisen kan erhållas från identitetsmatrisen genom att byta ut de två första raderna, dess rang kommer att vara n. System e (2), e (1), . . . , e(n) är linjärt oberoende och är grunden för ett n-dimensionellt vektorrum.

Genom att omarrangera andra vektorer i det ursprungliga systemet får vi en annan grund.

Vi kan ta ett linjärt oberoende system av icke-enhetsvektorer, och det kommer också att representera basen för ett n-dimensionellt vektorrum.

Definition 3

Ett vektorrum med dimension n har lika många baser som det finns linjärt oberoende system av n-dimensionella vektorer med nummer n.

Planet är ett tvådimensionellt utrymme - dess grund kommer att vara två icke-kollinjära vektorer. Basen för tredimensionellt rymd kommer att vara vilka som helst tre icke-samplanära vektorer.

Låt oss överväga tillämpningen av denna teori med hjälp av specifika exempel.

Exempel 1

Initial data: vektorer

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Det är nödvändigt att bestämma om de specificerade vektorerna är grunden för ett tredimensionellt vektorrum.

Lösning

För att lösa problemet studerar vi det givna vektorsystemet för linjärt beroende. Låt oss skapa en matris, där raderna är vektorernas koordinater. Låt oss bestämma matrisens rangordning.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Följaktligen är vektorerna som specificeras av problemets tillstånd linjärt oberoende, och deras antal är lika med dimensionen av vektorutrymmet - de är grunden för vektorutrymmet.

Svar: de angivna vektorerna är grunden för vektorrummet.

Exempel 2

Initial data: vektorer

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Det är nödvändigt att bestämma om det specificerade systemet av vektorer kan vara grunden för tredimensionellt rymd.

Lösning

Systemet av vektorer som anges i problemformuleringen är linjärt beroende, eftersom det maximala antalet linjärt oberoende vektorer är 3. Det angivna vektorsystemet kan alltså inte tjäna som bas för ett tredimensionellt vektorrum. Men det är värt att notera att delsystemet i det ursprungliga systemet a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) är en bas.

Svar: det angivna systemet av vektorer är inte en bas.

Exempel 3

Initial data: vektorer

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Kan de vara grunden för ett fyrdimensionellt rum?

Lösning

Låt oss skapa en matris med hjälp av koordinaterna för de givna vektorerna som rader

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Med den Gaussiska metoden bestämmer vi matrisens rangordning:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Följaktligen är systemet med givna vektorer linjärt oberoende och deras antal är lika med dimensionen av vektorrymden - de är grunden för ett fyrdimensionellt vektorrum.

Svar: de givna vektorerna är grunden för det fyrdimensionella rummet.

Exempel 4

Initial data: vektorer

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Ligger de till grund för ett utrymme av dimension 4?

Lösning

Det ursprungliga systemet av vektorer är linjärt oberoende, men antalet vektorer i det är inte tillräckligt för att bli grunden för ett fyrdimensionellt utrymme.

Svar: nej, det gör de inte.

Nedbrytning av en vektor till en bas

Låt oss anta att godtyckliga vektorer e (1) , e (2) , . . . , e (n) är basen för ett n-dimensionellt vektorrum. Låt oss lägga till en viss n-dimensionell vektor x →: det resulterande systemet av vektorer kommer att bli linjärt beroende. Egenskaperna för linjärt beroende säger att åtminstone en av vektorerna i ett sådant system kan uttryckas linjärt genom de andra. Om vi ​​formulerar om detta påstående kan vi säga att åtminstone en av vektorerna i ett linjärt beroende system kan expanderas till de återstående vektorerna.

Så kom vi fram till formuleringen av det viktigaste teoremet:

Definition 4

Vilken vektor som helst av ett n-dimensionellt vektorrum kan dekomponeras unikt till en bas.

Bevis 1

Låt oss bevisa detta teorem:

låt oss sätta grunden för det n-dimensionella vektorrummet - e (1), e (2) , . . . e (n). Låt oss göra systemet linjärt beroende genom att lägga till en n-dimensionell vektor x → till det. Denna vektor kan uttryckas linjärt i termer av de ursprungliga vektorerna e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + xn · e (n), där xl, x2, . . . , x n - några siffror.

Nu bevisar vi att en sådan nedbrytning är unik. Låt oss anta att så inte är fallet och att det finns en annan liknande nedbrytning:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n), där x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - några siffror.

Låt oss subtrahera från vänster och höger sida av denna likhet, respektive, vänster och höger sida av likheten x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + xn · e (n) . Vi får:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

System av basvektorer e (1), e (2), . . . e(n) är linjärt oberoende; per definition av linjärt oberoende av ett system av vektorer, är likheten ovan möjlig endast när alla koefficienter är (x ~ 1 - x 1), (x ~ 2 - x 2), . . . , (x ~ n - x n) kommer att vara lika med noll. Från vilket det kommer att vara rättvist: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Och detta bevisar det enda alternativet för att sönderdela en vektor till en bas.

I detta fall är koefficienterna x 1, x 2, . . . , x n kallas koordinaterna för vektorn x → i basen e (1) , e (2) , . . . e (n).

Den beprövade teorin klargör uttrycket "givet en n-dimensionell vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)": en vektor x → n-dimensionell vektorrymd beaktas och dess koordinater anges i en viss grund. Det är också tydligt att samma vektor i en annan bas av n-dimensionell rymd kommer att ha olika koordinater.

Betrakta följande exempel: antag att i någon bas av n-dimensionellt vektorrymd ges ett system av n linjärt oberoende vektorer

och även vektorn x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) ges.

Vektorerna e1(1), e2(2), . . . , e n (n) i detta fall är också grunden för detta vektorrum.

Antag att det är nödvändigt att bestämma koordinaterna för vektorn x → i basen e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , betecknad som x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vektor x → kommer att representeras enligt följande:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Låt oss skriva detta uttryck i koordinatform:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , ... , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + ... + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n), ... , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

Den resulterande likheten är ekvivalent med ett system av n linjära algebraiska uttryck med n okända linjära variabler x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matrisen för detta system kommer att ha följande form:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Låt detta vara en matris A, och dess kolumner är vektorer av ett linjärt oberoende system av vektorer e 1 (1), e 2 (2), . . . e n (n). Rangen på matrisen är n, och dess determinant är icke-noll. Detta indikerar att ekvationssystemet har en unik lösning som bestäms av vilken lämplig metod som helst: till exempel Cramer-metoden eller matrismetoden. På så sätt kan vi bestämma koordinaterna x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → i basen e 1 (1) , e 2 (2) , . . . e n (n).

Låt oss tillämpa den övervägda teorin på ett specifikt exempel.

Exempel 6

Initial data: vektorer specificeras i basen av tredimensionellt rymd

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Det är nödvändigt att bekräfta det faktum att systemet med vektorer e (1), e (2), e (3) också tjänar som bas för ett givet utrymme, och även för att bestämma koordinaterna för vektor x i en given bas.

Lösning

Systemet av vektorer e (1), e (2), e (3) kommer att vara basen för tredimensionellt rymd om det är linjärt oberoende. Låt oss ta reda på denna möjlighet genom att bestämma rangen för matrisen A, vars rader är de givna vektorerna e (1), e (2), e (3).

Vi använder den Gaussiska metoden:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

Rank (A) = 3 . Således är systemet av vektorer e (1), e (2), e (3) linjärt oberoende och är en bas.

Låt vektorn x → ha koordinater x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 i basen. Förhållandet mellan dessa koordinater bestäms av ekvationen:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Låt oss tillämpa värdena enligt villkoren för problemet:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Låt oss lösa ekvationssystemet med Cramers metod:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1, x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Således har vektorn x → i basen e (1), e (2), e (3) koordinater x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Svar: x = (1 , 1 , 1)

Förhållande mellan baser

Låt oss anta att i någon bas av n-dimensionellt vektorrum ges två linjärt oberoende system av vektorer:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , ..., c n (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2) , ..., c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1), . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2), e 2 (2) , . . . (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Dessa system är också baser för ett givet utrymme.

Låt c ~ 1 (1), c ~ 2 (1), . . . , c ~ n (1) - koordinater för vektorn c (1) i basen e (1), e (2) , . . . , e (3), då kommer koordinatförhållandet att ges av ett system av linjära ekvationer:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Systemet kan representeras som en matris enligt följande:

(c 1 (1), c 2 (1), . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1), c ~ 2 (1), . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Låt oss göra samma inmatning för vektorn c (2) i analogi:

(c 1 (2), c 2 (2), ..., c n (2)) = (c ~ 1 (2), c ~ 2 (2), ..., c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n), c 2 (n), . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n), c ~ 2 (n), . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Låt oss kombinera matrislikheterna till ett uttryck:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Det kommer att bestämma sambandet mellan vektorerna för två olika baser.

Med samma princip är det möjligt att uttrycka alla basvektorer e(1), e(2), . . . , e (3) genom basen c (1), c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Låt oss ge följande definitioner:

Definition 5

Matris c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) är övergångsmatrisen från basen e (1), e (2) , . . . , e (3)

till grunden c (1), c (2), . . . c (n).

Definition 6

Matris e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) är övergångsmatrisen från basen c (1), c (2) , . . . , c(n)

till grunden e (1), e (2), . . . e (3).

Av dessa jämlikheter är det uppenbart att

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (2) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

de där. övergångsmatriserna är ömsesidiga.

Låt oss titta på teorin med ett specifikt exempel.

Exempel 7

Initial data: det är nödvändigt att hitta övergångsmatrisen från basen

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Du måste också ange förhållandet mellan koordinaterna för en godtycklig vektor x → i de givna baserna.

Lösning

1. Låt T vara övergångsmatrisen, då blir likheten sann:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Multiplicera båda sidor av jämställdheten med

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

och vi får:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 3 7 1 - 1

2. Definiera övergångsmatrisen:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Låt oss definiera förhållandet mellan koordinaterna för vektorn x → :

Låt oss anta att i grunden c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → har koordinater x 1 , x 2 , x 3 , sedan:

x = (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

och i basen e (1), e (2), . . . , e (3) har koordinater x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, då:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Därför att Om de vänstra sidorna av dessa likheter är lika, kan vi likställa de högra sidorna också:

(x 1, x 2, x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Multiplicera båda sidorna till höger med

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

och vi får:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

På andra sidan

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

De sista likheterna visar förhållandet mellan koordinaterna för vektorn x → i båda baserna.

Svar:övergångsmatris

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinaterna för vektorn x → i de givna baserna är relaterade av relationen:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter