Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.
Начнем обзор с простейших случаев - двучленного и возвратного уравнений. Затем перейдем к отысканию рациональных корней (если такие имеются). Закончим примером отыскания корней кубического уравнения по формуле Кардано для общего случая.
Навигация по странице.
Решение двучленного кубического уравнения.
Двучленное кубическое уравнение имеет вид .
Это уравнение приводится к виду делением на коэффициент А
, отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:
Из первой скобки находим , а квадратный трехчлен 
имеет лишь комплексные корни.
Пример.
Найти действительные корни кубического уравнения .
Решение.
Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:
Из первой скобки находим , квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Ответ:
Решение возвратного кубического уравнения.
Возвратное кубическое уравнение имеет вид , где А и В – коэффициенты.
Проведем группировку:
Очевидно, что х = -1
является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена 
легко находятся через дискриминант.
Пример.
Решить кубическое уравнение 
.
Решение.
Это уравнение возвратное. Проведем группировку:
Очевидно, x = -1 является корнем уравнения.
Находим корни квадратного трехчлена :
Ответ:
Решение кубических уравнений с рациональными корнями.
Начнем с простейшего случая, когда х=0 является корнем кубического уравнения .
В этом случае свободный член D
равен нулю, то есть уравнение имеет вид 
.
Если вынести х
за скобки, то в скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти либо через дискриминант, либо по теореме Виета 
.
Пример.
Найти действительные корни уравнения 
.
Решение.
x=0 является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена .
Так как его дискриминант меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.
Ответ:
х=0 .
Если коэффициенты кубического уравнения являются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни.
При , домножим обе части уравнения на и проведем замену переменных y = Ax
:
Пришли к приведенному кубическому уравнению. Оно может иметь целые корни, которые являются делителями свободного члена. Так что выписываем все делители и начинаем их подставлять в полученное уравнение до получения тождественного равенства. Тот делитель , при котором тождество получено, является корнем уравнения. Следовательно, корнем исходного уравнения является .
Пример.
Найти корни кубического уравнения .
Решение.
Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на обе части и проведем замену переменной y = 2x
.
Свободный член равен 36 . Запишем все его делители: .
Подставляем их по очереди в равенство 
до получения тождества:
Таким образом, y = -1 является корнем. Ему соответствует .
Разделим 
на , используя :
Получаем,
Осталось найти корни квадратного трехчлена .
Очевидно, что 
, то есть, его кратным корнем является х=3
.
Ответ:
.
Замечание.
По такому алгоритму можно решать возвратные уравнения. Так как -1 является корнем всякого возвратного кубического уравнения, то можно разделить левую часть исходного уравнения на х+1 и найти корни полученного квадратного трехчлена.
В случае, когда кубическое уравнение не имеет рациональных корней, применяются другие способы решения, к примеру, специфические способы .
Решение кубических уравнений по формуле Кардано.
В общем случае, корни кубического уравнения находятся по формуле Кардано.
Для кубического уравнения находятся значения 
. Далее находим 
и 
.
Подставляем полученные p
и q
в формулу Кардано:
Формула Кардано
Мостового
г. Одесса
Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но обязательно научный. При этом под наукой понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем. Например, о том, приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.
О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.
Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть математик и врач Джеронимо Кардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последней в своей книге «Ars magna» опубликовал способ решения уравнения 3- Й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противополжную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.
Начал Тарталья.
Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.
Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:
Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет Джеронимо Кардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть по истине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым.»
Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали не верное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, но его словами, его изобретение и использовавши его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы – мой учитель и я – не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Ars magna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?
Господа, господа, - закричал Тарталья, - я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены не правильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно …
В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари. Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.
…Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас – Никколо Тарталье. Он открыл, а Кардано выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это - историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной …
Формула Кардано
Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений:
Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:
ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)
Если положить
, то мы приведем уравнение (1) к виду
(2) , .Введем новое неизвестное U с помощью равенства
.Внося это выражение в (2) , получим
(3) ,следовательно
Если числитель и знаменатель второго слагаемого умножить на выражение
и учесть, получающееся в результате выражение для u оказывается симметричным относительно знаков «+» и «-», то окончательно получим .(Произведение кубических радикалов в последнем равенстве должно равняться p ).
Это и есть знаменитая формула Кардано. Если перейти от y вновь к x, то получим формулу, определяющую корень общего уравнения 3-й степени.
Молодой человек, так безжалостно обошедшийся с Тарталья, разбирался в математике столь же легко, как и в правах неприхотливой тайны. Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в свою книгу. Что же представляет собой этот способ?
(1)– общее уравнение 4-й степени.(2)
где p,q,r – некоторые коэффициенты, зависящие отa,b,c,d,e . Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:
(3)В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t , взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2) .
Выберем параметр t так,чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y . Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y ), стоящего справа.
Кубическим уравнением называется уравнение вида
- ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 , (1)
- где a, b,c ,d - постоянные коэффициенты, а х - переменная.
Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.
Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.
Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.
Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения , т.е.:
Δ= -4b 3 d + b 2 c 2 - 4ac 3 + 18abcd - 27a 2 d 2 (Да, это дискриминант кубического уравнения)
Итак, возможны только 3 следующих случая:
- Δ > 0 - тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых - три различных вещественных корня)
- Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
- Δ = 0 - хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда его и его второй производной равен нулю)
Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней).
Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел) .
Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида
y 3 + py + q = 0 (2)
К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:
Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:
Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен
Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак, что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:
Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y 1 . Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y 2 , y 3 и подставьте их в (3) .
Если Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).
Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем
- α = β, и
- y 1 =2α,
- y 2 = y 3 = - α.
Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.
Тригонометрическая формула Виета решения кубических уравнений (нахождения корней).
Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения , то есть уравнения вида
x 3 + ax 2 + bx +c = 0 (4)
Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.
Итак, алгоритм применения этой формулы:
1. Вычисляем
2. Вычисляем
3. a) Если S>0, то вычисляем
φ=(arccos(R/Q 3/2))/3
И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных) :
б) Если S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.
Вычисляем
φ=(Arch(|R|/|Q| 3/2)/3
Тогда единственный корень (вещественный) : x 1 = -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3
Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:
- x 2 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
- x 3 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
ГДЕ:
- ch(x)=(e x +e -x)/2
- Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)
- sh(x)=(e x -e -x)/2
- sgn(x) - знак х
в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений:
Изложено, как решать кубические уравнения. Рассмотрен случай, когда известен один корень. Методы поиска целых и рациональных корней. Применение формул Кардано и Виета для решения любого кубического уравнения.
СодержаниеЗдесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида
(1)
.
Далее считаем, что - это действительные числа.
(2)
,
то разделив его на ,
получаем уравнение вида (1) с коэффициентами
.
Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и - это двукратные корни (или корни кратности 2), а - простой корень.
Если известен один корень
Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .
Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:
.
Тогда, разделив (1) на ,
получаем квадратное уравнение.
Примеры деления многочленов представлены на странице
“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком ”.
Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице
“Корни квадратного уравнения ”.
Если один из корней - целый
Если исходное уравнение имеет вид:
(2)
,
и его коэффициенты ,
,
,
- целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента .
Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как .
Далее делим уравнение (2) на .
Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.
Примеры определения целых корней даны на странице
Примеры разложения многочленов на множители > > > .
Поиск рациональных корней
Если в уравнении (2) , , , - целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и - целые.
Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :
;
(3)
.
Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .
Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной ,
получаем рациональный корень уравнения (2):
.
Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения
Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.
Рассмотрим кубическое уравнение:
(1)
.
Сделаем подстановку:
.
После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:
(4)
,
где
(5)
;
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
