Ecuaciones diferenciales.

Conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales ordinarias.

Definición 1. Ecuación diferencial ordinaria norte– ésimo orden de la función y argumento X se llama relación de la forma

Dónde F – una función dada de sus argumentos. En el nombre de esta clase de ecuaciones matemáticas, el término “diferencial” enfatiza que incluyen derivadas (funciones formadas como resultado de la diferenciación); el término "ordinario" indica que la función deseada depende de un solo argumento real.

Una ecuación diferencial ordinaria puede no contener un argumento explícito. X, la función deseada y cualquiera de sus derivadas, pero la derivada más alta debe incluirse en la ecuación norte- décimo orden. Por ejemplo

a) – ecuación de primer orden;

b) – ecuación de tercer orden.

Al escribir ecuaciones diferenciales ordinarias, a menudo se utiliza la notación para derivadas en términos de diferenciales:

V) – ecuación de segundo orden;

d) – ecuación de primer orden,

generador después de la división por dx forma equivalente de especificar la ecuación: .

Una función se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria si, cuando se sustituye en ella, se convierte en una identidad.

Por ejemplo, una ecuación de tercer orden

tiene una solucion .

Encontrar mediante un método u otro, por ejemplo, la selección, una función que satisfaga la ecuación no significa resolverla. Resolver una ecuación diferencial ordinaria significa encontrar Todo funciones que forman una identidad cuando se sustituyen en una ecuación. Para la ecuación (1.1), se forma una familia de tales funciones utilizando constantes arbitrarias y se denomina solución general de una ecuación diferencial ordinaria. norte-ésimo orden, y el número de constantes coincide con el orden de la ecuación: La solución general puede ser, pero no se resuelve explícitamente con respecto a y(x): En este caso, la solución suele denominarse integral general de la ecuación (1.1).

Por ejemplo, la solución general de una ecuación diferencial es la siguiente expresión: , y el segundo término se puede escribir como , ya que una constante arbitraria dividida por 2 se puede reemplazar por una nueva constante arbitraria.

Al asignar algunos valores admisibles a todas las constantes arbitrarias en la solución general o en la integral general, obtenemos una determinada función que ya no contiene constantes arbitrarias. Esta función se llama solución parcial o integral parcial de la ecuación (1.1). Para encontrar los valores de constantes arbitrarias y, por tanto, una solución particular, se utilizan varias condiciones adicionales a la ecuación (1.1). Por ejemplo, las llamadas condiciones iniciales se pueden especificar en (1.2)

En el lado derecho de las condiciones iniciales (1.2) se dan los valores numéricos de la función y las derivadas, y, numero total condiciones iniciales es igual al número de constantes arbitrarias definidas.

El problema de encontrar una solución particular a la ecuación (1.1) basándose en las condiciones iniciales se denomina problema de Cauchy.

§ 2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden - conceptos básicos.

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden ( norte=1) tiene la forma: o, si se puede resolver respecto de la derivada: . decisión común y=y(x,С) o la integral general de las ecuaciones de primer orden contiene una constante arbitraria. La única condición inicial para una ecuación de primer orden le permite determinar el valor de la constante a partir de una solución general o de una integral general. Así se encontrará una solución particular o, lo que es lo mismo, se solucionará el problema de Cauchy. La cuestión de la existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy es una de las cuestiones centrales en teoria general ecuaciones diferenciales ordinarias. En particular, para una ecuación de primer orden es válido el teorema, que aquí se acepta sin demostración.

Teorema 2.1. Si en la ecuación la función y su derivada parcial son continuas en alguna región D avión XOY , y se da un punto en esta área, entonces hay una solución única que satisface tanto la ecuación como la condición inicial.

Geométricamente, la solución general de una ecuación de primer orden es una familia de curvas en el plano XOY, que no tienen puntos en común y se diferencian entre sí en un parámetro: el valor de la constante C. Estas curvas se llaman curvas integrales para una ecuación dada. Las curvas de ecuaciones integrales tienen propiedad geométrica: en cada punto la tangente del ángulo de inclinación de la tangente a la curva es igual al valor del lado derecho de la ecuación en este punto: . En otras palabras, la ecuación está dada en el plano. XOY campo de direcciones de tangentes a curvas integrales. Comentario: Cabe señalar que a la Ec. la ecuación y la llamada ecuación se dan en forma simétrica .

Ecuaciones diferenciales de 1er orden con variables separables.

Definición. Una ecuación diferencial con variables separables es una ecuación de la forma (3.1)

o una ecuación de la forma (3.2)

Para separar las variables en la ecuación (3.1), es decir Reduzca esta ecuación a la llamada ecuación variable separada, haga lo siguiente:

;

Ahora necesitamos resolver la ecuación. g(y)= 0. Si tiene una solución real y=a, Eso y=a también será una solución a la ecuación (3.1).

La ecuación (3.2) se reduce a una ecuación separada dividiéndola por el producto:

, lo que nos permite obtener la integral general de la ecuación (3.2): . (3.3)

Las curvas integrales (3.3) se complementarán con soluciones, si dichas soluciones existen.

Resuelve la ecuación: .

Separamos las variables:

.

Integrando obtenemos

Ecuaciones diferenciales ordinarias.

La solución de diversos problemas geométricos, físicos y de ingeniería a menudo conduce a ecuaciones que relacionan las variables independientes que caracterizan un problema particular con alguna función de estas variables y derivadas de esta función de varios órdenes.

Como ejemplo, podemos considerar el caso más simple de movimiento uniformemente acelerado. punto material.

Se sabe que el desplazamiento de un punto material durante un movimiento uniformemente acelerado es función del tiempo y se expresa mediante la fórmula:

A su vez, la aceleración a es derivada con respecto al tiempo t de la velocidad V, que también es derivada del tiempo t de moverse S. Aquellos.

Entonces obtenemos:
- la ecuación conecta la función f(t) con la variable independiente t y la derivada de segundo orden de la función f(t).

Definición. Ecuación diferencial es una ecuación que relaciona variables independientes, sus funciones y derivadas (o diferenciales) de esta función.

Definición. Si una ecuación diferencial tiene una variable independiente, entonces se llama ecuación diferencial ordinaria, si hay dos o más variables independientes, entonces dicha ecuación diferencial se llama ecuación diferencial parcial.

Definición. El orden más alto de derivadas que aparecen en una ecuación se llama orden de la ecuación diferencial.

Ejemplo.

- ecuación diferencial ordinaria de 1er orden. En general esta escrito
.

- ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. En general esta escrito

- ecuación diferencial parcial de primer orden.

Definición. solución general La ecuación diferencial es una función diferenciable y = (x, C), que, cuando se sustituye en la ecuación original en lugar de una función desconocida, convierte la ecuación en una identidad.

Propiedades de la solución general.

1) porque Si la constante C es un valor arbitrario, entonces, en términos generales, una ecuación diferencial tiene un número infinito de soluciones.

2) Bajo cualquier condición inicial x = x 0, y(x 0) = y 0, hay un valor C = C 0 en el cual la solución de la ecuación diferencial es la función y = (x, C 0).

Definición. Una solución de la forma y = (x, C 0) se llama solución privada ecuación diferencial.

Definición. problema de cauchy(Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - matemático francés) es el hallazgo de cualquier solución particular a una ecuación diferencial de la forma y = (x, C 0), que satisface las condiciones iniciales y(x 0) = y 0.

El teorema de Cauchy. (teorema sobre la existencia y unicidad de una solución a una ecuación diferencial de primer orden)

Si la funciónF(X, y) es continua en alguna regiónDen el aviónXOYy tiene una derivada parcial continua en esta región
, entonces cualquiera que sea el punto (x 0 , y 0 ) en la zonaD, Sólo hay una solución
ecuaciones
, definido en algún intervalo que contiene el punto x 0 , tomando en x = x 0 significado (X 0 ) = y 0 , es decir. existe una única solución a la ecuación diferencial.

Definición. Integral Una ecuación diferencial es cualquier ecuación que no contiene derivadas y de la cual la ecuación diferencial dada es una consecuencia.

Ejemplo. Encuentra la solución general a la ecuación diferencial.
.

La solución general de la ecuación diferencial se busca integrando los lados izquierdo y derecho de la ecuación, la cual previamente se transforma de la siguiente manera:

Ahora integremos:

es la solución general de la ecuación diferencial original.

Digamos que se dan algunas condiciones iniciales: x 0 = 1; y 0 = 2, entonces tenemos

Sustituyendo el valor obtenido de la constante en la solución general, obtenemos una solución particular para las condiciones iniciales dadas (solución al problema de Cauchy).

Definición. curva integral se llama gráfica y = (x) de la solución de una ecuación diferencial en el plano XOY.

Definición. Por decisión especial de una ecuación diferencial es tal solución en todos los puntos de los cuales se llama condición de unicidad de Cauchy (ver. El teorema de Cauchy.) no se cumple, es decir en las proximidades de algún punto (x, y) hay al menos dos curvas integrales.

Las soluciones especiales no dependen de la constante C.

No se pueden obtener soluciones especiales a partir de la solución general para ningún valor de la constante C. Si construimos una familia de curvas integrales de una ecuación diferencial, entonces la solución especial estará representada por una línea que en cada punto toca al menos una curva integral.

Tenga en cuenta que no todas las ecuaciones diferenciales tienen soluciones especiales.

Ejemplo.
Encuentre una solución especial si existe.

Esta ecuación diferencial también tiene una solución especial. en= 0. Esta solución no se puede obtener de la general, pero al sustituir en la ecuación original obtenemos una identidad. La opinión de que la solución y = 0 se puede obtener de la solución general con CON 1 = 0 mal, porque C 1 = mi C  0.

Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Definición. Ecuación diferencial de primer orden se llama relación que conecta una función, su primera derivada y una variable independiente, es decir relación de la forma:

Si transformamos esta relación a la forma
entonces esta ecuación diferencial de primer orden se llamará ecuación, resuelto respecto del derivado.

Representemos la función f(x,y) como:
entonces, al sustituir en la ecuación anterior, tenemos:

este es el llamado forma diferencial ecuaciones de primer orden.

Ecuaciones de la formay ’ = F ( X ).

Sea la función f(x) definida y continua en algún intervalo

a< x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как
. Si se dan las condiciones iniciales x 0 e y 0, entonces se puede determinar la constante C.

Ecuaciones separables

Definición. Ecuación diferencial
llamado ecuación separable, si se puede escribir en la forma

.

Esta ecuación también se puede representar como:

Pasemos a nuevas notaciones.

Obtenemos:

Luego de encontrar las integrales correspondientes, se obtiene una solución general de la ecuación diferencial con variables separables.

Si se dan las condiciones iniciales, cuando se sustituyen en la solución general, se encuentra un valor constante C y, en consecuencia, se encuentra una solución particular.

Ejemplo. Encuentre la solución general a la ecuación diferencial:

La integral del lado izquierdo se toma por partes (ver. Integración por partes.):

esta es la integral general de la ecuación diferencial original, ya que la función deseada y no se expresa a través de una variable independiente. Esto es de lo que se trata diferencia general (privado) integral de general (privado) soluciones.

Para comprobar la exactitud de la respuesta recibida, la diferenciamos con respecto a la variable x.

- bien

Ejemplo. Encuentra la solución a la ecuación diferencial.
siempre que y(2) = 1.

para y(2) = 1 obtenemos

Total:
o
- solución privada;

Examen:
, total

- bien.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

- integral general

- decisión común

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Ejemplo. Resuelve la ecuación
siempre que y(1) = 0.

Tomaremos la integral del lado izquierdo por partes (ver. Integración por partes.).

Si y(1) = 0, entonces

Total, integral parcial:
.

Ejemplo. Resuelve la ecuación.

Para encontrar la integral en el lado izquierdo de la ecuación, vea Tabla de integrales básicas. cláusula 16. Obtenemos la integral general:

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Transformemos la ecuación dada:

Obtuvimos la integral general de esta ecuación diferencial. Si expresamos la función deseada y a partir de esta relación, obtenemos una solución general.

Ejemplo. Resuelve la ecuación
.

;
;

Digamos que se dan algunas condiciones iniciales x 0 e y 0. Entonces:

Obtenemos una solución particular.

Ecuaciones homogéneas.

Definición. La función f(x, y) se llama homogéneonorte– ésima medición con respecto a sus argumentos x e y, si para cualquier valor del parámetro t (excepto cero) la identidad se cumple:

Ejemplo.¿Es la función homogénea?

Por tanto, la función f(x, y) es homogénea de tercer orden.

Definición. Ecuación diferencial de la forma
llamado homogéneo, si se parte derecha f(x, y) es una función homogénea de dimensión cero con respecto a sus argumentos.

Cualquier ecuación de la forma es homogénea si las funciones PAG(X, y) Y q(X, y) – funciones homogéneas de la misma dimensión.

La solución de cualquier ecuación homogénea se basa en reducir esta ecuación a una ecuación con variables separables.

Considere la ecuación homogénea.

Porque la función f(x, y) es homogénea de dimensión cero, entonces podemos escribir:

Porque el parámetro t es generalmente arbitrario, supongamos que . Obtenemos:

El lado derecho de la igualdad resultante en realidad depende de un solo argumento.
, es decir.

Por tanto, la ecuación diferencial original se puede escribir como:

Así, obtuvimos una ecuación con variables separables para la función desconocida u.

Ejemplo. Resuelve la ecuación
.

Introduzcamos una función auxiliar. tu.

.

Tenga en cuenta que la función que introdujimos tu siempre es positivo, porque de lo contrario, la ecuación diferencial original que contiene
.

Sustituye en la ecuación original:

Separamos las variables:

Integrando obtenemos:

Pasando de la función auxiliar a la función y, obtenemos la solución general:

Ecuaciones reducidas a homogéneas.

Además de las ecuaciones descritas anteriormente, existe una clase de ecuaciones que, mediante ciertas sustituciones, se pueden reducir a homogéneas.

Estas son ecuaciones de la forma
.

Si el determinante
entonces las variables se pueden separar por sustitución

donde  y  son soluciones del sistema de ecuaciones

Ejemplo. Resuelve la ecuación

Obtenemos

Encontrar el valor del determinante.
.

Resolver un sistema de ecuaciones

Aplicamos sustitución en la ecuación original:

Reemplazar la variable
al sustituir en la expresión escrita arriba, tenemos:

Se considera un método para resolver ecuaciones diferenciales con variables separables. Se da un ejemplo solución detallada ecuación diferencial con variables separables.

Contenido

Definición

Vamos a (X), q (X)- funciones de la variable x;
pag (y), r. (y)- funciones de la variable y.

Una ecuación diferencial con variables separables es una ecuación de la forma

Método para resolver una ecuación diferencial con variables separables

Considere la ecuación:
(i) .
Expresemos la derivada y′ en términos de diferenciales.
;
.
Multipliquemos por dx.
(ii)
Divide la ecuación por s (x)r(y). Esto se puede hacer si s (x) r(y) ≠ 0. Cuando es (x) r(y) ≠ 0 tenemos
.
Integrando obtenemos la integral general en cuadraturas.
(iii).

Ya que dividimos por s (x)r(y), entonces obtuvimos la integral de la ecuación para s (x) ≠ 0 yr (y) ≠ 0. Lo siguiente que necesitas para resolver la ecuación.
r (y) = 0.
Si esta ecuación tiene raíces, entonces también son soluciones de la ecuación (i). Sea la ecuación r (y) = 0. tiene n raíces a i, r (a i ) = 0, yo = 1, 2, ... , norte. Entonces las constantes y = a i son soluciones de la ecuación (i). Es posible que algunas de estas soluciones ya estén contenidas en la integral general (iii).

Tenga en cuenta que si la ecuación original se da en la forma (ii), entonces también debemos resolver la ecuación
s (x) = 0.
Sus raíces b j, s (bj) = 0, j = 1, 2, ... , metro. dar soluciones x = b j .

Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial con variables separables.

Resuelve la ecuación

Expresemos la derivada mediante diferenciales:


Multiplica por dx y divide por . Para y ≠ 0 tenemos:

Integrémonos.

Calculamos las integrales usando la fórmula.



Sustituyendo obtenemos la integral general de la ecuación.
.

Consideremos ahora el caso, y = 0 .
Obviamente y = 0 es una solución a la ecuación original. No está incluido en la integral general.
Por tanto, lo sumaremos al resultado final.

; y = 0 .

Referencias:
NUEVO MÉJICO. Gunther, R.O. Kuzmin, Colección de problemas de matemáticas superiores, “Lan”, 2003.

A menudo, la mera mención de ecuaciones diferenciales produce en los estudiantes una sensación desagradable. ¿Por qué está pasando esto? La mayoría de las veces, porque al estudiar los conceptos básicos del material, surge una brecha en el conocimiento, por lo que un mayor estudio de los difusores se convierte en una simple tortura. ¿No está claro qué hacer, cómo decidir, por dónde empezar?

Sin embargo, intentaremos demostrarte que los difusores no son tan difíciles como parece.

Conceptos básicos de la teoría de ecuaciones diferenciales.

De la escuela conocemos las ecuaciones más simples en las que necesitamos encontrar la incógnita x. De hecho ecuaciones diferenciales sólo ligeramente diferente de ellos - en lugar de una variable X necesitas encontrar una función en ellos y(x) , lo que convertirá la ecuación en una identidad.

Ecuaciones diferenciales son de gran importancia práctica. Estas no son matemáticas abstractas que no tienen relación con el mundo que nos rodea. Muchos procesos naturales reales se describen mediante ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, las vibraciones de una cuerda, el movimiento de un oscilador armónico, utilizando ecuaciones diferenciales en problemas de mecánica, encontrar la velocidad y aceleración de un cuerpo. También UE Se utilizan ampliamente en biología, química, economía y muchas otras ciencias.

Ecuación diferencial (UE) es una ecuación que contiene derivadas de la función y(x), la función misma, variables independientes y otros parámetros en varias combinaciones.

Hay muchos tipos de ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas, ecuaciones diferenciales de primer y superior orden, ecuaciones diferenciales parciales, etc.

La solución de una ecuación diferencial es una función que la convierte en una identidad. Existen soluciones generales y particulares del mando a distancia.

Una solución general de una ecuación diferencial es un conjunto general de soluciones que transforman la ecuación en una identidad. Una solución parcial de una ecuación diferencial es una solución que satisface condiciones adicionales, especificado inicialmente.

Se determina el orden de la ecuación diferencial. orden más alto derivados incluidos en el mismo.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones diferenciales ordinarias son ecuaciones que contienen una variable independiente.

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria de primer orden más simple. Parece que:

Una ecuación de este tipo se puede resolver simplemente integrando su lado derecho.

Ejemplos de tales ecuaciones:

Ecuaciones separables

En general, este tipo de ecuación se ve así:

He aquí un ejemplo:

Al resolver dicha ecuación, es necesario separar las variables, llevándolas a la forma:

Luego de esto queda integrar ambas partes y obtener una solución.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Estas ecuaciones se ven así:

Aquí p(x) y q(x) son algunas funciones de la variable independiente, y y=y(x) es la función deseada. Aquí hay un ejemplo de tal ecuación:

Al resolver una ecuación de este tipo, la mayoría de las veces utilizan el método de variar una constante arbitraria o representan la función deseada como un producto de otras dos funciones y(x)=u(x)v(x).

Para resolver tales ecuaciones se requiere cierta preparación y será bastante difícil tomarlas "de un vistazo".

Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial con variables separables.

Entonces analizamos los tipos más simples de control remoto. Ahora veamos la solución a uno de ellos. Sea esta una ecuación con variables separables.

Primero, reescribamos la derivada en una forma más familiar:

Luego dividimos las variables, es decir, en una parte de la ecuación recogemos todas las “I”, y en la otra, las “X”:

Ahora queda integrar ambas partes:

Integramos y obtenemos una solución general a esta ecuación:

Por supuesto, resolver ecuaciones diferenciales es una especie de arte. Es necesario poder comprender qué tipo de ecuación es y también aprender a ver qué transformaciones se deben realizar con ella para conducir a una forma u otra, sin mencionar solo la capacidad de diferenciar e integrar. Y para tener éxito en la resolución de DE, se necesita práctica (como en todo). Y si tienes este momento No tienes tiempo para descubrir cómo se resuelven las ecuaciones diferenciales, o el problema de Cauchy se te ha quedado pegado como un hueso en la garganta, o no sabes cómo preparar adecuadamente una presentación, contacta a nuestros autores. En poco tiempo, le proporcionaremos una solución detallada y lista para usar, cuyos detalles podrá comprender en cualquier momento que le resulte conveniente. Mientras tanto, te sugerimos ver un vídeo sobre el tema “Cómo resolver ecuaciones diferenciales”:

Se considera un método para resolver ecuaciones diferenciales que se pueden reducir a ecuaciones con variables separables. Se proporciona un ejemplo de una solución detallada de una ecuación diferencial que se reduce a una ecuación con variables separables.

Contenido

Formulación del problema

Considere la ecuación diferencial
(i) ,
donde f es una función, a, b, c son constantes, b ≠ 0 .
Esta ecuación se reduce a una ecuación con variables separables.

Método de solución

Hagamos una sustitución:
u = hacha + por + c
Aquí y es una función de la variable x. Por tanto u también es función de la variable x.
Diferenciar con respecto a x
u′ = (ax + por + c)′ = a + por′
sustituyamos (i)
u′ = a + by′ = a +b f(ax + by + c) = a + b f (tú)
O:
(ii)
Separemos las variables. Multiplica por dx y divide por a + b f (tú). Si a + b f (tu) ≠ 0, Eso

Integrando obtenemos la integral general de la ecuación original. (i) en cuadraturas:
(iii) .

En conclusión, consideremos el caso.
(v) a + b f (tu) = 0.
Supongamos que esta ecuación tiene n raíces u = r i , a + b f (ri) = 0, yo = 1, 2, ... norte. Como la función u = r i es constante, su derivada con respecto a x es igual a cero. Por lo tanto u = r i es una solución a la ecuación (ii).
Sin embargo, la ecuación. (ii) no coincide con la ecuación original (i) y quizás no todas las soluciones u = r i expresadas en términos de las variables x e y satisfacen la ecuación original (i).

Por tanto, la solución de la ecuación original es la integral general. (iii) y algunas raíces de la ecuación (v).

Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial que se reduce a una ecuación con variables separables

Resuelve la ecuación
(1)

Hagamos una sustitución:
tu = x - y
Diferenciamos con respecto a x y realizamos transformaciones:
;

Multiplica por dx y divide por u 2 .

Si tu ≠ 0, entonces obtenemos:

Integramos:

Aplicamos la fórmula de la tabla de integrales:

Calcular la integral

Entonces
;
, o

Decisión común:
.

Consideremos ahora el caso u = 0 , o tu = x - y = 0 , o
y = x.
Dado que y′ = (x)′ = 1, entonces y = x es una solución a la ecuación original (1) .

;
.

Referencias:
NUEVO MÉJICO. Gunther, R.O. Kuzmin, Colección de problemas de matemáticas superiores, “Lan”, 2003.