Så låt oss sätta oss ner och börja skriva några siffror. Till exempel:
Du kan skriva vilka siffror som helst, och det kan finnas hur många som helst (i vårt fall finns det dem). Oavsett hur många siffror vi skriver kan vi alltid se vilket som är först, vilket som är tvåa, och så vidare tills det sista, det vill säga vi kan numrera dem. Detta är ett exempel på en nummersekvens:
Nummerföljdär en uppsättning nummer som vart och ett kan tilldelas ett unikt nummer.
Till exempel för vår sekvens:
Det tilldelade numret är specifikt för endast ett nummer i sekvensen. Det finns med andra ord inga tresekundersnummer i sekvensen. Den andra siffran (som det th siffran) är alltid densamma.
Numret med numret kallas den n:te medlemmen av sekvensen.
Vi brukar kalla hela sekvensen med någon bokstav (till exempel), och varje medlem i denna sekvens är samma bokstav med ett index som är lika med numret på denna medlem: .
I vårat fall:
De vanligaste typerna av progression är aritmetiska och geometriska. I det här ämnet kommer vi att prata om den andra typen - geometrisk progression.
Varför behövs geometrisk progression och dess historia?
Även i antiken tog den italienske matematikermunken Leonardo av Pisa (mer känd som Fibonacci) hand om handelns praktiska behov. Munken ställdes inför uppgiften att bestämma vad som är det minsta antalet vikter som kan användas för att väga en produkt? I sina verk bevisar Fibonacci att ett sådant viktsystem är optimalt: Detta är en av de första situationerna där människor var tvungna att hantera en geometrisk progression, som du förmodligen redan har hört talas om och åtminstone har en allmän förståelse för. När du väl förstår ämnet, fundera på varför ett sådant system är optimalt?
För närvarande, i livets praktik, manifesterar geometrisk progression sig när man investerar pengar i en bank, när räntebeloppet samlas på det belopp som ackumulerats på kontot för föregående period. Med andra ord, om du lägger pengar på en tidsinsättning i en sparbank, så kommer efter ett år insättningen att öka med det ursprungliga beloppet, d.v.s. det nya beloppet blir lika med bidraget multiplicerat med. Om ytterligare ett år kommer detta belopp att öka med, d.v.s. det belopp som erhållits vid den tidpunkten kommer återigen att multipliceras med och så vidare. En liknande situation beskrivs i problem med att beräkna den sk ränta på ränta– procentsatsen tas varje gång från det belopp som finns på kontot med hänsyn tagen till tidigare ränta. Vi kommer att prata om dessa uppgifter lite senare.
Det finns många fler enkla fall där geometrisk progression tillämpas. Till exempel spridningen av influensa: en person infekterade en annan person, de i sin tur infekterade en annan person, och därmed är den andra infektionsvågen en person, och de i sin tur infekterade en annan... och så vidare. .
Förresten, en finansiell pyramid, samma MMM, är en enkel och torr beräkning baserad på egenskaperna hos en geometrisk progression. Intressant? Låt oss ta reda på det.
Geometrisk progression.
Låt oss säga att vi har en nummersekvens:
Du kommer omedelbart att svara att detta är enkelt och namnet på en sådan sekvens är med skillnaden mellan dess medlemmar. Vad sägs om det här:
Om du subtraherar det föregående talet från det efterföljande talet kommer du att se att varje gång du får en ny skillnad (och så vidare), men sekvensen finns definitivt och är lätt att märka - varje efterföljande nummer är gånger större än det föregående!
Denna typ av nummersekvens kallas geometrisk progression och är utsedd.
Geometrisk progression () är en numerisk sekvens, vars första term skiljer sig från noll, och varje term, med början från den andra, är lika med den föregående, multiplicerad med samma tal. Detta tal kallas nämnaren för en geometrisk progression.
Begränsningarna att den första termen ( ) inte är lika och inte är slumpmässiga. Låt oss anta att det inte finns några, och den första termen fortfarande är lika, och q är lika med, hmm.. låt det vara, så visar det sig:
Håller med om att detta inte längre är en progression.
Som du förstår kommer vi att få samma resultat om det finns något annat tal än noll, a. I dessa fall kommer det helt enkelt inte att ske någon progression, eftersom hela nummerserien antingen kommer att vara alla nollor eller ett nummer, och resten kommer att vara nollor.
Låt oss nu prata mer i detalj om nämnaren för den geometriska progressionen, det vill säga o.
Låt oss upprepa: - det här är numret hur många gånger ändras varje efterföljande term? geometrisk progression.
Vad tror du att det kan vara? Det stämmer, positivt och negativt, men inte noll (vi pratade om detta lite högre).
Låt oss anta att vår är positiv. Låt i vårt fall, a. Vad är värdet av den andra termen och? Du kan enkelt svara på det:
Det är rätt. Följaktligen, om, så har alla efterföljande termer av progressionen samma tecken - de är positiva.
Tänk om det är negativt? Till exempel, en. Vad är värdet av den andra termen och?
Det här är en helt annan historia
Försök att räkna villkoren för denna utveckling. Hur mycket fick du? Jag har. Således, om, så växlar tecknen på termerna för den geometriska progressionen. Det vill säga, om du ser en progression med alternerande tecken för dess medlemmar, så är dess nämnare negativ. Denna kunskap kan hjälpa dig att testa dig själv när du löser problem i detta ämne.
Låt oss nu öva lite: försök att avgöra vilka talsekvenser som är en geometrisk progression och vilka som är en aritmetisk progression:
Jag fattar? Låt oss jämföra våra svar:
- Geometrisk progression – 3, 6.
- Aritmetisk progression – 2, 4.
- Det är varken en aritmetisk eller en geometrisk progression - 1, 5, 7.
Låt oss återgå till vår senaste utveckling och försöka hitta dess medlem, precis som i den aritmetiska. Som du kanske har gissat finns det två sätt att hitta den.
Vi multiplicerar successivt varje term med.
Så den e termen i den beskrivna geometriska progressionen är lika med.
Som du redan gissat kommer du nu själv att härleda en formel som hjälper dig att hitta vilken medlem som helst i den geometriska progressionen. Eller har du redan utvecklat det för dig själv och beskriver hur man hittar den e medlemen steg för steg? Om så är fallet, kontrollera att ditt resonemang är korrekt.
Låt oss illustrera detta med exemplet för att hitta den tredje termen i denna progression:
Med andra ord:
Hitta värdet av termen för den givna geometriska progressionen själv.
Hände? Låt oss jämföra våra svar:
Observera att du fick exakt samma tal som i den föregående metoden, när vi multiplicerade med varje föregående term i den geometriska progressionen.
Låt oss försöka "avpersonifiera" denna formel - låt oss sätta den i allmän form och få:
Den härledda formeln är sann för alla värden - både positiva och negativa. Kontrollera detta själv genom att beräkna villkoren för den geometriska progressionen med följande villkor: , a.
Har du räknat? Låt oss jämföra resultaten:
Håller med om att det skulle gå att hitta en term av en progression på samma sätt som en term, dock finns det en möjlighet att räkna fel. Och om vi redan har hittat den tredje termen för den geometriska progressionen, vad kan då vara enklare än att använda den "avkortade" delen av formeln.
Oändligt minskande geometrisk progression.
På senare tid talade vi om det faktum att det kan vara antingen större eller mindre än noll, men det finns speciella värden för vilka den geometriska progressionen kallas minskar oändligt.
Varför tror du att detta namn ges?
Låt oss först skriva ner en geometrisk progression som består av termer.
Låt oss säga då:
Vi ser att varje efterföljande term är mindre än den föregående med en faktor, men kommer det att finnas något tal? Du kommer genast att svara "nej". Det är därför den minskar oändligt - den minskar och minskar, men blir aldrig noll.
För att tydligt förstå hur detta ser ut visuellt, låt oss försöka rita en graf över vår utveckling. Så för vårt fall har formeln följande form:
På grafer är vi vana vid att plotta beroende av, därför:
Kärnan i uttrycket har inte förändrats: i den första posten visade vi beroendet av värdet av en medlem av en geometrisk progression på dess ordningsnummer, och i den andra posten tog vi helt enkelt värdet av en medlem av en geometrisk progression som , och betecknade ordningsnumret inte som, utan som. Allt som återstår att göra är att bygga en graf.
Låt oss se vad du har. Här är grafen jag kom fram till:
Ser du? Funktionen minskar, tenderar till noll, men korsar den aldrig, så den minskar oändligt. Låt oss markera våra punkter på grafen, och samtidigt vad koordinaten och betyder:
Försök att schematiskt avbilda en graf över en geometrisk progression om dess första term också är lika. Analysera vad som är skillnaden mot vår tidigare graf?
Klarade du dig? Här är grafen jag kom fram till:
Nu när du till fullo har förstått grunderna i ämnet geometrisk progression: du vet vad det är, du vet hur du hittar dess term, och du vet också vad en oändligt minskande geometrisk progression är, låt oss gå vidare till dess huvudsakliga egenskap.
Egenskapen för geometrisk progression.
Kommer du ihåg egenskapen hos termerna för en aritmetisk progression? Ja, ja, hur man hittar värdet av ett visst antal av en progression när det finns tidigare och efterföljande värden av villkoren för denna progression. Kommer du ihåg? Detta:
Nu står vi inför exakt samma fråga för termerna för en geometrisk progression. För att härleda en sådan formel, låt oss börja rita och resonera. Du ska se, det är väldigt enkelt, och om du glömmer det kan du få ut det själv.
Låt oss ta en annan enkel geometrisk progression, där vi vet och. Hur man hittar? Med aritmetisk progression är det enkelt och enkelt, men hur är det här? Faktum är att det inte är något komplicerat i geometriska heller - du behöver bara skriva ner varje värde som ges till oss enligt formeln.
Du kanske frågar, vad ska vi göra åt det nu? Ja, väldigt enkelt. Låt oss först avbilda dessa formler i en bild och försöka göra olika manipulationer med dem för att komma fram till värdet.
Låt oss abstrahera från siffrorna som ges till oss, låt oss bara fokusera på deras uttryck genom formeln. Vi måste hitta värdet markerat i orange, med kunskap om termerna intill det. Låt oss försöka utföra olika åtgärder med dem, som ett resultat av vilka vi kan få.
Tillägg.
Låt oss försöka lägga till två uttryck och vi får:
Från detta uttryck, som du kan se, kan vi inte uttrycka det på något sätt, därför kommer vi att försöka ett annat alternativ - subtraktion.
Subtraktion.
Som du kan se kan vi inte uttrycka detta heller, därför, låt oss försöka multiplicera dessa uttryck med varandra.
Multiplikation.
Titta nu noga på vad vi har genom att multiplicera termerna för den geometriska progressionen som ges till oss i jämförelse med vad som behöver hittas:
Gissa vad jag pratar om? Korrekt, för att hitta måste vi ta kvadratroten av de geometriska progressionstalen som gränsar till det önskade multiplicerat med varandra:
Här har du. Du härledde själv egenskapen till geometrisk progression. Försök att skriva denna formel i allmän form. Hände?
Glömt villkoret för? Fundera på varför det är viktigt, försök till exempel räkna ut det själv. Vad kommer att hända i det här fallet? Det stämmer, fullständigt nonsens eftersom formeln ser ut så här:
Glöm därför inte denna begränsning.
Låt oss nu beräkna vad det är lika med
Rätt svar - ! Om du inte glömde det andra möjliga värdet under beräkningen, då är du jättebra och kan genast gå vidare till träningen, och om du har glömt det, läs vad som diskuteras nedan och var uppmärksam på varför båda rötterna måste skrivas ner i svar.
Låt oss rita båda våra geometriska progressioner - den ena med ett värde och den andra med ett värde och kontrollera om båda har rätt att existera:
För att kontrollera om en sådan geometrisk progression existerar eller inte, är det nödvändigt att se om alla dess givna termer är desamma? Beräkna q för det första och andra fallet.
Förstår du varför vi måste skriva två svar? För tecknet på termen du letar efter beror på om det är positivt eller negativt! Och eftersom vi inte vet vad det är måste vi skriva båda svaren med plus och minus.
Nu när du har bemästrat huvudpunkterna och härlett formeln för egenskapen geometrisk progression, hitta, veta och
Jämför dina svar med de rätta:
Vad tror du, tänk om vi inte fick värdena för termerna för den geometriska progressionen intill det önskade numret, utan på samma avstånd från det. Till exempel måste vi hitta, och ges och. Kan vi använda formeln vi härledde i det här fallet? Försök att bekräfta eller motbevisa denna möjlighet på samma sätt, och beskriv vad varje värde består av, som du gjorde när du ursprungligen härledde formeln, vid.
Vad fick du?
Titta nu noga igen.
och motsvarande:
Av detta kan vi dra slutsatsen att formeln fungerar inte bara med angränsande med de önskade termerna för den geometriska progressionen, men också med lika långt från vad medlemmarna letar efter.
Således tar vår initiala formel formen:
Det vill säga, om vi i det första fallet sa det, säger vi nu att det kan vara lika med vilket naturligt tal som helst som är mindre. Huvudsaken är att det är samma för båda givna siffrorna.
Öva med specifika exempel, var bara extremt försiktig!
- , . Hitta.
- , . Hitta.
- , . Hitta.
Bestämt? Jag hoppas att du var extremt uppmärksam och märkte en liten hake.
Låt oss jämföra resultaten.
I de två första fallen tillämpar vi lugnt ovanstående formel och får följande värden:
I det tredje fallet, efter noggrann undersökning av serienumren för numren som vi fått, förstår vi att de inte är lika långt från numret vi letar efter: det är det tidigare numret, men tas bort vid en position, så det är inte möjligt att tillämpa formeln.
Hur löser man det? Det är faktiskt inte så svårt som det verkar! Låt oss skriva ner vad varje nummer som ges till oss och numret vi letar efter består av.
Så vi har och. Låt oss se vad vi kan göra med dem? Jag föreslår att du dividerar med. Vi får:
Vi ersätter vår data med formeln:
Nästa steg vi kan hitta är - för detta måste vi ta kubroten av det resulterande talet.
Låt oss nu titta igen på vad vi har. Vi har det, men vi måste hitta det, och det är i sin tur lika med:
Vi hittade all nödvändig data för beräkningen. Ersätt i formeln:
Vårt svar: .
Försök att lösa ett annat liknande problem själv:
Givet: ,
Hitta:
Hur mycket fick du? Jag har - .
Som du kan se behöver du i princip kom ihåg bara en formel- . Du kan ta ut resten själv utan problem när som helst. För att göra detta, skriv helt enkelt den enklaste geometriska progressionen på ett papper och skriv ner vad vart och ett av dess nummer är lika med, enligt formeln som beskrivs ovan.
Summan av termerna för en geometrisk progression.
Låt oss nu titta på formler som gör att vi snabbt kan beräkna summan av termer för en geometrisk progression i ett givet intervall:
För att härleda formeln för summan av termer av en ändlig geometrisk progression, multiplicera alla delar av ovanstående ekvation med. Vi får:
Titta noga: vad har de två sista formlerna gemensamt? Just det, vanliga medlemmar, till exempel, och så vidare, förutom den första och sista medlemmen. Låt oss försöka subtrahera 1:an från 2:a ekvationen. Vad fick du?
Uttryck nu termen för den geometriska progressionen genom formeln och ersätt det resulterande uttrycket med vår sista formel:
Gruppera uttrycket. Du bör få:
Allt som återstår att göra är att uttrycka:
Följaktligen i detta fall.
Tänk om? Vilken formel fungerar då? Föreställ dig en geometrisk progression vid. Hur är hon? En serie identiska siffror är korrekta, så formeln kommer att se ut så här:
Det finns många legender om både aritmetisk och geometrisk progression. En av dem är legenden om Set, skaparen av schack.
Många vet att schackspelet uppfanns i Indien. När den hinduiska kungen träffade henne var han förtjust över hennes kvickhet och de olika positioner som var möjliga i henne. Efter att ha fått reda på att det uppfanns av en av hans undersåtar, beslutade kungen att belöna honom personligen. Han kallade till sig uppfinnaren och beordrade honom att be honom om allt han ville, och lovade att uppfylla även den skickligaste önskan.
Seta bad om betänketid, och när Seta nästa dag dök upp inför kungen, överraskade han kungen med den oöverträffade blygsamheten i hans begäran. Han bad om att få ge ett vetekorn för den första rutan på schackbrädet, ett vetekorn för det andra, ett vetekorn för det tredje, ett fjärde osv.
Kungen blev arg och drev Seth iväg och sade att tjänarens begäran var ovärdig kungens generositet, men lovade att tjänaren skulle få sina korn för alla rutor på brädan.
Och nu frågan: med hjälp av formeln för summan av termerna för en geometrisk progression, beräkna hur många korn Seth ska få?
Låt oss börja resonera. Eftersom Seth, enligt villkoret, bad om ett vetekorn för den första ruta på schackbrädet, för den andra, för den tredje, för den fjärde, etc., då ser vi att problemet handlar om en geometrisk progression. Vad är det lika i det här fallet?
Höger.
Totala kvadrater på schackbrädet. Respektive. Vi har all data, allt som återstår är att koppla in den i formeln och beräkna.
För att föreställa oss åtminstone ungefär "skalan" för ett givet tal, transformerar vi med hjälp av gradens egenskaper:
Naturligtvis, om du vill, kan du ta en miniräknare och beräkna vilket nummer du slutar med, och om inte, måste du ta mitt ord för det: det slutliga värdet av uttrycket blir.
Det är:
quintillions quadrillion biljoner miljarder miljoner tusen.
Puh) Om du vill föreställa dig hur enormt det här antalet är, uppskatta hur stor en ladugård som skulle behövas för att rymma hela spannmålsmängden.
Om ladugården är m hög och m bred skulle dess längd behöva sträcka sig i km, d.v.s. dubbelt så långt som från jorden till solen.
Om kungen var stark i matematik kunde han ha bjudit in vetenskapsmannen själv att räkna kornen, för för att räkna en miljon korn skulle han behöva minst en dags outtröttlig räkning, och med tanke på att det är nödvändigt att räkna kvintiljoner, kornen skulle behöva räknas under hela hans liv.
Låt oss nu lösa ett enkelt problem som involverar summan av termer för en geometrisk progression.
En elev i klass 5A Vasya blev sjuk i influensa, men fortsätter att gå till skolan. Varje dag infekterar Vasya två personer, som i sin tur infekterar ytterligare två personer, och så vidare. Det är bara folk i klassen. Om hur många dagar kommer hela klassen att vara sjuk i influensa?
Så den första termen i den geometriska progressionen är Vasya, det vill säga en person. Den :e termen av den geometriska progressionen är de två personer som han infekterade den första dagen efter sin ankomst. Den totala summan av progressionsterminerna är lika med antalet 5A-studenter. Följaktligen talar vi om en progression där:
Låt oss ersätta våra data med formeln för summan av termerna för en geometrisk progression:
Hela klassen kommer att bli sjuk inom några dagar. Tror du inte på formler och siffror? Försök själv skildra elevernas "infektion". Hände? Titta hur det ser ut för mig:
Räkna själv ut hur många dagar det skulle ta för elever att bli sjuka i influensa om var och en smittade en person och det bara fanns en person i klassen.
Vilket värde fick du? Det visade sig att alla började bli sjuka efter en dag.
Som du kan se liknar en sådan uppgift och ritningen för den en pyramid, där varje efterföljande "tar" nya människor. Men förr eller senare kommer ett ögonblick då den senare inte kan locka någon. I vårt fall, om vi föreställer oss att klassen är isolerad, sluter personen från kedjan (). Således, om en person var inblandad i en finansiell pyramid där pengar gavs om du tog med två andra deltagare, så skulle personen (eller i allmänhet) inte ta med någon, följaktligen skulle förlora allt som de investerade i denna ekonomiska bluff.
Allt som sades ovan hänvisar till en minskande eller ökande geometrisk progression, men, som ni minns, har vi en speciell typ - en oändligt minskande geometrisk progression. Hur beräknar man summan av dess medlemmar? Och varför har denna typ av progression vissa egenskaper? Låt oss ta reda på det tillsammans.
Så låt oss först titta igen på denna ritning av en oändligt minskande geometrisk progression från vårt exempel:
Låt oss nu titta på formeln för summan av en geometrisk progression, härledd lite tidigare:
eller
Vad strävar vi efter? Det stämmer, grafen visar att den tenderar mot noll. Det vill säga att, kommer att vara nästan lika, respektive, när man beräknar uttrycket får vi nästan. I detta avseende tror vi att när man beräknar summan av en oändligt minskande geometrisk progression, kan denna konsol försummas, eftersom den kommer att vara lika.
- formeln är summan av termerna för en oändligt minskande geometrisk progression.
VIKTIG! Vi använder formeln för summan av termer av en oändligt minskande geometrisk progression endast om villkoret uttryckligen säger att vi behöver hitta summan oändlig antal medlemmar.
Om ett specifikt tal n anges använder vi formeln för summan av n termer, även om eller.
Nu ska vi öva.
- Hitta summan av de första termerna av den geometriska progressionen med och.
- Hitta summan av termerna för en oändligt minskande geometrisk progression med och.
Jag hoppas att du var extremt försiktig. Låt oss jämföra våra svar:
Nu vet du allt om geometrisk progression, och det är dags att gå från teori till praktik. De vanligaste geometriska progressionsproblemen som man stöter på vid tentamen är problem med att beräkna ränta. Det är dessa vi kommer att prata om.
Problem med att beräkna sammansatt ränta.
Du har säkert hört talas om den så kallade sammansatta ränteformeln. Förstår du vad det betyder? Om inte, låt oss ta reda på det, för när du väl förstår själva processen kommer du omedelbart att förstå vad geometrisk progression har med det att göra.
Vi går alla till banken och vet att det finns olika villkor för insättningar: detta inkluderar en löptid, tilläggstjänster och ränta med två olika sätt att beräkna det - enkelt och komplext.
MED enkel ränta allt är mer eller mindre klart: ränta uppbärs en gång vid slutet av insättningsperioden. Det vill säga, om vi säger att vi sätter in 100 rubel för ett år, kommer de att krediteras först i slutet av året. Följaktligen kommer vi att få rubel i slutet av insättningen.
Ränta på ränta- det här är ett alternativ där det händer räntekapitalisering, dvs. deras tillägg till insättningsbeloppet och efterföljande beräkning av inkomsten inte från det initiala, utan från det ackumulerade insättningsbeloppet. Kapitalisering sker inte konstant, men med viss frekvens. I regel är sådana perioder lika och oftast använder bankerna en månad, kvartal eller år.
Låt oss anta att vi sätter in samma rubel årligen, men med månatlig kapitalisering av insättningen. Vad gör vi?
Förstår du allt här? Om inte, låt oss ta reda på det steg för steg.
Vi tog med rubel till banken. I slutet av månaden bör vi ha ett belopp på vårt konto bestående av våra rubel plus ränta på dem, det vill säga:
Hålla med?
Vi kan ta det ur parentes och då får vi:
Håller med, denna formel är redan mer lik det vi skrev i början. Allt som återstår är att räkna ut procentsatserna
I problemformuleringen får vi veta om årskurser. Som ni vet multiplicerar vi inte med - vi omvandlar procenttal till decimalbråk, det vill säga:
Höger? Nu kan du fråga dig, var kom numret ifrån? Väldigt enkelt!
Jag upprepar: problemformuleringen säger om ÅRLIG ränta som uppstår EN GÅNG I MÅNADEN. Som ni vet kommer banken därför att debitera oss en del av den årliga räntan per månad inom ett år av månader:
Insåg det? Försök nu att skriva hur denna del av formeln skulle se ut om jag sa att räntan beräknas dagligen.
Klarade du dig? Låt oss jämföra resultaten:
Bra gjort! Låt oss återgå till vår uppgift: skriv hur mycket som kommer att krediteras vårt konto under den andra månaden, med hänsyn till att ränta uppkommer på det ackumulerade insättningsbeloppet.
Här är vad jag fick:
Eller med andra ord:
Jag tror att du redan har lagt märke till ett mönster och sett en geometrisk progression i allt detta. Skriv vad dess medlem kommer att vara lika med, eller, med andra ord, vilken summa pengar vi kommer att få i slutet av månaden.
Gjorde det? Låt oss kolla!
Som du kan se, om du lägger pengar på banken i ett år till en enkel ränta, kommer du att få rubel, och om till en sammansatt ränta får du rubel. Fördelen är liten, men detta händer bara under det e året, men under en längre period är kapitalisering mycket mer lönsamt:
Låt oss titta på en annan typ av problem som involverar sammansatt ränta. Efter det du har listat ut blir det elementärt för dig. Så, uppgiften:
Zvezda-företaget började investera i branschen år 2000, med kapital i dollar. Varje år sedan 2001 har den fått en vinst som är lika med föregående års kapital. Hur mycket vinst kommer Zvezda-företaget att få i slutet av 2003 om vinster inte togs ur cirkulationen?
Huvudstad i Zvezda-företaget 2000.
- kapital i Zvezda-företaget 2001.
- kapital i Zvezda-företaget 2002.
- kapital i Zvezda-företaget 2003.
Eller så kan vi skriva kort:
För vårt fall:
2000, 2001, 2002 och 2003.
Respektive:
rubel
Observera att vi i denna uppgift inte har någon division vare sig med eller efter, eftersom procentsatsen ges ÅRLIGT och beräknas ÅRLIGT. Det vill säga, när du läser ett problem om sammansatt ränta, var uppmärksam på vilken procentsats som ges och under vilken period den beräknas, och fortsätt först sedan till beräkningar.
Nu vet du allt om geometrisk progression.
Träning.
- Hitta termen för den geometriska progressionen om det är känt att, och
- Hitta summan av de första termerna av den geometriska progressionen om det är känt att, och
- MDM Capital-företaget började investera i branschen 2003, med kapital i dollar. Varje år sedan 2004 har den fått en vinst som är lika med föregående års kapital. MSK Cash Flows-företaget började investera i branschen 2005 till ett belopp av 10 000 $, och började gå med vinst 2006 på ett belopp av. Hur många dollar är kapitalet i ett företag större än det andra i slutet av 2007, om vinster inte togs ur cirkulation?
Svar:
- Eftersom problemformuleringen inte säger att progressionen är oändlig och det krävs för att hitta summan av ett specifikt antal av dess termer, utförs beräkningen enligt formeln:
MDM Capital Company:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- ökar med 100%, det vill säga 2 gånger.
Respektive:
rubel
MSK Cash Flows företag:2005, 2006, 2007.
- ökar med, det vill säga med gånger.
Respektive:
rubel
rubel
Låt oss sammanfatta.
1) Geometrisk progression ( ) är en numerisk sekvens, vars första term skiljer sig från noll, och varje term, med början från den andra, är lika med den föregående, multiplicerad med samma tal. Detta tal kallas nämnaren för en geometrisk progression.
2) Ekvationen för termerna för den geometriska progressionen är .
3) kan ta alla värden utom och.
- om, då alla efterföljande termer av progressionen har samma tecken - de är positiva;
- om, då alla efterföljande termer av progressionen alternativa tecken;
- när – progressionen kallas oändligt avtagande.
4) , at – egenskapen för geometrisk progression (intilliggande termer)
eller
, vid (lika avstånd)
När du hittar det, glöm inte det det borde finnas två svar.
Till exempel,
5) Summan av termerna för den geometriska progressionen beräknas med formeln:
eller
eller
VIKTIG! Vi använder formeln för summan av termer av en oändligt minskande geometrisk progression endast om villkoret uttryckligen säger att vi behöver hitta summan av ett oändligt antal termer.
6) Problem på sammansatt ränta beräknas också med hjälp av formeln för den e termen av en geometrisk progression, förutsatt att medel inte har tagits ur cirkulation:
GEOMETRISK PROGRESSION. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA
Geometrisk progression( ) är en numerisk sekvens, vars första term skiljer sig från noll, och varje term, med början från den andra, är lika med den föregående, multiplicerad med samma tal. Detta nummer kallas nämnare för en geometrisk progression.
Nämnare för geometrisk progression kan ta vilket värde som helst förutom och.
- Om alla efterföljande termer av progressionen har samma tecken - de är positiva;
- om då alla efterföljande medlemmar av progressionen växlar tecken;
- när – progressionen kallas oändligt avtagande.
Ekvation av termer för geometrisk progression - .
Summan av termer för en geometrisk progression beräknas med formeln:
eller
Om progressionen minskar oändligt, då:
DE ÅTERSTÅENDE 2/3 ARTIKLAR ÄR ENDAST TILLGÄNGLIGA FÖR DINA STUDENTER!
Bli en YouClever-student,
Förbered dig för Unified State Exam eller Unified State Exam i matematik till priset av "en kopp kaffe per månad",
Och få även obegränsad tillgång till "YouClever"-läroboken, "100gia"-förberedelseprogrammet (lösarbok), ett obegränsat prov på Unified State Exam och Unified State Exam, 6000 problem med analys av lösningar och andra YouClever- och 100gia-tjänster.
Lektion om ämnet "Oändligt minskande geometrisk progression"
Syftet med lektionen: introducerar eleverna för en ny typ av sekvens - en oändligt minskande geometrisk progression.
Uppgifter:
formulera en första idé om gränsen för en numerisk sekvens; bekantskap med ett annat sätt att omvandla oändliga periodiska bråk till vanliga med formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression;
utveckling av intellektuella egenskaper hos skolbarns personlighet såsom logiskt tänkande, förmåga att göra utvärderande handlingar och generalisering;
främjande av aktivitet, ömsesidig hjälp, kollektivism och intresse för ämnet.
Utrustning: datorklass, projektor, duk.
Lektionstyp: lektion - lära sig ett nytt ämne.
Under lektionerna
jag . Org. ögonblick. Ange ämnet och syftet med lektionen.
II . Uppdatering av elevers kunskaper.1. Kontrollera läxor.
1) Kontrollera grundläggande formler relaterade till aritmetiska och geometriska progressioner. Två elever förbereder anteckningar om formler vid svarta tavlan.
2) Det gör resten av eleverna matematisk diktering på ämnet "Sumformler".
Uppgifter:
№1. Hitta summan av de första fem termerna i en aritmetisk progression om dess första term är 6 (1:a alternativet), -20 (2:a alternativet), och den femte termen är -6 (1:a alternativet), 20 (2:a alternativet).
№2. Hitta summan av de första fem termerna i en aritmetisk progression om dess första term är -20 (alternativ 1), 6 (alternativ 2) och skillnaden är 10 (alternativ 1), -3 (alternativ 2).
№3. Hitta summan av de första fem termerna i en geometrisk progression om dess första term är lika med 1 (1:a alternativet), -1 (2:a alternativet), och nämnaren är -2 (1:a alternativet), 2 (2:a alternativet).
I slutet av diktatet kontrolleras två elevers arbete selektivt för bedömning, resten utför ett självtest med hjälp av färdiga lösningar skrivna på tavlans flikar.
Lösningar:
Uppgifter
1. Aritmetisk progression ges av formeln a n = 7 – 4 n. Hitta a 10 . (-33)
2. I aritmetisk progression a 3 = 7 Och a 5 = 1 . Hitta a 4 . (4)
3. I aritmetisk progression a 3 = 7 Och a 5 = 1 . Hitta a 17 . (-35)
4. I aritmetisk progression a 3 = 7 Och a 5 = 1 . Hitta S 17 . (-187)
5. För geometrisk progression 
hitta den femte termen. 
6. För geometrisk progression hitta n medlemmen. 
7. Exponentiellt b 3 = 8 Och b 5 = 2 . Hitta b 4 . (4)
8. Exponentiellt b
3
= 8
Och b
5
= 2
. Hitta b
1
Och
q
. 
9. Exponentiellt b 3 = 8 Och b 5 = 2 . Hitta S 5 . (62)
III . Att lära sig ett nytt ämne(demonstration av presentation).
Betrakta en kvadrat med en sida lika med 1. Låt oss rita en annan ruta vars sida är hälften så stor som den första rutan, sedan en annan vars sida är hälften av den andra, sedan nästa osv. Varje gång är sidan på den nya kvadraten lika med hälften av den föregående.
Som ett resultat fick vi en sekvens av sidor av rutor 
bildar en geometrisk progression med nämnaren .
Och det som är väldigt viktigt, ju mer vi bygger sådana rutor, desto mindre blir sidan av torget. Till exempel,
De där. När antalet n ökar närmar sig termerna för progressionen noll.
Med hjälp av denna figur kan du överväga en annan sekvens.
Till exempel, sekvensen av områden med kvadrater:
. Och igen, om nökar oändligt, sedan närmar sig området noll så nära du vill.
Låt oss titta på ett annat exempel. En liksidig triangel med sidor lika med 1 cm. Låt oss konstruera följande triangel med hörnen i mittpunkterna på sidorna i den första triangeln, enligt satsen om triangelns mittlinje - sidan av den 2:a är lika med halva sidan av den första, sidan av den 3:e är lika med halva sidan av 2:an osv. Återigen får vi en sekvens av längder av trianglarnas sidor.
på 
.
Om vi betraktar en geometrisk progression med en negativ nämnare.
Sedan, igen, med ökande antal n termer av progressionen närmar sig noll.
Låt oss vara uppmärksamma på nämnare för dessa sekvenser. Överallt var nämnarna mindre än 1 i absolut värde.
Vi kan dra slutsatsen: en geometrisk progression kommer att minska oändligt om modulen för dess nämnare är mindre än 1.
Frontalarbete.
Definition:
En geometrisk progression sägs vara oändligt avtagande om modulen för dess nämnare är mindre än en. 
.
Med hjälp av definitionen kan du bestämma om en geometrisk progression minskar oändligt eller inte.
Uppgift
Är sekvensen en oändligt minskande geometrisk progression om den ges av formeln:
; 
.
Lösning:
. Vi hittar q
.
; 
; 
; 
.
denna geometriska progression minskar oändligt.
b) denna sekvens är inte en oändligt avtagande geometrisk progression.
Betrakta en kvadrat med en sida lika med 1. Dela den på mitten, en av halvorna på mitten osv. Arean av alla resulterande rektanglar bildar en oändligt minskande geometrisk progression: 
Summan av areorna för alla rektanglar som erhålls på detta sätt kommer att vara lika med arean av den första kvadraten och lika med 1. 
Men på vänster sida av denna likhet finns summan av ett oändligt antal termer.
Låt oss betrakta summan av de första n termerna. 
Enligt formeln för summan av de första n termerna i en geometrisk progression är den lika med 
.
Om nökar utan gräns alltså
eller 
. Det är därför 
, dvs. 
.
Summan av en oändligt minskande geometrisk progression det finns en sekvensgräns S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .
Till exempel för progression 
,
Därför att 
Summan av en oändligt minskande geometrisk progression kan hittas med hjälp av formeln 
.
III . Förståelse och konsolidering(slutföra uppgifter).
Uppgift nr 2. Hitta summan av en oändligt minskande geometrisk progression där den första termen är 3 och den andra termen är 0,3.
Lösning:
Uppgift nr 3. lärobok, s. 160, nr 433(1)
Hitta summan av en oändligt minskande geometrisk progression:
Lösning:
Uppgift nr 4. Skriv det oändliga periodiska decimalbråket 0,(5) som ett gemensamt bråktal.
1:a metoden. Låt x=0,(5)= 0,555... / 10 2:a metoden. 0,(5)=0,555…=
Uppgift nr 5. lärobok, s. 162, nr 445(3) (oberoende lösning)
Skriv det oändliga periodiska decimalbråket 0,(12) som ett gemensamt bråktal.
Svar: 0,(12)= 4/33.
IV . Sammanfattande.
Vilken sekvens bekantade du dig med idag?
Definiera en oändligt minskande geometrisk progression.
Hur bevisar man att en geometrisk progression minskar oändligt?
Ge formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression.
V . Läxa.
Låt oss nu överväga frågan om att summera en oändlig geometrisk progression. Låt oss kalla delsumman av en given oändlig progression summan av dess första termer. Låt oss beteckna delsumman med symbolen
För varje oändlig utveckling
man kan komponera en (också oändlig) sekvens av dess delsummor
Låt en sekvens med obegränsad ökning ha en gräns
I detta fall kallas talet S, det vill säga gränsen för delsummor av en progression, summan av en oändlig progression. Vi kommer att bevisa att en oändligt minskande geometrisk progression alltid har en summa, och vi kommer att härleda en formel för denna summa (vi kan också visa att om en oändlig progression inte har någon summa, så finns den inte).
Låt oss skriva uttrycket för delsumman som summan av termer av progressionen med formeln (91.1) och betrakta gränsen för delsumman vid
Från sats 89 är det känt att för en minskande progression; därför, med tillämpning av skillnadsgränssatsen, finner vi
(här används även regeln: konstantfaktorn tas bortom gränstecknet). Existensen är bevisad, och samtidigt erhålls formeln för summan av en oändligt minskande geometrisk progression:
Jämställdhet (92.1) kan också skrivas i formen
Här kan det tyckas paradoxalt att summan av ett oändligt antal termer tilldelas ett mycket bestämt ändligt värde.
En tydlig illustration kan ges för att förklara denna situation. Betrakta en kvadrat med en sida lika med en (bild 72). Dela denna kvadrat med en horisontell linje i två lika delar och fäst den övre delen på den nedre så att en rektangel bildas med sidorna 2 och . Efter detta kommer vi återigen att dela den högra halvan av denna rektangel på mitten med en horisontell linje och fästa den övre delen på den nedre (som visas i fig. 72). Genom att fortsätta denna process omvandlar vi kontinuerligt den ursprungliga kvadraten med area lika med 1 till lika stora figurer (i form av en trappa med uttunningssteg).
Med den oändliga fortsättningen av denna process bryts hela arean av kvadraten upp i ett oändligt antal termer - områdena av rektanglar med baser lika med 1 och höjder. Arean av rektanglar bildar exakt en oändligt minskande progression, dess summa
dvs, som man kan förvänta sig, lika med torgets yta.
Exempel. Hitta summan av följande oändliga progressioner:
Lösning, a) Vi märker att denna progression Därför, med hjälp av formel (92.2) finner vi
b) Här betyder det att vi använder samma formel (92.2).
c) Vi finner att denna progression därför inte har någon summa.
I punkt 5 visades tillämpningen av formeln för summan av termer av en oändligt minskande progression till omvandlingen av ett periodiskt decimalbråk till ett vanligt bråktal.
Övningar
1. Summan av en oändligt minskande geometrisk progression är 3/5, och summan av dess första fyra termer är 13/27. Hitta den första termen och nämnaren för progressionen.
2. Hitta fyra tal som bildar en alternerande geometrisk progression, där den andra termen är mindre än den första med 35, och den tredje är större än den fjärde med 560.
3. Visa att om sekvensen
bildar en oändligt minskande geometrisk progression, sedan sekvensen
för vilken som helst bildar den en oändligt minskande geometrisk progression. Kommer detta uttalande att stämma när
Härled en formel för produkten av termerna för en geometrisk progression.
Formeln för den n:e termen i en geometrisk progression är mycket enkel. Både i betydelse och i det allmänna utseendet. Men det finns alla möjliga problem med formeln för den n:e termen - från mycket primitivt till ganska allvarligt. Och i processen för vår bekantskap kommer vi definitivt att överväga båda. Nåväl, låt oss bekanta oss?)
Så till att börja med faktiskt formeln
Här är hon:
b n = b 1 · qn -1
Formeln är bara en formel, inget övernaturligt. Det ser ännu enklare och mer kompakt ut än en liknande formel för. Innebörden av formeln är också lika enkel som filtstövlar.
Denna formel låter dig hitta ALLA medlem i en geometrisk progression EFTER DESS NUMMER " n".
Som du kan se är betydelsen fullständig analogi med en aritmetisk progression. Vi känner till talet n - vi kan även räkna termen under denna siffra. Vilken vi än vill. Utan att upprepade gånger multiplicera med "q" många, många gånger. Det är hela poängen.)
Jag förstår att på den här nivån av att arbeta med progressioner borde alla kvantiteter som ingår i formeln redan vara tydliga för dig, men jag anser fortfarande att det är min plikt att dechiffrera var och en. För säkerhets skull.
Nu kör vi:
b 1 – först term för geometrisk progression;
q – ;
n- medlemsnummer;
b n – n:a (nth) term för en geometrisk progression.
Denna formel kopplar samman de fyra huvudparametrarna för varje geometrisk progression - bn, b 1 , q Och n. Och alla progressionsproblem kretsar kring dessa fyra nyckeltal.
"Hur tas det bort?"– Jag hör en nyfiken fråga... Elementärt! Se!
Vad är lika med andra medlem av progressionen? Inga problem! Vi skriver direkt:
b 2 = b 1 · q
Hur är det med den tredje medlemmen? Inte ett problem heller! Vi multiplicerar den andra termen än en gång påq.
Så här:
B 3 = b 2 q
Låt oss nu komma ihåg att den andra termen i sin tur är lika med b 1 ·q och ersätter detta uttryck med vår likhet:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Vi får:
B 3 = b 1 ·q 2
Låt oss nu läsa vårt inlägg på ryska: tredje term är lika med den första termen multiplicerad med q in andra grader. Förstår du? Inte än? Okej, ett steg till.
Vad är den fjärde termen? Alla likadana! Multiplicera tidigare(dvs den tredje termen) på q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Total:
B 4 = b 1 ·q 3
Och återigen översätter vi till ryska: fjärde term är lika med den första termen multiplicerad med q in tredje grader.
Och så vidare. Så hur är det? Har du fångat mönstret? Ja! För alla termer med valfritt tal kommer antalet identiska faktorer q (dvs. graden av nämnaren) alltid att vara en mindre än numret på den önskade medlemmenn.
Därför kommer vår formel att vara, utan variationer:
bn =b 1 · qn -1
Det är allt.)
Tja, låt oss lösa problemen, antar jag?)
Lösa formelproblemntermen av en geometrisk progression.
Låt oss börja, som vanligt, med den direkta tillämpningen av formeln. Här är ett typiskt problem:
I geometrisk progression är det känt att b 1 = 512 och q = -1/2. Hitta den tionde termen i progressionen.
Naturligtvis kan detta problem lösas utan några formler alls. Direkt i betydelsen geometrisk progression. Men vi måste värma upp med formeln för den n:e terminen, eller hur? Här värmer vi upp.
Våra data för att tillämpa formeln är följande.
Den första medlemmen är känd. Det här är 512.
b 1 = 512.
Nämnaren för progressionen är också känd: q = -1/2.
Allt som återstår är att ta reda på vad antalet medlem n är. Inga problem! Är vi intresserade av den tionde terminen? Så vi ersätter tio istället för n i den allmänna formeln.
Och beräkna noggrant aritmetiken:
Svar: -1
Som du kan se visade sig den tionde terminen av progressionen vara minus. Inget förvånande: vår progressionsnämnare är -1/2, dvs. negativ siffra. Och detta säger oss att tecknen på vår utveckling växlar, ja.)
Allt är enkelt här. Här är ett liknande problem, men lite mer komplicerat när det gäller beräkningar.
I geometrisk progression är det känt att:
b 1 = 3
Hitta den trettonde termen i progressionen.
Allt är sig likt, bara den här gången är nämnaren för progressionen irrationell. Roten av två. Det är okej. Formeln är en universell sak, den kan hantera alla siffror.
Vi arbetar direkt enligt formeln:
Formeln fungerade så klart som den skulle, men... det är här som vissa fastnar. Vad ska man göra sedan med roten? Hur höjer man en rot till tolfte makten?
Hur-hur... Du måste förstå att vilken formel som helst, så klart är bra, men kunskaper om all tidigare matematik upphävs inte! Hur man bygger? Ja, kom ihåg gradernas egenskaper! Låt oss förvandla roten till bråkdelgrad och – enligt formeln för att höja en grad till en grad.
Så här:
Svar: 192
Och det är allt.)
Vad är den största svårigheten med att direkt tillämpa den n:te termformeln? Ja! Den största svårigheten är jobbar med examina! Nämligen att höja negativa tal, bråk, rötter och liknande konstruktioner till potenser. Så de som har problem med detta får gärna upprepa graderna och deras egenskaper! Annars kommer du att sakta ner detta ämne också, ja...)
Låt oss nu lösa typiska sökproblem ett av elementen i formeln, om alla andra ges. För att framgångsrikt lösa sådana problem är receptet enhetligt och fruktansvärt enkelt - skriv formelnn-e medlem i allmänhet! Precis i anteckningsboken bredvid skicket. Och sedan från tillståndet räknar vi ut vad som ges till oss och vad som saknas. Och vi uttrycker det önskade värdet från formeln. Allt!
Till exempel ett sådant ofarligt problem.
Den femte termen i en geometrisk progression med nämnare 3 är 567. Hitta den första termen i denna progression.
Inget komplicerat. Vi arbetar direkt enligt besvärjelsen.
Låt oss skriva formeln för den n:e termen!
b n = b 1 · qn -1
Vad har vi fått? Först ges nämnaren för progressionen: q = 3.
Dessutom är vi givna femte medlem: b 5 = 567 .
Allt? Nej! Vi har också fått nummer n! Detta är fem: n = 5.
Jag hoppas att du redan förstår vad som står i inspelningen b 5 = 567 två parametrar är dolda samtidigt - detta är den femte termen i sig (567) och dess nummer (5). Jag har redan pratat om detta i en liknande lektion, men jag tycker att det är värt att nämna här också.)
Nu ersätter vi vår data med formeln:
567 = b 1 ·3 5-1
Vi gör aritmetiken, förenklar och får en enkel linjär ekvation:
81 b 1 = 567
Vi löser och får:
b 1 = 7
Som du kan se är det inga problem med att hitta den första termen. Men när man söker efter nämnaren q och siffror n Det kan också finnas överraskningar. Och du måste också vara beredd på dem (överraskningar), ja.)
Till exempel detta problem:
Den femte termen i en geometrisk progression med en positiv nämnare är 162, och den första termen i denna progression är 2. Hitta progressionens nämnare.
Den här gången får vi den första och femte termen och ombeds hitta nämnaren för progressionen. Nu kör vi.
Vi skriver formelnnmedlem!
b n = b 1 · qn -1
Våra initiala uppgifter kommer att vara följande:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Saknat värde q. Inga problem! Låt oss hitta det nu.) Vi ersätter allt vi vet i formeln.
Vi får:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
En enkel ekvation av fjärde graden. Och nu - försiktigt! I detta skede av lösningen extraherar många studenter omedelbart med glädje roten (av fjärde graden) och får svaret q=3 .
Så här:
q4 = 81
q = 3
Men i själva verket är detta ett oavslutat svar. Mer exakt, ofullständig. Varför? Poängen är att svaret q = -3 passar också: (-3) 4 blir också 81!
Detta beror på maktekvationen x n = a alltid har två motsatta rötter på ävenn . Med plus och minus:
Båda är lämpliga.
Till exempel, när man beslutar (dvs. andra grader)
x 2 = 9
Av någon anledning är du inte förvånad över utseendet två rötter x=±3? Det är samma sak här. Och med någon annan även grad (fjärde, sjätte, tionde, etc.) kommer att vara densamma. Detaljer finns i ämnet om
Därför skulle den korrekta lösningen vara:
q 4 = 81
q= ±3
Okej, vi har sorterat ut skyltarna. Vilken är rätt - plus eller minus? Nåväl, låt oss läsa problemformuleringen igen på jakt efter ytterligare information. Naturligtvis kanske det inte finns, men i detta problem sådan information tillgängliga. Vårt villkor anger i klartext att en progression ges med positiv nämnare.
Därför är svaret självklart:
q = 3
Allt är enkelt här. Vad tror du skulle hända om problemformuleringen var så här:
Den femte termen i en geometrisk progression är 162, och den första termen i denna progression är 2. Hitta progressionens nämnare.
Vad är skillnaden? Ja! I skick Ingenting nämnarens tecken nämns inte. Varken direkt eller indirekt. Och här skulle problemet redan ha två lösningar!
q = 3 Och q = -3
Jaja! Både med plus och minus.) Matematiskt skulle detta faktum innebära att det finns två framsteg, som passar förhållandena för problemet. Och var och en har sin egen nämnare. Bara för skojs skull, öva och skriv ut de första fem termerna av varje.)
Låt oss nu öva på att hitta medlemsnummer. Det här problemet är det svåraste, ja. Men också mer kreativ.)
Givet en geometrisk progression:
3; 6; 12; 24; …
Vilket nummer i den här fortsättningen är talet 768?
Det första steget är fortfarande detsamma: skriv formelnnmedlem!
b n = b 1 · qn -1
Och nu, som vanligt, byter vi in den information vi känner till. Hm... det går inte! Var är den första termen, var är nämnaren, var är allt annat?!
Var, var... Varför behöver vi ögon? flaxa dina ögonfransar? Denna gång ges progressen till oss direkt i formuläret sekvenser. Kan vi se den första medlemmen? Vi ser! Detta är en trippel (b 1 = 3). Hur är det med nämnaren? Vi ser det inte än, men det är väldigt lätt att räkna. Om du förstår...
Så vi räknar. Direkt enligt betydelsen av en geometrisk progression: vi tar någon av dess termer (förutom den första) och dividerar med den föregående.
Åtminstone så här:
q = 24/12 = 2
Vad vet vi mer? Vi känner också till någon term för denna progression, lika med 768. Under något nummer n:
b n = 768
Vi vet inte hans nummer, men vår uppgift är just att hitta honom.) Så vi letar. Vi har redan laddat ner all nödvändig data för substitution till formeln. Utan att du själv vet.)
Här ersätter vi:
768 = 3 2n -1
Låt oss göra de elementära - dela båda sidorna med tre och skriv om ekvationen i den vanliga formen: det okända är till vänster, det kända är till höger.
Vi får:
2 n -1 = 256
Detta är en intressant ekvation. Vi måste hitta "n". Vad, ovanligt? Ja, jag bråkar inte. Egentligen är detta det enklaste. Det kallas så för att det okända (i det här fallet är det numret n) kostar in indikator grader.
I stadiet av att lära sig om geometrisk progression (detta är nionde klass), lär de dig inte hur man löser exponentiala ekvationer, ja... Det här är ett ämne för gymnasiet. Men det är inget skrämmande. Även om du inte vet hur sådana ekvationer löses, låt oss försöka hitta vår n, styrd av enkel logik och sunt förnuft.
Låt oss börja prata. Till vänster har vi en tvåa till en viss grad. Vi vet ännu inte exakt vad den här graden är, men det är inte skrämmande. Men vi vet med säkerhet att denna grad är lika med 256! Så vi minns i vilken utsträckning en tvåa ger oss 256. Kommer du ihåg? Ja! I åttonde grader!
256 = 2 8
Om du inte kommer ihåg eller har problem med att känna igen graderna är det också okej: bara ruta två, kub, fjärde, femte, och så vidare. Urval, faktiskt, men på den här nivån kommer att fungera ganska bra.
På ett eller annat sätt får vi:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Så 768 är nionde medlem av vår progression. Det var allt, problemet löst.)
Svar: 9
Vad? Tråkig? Trött på elementära grejer? Hålla med. Och jag också. Låt oss gå till nästa nivå.)
Mer komplexa uppgifter.
Låt oss nu lösa mer utmanande problem. Inte direkt supercool, men sådana som kräver lite arbete för att komma fram till svaret.
Till exempel den här.
Hitta den andra termen i en geometrisk progression om dess fjärde term är -24 och dess sjunde term är 192.
Detta är en klassiker i genren. Några två olika termer för progressionen är kända, men en annan term måste hittas. Dessutom är alla medlemmar INTE grannar. Vilket är förvirrande i början, ja...
Som i, för att lösa sådana problem kommer vi att överväga två metoder. Den första metoden är universell. Algebraisk. Fungerar felfritt med alla källdata. Så det är där vi börjar.)
Vi beskriver varje term enligt formeln nmedlem!
Allt är exakt detsamma som med en aritmetisk progression. Bara den här gången jobbar vi med annan allmän formel. Det är allt.) Men kärnan är densamma: vi tar och en och en Vi ersätter våra initiala data med formeln för den n:e termen. För varje medlem - sin egen.
För fjärde terminen skriver vi:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Äta. En ekvation är klar.
För den sjunde terminen skriver vi:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Totalt fick vi två ekvationer för samma progression .
Vi sätter ihop ett system från dem:
Trots sitt hotfulla utseende är systemet ganska enkelt. Den mest uppenbara lösningen är enkel substitution. Vi uttrycker b 1 från den övre ekvationen och ersätt den med den nedre:
Efter att ha pillat lite med bottenekvationen (minskat potenserna och dividerat med -24) får vi:
q 3 = -8
Förresten, samma ekvation kan man komma fram till på ett enklare sätt! Vilken? Nu ska jag visa dig ett annat hemligt, men väldigt vackert, kraftfullt och användbart sätt att lösa sådana system. Sådana system, vars ekvationer inkluderar fungerar bara.Åtminstone i en. Kallad divisionsmetod en ekvation till en annan.
Så vi har ett system framför oss:
I båda ekvationerna till vänster - arbete, och till höger är bara en siffra. Detta är ett mycket bra tecken.) Låt oss ta det och... dividera, säg, den nedre ekvationen med den övre! Vad betyder, låt oss dividera en ekvation med en annan? Väldigt enkelt. Låt oss ta det vänster sida en ekvation (lägre) och dela upp henne på vänster sida en annan ekvation (övre). Den högra sidan är liknande: höger sida en ekvation dela upp på höger sida annan.
Hela uppdelningsprocessen ser ut så här:
När vi nu minskar allt som kan minskas får vi:
q 3 = -8
Vad är bra med den här metoden? Ja, för i processen med en sådan uppdelning kan allt dåligt och obekvämt säkert reduceras och en helt ofarlig ekvation kvarstår! Det är därför det är så viktigt att ha endast multiplikation i åtminstone en av systemets ekvationer. Det finns ingen multiplikation - det finns inget att reducera, ja...
I allmänhet förtjänar denna metod (som många andra icke-triviala metoder för att lösa system) till och med en separat lektion. Jag ska definitivt titta närmare på det. Någon dag…
Men det spelar ingen roll hur exakt du löser systemet, i alla fall, nu måste vi lösa den resulterande ekvationen:
q 3 = -8
Inga problem: extrahera kubroten och du är klar!
Observera att du inte behöver sätta ett plus/minus här när du extraherar. Vår rot är av udda (tredje) grad. Och svaret är också detsamma, ja.)
Så, nämnaren för progressionen har hittats. Minus två. Bra! Processen pågår.)
För den första termen (säg från den övre ekvationen) får vi:
Bra! Vi känner den första termen, vi känner till nämnaren. Och nu har vi möjlighet att hitta vilken medlem som helst i progressionen. Inklusive den andra.)
För den andra termen är allt ganska enkelt:
b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6
Svar: -6
Så vi har brutit ner den algebraiska metoden för att lösa problemet. Svår? Inte riktigt, jag håller med. Långt och tråkigt? Ja definitivt. Men ibland kan man minska arbetet avsevärt. För detta finns grafisk metod. God gammal och bekant för oss.)
Låt oss rita ett problem!
Ja! Exakt. Återigen skildrar vi vår utveckling på talaxeln. Det är inte nödvändigt att följa en linjal, det är inte nödvändigt att hålla lika intervall mellan termerna (vilket förresten inte kommer att vara detsamma, eftersom progressionen är geometrisk!), utan helt enkelt schematiskt Låt oss rita vår sekvens.
Jag fick det så här:
Titta nu på bilden och ta reda på det. Hur många identiska faktorer "q" separerar fjärde Och sjunde medlemmar? Just det, tre!
Därför har vi all rätt att skriva:
-24·q 3 = 192
Härifrån är det nu lätt att hitta q:
q 3 = -8
q = -2
Det är bra, vi har redan nämnaren i fickan. Låt oss nu titta på bilden igen: hur många sådana nämnare sitter mellan andra Och fjärde medlemmar? Två! För att registrera sambandet mellan dessa termer kommer vi därför att konstruera nämnaren kvadrat.
Så vi skriver:
b 2 · q 2 = -24 , var b 2 = -24/ q 2
Vi ersätter vår hittade nämnare i uttrycket för b 2, räkna och få:
Svar: -6
Som du kan se är allt mycket enklare och snabbare än genom systemet. Dessutom, här behövde vi inte ens räkna den första termen alls! Alls.)
Här är ett så enkelt och visuellt vägljus. Men det har också en allvarlig nackdel. Gissade du det? Ja! Det är bara bra för mycket korta bitar av progression. De där avstånden mellan medlemmarna av intresse för oss inte är särskilt stora. Men i alla andra fall är det redan svårt att rita en bild, ja... Då löser vi problemet analytiskt, genom systemet.) Och system är universella saker. De kan hantera vilka siffror som helst.
Ännu en episk utmaning:
Den andra termen i den geometriska progressionen är 10 mer än den första, och den tredje termen är 30 mer än den andra. Hitta nämnaren för progressionen.
Vadå, coolt? Inte alls! Alla likadana. Återigen översätter vi problemformuleringen till ren algebra.
1) Vi beskriver varje term enligt formeln nmedlem!
Andra termen: b 2 = b 1 q
Tredje termen: b 3 = b 1 q 2
2) Vi skriver ner sambandet mellan medlemmarna från problemformuleringen.
Vi läser villkoret: "Den andra termen i den geometriska progressionen är 10 större än den första." Sluta, det här är värdefullt!
Så vi skriver:
b 2 = b 1 +10
Och vi översätter den här frasen till ren matematik:
b 3 = b 2 +30
Vi har två ekvationer. Låt oss kombinera dem till ett system:
Systemet ser enkelt ut. Men det finns för många olika index för bokstäverna. Låt oss istället för den andra och tredje termen ersätta deras uttryck med den första termen och nämnaren! Var det förgäves vi målade dem?
Vi får:
Men ett sådant system är inte längre en gåva, ja... Hur löser man detta? Tyvärr finns det ingen universell hemlig besvärjelse för att lösa komplex olinjär Det finns inga system i matematik och det kan det inte finnas. Det är fantastiskt! Men det första du bör tänka på när du försöker knäcka en så tuff nöt är att lista ut Men är inte en av systemets ekvationer reducerad till en vacker form som gör att man till exempel enkelt kan uttrycka en av variablerna i termer av en annan?
Låt oss ta reda på det. Systemets första ekvation är klart enklare än den andra. Vi kommer att tortera honom.) Borde vi inte försöka från den första ekvationen något uttrycka genom något? Eftersom vi vill hitta nämnaren q, då vore det mest fördelaktigt för oss att uttrycka b 1 genom q.
Så låt oss försöka göra denna procedur med den första ekvationen, med de gamla goda:
b q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Allt! Så vi uttryckte onödig ge oss variabeln (b 1) genom nödvändig(q). Ja, det är inte det enklaste uttrycket vi har. Någon slags bråkdel... Men vårt system håller en hyfsad nivå, ja.)
Typisk. Vi vet vad vi ska göra.
Vi skriver ODZ (Nödvändigtvis!) :
q ≠ 1
Vi multiplicerar allt med nämnaren (q-1) och tar bort alla bråk:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Vi delar allt med tio, öppnar fästena och samlar allt från vänster:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Vi löser resultatet och får två rötter:
q 1 = 1
q 2 = 3
Det finns bara ett sista svar: q = 3 .
Svar: 3
Som du kan se är vägen till att lösa de flesta problem som involverar formeln för den n:e termen i en geometrisk progression alltid densamma: läs uppmärksamt problemets tillstånd och med hjälp av formeln för den n:e termen översätter vi all användbar information till ren algebra.
Nämligen:
1) Vi beskriver separat varje term som ges i problemet enligt formelnnmedlemmen.
2) Från problemets villkor översätter vi sambandet mellan medlemmarna till matematisk form. Vi komponerar en ekvation eller ett ekvationssystem.
3) Vi löser den resulterande ekvationen eller ekvationssystemet, hittar de okända parametrarna för progressionen.
4) Om du får ett tvetydigt svar, läs noggrant igenom uppgiftsvillkoren för att leta efter ytterligare information (om någon). Vi kontrollerar också det mottagna svaret med villkoren i DL (om några).
Låt oss nu lista de viktigaste problemen som oftast leder till fel i processen att lösa geometriska progressionsproblem.
1. Elementär aritmetik. Operationer med bråk och negativa tal.
2. Om det finns problem med minst en av dessa tre punkter, kommer du oundvikligen att göra misstag i detta ämne. Tyvärr... Så var inte lat och upprepa det som nämndes ovan. Och följ länkarna - gå. Ibland hjälper det.)
Modifierade och återkommande formler.
Låt oss nu titta på ett par typiska provproblem med en mindre bekant presentation av tillståndet. Ja, ja, du gissade rätt! Detta ändrad Och återkommande n:te termformler. Vi har redan stött på sådana formler och arbetat med aritmetisk progression. Allt är sig likt här. Kärnan är densamma.
Till exempel detta problem från OGE:
Den geometriska progressionen ges av formeln b n = 3 2 n . Hitta summan av dess första och fjärde term.
Den här gången är utvecklingen inte riktigt som vanligt för oss. I form av någon form av formel. Än sen då? Denna formel är också en formelnmedlem! Du och jag vet att formeln för den n:e termen kan skrivas både i allmän form, med bokstäver och för specifik progression. MED specifik första termen och nämnaren.
I vårt fall får vi faktiskt en generell termformel för en geometrisk progression med följande parametrar:
b 1 = 6
q = 2
Låt oss kolla?) Låt oss skriva ner formeln för den n:e termen i allmän form och ersätta den med b 1 Och q. Vi får:
b n = b 1 · qn -1
b n= 6 2n -1
Vi förenklar med hjälp av faktorisering och egenskaper hos potenser, och vi får:
b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Som du kan se är allt rättvist. Men vårt mål är inte att visa härledning av en specifik formel. Detta är så, en lyrisk utvikning. Rent för förståelse.) Vårt mål är att lösa problemet enligt den formel som ges till oss i tillståndet. Förstår du det?) Så vi arbetar med den modifierade formeln direkt.
Vi räknar första terminen. Låt oss ersätta n=1 i den allmänna formeln:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Så här. Förresten, jag kommer inte att vara lat och återigen uppmärksamma dig på ett typiskt misstag med beräkningen av den första termen. GÖR INTE, titta på formeln b n= 3 2n, skynda genast att skriva att den första termen är en trea! Detta är ett grovt misstag, ja...)
Låt oss fortsätta. Låt oss ersätta n=4 och räkna den fjärde termen:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Och slutligen beräknar vi det nödvändiga beloppet:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Svar: 54
Ett annat problem.
Den geometriska progressionen specificeras av villkoren:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Hitta den fjärde termen i progressionen.
Här ges progressionen av en återkommande formel. Tja, okej.) Hur man arbetar med denna formel – det vet vi också.
Så vi agerar. Steg för steg.
1) Räkna två i följd medlem av progressionen.
Den första mandatperioden har vi redan fått. Minus sju. Men nästa, andra term, kan enkelt beräknas med hjälp av återfallsformeln. Om du förstår principen för dess funktion, naturligtvis.)
Så vi räknar den andra termen enligt den välkända första:
b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21
2) Beräkna nämnaren för progressionen
Inga problem heller. Rakt, låt oss dela andra kuk på först.
Vi får:
q = -21/(-7) = 3
3) Skriv formelnnledamot i vanlig form och beräkna erforderlig medlem.
Så vi känner till den första termen, och det gör nämnaren också. Så vi skriver:
b n= -7·3n -1
b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Svar: -189
Som du kan se skiljer sig arbetet med sådana formler för en geometrisk progression i huvudsak inte från det för en aritmetisk progression. Det är bara viktigt att förstå den allmänna essensen och innebörden av dessa formler. Jo, du måste också förstå innebörden av geometrisk progression, ja.) Och då blir det inga dumma misstag.
Tja, låt oss bestämma själva?)
Mycket grundläggande uppgifter för uppvärmning:
1. Givet en geometrisk progression där b 1 = 243, a q = -2/3. Hitta den sjätte termen i progressionen.
2. Den allmänna termen för den geometriska progressionen ges av formeln b n = 5∙2 n +1 . Hitta numret på den sista tresiffriga termen i denna progression.
3. Geometrisk progression ges av förhållandena:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Hitta den femte termen i progressionen.
Lite mer komplicerat:
4. Givet en geometrisk progression:
b 1 =2048; q =-0,5
Vad är den sjätte negativa termen lika med?
Vad verkar supersvårt? Inte alls. Logik och förståelse för innebörden av geometrisk progression kommer att rädda dig. Jo, formeln för den n:e terminen, förstås.
5. Den tredje termen i den geometriska progressionen är -14, och den åttonde termen är 112. Hitta nämnaren för progressionen.
6. Summan av den första och andra termen av den geometriska progressionen är 75, och summan av den andra och tredje termen är 150. Hitta den sjätte termen av progressionen.
Svar (i oordning): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Det är nästan allt. Allt vi behöver göra är att lära oss att räkna summan av de första n termerna av en geometrisk progression ja upptäcka oändligt minskande geometrisk progression och dess mängd. En väldigt intressant och ovanlig sak, förresten! Mer om detta i nästa lektion.)
Matematik är vadmänniskor kontrollerar naturen och sig själva.
Sovjetisk matematiker, akademiker A.N. Kolmogorov
Geometrisk progression.
Tillsammans med problem om aritmetiska progressioner är problem relaterade till begreppet geometrisk progression också vanliga vid antagningsprov i matematik. För att framgångsrikt lösa sådana problem måste du känna till egenskaperna hos geometriska progressioner och ha goda färdigheter i att använda dem.
Denna artikel ägnas åt presentationen av de grundläggande egenskaperna för geometrisk progression. Här ges också exempel på att lösa typiska problem., lånat från uppgifterna för inträdesprov i matematik.
Låt oss först notera de grundläggande egenskaperna för den geometriska progressionen och komma ihåg de viktigaste formlerna och påståendena, relaterat till detta koncept.
Definition. En talföljd kallas en geometrisk progression om varje tal, med början från det andra, är lika med det föregående, multiplicerat med samma tal. Talet kallas nämnaren för en geometrisk progression.
För geometrisk progressionformlerna är giltiga
, (1)
Var . Formel (1) kallas formeln för den allmänna termen för en geometrisk progression, och formel (2) representerar huvudegenskapen för en geometrisk progression: varje term av progressionen sammanfaller med det geometriska medelvärdet av dess närliggande termer och .
Notera, att det är just på grund av denna egenskap som progressionen i fråga kallas ”geometrisk”.
Ovanstående formler (1) och (2) är generaliserade enligt följande:
, (3)
För att beräkna beloppet först medlemmar av en geometrisk progressionformeln gäller
Om vi betecknar då
Var . Eftersom formel (6) är en generalisering av formel (5).
I fallet när och geometrisk progressionminskar oändligt. För att beräkna beloppetav alla termer av en oändligt minskande geometrisk progression används formeln
. (7)
Till exempel , med formel (7) kan vi visa, Vad
Var . Dessa likheter erhålls från formel (7) under förutsättning att , (första likheten) och , (andra likheten).
Sats. Om då
Bevis. Om då
Teoremet har bevisats.
Låt oss gå vidare och överväga exempel på att lösa problem i ämnet "Geometrisk progression".
Exempel 1. Givet: , och . Hitta .
Lösning. Om vi tillämpar formel (5), då
Svar: .
Exempel 2. Låt det vara. Hitta .
Lösning. Eftersom och , vi använder formler (5), (6) och erhåller ett ekvationssystem
Om den andra ekvationen för systemet (9) divideras med den första, sedan eller . Av detta följer att . Låt oss överväga två fall.
1. Om, sedan från den första ekvationen av system (9) har vi.
2. Om , då .
Exempel 3. Låt , och . Hitta .
Lösning. Av formel (2) följer att eller . Sedan , då eller .
Efter villkor. Emellertid alltså. Sedan och då har vi här ett ekvationssystem
Om systemets andra ekvation divideras med den första, då eller .
Eftersom ekvationen har en unik lämplig rot. I detta fall följer det av systemets första ekvation.
Med hänsyn till formel (7) får vi.
Svar: .
Exempel 4. Givet: och . Hitta .
Lösning. Sedan dess.
Sedan , då eller
Enligt formel (2) har vi . I detta avseende får vi från jämlikhet (10) eller .
Dock efter villkor alltså.
Exempel 5. Det är känt att . Hitta .
Lösning. Enligt satsen har vi två likheter
Sedan , då eller . För då.
Svar: .
Exempel 6. Givet: och . Hitta .
Lösning. Med hänsyn till formel (5) får vi
Sedan dess. Sedan , och , då .
Exempel 7. Låt det vara. Hitta .
Lösning. Enligt formel (1) kan vi skriva
Därför har vi eller . Det är känt att och , därför och .
Svar: .
Exempel 8. Hitta nämnaren för en oändligt minskande geometrisk progression if
Och .
Lösning. Av formel (7) följer Och . Härifrån och från problemets villkor får vi ett ekvationssystem
Om systemets första ekvation är kvadratisk, och dividera sedan den resulterande ekvationen med den andra ekvationen, då får vi
Eller .
Svar: .
Exempel 9. Hitta alla värden där sekvensen , , är en geometrisk progression.
Lösning. Låt , och . Enligt formel (2), som definierar huvudegenskapen för en geometrisk progression, kan vi skriva eller .
Härifrån får vi andragradsekvationen, vars rötter är Och .
Låt oss kontrollera: om, sedan , och ; om , då , och .
I det första fallet har vi och , och i den andra – och .
Svar: , .
Exempel 10.Lös ekvationen
, (11)
var och .
Lösning. Den vänstra sidan av ekvation (11) är summan av en oändligt minskande geometrisk progression, där och , med förbehåll för: och .
Av formel (7) följer, Vad . I detta avseende tar ekvation (11) formen eller . Lämplig rot andragradsekvationen är
Svar: .
Exempel 11. P sekvens av positiva talbildar en aritmetisk progression, A – geometrisk progression, vad har det att göra med . Hitta .
Lösning. Därför att aritmetisk sekvens, Den där (den huvudsakliga egenskapen för aritmetisk progression). Eftersom den, sedan eller . Detta innebär , att den geometriska progressionen har formen. Enligt formel (2), då skriver vi ner det .
Sedan och , då . I det här fallet uttrycket tar formen eller . Enligt villkor, så från ekv.vi får en unik lösning på det aktuella problemet, dvs. .
Svar: .
Exempel 12. Beräkna summa
. (12)
Lösning. Multiplicera båda sidor av likhet (12) med 5 och få
Om vi subtraherar (12) från det resulterande uttrycket, Den där
eller .
För att beräkna ersätter vi värdena i formel (7) och får . Sedan dess.
Svar: .
De exempel på problemlösning som ges här kommer att vara användbara för sökande när de förbereder sig för inträdesprov. För en djupare studie av problemlösningsmetoder, relaterat till geometrisk progression, Du kan använda handledningar från listan över rekommenderad litteratur.
1. Samling av problem i matematik för sökande till högskolor / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir och utbildning, 2013. – 608 sid.
2. Suprun V.P. Matematik för gymnasieelever: ytterligare avsnitt i skolans läroplan. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 sid.
3. Medynsky M.M. En komplett kurs i elementär matematik i problem och övningar. Bok 2: Nummersekvenser och progressioner. – M.: Editus, 2015. – 208 sid.
Har du fortfarande frågor?
För att få hjälp av en handledare, registrera dig.
webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.
- I kontakt med 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
