Sedan urminnes tider har arbetet med siffror delats upp i två olika områden: det ena berörde direkt talens egenskaper, det andra förknippades med räkneteknik. Med "aritmetik" avses i många länder vanligtvis detta senare fält, som utan tvekan är den äldsta grenen av matematik.
Tydligen var den största svårigheten för gamla räknare att arbeta med bråk. Detta kan ses från Ahmes Papyrus (även kallad Rhind Papyrus), ett forntida egyptiskt arbete om matematik som går tillbaka till omkring 1650 f.Kr. Alla bråk som nämns i papyrusen, med undantag för 2/3, har täljare lika med 1. Svårigheten att hantera bråk märks också när man studerar gamla babyloniska kilskriftstavlor. Både de gamla egyptierna och babylonierna utförde tydligen beräkningar med någon form av kulram. Vetenskapen om siffror fick en betydande utveckling bland de gamla grekerna från och med Pythagoras, omkring 530 f.Kr. När det gäller själva beräkningstekniken gjordes mycket mindre på detta område av grekerna.
De senare romarna gav tvärtom praktiskt taget inget bidrag till vetenskapen om siffror, men utifrån behoven av snabbt utvecklande produktion och handel förbättrade de kulramen som räkneapparat. Mycket lite är känt om ursprunget till indisk aritmetik. Endast ett fåtal senare arbeten om teori och praktik av taloperationer har kommit till oss, skrivna efter att det indiska positionssystemet förbättrades genom att inkludera noll i det. Exakt när detta hände vet vi inte säkert, men det var då som grunden för våra vanligaste aritmetiska algoritmer lades.
Det indiska talsystemet och de första aritmetiska algoritmerna lånades av araberna. Den tidigaste bevarade arabiska aritmetikläroboken skrevs av al-Khwarizmi omkring 825. Den använder och förklarar mycket indiska siffror. Denna lärobok översattes senare till latin och hade ett betydande inflytande på Västeuropa. En förvrängd version av namnet al-Khwarizmi har kommit ner till oss i ordet "algorism", som, när det blandas ytterligare med det grekiska ordet arytmi blev termen "algoritm".
Indo-arabisk aritmetik blev känd i Västeuropa främst tack vare L. Fibonaccis arbete Bok av kulram (Liber abaci 1202). Abacistmetoden erbjöd förenklingar liknande användningen av vårt positionssystem, åtminstone för addition och multiplikation. Abacisterna ersattes av algoritmer som använde noll och den arabiska metoden för division och kvadratrotsextraktion. En av de första aritmetiska läroböckerna, vars författare är okänd för oss, publicerades i Treviso (Italien) 1478. Den handlade om beräkningar vid handelstransaktioner. Denna lärobok blev föregångaren till många aritmetiska läroböcker som dök upp senare. Fram till början av 1600-talet. Mer än trehundra sådana läroböcker publicerades i Europa. Aritmetiska algoritmer har förbättrats avsevärt under denna tid. På 1500–1600-talen. Symboler för aritmetiska operationer dök upp, såsom =, +, -, ґ, ё och .
Mekanisering av aritmetiska beräkningar.
När samhället utvecklades ökade också behovet av snabbare och mer exakta beräkningar. Detta behov gav upphov till fyra anmärkningsvärda uppfinningar: indo-arabiska siffror, decimaler, logaritmer och moderna datorer.
Faktum är att de enklaste beräkningsanordningarna existerade före tillkomsten av modern aritmetik, för i antiken utfördes elementära aritmetiska operationer på kulramen (i Ryssland användes kulramar för detta ändamål). Den enklaste moderna beräkningsenheten kan betraktas som en skjutregel, som består av två logaritmiska skalor som glider längs med varandra, vilket möjliggör multiplikation och division genom att summera och subtrahera segment av skalorna. B. Pascal (1642) anses vara uppfinnaren av den första mekaniska tillsatsmaskinen. Senare under samma århundrade uppfann G. Leibniz (1671) i Tyskland och S. Moreland (1673) i England maskiner för att utföra multiplikation. Dessa maskiner blev föregångare till stationära datorenheter (aritmometrar) på 1900-talet, vilket gjorde det möjligt att snabbt och exakt utföra addition, subtraktion, multiplikation och division.
År 1812 började den engelske matematikern C. Babbage skapa en design för en maskin för beräkning av matematiska tabeller. Även om arbetet med projektet pågick i många år, förblev det oavslutat. Ändå fungerade Babbages projekt som ett incitament för skapandet av moderna elektroniska datorer, vars första exempel dök upp runt 1944. Hastigheten på dessa maskiner var fantastisk: med deras hjälp, på minuter eller timmar var det möjligt att lösa problem som tidigare krävde många år av kontinuerliga beräkningar, även med användning av tilläggsmaskiner.
Positiva heltal.
Låta A Och Bär två finita mängder som inte har några gemensamma element, och låt A innehåller n element och B innehåller m element. Sedan många S, bestående av alla delar av uppsättningarna A Och B, tillsammans, är en ändlig mängd som innehåller säg, s element. Till exempel om A består av element ( a, b, c), ett gäng I– från element ( x, y), sedan uppsättningen S=A+B och består av element ( a, b, c, x, y). siffra s kallad belopp tal n Och m, och vi skriver det så här: s = n + m. I denna post siffrorna n Och m kallas villkor, operationen att hitta summan – tillägg. Operationssymbolen "+" läses som "plus". Ett gäng P, bestående av alla ordnade par där det första elementet väljs från uppsättningen A, och den andra är från uppsättningen B, är en ändlig mängd som innehåller, säg, sid element. Till exempel om, som tidigare, A = {a, b, c}, B = {x, y), Den där P=AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)). siffra sid kallad arbete tal a Och b, och vi skriver det så här: p = aґb eller p = a×b. Tal a Och b i arbetet kallas de multiplikatorer, operationen att hitta produkten – multiplikation. Operationssymbolen ґ läses som "multiplicerad med."
Det kan visas att från dessa definitioner följer följande grundläggande lagar för addition och multiplikation av heltal:
– lagen om kommutativ addition: a + b = b + a;
– lagen om associativ addition: a + (b + c) = (a + b) + c;
– lagen om kommutativ multiplikation: aґb = bґa;
– lagen för multiplikationens associativitet: aґ(bґc) = (aґb)ґc;
– distributionslagen: aґ(b + c)= (aґb) + (aґc).
Om a Och b– två positiva heltal och om det finns ett positivt heltal c, Så att a = b + c, då säger vi det a Mer b(detta är skrivet så här: a>b), eller vad b mindre a(detta är skrivet så här: b). För två valfria nummer a Och b en av tre relationer gäller: antingen a = b, eller a>b, eller a.
De två första grundläggande lagarna säger att summan av två eller flera termer inte beror på hur de är grupperade eller i vilken ordning de är ordnade. På samma sätt följer av den tredje och fjärde lagen att produkten av två eller flera faktorer inte beror på hur faktorerna är grupperade eller vilken ordning de har. Dessa fakta är kända som de "generaliserade lagarna för kommutativitet och associativitet" för addition och multiplikation. Av dem följer att när man skriver summan av flera termer eller produkten av flera faktorer är ordningen på termerna och faktorerna oviktig och parenteserna kan utelämnas.
I synnerhet den upprepade mängden a + a + ... + a från n termer är lika med nґa. Upprepade arbeten aґaґ ... ґa från n Vi kom överens om att beteckna faktorerna en; siffra a kallad grund och numret n – upprepa produktindikator, själva det upprepade arbetet – n:e potens tal a. Dessa definitioner tillåter oss att fastställa följande grundläggande lagar för exponenter:
En annan viktig konsekvens av definitionerna: aґ1 = a för vilket heltal som helst a, och 1 är det enda heltal som har denna egenskap. Siffran 1 kallas enhet.
Delare av heltal.
Om a, b, c– heltal och aґb = c, Den där a Och bär delare av ett tal c. Därför att aґ1 = a för vilket heltal som helst a, drar vi slutsatsen att 1 är en divisor av vilket heltal som helst och att vilket heltal som helst är en divisor av sig själv. Vilken heltalsdelare som helst a, skiljer sig från 1 eller a, fick namnet rätt divisor tal a.
Alla andra heltal än 1 och som inte har sina egna divisorer kallas primtal. (Ett exempel på ett primtal är talet 7.) Ett heltal som har sina egna delare kallas sammansatt tal. (Till exempel är talet 6 sammansatt, eftersom 2 delar 6.) Av ovanstående följer att mängden av alla heltal är indelad i tre klasser: en, primtal och sammansatta tal.
Det finns ett mycket viktigt teorem inom talteorin som säger att "vilket heltal som helst kan representeras som en produkt av primtal, och upp till faktorernas ordning är en sådan representation unik." Denna sats är känd som "aritmetikens grundläggande sats". Den visar att primtal fungerar som "byggstenar" från vilka alla andra heltal än ett kan konstrueras med hjälp av multiplikation.
Om en viss uppsättning heltal anges kallas det största heltal som är en divisor av varje tal som ingår i denna uppsättning största gemensamma delaren given uppsättning siffror; det minsta heltal vars divisor är varje tal från en given mängd kallas minsta gemensamma nämnare given uppsättning siffror. Den största gemensamma divisorn av talen 12, 18 och 30 är alltså 6. Den minsta gemensamma multipeln av samma tal är 180. Om den största gemensamma divisorn av två heltal a Och bär lika med 1, sedan talen a Och b kallas ömsesidigt prime. Till exempel är talen 8 och 9 relativt primtal, även om ingen av dem är primtal.
Positiva rationella tal.
Som vi har sett är heltal abstraktioner som uppstår från processen att räkna ändliga uppsättningar av objekt. Men för vardagslivets behov räcker inte heltal. Till exempel, när man mäter längden på en bordsskiva, kan den antagna måttenheten vara för stor och inte passa ett helt antal gånger i den uppmätta längden. Att klara av en sådan svårighet, med hjälp av den sk. fraktionerad(dvs bokstavligen "trasiga") siffror, introduceras en mindre längdenhet. Om d– något heltal, sedan bråkenheten 1/ d bestäms av fastigheten dґ1/d= 1, och om när alltså ett heltal nґ1/d vi skriver det helt enkelt som n/d. Dessa nya tal kallas "vanliga" eller "enkla" bråk. Heltal n kallad täljare bråk och tal d – nämnare. Nämnaren visar hur många lika andelar enheten delades upp i, och täljaren visar hur många sådana andelar som togs. Om n d, bråket kallas egentlig; om n = d eller n>d, då är det felaktigt. Heltal behandlas som bråk med nämnaren 1; till exempel, 2 = 2/1.
Sedan bråkdelen n/d kan tolkas som resultatet av division n enheter per d lika delar och med en av dessa delar kan ett bråk ses som "kvoten" eller "kvoten" av två heltal n Och d, och förstå bråklinjen som ett divisionstecken. Därför brukar bråk (inklusive heltal som ett specialfall av bråk) kallas rationell tal (från det latinska förhållandet - förhållande).
Två fraktioner n/d och ( kґn)/(kґd), Var k– ett heltal, kan betraktas som lika; till exempel, 4/6 = 2/3. (Här n = 2, d= 3 och k= 2.) Detta är känt som den "grundläggande egenskapen för ett bråk": värdet av ett bråk ändras inte om bråkets täljare och nämnare multipliceras (eller divideras) med samma tal. Det följer att vilket bråk som helst kan skrivas som förhållandet mellan två relativt primtal.
Av tolkningen av bråket som föreslagits ovan följer också att som summan av två bråk n/d Och m/d med samma nämnare bör du ta bråket ( n + m)/d. När du lägger till bråk med olika nämnare måste du först omvandla dem, med hjälp av grundegenskapen för ett bråk, till ekvivalenta bråk med samma (gemensamma) nämnare. Till exempel, n 1 /d 1 = (n 1 H d 2)/(d 1 H d 2) och n 2 /d 2 = (n 2 H d 1)/(d 1 H d 2), varifrån
Man skulle kunna göra det annorlunda och först hitta den minsta gemensamma multipeln, säg m, nämnare d 1 och d 2. Sedan finns det heltal k 1 och k 2 , så att m = k 1 H d 1 = k 2 H d 2 och vi får:
Med denna metod numret m brukar kallas minsta gemensamma nämnare två fraktioner. Dessa två resultat är likvärdiga med definitionen av bråklikhet.
Produkt av två fraktioner n 1 /d 1 och n 2 /d 2 tas lika med bråkdelen ( n 1 H n 2)/(d 1 H d 2).
De åtta grundläggande lagarna som anges ovan för heltal är också giltiga om, under a, b, c förstå godtyckliga positiva rationella tal. Dessutom, om de ges två positiva rationella tal n 1 /d 1 och n 2 /d 2, då säger vi det n 1 /d 1 > n 2 /d 2 om och bara om n 1 H d 2 > n 2 H d 1 .
Positiva reella tal.
Användningen av siffror för att mäta längden på linjesegment tyder på att för två givna linjesegment AB Och CD det måste finnas något segment UV, kanske mycket liten, som skulle kunna skjutas upp ett helt antal gånger i vart och ett av segmenten AB Och CD. Om en sådan gemensam längdenhet UV finns, sedan segmenten AB Och CD kallas motsvarande. Redan i antiken visste pytagoreerna om förekomsten av ojämförliga raka segment. Ett klassiskt exempel är sidan av en kvadrat och dess diagonal. Om vi tar sidan av en kvadrat som en längdenhet, så finns det inget rationellt tal som skulle kunna vara ett mått på diagonalen för denna kvadrat. Du kan verifiera detta genom att argumentera genom motsägelse. Antag faktiskt att det rationella talet n/där måttet på diagonalen. Men då segment 1/ d kunde skjutas upp n en gång diagonalt och d gånger på sidan av torget, trots att diagonalen och sidan av torget är inkommensurable. Följaktligen, oavsett val av längdenhet, har inte alla linjesegment längder som kan uttryckas i rationella tal. För att alla linjesegment ska kunna mätas med någon längdenhet måste talsystemet utökas till att inkludera siffror som representerar resultaten av mätning av längderna av linjesegment som inte står i proportion till den valda längdenheten. Dessa nya siffror kallas positiva irrationell tal. De senare bildar tillsammans med positiva rationella tal en bredare uppsättning tal, vars element kallas positiva giltig tal.
Om ELLER– horisontell halvlinje som utgår från en punkt O, U- peka på ELLER, skiljer sig från ursprunget O, Och OU väljs som ett enhetssegment, sedan varje punkt P på en halvlinje ELLER kan associeras med ett enda positivt reellt tal sid, uttrycker längden på segmentet OP. På så sätt etablerar vi en en-till-en-överensstämmelse mellan positiva reella tal och andra poäng än O, på en halvlinje ELLER. Om sid Och q– två positiva reella tal som motsvarar poäng P Och F på ELLER, då skriver vi p>q,p = q eller p beroende på platsen för punkten P till höger om punkten F på ELLER, sammanfaller med F eller ligger till vänster om F.
Införandet av positiva irrationella tal utökade avsevärt tillämpningsområdet för aritmetik. Till exempel om a– alla positiva reella tal och när vilket heltal som helst, så finns det bara ett positivt reellt tal b, Så att bn=a. Detta nummer b kallas en rot n e graden av a och skrivs som, där symbolen i sin kontur liknar en latinsk bokstav r, med vilket det latinska ordet börjar radix(rot) och kallas radikal. Det kan man visa
Dessa förhållanden är kända som de grundläggande egenskaperna hos radikaler.
Ur praktisk synvinkel är det mycket viktigt att varje positivt irrationellt tal kan approximeras så noggrant som önskas av ett positivt rationellt tal. Detta betyder att om rär ett positivt irrationellt tal och eär ett godtyckligt litet positivt rationellt tal, då kan vi hitta positiva rationella tal a Och b, Så att a och b. Till exempel är ett tal irrationellt. Om du väljer e= 0,01, då; om du väljer e= 0,001, då .
Indo-arabiskt talsystem.
Algoritmer, eller beräkningsscheman, för aritmetik beror på vilket talsystem som används. Det är till exempel ganska uppenbart att de beräkningsmetoder som uppfunnits för det romerska talsystemet kan skilja sig från de algoritmer som uppfunnits för det nuvarande indo-arabiska systemet. Dessutom kan vissa talsystem vara helt olämpliga för att konstruera aritmetiska algoritmer. Historiska data visar att före antagandet av det indo-arabiska siffernotationssystemet fanns det inga algoritmer alls som gjorde det lätt nog att addera, subtrahera, multiplicera och dividera tal med "penna och papper." Under de långa åren av existensen av det indo-arabiska systemet utvecklades många algoritmiska procedurer speciellt anpassade till det, så att våra moderna algoritmer är produkten av en hel era av utveckling och förbättring.
I det hindu-arabiska talsystemet är varje post som representerar ett nummer en uppsättning av tio grundläggande symboler 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, kallade siffror. Till exempel tar den hindu-arabiska notationen för talet fyrahundratjugotre formen av siffrorna 423. Betydelsen av en siffra i den hindu-arabiska notationen av ett tal bestäms av dess plats, eller position, i sekvensen av siffror som bildar denna notation. I exemplet vi gav betyder siffran 4 fyra hundra, siffran 2 betyder två tiotal och siffran 3 betyder tre enheter. Siffran 0 (noll), som används för att fylla tomma positioner, spelar en mycket viktig roll; till exempel betyder posten 403 talet fyrahundratrea, dvs. tiotals saknas. Om a, b, c, d, e betyder individuella tal, då i det indo-arabiska systemet abcde betyder en förkortning för ett heltal
Eftersom varje heltal medger en unik representation i formuläret
Var när ett heltal, och a 0 , a 1 ,..., en- tal, drar vi slutsatsen att i ett givet talsystem kan varje heltal representeras på ett unikt sätt.
Det hindu-arabiska talsystemet låter dig kortfattat skriva inte bara heltal utan även alla positiva reella tal. Låt oss introducera notationen 10 - n för 1/10 n, Var n– ett godtyckligt positivt heltal. Sedan, som kan visas, kan vilket positivt reellt tal som helst representeras, och unikt, i formen
Denna post kan komprimeras genom att skriva den som en sekvens av nummer
var är tecknet, kallat decimalkomma, mellan a 0 och b 1:an anger var de negativa potenserna av 10 börjar (i vissa länder används en prick för detta ändamål). Denna metod att skriva ett positivt reellt tal kallas decimalexpansion, och en bråkdel som presenteras i form av dess decimalexpansion är decimal.
Det kan visas att för ett positivt rationellt tal bryts decimalexpansionen efter decimalpunkten antingen av (till exempel 7/4 = 1,75) eller upprepas (till exempel 6577/1980 = 3,32171717...). Om ett tal är irrationellt bryts inte dess decimalexpansion av och upprepas inte. Om decimalexpansionen av ett irrationellt tal avbryts vid någon decimalplats får vi dess rationella approximation. Ju längre till höger om decimalkomma tecknet där vi avslutar decimalexpansionen är placerat, desto bättre är den rationella approximationen (ju mindre fel).
I det hindu-arabiska systemet skrivs ett tal med hjälp av tio grundläggande siffror, vars betydelse beror på deras plats eller position i numrets notation (värdet av en siffra är lika med produkten av siffran och några styrka 10). Därför kallas ett sådant system för decimalpositionssystemet. Positionsnummersystem är mycket bekväma för att konstruera aritmetiska algoritmer, och det är därför det indo-arabiska talsystemet är så utbrett i den moderna världen, även om olika symboler kan användas för att beteckna enskilda tal i olika länder.
Namn på nummer.
Namnen på nummer i det indo-arabiska systemet följer vissa regler. Det vanligaste sättet att namnge nummer är att numret först delas in i grupper om tre siffror från höger till vänster. Dessa grupper kallas "perioder". Den första perioden kallas perioden med "enheter", den andra - perioden med "tusentals", den tredje - perioden med "miljoner" etc., som visas i följande exempel:
Varje punkt läses som om det vore ett tresiffrigt tal. Till exempel läses perioden 962 som "niohundrasextiotvå". För att läsa ett tal som består av flera punkter, läses siffrorna i varje period, med början på den längst till vänster och sedan i ordning från vänster till höger; Varje grupp följs av periodens namn. Till exempel lyder siffran ovan "sjuttiotre biljoner åttahundrafyrtiotvå miljarder niohundrasextiotvå miljoner femhundratrettiotvåtusen sjuhundranittioåtta." Observera att när man läser och skriver heltal, används inte konjunktionen "och" vanligtvis. Namnet på enhetskategorin utelämnas. Trillioner följs av quadrillions, quintilions, sextilions, septilions, octilions, nonallions och decillions. Varje period har ett värde som är 1000 gånger större än den föregående.
I det hindu-arabiska systemet är det vanligt att följa följande procedur för att läsa siffrorna till höger om decimalkomma. Här kallas positionerna (i ordning från vänster till höger): "tiondelar", "hundradelar", "tusendelar", "tiotusendelar", etc. En riktig decimal läses som om siffrorna efter decimaltecknet bildar ett heltal, följt av namnet på positionen för den sista siffran till höger. Till exempel läses 0,752 som "sjuhundrafemtiotvå tusendelar". En blandad decimal läses genom att kombinera regeln för att namnge heltal med regeln för att namnge korrekta decimaler. Till exempel läser 632.752 "sex hundra trettiotvå komma sjuhundrafemtiotvå tusendelar." Lägg märke till ordet "heltal" före decimalkomma. Under de senaste åren har decimaltal i allt större utsträckning lästs enklare, till exempel 3,782 som "tre komma sjuhundraåttiotvå".
Tillägg.
Nu är vi redo att analysera de aritmetiska algoritmerna som lärs ut i grundskolan. Dessa algoritmer hanterar operationer på positiva reella tal skrivna som decimalexpansion. Vi antar att elementära additions- och multiplikationstabeller har lärts utantill.
Tänk på additionsproblemet: beräkna 279,8 + 5,632 + 27,54:
Först summerar vi samma potenser av talet 10. Talet 19Х10 –1 delas enligt den fördelande lagen i 9Х10 –1 och 10Х10 –1 = 1. Vi flyttar enheten till vänster och adderar den till 21, vilket ger 22. I sin tur delar vi upp talet 22 i 2 och 20 = 2H10. Vi flyttar talet 2H10 åt vänster och lägger till det till 9H10, vilket ger 11H10. Slutligen delar vi upp 11H10 i 1H10 och 10H10 = 1H10 2, flyttar 1H10 2 till vänster och lägger till det till 2H10 2, vilket ger 3H10 2. Slutsumman visar sig vara 312.972.
Det är tydligt att de utförda beräkningarna kan presenteras i en mer kortfattad form, samtidigt som den används som ett exempel på den additionsalgoritm som lärs ut i skolan. För att göra detta skriver vi alla tre siffrorna under varandra så att decimalerna är på samma vertikal:
Med utgångspunkt från höger finner vi att summan av koefficienterna vid 10 –3 är lika med 2, vilket vi skriver i motsvarande kolumn under raden. Summan av koefficienterna vid 10 –2 är lika med 7, vilket också skrivs i motsvarande kolumn under raden. Summan av koefficienterna för 10 –1 är 19. Vi skriver talet 9 under raden, och flyttar 1 till föregående kolumn, där ettorna står. Med hänsyn till denna enhet visar sig summan av koefficienten i denna kolumn vara lika med 22. Vi skriver en två under raden och flyttar den andra till föregående kolumn, där tiotalen är. Med hänsyn till de överförda två är summan av koefficienterna i denna kolumn lika med 11. Vi skriver en enhet under raden och överför den andra till föregående kolumn, där det finns hundratals. Summan av koefficienterna i denna kolumn visar sig vara lika med 3, vilket vi skriver under raden. Det erforderliga beloppet är 312.972.
Subtraktion.
Subtraktion är motsatsen till addition. Om tre positiva reella tal a, b, c sammankopplade så att a+b=c, då skriver vi a = c – b, där symbolen "-" läses som "minus". Att hitta ett nummer a enligt kända siffror b Och c kallas "subtraktion". siffra c kallas minuend, nummer b– "subtraherbar" och antalet a- "skillnad". Eftersom vi har att göra med positiva reella tal måste villkoret vara uppfyllt c > b.
Låt oss titta på ett exempel på subtraktion: beräkna 453,87 – 82,94.
Först och främst, genom att låna en enhet från vänster om det behövs, transformerar vi expansionen av minuend så att dess koefficient för vilken potens av 10 som helst är större än koefficienten för subtrahenden för samma makt. Från 4H10 2 lånar vi 1H10 2 = 10H10, lägger till det sista talet till nästa term i expansionen, vilket ger 15H10; på samma sätt lånar vi 1Х10 0, eller 10Ч10 –1, och lägger till detta tal till den näst sista termen i expansionen. Efter detta får vi möjlighet att subtrahera koefficienterna för samma potenser av talet 10 och enkelt hitta skillnaden på 370,93.
Registreringen av subtraktionsoperationer kan presenteras i en mer komprimerad form och du kan få ett exempel på en subtraktionsalgoritm studerad i skolan. Vi skriver subtrahenden under minuend så att deras decimaler är på samma vertikal. Med utgångspunkt från höger finner vi att skillnaden i koefficienter vid 10 –2 är lika med 3, och vi skriver detta tal i samma kolumn under raden. Eftersom vi i nästa kolumn till vänster inte kan subtrahera 9 från 8, ändrar vi de tre i enhetspositionen för minuenden till två och behandlar talet 8 i tiondelspositionen som 18. Efter att ha subtraherat 9 från 18 får vi 9 osv. ., dvs.
Multiplikation.
Låt oss först överväga den så kallade "kort" multiplikation är multiplikation av ett positivt reellt tal med ett av de ensiffriga talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, till exempel 32.67ґ4. Med hjälp av distributionslagen, såväl som lagarna för associativitet och kommutativitet för multiplikation, får vi möjlighet att bryta upp faktorer i delar och ordna dem på ett mer bekvämt sätt. Till exempel,
Dessa beräkningar kan skrivas mer kompakt enligt följande:
Komprimeringsprocessen kan fortsätta. Vi skriver faktorn 4 under multiplikanden 32,67, som indikeras:
Eftersom 4ґ7 = 28, skriver vi talet 8 under raden och placerar 2 ovanför siffran 6 i multiplikanden. Därefter, 4ґ6 = 24, vilket, med hänsyn till vad som överförs från kolumnen till höger, ger 26. Vi skriver siffran 6 under raden och skriver 2 ovanför siffran 2 i multiplikanden. Då får vi 4ґ2 = 8, vilket i kombination med de överförda tvåna ger 10. Vi signerar talet 0 under raden, och det ovanför talet 3 i multiplikanden. Slutligen, 4ґ3 = 12, vilket, med hänsyn till den överförda enheten, ger 13; Siffran 13 är skrivet under raden. Om vi sätter en decimal får vi svaret: produkten är lika med 130,68.
En "lång" multiplikation är helt enkelt en "kort" multiplikation som upprepas om och om igen. Överväg till exempel att multiplicera talet 32,67 med talet 72,4. Låt oss placera multiplikatorn under multiplikatorn, som anges:
Genom att göra kort multiplikation från höger till vänster får vi den första kvoten på 13,068, den andra på 65,34 och den tredje på 2286,9. Enligt distributionslagen är produkten som måste hittas summan av dessa delprodukter, eller 2365.308. I skriftlig notering utelämnas decimaltecknet i delprodukter, men de måste vara korrekt ordnade i ”steg” för att sedan summeras för att få den kompletta produkten. Antalet decimaler i produkten är lika med summan av antalet decimaler i multiplikatorn och multiplikatorn.
Division.
Division är den omvända operationen av multiplikation; precis som multiplikation ersätter upprepad addition, ersätter division upprepad subtraktion. Tänk till exempel på följande fråga: hur många gånger finns 3 i 14? Genom att upprepa operationen att subtrahera 3 från 14, finner vi att 3 "kommer in" 14 fyra gånger, och siffran 2 "blir kvar", dvs.
Numret 14 kallas delbar, nummer 3 - delare, nummer 4 – privat och nummer 2 - påminnelsen. Det resulterande förhållandet kan uttryckas i ord som följer:
utdelning = (delar ґ kvot) + återstoden,
0 Ј återstod
Att hitta kvoten och resten av 1400 dividerat med 3 genom att upprepade gånger subtrahera 3 skulle kräva mycket tid och ansträngning. Proceduren skulle kunna påskyndas avsevärt om vi först subtraherar 300 från 1400, sedan 30 från resten och slutligen 3. Efter att ha subtraherat 300 fyra gånger skulle vi få en återstod av 200; efter att ha subtraherat 30 från 200 sex gånger, skulle resten vara 20; slutligen, efter att ha subtraherat 3 från 20 sex gånger, får vi resten 2. Därför,
Kvoten och återstoden som ska hittas är 466 respektive 2. Beräkningarna kan organiseras och sedan komprimeras sekventiellt enligt följande:
Ovanstående resonemang gäller om utdelning och divisor är några positiva reella tal uttryckta i decimalsystemet. Låt oss illustrera detta med exemplet 817.65е23.7.
Först måste divisorn konverteras till ett heltal med hjälp av en decimalpunktsförskjutning. I det här fallet skiftas decimalkomma för utdelningen med samma antal decimaler. Delaren och utdelningen är ordnade enligt nedan:
Låt oss bestämma hur många gånger divisorn ingår i det tresiffriga talet 817, den första delen av utdelningen som vi dividerar med divisorn. Eftersom den beräknas vara innesluten tre gånger multiplicerar vi 237 med 3 och subtraherar produkten av 711 från 817. Skillnaden på 106 är mindre än divisorn. Det betyder att siffran 237 dyker upp i provutdelningen högst tre gånger. Siffran 3, skriven under siffran 2-delaren under den horisontella linjen, är den första siffran i kvoten som måste hittas. Efter att vi flyttat ner nästa siffra i utdelningen får vi nästa provutdelning 1066, och vi måste bestämma hur många gånger divisorn 237 passar in i talet 1066; Låt oss säga 4 gånger. Vi multiplicerar divisorn med 4 och får produkten 948, som vi subtraherar från 1066; skillnaden visar sig vara 118, vilket betyder att nästa siffra i kvoten är 4. Vi subtraherar sedan nästa siffra i utdelningen och upprepar hela proceduren som beskrivs ovan. Den här gången visar det sig att provutdelningen 1185 är exakt (utan rest) delbar med 237 (återstoden av divisionen visar sig slutligen vara 0). Genom att separera med ett decimalkomma i kvoten samma antal siffror som de separeras i utdelningen (kom ihåg att vi tidigare flyttat decimalkomma) får vi svaret: kvoten är lika med 34,5.
Bråk.
Beräkningar med bråk inkluderar addition, subtraktion, multiplikation och division, samt förenkling av komplexa bråk.
Att addera bråk med samma nämnare görs genom att addera täljarna, till exempel,
1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.
Om bråk har olika nämnare, så måste de först reduceras till en gemensam nämnare, d.v.s. omvandla till bråk med samma nämnare. För att göra detta hittar vi den minsta gemensamma nämnaren (den minsta multipeln av var och en av de givna nämnarna). Till exempel, när man lägger till 2/3, 1/6 och 3/5 är den minsta gemensamma nämnaren 30:
Sammanfattningsvis får vi
20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.
Att subtrahera bråk görs på samma sätt som att addera dem. Om nämnarna är desamma, så handlar subtraktionen om att subtrahera täljarna: 10/13 – 2/13 = 8/13; Om bråk har olika nämnare, måste du först föra dem till en gemensam nämnare:
7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.
När man multiplicerar bråk, multipliceras deras täljare och nämnare separat. Till exempel,
5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.
För att dividera ett bråk med ett annat måste du multiplicera det första bråket (utdelningen) med det ömsesidiga bråket av det andra (divisorn) (för att få det ömsesidiga bråket måste du byta täljare och nämnare för det ursprungliga bråket), d.v.s. ( n 1 /d 1)е( n 2 /d 2) = (n 1 H d 2)/(d 1 H n 2). Till exempel,
3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.
Ett blandat tal är summan (eller skillnaden) av ett heltal och en bråkdel, till exempel 4 + 2/3 eller 10 – 1/8. Eftersom ett heltal kan ses som ett bråk med nämnaren 1, är ett blandat tal inget annat än summan (eller skillnaden) av två bråk. Till exempel,
4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.
Ett komplext bråk är ett som har ett bråk i antingen täljaren, nämnaren eller täljaren och nämnaren. Denna bråkdel kan omvandlas till en enkel:
Roten ur.
Om n r, Så att r 2 = n. siffra r kallad roten ur från n och är betecknad. I skolan lär de dig att extrahera kvadratrötter på två sätt.
Den första metoden är mer populär eftersom den är enklare och lättare att applicera; beräkningar med denna metod implementeras enkelt på en datorkalkylator och generaliserar till fallet med kubrötter och högre rötter. Metoden bygger på att om r 1 – närmar sig roten, alltså r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – mer exakt approximation av roten.
Låt oss illustrera proceduren genom att beräkna kvadratroten av ett tal mellan 1 och 100, säg talet 40. Eftersom 6 2 = 36 och 7 2 = 49, drar vi slutsatsen att 6 är den bästa approximationen till i heltal. En mer exakt approximation till erhålls från 6 enligt följande. Att dividera 40 med 6 ger 6,6 (avrundat till första decimalen) även antal tiondelar). För att få en andra approximation till , snittar vi de två talen 6 och 6,6 och får 6,3. Genom att upprepa proceduren får vi en ännu bättre uppskattning. Om vi dividerar 40 med 6,3 hittar vi talet 6,350, och den tredje approximationen visar sig vara (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. En annan upprepning ger 40е6,325 = 6,3241106, och den fjärde approximationen visar sig vara (1/2)(6,325 + 6,3241106) = 6,3245553. Processen kan fortsätta så länge som önskas. I allmänhet kan varje efterföljande approximation innehålla dubbelt så många siffror som den föregående. Så, i vårt exempel, eftersom den första approximationen, heltal 6, bara innehåller en siffra, kan vi behålla två siffror i den andra approximationen, fyra i den tredje och åtta i den fjärde.
Om antalet n inte ligger mellan 1 och 100, då måste du först dividera (eller multiplicera) n till någon makt av 100, säg till k-th så att produkten ligger i intervallet från 1 till 100. Då kommer kvadratroten av produkten att vara i intervallet 1 till 10, och efter att den har extraherats multiplicerar (eller dividerar) vi det resulterande talet med 10 k, hitta den nödvändiga kvadratroten. Till exempel om n= 400000, då vi först dela upp 400000 gånger 100 2 och vi får talet 40, som ligger i intervallet från 1 till 100. Som visas ovan är det ungefär lika med 6,3245553. Multiplicera detta tal med 10 2 får vi 632,45553 som ett ungefärligt värde för, och talet 0,63245553 fungerar som ett ungefärligt värde för.
Den andra av procedurerna som nämns ovan är baserad på den algebraiska identiteten ( a + b) 2 = a 2 + (2a + b)b. Vid varje steg tas den redan erhållna delen av kvadratroten som a, och den del som fortfarande behöver bestämmas är för b.
Kubikroten.
För att extrahera kubroten av ett positivt reellt tal finns det algoritmer som liknar dem för att extrahera kvadratroten. Till exempel för att hitta kubikroten av ett tal n, först approximerar vi roten med något tal r 1 . Sedan bygger vi en mer exakt uppskattning r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), vilket i sin tur ger vika för en ännu mer exakt approximation r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2), etc. Proceduren för att konstruera allt mer exakta approximationer av roten kan fortsätta i det oändliga.
Tänk till exempel att beräkna kubroten av ett tal mellan 1 och 1000, säg talet 200. Eftersom 5 3 = 125 och 6 3 = 216, drar vi slutsatsen att 6 är det närmaste heltal till kubroten ur 200. Därför väljer vi r 1 = 6 och sekventiellt beräkna r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. I varje approximation, från och med den tredje, är det tillåtet att behålla ett antal tecken som är ett mindre än dubbelt så många tecken i föregående approximation. Om talet som du vill extrahera kubroten från inte är mellan 1 och 1000, måste du först dividera (eller multiplicera) det med några, säg, k th, potens av talet 1000 och därigenom föra det till det önskade intervallet av tal. Kubroten av det nyligen erhållna talet ligger i intervallet från 1 till 10. Efter att det har beräknats måste det multipliceras (eller divideras) med 10 k för att få kubroten av det ursprungliga talet.
Den andra, mer komplexa, algoritmen för att hitta kubroten till ett positivt reellt tal är baserad på användningen av den algebraiska identiteten ( a + b) 3 = a 3 + (3a 2 + 3ab + b 2)b. För närvarande lärs inte algoritmer för att extrahera kubrötter, såväl som rötter till högre makter, i gymnasiet, eftersom de är lättare att hitta med logaritmer eller algebraiska metoder.
Euklids algoritm.
Denna algoritm presenterades i Börjande Euklid (ca 300 f.Kr.). Den används för att beräkna den största gemensamma divisorn av två heltal. För positiva tal är det formulerat som en procedurregel: ”Dividera det största av de två givna talen med det mindre. Dela sedan divisorn med resten och fortsätt på detta sätt tills den sista divisorn är jämnt dividerad med den sista resten. Den sista av divisorn kommer att vara den största gemensamma divisorn av de två givna talen."
Som ett numeriskt exempel, betrakta två heltal 3132 och 7200. Algoritmen i detta fall kommer ner till följande steg:
Den största gemensamma divisorn är densamma som den sista divisorn - talet 36. Förklaringen är enkel. I vårt exempel ser vi från den sista raden att talet 36 delar talet 288. Av den näst sista raden följer att talet 36 delar 324. Så när vi går upp från rad till rad är vi övertygade om att talet 36 delar 936 , 3132 och 7200 Vi hävdar nu att talet 36 är en gemensam divisor för talen 3132 och 7200. Låt oss gär den största gemensamma delaren av talen 3132 och 7200. Sedan g delar 3132 och 7200, från första raden följer att g delar 936. Från den andra raden drar vi slutsatsen att g delar 324. Så när vi går ner från rad till rad är vi övertygade om det g delar 288 och 36. Och eftersom 36 är en gemensam divisor av talen 3132 och 7200 och delas med deras största gemensamma divisor, drar vi slutsatsen att 36 är denna största gemensamma divisor.
Undersökning.
Aritmetiska beräkningar kräver konstant uppmärksamhet och är därför benägna att göra fel. Därför är det mycket viktigt att kontrollera beräkningsresultaten.
1. Tillägget av en kolumn med siffror kan kontrolleras genom att lägga till siffrorna i kolumnen först uppifrån och ner och sedan från botten till toppen. Motiveringen för denna verifieringsmetod är den generaliserade lagen om kommutativitet och additionsassociativitet.
2. Subtraktion kontrolleras genom att addera skillnaden med subtrahenden - minuend bör erhållas. Skälet för denna verifieringsmetod är definitionen av subtraktionsoperationen.
3. Multiplikation kan kontrolleras genom att ordna om multiplikanten och multiplikatorn. Motiveringen för denna verifieringsmetod är lagen om kommutativ multiplikation. Du kan kontrollera multiplikationen genom att bryta faktorn (eller multiplikaden) i två termer, utföra två separata multiplikationsoperationer och lägga till de resulterande produkterna - du bör få den ursprungliga produkten.
4. För att kontrollera division måste du multiplicera kvoten med divisorn och lägga till resten till produkten. Du borde få utdelningen. Skälet för denna verifieringsmetod är definitionen av divisionsoperationen.
5. Att kontrollera riktigheten av att extrahera en kvadrat- (eller kubisk) rot består av att höja det resulterande talet genom att kvadrera (eller kub) - det ursprungliga numret bör erhållas.
Ett särskilt enkelt och mycket tillförlitligt sätt att kontrollera addition eller multiplikation av heltal är en teknik som representerar en övergång till den sk. "jämförelser modulo 9". Låt oss kalla "överskott" för resten av summan av siffrorna som används för att skriva talet när de divideras med 9. Sedan, angående "överskott", kan två satser formuleras: "överskottet av summan av heltal är lika med överskottet av summan av överskott av termer", och "överskottet av produkten av två heltal är lika med överskott av produkten av deras överdrifter." Nedan är exempel på kontroller baserade på detta teorem:
Metoden att gå till jämförelser modulo 9 kan också användas när man testar andra aritmetiska algoritmer. Naturligtvis är en sådan kontroll inte ofelbar, eftersom att arbeta med "excesser" också är föremål för fel, men en sådan situation är osannolik.
Intressera.
En procentsats är ett bråk vars nämnare är 100; Procent kan skrivas på tre sätt: som bråk, som decimal eller med den speciella procentsatsen %. Till exempel kan 7 procent skrivas som 7/100, som 0,07 eller som 7%.
Ett exempel på den vanligaste typen av procentproblem är följande: "Hitta 17 % av 82." För att lösa detta problem måste du beräkna produkten 0,17ґ82 = 13,94. I produkter av detta slag kallas 0,17 för räntan, 82 är basen och 13,94 är andelen, uttryckt i procent. De tre nämnda storheterna är relaterade till varandra genom relationen
Betyg ґ bas = procentandel.
Om två kvantiteter är kända kan den tredje bestämmas utifrån detta förhållande. Följaktligen får vi tre typer av problem "att använda procentsatser".
Exempel 1. Antalet elever inskrivna i denna skola ökade från 351 till 396. Med hur många procent ökade denna siffra?
Ökningen var 396 – 351 = 45 personer. Om vi skriver bråket 45/351 i procent får vi 45/351 = 0,128 = 12,8%.
Exempel 2. En annons i butiken under en rea säger "25 % rabatt på alla varor." Vad är försäljningspriset för en vara som normalt säljs för 3,60 USD?
En minskning med 25 % av priset på 3,60 USD betyder en minskning med 0,25-3,60 = 0,90 USD; därför kommer priset på föremålet under rean att vara $3,60 – $0,90 = $2,70.
Exempel 3. Pengar som satts in på banken med 5 % per år gav en vinst på 40 USD per år. Vilket belopp sattes in på banken?
Eftersom 5% av beloppet är $40, d.v.s. 5/100 ґ belopp = $40, eller 1/100 ґ belopp = 8 dollar, det totala beloppet är 800 dollar.
Aritmetik av ungefärliga tal.
Många siffror som används i beräkningar härrör antingen från mätningar eller uppskattningar och kan därför endast betraktas som approximationer. Det är uppenbart att resultatet av beräkningar utförda med ungefärliga tal bara kan vara ett ungefärligt tal. Anta till exempel att mätningar av motytan gav följande resultat (avrundat till närmaste tiondels meter): bredd 1,2 m, längd 3,1 m; man kan säga att diskens yta är 1,2ґ3,1 = 3,72 m2. Men i verkligheten är informationen långt ifrån så säker. Eftersom värdet 1,2 m endast indikerar att breddmåttet är mellan 1,15 och 1,25 m, och 3,1 indikerar att längdmåttet är mellan 3,05 och 3,15 m, kan vi om räknarens area bara säga att det bör vara större än 1,15ґ3,05 = 3,5075, men mindre än 1,25ґ3,15 = 3,9375. Därför är det enda rimliga svaret på frågan om diskens yta att säga att det är cirka 3,7 m 2 .
Låt oss sedan överväga problemet med att lägga till resultaten av ungefärliga mätningar på 3,73 m, 52,1 m och 0,282 m. Den enkla summan är 56,112 m. Men, liksom i föregående problem, är allt som med säkerhet kan sägas att den sanna summan måste vara större än 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m och mindre än 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Det enda rimliga svaret på frågan är alltså att säga att summan är ungefär lika med 56,1 m.
De två exemplen ovan illustrerar några regler som är användbara när man arbetar med ungefärliga siffror. Det finns olika sätt att avrunda siffror. En av dem är att kassera de nedre siffrorna i numret. Dessutom, om den första siffran som ska kasseras är mer än fem, måste den sista återstående siffran ökas med en, om mindre, förblir den sista siffran i den återstående delen oförändrad.
Om den första siffran som ska kasseras är exakt fem, ökas den sista siffran som ska behållas med en om den är udda och förblir oförändrad om den är jämn. Till exempel, när man avrundar till närmaste hundradel av talet 3,14159;17,7682; 28,999; 0,00234; 7.235 och 7.325 blir 3.14; 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 och 7.32.
En annan metod för avrundning är förknippad med begreppet signifikanta siffror och används när man skriver ett tal med maskin. De signifikanta siffrorna i ett ungefärligt tal är siffrorna i dess decimalnotation i ordning från vänster till höger, som börjar med den första siffran som inte är noll och slutar med den siffra som står i stället för den decimal som motsvarar felet. Till exempel är de signifikanta siffrorna i det ungefärliga talet 12.1 siffrorna 1, 2, 1; ungefärligt antal 0,072 – nummer 7, 2; det ungefärliga talet 82000, skrivet till närmaste hundratal, är 8, 2, 0.
Nu kommer vi att formulera de två reglerna för att arbeta med ungefärliga siffror som nämns ovan.
När man adderar och subtraherar ungefärliga siffror ska varje siffra avrundas till siffran efter den sista siffran i det minst exakta talet, och den resulterande summan och skillnaden ska avrundas till samma antal siffror som det minst exakta talet. När man multiplicerar och dividerar ungefärliga tal, ska varje tal avrundas till tecknet efter den sista signifikanta siffran i det minst signifikanta talet, och produkten och kvoten ska avrundas med samma noggrannhet som det minst exakta talet är känt.
För att återgå till de tidigare övervägda problemen får vi:
1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2
3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,
där tecknet " betyder "ungefär lika".
Vissa aritmetiska läroböcker tillhandahåller algoritmer för att arbeta med ungefärliga siffror, så att du kan undvika onödiga tecken när du räknar. Dessutom använder de sk. registrera ungefärliga siffror, dvs. vilket tal som helst representeras som (ett tal i intervallet från 1 till 10) ґ (potens 10), där den första faktorn endast innehåller de signifikanta siffrorna i talet. Till exempel skulle 82000 km, avrundat till närmaste hundra km, skrivas som 8,20ґ10 4 km, och 0,00702 cm skulle skrivas som 7,02ґ10 –3 cm.
Tal i matematiska tabeller, trigonometriska eller logaritmiska tabeller är ungefärliga, skrivna med ett visst antal tecken. När du arbetar med sådana tabeller bör du följa reglerna för beräkningar med ungefärliga siffror.
Logaritmer.
I början av 1600-talet. Komplexiteten i tillämpade datorproblem har ökat så mycket att det inte var möjligt att hantera dem "manuellt" på grund av för mycket arbete och tid. Lyckligtvis uppfanns i tid av J. Napier i början av 1600-talet. logaritmer gjorde det möjligt att hantera problemet som uppstod. Eftersom teorin och tillämpningarna av logaritmer beskrivs i detalj i en speciell artikel LOGARITM, kommer vi att begränsa oss till endast den mest nödvändiga informationen.
Det kan visas att om när ett positivt reellt tal, så finns det ett unikt positivt reellt tal x, så att 10 x = n. siffra x kallas (vanlig eller decimal) logaritm tal n; konventionellt skrivs det så här: x=logg n. Logaritmen är alltså en exponent, och av lagarna för operationer med exponenter följer att
Det är dessa egenskaper hos logaritmer som förklarar deras utbredda användning inom aritmetik. De första och andra egenskaperna tillåter oss att reducera alla multiplikations- och divisionsproblem till ett enklare additions- och subtraktionsproblem. De tredje och fjärde egenskaperna gör det möjligt att reducera exponentiering och rotextraktion till mycket enklare operationer: multiplikation och division.
För att underlätta användningen av logaritmer har deras tabeller sammanställts. För att sammanställa en tabell med decimallogaritmer räcker det att endast inkludera logaritmer av tal från 1 till 10. Till exempel, eftersom 247.6 = 10 2 ґ2.476 har vi: log247.6 = log10 2 + log2.476 = 2 + log2.476, och sedan 0.02476 = 10 –2 ґ2.476, då log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. Observera att decimallogaritmen för ett tal mellan 1 och 10 ligger mellan 0 och 1 och kan skrivas som en decimal. Härav följer att decimallogaritmen för ett tal är summan av ett heltal, kallat logaritmens kännetecken, och ett decimalbråk, kallat logaritmens mantissa. Egenskapen för logaritmen för alla tal kan hittas "i sinnet"; Mantissan ska hittas med hjälp av logaritmtabeller. Till exempel, från tabellerna finner vi att log2.476 = 0.39375, därav log247.63 = 2.39375. Om karakteristiken för logaritmen är negativ (när talet är mindre än ett), är det lämpligt att representera det som skillnaden mellan två positiva heltal, till exempel log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. följande exempel förklarar denna teknik.
Litteratur:
Matematikens historia från antiken till början av 1800-talet., vol. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Räknekurs. M., 1972
Nechaev V.I. Numeriska system. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Stigar och labyrinter. Essäer om matematikens historia. M., 1986
Engler E. Elementär matematik. M., 1987
Allt om allt. Volym 3 Likum Arkady
Hur kom aritmetiken till?
Hur kom aritmetiken till?
Aritmetik kan kallas vetenskapen om siffror. Själva ordet kommer från grekiskan "arithmos", som betyder "tal". Först räknade folk sina får och kor med sina fingrar. Sedan började människan att räkna med hjälp av skåror på pinnar, och nästa steg var uppfinnandet av ett talsystem då varje tal kunde skrivas med tecken eller symboler. De gamla grekerna anpassade bokstäverna i alfabetet för dessa ändamål, och romarna gick längre, utelämnade alla extra bokstäver och använde bara sju bokstäver i alfabetet för att skriva siffror. Detta system användes för register, men för att räkna användes abacus (konto).
Araberna utvecklade siffror baserade på det indiska systemet, som vi använder än idag. De använde noll för att ange siffror, vilket otroligt förenklade räknesystemet. Araberna kallade noll "sifr", vilket är där ordet "siffra" kommer ifrån. Den första aritmetiska läroboken, som rekommenderade att använda det arabiska räknesystemet, skrevs av en okänd italiensk vetenskapsman 1202.
Den första tryckta aritmetiska läroboken skrevs på latin och publicerades i Italien 1478. Andra läroböcker trycktes mellan 1484 och 1496. De pratade om addition, subtraktion och multiplikation. I vissa latinskolor studerades aritmetik endast under det femte och sjätte studieåret, och man tilldelade endast ett te per vecka för detta.
Man måste komma ihåg att dessa gamla aritmetiska verk innehöll mycket av de moderna metoderna, och vi måste med tacksamhet minnas deras författare och de indiska forskare som inspirerade dem. Det finns ingen anledning att prata om hur nödvändigt det är att kunna grunderna för addition, multiplikation, subtraktion och division perfekt för att förstå de grundläggande principerna för aritmetik.
Från boken Autolikbez författare Geiko Yuri VasilievichVinterns aritmetik Alla som kör är indelade i tre kategorier: bilister, privata ägare och "attrapper". En bilist är någon som kör varje dag, både vinter och sommar. En privat ägare är en som reser under alla årstider utom vintern. En "tekanna" är någon som precis lär sig att rida, och
Från boken 100 stora militära hemligheter författare Kurushin Mikhail Yurievich Från boken Encyclopedic Dictionary (A) författaren Brockhaus F.A.Aritmetik Aritmetik (från de grekiska orden ariJmoV - tal och tecnh - art) är en del av matematiken som handlar om studiet av egenskaperna hos vissa specifika storheter; i en snävare mening är aritmetik vetenskapen om tal uttryckta i tal och handlar om operationer på tal. Kan jag
Från boken How to Write Persuasively [The Art of Argumentation in Scientific and Popular Science Works] av Graff GeraldHur den här boken kom till Idén till den här boken växte fram ur vårt gemensamma intresse för att demokratisera den akademiska kulturen. Vi förlitade oss främst på argumenten från Gerald Graff, som under hela sin karriär hävdade att skolor och högskolor borde uppmuntra studenter och
Från boken Vem är vem i konstvärlden författare Sitnikov Vitaly PavlovichHur kom musiken till? Har du någonsin gått genom skogen och stött på en liten bäck som porlande glatt längs stigen? Det låter som musik, eller hur? När regnet trummar på taket sjunger en fågel försiktigt - är inte det här musik? När en person började observera vad som hände runt omkring
Ur boken Länder och folk. Frågor och svar författaren Kukanova Yu. V.Hur kom Terrakottaarmén till? År 1974, inte långt från den kinesiska staden Xi'an, hittades en fantastisk begravning: tillsammans med graven för den första kejsaren av Qin-dynastin upptäckte forskare... en hel armé! Cirka 8 tusen skulpturer som föreställer fotsoldater, bågskyttar,
Från boken Vem är vem i världshistorien författare Sitnikov Vitaly PavlovichNär uppstod civilisationen? Det har gått mycket tid sedan människan uppnådde det vi kallar det civiliserade samhället. Till en början befann sig människan, liksom djur, i ett vilt tillstånd. Han kunde inte tala och åt bara det han kunde hitta till mat. Senare människor
Från boken Vem är vem i världen av upptäckter och uppfinningar författare Sitnikov Vitaly PavlovichNär dök sängen upp? Ingen vet vem som gjorde den första sängen. Med ordet "säng" menar vi en möbel som vi sover på. Redan de gamla assyrierna, mederna och perserna hade sängar som var ganska komplexa strukturer. De var gjorda av sten
Från boken 100 stora militära hemligheter [med illustrationer] författare Kurushin Mikhail Yurievich författaren Likum ArkadyHur uppstod den protestantiska religionen? I början av 1500-talet började en religiös revolution, kallad "reformationen". Som ett resultat uppstod många grenar av den protestantiska religionen. Båda orden - reformation och protestantism - betyder att det viktigaste i dessa religiösa
Från boken Allt om allt. Volym 2 författaren Likum ArkadyHur kom musiken till? Har du någonsin gått genom skogen och stött på en liten bäck som porlande glatt längs stigen? Det låter som musik, eller hur? När regnet trummar på taket sjunger en fågel lågt – är det här musik? När en person började observera vad som hände runt omkring
Från boken Great Soviet Encyclopedia (AR) av författaren TSB Från boken Jag utforskar världen. Flyg och flygteknik författare Zigunenko Stanislav NikolaevichSorglig aritmetik Vanligtvis i berättelser om baggar är det vanligt att betona det unika med denna teknik, det är absolut nödvändigt att säga att endast sovjetiska ess vågade utföra det. Samtidigt försvann huvudfrågan på något sätt i skuggorna: ”Varför gjorde de det här? ”Ja, för vi slogs
Från boken The Complete Encyclopedia of Modern Educational Games for Children. Från födseln till 12 år författare Voznyuk Natalia Grigorievna"Enkel aritmetik" Lös några ovanliga matematiska problem.1) Jag går till poolen en gång var tredje dag; Seryozha - en gång var 4:e dag, och Kolya - en gång var 5:e dag. I måndags träffades vi alla vid poolen, hur snart ska vi ses igen och vilken veckodag blir det? (Genom
Från boken Great Soviet Encyclopedia (FO) av författaren TSB Från boken How Companies Became Great - Stories about Business and Trade av Mingo JackHur hunden dök upp på bussar: "Låt oss köra." The Greyhound Company, det äldsta och mest populära bussbolaget i landet, började sin existens i Hibbing, Minnesota. I denna stad föddes många år senare Bob Dylan, som till skillnad från
Skollyceum nr __
Uppsats
på ämnet
"Historien om aritmetiska operationer"
Genomförda: __ 5:e _ årskurs övningar
______________
Karaganda, 2015
Araberna raderade inte siffror utan strök över dem och skrev ett nytt nummer ovanför det överstrukna. Det var väldigt obekvämt. Sedan började de arabiska matematikerna, med samma subtraktionsmetod, börja handlingen från de lägsta leden, d.v.s. när de väl arbetade på en ny subtraktionsmetod, liknande den moderna. För att indikera subtraktion på 300-talet. före Kristus e. i Grekland använde man den omvända grekiska bokstaven psi (F). Italienska matematiker använde bokstaven M, initialbokstaven i ordet minus, för att beteckna subtraktion. På 1500-talet började tecknet - användas för att indikera subtraktion. Detta tecken övergick förmodligen till matematik från handeln. Köpmän, som hällde upp vin från tunnor för försäljning, använde en kritstreck för att markera antalet mått vin som såldes från tunnan.
Multiplikation
Multiplikation är ett specialfall av att lägga till flera identiska tal. I gamla tider lärde sig människor att föröka sig när man räknade föremål. Så om man räknar siffrorna 17, 18, 19, 20 i ordning, skulle de representera
20 är inte bara som 10+10, utan också som två tior, det vill säga 2 10;
30 är som tre tior, det vill säga upprepa tiotermen tre gånger - 3 - 10 - och så vidare
Människor började multiplicera mycket senare än att lägga till. Egyptierna utförde multiplikation genom upprepad addition eller successiva fördubblingar. I Babylon, när de multiplicerade siffror, använde de speciella multiplikationstabeller - "förfäderna" till moderna. I det antika Indien använde man en metod för att multiplicera tal som också låg ganska nära den moderna. Indianerna multiplicerade siffror från de högsta leden. Samtidigt raderade de de siffror som måste ersättas under efterföljande åtgärder, eftersom de lade till det nummer som vi nu kommer ihåg när vi multiplicerar. Således skrev indiska matematiker omedelbart ner produkten och utförde mellanliggande beräkningar i sanden eller i deras huvuden. Den indiska multiplikationsmetoden fördes vidare till araberna. Men araberna raderade inte siffrorna utan strök över dem och skrev ett nytt nummer ovanför det överstrukna. I Europa kallades produkten under lång tid summan av multiplikation. Namnet "multiplikator" nämns i verk från 600-talet och "multiplikant" på 1200-talet.
På 1600-talet började vissa matematiker beteckna multiplikation med ett snett kors - x, medan andra använde en prick för detta. På 1500- och 1600-talen användes olika symboler för att indikera handlingar, det fanns ingen enhetlighet i deras användning. Först i slutet av 1700-talet började de flesta matematiker använda en prick som multiplikationstecken, men de tillät också användningen av ett snedkors. Multiplikationstecken ( , x) och likhetstecknet (=) blev allmänt accepterade tack vare den berömda tyske matematikern Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) auktoritet.
Division
I tusentals år indikerades inte splittringens verkan av något tecken - det kallades och skrevs helt enkelt ner som ett ord. Indiska matematiker var de första som betecknade division med den initiala bokstaven från namnet på denna handling. Araberna införde en linje för att beteckna uppdelningen. Linjen för att markera division antogs från araberna på 1200-talet av den italienske matematikern Fibonacci. Han var den förste som använde termen privat. Kolontecknet (:) för att indikera delning kom i bruk i slutet av 1600-talet.
Likhetstecknet (=) introducerades först av den engelske matematikläraren R. Ricorrd på 1500-talet. Han förklarade: "Inga två objekt kan vara mer lika varandra, som två parallella linjer." Men även i egyptisk papyri finns det ett tecken som betecknade likheten mellan två siffror, även om detta tecken är helt annorlunda än tecknet =.
Å ena sidan är detta en väldigt enkel fråga. Å andra sidan blandar skolbarn, och många vuxna, ofta ihop räkning och matematik och vet inte riktigt vad skillnaden är mellan dessa två ämnen. Matematik är det mest omfattande begreppet som inkluderar alla operationer med siffror. Aritmetik är bara en av matematikens grenar. Aritmetik inkluderar introduktion till tal, enkel räkning och taloperationer. Tidigare kallades lektioner i skolor aritmetik, och först med tiden började de bära namnet matematik, som smidigt flyter in i algebra. I huvudsak börjar algebra när okända siffror visas i exempel och bokstäver används istället. Det vill säga på ett enkelt sätt operationer med x Och y.
Termin "aritmetisk" kommer från det grekiska ordet "arithmos", vilket betyder "nummer". Under 1300- och 1400-talen översattes denna term i England inte helt korrekt - "den metriska konsten", som i huvudsak betydde "metrisk konst", lämplig mer för geometri än enkel räkning och enkla operationer med siffror.
En av anledningarna till att begreppet "arithmetik" inte används i skolor är att man även i grundskolans lektioner, förutom siffror, även studerar geometriska former och måttenheter (centimeter, meter, etc.), och det gäller utöver det vanliga kontot. Men att lära sig huvudräkning sker i viss mån naturligt i ett barns liv, i processen att lära känna världen omkring honom. Termin "huvudräkning" betyder förmågan att göra mental matematik. Håller med, var och en av oss lär sig detta någon gång i livet, och inte bara genom skollektioner.
Idag finns det hela metoder för att utveckla barns snabba huvudräkningsfärdigheter. Särskilt populär är till exempel antik Abacus-träning, som bygger på förmågan att räkna med speciella kulramar (till skillnad från vanliga med tiotals). Kulramöversatt från engelska är "kulram", det är därför namnet på tekniken låter detsamma. Japanerna kallar denna teknik för Soroban-träning, eftersom... på deras språk kallas "kulram" för "soroban".
Aritmetik använder fyra elementära operationer - addition, subtraktion, multiplikation och division. Det spelar ingen roll om heltal används i exemplet eller decimaler och bråk. Du kan introducera ditt barn för siffror från tidig barndom och göra det enkelt och genom lek. Föräldrar kommer att få hjälp med detta inte bara av sin fantasi, utan också av en mängd olika specialpedagogiska material som kan hittas i vilken butik som helst.
Enligt moderna krav för första klass bör ett barn redan räkna minst upp till tio (och helst upp till 20), och även utföra grundläggande operationer med bekanta siffror - lägga till och subtrahera dem. Det är också viktigt att barnet kan jämföra vilka siffror som är större, vilka som är mindre och vilka siffror som är lika. Således kan vi säga att det är aritmetik som ett barn ska kunna redan innan det går in i skolan.
Sådana krav presenteras inte bara i Ryssland, utan över hela världen, eftersom Livets takt ökar och kunskapsvolymen ökar dagligen. Det som var tillräckligt att veta i skolans läroplan för 20-30 år sedan tar idag inte upp mer än 50 % av den information som lärarna lär ut. Hur som helst, aritmetiken kommer alltid att förbli grunden för att lära sig siffror och räkna, såväl som den inledande nivån i matematik, utan vilken det är omöjligt att lära sig mer komplexa uppgifter och färdigheter.
- I kontakt med 0
- Google+ 0
- OK 0
- Facebook 0
