Ley de conservación del impulso. enciclopedia escolar

Fig.45

Para comprender el significado mecánico de la cantidad y tener las fórmulas necesarias para resolver problemas, calculemos momento cinético un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo (Fig. 45) Además, como es habitual, la definición de un vector se reduce a la definición de sus proyecciones.

Encontremos primero la fórmula más importante para las aplicaciones, que determina la cantidad A z, es decir Momento cinético de un cuerpo en rotación respecto del eje de rotación.

Para cualquier punto del cuerpo ubicado a una distancia del eje de rotación, la velocidad es. Por lo tanto, para este punto. Luego para todo el cuerpo, duradero. multiplicador común más allá de los corchetes, obtenemos

El valor entre paréntesis representa el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje. z. finalmente encontramos

De este modo, el momento cinético de un cuerpo en rotación con respecto al eje de rotación es igual al producto del momento de inercia del cuerpo con respecto a este eje y la velocidad angular del cuerpo.

Si el sistema consta de varios cuerpos que giran alrededor del mismo eje, entonces obviamente habrá

Es fácil ver la analogía entre las fórmulas y: la cantidad de movimiento es igual al producto de la masa (una cantidad que caracteriza la inercia de un cuerpo durante el movimiento de traslación) y la velocidad; El momento cinético es igual al producto del momento de inercia (un valor que caracteriza la inercia de un cuerpo durante el movimiento de rotación) y la velocidad angular.

El teorema sobre el cambio en el momento principal de impulso del sistema (teorema de los momentos).

El teorema de los momentos para un punto material será válido para cada punto del sistema. Por lo tanto, si consideramos un punto del sistema con masa que tiene velocidad , entonces para él será

donde y son las resultantes de todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre un punto dado.

Compilando tales ecuaciones para todos los puntos del sistema y sumándolas término por término, obtenemos:

Pero la última suma, debido a la propiedad de las fuerzas internas del sistema, es igual a cero. Entonces finalmente encontraremos:

La ecuación resultante expresa el siguiente teorema de momentos para el sistema: la derivada temporal del momento principal de impulso del sistema con respecto a algún centro fijo es igual a la suma de los momentos de todas las fuerzas externas del sistema con respecto al mismo centro.

Proyectar ambos lados de la ecuación sobre ejes fijos Ohhz, obtenemos:

Las ecuaciones expresan el teorema de los momentos respecto de cualquier eje fijo.

En cinemática se ha demostrado que el movimiento de un cuerpo rígido en el caso general consiste en un movimiento de traslación junto con un determinado polo y un movimiento de rotación alrededor de este polo. Si elegimos el centro de masa como polo, entonces la parte de traslación del movimiento del cuerpo se puede estudiar utilizando el teorema del movimiento del centro de masa, y la parte de rotación, utilizando el teorema de los momentos.

El valor práctico del teorema de los momentos radica en el hecho de que, al igual que el teorema del cambio de momento, permite, al estudiar el movimiento de rotación de un sistema, excluir de la consideración todas las fuerzas internas previamente desconocidas.

Los siguientes corolarios importantes se pueden obtener del teorema de los momentos.

1) Sea la suma de momentos con respecto al centro. ACERCA DE de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual a cero:

Entonces se deduce de la ecuación que en este caso . De este modo, Si la suma de los momentos con respecto a un centro dado de todas las fuerzas externas aplicadas al sistema es igual a cero, entonces el momento principal de las cantidades de movimiento del sistema con respecto a este centro será constante numéricamente y en dirección.

2) dejar Fuerzas externas que actúan sobre el sistema son tales que la suma de sus momentos relativos a algún eje fijo Onz igual a cero:

Entonces se deduce de la ecuación que K z = constante De este modo, Si la suma de los momentos de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema con respecto a cualquier eje es igual a cero, entonces el momento principal de las cantidades de movimiento del sistema con respecto a este eje será un valor constante.

Estos resultados expresan Ley de conservación del momento principal de impulso del sistema. De ellos se deduce que las fuerzas internas no pueden cambiar el momento principal de impulso del sistema.

El caso de un sistema rotatorio.

Considere un sistema que gira alrededor de un eje fijo (o que pasa por el centro de masa) Onz. Entonces . Si en este caso, entonces

De aquí llegamos a las siguientes conclusiones.

a) Si el sistema inmutable(cuerpo absolutamente rígido), entonces y, en consecuencia, , es decir, un cuerpo rígido fijado sobre un eje gira en este caso con una velocidad angular constante.

b) Si el sistema cambiable luego, bajo la influencia de fuerzas internas (o externas), sus puntos individuales pueden alejarse del eje, lo que provoca un aumento, o acercarse al eje, lo que provocará una disminución. Pero desde entonces con un momento de inercia creciente velocidad angular el sistema disminuirá, y cuando el momento de inercia disminuya, aumentará. Así, por la acción de fuerzas internas es posible cambiar la velocidad angular de rotación del sistema, ya que la constancia k z no significa permanencia en absoluto.

Veamos algunos ejemplos:

A) Experimentos con la plataforma Zhukovsky. Para demostrar la ley de conservación del momento angular, conviene utilizar un dispositivo sencillo llamado “plataforma Zhukovsky”. Se trata de una plataforma horizontal redonda sobre rodamientos de bolas que puede girar alrededor de un eje vertical con baja fricción. z. Para un hombre parado en semejante plataforma,

y por lo tanto . Si una persona, extendiendo los brazos hacia los lados, se empuja para girar alrededor de un eje vertical y luego baja los brazos, el valor disminuirá y, en consecuencia, la velocidad angular de rotación aumentará. Este método de aumentar la velocidad angular de rotación se usa ampliamente en ballet, al saltar en el aire (saltos mortales), etc.

A continuación, un hombre parado inmóvil en la plataforma ( K z = 0), puede girar en cualquier dirección girando el brazo extendido horizontalmente en la dirección opuesta. La velocidad angular de rotación de una persona será tal que el valor total A z del sistema permaneció igual a cero.

b) columpio columpio. Una persona parada en un columpio no puede balancearlo presionando las piernas (fuerza interna). Puedes hacer esto de la siguiente manera. Cuando el columpio está en la posición superior izquierda A 0, un hombre se agacha. Al pasar por la vertical, rápidamente se endereza. Entonces las masas se acercan al eje de rotación. z, el valor disminuye y la velocidad angular aumenta abruptamente. Este aumento finalmente hace que la oscilación se eleve por encima de su nivel inicial. A 0. En la posición superior derecha, cuando , la persona se pone en cuclillas nuevamente (esto obviamente no afectará el valor); al pasar por la vertical se vuelve a enderezar, etc. Como resultado, el swing del columpio aumentará.

V) Par de reacción de la hélice. Una hélice montada en un helicóptero no sólo arroja aire hacia abajo, sino que también imparte rotación a la masa lanzada. El momento total de impulso de la masa de aire lanzada y del helicóptero debe permanecer igual a cero, ya que el sistema estaba inicialmente estacionario y las fuerzas de interacción entre la hélice y el medio ambiente son internas. Por tanto, el helicóptero comienza a girar en el sentido opuesto al sentido de rotación de la hélice. El par que actúa sobre el helicóptero se llama momento reactivo.

Para evitar la rotación reactiva del cuerpo de un helicóptero de un solo rotor, se instala un rotor de cola correspondiente en su cola. Un helicóptero multirotor tiene rotores que giran en diferentes direcciones.

Consideremos lo más leyes generales conservación, a la que está sujeto todo el mundo material y que introduce una serie de conceptos fundamentales en la física: energía, momento (momento), momento angular, carga.

Ley de conservación del impulso.

Como se sabe, la cantidad de movimiento, o impulso, es el producto de la velocidad por la masa de un cuerpo en movimiento: p = mv Este cantidad física le permite encontrar un cambio en el movimiento de un cuerpo durante un cierto período de tiempo. Para resolver este problema, habría que aplicar la segunda ley de Newton innumerables veces, en todos los momentos intermedios del tiempo. La ley de conservación del impulso (momento) se puede obtener utilizando la segunda y tercera leyes de Newton. Si consideramos dos (o más) puntos (cuerpos) materiales que interactúan entre sí y forman un sistema aislado de la acción de fuerzas externas, entonces durante el movimiento los impulsos de cada punto (cuerpo) pueden cambiar, pero el impulso total del El sistema debe permanecer sin cambios:

metro 1 v+metro 1 v 2 = constante

Los cuerpos que interactúan intercambian impulsos manteniendo el impulso total.

En el caso general obtenemos:

donde P Σ es el impulso total, total del sistema, metro i v i– impulsos de partes individuales del sistema que interactúan. Formulemos la ley de conservación del impulso:

Si la suma de las fuerzas externas es cero, el impulso del sistema de cuerpos permanece constante durante cualquier proceso que ocurra en él.

Un ejemplo del funcionamiento de la ley de conservación del impulso se puede considerar en el proceso de interacción de un barco con una persona que ha enterrado su proa en la orilla, y la persona en el barco camina rápidamente de popa a proa a una velocidad constante. velocidad v 1 . En este caso, el barco se alejará de la orilla a una velocidad v 2 :

Se puede dar un ejemplo similar con un proyectil que explotó en el aire en varias partes. La suma vectorial de los impulsos de todos los fragmentos es igual al impulso del proyectil antes de la explosión.

Ley de conservación del momento angular.

Es conveniente caracterizar la rotación de los cuerpos rígidos mediante una cantidad física llamada momento angular.

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada partícula individual del cuerpo se mueve en un círculo con un radio r i a cierta velocidad lineal v i. Velocidad v i y el impulso pag = metro i v i perpendicular al radio r i. Producto del impulso pag = metro i v i por radio r i se llama momento angular de la partícula:

l i= metro i v i r i= PAG i r i·

Momento angular de todo el cuerpo:

Si reemplazamos la velocidad lineal con la velocidad angular (v i = ωr i), entonces

donde J = mr 2 – momento de inercia.

El momento angular de un sistema cerrado no cambia con el tiempo, es decir l= constante y Jω = constante.

En este caso, el momento angular de las partículas individuales de un cuerpo en rotación puede cambiar según se desee, pero el momento angular total (la suma del momento angular de las partes individuales del cuerpo) permanece constante. La ley de conservación del momento angular se puede demostrar observando a un patinador girando sobre patines con los brazos extendidos hacia los lados y con los brazos levantados por encima de la cabeza. Dado que Jω = constante, entonces en el segundo caso el momento de inercia j disminuye, lo que significa que la velocidad angular u debe aumentar, ya que Jω = const.

Ley de conservación de la energía.

Energía es una medida universal de diversas formas de movimiento e interacción. La energía que da un cuerpo a otro es siempre igual a la energía que recibe el otro cuerpo. Para cuantificar el proceso de intercambio de energía entre cuerpos que interactúan, la mecánica introduce el concepto de trabajo de una fuerza que provoca el movimiento.

Energía cinética sistema mecánico es energía movimiento mecánico este sistema. La fuerza que causa el movimiento de un cuerpo realiza trabajo y la energía de un cuerpo en movimiento aumenta según la cantidad de trabajo realizado. Como es sabido, un cuerpo de masa metro, moviéndose a velocidad v, tiene energía cinética mi=mv 2 /2.

Energía potencial es la energía mecánica de un sistema de cuerpos que interactúan a través de campos de fuerza, por ejemplo a través de fuerzas gravitacionales. El trabajo realizado por estas fuerzas al mover un cuerpo de una posición a otra no depende de la trayectoria del movimiento, sino que depende únicamente de la posición inicial y final del cuerpo en el campo de fuerza.

Estos campos de fuerza se denominan potenciales y las fuerzas que actúan en ellos se denominan conservador. Las fuerzas gravitacionales son fuerzas conservativas y energía potencial masa corporal metro, elevado a una altura h sobre la superficie de la Tierra es igual a

E sudor = mgh,

Dónde gramo- aceleración de la gravedad.

La energía mecánica total es igual a la suma de la energía cinética y potencial:

mi= E kin + E sudor

Ley de conservación de la energía mecánica.(1686, Leibniz) afirma que en un sistema de cuerpos entre los que sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica total permanece invariable en el tiempo. En este caso, las transformaciones de energía cinética en energía potencial y viceversa pueden ocurrir en cantidades equivalentes.

Existe otro tipo de sistema en el que la energía mecánica se puede reducir convirtiéndola en otras formas de energía. Por ejemplo, cuando un sistema se mueve con fricción, parte de la energía mecánica se reduce debido a la fricción. Este tipo de sistemas se denominan disipativo, es decir, sistemas que disipan energía mecánica. En tales sistemas, la ley de conservación de la energía mecánica total no es válida. Sin embargo, cuando la energía mecánica disminuye, siempre aparece una cantidad de energía de diferente tipo equivalente a esta disminución. De este modo, La energía nunca desaparece ni reaparece, sólo cambia de un tipo a otro. Aquí se manifiesta la propiedad de indestructibilidad de la materia y su movimiento.

Consideremos la acción mutua de dos cuerpos aislados que no interactúan con otros cuerpos. Supondremos que las fuerzas son constantes durante toda la interacción. De acuerdo con la segunda ley de la dinámica, el cambio de momento del primer cuerpo es:

¿Dónde está el intervalo de tiempo de interacción?

Cambio de impulso del segundo cuerpo:

¿Dónde está la fuerza que actúa desde el primer cuerpo sobre el segundo?

Según la tercera ley de Newton

y además obviamente

Por eso,

Independientemente de la naturaleza de las fuerzas de interacción y la duración de su acción, el momento total de dos cuerpos aislados permanece constante.

El resultado obtenido se puede extender a cualquier número de cuerpos que interactúan y a fuerzas que cambian con el tiempo. Para hacer esto, dividimos el intervalo de tiempo durante el cual ocurre la interacción de los cuerpos en intervalos tan pequeños durante los cuales la fuerza puede considerarse constante con un determinado grado de precisión. Durante cada período de tiempo se cumplirá la relación (1.8). Por tanto, será válido durante todo el intervalo de tiempo.

Para generalizar la conclusión a cuerpos que interactúan, introducimos el concepto de sistema cerrado.

Cerrado es un sistema de cuerpos para el cual las fuerzas externas resultantes son iguales a cero.

Dejar puntos materiales masas forman un sistema cerrado. El cambio en el impulso de cada uno de estos puntos como resultado de su interacción con todos los demás puntos del sistema, respectivamente:

Denotemos las fuerzas internas que actúan sobre un punto en masa desde otros puntos, por el punto en masa, etc. (El primer índice indica el punto sobre el que actúa la fuerza; el segundo índice indica el punto en cuyo eje actúa la fuerza hechos.)

Escribamos en la notación aceptada la segunda ley de la dinámica para cada punto por separado:

El número de ecuaciones es igual al número de cuerpos del sistema. Para encontrar el cambio total en el impulso del sistema, es necesario calcular suma geométrica cambios en el impulso de todos los puntos del sistema. Habiendo resumido las igualdades (1.9), obtenemos en el lado izquierdo el vector completo de cambios en el impulso del sistema a lo largo del tiempo, y en el lado derecho, el impulso elemental de la resultante de todas las fuerzas que actúan en el sistema. Pero como el sistema es cerrado, las fuerzas resultantes son cero. De hecho, según la tercera ley de la dinámica, cada fuerza en igualdades (1.9) corresponde a una fuerza y

es decir, etc.,

y la resultante de estas fuerzas es cero. En consecuencia, en todo el sistema cerrado el cambio de impulso es cero:

el impulso total de un sistema cerrado es una cantidad constante durante todo el movimiento (la ley de conservación del impulso).

La ley de conservación del momento es una de las leyes fundamentales de la física, válida tanto para sistemas de cuerpos macroscópicos como para sistemas formados por cuerpos microscópicos: moléculas, átomos, etc.

Si fuerzas externas actúan sobre los puntos del sistema, entonces la cantidad de movimiento que posee el sistema cambia.

Escribamos las ecuaciones (1.9), incluyendo en ellas las fuerzas externas resultantes que actúan respectivamente sobre el primero, segundo, etc. Hasta el punto:

Sumando los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones, obtenemos: a la izquierda, el vector completo de cambios en el impulso del sistema; a la derecha - el impulso de las fuerzas externas resultantes:

o, que denota las fuerzas externas resultantes:

el cambio en el impulso total de un sistema de cuerpos es igual al impulso de las fuerzas externas resultantes.

La igualdad (1.13) se puede escribir de otra forma:

la derivada temporal de la cantidad total de movimiento de un sistema de puntos es igual a las fuerzas externas resultantes que actúan sobre los puntos del sistema.

Proyectando los vectores de momento del sistema y fuerzas externas sobre tres ejes mutuamente perpendiculares, en lugar de la igualdad vectorial (6.14), obtenemos tres ecuaciones escalares de la forma:

Si a lo largo de cualquier eje, digamos, la componente de las fuerzas externas resultantes es igual a cero, entonces la cantidad de movimiento a lo largo de este eje no cambia, es decir, siendo generalmente abierto, en la dirección en que el sistema puede considerarse cerrado.

Examinamos la transferencia de movimiento mecánico de un cuerpo a otro sin su transición a otras formas de movimiento de la materia.

La cantidad “mv resulta ser una medida de movimiento simplemente transferido, es decir, continuo...”.

La aplicación de la ley del cambio de impulso al problema del movimiento de un sistema de cuerpos nos permite excluir de la consideración todas las fuerzas internas, lo que simplifica investigación teórica y resolución de problemas prácticos.

1. Deje que una persona permanezca inmóvil sobre un carro estacionario (Fig. 2.a). El impulso del sistema hombre-carro es cero. ¿Este sistema está cerrado? Sobre él actúan fuerzas externas: gravedad y fricción entre las ruedas del carro y el suelo. En términos generales, el sistema no está cerrado. Sin embargo, al colocar el carro sobre los rieles y tratar la superficie de los rieles y las ruedas en consecuencia, es decir, reduciendo significativamente la fricción entre ellos, se puede despreciar la fuerza de fricción.

La fuerza de gravedad, dirigida verticalmente hacia abajo, se equilibra con la reacción de los rieles deformados, y la resultante de estas fuerzas no puede impartir aceleración horizontal al sistema, es decir, no puede cambiar la velocidad y, por lo tanto, el impulso del sistema. Así, podemos, con cierto grado de aproximación, considerar este sistema cerrado.

Supongamos ahora que una persona sale del carro hacia la izquierda (Fig. 2.b), teniendo velocidad. Para adquirir esta velocidad, una persona debe, contrayendo sus músculos, actuar con los pies sobre la plataforma del carro y deformarla. La fuerza que actúa desde el lado de la plataforma deformada sobre los pies de una persona acelera el cuerpo humano hacia la izquierda, y la fuerza que actúa desde el lado de los pies deformes de una persona (de acuerdo con la tercera ley de la dinámica) acelera al carrito de la derecha. Como resultado, cuando la interacción se detiene (la persona se baja del carrito), el carrito gana algo de velocidad.

Para encontrar velocidades utilizando las leyes básicas de la dinámica, sería necesario saber cómo cambian las fuerzas de interacción entre una persona y un carro con el tiempo y dónde se aplican estas fuerzas. La ley de conservación del impulso le permite encontrar inmediatamente la relación entre las velocidades de una persona y un carro, así como indicar su dirección mutua, si se conocen los valores de las masas de una persona y un carro.

Mientras la persona permanece inmóvil sobre el carro, la cantidad total de movimiento del sistema sigue siendo igual a cero:

Las velocidades que adquieren una persona y un carro son inversamente proporcionales a sus masas. El signo menos indica su dirección opuesta.

2. Si una persona, moviéndose a gran velocidad, corre hacia un carro estacionario y se detiene en él, entonces el carro comienza a moverse, de modo que la cantidad total de movimiento entre él y la persona resulta ser igual a la cantidad de movimiento que la persona sola tenía antes:

3. Una persona que se mueve a gran velocidad corre hacia un carro que avanza hacia él a gran velocidad y se detiene en él. A continuación, el sistema hombre-carro se mueve con una velocidad común. La cantidad total de movimiento de la persona y el carro es igual a la suma de las cantidades de movimiento que cada uno poseía por separado:

4. Utilizando el hecho de que el carro sólo puede moverse a lo largo de los rieles, podemos demostrar la naturaleza vectorial del cambio de impulso. Si una persona entra y se detiene en un carro previamente estacionario una vez en la dirección de su posible movimiento, la segunda vez - en un ángulo de 45°, y la tercera vez - en un ángulo de 90° con respecto a esta dirección, entonces en la segunda En este caso la velocidad adquirida por el carro es aproximadamente una vez y media menor que en el primer caso, y en el tercer caso el carro está inmóvil.

Del teorema sobre el cambio de momento de un sistema se pueden obtener las siguientes consecuencias importantes.

1. Sea la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema igual a cero:

Luego, de la ecuación (20) se deduce que en este caso, por lo tanto, si la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual a cero, entonces el vector de momento del sistema será constante en magnitud y dirección.

2. Sean las fuerzas externas que actúan sobre el sistema tales que la suma de sus proyecciones sobre algún eje (por ejemplo, ) sea igual a cero:

Luego, de las ecuaciones (20) se deduce que en este caso, por lo tanto, si la suma de las proyecciones de todas las fuerzas externas que actúan sobre cualquier eje es igual a cero, entonces la proyección del momento del sistema sobre este eje es un valor constante.

Estos resultados expresan la ley de conservación del momento del sistema. De ellos se deduce que las fuerzas internas no pueden cambiar la cantidad de movimiento del sistema. Veamos algunos ejemplos.

El fenómeno del retroceso o retroceso. Si consideramos el rifle y la bala como un solo sistema, entonces la presión de los gases de la pólvora durante el disparo será una fuerza interna. Esta fuerza no puede cambiar la cantidad de movimiento del sistema, igual al disparo de la bala. Pero dado que los gases de pólvora, al actuar sobre la bala, le imparten una cierta cantidad de movimiento hacia adelante, al mismo tiempo deben impartir al rifle la misma cantidad de movimiento en dirección hacia adelante. direccion contraria. Esto hará que el rifle se mueva hacia atrás, lo que se conoce como retroceso. Un fenómeno similar ocurre al disparar un arma (retroceso).

Funcionamiento de la hélice (hélice). La hélice imparte movimiento a una determinada masa de aire (o agua) a lo largo del eje de la hélice, devolviendo esta masa hacia atrás. Si consideramos la masa lanzada y el avión (o barco) como un solo sistema, entonces las fuerzas de interacción entre la hélice y el medio ambiente, como internas, no pueden cambiar la cantidad total de movimiento de este sistema. Por lo tanto, cuando se devuelve una masa de aire (agua), el avión (o el barco) recibe una velocidad de avance correspondiente tal que la cantidad total de movimiento del sistema considerado sigue siendo igual a cero, ya que era cero antes de que comenzara el movimiento. .

Un efecto similar se consigue mediante la acción de remos o ruedas de paletas.

Propulsión a Chorro. En un cohete (cohete), los productos gaseosos de la combustión del combustible se expulsan a alta velocidad desde una abertura en la cola del cohete (desde la boquilla del motor del cohete). Las fuerzas de presión que actúan en este caso serán fuerzas internas y no pueden cambiar el impulso del sistema del cohete: productos de la combustión del combustible. Pero como los gases que se escapan tienen una cierta cantidad de movimiento dirigido hacia atrás, el cohete recibe una velocidad correspondiente dirigida hacia adelante. La magnitud de esta velocidad será determinada en el § 114.

Tenga en cuenta que un motor de hélice (ejemplo anterior) imparte movimiento a un objeto, como un avión, arrojando partículas del medio en el que se mueve. En un espacio sin aire tal movimiento es imposible. Un motor a reacción imparte movimiento devolviendo las masas generadas en el propio motor (productos de la combustión). Este movimiento es igualmente posible tanto en el aire como en un espacio sin aire.

Al resolver problemas, la aplicación del teorema nos permite excluir de la consideración todas las fuerzas internas. Por lo tanto, se debe intentar elegir el sistema considerado de tal manera que todas (o parte de) las fuerzas previamente desconocidas se conviertan en internas.

Es conveniente aplicar la ley de conservación del impulso en los casos en que, al cambiar la velocidad de traslación de una parte del sistema, es necesario determinar la velocidad de otra parte. En particular, esta ley se utiliza ampliamente en la teoría del impacto.

Problema 126. Una bala de masa, que vuela horizontalmente con una velocidad, impacta en una caja de arena montada sobre un carro (Fig. 289). ¿A qué velocidad comenzará a moverse el carro después del impacto, si la masa del carro junto con la caja es igual a

Solución. Consideraremos la bala y el carro como un solo sistema, lo que nos permitirá eliminar las fuerzas que surgen cuando la bala golpea la caja al resolver el problema. La suma de las proyecciones de las fuerzas externas aplicadas al sistema sobre el eje horizontal Ox es igual a cero. Por lo tanto, o dónde está la cantidad de movimiento del sistema antes del impacto; - después del golpe.

Dado que el carro estaba inmóvil antes del impacto, entonces .

Después del impacto, el carro y la bala se mueven con una velocidad común, que denotamos por v. Entonces .

Igualando los lados derechos de las expresiones, encontramos

Problema 127. Determine la velocidad de retroceso libre del arma si el peso de las partes de retroceso es igual a P, el peso del proyectil es y la velocidad del proyectil con respecto al cañón es igual a en el momento de la salida.

Solución. Para eliminar las fuerzas de presión desconocidas de los gases de pólvora, considere el proyectil y las partes de retroceso como un solo sistema.

Pasemos a la ecuación básica de la dinámica del movimiento de rotación.

y considerar caso especial, cuando sobre el cuerpo no actúan fuerzas externas en absoluto, o son tales que su resultante no produce un momento relativo al eje de rotación.

Pero si el cambio en la cantidad es cero, entonces, en consecuencia, la cantidad misma permanece constante:

Arroz. 66. Salto mortal.

Entonces, si no actúan fuerzas externas sobre el cuerpo (o su momento resultante con respecto al eje de rotación es cero), entonces el momento angular del cuerpo con respecto al eje de rotación permanece sin cambios. Esta ley se llama ley de conservación del momento angular con respecto al eje de rotación.

Demos varios ejemplos que ilustran la ley de conservación del momento angular.

Durante un salto por encima de la cabeza (Fig. 66), la gimnasta presiona sus brazos y piernas contra su cuerpo. Esto reduce su momento de inercia,

y como el producto debe permanecer inalterado, la velocidad angular de rotación aumenta, y en un corto período de tiempo, mientras el gimnasta está en el aire, logra realizar una rotación completa.

La pelota está atada a un hilo enrollado alrededor de un palo; a medida que disminuye la longitud del hilo, disminuye el momento de inercia de la bola y, por tanto, aumenta la velocidad angular.

Arroz. Min. 67 Rotación de un hombre de pie en el banquillo de Zhukovsky. acelerará si baja los brazos y disminuirá si los levanta.

Arroz. 68. Si levantamos una rueda de bicicleta por encima de nuestras cabezas y la ponemos en rotación, entonces nosotros mismos, junto con la plataforma, comenzaremos a girar en la dirección opuesta.

Fila experimentos interesantes se puede hacer parándose sobre una plataforma que gira sobre un rodamiento de bolas (banco Zhukovsky). En la Fig. Las figuras 67 y 68 representan algunos de estos experimentos.

Comparando las ecuaciones derivadas en los últimos párrafos con las leyes del movimiento de traslación rectilíneo, es fácil notar que las fórmulas que determinan el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo son similares a las fórmulas para el movimiento de traslación rectilíneo.

La siguiente tabla compara las cantidades y ecuaciones básicas que determinan estos movimientos:

(ver escaneo)

Giroscopios. Efecto giroscópico reactivo. Sólido Girar a una alta velocidad angular alrededor de un eje de simetría completa (eje libre) se llama giroscopio. Según la ley de conservación del vector del momento angular, el giroscopio se esfuerza por mantener inalterada la dirección de su eje de rotación en el espacio y, por tanto, exhibe mayor estabilidad(es decir, proporciona mayor resistencia a la rotación del eje de rotación), mayor es su momento de inercia y mayor es la velocidad angular de rotación.

Cuando, sosteniendo cualquier cuerpo estacionario masivo con nuestros brazos extendidos, le impartimos movimiento, por ejemplo, de izquierda a derecha, entonces la fuerza de inercia desarrollada por el cuerpo nos mueve en la dirección opuesta. La manifestación de las fuerzas de inercia de un giroscopio giratorio cuando giramos su eje de rotación resulta más compleja y, a primera vista, inesperada. Entonces, si, sosteniendo en nuestras manos el eje de rotación del giroscopio dirigido horizontalmente, comenzamos a levantar un extremo del eje y bajar el otro, es decir, rotar el eje en el plano vertical, entonces sentiremos que el eje se pone. presión sobre las manos no en el plano vertical, sino en el horizontal, presionando una de nuestras manos y tirando de la otra. Si, visto desde la derecha, se ve que la rotación del giroscopio ocurre en el sentido de las agujas del reloj (es decir, el momento angular del giroscopio se dirige horizontalmente hacia la izquierda), entonces un intento de elevar el extremo izquierdo del eje, Bajar el derecho hacia abajo hace que el extremo izquierdo del eje se mueva en un plano horizontal alejándose de nosotros y el derecho hacia nosotros.

Esta reacción del giroscopio (el llamado efecto giroscópico) se explica por el deseo del giroscopio de mantener su momento angular sin cambios y, además, de mantenerlo sin cambios no solo en magnitud, sino también en dirección. De hecho, para que el momento angular permanezca geométricamente sin cambios cuando el eje de rotación del giroscopio en el plano vertical gira en el plano vertical en un ángulo a (Fig.69) descrito anteriormente, el giroscopio debe adquirir una rotación adicional alrededor del eje vertical con un momento angular tal que geométricamente

Por esta razón, un giroscopio giratorio, equilibrado sobre un eje móvil con un peso (Fig. 70), adquiere adicional

rotación alrededor de un eje vertical si el peso que equilibraba el giroscopio se aleja ligeramente del fulcro del eje (al reequilibrar, el peso imparte una cierta inclinación al eje, lo que hace que el eje del giroscopio gire alrededor del fulcro en la dirección que corresponde a la dirección del vector en la Fig. 69).

Por la misma razón, el eje de la peonza adquiere por el efecto de vuelco de la gravedad. Circulación por rotondas, que se llama precesión (Fig. 71).

Entonces, si se aplican un par de fuerzas a un giroscopio giratorio, que tienden a rotarlo alrededor de un eje perpendicular al eje de rotación, entonces el giroscopio efectivamente girará, pero solo alrededor del tercer eje, perpendicular a los dos primeros. Para girar un giroscopio giratorio (por ejemplo, en la dirección que se muestra en la Fig. 72), debe aplicar un par al eje del giroscopio en un plano perpendicular a la dirección de rotación.

Arroz. 71. Esquema del movimiento de la peonza.

Un análisis más detallado de fenómenos similares a los descritos anteriormente muestra que el giroscopio tiende a posicionar su eje de rotación de tal manera que forme el menor ángulo posible con el eje de rotación forzada y que ambas rotaciones se produzcan en el mismo sentido.

Esta propiedad del giroscopio se utiliza en la brújula giroscópica, que se ha generalizado especialmente en la marina. El girocompás es una peonza que gira rápidamente (un motor de corriente trifásico que funciona a una velocidad de hasta 25.000 rpm), que flota sobre un flotador especial en un recipiente con mercurio y cuyo eje está situado en el plano del meridiano. En este caso, la fuente del par externo es la rotación diaria de la Tierra alrededor de su eje. Bajo su acción, el eje de rotación del giroscopio tiende a coincidir en dirección con el eje de rotación de la Tierra, y dado que la rotación de la Tierra actúa sobre el giroscopio continuamente, el eje del giroscopio finalmente toma esta posición, es decir, se establece a lo largo del meridiano y continúa permaneciendo completamente en él como una aguja magnética normal.

Los giroscopios se utilizan a menudo como estabilizadores. Se instalan para reducir el cabeceo en los barcos de alta mar.

También se diseñaron estabilizadores para carriles individuales. vias ferreas; Un enorme giroscopio que gira rápidamente colocado dentro de un vagón de un solo carril evita que el vagón se vuelque. Los rotores para estabilizadores giroscópicos se fabrican con un peso de 1 a 100 toneladas o más.

En los torpedos, los dispositivos giroscópicos, que actúan automáticamente sobre la dirección, garantizan la rectitud del movimiento del torpedo en la dirección del disparo.

Arroz. 73. Precesión del eje terrestre.

La rotación diaria de la Tierra la hace similar a un giroscopio. Dado que la Tierra no es una esfera, sino una figura cercana a un elipsoide, la atracción del Sol crea una fuerza resultante que no pasa por el centro de masa de la Tierra (como sería el caso en el caso de una esfera). Como resultado, surge un par que tiende a hacer girar el eje de rotación de la Tierra perpendicular al plano de su órbita (Fig. 73). En este sentido, el eje terrestre experimenta un movimiento precesional (con una rotación completa en aproximadamente 25.800 años).