При абсолютно упругом ударе тела после удара полностью восстанавливают свою форму, например, футбольный мяч при ударе о стену или биллиардные шары после столкновения. При этом суммарная кинетическая энергия взаимодействующих тел сохраняется.
Иными словами, кинетическая энергия не переходит во внутреннюю энергию взаимодействующих тел, и их температура не повышается.
Рассмотрим абсолютно упругий удар шарика о массивную стену (рис. 24.1).
Пусть шарик подлетает к стене со скоростью , составляющей угол a с нормалью к стене. Выясним, с какой скоростью он отлетит от стены.
В момент удара о стену на шарик действует только сила нормальной реакции (силы трения быть не может, иначе выделялось ты тепло!). , N y = 0, а значит, в вертикальном направлении тело не может получить ускорение: а у = 0, υ 0у = υ у .
Поскольку при абсолютно упругом ударе общая кинетическая энергия сохраняется, а энергию, полученную стеной, в силу ее массивности можно считать равной нулю, то и υ
= υ
0 . Но так как (по теореме Пифагора), то 
, а так как υ
0у
= υ у
, то |υ
0х
| = |υ х
|. Отсюда из равенства треугольников (см. рис. 24.1) следует, что угол отражения шарика b равен углу его падения a: a = b.
Итак, при абсолютно упругом ударе о массивную стену скорость тела не меняется по абсолютной величине , а угол падения равен углу отражения.
Задача 24.1. С высоты Н по гладкой наклонной плоскости длиной l = H/3 и углом наклона a = 30° соскальзывает без трения шарик и затем падает на горизонтальную плоскость, удар о которую следует считать абсолютно упругим (рис. 24.2,а ). На какую высоту h поднимется шарик после удара о плоскость?
Решение . Чтобы найти h , рассмотрим движение шарика после удара о плоскость (рис. 24.2,б ). Шарик движется как тело, брошенное под углом к горизонту, и высота подъема, как уже известно из кинематики, равна , где υ в – вертикальная составляющая начальной скорости .
Найдем с помощью ТКЭ:
.
Чтобы найти горизонтальную составляющую скорости , найдем модуль скорости также с помощью ТКЭ:
.
Из рис. 24.2,б :
υ
г = υ
1 cos30° = 
.
Заметим, что поскольку в горизонтальном направлении после отрыва от наклонной плоскости никакие силы на шарик не действуют, величина υ г далее со временем не меняется и после удара о горизонтальную плоскость остается такой же, как после отрыва от наклонной плоскости.
Теперь найдем вертикальную составляющую скорости : , где , υ г = . Отсюда
Скорости шаров до удара,
Скорости шаров после удара,
Запишем уравнения по закону сохранения импульса и закону сохранения энергии.
Решая систему этих двух уравнений можно получить следующие формулы для скоростей шаров после удара
Рассмотрим частные случаи.
Соударение одинаковых шаров, m 1 =m 2 .
То есть, шары при соударении обмениваются скоростями.
Если один из шаров неподвижен, например v 20 =0, то после удара он будет двигаться со скоростью равной скорости первого шара (и в том же направлении), а первый шар остановится.
2). Удар шара о массивную стенку, m 2 >>m 1 .
Из формул (11) и (12) получим в этом случае:
Скорость стенки остаётся неизменной. Если стена неподвижна, (v 20 =0), то, то есть, ударившийся о стену шарик отскочит обратно практически с той же скоростью.
Таблица 1 Изучение упругого столкновения
v 10 и v 1 вычислили по формулам - где =0,1м - длина пластинок, вставленных в тележки.
Таблица 2 Измерения при различных значениях массы тележки
Таблица 3
Вывод: При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия соударяющихся тел переходит вначале в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяется двумя законами - законом сохранения энергии и законом сохранения импульса.
Таблица 4 Изучение неупругого столкновения
Таблица 5
так как мы рассматриваем частный случай, когда ударяемое тело (m 2) неподвижно (v 20 =0) и масса ударяемого тела велика, (m 2 >>m 1), то
Таблица 6
Вывод: при абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия полностью или частично превращается во внутреннюю энергию, приводя к повышению температуры тел. После удара столкнувшиеся тела либо движутся вместе с одинаковой скоростью, либо покоятся. В данном случае после удара тела движутся вместе. При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса.
Начну с пары определений, без знания которых дальнейшее рассмотрение вопроса будет бессмысленным.
Сопротивление, которое оказывает тело при попытке привести его в движение или изменить его скорость, называется инертностью.
Мера инертности – масса .
Таким образом можно сделать следующие выводы:
- Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются вывести его из состояния покоя.
- Чем больше масса тела, тем большее оно оказывает сопротивление силам, которые пытаются изменить его скорость в случае, если тело движется равномерно.
Резюмируя можно сказать, что инертность тела противодействует попыткам придать телу ускорение. А масса служит показателем уровня инертности. Чем больше масса, тем большую силу нужно применить для воздействия на тело, чтобы придать ему ускорение.
Замкнутая система (изолированная) – система тел, на которую не оказывают влияние другие тела не входящие в эту систему. Тела в такой системе взаимодействуют только между собой.
Если хотя бы одно из двух условий выше не выполняется, то систему замкнутой назвать нельзя. Пусть есть система, состоящая из двух материальных точек, обладающими скоростями и соответственно. Представим, что между точками произошло взаимодействие, в результате которого скорости точек изменились. Обозначим через и приращения этих скоростей за время взаимодействия между точками . Будем считать, что приращения имеют противоположные направления и связаны соотношением 
. Мы знаем, что коэффициенты и не зависят от характера взаимодействия материальных точек — это подтверждено множеством экспериментов. Коэффициенты и являются характеристиками самих точек. Эти коэффициенты называются массами (инертными массами). Приведенное соотношения для приращения скоростей и масс можно описать следующим образом.
Отношение масс двух материальных точек равно отношению приращений скоростей этих материальных точек в результате взаимодействия между ними.
Представленное выше соотношение можно представить в другом виде. Обозначим скорости тел до взаимодействия как и соответственно, а после взаимодействия — и . В этом случае приращения скоростей могут быть представлены в таком виде — и . Следовательно, соотношение можно записать так — .
Импульс (количество энергии материальной точки) – вектор равный произведению массы материальной точки на вектор ее скорости —
Импульс системы (количество движения системы материальных точек) – векторная сумма импульсов материальных точек, из которых эта система состоит — .
Можно сделать вывод, что в случае замкнутой системы импульс до и после взаимодействия материальных точек должен остаться тем же — , где и . Можно сформулировать закон закон сохранения импульса.
Импульс изолированной системы остается постоянным во времени, независимо от взаимодействия между ними.
Необходимое определение:
Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории, а обусловлена только начальными и конечными координатами точки.
Формулировка закона сохранения энергии:
В системе, в которой действуют только консервативные силы, полная энергия системы остается неизменной. Возможны лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
Потенциальная энергия материальной точки является функцией только координат этой точки. Т.е. потенциальная энергия зависит от положения точки в системе. Таким образом силы , действующие на точку, можно определить так: можно определить так: . – потенциальная энергия материальной точки. 
Помножим обе части на и получим 
. Преобразуем и получим выражение доказывающее закон сохранения энергии
. 
Упругие и неупругие столкновения
Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.
Два шара , с и испытывают абсолютно неупругий дар друг с другом. По закону сохранения импульса . Отсюда можно выразить скорость двух шаров, двигающихся после соударения как единое целое — 
. Кинетические энергии до и после удара: 
и 
. Найдем разность
,
где – приведенная масса шаров . Отсюда видно, что при абсолютно неупругом столкновении двух шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения. Эта потеря равна половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.
Часто носит разрушительный для взаимодействующих тел характер. В физике под ударом понимают такой тип взаимодействия движущихся тел, при котором временем взаимодействия можно пренебречь.
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
M 1 u → 1 + m 2 u → 2 = m 1 v → 1 + m 2 v → 2 . {\displaystyle m_{1}{\vec {u}}_{1}+m_{2}{\vec {u}}_{2}=m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}.}
Здесь m 1 , m 2 {\displaystyle m_{1},\ m_{2}} - массы первого и второго тел. u → 1 , v → 1 {\displaystyle {\vec {u}}_{1},\ {\vec {v}}_{1}} - скорость первого тела до, и после взаимодействия. u → 2 , v → 2 {\displaystyle {\vec {u}}_{2},\ {\vec {v}}_{2}} - скорость второго тела до, и после взаимодействия.
m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}Важно - импульсы складываются векторно, а энергии скалярно.
Абсолютно упругий удар может выполняться совершенно точно при столкновениях элементарных частиц низких энергий. Это следствие принципов квантовой механики , запрещающей произвольные изменения энергии системы. Если энергии сталкивающихся частиц недостаточно для возбуждения их внутренних степеней свободы, то механическая энергия системы не меняется. Изменение механической энергии может также быть запрещено какими-то законами сохранения (момента импульса, чётности и т. п.). Надо, однако, учитывать, что при столкновении может изменяться состав системы. Простейший пример - излучение кванта света. Также может происходить распад или слияние частиц, а в определённых условиях - рождение новых частиц. В замкнутой системе при этом выполняются все законы сохранения, однако при вычислениях нужно учитывать изменение системы.
Абсолютно упругий удар в двумерном пространстве
В случае столкновения двух тел в двух измерениях скорость каждого тела должна быть разделена на две перпендикулярные скорости: одна по касательной к общей нормали поверхности сталкивающихся тел в точке контакта, а другая вдоль линии столкновения. Поскольку столкновение действует только по линии столкновения, скорости, векторы которых проходят по касательной к точке столкновения, не изменятся. Скорости, направленные вдоль линии столкновения могут быть вычислены с помощью тех же уравнений, что и столкновения в одном измерении. Окончательные скорости могут быть вычислены из двух новых компонентов скоростей и будут зависеть от точки столкновения. Исследования двумерных столкновений проводятся для множества частиц применительно к двумерному газу.
Если предположить, что первая частица двигается, а вторая частица находится в состоянии покоя до столкновения, то углы отклонения двух частиц, θ 1 и θ 2 , связаны с углом отклонения θ следующим выражением:
Tan ϑ 1 = m 2 sin θ m 1 + m 2 cos θ , ϑ 2 = π − θ 2 {\displaystyle \tan \vartheta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \vartheta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}}
Величины скоростей после столкновения будут следующими:
V 1 ′ = v 1 m 1 2 + m 2 2 + 2 m 1 m 2 cos θ m 1 + m 2 , v 2 ′ = v 1 2 m 1 m 1 + m 2 sin θ 2 {\displaystyle v"_{1}=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}},\qquad v"_{2}=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}}
Двумерное столкновение двух движущихся объектов.
Окончательные компоненты x и y скорости первого шара могут быть вычислена как:
V 1 x ′ = v 1 cos (θ 1 − φ) (m 1 − m 2) + 2 m 2 v 2 cos (θ 2 − φ) m 1 + m 2 cos (φ) + v 1 sin (θ 1 − φ) cos (φ + π 2) v 1 y ′ = v 1 cos (θ 1 − φ) (m 1 − m 2) + 2 m 2 v 2 cos (θ 2 − φ) m 1 + m 2 sin (φ) + v 1 sin (θ 1 − φ) sin (φ + π 2) {\displaystyle {\begin{aligned}v"_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi)(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi)}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi)\\&\quad +v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi)\cos(\varphi +{\frac {\pi }{2}})\\v"_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi)(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi)}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi)\\&\quad +v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi)\sin(\varphi +{\frac {\pi }{2}})\end{aligned}}}
где v 1 и v 2 скалярные величины двух первоначальных скоростей двух тел, m 1 и m 2 их массы, θ 1 и θ 2 углы движения, и маленькое Фи (φ)это угол соприкосновения. Чтобы получить ординату и абсциссу вектора скорости второго тела, необходимо заменить подстрочный индекс 1 и 2, на 2 и 1 соответственно.
Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса при упругом ударе способствует нахождению решения механических задач с неизвестными действующими силами, то есть задания с ударным взаимодействием тел.
Применение такого вида задач используется в технике и физике элементарных частиц.
Определение 1
Удар или столкновение – это кратковременное взаимодействие тел с последующим изменением их скорости.
При столкновении действуют неизвестные кратковременные ударные силы. Закон Ньютона не разрешит ударное взаимодействие, а позволит только исключить сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновений без промежуточных значений.
Механика применяет такое определения абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов.
Определение 2Абсолютно неупругий удар – это ударное взаимодействие с соединением (слипанием) движущихся тел.
Сохранение механической энергии отсутствует, так как переходит во внутреннюю, то есть нагревание.
Попадание пули в баллистический маятник – характерный пример действия энергии абсолютно неупругого удара, где
М – подвешенный ящик с песком, показанный на рисунке 1 . 21 . 1 , m – горизонтально летящая пуля с v → скоростью движения, застревающая в ящике. Определение скорости пули возможно по отклонению маятника.Если скорость ящика с пулей обозначить как u → , тогда, используя формулу сохранения импульса, получаем:
m v = (M + m) u ; u = m M + m v .
Когда пуля застревает в песке, то механическая энергия теряется:
∆ E = m v 2 2 - (M + m) u 2 2 = M M + m · m v 2 2 .
M (M + m) обозначает долю кинетической энергии выпущенной пули и прошедшей во внутреннюю энергию системы. Тогда
∆ E E 0 = M M + m = 1 1 + m M .
Использование формулы подходит для задач с наличием баллистического маятника и другого неупругого соударения разномасных тел.
Когда m < < М ∆ E E 0 → 1 2 , тогда происходит переход кинетической энергии во внутреннюю. Когда m = M ∆ E E 0 → 0 , только половина кинетической переходит во внутреннюю. Если имеется неупругое соударение движущегося тела большей массой с неподвижным, имеющим (m > > М) , отношение принимает вид ∆ E E 0 → 0 .
Расчет движения маятника производится по закону сохранения механической энергии. Получаем
(M + m) u 2 2 = (M + m) g h ; u 2 = 2 g h .
В данном случае h является максимальной высотой подъема маятника. Отсюда следует, что
v = M + m m 2 g h .
При известной высоте h возможно определение скорости пули v .
Рисунок 1 . 21 . 1 . Баллистический маятник.
Определение 3Абсолютный упругий удар – это столкновение с сохранением механической энергии системы тел.
Большинство случаев столкновения атомов подчинено законам абсолютного упругого центрального удара. Закон сохранения импульса и механической энергии сохраняются при таком ударе. Для примера используется столкновение при помощи центрального удара бильярдных шаров. Один из них находится в состоянии покоя, как изображено подробно на рисунке 1 . 21 . 2 .
Определение 4
Центральный удар – это соударение, когда скорости шаров направлены по линии центра.
Рисунок 1 . 21 . 2 . Абсолютно упругий центральный удар шаров.
Встречаются случаи, когда массы m 1 и m 2 не равны. Тогда, используя закон сохранения механической энергии, получаем
m 1 v 1 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 .
За v 1 принимается скорость при абсолютном упругом ударе первого шара перед столкновением, а v 2 = 0 скорость второго шара, u 1 и u 2 – скорости после столкновения.
Определение 5
Запись закона сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, принимает вид:
m 1 v 1 = m 1 u 1 + m 2 u 2 .
Полученная система из двух уравнений позволяет найти неизвестные скорости u 1 и u 2 шаров после столкновения.
u 1 = m 1 - m 2 v 1 m 1 + m 2 ; u 2 = 2 m 1 v 1 m 1 + m 2 .
Если массы равны, то есть, тогда происходит остановка первого шара (u 1 = 0) , а второй продолжает движение u 2 = v 1 . происходит обмен скоростями и импульсами.
При наличии нулевой скорости второго шара (v 2 ≠ 0) , задача могла бы свестись к предыдущей с переходим в новую систему отсчета с равномерным и прямолинейным движением и скоростью v 2 относительно «неподвижной» системы. В такой системе второй шар покоится до удара, а первый имеет скорость v 1 " = v 1 – v 2 . После определения скорости шаров v 1 и v 2 производится переход к «неподвижной» системе.
С помощью закона сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновений только с известными скоростями до соударения.
Рисунок 1 . 21 . 3 . Модель упругие и неупругие соударения.
При столкновении атомов или молекул применяется понятие центрального или лобового удара, который редко применим на практике. Нецентральный упругий удар не направлен по одной прямой.
Частный случай нецентрального упругого удара – соударение бильярдных шаров с одинаковой массой при обездвиженном одним из них, а другим направленным не по линии центра. Данная ситуация приведена на рисунке 1 . 21 . 4 .
Рисунок 1 . 21 . 4 . Нецентральное упругое соударение шаров с одинаковой массой, где d является прицельным расстоянием.
Нецентральное ударение характеризуется тем, что разлетатание шаров происходит под углом относительно друг друга. Чтобы определить скорости v 1 и v 2 после соударения, необходимо знать нахождение положения линии центров в момент удара или предельное расстояние d , изображенное на рисунке 1 . 21 . 4 .
Определение 6Предельным расстоянием называют расстояние между двумя линиями, которые проведены через центры шаров параллельно относительно вектора скорости v 1 → летящего шара.
При одинаковых массах шаров векторы v 1 → и v 2 → имеют перпендикулярное направление друг к другу. Это возможно показать с помощью применения законов сохранения импульса и энергии. Если m 1 = m 2 = m , тогда определение примет вид
v 1 → = u 1 → + u 2 → ; v 1 2 = u 1 2 + u 2 2 .
Первое равенство значит, что векторы v 1 → , u 1 → , u 2 → образуют треугольник, называемый диаграммой импульсов, второе – для его разрешения применяют теорему Пифагора. Угол, располагаемый между u 1 → и u 2 → , равняется 90 градусов.
Рисунок 1 . 21 . 5 . Модель соударения упругих шаров
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
