Låt oss ha en yta definierad av en formekvation

Låt oss presentera följande definition.

Definition 1. En rät linje kallas tangent till ytan någon gång om så är fallet

tangent till en kurva som ligger på ytan och passerar genom punkten.

Eftersom ett oändligt antal olika kurvor som ligger på ytan passerar genom punkten P, kommer det generellt sett att finnas ett oändligt antal tangenter till ytan som passerar genom denna punkt.

Låt oss introducera begreppet singulära och vanliga punkter på en yta

Om alla tre derivator vid en punkt är lika med noll eller om åtminstone en av dessa derivator inte existerar, så kallas punkten M en singularpunkt på ytan. Om vid en punkt alla tre derivator existerar och är kontinuerliga, och åtminstone en av dem är skild från noll, så kallas punkten M för en vanlig punkt på ytan.

Nu kan vi formulera följande sats.

Sats. Alla tangentlinjer till en given yta (1) vid dess ordinarie punkt P ligger i samma plan.

Bevis. Låt oss betrakta en viss linje L på ytan (fig. 206) som går genom en given punkt P på ytan. Låt den aktuella kurvan ges av parametriska ekvationer

Tangenten till kurvan kommer att vara tangenten till ytan. Ekvationerna för denna tangent har formen

Om uttryck (2) ersätts i ekvation (1), kommer denna ekvation att förvandlas till en identitet med avseende på t, eftersom kurva (2) ligger på ytan (1). Differentiera det genom att vi får

Projektionerna av denna vektor beror på - koordinaterna för punkt P; Observera att eftersom punkt P är vanlig försvinner inte dessa projektioner vid punkt P samtidigt och därför

tangent till en kurva som går genom punkt P och ligger på ytan. Projektionerna för denna vektor beräknas baserat på ekvationerna (2) vid värdet av parametern t som motsvarar punkten P.

Låt oss räkna skalär produkt vektorer N och som är lika med summan av produkterna av projektioner med samma namn:

Baserat på likhet (3) är uttrycket på höger sida lika med noll, därför

Av den sista likheten följer att vektorn LG och tangentvektorn till kurvan (2) i punkten P är vinkelräta. Ovanstående resonemang gäller för alla kurvor (2) som går genom punkt P och ligger på ytan. Följaktligen är varje tangent till ytan vid punkt P vinkelrät mot samma vektor N och därför ligger alla dessa tangenter i samma plan vinkelrätt mot vektorn LG. Teoremet har bevisats.

Definition 2. Planet i vilket alla tangentlinjer till linjerna på ytan som går genom dess givna punkt P är belägna kallas tangentplanet till ytan i punkt P (Fig. 207).

Observera att vid singulära punkter på ytan kanske det inte finns något tangentplan. Vid sådana punkter får tangentlinjerna till ytan inte ligga i samma plan. Till exempel är spetsen på en konisk yta en singulär punkt.

Tangenterna till den koniska ytan vid denna punkt ligger inte i samma plan (de bildar själva en konisk yta).

Låt oss skriva ekvationen för tangentplanet till ytan (1) vid en vanlig punkt. Eftersom detta plan är vinkelrätt mot vektor (4) har dess ekvation därför formen

Om ekvationen för ytan ges i form eller ekvationen för tangentplanet i detta fall tar formen

Kommentar. Om vi ​​lägger in formel (6) kommer denna formel att ha formen

henne höger del representerar den fullständiga differentialen för funktionen. Därav, . Således är den totala differentialen för en funktion av två variabler vid en punkt som motsvarar inkrementen av de oberoende variablerna x och y lika med motsvarande ökning av applikatet av tangentplanet till ytan, vilket är grafen för denna funktion.

Definition 3. En rät linje som dras genom en punkt på ytan (1) vinkelrät mot tangentplanet kallas normalen till ytan (Fig. 207).

Låt oss skriva normalekvationerna. Eftersom dess riktning sammanfaller med riktningen för vektor N, kommer dess ekvationer att ha formen

Ladda ner från Depositfiles

4. TEORI OM YTOR.

4.1 YTEKVATIONER.

En yta i tredimensionellt utrymme kan specificeras:

1) implicit: F ( x , y , z ) =0 (4.1)

2) uttryckligen: z = f ( x , y ) (4.2)

3) parametriskt: (4.3)

eller:
(4.3’)

var är de skalära argumenten
kallas ibland kurvlinjära koordinater. Till exempel sfären
det är bekvämt att ange i sfäriska koordinater:
.

4.2 TANGENTPLAN OCH NORMALT MOT YTA.

Om en linje ligger på ytan (4.1), så uppfyller koordinaterna för dess punkter ytekvationen:

Genom att differentiera denna identitet får vi:

(4.4)

eller
(4.4 ’ )

vid varje punkt på kurvan på ytan. Således är gradientvektorn vid icke-singulära punkter på ytan (vid vilken funktion (4.5) är differentierbar och
) är vinkelrät mot tangentvektorerna till alla linjer på ytan, d.v.s. kan användas som en normalvektor för att kompilera ekvationen för tangentplanet vid punkt M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) yta

(4.6)

och som en riktningsvektor i normalekvationen:

(4.7)

I fallet med explicit (4.2) specifikation av ytan, tar ekvationerna för tangentplanet respektive normalen formen:

(4.8)

Och
(4.9)

Med den parametriska representationen av ytan (4.3), vektorerna
ligger i tangentplanet och ekvationen för tangentplanet kan skrivas som:

(4.10)

och deras vektorprodukt kan tas som riktningens normalvektor:

och normalekvationen kan skrivas som:

(4.11)

Var
— parametervärden som motsvarar punkt M 0 .

I det följande kommer vi att begränsa oss till att endast betrakta sådana ytpunkter där vektorerna

inte lika med noll och inte parallellt.

Exempel 4.1 Skapa ekvationer för tangentplanet och normalen i punkt M 0 (1,1,2) till ytan av en rotationsparaboloid
.

Lösning: Eftersom paraboloidekvationen ges explicit, måste vi enligt (4.8) och (4.9) hitta
vid punkt M 0 :

och vid punkt M 0
. Sedan ekvationen för tangentplanet i punkt M 0 kommer att se ut så här:

2(x -1)+2(y -1)-(z-2)=0 eller 2 x +2 y – z - 2=0, och normalekvationen
.

Exempel 4.2 Komponera ekvationer för tangentplanet och normalen vid en godtycklig punkt på helikoiden
, .

Lösning. Här ,

Tangentplanets ekvation:

eller

Normala ekvationer:

.

4.3 FÖRSTA KVADRATISK YTAFORM.

Om ytan ges av ekvationen

sedan kurvan
det kan ges av ekvationen
(4.12)

Radie vektor differential
längs kurvan, motsvarande förskjutningen från punkt M 0 till närmaste punkt M, är lika med

(4.13)

Därför att
är differentialen för kurvans båge som motsvarar samma förskjutning), då

(4.14)

Var .

Uttrycket på höger sida av (4.14) kallas den första kvadratiska formen av ytan och spelar en enorm roll i teorin om ytor.

Jag integrerar differentialends som sträcker sig från t 0 (motsvarar punkt M 0 ) till t (motsvarar punkt M), får vi längden på motsvarande segment av kurvan

(4.15)

Genom att känna till den första kvadratiska formen av en yta kan du hitta inte bara längderna utan också vinklarna mellan kurvorna.

Om du , dv är differentialer för kurvlinjära koordinater som motsvarar en oändlig förskjutning längs en kurva, och
- å andra sidan, då med hänsyn till (4.13):

(4.16)

Använder formel

(4.17)

den första kvadratiska formen gör det möjligt att beräkna områdets yta
ytor.

Exempel 4.3 På en helicoid, hitta längden på helixen
mellan två punkter.

Lösning. För på helixen
, Den där . Låt oss hitta på punkten
första kvadratiska formen. Efter att ha utsett ochv = t , vi får ekvationen för denna spirallinje i formen . Kvadratisk form:

= - första andragradsformen.

Här . I formel (4.15) i detta fall
och båglängd:

=

4.4 ANDRA KVADRATISK YTAFORM.

Låt oss beteckna
- enhetsvektor vinkelrätt mot ytan
:

(4.18) . (4.23)

En linje på en yta kallas en krökningslinje om dess riktning i varje punkt är huvudriktningen.

4.6 KONCEPT FÖR GEODETISKA LINJER PÅ EN YTA.

Definition 4.1 . En kurva på en yta kallas geodetisk om dess huvudnormal vid varje punkt där krökningen inte är noll, sammanfaller den med normalen till ytan.

Genom varje punkt på ytan i vilken riktning som helst går det, och bara en geodetisk. På en sfär, till exempel, är storcirklar geodetik.

En ytparameterisering kallas semi-geodesisk om en familj av koordinatlinjer består av geodesik och den andra är ortogonal mot den. Till exempel på en sfär finns meridianer (geodesik) och paralleller.

En geodetisk på ett tillräckligt litet segment är den kortaste av alla kurvor nära det som förbinder samma punkter.

Normalplanekvation

1.

4.

Tangentplan och ytnormal

Låt någon yta ges, A är en fast punkt på ytan och B är en variabel punkt på ytan,

(Figur 1).

Noll vektor

→

n

kallad normal vektor till ytan vid punkt A, om

lim B → A j = π 2 .

En ytpunkt F (x, y, z) = 0 kallas ordinär om vid denna punkt

1. de partiella derivatorna F"x, F"y, F"z är kontinuerliga;
2. (F"x)2+(F"y)2+(F"z)2≠0.

Om åtminstone ett av dessa villkor överträds, anropas ytpunkten speciell punkt på ytan .

Sats 1. Om M(x 0 , y 0 , z 0 ) är en vanlig punkt på ytan F (x , y , z) = 0 , då vektorn

→ n = grad F (x 0, y 0, z 0) = F" x (x 0, y 0, z 0) → i + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

är normal mot denna yta vid punkten M (x 0 , y 0 , z 0 ).

Bevis ges i boken av I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Kurs i högre matematik: Integralkalkyl. Funktioner av flera variabler. Differentialekvationer. M.: Förlaget MPEI, 2002 (s. 128).

Normal till ytan vid någon punkt finns det en rät linje vars riktningsvektor är vinkelrät mot ytan vid denna punkt och som går genom denna punkt.

Kanonisk normala ekvationer kan representeras i formen

x − x 0 F" x (x 0, y 0, z 0) = y - y 0 F" y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F" z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Tangent plan till ytan vid en viss punkt är ett plan som passerar genom denna punkt vinkelrätt mot normalen till ytan vid denna punkt.

Av denna definition följer det tangentplanets ekvation har formen:

(3)

Om en punkt på en yta är singular, då kan det hända att vektorn som är normal till ytan inte existerar vid den punkten, och därför kanske ytan inte har ett normal- och ett tangentplan.

Geometrisk betydelse full differential funktioner av två variabler

Låt funktionen z = f (x, y) vara differentierbar i punkten a (x 0, y 0). Dess graf är ytan

f (x, y) − z = 0.

Låt oss sätta z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Då hör punkt A (x 0 , y 0 , z 0 ) till ytan.

De partiella derivatorna av funktionen F (x, y, z) = f (x, y) − z är

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

och vid punkt A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. de är kontinuerliga;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Därför är A en vanlig punkt på ytan F (x, y, z) och vid denna punkt finns det ett tangentplan till ytan. Enligt (3) har tangentplanets ekvation formen:

f" x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0, y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Den vertikala förskjutningen av en punkt på tangentplanet vid förflyttning från punkt a (x 0, y 0) till en godtycklig punkt p (x, y) är B Q (fig. 2). Motsvarande ökning av ansökningar är

(z − z 0 ) = f" x (x 0, y 0) (x − x 0) + f" y (x 0, y 0) (y − y 0)

Här på höger sida finns en differential d z funktion z = f (x, y) vid punkt a (x 0, x 0). Därav,
d f (xO, yo). är ökningen av applikatet för en tangentplanspunkt till grafen för funktionen f (x, y) i punkten (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Av definitionen av differential följer att avståndet mellan punkt P på grafen för en funktion och punkt Q på tangentplanet är oändligt mycket större hög orderän avståndet från punkt p till punkt a.

Låt oss överväga geometriska tillämpningar av derivatan av en funktion av flera variabler. Låt en funktion av två variabler anges implicit: . Denna funktion i sin definitionsdomän representeras av en viss yta (avsnitt 5.1). Låt oss ta en godtycklig punkt på denna yta , där alla tre partiella derivator , , existerar och är kontinuerliga, och minst en av dem är inte lika med noll.

En punkt med sådana egenskaper kallas vanlig ytpunkt. Om minst ett av ovanstående krav inte är uppfyllt, anropas punkten särskild ytpunkt.

Genom en punkt vald på ytan kan många kurvor ritas, som var och en kan ha en tangent.

Definition 5.8.1 . Planet i vilket alla tangentlinjer till linjerna på ytan som går genom en viss punkt befinner sig kallas tangentplanet till denna yta vid punkten .

För att rita ett givet plan räcker det med två tangentlinjer, det vill säga två kurvor på ytan. Dessa kan vara kurvor som erhålls som ett resultat av att skära en given yta med plan , (Fig. 5.8.1).

Låt oss skriva ekvationen för en tangentlinje till en kurva som ligger i skärningspunkten mellan ytan och planet. Eftersom denna kurva ligger i koordinatsystemet, har ekvationen för tangenten till den i punkten, i enlighet med punkt 2.7, formen:

. (5.8.1)

Följaktligen har ekvationen för tangenten till kurvan som ligger i skärningspunkten mellan ytan och planet i koordinatsystemet i samma punkt formen:

. (5.8.2)

Låt oss använda uttrycket för derivatan implicit given funktion(klausul 5.7). Sedan, eh. Genom att ersätta dessa derivator med (5.8.1) och (5.8.2), får vi, respektive:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Eftersom de resulterande uttrycken inte är något annat än linjeekvationer i kanonisk form (avsnitt 15), så får vi från (5.8.3) riktningsvektorn , och från (5.8.4) – . Korsprodukten kommer att ge en vektor normal till de givna tangentlinjerna, och därför till tangentplanet:

Det följer att ekvationen för tangentplanet till ytan vid punkten har formen (punkt 14):

Definition 5.8.2 . En rät linje ritad genom en punkt yta vinkelrät mot tangentplanet vid denna punkt kallas normalen till ytan.

Eftersom riktningsvektorn för normalen till ytan sammanfaller med normalen till tangentplanet har normalekvationen formen:

.

Skalärt fält

Låt en region specificeras i rymden, som upptar en del av eller hela detta utrymme. Låt varje punkt i detta område, enligt någon lag, förknippas med en viss skalär kvantitet (antal).

Definition 5.9.1 . Ett område i rymden, vars varje punkt är associerad, enligt en välkänd lag, med en viss skalär kvantitet, kallas ett skalärt fält.

Om något slags koordinatsystem är associerat med området, till exempel ett rektangulärt kartesiskt system, så får varje punkt sina egna koordinater. I det här fallet blir den skalära kvantiteten en funktion av koordinater: på planet – , i tredimensionellt rum – . Själva funktionen som beskriver detta fält kallas ofta ett skalärt fält. Beroende på rummets dimension kan ett skalärt fält vara platt, tredimensionellt osv.

Det måste betonas att storleken på det skalära fältet endast beror på punktens position i regionen, men inte beror på valet av koordinatsystem.

Definition 5.9.2 . Ett skalärt fält som endast beror på positionen för en punkt i regionen, men inte beror på tiden, kallas stationärt.

Ickestationära skalära fält, det vill säga tidsberoende, kommer inte att beaktas i detta avsnitt.

Exempel på skalära fält inkluderar temperaturfältet, tryckfältet i atmosfären och höjdfältet över havsnivån.

Geometriskt representeras ofta skalära fält med hjälp av så kallade linjer eller plana ytor.

Definition 5.9.3 . Uppsättningen av alla punkter i rymden där det skalära fältet har samma betydelse kallas en plan yta eller ekvipotentialyta. I det platta fallet för ett skalärt fält kallas denna uppsättning en nivålinje eller ekvipotentiallinje.

Uppenbarligen har nivåytekvationen formen , nivålinjer – . Genom att ge konstant olika värden i dessa ekvationer får vi en familj av ytor eller nivålinjer. Till exempel, (sfärer kapslade inuti varandra med olika radier) eller (familj av ellipser).

Exempel på nivålinjer från fysiken inkluderar isotermer (linjer med lika temperaturer), isobarer (linjer med lika tryck); från geodesi - linjer med samma höjd, etc.

Grafen för en funktion av 2 variabler z = f(x,y) är en yta som projiceras på XOY-planet i definitionsdomänen för funktionen D.
Tänk på ytan σ , givet av ekvationen z = f(x,y), där f(x,y) är en differentierbar funktion, och låt M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) vara en fixpunkt på ytan σ, dvs. zO = f(x0,y0). Syfte. Online-kalkylatorn är utformad för att hitta tangentplan och ytnormalekvationer. Lösningen är upprättad i Word-format. Om du behöver hitta ekvationen för en tangent till en kurva (y = f(x)), måste du använda den här tjänsten.

Regler för inmatning av funktioner:

Regler för inmatning av funktioner:

Tangentplan till ytan σ på hennes punkt M 0 är det plan i vilket tangenterna till alla kurvor som ritas på ytan ligger σ genom punkten M 0 .
Ekvationen för tangentplanet till ytan definierad av ekvationen z = f(x,y) i punkten M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) har formen:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0,y 0)(y – y 0)

Vektorn kallas ytnormalvektorn σ vid punkt M 0. Normalvektorn är vinkelrät mot tangentplanet.
Normal till ytan σ vid punkten M 0 är en rät linje som går genom denna punkt och har riktningen för vektorn N.
De kanoniska ekvationerna för normalen till ytan som definieras av ekvationen z = f(x,y) vid punkten M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), där z 0 = f(x 0 ,y 0), har formen:

Exempel nr 1. Ytan ges av ekvationen x 3 +5y. Hitta ekvationen för tangentplanet till ytan i punkten M 0 (0;1).
Lösning. Låt oss skriva tangentekvationerna i allmän form: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y -y 0)
Enligt villkoren för problemet, x 0 = 0, y 0 = 1, sedan z 0 = 5
Låt oss hitta de partiella derivatorna av funktionen z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Vid punkt M 0 (0,1) är värdena för partiella derivator:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Med hjälp av formeln får vi ekvationen för tangentplanet till ytan i punkt M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) eller -5 y+z = 0

Exempel nr 2. Ytan definieras implicit y2-1/2*x3-8z. Hitta ekvationen för tangentplanet till ytan i punkten M 0 (1;0;1).
Lösning. Hitta de partiella derivatorna av en funktion. Eftersom funktionen anges implicit, letar vi efter derivator med formeln:

För vår funktion:

Sedan:

Vid punkt M 0 (1,0,1) värden för partiella derivator:
f" x (1;0;1) = -3/16
f" y (1;0;1) = 0
Med hjälp av formeln får vi ekvationen för tangentplanet till ytan i punkt M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) eller 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Exempel. Yta σ ges av ekvationen z= y/x + xy – 5x 3. Hitta ekvationen för tangentplanet och normalen till ytan σ vid punkten M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), som tillhör henne, om x 0 = –1, y 0 = 2.
Låt oss hitta de partiella derivatorna av funktionen z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x ’( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x.
Punkt M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) tillhör ytan σ , så vi kan räkna ut z 0 , ersätter det givna x 0 = –1 och y 0 = 2 i ytekvationen:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Vid punkten M 0 (–1, 2, 1) partiella derivata värden:
f x ’( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Med formeln (5) får vi ekvationen för tangentplanet till ytan σ vid punkten M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Med hjälp av formel (6) får vi kanoniska ekvationer normalt mot ytan σ vid punkten M 0: .
Svar: tangentplanets ekvation: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; normala ekvationer: .

Exempel nr 1. Givet en funktion z=f(x,y) och två punkter A(x 0, y 0) och B(x 1, y 1). Obligatoriskt: 1) beräkna värdet z 1 för funktionen i punkt B; 2) beräkna det ungefärliga värdet z 1 för funktionen i punkt B baserat på värdet z 0 för funktionen i punkt A, och ersätt ökningen av funktionen när du flyttar från punkt A till punkt B med en differential; 3) skapa en ekvation för tangentplanet till ytan z = f(x,y) i punkten C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Lösning.
Låt oss skriva tangentekvationerna i allmän form:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0, z 0)(x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0)(y - y 0)
Enligt villkoren för problemet, x 0 = 1, y 0 = 2, sedan z 0 = 25
Låt oss hitta de partiella derivatorna av funktionen z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
Vid punkt M 0 (1,2) är värdena för partiella derivator:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Med hjälp av formeln får vi ekvationen för tangentplanet till ytan i punkt M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
eller
-26 x-36 y+z+73 = 0

Exempel nr 2. Skriv ekvationerna för tangentplanet och normalen till den elliptiska paraboloiden z = 2x 2 + y 2 i punkten (1;-1;3).