Modulärt diagram. Funktionsdiagram med modul

En modul är en av de saker som alla verkar ha hört talas om, men i verkligheten är det ingen som riktigt förstår. Därför kommer det idag att finnas en stor lektion som ägnas åt att lösa ekvationer med moduler.

Jag ska berätta omedelbart: lektionen kommer att vara enkel. Generellt sett är moduler i allmänhet ett relativt enkelt ämne. "Ja, visst, det är lätt! Det får min hjärna att explodera!" – kommer många elever att säga, men alla dessa hjärnavbrott beror på att de flesta inte har kunskap i huvudet, utan någon form av skit. Och syftet med den här lektionen är att förvandla skit till kunskap. :)

Lite teori

Låt oss gå. Låt oss börja med det viktigaste: vad är en modul? Låt mig påminna dig om att modulen för ett tal helt enkelt är samma tal, men taget utan minustecknet. Det är till exempel $\left| -5 \right|=5$. Eller $\left| -129,5\höger|=129,5$.

Är det så enkelt? Ja, enkelt. Vad är då modulen för ett positivt tal? Här är det ännu enklare: modulen för ett positivt tal är lika med detta tal: $\left| 5\höger|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ osv.

\[\vänster| -a \höger|=\vänster| a\right|\]

Ett annat viktigt faktum: modul är aldrig negativ. Vilket tal vi än tar - till och med positivt, till och med negativt - visar sig dess modul alltid vara positiv (eller i extrema fall noll). Det är därför som modulen ofta kallas för ett tals absoluta värde.

Dessutom, om vi kombinerar definitionen av modulen för ett positivt och negativt tal, så får vi en global definition av modulen för alla tal. Nämligen: modulen för ett tal är lika med detta tal själv, om talet är positivt (eller noll), eller lika med det motsatta talet, om talet är negativt. Du kan skriva detta som en formel:

Det finns också en modul med noll, men den är alltid lika med noll. Noll är också det enda tal som inte har en motsats.

Således, om vi betraktar funktionen $y=\left| x \right|$ och försök rita dess graf, kommer du att få en sådan "daw":

Modulus graf och ekvationslösning exempel

Från denna bild kan du direkt se att $\left| -m \höger|=\vänster| m \right|$, och moduldiagrammet faller aldrig under x-axeln. Men det är inte allt: den röda linjen markerar den raka linjen $y=a$, som med positiv $a$ ger oss två rötter samtidigt: $((x)_(1))$ och $((x) _(2)) $, men vi pratar om det senare. :)

Förutom en rent algebraisk definition finns det en geometrisk. Låt oss säga att det finns två punkter på tallinjen: $((x)_(1))$ och $((x)_(2))$. I det här fallet uttrycket $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ är bara avståndet mellan de angivna punkterna. Eller, om du vill, längden på segmentet som förbinder dessa punkter:

Modul är avståndet mellan punkter på tallinjen

Det följer också av denna definition att modulen alltid är icke-negativ. Men tillräckligt med definitioner och teorier - låt oss gå vidare till riktiga ekvationer. :)

Grundformel

Okej, vi har listat ut definitionen. Men det blev inte lättare. Hur löser man ekvationer som innehåller just denna modul?

Lugn, bara lugn. Låt oss börja med de enklaste sakerna. Tänk på något i stil med detta:

\[\vänster| x\right|=3\]

Så modulo$x$ är 3. Vad kan $x$ vara lika med? Tja, av definitionen att döma kommer $x=3$ att passa oss bra. Verkligen:

\[\vänster| 3\höger|=3\]

Finns det andra siffror? Cap verkar antyda att det finns. Till exempel, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, dvs. den erforderliga jämställdheten är uppfylld.

Så om vi söker, tänker, kanske vi hittar fler siffror? Men bryt av: det finns inga fler siffror. Ekvation $\vänster| x \right|=3$ har bara två rötter: $x=3$ och $x=-3$.

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Låt istället för variabeln $x$ funktionen $f\left(x \right)$ hänga under modultecknet, och till höger, istället för trippeln, sätter vi ett godtyckligt tal $a$. Vi får ekvationen:

\[\vänster| f\left(x \right) \right|=a\]

Tja, hur bestämmer du dig? Låt mig påminna dig: $f\left(x \right)$ är en godtycklig funktion, $a$ är vilket tal som helst. De där. någon alls! Till exempel:

\[\vänster| 2x+1 \right|=5\]

\[\vänster| 10x-5 \right|=-65\]

Låt oss titta på den andra ekvationen. Du kan genast säga om honom: han har inga rötter. Varför? Det stämmer: eftersom det kräver att modulen är lika med ett negativt tal, vilket aldrig händer, eftersom vi redan vet att modulen alltid är ett positivt tal eller, i extrema fall, noll.

Men med den första ekvationen är allt roligare. Det finns två alternativ: antingen finns det ett positivt uttryck under modultecknet och sedan $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, eller detta uttryck är fortfarande negativt, i vilket fall $\left| 2x+1 \höger|=-\vänster(2x+1 \höger)=-2x-1$. I det första fallet kommer vår ekvation att skrivas om som:

\[\vänster| 2x+1 \höger|=5\högerpil 2x+1=5\]

Och plötsligt visar det sig att submoduluttrycket $2x+1$ verkligen är positivt - det är lika med talet 5. Det vill säga, vi kan säkert lösa denna ekvation - den resulterande roten kommer att vara en del av svaret:

De som är särskilt vantro kan försöka ersätta den hittade roten i den ursprungliga ekvationen och se till att det verkligen kommer att finnas ett positivt tal under modulen.

Låt oss nu titta på fallet med ett negativt submoduluttryck:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Högerpil 2x+1=-5\]

hoppsan! Återigen, allt är klart: vi antog att $2x+1 \lt 0$, och som ett resultat fick vi att $2x+1=-5$ - verkligen, detta uttryck är mindre än noll. Vi löser den resulterande ekvationen, samtidigt som vi redan vet säkert att den hittade roten kommer att passa oss:

Totalt fick vi återigen två svar: $x=2$ och $x=3$. Ja, mängden beräkningar visade sig vara lite mer än i den mycket enkla ekvationen $\left| x \right|=3$, men i grunden har ingenting förändrats. Så det kanske finns någon form av universell algoritm?

Ja, en sådan algoritm finns. Och nu ska vi analysera det.

Att bli av med modulskylten

Låt oss ges ekvationen $\left| f\left(x \right) \right|=a$, och $a\ge 0$ (annars, som vi redan vet, finns det inga rötter). Då kan du bli av med modulotecknet enligt följande regel:

\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=a\högerpil f\vänster(x \höger)=\pm a\]

Således delas vår ekvation med modulen i två, men utan modulen. Det är hela tekniken! Låt oss försöka lösa ett par ekvationer. Låt oss börja med detta

\[\vänster| 5x+4 \right|=10\Högerpil 5x+4=\pm 10\]

Vi kommer separat att överväga när det finns en tia med plus till höger, och separat när det är med ett minus. Vi har:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Högerpil 5x=6\Högerpil x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Högerpil 5x=-14\Högerpil x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(align)\]

Det är allt! Vi fick två rötter: $x=1.2$ och $x=-2.8$. Hela lösningen tog bokstavligen två rader.

Okej, ingen fråga, låt oss titta på något lite mer seriöst:

\[\vänster| 7-5x \right|=13\]

Återigen, öppna modulen med ett plus och ett minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Högerpil -5x=6\Högerpil x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Högerpil -5x=-20\Högerpil x=4. \\\end(align)\]

Återigen ett par rader – och svaret är klart! Det är som sagt inget komplicerat i moduler. Du behöver bara komma ihåg några regler. Därför går vi vidare och går vidare med riktigt svårare uppgifter.

Variabel höger sidofodral

Tänk nu på denna ekvation:

\[\vänster| 3x-2 \right|=2x\]

Denna ekvation skiljer sig fundamentalt från alla tidigare. På vilket sätt? Och det faktum att uttrycket $2x$ står till höger om likhetstecknet – och vi kan inte på förhand veta om det är positivt eller negativt.

Hur ska man vara i så fall? Först måste vi förstå det en gång för alla om den högra sidan av ekvationen är negativ, kommer ekvationen inte att ha några rötter- vi vet redan att modulen inte kan vara lika med ett negativt tal.

Och för det andra, om den högra delen fortfarande är positiv (eller lika med noll), kan du fortsätta på exakt samma sätt som tidigare: öppna bara modulen separat med plustecknet och separat med minustecknet.

Således formulerar vi en regel för godtyckliga funktioner $f\left(x \right)$ och $g\left(x \right)$:

\[\vänster| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Högerpil \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

När det gäller vår ekvation får vi:

\[\vänster| 3x-2 \right|=2x\Högerpil \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Tja, vi kan hantera $2x\ge 0$-kravet på något sätt. I slutändan kan vi dumt ersätta rötterna som vi får från den första ekvationen och kontrollera om ojämlikheten håller eller inte.

Så låt oss lösa själva ekvationen:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Högerpil 3x=4\Högerpil x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Högerpil 3x=0\Högerpil x=0. \\\end(align)\]

Tja, vilken av dessa två rötter uppfyller kravet $2x\ge 0$? Ja båda! Därför blir svaret två siffror: $x=(4)/(3)\;$ och $x=0$. Det är lösningen. :)

Jag misstänker att en av eleverna redan har börjat bli uttråkad? Tja, överväg en ännu mer komplex ekvation:

\[\vänster| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \höger|=x-((x)^(3))\]

Även om det ser ondskefullt ut, är det i själva verket samma ekvation av formen "modul är lika med funktion":

\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=g\vänster(x \höger)\]

Och det löses på samma sätt:

\[\vänster| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \höger|=x-((x)^(3))\Högerpil \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \vänster(x-((x)^(3)) \höger), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Vi kommer att ta itu med ojämlikheten senare - det är på något sätt för ondskefullt (faktiskt enkelt, men vi kommer inte att lösa det). För nu, låt oss ta en titt på de resulterande ekvationerna. Tänk på det första fallet - det här är när modulen utökas med ett plustecken:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Tja, här är det enkelt att du behöver samla allt till vänster, ta med liknande och se vad som händer. Och detta är vad som händer:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Om vi lägger den gemensamma faktorn $((x)^(2))$ utanför parentesen får vi en mycket enkel ekvation:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Högerpil \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Här använde vi en viktig egenskap hos produkten, för vilken vi faktoriserade det ursprungliga polynomet: produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll.

Nu kommer vi på samma sätt att ta itu med den andra ekvationen, som erhålls genom att expandera modulen med ett minustecken:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\vänster(-3x+2 \höger)=0. \\\end(align)\]

Återigen, samma sak: produkten är noll när minst en av faktorerna är noll. Vi har:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Tja, vi har tre rötter: $x=0$, $x=1.5$ och $x=(2)/(3)\;$. Tja, vad kommer att gå in i det slutliga svaret från denna uppsättning? För att göra detta, kom ihåg att vi har en ytterligare ojämlikhetsbegränsning:

Hur tar man hänsyn till detta krav? Låt oss bara ersätta de hittade rötterna och kontrollera om olikheten gäller för dessa $x$ eller inte. Vi har:

\[\begin(align)& x=0\Högerpil x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Högerpil x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Högerpil x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Roten $x=1.5$ passar oss alltså inte. Och bara två rötter kommer att gå som svar:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Som du kan se, även i det här fallet var det inget svårt - ekvationer med moduler löses alltid enligt algoritmen. Du behöver bara ha en god förståelse för polynom och ojämlikheter. Därför går vi vidare till mer komplexa uppgifter - det kommer redan att finnas inte en, utan två moduler.

Ekvationer med två moduler

Hittills har vi bara studerat de enklaste ekvationerna - det fanns en modul och något annat. Vi skickade detta "något annat" till en annan del av ojämlikheten, bort från modulen, så att allt i slutändan skulle reduceras till en ekvation som $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ eller ännu enklare $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Men dagis är över - det är dags att överväga något mer seriöst. Låt oss börja med ekvationer så här:

\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=\vänster| g\vänster(x \höger) \höger|\]

Detta är en ekvation av formen "modulen är lika med modulen". En fundamentalt viktig punkt är frånvaron av andra termer och faktorer: bara en modul till vänster, en modul till till höger - och inget mer.

Man skulle nu kunna tro att sådana ekvationer är svårare att lösa än vad vi har studerat hittills. Men nej: dessa ekvationer löses ännu lättare. Här är formeln:

\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=\vänster| g\vänster(x \höger) \höger|\högerpil f\vänster(x \höger)=\pm g\vänster(x \höger)\]

Allt! Vi likställer helt enkelt submoduluttryck genom att prefixet ett av dem med ett plus- eller minustecken. Och sedan löser vi de resulterande två ekvationerna - och rötterna är klara! Inga ytterligare begränsningar, inga ojämlikheter osv. Allt är väldigt enkelt.

Låt oss försöka lösa det här problemet:

\[\vänster| 2x+3 \höger|=\vänster| 2x-7 \right|\]

Elementär Watson! Öppna modulerna:

\[\vänster| 2x+3 \höger|=\vänster| 2x-7 \höger|\högerpil 2x+3=\pm \left(2x-7 \höger)\]

Låt oss överväga varje fall separat:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Högerpil 3=-7\Högerpil \emptyset ; \\& 2x+3=-\vänster(2x-7 \höger)\Högerpil 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Den första ekvationen har inga rötter. För när är $3=-7$? För vilka värden på $x$? "Vad fan är $x$? Är du hög? Det finns inga $x$ alls”, säger du. Och du kommer att ha rätt. Vi har fått en likhet som inte är beroende av variabeln $x$, och samtidigt är själva likheten felaktig. Det är därför det inte finns några rötter.

Med den andra ekvationen är allt lite mer intressant, men också väldigt, väldigt enkelt:

Som du kan se avgjordes allt bokstavligen på ett par rader - vi förväntade oss inget annat från en linjär ekvation. :)

Som ett resultat är det slutliga svaret: $x=1$.

Tja, hur? Komplicerad? Självklart inte. Låt oss prova något annat:

\[\vänster| x-1 \höger|=\vänster| ((x)^(2))-3x+2 \höger|\]

Återigen har vi en ekvation som $\left| f\vänster(x \höger) \höger|=\vänster| g\left(x \right) \right|$. Därför skriver vi om det omedelbart och avslöjar modultecknet:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \höger)\]

Kanske kommer någon nu att fråga: ”Hej, vad är det för nonsens? Varför är plus-minus på höger sida och inte på vänster sida? Lugn, jag ska förklara allt. På ett bra sätt borde vi faktiskt ha skrivit om vår ekvation enligt följande:

Sedan måste du öppna parenteserna, flytta alla termer i en riktning från likhetstecknet (eftersom ekvationen uppenbarligen kommer att vara kvadratisk i båda fallen) och sedan hitta rötterna. Men du måste erkänna: när "plus-minus" står framför tre termer (särskilt när en av dessa termer är ett kvadratiskt uttryck), ser det på något sätt mer komplicerat ut än situationen när "plus-minus" bara står framför två villkor.

Men ingenting hindrar oss från att skriva om den ursprungliga ekvationen enligt följande:

Vad hände? Ja, inget speciellt: bytte bara vänster och höger sida. En bagatell, som i slutändan kommer att förenkla våra liv lite. :)

I allmänhet löser vi denna ekvation, med tanke på alternativ med plus och minus:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Högerpil ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\vänster(x-1 \höger)\Högerpil ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Den första ekvationen har rötter $x=3$ och $x=1$. Den andra är i allmänhet en exakt kvadrat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\vänster(x-1 \höger))^(2))\]

Därför har den en enda rot: $x=1$. Men vi har redan fått denna rot tidigare. Således kommer endast två siffror att gå in i det slutliga svaret:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Uppdrag slutfört! Du kan ta den från hyllan och äta en paj. Det finns 2 av dem, ditt genomsnitt. :)

Viktig notering. Närvaron av samma rötter för olika versioner av modulens expansion innebär att de ursprungliga polynomen bryts ner i faktorer, och bland dessa faktorer kommer det nödvändigtvis att finnas en gemensam sådan. Verkligen:

\[\begin(align)& \left| x-1 \höger|=\vänster| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\vänster| x-1 \höger|=\vänster| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

En av modulegenskaperna: $\left| a\cdot b \höger|=\vänster| en \right|\cdot \left| b \right|$ (det vill säga produktens modul är lika med produkten av modulerna), så den ursprungliga ekvationen kan skrivas om som

\[\vänster| x-1 \höger|=\vänster| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Som ni ser har vi verkligen en gemensam faktor. Om du nu samlar alla moduler på ena sidan, kan du ta ut denna multiplikator ur konsolen:

\[\begin(align)& \left| x-1 \höger|=\vänster| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\&\vänster| x-1 \höger|-\vänster| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\vänster| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Tja, nu minns vi att produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Därmed har den ursprungliga ekvationen med två moduler reducerats till de två enklaste ekvationerna som vi pratade om alldeles i början av lektionen. Sådana ekvationer kan lösas på bara ett par rader. :)

Denna kommentar kan tyckas onödigt komplicerad och otillämplig i praktiken. Men i verkligheten kan du stöta på mycket mer komplexa uppgifter än de som vi analyserar idag. I dem kan moduler kombineras med polynom, aritmetiska rötter, logaritmer etc. Och i sådana situationer kan möjligheten att sänka ekvationens övergripande grad genom att lägga något utanför parentesen vara väldigt, väldigt praktisk. :)

Nu skulle jag vilja analysera en annan ekvation, som vid första anblicken kan verka galen. Många studenter "sticker" på det - även de som tror att de har god förståelse för modulerna.

Denna ekvation är dock ännu lättare att lösa än vad vi ansåg tidigare. Och om du förstår varför får du ytterligare ett knep för att snabbt lösa ekvationer med moduler.

Så ekvationen är:

\[\vänster| x-((x)^(3)) \höger|+\vänster| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Nej, det här är inget stavfel: det är ett plus mellan modulerna. Och vi måste hitta för vilken $x$ summan av två moduler är lika med noll. :)

Vad är problemet? Och problemet är att varje modul är ett positivt tal, eller i extrema fall, noll. Vad händer när man lägger till två positiva tal? Uppenbarligen, återigen ett positivt tal:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Den sista raden kan ge dig en idé: det enda fallet där summan av modulerna är noll är om varje modul är lika med noll:

När är modulen lika med noll? Endast i ett fall - när undermoduluttrycket är lika med noll:

\[((x)^(2))+x-2=0\Högerpil \vänster(x+2 \höger)\vänster(x-1 \höger)=0\Högerpil \vänster[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Således har vi tre punkter där den första modulen sätts till noll: 0, 1 och −1; samt två punkter där den andra modulen nollställs: −2 och 1. Men vi behöver båda modulerna nollställas samtidigt, så bland siffrorna som hittas måste vi välja de som ingår i båda uppsättningarna. Uppenbarligen finns det bara ett sådant nummer: $x=1$ - detta kommer att vara det slutliga svaret.

uppdelningsmetod

Tja, vi har redan täckt en massa uppgifter och lärt oss många knep. Tror du att det är det? Men nej! Nu ska vi överväga den slutliga tekniken - och samtidigt den viktigaste. Vi kommer att prata om att dela ekvationer med en modul. Vad kommer att diskuteras? Låt oss gå tillbaka lite och överväga en enkel ekvation. Till exempel detta:

\[\vänster| 3x-5\höger|=5-3x\]

I princip vet vi redan hur man löser en sådan ekvation, eftersom det är en standard $\left| f\vänster(x \höger) \höger|=g\vänster(x \höger)$. Men låt oss försöka se på denna ekvation från en lite annan vinkel. Mer exakt, överväg uttrycket under modultecknet. Låt mig påminna dig om att modulen för vilket tal som helst kan vara lika med själva talet, eller så kan det vara motsatt det här talet:

\[\vänster| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Egentligen är denna tvetydighet hela problemet: eftersom talet under modulen ändras (det beror på variabeln) är det inte klart för oss om det är positivt eller negativt.

Men vad händer om vi initialt kräver att denna siffra är positiv? Låt oss till exempel kräva att $3x-5 \gt 0$ - i det här fallet kommer vi garanterat att få ett positivt tal under modultecknet, och vi kan helt bli av med denna modul:

Således kommer vår ekvation att förvandlas till en linjär, som lätt kan lösas:

Det är sant att alla dessa överväganden är meningsfulla endast under villkoret $3x-5 \gt 0$ - vi införde själva detta krav för att otvetydigt avslöja modulen. Så låt oss ersätta den hittade $x=\frac(5)(3)$ i detta tillstånd och kontrollera:

Det visar sig att för det angivna värdet på $x$ uppfylls inte vårt krav, eftersom uttryck visade sig vara lika med noll, och vi behöver det vara strikt större än noll. Tråkigt. :(

Men det är okej! Det finns trots allt ett annat alternativ $3x-5 \lt 0$. Dessutom: det finns också fallet $3x-5=0$ - detta måste också beaktas, annars kommer lösningen att vara ofullständig. Så, överväg $3x-5 \lt 0$-fallet:

Det är uppenbart att modulen öppnas med ett minustecken. Men då uppstår en märklig situation: samma uttryck kommer att sticka ut både till vänster och till höger i den ursprungliga ekvationen:

Jag undrar för vilken $x$ kommer uttrycket $5-3x$ att vara lika med uttrycket $5-3x$? Från sådana ekvationer skulle till och med Kaptenen uppenbarligen kvävas av saliv, men vi vet att denna ekvation är en identitet, d.v.s. det är sant för alla värden på variabeln!

Och det betyder att alla $x$ passar oss. Vi har dock en begränsning:

Med andra ord, svaret kommer inte att vara ett enda nummer, utan ett helt intervall:

Slutligen finns det ytterligare ett fall kvar att överväga: $3x-5=0$. Allt är enkelt här: det kommer att finnas noll under modulen, och nollmodulen är också lika med noll (detta följer direkt av definitionen):

Men sedan den ursprungliga ekvationen $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ kommer att skrivas om så här:

Vi har redan fått denna rot ovan när vi betraktade fallet $3x-5 \gt 0$. Dessutom är denna rot en lösning på ekvationen $3x-5=0$ - detta är begränsningen som vi själva införde för att annullera modulen. :)

Så, förutom intervallet, kommer vi också att vara nöjda med siffran som ligger i slutet av detta intervall:

Kombinera rötter i ekvationer med modul

Totalt slutligt svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Det är inte särskilt vanligt att se sådan skit i svaret på en ganska enkel (i huvudsak linjär) ekvation med modul Tja, vänja dig vid det: komplexiteten i modulen ligger i det faktum att svaren i sådana ekvationer kan vara helt oförutsägbara.

Mycket viktigare är något annat: vi har just demonterat en universell algoritm för att lösa en ekvation med en modul! Och denna algoritm består av följande steg:

Jämställ varje modul i ekvationen med noll. Låt oss ta några ekvationer;
Lös alla dessa ekvationer och markera rötterna på tallinjen. Som ett resultat kommer den raka linjen att delas upp i flera intervall, på var och en av vilka alla moduler är unikt utökade;
Lös den ursprungliga ekvationen för varje intervall och kombinera svaren.

Det är allt! Det återstår bara en fråga: vad ska man göra med själva rötterna, erhållna i det första steget? Låt oss säga att vi har två rötter: $x=1$ och $x=5$. De kommer att dela upp tallinjen i 3 delar:

Dela upp en tallinje i intervaller med hjälp av punkter

Så vad är intervallen? Det är tydligt att det finns tre av dem:

Längst till vänster: $x \lt 1$ - själva enheten ingår inte i intervallet;
Central: $1\le x \lt 5$ - här ingår en i intervallet, men fem ingår inte;
Den längst till höger: $x\ge 5$ — de fem ingår bara här!

Jag tror att du redan förstår mönstret. Varje intervall inkluderar den vänstra änden och inkluderar inte den högra änden.

Vid första anblicken kan en sådan skiva tyckas obekväm, ologisk och i allmänhet något slags galen. Men tro mig: efter lite övning kommer du att upptäcka att detta är det mest pålitliga tillvägagångssättet och samtidigt inte stör otvetydigt avslöjande moduler. Det är bättre att använda ett sådant schema än att tänka varje gång: ge vänster / höger ände till det aktuella intervallet eller "kasta" det till nästa.

Det är här lektionen slutar. Ladda ner uppgifter för självlösning, öva, jämför med svar - så ses vi i nästa lektion, som kommer att ägnas åt ojämlikheter med moduler. :)

Funktion av formen y=|x|.
Grafen för funktionen på intervallet - med grafen för funktionen y \u003d -x.

Betrakta först det enklaste fallet - funktionen y=|x|. Per definition av modulen har vi:

Således, för x≥0 funktionen y=|x| sammanfaller med funktionen y \u003d x, och för x Med denna förklaring är det lätt att plotta funktionen y \u003d | x | (Fig. 1).

Det är lätt att se att denna graf är föreningen av den del av grafen för funktionen y \u003d x, som inte ligger under OX-axeln, och linjen som erhålls genom spegelreflektion kring OX-axeln, den delen av den, som ligger under OX-axeln.
Denna metod är också lämplig för att plotta grafen för funktionen y=|kx+b|.
Om grafen för funktionen y=kx+b visas i figur 2, då grafen för funktionen y=|kx+b| är linjen som visas i figur 3.

(!LANG:Exempel 1. Rita funktionen y=||1-x 2 |-3|.
Låt oss bygga en graf av funktionen y=1-x 2 och tillämpa "modul"-operationen på den (den del av grafen som ligger under OX-axeln reflekteras symmetriskt i förhållande till OX-axeln).

Låt oss flytta ned diagrammet med 3.

Låt oss tillämpa "modul"-operationen och få den slutliga grafen för funktionen y=||1-x 2 |-3|

Exempel 2 Rita funktionen y=||x 2 -2x|-3|.
Som ett resultat av transformationen får vi y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Låt oss bygga en graf av funktionen y=(x-1) 2 -1: bygg en parabel y=x 2 och skift åt höger med 1 och nedåt med 1.

Låt oss tillämpa "modul"-operationen på den (den del av grafen som ligger under OX-axeln reflekteras symmetriskt med avseende på OX-axeln).

Låt oss flytta ner grafen med 3 och tillämpa "modul"-operationen, som ett resultat kommer vi att få den slutliga grafen.

Exempel 3 Rita funktionen.
För att utöka en modul måste vi överväga två fall:
1)x>0, då öppnas modulen med tecknet "+" =
2) x =

Låt oss bygga en graf för det första fallet.

Låt oss kassera den del av grafen, där x

Låt oss bygga en graf för det andra fallet och på samma sätt kassera delen där x>0, som ett resultat får vi.

Låt oss kombinera de två graferna och få den sista.

Exempel 4 Rita funktionen.
Låt oss först bygga en graf över funktionen. För detta är det bekvämt att välja heltalsdelen, vi får. Bygger vi på värdetabellen får vi en graf.

Låt oss tillämpa moduloperationen (den del av grafen som ligger under OX-axeln reflekteras symmetriskt med avseende på OX-axeln). Vi får det sista diagrammet

Exempel 5 Rita funktionen y=|-x 2 +6x-8|. Först förenklar vi funktionen till y=1-(x-3) 2 och bygger dess graf

Nu tillämpar vi "modul"-operationen och reflekterar delen av grafen under OX-axeln, i förhållande till OX-axeln

Exempel 6 Rita funktionen y=-x 2 +6|x|-8. Vi förenklar också funktionen till y=1-(x-3) 2 och bygger dess graf

Nu tillämpar vi "modul"-operationen och reflekterar delen av grafen till höger om oY-axeln, till vänster sida

Exempel 7 Rita en funktion . Låt oss plotta funktionen

Låt oss plotta funktionen

Låt oss utföra en parallell överföring med 3 enhetssegment till höger och 2 uppåt. Grafen kommer att se ut så här:

Låt oss tillämpa "modul"-operationen och reflektera delen av grafen till höger om den räta linjen x=3 in i det vänstra halvplanet.

transkript

1 Regional vetenskaplig och praktisk konferens för utbildnings- och forskningsarbete av studenter i årskurs 6-11 "Tillämpade och grundläggande frågor om matematik" Metodiska aspekter av att studera matematik Konstruktion av grafer över funktioner som innehåller modulen Gabova Anzhela Yurievna, årskurs 10, MOBU "Gymnasium 3 " Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, lärare i matematik, MOBU "Gymnasium 3", Kudymkar, Perm, 2016

2 Innehåll: Inledning...3 s. I. Huvuddel... 6 s. 1.1Historisk bakgrund.. 6 s. 2.Grundläggande definitioner och egenskaper för funktioner s. .8 s. 2.3 Bråkrationell funktion 8 s. 3. Algoritmer för att plotta grafer med modul 9 s. 3.1 Bestämning av modul .. 9 p. i formeln "kapslade moduler".10 s. 3.4 Algoritm för att plotta grafer av funktioner av formen y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b...13 s. 3.5 Algoritm för att plotta en graf av en kvadratisk funktion med modul.14 s. 3.6 Algoritm som plottar en bråkrationell funktion med en modulo. 15p. 4. Förändringar i grafen för en kvadratisk funktion beroende på placeringen av tecknet för det absoluta värdet ..17str. II. Slutsats ... 26 s. III. Förteckning över referenser och källor...27 s. IV. Ansökan....28p. 2

3 Introduktion Graffunktioner är ett av de mest intressanta ämnena inom skolmatematik. Vår tids största matematiker, Israel Moiseevich Gelfand, skrev: ”Processen att plotta är ett sätt att förvandla formler och beskrivningar till geometriska bilder. Denna plottning är ett sätt att se formler och funktioner och se hur dessa funktioner förändras. Till exempel, om y \u003d x 2 skrivs, ser du omedelbart en parabel; om y = x 2-4, ser du en parabel sänkt med fyra enheter; om y \u003d - (x 2 4), så ser du den föregående parabeln avslagen. Denna förmåga att se formeln på en gång och dess geometriska tolkning är viktig inte bara för matematikstudier utan också för andra ämnen. Det är en färdighet som stannar med dig hela livet, som att lära sig cykla, skriva eller köra bil." Grunderna i att lösa ekvationer med moduler fick man i 6:an 7:an. Jag valde just detta ämne för att jag anser att det kräver en djupare och mer grundlig studie. Jag vill få mer kunskap om modulen för ett tal, olika sätt att rita grafer som innehåller tecknet för det absoluta värdet. När "standard"-ekvationerna för linjer, paraboler, hyperbler inkluderar modulens tecken, blir deras grafer ovanliga och till och med vackra. För att lära sig hur man bygger sådana grafer måste man behärska teknikerna för att konstruera grundläggande figurer, samt känna till och förstå definitionen av modulen för ett tal. I skolmatematikkursen betraktas grafer med en modul inte tillräckligt djupgående, varför jag ville utöka mina kunskaper om detta ämne, för att genomföra min egen forskning. Utan att känna till definitionen av modulen är det omöjligt att bygga ens den enklaste grafen som innehåller ett absolut värde. Ett karakteristiskt särdrag för grafer över funktioner som innehåller uttryck med ett modultecken, 3

4 är förekomsten av veck vid de punkter där uttrycket under modultecknet byter tecken. Syfte med arbetet: att överväga konstruktionen av en graf av linjära, kvadratiska och bråkrationella funktioner som innehåller en variabel under modultecknet. Uppgifter: 1) Att studera litteraturen om egenskaperna hos absolutvärdet av linjära, kvadratiska och bråkrationella funktioner. 2) Undersök förändringar i graferna för funktioner beroende på placeringen av tecknet för det absoluta värdet. 3) Lär dig att rita ekvationsgrafer. Studieobjekt: grafer över linjära, kvadratiska och bråkrationella funktioner. Studieämne: förändringar i grafen för linjära, kvadratiska och bråkrationella funktioner beroende på placeringen av tecknet för det absoluta värdet. Den praktiska betydelsen av mitt arbete ligger i: 1) att använda den förvärvade kunskapen om detta ämne, samt att fördjupa den och tillämpa den på andra funktioner och ekvationer; 2) i användningen av forskningsfärdigheter i vidareutbildningsverksamhet. Relevans: Grafiska uppgifter är traditionellt ett av de svåraste ämnena inom matematik. Våra akademiker står inför problemet att framgångsrikt klara GIA och Unified State Examination. Forskningsproblem: plotta funktioner som innehåller modultecknet från den andra delen av GIA. Forskningshypotes: tillämpningen av metodiken för att lösa uppgifter i den andra delen av GIA, utvecklad på basis av allmänna metoder för att konstruera grafer av funktioner som innehåller modulens tecken, kommer att tillåta studenter att lösa dessa uppgifter 4

5 på en medveten basis, välj den mest rationella lösningsmetoden, tillämpa olika lösningsmetoder och klara GIA mer framgångsrikt. Forskningsmetoder som används i arbetet: 1. Analys av matematisk litteratur och Internetresurser om detta ämne. 2. Reproduktiv reproduktion av det studerade materialet. 3. Kognitiv sökningsaktivitet. 4. Analys och jämförelse av data i jakt på en lösning på problem. 5. Angivande av hypoteser och deras verifiering. 6. Jämförelse och generalisering av matematiska fakta. 7. Analys av de erhållna resultaten. När detta arbete skrevs användes följande källor: Internetresurser, OGE-tester, matematisk litteratur. 5

6 I. Huvuddel 1.1 Historisk bakgrund. Under första hälften av 1600-talet började begreppet funktion ta form som ett beroende av en variabel av en annan. Så de franska matematikerna Pierre Fermat () och Rene Descartes () föreställde sig en funktion som ett beroende av ordinatan för en kurvpunkt på dess abskiss. Och den engelske vetenskapsmannen Isaac Newton () förstod funktionen som en koordinat för en rörlig punkt som förändras beroende på tid. Termen "funktion" (från latinets funktion prestation, kommission) introducerades först av den tyske matematikern Gottfried Leibniz (). Han associerade en funktion med en geometrisk bild (en graf av en funktion). Senare betraktade den schweiziske matematikern Johann Bernoulli () och en medlem av Sankt Petersburgs vetenskapsakademi, den berömde matematikern från 1700-talet Leonard Euler () funktionen som ett analytiskt uttryck. Euler har också en allmän förståelse för en funktion som beroendet av en variabel av en annan. Ordet "modul" kommer från det latinska ordet "modulus", som betyder "mått" i översättning. Detta är ett ord med flera värden (homonym) som har många betydelser och som används inte bara i matematik, utan också inom arkitektur, fysik, teknik, programmering och andra exakta vetenskaper. Inom arkitektur är detta den initiala måttenheten som fastställts för en given arkitektonisk struktur och används för att uttrycka de multipla förhållandena mellan dess beståndsdelar. Inom teknik är detta en term som används inom olika teknikområden som inte har en universell betydelse och tjänar till att beteckna olika koefficienter och kvantiteter, till exempel ingreppsmodulen, elasticitetsmodulen, etc. 6

7 Bulkmodul (i fysiken) är förhållandet mellan normalspänningen i materialet och den relativa töjningen. 2. Grundläggande definitioner och egenskaper hos funktioner Funktion är ett av de viktigaste matematiska begreppen. En funktion är ett sådant beroende av variabeln y på variabeln x, där varje värde på variabeln x motsvarar ett enda värde på variabeln y. Sätt att ställa in en funktion: 1) analytisk metod (funktionen ställs in med hjälp av en matematisk formel); 2) tabellform (funktionen specificeras med hjälp av tabellen); 3) deskriptiv metod (funktionen ges av en verbal beskrivning); 4) grafisk metod (funktionen ställs in med hjälp av en graf). Grafen för en funktion är mängden av alla punkter i koordinatplanet, vars abskiss är lika med värdet på argumentet, och ordinaterna är lika med motsvarande värden för funktionen. 2.1 Kvadratisk funktion Funktionen som definieras av formeln y=ax 2 +in+c, där x och y är variabler, och parametrarna a, b och c är valfria reella tal, och a = 0, kallas kvadratisk. Grafen för funktionen y \u003d ax 2 + in + c är en parabel; symmetriaxeln för parabeln y \u003d ax 2 + in + c är en rät linje, för a> 0 är parabelns "grenar" riktade uppåt, för en<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (för funktioner av en variabel). Den huvudsakliga egenskapen hos linjära funktioner är att ökningen av funktionen är proportionell mot ökningen av argumentet. Det vill säga att funktionen är en generalisering av direkt proportionalitet. Grafen för en linjär funktion är en rak linje, därav dess namn. Detta gäller en reell funktion av en reell variabel. 1) Vid bildar den räta linjen en spetsig vinkel med x-axelns positiva riktning. 2) När bildar linjen en trubbig vinkel med x-axelns positiva riktning. 3) är en indikator på ordinatan för skärningspunkten för linjen med y-axeln. 4) När, linjen går genom origo. , 2.3 En bråk-rationell funktion är ett bråk vars täljare och nämnare är polynom. Den har formen where, polynom i valfritt antal variabler. Rationella funktioner för en variabel är ett specialfall: där och är polynom. 1) Alla uttryck som kan erhållas från variabler med fyra aritmetiska operationer är en rationell funktion. åtta

9 2) Uppsättningen av rationella funktioner är sluten under aritmetiska operationer och operationen av sammansättning. 3) Vilken rationell funktion som helst kan representeras som summan av enkla bråk - detta används i analytisk integration .., 3. Grafiska algoritmer med en modul om a är negativ. a = 3.2 Algoritm för att konstruera en graf för en linjär funktion med en modul För att plotta graferna för funktionerna y= x måste du veta att för positivt x har vi x = x. Detta betyder att för positiva värden av argumentet sammanfaller grafen y=x med grafen y=x, det vill säga denna del av grafen är en stråle som kommer ut från origo i en vinkel på 45 grader mot x- axel. För x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 För konstruktion tar vi poäng (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Låt oss nu bygga en graf y= x-1. Om A är grafpunkten y= x med koordinater (a; a), så kommer grafpunkten y= x-1 med samma värde på Y-ordinaten att vara punkten A1 (a+1; a). Denna punkt i den andra grafen kan erhållas från punkt A(a; a) i den första grafen genom att skifta parallellt med Ox-axeln till höger. Det betyder att hela grafen för funktionen y= x-1 erhålls från grafen för funktionen y= x genom att skifta parallellt med Ox-axeln till höger med 1. Låt oss bygga grafer: y= x-1 Att bygga, vi tar poäng (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Rita funktioner som innehåller "kapslade moduler" i formeln Låt oss överväga konstruktionsalgoritmen med ett specifikt exempel Rita en funktionsgraf: 10

11 y \u003d i-2-ix + 5ii 1. Vi bygger en graf av funktionen. 2. Vi visar grafen för det nedre halvplanet uppåt symmetriskt med avseende på OX-axeln och får grafen för funktionen. elva

12 3. Vi visar grafen för funktionen ner symmetriskt kring OX-axeln och får grafen för funktionen. 4. Vi visar grafen för funktionen nedåt symmetriskt med avseende på OX-axeln och får grafen för funktionen 5. Visa grafen för funktionen med avseende på OX-axeln och få grafen. 12

13 6. Som ett resultat ser grafen för funktionen ut så här 3.4. En algoritm för att konstruera grafer för funktioner av formen y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. I det föregående exemplet var det enkelt att utöka modulskyltarna. Om det finns fler summor av moduler är det problematiskt att överväga alla möjliga kombinationer av tecken för submoduluttryck. Hur kan vi plotta funktionen i detta fall? Observera att grafen är en polylinje, med hörn i punkter som har abskissorna -1 och 2. För x = -1 och x = 2 är submoduluttrycken lika med noll. På ett praktiskt sätt närmade vi oss regeln för att konstruera sådana grafer: Grafen för en funktion av formen y \u003d a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b är en polylinje med oändliga extremlänkar. För att konstruera en sådan polylinje räcker det att känna till alla dess hörn (vertexabskissor är nollor av submoduluttryck) och en kontrollpunkt vardera på vänster och höger oändliga länkar. tretton

14 Uppgift. Rita funktionen y = x + x 1 + x + 1 och hitta dess minsta värde. Lösning: 1. Nollor av submoduluttryck: 0; -ett; Polyline hörn (0; 2); (-tretton); (1; 3). (nollor av submoduluttryck ersätts i ekvationen) Vi bygger en graf (fig. 7), det minsta värdet på funktionen är Algoritm för att plotta en graf av en kvadratisk funktion med modulen Dra upp algoritmer för att konvertera grafer över funktioner. 1.Konstruktion av en graf för funktionen y= f(x). Enligt definitionen av modulen är denna funktion uppdelad i en uppsättning av två funktioner. Därför består grafen för funktionen y= f(x) av två grafer: y= f(x) i det högra halvplanet, y= f(-x) i det vänstra halvplanet. Utifrån detta kan vi formulera en regel (algoritm). Grafen för funktionen y= f(x) erhålls från grafen för funktionen y= f(x) enligt följande: vid x 0 bevaras grafen och vid x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. För att bygga en graf av funktionen y= f(x) måste du först rita funktionen y= f(x) för x> 0, sedan för x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 För att få den här grafen räcker det med att flytta den tidigare erhållna grafen med tre enheter åt höger. Observera att om nämnaren för bråket var x + 3, så skulle vi flytta grafen åt vänster: Nu måste vi multiplicera med två alla ordinaterna för att få grafen för funktionen. Slutligen flyttar vi grafen uppåt med två enheter : Det sista vi behöver göra är att plotta den givna funktionen om den är innesluten under modulens tecken. För att göra detta reflekterar vi symmetriskt uppåt hela delen av grafen, vars ordinata är negativ (den del som ligger under x-axeln): Fig.4 16

17 4. Förändringar i grafen för en kvadratisk funktion beroende på placeringen av tecknet för det absoluta värdet. Rita funktionen y \u003d x 2 - x -3 1) Eftersom x \u003d x vid x 0 sammanfaller den nödvändiga grafen med parabeln y \u003d 0,25 x 2 - x - 3. Om x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Därför fyller jag i för x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Fig. 4 Grafen för funktionen y \u003d f (x) sammanfaller med grafen för funktionen y \u003d f (x) på uppsättningen av icke-negativa värden för argumentet och är symmetrisk till den med avseende på y -axel på uppsättningen negativa värden för argumentet. Bevis: Om x 0, då f (x) = f (x), dvs. på uppsättningen av icke-negativa värden för argumentet sammanfaller graferna för funktionerna y = f (x) och y = f (x). Eftersom y \u003d f (x) är en jämn funktion, är dess graf symmetrisk med avseende på operativsystemet. Således kan grafen för funktionen y \u003d f (x) erhållas från grafen för funktionen y \u003d f (x) enligt följande: 1. plotta funktionen y \u003d f (x) för x>0; 2. För x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. För x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Om x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 och symmetriskt reflekterad del y \u003d f (x) vid y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, sedan f (x) \u003d f (x), vilket betyder att i denna del sammanfaller grafen för funktionen y \u003d f (x) med grafen för själva funktionen y \u003d f (x). Om f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Fig.5 Slutsats: Att plotta funktionen y= f(x) 1. Rita funktionen y=f(x) ; 2. I områden där grafen är placerad i det nedre halvplanet, dvs. där f (x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Forskningsarbete om att plotta funktionsgrafer y \u003d f (x) Genom att tillämpa definitionen av det absoluta värdet och de tidigare övervägda exemplen, kommer vi att plotta funktionsgraferna: y \u003d 2 x - 3 y \u003d x 2-5 x y \ u003d x 2-2 och gjorde slutsatser. För att bygga en graf av funktionen y = f (x) är det nödvändigt: 1. Bygg en graf av funktionen y = f (x) för x>0. 2. Bygg den andra delen av grafen, d.v.s. spegla den konstruerade grafen symmetriskt i förhållande till operativsystemet, eftersom denna funktion är jämn. 3. Delarna av den resulterande grafen som finns i det nedre halvplanet bör omvandlas till det övre halvplanet symmetriskt med OX-axeln. Konstruera en graf av funktionen y \u003d 2 x - 3 (första metoden för att bestämma modulen) X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, för x>0 b) för x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) för x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Vi bygger en rät linje som är symmetrisk mot den som byggs med avseende på OS-axeln. 3) Sektionerna av grafen i det nedre halvplanet visas symmetriskt kring OX-axeln. När vi jämför båda graferna ser vi att de är likadana. 21

22 Exempel på problem Exempel 1. Betrakta grafen för funktionen y = x 2 6x +5. Eftersom x är kvadratiskt kommer det att vara positivt, oavsett tecknet för talet x efter kvadrering. Det följer av detta att grafen för funktionen y \u003d x 2-6x +5 kommer att vara identisk med grafen för funktionen y \u003d x 2-6x +5, dvs. graf över en funktion som inte innehåller ett absolutvärdestecken (Fig. 2). Fig.2 Exempel 2. Betrakta grafen för funktionen y \u003d x 2 6 x +5. Med hjälp av definitionen av modulen för ett tal ersätter vi formeln y \u003d x 2 6 x +5 Nu har vi att göra med en bitvis tilldelning av beroende som är välkänd för oss. Vi kommer att bygga en graf så här: 1) bygga en parabel y \u003d x 2-6x +5 och ringa in den delen av den, som är 22

23 motsvarar icke-negativa x-värden, dvs. delen till höger om y-axeln. 2) i samma koordinatplan konstruerar vi en parabel y \u003d x 2 +6x +5 och ringer in den del av den som motsvarar negativa värden på x, dvs. delen till vänster om y-axeln. De inringade delarna av parabolerna bildar tillsammans en graf av funktionen y \u003d x 2-6 x +5 (Fig. 3). Fig.3 Exempel 3. Betrakta grafen för funktionen y \u003d x 2-6 x +5. Därför att grafen för ekvationen y \u003d x 2 6x +5 är densamma som grafen för funktionen utan modultecknet (betraktad i exempel 2), det följer att grafen för funktionen y \u003d x 2 6 x +5 är identisk med grafen för funktionen y \u003d x 2 6 x +5 , betraktad i exempel 2 (fig. 3). Exempel 4. Låt oss bygga en graf av funktionen y \u003d x 2 6x +5. För att göra detta konstruerar vi en graf av funktionen y \u003d x 2-6x. För att få grafen för funktionen y \u003d x 2-6x från den, måste du ersätta varje punkt i parabeln med en negativ ordinata med en punkt med samma abskissa, men med den motsatta (positiva) ordinatan. Med andra ord måste den del av parabeln som ligger under x-axeln ersättas med en linje som är symmetrisk kring x-axeln. Därför att vi behöver bygga en graf av funktionen y \u003d x 2-6x +5, sedan behöver grafen för funktionen som vi har ansett y \u003d x 2-6x bara höjas längs y-axeln med 5 enheter upp (Fig. 4). 23

24 Fig.4 Exempel 5. Låt oss bygga en graf över funktionen y \u003d x 2-6x + 5. För att göra detta använder vi den välkända styckvisa funktionen. Hitta nollorna för funktionen y \u003d 6x +5 6x + 5 \u003d 0 at. Betrakta två fall: 1) Om, då har ekvationen formen y = x 2 6x -5. Låt oss bygga denna parabel och ringa in den delen av den där. 2) Om, då har ekvationen formen y \u003d x 2 + 6x +5. Låt oss bygga denna parabel och ringa in den del av den som ligger till vänster om punkten med koordinater (fig. 5). 24

25 Fig.5 Exempel6. Låt oss plotta funktionen y \u003d x 2 6 x +5. För att göra detta kommer vi att plotta funktionen y \u003d x 2-6 x +5. Vi ritade denna graf i exempel 3. Eftersom vår funktion är helt under modultecknet, för att plotta funktionsgrafen y \u003d x 2 6 x +5, behöver du varje punkt i funktionsgrafen y \u003d x 2 6 x + 5 med en negativ ordinata, ersätt med en punkt med samma abskissa, men med den motsatta (positiva) ordinatan, d.v.s. den del av parabeln som ligger under Ox-axeln måste ersättas med en linje som är symmetrisk med avseende på Ox-axeln (fig. 6). Fig.6 25

26 II Slutsats "Matematisk information kan endast användas skickligt och lönsamt om den bemästras kreativt, så att eleven själv ser hur det skulle vara möjligt att komma fram till den självständigt." EN. Kolmogorov. Dessa uppgifter är av stort intresse för elever i nian, eftersom de är mycket vanliga i OGE-testen. Möjligheten att bygga dessa grafer över funktioner gör att du klarar provet mer framgångsrikt. De franska matematikerna Pierre Fermat () och Rene Descartes () föreställde sig en funktion som ett beroende av ordinatan för en kurvpunkt på dess abskiss. Och den engelske vetenskapsmannen Isaac Newton () förstod funktionen som en koordinat för en rörlig punkt som förändras beroende på tid. 26

27 III. Lista över referenser och källor 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Samling av problem i algebra för årskurs 8 9: Proc. bidrag för skolelever. och klasser med fördjupning. studie Matematik 2:a uppl. M .: Enlightenment, Dorofeev G.V. Mathematics. Algebra. Funktioner. Dataanalys. Betyg 9: m34 Proc. för allmänna pedagogiska studier. chef 2:a uppl., stereotyp. M .: Bustard, Solomonik V.S. Samling av frågor och problem i matematik M .: "Högare skola", Yashchenko I.V. GIA. Matematik: typiska provalternativ: Om alternativ.m .: "Nationell utbildning", sid. 5. Jasjtjenko I.V. OGE. Matematik: typiska provalternativ: Om alternativ.m .: "Nationell utbildning", sid. 6. Jasjtjenko I.V. OGE. Matematik: typiska provalternativ: Om alternativ.m .: "Nationell utbildning", sid.

28 Bilaga 28

29 Exempel 1. Rita funktionen y = x 2 8 x Lösning. Låt oss definiera funktionens paritet. Värdet för y(-x) är detsamma som värdet för y(x), så denna funktion är jämn. Då är dess graf symmetrisk med avseende på Oy-axeln. Vi bygger en graf av funktionen y \u003d x 2 8x + 12 för x 0 och visar grafen symmetriskt i förhållande till Oy för negativ x (Fig. 1). Exempel 2. Följande graf av formen y \u003d x 2 8x Detta betyder att grafen för funktionen erhålls enligt följande: de bygger en graf av funktionen y \u003d x 2 8x + 12, lämna delen av grafen som ligger ovanför Ox-axeln oförändrad, och den del av grafen som ligger under abskissaxeln visas symmetriskt med avseende på Ox-axeln (Fig. 2). Exempel 3. För att plotta funktionen y \u003d x 2 8 x + 12, utförs en kombination av transformationer: y \u003d x 2 8x + 12 y \u003d x 2 8 x + 12 y \u003d x 2 8 x Svar : Figur 3. Exempel 4 Uttrycket som står under modultecknet byter tecken vid punkten x=2/3. Vid x<2/3 функция запишется так: 29

30 För x>2/3 kommer funktionen att skrivas på följande sätt: Det vill säga punkten x=2/3 delar upp vårt koordinatplan i två regioner, i ett av dem (till höger) vi bygger funktionen och i annat (till vänster) grafen för funktionen Vi bygger: Exempel 5 Därefter är grafen också bruten, men har två brytpunkter, eftersom den innehåller två uttryck under modultecknen:

31 Utöka modulerna på det första intervallet: På det andra intervallet: På det tredje intervallet: Således, på intervallet (- ; 1,5] har vi grafen skriven av den första ekvationen, på intervallet grafen skriven av den andra ekvationen, och på intervallet)

total:0
I kontakt med 0
Google+ 0
OK 0
Facebook 0