Cómo elevar el producto de dos expresiones a una potencia. Exponenciación de producto y cociente.

Te recordamos que en esta lección entenderemos propiedades de los grados con indicadores naturales y cero. Las potencias con exponentes racionales y sus propiedades se discutirán en las lecciones para octavo grado.

Una potencia con exponente natural tiene varias propiedades importantes que nos permiten simplificar los cálculos en ejemplos con potencias.

Propiedad No. 1
Producto de poderes

¡Recordar!

Al multiplicar potencias con las mismas bases, la base permanece sin cambios y se suman los exponentes de las potencias.

a m · a n = a m + n, donde “a” es cualquier número y “m”, “n” son números naturales cualesquiera.

Esta propiedad de las potencias también se aplica al producto de tres o más potencias.

• Simplifica la expresión.
  segundo segundo 2 segundo 3 segundo 4 segundo 5 = segundo 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = segundo 15
• Presentarlo como un título.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Presentarlo como un título.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

¡Importante!

Tenga en cuenta que en la propiedad indicada solo estábamos hablando de multiplicar potencias con por los mismos motivos . No se aplica a su adición.

No puedes reemplazar la suma (3 3 + 3 2) por 3 5. Esto es comprensible si
calcular (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, y 3 5 = 243

Propiedad No. 2
grados parciales

¡Recordar!

Al dividir potencias con las mismas bases, la base permanece sin cambios y el exponente del divisor se resta del exponente del dividendo.

= 11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44

Ejemplo. Resuelve la ecuación. Usamos la propiedad del cociente de potencias.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 - 4

Respuesta: t = 3 4 = 81

Usando las propiedades No. 1 y No. 2, puede simplificar expresiones y realizar cálculos fácilmente.

• Ejemplo. Simplifica la expresión.
  4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Ejemplo. Encuentra el valor de una expresión usando las propiedades de los exponentes.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  ¡Importante!

  Tenga en cuenta que en la Propiedad 2 solo estábamos hablando de dividir potencias con las mismas bases.

  No puedes reemplazar la diferencia (4 3 −4 2) con 4 1. Esto es comprensible si cuentas (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 y 4 1 = 4

  ¡Ten cuidado!

  Propiedad No. 3
  Elevar un grado a una potencia

  ¡Recordar!

  Al elevar un grado a una potencia, la base del grado permanece sin cambios y los exponentes se multiplican.

  (a n) m = a n · m, donde “a” es cualquier número y “m”, “n” son números naturales cualesquiera.

  
  

  Propiedades 4
  Potencia del producto

  ¡Recordar!

  Al elevar un producto a una potencia, cada uno de los factores se eleva a una potencia. Luego se multiplican los resultados obtenidos.

  (a b) n = a n b n, donde “a”, “b” son números racionales cualesquiera; "n" es cualquier número natural.

  • Ejemplo 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Ejemplo 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  ¡Importante!

  Tenga en cuenta que la propiedad número 4, al igual que otras propiedades de los grados, también se aplica en orden inverso.

  (un·bn)= (un·b)n

  Es decir, para multiplicar potencias con los mismos exponentes, puedes multiplicar las bases, pero dejar el exponente sin cambios.

  • Ejemplo. Calcular.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Ejemplo. Calcular.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  En mas ejemplos complejos Puede haber casos en los que la multiplicación y la división deban realizarse en potencias con diferentes bases y diferentes exponentes. En este caso, le recomendamos que haga lo siguiente.

  Por ejemplo, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Un ejemplo de cómo elevar un decimal a una potencia.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Propiedades 5
  Potencia de un cociente (fracción)

  ¡Recordar!

  Para elevar un cociente a una potencia, puedes elevar el dividendo y el divisor por separado a esta potencia y dividir el primer resultado entre el segundo.

  (a: b) n = a n: b n, donde “a”, “b” son números racionales cualesquiera, b ≠ 0, n es cualquier número natural.

  • Ejemplo. Presente la expresión como un cociente de potencias.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Te recordamos que un cociente se puede representar como una fracción. Por lo tanto, nos detendremos en el tema de elevar una fracción a una potencia con más detalle en la página siguiente.

Si ignoramos el octavo poder, ¿qué vemos aquí? Recordemos el programa de 7mo grado. Entonces, ¿te acuerdas? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados! Obtenemos:

Miremos detenidamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? El orden de los términos es incorrecto. Si se invirtieran, la regla podría aplicarse.

¿Pero cómo hacer eso? Resulta que es muy fácil: el grado par del denominador nos ayuda aquí.

Mágicamente los términos cambiaron de lugar. Este “fenómeno” se aplica a cualquier expresión en grado uniforme: podemos cambiar fácilmente los signos entre paréntesis.

Pero es importante recordar: todos los signos cambian al mismo tiempo!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Entero Llamamos a los números naturales, a sus opuestos (es decir, tomados con el signo " ") y al número.

entero positivo, y no es diferente de lo natural, entonces todo se ve exactamente como en la sección anterior.

Ahora veamos nuevos casos. Comencemos con un indicador igual a.

Cualquier número elevado a cero es igual a uno.:

Como siempre, preguntémonos: ¿por qué es así?

Consideremos algún grado con base. Tomemos, por ejemplo, y multipliquemos por:

Entonces, multiplicamos el número por y obtuvimos lo mismo que era: . ¿Por qué número debes multiplicar para que nada cambie? Así es, adelante. Medio.

Podemos hacer lo mismo con un número arbitrario:

Repitamos la regla:

Cualquier número elevado a cero es igual a uno.

Pero hay excepciones a muchas reglas. Y aquí también está allí: este es un número (como base).

Por un lado, debe ser igual en cualquier grado; no importa cuánto multiplique cero por sí mismo, igual obtendrá cero, esto está claro. Pero por otro lado, como cualquier número elevado a cero, debe ser igual. Entonces, ¿cuánto de esto es cierto? Los matemáticos decidieron no involucrarse y se negaron a elevar el cero a la potencia cero. Es decir, ahora no solo podemos dividir por cero, sino también elevarlo a la potencia cero.

Vamonos. Excepto números naturales y los números a números enteros incluyen números negativos. Para entender qué es una potencia negativa, hagamos como la última vez: multiplicar algún número normal por el mismo número a una potencia negativa:

Desde aquí es fácil expresar lo que buscas:

Ahora extendamos la regla resultante a un grado arbitrario:

Entonces, formulemos una regla:

Un número con potencia negativa es el recíproco del mismo número con potencia positiva. Pero al mismo tiempo La base no puede ser nula:(porque no se puede dividir por).

Resumamos:

I. La expresión no está definida en el caso. Si entonces.

II. Cualquier número elevado a cero es igual a uno: .

III. Un número distinto de cero elevado a una potencia negativa es el inverso del mismo número elevado a una potencia positiva: .

Tareas para solución independiente:

Bueno, como siempre, ejemplos de soluciones independientes:

Análisis de problemas para solución independiente:

Lo sé, lo sé, los números dan miedo, ¡pero en el Examen Estatal Unificado hay que estar preparado para cualquier cosa! Resuelve estos ejemplos o analiza sus soluciones si no pudiste resolverlos y aprenderás a afrontarlos fácilmente en el examen.

Sigamos ampliando el rango de números "adecuados" como exponente.

Ahora consideremos numeros racionales.¿Qué números se llaman racionales?

Respuesta: todo lo que se puede representar como una fracción, donde y son números enteros, y.

Para entender lo que es "grado fraccionario", considere la fracción:

Elevemos ambos lados de la ecuación a una potencia:

Ahora recordemos la regla sobre "grado a grado":

¿Qué número hay que elevar a una potencia para obtenerlo?

Esta formulación es la definición de la raíz del décimo grado.

Permítanme recordarles: la raíz de la enésima potencia de un número () es un número que, elevado a una potencia, es igual a.

Es decir, la raíz de la potencia ésima es la operación inversa de elevar a una potencia: .

Resulta que. Obviamente esto caso especial se puede ampliar: .

Ahora sumamos el numerador: ¿qué es? La respuesta es fácil de obtener usando la regla de potencia a potencia:

¿Pero puede la base ser cualquier número? Después de todo, la raíz no se puede extraer de todos los números.

¡Ninguno!

Recordemos la regla: cualquier número elevado a una potencia par es un número positivo. Es decir, ¡es imposible extraer raíces pares de números negativos!

Esto significa que tales números no se pueden elevar a una potencia fraccionaria con un denominador par, es decir, la expresión no tiene sentido.

¿Qué pasa con la expresión?

Pero aquí surge un problema.

El número se puede representar en forma de otras fracciones reducibles, por ejemplo, o.

Y resulta que existe, pero no existe, pero son solo dos registros diferentes del mismo número.

U otro ejemplo: una vez, luego puedes escribirlo. Pero si anotamos el indicador de otra manera, nuevamente nos meteremos en problemas: (es decir, ¡obtuvimos un resultado completamente diferente!).

Para evitar tales paradojas, consideramos único exponente base positivo con exponente fraccionario.

Así que si:

• - número natural;
• - número entero;

Ejemplos:

Los exponentes racionales son muy útiles para transformar expresiones con raíces, por ejemplo:

5 ejemplos para practicar

Análisis de 5 ejemplos para la formación

1. No te olvides de las propiedades habituales de los títulos:

2. . Aquí recordamos que se nos olvidó aprender la tabla de grados:

después de todo, esto es o. La solución se encuentra automáticamente: .

Bueno, ahora viene la parte más difícil. Ahora lo resolveremos grado con exponente irracional.

Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con exponente racional, con la excepción

Después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir, los números irracionales son todos números reales excepto los racionales).

Al estudiar grados con exponentes naturales, enteros y racionales, cada vez creamos una determinada “imagen”, “analogía” o descripción en términos más familiares.

Por ejemplo, un grado con exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces;

...número elevado a la potencia cero- este es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no han comenzado a multiplicarlo, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía - por lo tanto, el resultado es solo un cierto "número en blanco" , es decir, un número;

...grado entero negativo- es como si se hubiera producido un “proceso inverso”, es decir, el número no se multiplicaba por sí mismo, sino que se dividía.

Por cierto, en ciencias se suele utilizar un grado con exponente complejo, es decir, el exponente ni siquiera es un número real.

Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

¡DONDE ESTAMOS SEGUROS QUE IRÁS! (si aprendes a resolver tales ejemplos :))

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

Análisis de soluciones:

1. Comencemos con la regla habitual para elevar una potencia a una potencia:

Ahora mira el indicador. ¿No te recuerda a nada? Recordemos la fórmula para la multiplicación abreviada de diferencia de cuadrados:

En este caso,

Resulta que:

Respuesta: .

2. Reducimos fracciones en exponentes a la misma forma: ambos decimales o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo:

Respuesta: 16

3. Nada especial, utilizamos las propiedades habituales de los grados:

NIVEL AVANZADO

Determinación del grado

Un título es una expresión de la forma: , donde:

• — base de grado;
• - exponente.

Titulación con indicador natural (n = 1, 2, 3,...)

Elevar un número a la potencia natural n significa multiplicar el número por sí mismo:

Grado con exponente entero (0, ±1, ±2,...)

Si el exponente es entero positivo número:

Construcción al grado cero:

La expresión es indefinida, porque, por un lado, en cualquier grado es esto, y por otro lado, cualquier número hasta el grado ésimo es esto.

Si el exponente es entero negativo número:

(porque no se puede dividir por).

Una vez más sobre los ceros: la expresión no está definida en el caso. Si entonces.

Ejemplos:

Potencia con exponente racional

• - número natural;
• - número entero;

Ejemplos:

Propiedades de los grados

Para que sea más fácil resolver los problemas, intentemos comprender: ¿de dónde vienen estas propiedades? Demostrémoslos.

Veamos: ¿qué es y?

Priorato A:

Entonces, en el lado derecho de esta expresión obtenemos el siguiente producto:

Pero por definición es una potencia de un número con exponente, es decir:

Q.E.D.

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : .

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : Es importante señalar que en nuestra regla Necesariamente debe haber las mismas razones. Por lo tanto, combinamos las potencias con la base, pero sigue siendo un factor separado:

Otra nota importante: esta regla - solo para producto de potencias!

Bajo ninguna circunstancia puedes escribir eso.

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición de grado:

Reagrupemos este trabajo así:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, a esto se le puede llamar “sacar el indicador de paréntesis”. Pero nunca podrás hacer esto en total: !

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir? Pero, después de todo, esto no es cierto.

Potencia con base negativa.

Hasta este punto sólo hemos discutido cómo debería ser índice grados. Pero ¿cuál debería ser la base? en poderes de natural indicador la base puede ser cualquier número .

De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares. Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán grados de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número es positivo o negativo? ¿A? ?

Con el primero todo está claro: por muchos números positivos que multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero las negativas son un poco más interesantes. Recordamos la regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por (), obtenemos - .

Y así hasta el infinito: con cada multiplicación posterior el signo cambiará. Se pueden formular las siguientes reglas simples:

1. incluso grado, - número positivo.
2. Número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
3. Numero positivo en cualquier grado es un número positivo.
4. Cero elevado a cualquier potencia es igual a cero.

Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

¿Lograste? Aquí están las respuestas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo quede claro. Simplemente miramos la base y el exponente y aplicamos la regla adecuada.

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: después de todo, no importa a qué base sea igual: el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo. Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es igual ¿verdad? Obviamente no, desde (porque).

El ejemplo 6) ya no es tan sencillo. Aquí necesitas saber cuál es menos: ¿o? Si recordamos eso, queda claro que lo que significa que la base es menor que cero. Es decir, aplicamos la regla 2: el resultado será negativo.

Y nuevamente usamos la definición de grado:

Todo es como de costumbre: anotamos la definición de grados y los dividimos entre sí, los dividimos en pares y obtenemos:

Antes de ver la última regla, resolvamos algunos ejemplos.

Calcula las expresiones:

Soluciones :

Si ignoramos el octavo poder, ¿qué vemos aquí? Recordemos el programa de 7mo grado. Entonces, ¿te acuerdas? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados!

Obtenemos:

Miremos detenidamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? El orden de los términos es incorrecto. Si se invirtieran, se podría aplicar la regla 3. Pero ¿cómo? Resulta que es muy fácil: el grado par del denominador nos ayuda aquí.

Si lo multiplicas por, nada cambia, ¿verdad? Pero ahora resulta así:

Mágicamente los términos cambiaron de lugar. Este “fenómeno” se aplica a cualquier expresión en grado uniforme: podemos cambiar fácilmente los signos entre paréntesis. Pero es importante recordar: ¡Todos los signos cambian al mismo tiempo!¡No puedes reemplazarlo cambiando solo una desventaja que no nos gusta!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Ahora la última regla:

¿Cómo lo demostraremos? Eso sí, como siempre: ampliemos el concepto de titulación y lo simplifiquemos:

Bueno, ahora abramos los corchetes. ¿Cuántas letras hay en total? veces por multiplicadores: ¿a qué te recuerda esto? Esto no es más que una definición de una operación. multiplicación: Allí solo había multiplicadores. Es decir, esto, por definición, es una potencia de un número con exponente:

Ejemplo:

Grado con exponente irracional

Además de la información sobre grados para el nivel medio, analizaremos el grado con exponente irracional. Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con un exponente racional, con la excepción: después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir , los números irracionales son todos números reales excepto los números racionales).

Al estudiar grados con exponentes naturales, enteros y racionales, cada vez creamos una determinada “imagen”, “analogía” o descripción en términos más familiares. Por ejemplo, un grado con exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces; un número elevado a cero es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no han comenzado a multiplicarlo, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía; por lo tanto, el resultado es solo un cierto “número en blanco”, es decir, un número; un grado con un exponente entero negativo: es como si hubiera ocurrido algún "proceso inverso", es decir, el número no se multiplicó por sí mismo, sino que se dividió.

Es extremadamente difícil imaginar un grado con un exponente irracional (al igual que es difícil imaginar un espacio de 4 dimensiones). Es más bien un objeto puramente matemático que los matemáticos crearon para extender el concepto de grado a todo el espacio de los números.

Por cierto, en ciencias se suele utilizar un grado con exponente complejo, es decir, el exponente ni siquiera es un número real. Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

Entonces, ¿qué hacemos si vemos un exponente irracional? ¡Estamos haciendo todo lo posible para deshacernos de él! :)

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

1)

2)

3)

Respuestas:

1. Recordemos la fórmula de diferencia de cuadrados. Respuesta: .
2. Reducimos las fracciones a la misma forma: ambos decimales o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo: .
3. Nada especial, utilizamos las propiedades habituales de los grados:

RESUMEN DE LA SECCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Grado se llama expresión de la forma: , donde:

Grado con exponente entero

un grado cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

Potencia con exponente racional

grado, cuyo exponente son números negativos y fraccionarios.

Grado con exponente irracional

grado cuyo exponente es infinito decimal o raíz.

Propiedades de los grados

Características de los grados.

• Número negativo elevado a incluso grado, - número positivo.
• Número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
• Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
• Cero es igual a cualquier potencia.
• Cualquier número elevado a la potencia cero es igual.

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¡Y mucha suerte en tus exámenes!

Fórmulas de grado utilizado en el proceso de reducción y simplificación de expresiones complejas, en la resolución de ecuaciones y desigualdades.

Número C es norte-ésima potencia de un número a Cuando:

Operaciones con grados.

1. Al multiplicar los grados con la misma base, se suman sus indicadores:

soy·un = un m + n .

2. Al dividir grados con la misma base se restan sus exponentes:

3. Potencia del producto de 2 o más factores es igual al producto de las potencias de estos factores:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. El grado de una fracción es igual a la razón entre los grados del dividendo y el divisor:

(a/b) norte = an /b norte .

5. Elevando una potencia a una potencia, se multiplican los exponentes:

(un metro) norte = un metro norte .

Cada fórmula anterior es verdadera en las direcciones de izquierda a derecha y viceversa.

Por ejemplo. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaciones con raíces.

1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:

2. La raíz de una razón es igual a la razón entre el dividendo y el divisor de las raíces:

3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevar el número radical a esta potencia:

4. Si aumentas el grado de la raíz en norte una vez y al mismo tiempo construir en norte La potencia es un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

5. Si reduce el grado de la raíz en norte extraer la raíz al mismo tiempo norte-ésima potencia de un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

Un grado con exponente negativo. La potencia de un determinado número con un exponente no positivo (entero) se define como uno dividido por la potencia del mismo número con un exponente igual al valor absoluto del exponente no positivo:

Fórmula soy:a n = a m - n se puede utilizar no sólo para metro> norte, pero también con metro< norte.

Por ejemplo. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

a formular soy:a n = a m - n se volvió justo cuando m=n, se requiere la presencia de cero grados.

Un título con índice cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es igual a uno.

Por ejemplo. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grado con exponente fraccionario. Para elevar un número real A al grado Minnesota, necesitas extraer la raíz norte grado de metro-ésima potencia de este número A.

objetivo principal

Familiarizar a los estudiantes con las propiedades de los grados con exponentes naturales y enseñarles a realizar operaciones con grados.

Tema “El título y sus propiedades” incluye tres preguntas:

• Determinación de grado con indicador natural.
• Multiplicación y división de poderes.
• Exponenciación de producto y grado.

Preguntas de control

1. Formule la definición de un grado con un exponente natural mayor que 1. Dé un ejemplo.
2. Formule la definición de grado con exponente 1. Dé un ejemplo.
3. ¿Cuál es el orden de las operaciones al calcular el valor de una expresión que contiene potencias?
4. Formule la propiedad principal del grado. Dar un ejemplo.
5. Formule la regla para multiplicar potencias con las mismas bases. Dar un ejemplo.
6. Formule una regla para dividir potencias con las mismas bases. Dar un ejemplo.
7. Formule la regla para la exponenciación de un producto. Dar un ejemplo. Demuestre la identidad (ab) n = a n b n .
8. Formule la regla para elevar una potencia a una potencia. Dar un ejemplo. Demuestre la identidad (a m) n = a m n .

Definición de grado.

poder del numero a con indicador natural norte, mayor que 1, es el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual A. poder del numero A con exponente 1 es el número mismo A.

Grado con base A e indicador norte está escrito así: y N. Se lee " A en un grado norte”; “Enésima potencia de un número A ”.

Por definición de grado:

un 4 = un un un un

. . . . . . . . . . . .

Encontrar el valor de una potencia se llama por exponenciación .

1. Ejemplos de exponenciación:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Encuentra los significados de las expresiones:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

segundo) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Opción 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Presenta el número como un cuadrado:

3. Presenta los números como un cubo:

4. Encuentra los significados de las expresiones:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

mi) 100 - 5 2 4

Multiplicación de poderes.

Para cualquier número a y números arbitrarios m y n se cumple lo siguiente:

un metro un norte = un metro + norte .

Prueba:

Regla : Al multiplicar potencias con las mismas bases, las bases se dejan iguales y se suman los exponentes de las potencias.

un m un n un k = un m + n un k = un (m + n) + k = un m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) segundo 2 segundo 5 segundo 4 = segundo 2 + 5 + 4 = segundo 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

segundo) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Opción 1

1. Presentar como título:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) un 6 un 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Presente como grado y encuentre el valor de la tabla:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

División de grados.

Para cualquier número a0 y números naturales arbitrarios m y n, tales que m>n se cumple lo siguiente:

un metro: un norte = un metro - norte

Prueba:

un metro - n un n = un (m - n) + n = un metro - n + n = un metro

por definición de cociente:

un metro: un norte = un metro - norte .

Regla: Al dividir potencias con la misma base, la base se deja igual y el exponente del divisor se resta al exponente del dividendo.

Definición: La potencia de un número a, distinto de cero, con exponente cero es igual a uno:

porque un norte: un norte = 1 en a0.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) de 5:de 0 = de 5:1 = de 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

GRAMO)

d)

Opción 1

1. Presenta el cociente como una potencia:

2. Encuentra los significados de las expresiones:

Elevando al poder de un producto.

Para cualquier a y b y un número natural arbitrario n:

(ab) n = a n b n

Prueba:

Por definición de grado

(ab)n=

Agrupando por separado los factores a y b, obtenemos:

=

La propiedad probada de la potencia de un producto se extiende a la potencia del producto de tres o más factores.

Por ejemplo:

(a b c ) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Regla: Al elevar un producto a una potencia, se eleva cada factor a esa potencia y se multiplica el resultado.

1. Elevar a una potencia:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 un 4 = 81 un 4

d) (-5 años) 3 = (-5) 3 años 3 = -125 años 3

e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Encuentra el valor de la expresión:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

d)

Opción 1

1. Elevar a una potencia:

b) (2 a c) 4

mi) (-0,1 x y) 3

2. Encuentra el valor de la expresión:

segundo) (5 7 20) 2

Elevando a una potencia de una potencia.

Para cualquier número a y números naturales arbitrarios m y n:

(un metro) norte = un metro norte

Prueba:

Por definición de grado

(un metro) norte =

Regla: Al elevar una potencia a una potencia se deja la base igual y se multiplican los exponentes.

1. Elevar a una potencia:

(un 3) 2 = un 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Simplifica las expresiones:

a) un 3 (un 2) 5 = un 3 un 10 = un 13

segundo) (segundo 3) 2 segundo 7 = segundo 6 segundo 7 = segundo 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

b)

Opción 1

1. Elevar a una potencia:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Simplifica las expresiones:

a) un 4 (un 3) 2

segundo) (segundo 4) 3 segundo 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y 9) 2

3. Encuentra el significado de las expresiones:

Solicitud

Definición de grado.

opcion 2

1º Escribe el producto como una potencia:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

2. Presenta el número como un cuadrado:

3. Presenta los números como un cubo:

4. Encuentra los significados de las expresiones:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

mi) 4 5 2 – 100

Opción 3

1. Escribe el producto como una potencia:

a) 0,5 0,5 0,5

c) con con con con con con con con con

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Presenta el número como un cuadrado: 100; 0,49; .

3. Presenta los números como un cubo:

4. Encuentra los significados de las expresiones:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

mi) 5 4 2 - 100

Opción 4

1. Escribe el producto como una potencia:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (antes de Cristo) (antes de Cristo) (antes de Cristo) (antes de Cristo)

2. Presenta el número como un cuadrado:

3. Presenta los números como un cubo:

4. Encuentra los significados de las expresiones:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

mi) 100 - 3 2 5

Multiplicación de poderes.

opcion 2

1. Presentar como título:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) un 7 un 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Presente como grado y encuentre el valor de la tabla:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opción 3

1. Presentar como título:

a) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 gramos) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Presente como grado y encuentre el valor de la tabla:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opción 4

1. Presentar como título:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 gramos) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Presente como grado y encuentre el valor de la tabla:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

División de grados.

opcion 2

1. Presenta el cociente como una potencia:

2. Encuentra los significados de las expresiones: