Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравне­ние, выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

Уравнение выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.

Проинтегрируем это уравнение. Пусть точка массы m , движущаяся под действием силы (рис.15), имеет в момент t =0 скорость , а в момент t 1 -скорость .

Рис.15

Умножим тогда обе части равенства на и возь­мем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегри­рование идет по времени, пределами интегралов будут 0 и t 1 , а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствую­щие значения скорости и . Так как интеграл от равен , то в результате получим:

.

Стоящие справа интегралы пред­ставляют собою импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь:

.

Уравнение выражает теорему об изменении коли­чества движения точки в конечном виде: изменение коли­чества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени (рис. 15).

При решении задач вместо векторного уравнения часто пользуются уравнениями в проекциях.

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох теорема выражается первым из этих уравнений.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте основные законы механики.

Какое уравнение называется основным уравнением динамики?

Какова мера инертности твердых тел при поступательном движении?

Зависит ли вес тела от местонахождения тела на Земле?

Какую систему отсчета называют инерциальной?

К какому телу приложена сила инерции материальной точки и каковы ее модуль и направление?

Объясните разницу между понятиями «инертность» и «сила инерции»?

К каким телам приложена сила инерции, как направлена и по какой формуле может быть рассчитана?

В чем заключается принцип кинетостатики?

Каковы модули и направления касательной и нормальной сил инерции материальной точки?

Что называют массой тела? Назовите единицу измерения массы в системе СИ?

Что является мерой инертности тела?

Запишите основной закон динамики в векторной и дифференциальной форме?

На материальную точку действует постоянная сила. Как дви­жется точка?

Какое ускорение получит точка, если на нее действует сила, равная удвоенной силе тяжести?

После столкновения двух материальных точек с массами m 1 =6 кг и m 2 =24 кг первая точка получила ускорение 1,6 м/с. Чему равно ускорение, полученное второй точкой?

При каком движении материальной точки равна нулю ее касательная сила инерции и при каком – нормальная?

По каким формулам вычисляются модули вращательной и центробежной сил инерции точки, принадлежащей твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

Как формулируется основной закон динамики точки?

Приведите формулировку закона независимости действия сил.

Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в векторной и координатной форме.

Сформулируйте сущность первой и второй основных задач динамики точки.

Приведите условия, из которых определяются постоянные интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки.

Какие уравнения динамики называются естественными уравнениями движения материальной точки?

Каковы две основные задачи динамики точки, которые решаются с помощью дифференциальных движений материальной точки?

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.

Как определяются постоянные при интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки?

Определение значений произвольных постоянных, появляющихся при ин­тегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки.

Каковы законы свободного падения тела?

По каким законам происходят горизонтальное и вертикальное перемещения тела, брошенного под углом к горизонту в пустоте? Какова траектория его движения и при каком угле тело имеет наибольшую дальность полета?

Как вычислить импульс переменной силы за конечный промежуток времени?

Что называется количеством движения материальной точки?

Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как – через приращение дуговой координаты этой точки?

На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю?

Как вычислить мощность силы, приложенной к материальной точке, вращающейся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ?

Сформулируйте теорему об изменении количества движения материальной точки.

При каких условиях количество движения материальной точки не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?

Приведите формулировку теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной форме.

Что называется моментом количества движения материальной точки относительно: а) центра, б) оси?

Как формулируется теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра и относительно оси?

При каких условиях момент количества движения точки относительно оси остается неизменным?

Как определяются моменты количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси? Какова зависимость между ними?

При каком расположении вектора количества движения материальной точки его момент относительно оси равен нулю?

Почему траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, лежит в одной плоскости?

Какое движение точки называется прямолинейным? Запишите дифференциальное уравнение прямолинейного движения материальной точки.

Запишите дифференциальные уравнения плоского движения материальной точки.

Какое движение материальной точки описывают дифференциальные уравнения Лагранжа первого рода?

В каких случаях материальную точку называют несвободной и каковы дифференциальные уравнения движения этой точки?

Дайте определения стационарных и нестационарных, голономных и неголономных связей.

Какие связи называют двусторонними? Односторонними?

В чем сущность принципа освобождаемости от связей?

Какой вид имеют дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в форме Лагранжа? Что называют множителем Лагранжа?

Приведите формулировку динамической теоремы Кориолиса.

В чем сущность принципа относительности Галилея-Ньютона?

Назовите движения, при которых кориолисова сила инерции равна нулю.

Какой модуль и какое направление имеют переносная и кориолисова силы инерции?

В чем заключается различие между дифференциальными уравнениями относительного и абсолютного движений материальной точки?

Как определяются переносная и кориолисова силы инерции в различных случаях переносного движения?

В чем состоит сущность принципа относительности классической механики?

Какие системы отсчета называются инерциальными?

Каково условие относительного покоя материальной точки?

В каких точках земной поверхности сила тяжести имеет наибольшее и наименьшее значения?

Чем объясняется отклонение падающих тел к востоку?

В каком направлении отклоняется тело, брошенное вертикально вверх?

В шахту опускается бадья с ускорением а =4 м/с 2 . Сила тяжести бадьи G =2 кН. Определите силу натяжения каната, поддерживающего бадью?

Две материальные точки движутся по прямой с постоянными скоростями 10 и 100 м/с. Можно ли утверждать, что к этим точкам приложены эквивалентные системы сил?

1) нельзя;

К двум материальным точкам массой 5 и 15 кг приложены одинаковые силы. Сравните численные значения ускорения этих точек?

1) ускорения одинаковы;

2) ускорение точки массой 15 кг в три раза меньше, чем ускорение точки массой 5 кг.

Можно ли задачи динамики решать с помощью уравнений равновесия?

Количеством движения материальной точки называется векторная величина mV, равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Вектор mV приложен к движущейся точке.

Количеством движения системы называют векторную величину Q , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы:

Вектор Q является свободным вектором. В системе единиц СИ модуль количества движения измеряется в кг м/с или Н с.

Как правило, скорости всех точек системы различны (см., например, распределение скоростей точек катящегося колеса, показанное на рис. 6.21), и поэтому непосредственное суммирование векторов в правой части равенства (17.2) является затруднительным. Найдем формулу, с помощью которой величина Q вычисляется значительно легче. Из равенства (16.4) следует, что

Взяв от обеих частей производную по времени, получим Отсюда, учитывая равенство (17.2), находим, что

т. е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Заметим, что вектор Q, подобно главному вектору сил в статике, является некоторой обобщенной векторной характеристикой движения всей механической системы. В общем случае движения системы ее количество движения Q можно рассматривать как характеристику поступательной части движения системы вместе с ее центром масс. Если при движении системы (тела) центр масс неподвижен, то количество движения системы будет равно нулю. Таково, например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.

Пример. Определить количество движения механической системы (рис. 17.1, а), состоящей из груза А массой т А - 2 кг, однородного блока В массой 1 кг и колеса D массой m D - 4 кг. Груз А движется со скоростью V A - 2 м/с, колесо D катится без скольжения, нить нерастяжима и невесома. Решение. Количество движения системы тел

Тело А движется поступательно и Q A =m A V A (численно Q A = 4 кг м/с, направление вектора Q A совпадает с направлением V A). Блок В совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс; следовательно, Q B - 0. Колесо D совершает плоскопараллельное

движение; его мгновенный центр скоростей находится в точке К , поэтому скорость его центра масс (точки Е) равна V E = V A /2= 1 м/с. Количество движения колеса Q D - m D V E - 4 кг м/с; вектор Q D направлен горизонтально влево.

Изобразив векторы Q A и Q D на рис. 17.1, б , находим количество движения Q системы по формуле (а). Учитывая направления и числовые значения величин, получим Q ~^Q A +Q E =4л/2~ кг м/с, направление вектора Q показано на рис. 17.1, б.

Учитывая, что a -dV/dt, уравнение (13.4) основного закона динамики можно представить в виде

Уравнение (17.4) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: в каждый момент времени производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе. (По существу это другая формулировка основного закона динамики, близкая к той, которую дал Ньютон.) Если на точку действует несколько сил, то в правой части равенства (17.4) будет равнодействующая сил, приложенных к материальной точке.

Если обе части равенства умножить на dt, то получим

Векторная величина, стоящая в правой части этого равенства, характеризует действие, оказываемое на тело силой за элементарный промежуток времени dt эту величину обозначают dS и называют элементарным импульсом силы, т. е.

Импульс S силы F за конечный промежуток времени /, - / 0 определяется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных импульсов, т. е.

В частном случае, если сила F постоянна по модулю и по направлению, то S = F(t | -/ 0) и S- F(t l - / 0). В общем случае модуль импульса силы может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:

Теперь, интегрируя обе части равенства (17.5) при т = const, получим

Уравнение (17.9) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечной (интегральной) форме: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу действующей на точку силы (или импульсу равнодействующей всех приложенных к ней сил) за тот же промежуток времени.

При решении задач пользуются уравнениями этой теоремы в проекциях на координатные оси

Теперь рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек. Тогда для каждой точки можно применить теорему об изменении количества движения в форме (17.4), учитывая приложенные к точкам внешние и внутренние силы:

Суммируя эти равенства и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получаем

Так как по свойству внутренних сил HF k =0 и по определению количества движения ^fn k V/ c = Q , то окончательно находим

Уравнение (17.11) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: в каждый момент времени производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проецируя равенство (17.11) на координатные оси, получим

Умножая обе части (17.11) на dt и интегрируя, получим

где 0, Q 0 - количества движения системы в моменты времени соответственно и / 0 .

Уравнение (17.13) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за какое-либо время равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за то же время.

В проекциях на координатные оси получим

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения количества движения системы.

• 1. Если геометрическая ^умма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (LF k =0), то из уравнения (17.11) следует, что при этом Q = const, т. е. вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.
• 2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-либо ось равна нулю (например, I e kx = 0), то из уравнений (17.12) следует, что при этом Q x = const, т. е. проекция количества движения системы на эту ось остается неизменной.

Отметим, что внутренние силы системы не участвуют в уравнении теоремы об изменении количества движения системы. Эти силы, хотя и влияют на количество движения отдельных точек системы, не могут изменить количество движения системы в целом. Учитывая это обстоятельство, при решении задач рассматриваемую систему целесообразно выбирать так, чтобы неизвестные силы (все или их часть) сделать внутренними.

Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению скорости одной части системы надо определить скорость другой ее части.

Задача 17.1. К тележке массой т х - 12 кг, движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, в точке А с помощью цилиндрического шарнира прикреплен невесомый стержень AD длиной /= 0,6 м с грузом D массой т 2 - 6 кг на конце (рис. 17.2). В момент времени / 0 = 0, когда скорость тележки и {) - 0,5 м/с, стержень AD начинает вращаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости чертежа, по закону ф = (тг/6)(3^ 2 - 1) рад (/-в секундах). Определить: u=f.

§ 17.3. Теорема о движении центра масс

Теорему об изменении количества движения механической системы можно выразить еще в другой форме, носящей название теоремы о движении центра масс.

Подставив в уравнение (17.11) равенство Q =MV C , получим

Если масса М системы постоянна, то получим

где а с - ускорение центра масс системы.

Уравнение (17.15) и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проецируя равенство (17.15) на координатные оси, получим

где x c , y c , z c - координаты центра масс системы.

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Обсудим полученные результаты. Предварительно напомним, что центр масс системы является геометрической точкой, расположенной подчас вне геометрических границ тела. Действующие же на механическую систему силы (внешние и внутренние) приложены ко всем материальным точкам системы. Уравнения (17.15) дают возможность определить движение центра масс системы, не определяя движения отдельных ее точек. Сопоставив уравнения (17.15) теоремы о движении центра масс и уравнения (13.5) второго закона Ньютона для материальной точки, приходим к заключению: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и как будто бы к этой точке приложены все внешние силы, действующие на систему. Таким образом, решения, которые получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела.

В частности, если тело движется поступательно, то кинематические характеристики всех точек тела и его центра масс одинаковы. Поэтому поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Как видно из (17.15), внутренние силы, действующие на точки системы, не оказывают влияния на движение центра масс системы. Внутренние силы могут оказать влияние на движение центра масс в тех случаях, когда под их воздействием меняются внешние силы. Примеры этого будут приведены далее.

Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения движения центра масс системы.

1. Если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (LF k =0), то из уравнения (17.15) следует,

что при этом а с = 0 или V c = const, т. е. центр масс этой системы

движется с постоянной по модулю и направлению скоростью (иначе, равномерно и прямолинейно). В частном случае, если вначале центр масс был в покое (V c =0), то он и останется в покое; откуда

следует, что его положение в пространстве не изменится, т. е. r c = const.

2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось х) равна нулю (?F e kx = 0), то из уравнения (17.16) следует, что при этом х с =0 или V Cx =х с = const, т. е. проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частном случае, если в начальный момент Vex = 0, то и в любой последующий момент времени это значение сохранится, а отсюда следует, что координата х с центра масс системы не изменится, т. е. х с - const.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие закон движения центра масс.

Примеры. 1. Как было отмечено, движение центра масс зависит только от внешних сил, внутренними силами изменить положение центра масс нельзя. Но внутренние силы системы могут вызвать внешние воздействия. Так, движение человека по горизонтальной поверхности происходит под действием сил трения между подошвами его обуви и поверхностью дороги. Силой своих мышц (внутренние силы) человек ногами отталкивается от поверхности дороги, отчего в точках контакта с дорогой возникает сила трения (внешняя для человека), направленная в сторону его движения.

• 2. Аналогичным образом двигается автомобиль. Внутренние силы давления в его двигателе заставляют вращаться колеса, но так как последние имеют сцепление с дорогой, то возникающие силы трения «толкают» машину вперед (в результате колеса не вращаются, а двигаются плоскопараллельно). Если же дорога будет абсолютно гладкой, то центр масс автомобиля будет неподвижен (при нулевой начальной скорости) и колеса при отсутствии трения будут пробуксовывать, т. е. совершать вращательное движение.
• 3. Движение с помощью гребного винта, пропеллера, весел происходит за счет отбрасывания некоторой массы воздуха (или воды). Если рассматривать отбрасываемую массу и движущееся тело как одну систему, то силы взаимодействия между ними, как внутренние, не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Однако каждая из частей этой системы будет двигаться, например, лодка вперед, а вода, которую отбрасывают весла, - назад.
• 4. В безвоздушном пространстве при движении ракеты «отбрасываемую массу» следует «брать с собой»: реактивный двигатель сообщает движение ракете за счет отброса назад продуктов горения топлива, которым заправлена ракета.
• 5. При спуске на парашюте можно управлять движением центра масс системы человек - парашют. Если мышечными усилиями человек подтягивает стропы парашюта так, что меняется форма его купола либо угол атаки воздушного потока, то это вызовет изменение и внешнего воздействия воздушного потока, а тем самым оказывается влияние на движение всей системы.

Задача 17.2. В задаче 17.1 (см. рис. 17.2) определить: 1) закон движения тележки х { = /)(/), если известно, что в начальный момент времени t 0 = О система находилась в покое и координата х 10 = 0; 2) ^акон изменения со временем суммарного значения нормальной реакции N(N = N" + N") горизонтальной плоскости, т. е. N=f 2 (t).

Решение. Здесь, как и в задаче 17.1, рассмотрим систему, состоящую из тележки и груза D, в произвольном положении под действием приложенных к ней внешних сил (см. рис. 17.2). Координатные оси Оху проведем так, чтобы ось х была горизонтальна, а ось у проходила через точку А 0 , т. е. место расположения точки А в момент времени t-t 0 - 0.

1. Определение закона движения тележки. Для определения х, = /,(0 воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х:

Так как все внешние силы вертикальны, то T,F e kx = 0, и, следовательно,

Проинтегрировав это уравнение, найдем, что Мх с = В, т. е. проекция скорости центра масс системы на ось х есть величина постоянная. Так как в начальный момент времени

Интегрируя уравнение Мх с = 0, получим

т. е. координата х с центра масс системы постоянна.

Запишем выражение Мх с для произвольного положения системы (см. рис. 17.2), приняв во внимание, что х А - х { , x D - х 2 и х 2 - х { - I sin ф. В соответствии с формулой (16.5), определяющей координату центра масс системы, в данном случае Мх с - т { х { + т 2 х 2 ".

для произвольного момента времени

для момента времени / () = 0, х { = 0 и

В соответствии с равенством (б) координата х с центра масс всей системы остается неизменной, т. е. хД^,) = x c (t). Следовательно, приравняв выражения (в) и (г), получим зависимость координаты х, от времени.

О т в е т: Х - 0,2 м, где t - в секундах.

2. Определение реакции N. Для определения N=f 2 (t ) составим дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции на вертикальную ось у (см. рис. 17.2):

Отсюда, обозначив N= N + N", получим

По формуле, определяющей ординату у с центра масс системы, Му с = т { у х + т 2 у 2 , где у, = у С1 , у 2 = y D = У а ~ 1 cos Ф» получим

Продифференцировав это равенство два раза по времени (учитывая при этом, что у С1 и у А величины постоянные и, следовательно, их производные равны нулю), найдем

Подставив это выражение в уравнение (е), определим искомую зависимость N от t.

Ответ: N- 176,4 + 1,13,

где ф = (я/6)(3/ -1), t - в секундах, N- в ньютонах.

Задача 17.3. Электрический мотор массой т х прикреплен на горизонтальной поверхности фундамента болтами (рис. 17.3). На валу мотора под прямым углом к оси вращения закреплен одним концом невесомый стержень длиной /, на другом конце стержня насажен точечный груз А массой т 2 . Вал вращается равномерно с угловой скоростью со. Найти горизонтальное давление мотора на болты. Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из мотора и точечного груза А, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р х, Р 2 , реакцию фундамента в виде вертикальной силы N и горизонтальной силы R. Проведем координатную ось х горизонтально.

Чтобы определить горизонтальное давление мотора на болты (а оно будет численно равно реакции R и направлено противоположно вектору R ), составим уравнение теоремы об изменении количества движения системы в проекции на горизонтальную ось х:

Для рассматриваемой системы в ее произвольном положении, учитывая, что количество движения корпуса мотора равно нулю, получим Q x = - т 2 У А сощ. Принимая во внимание, что V A = a з/, ф = со/ (вращение мотора равномерное), получим Q x - - m 2 co/cos со/. Дифференцируя Q x по времени и подставляя в равенство (а), найдем R- m 2 co 2 /sin со/.

Заметим, что именно такие силы являются вынуждающими (см. § 14.3), при их воздействии возникают вынужденные колебания конструкций.

Упражнения для самостоятельной работы

• 1. Что называют количеством движения точки и механической системы?
• 2. Как изменяется количество движения точки, равномерно движущейся по окружности?
• 3. Что характеризует импульс силы?
• 4. Влияют ли внутренние силы системы на ее количество движения? На движение ее центра масс?
• 5. Как влияют на движение центра масс системы приложенные к ней пары сил?
• 6. При каких условиях центр масс системы находится в покое? движется равномерно и прямолинейно?

7. В неподвижной лодке при отсутствии течения воды на корме сидит взрослый человек, а на носу лодки - ребенок. В каком направлении переместится лодка, если они поменяются местами?

В каком случае модуль перемещения лодки будет большим: 1) если ребенок перейдет к взрослому на корму; 2) если взрослый перейдет к ребенку на нос лодки? Каковы будут при этих движениях перемещения центра масс системы «лодка и два человека»?

Аналогично тому, как для одной материальной точки, выведем теорему об изменении количества движения для системы в различных формах.

Преобразуем уравнение (теорема о движении цента масс механической системы)

следующим образом:

;

Полученное уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная от количества движения механической системы по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на систему .

В проекциях на декартовы оси координат:

; ; .

Беря интегралы от обеих частей последних уравнений по времени, получим теорему об изменении количества движения механической системы в интегральной форме: изменение количества движения механической системы равно импульсу главного вектора внешних сил, действующих на систему .

.

Или в проекциях на декартовы оси координат:

; ; .

Следствия из теоремы (законы сохранения количества движения)

Закон сохранения количества движения получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы в зависимости от особенностей системы внешних сил. Внутренние силы могут быть любыми, так как они не влияют на изменения количества движения.

Возможны два случая:

1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю , то количество движения системы постоянно по величине и направлению

2. Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил на какую либо координатную ось и/или и/или , то проекция количества движения на эти же оси является величиной постоянной, т.е. и/или и/или соответственно.

Аналогичные записи можно сделать и для материальной точки и для материальной точки.

Условие задачи . Из орудия, масса которого М , вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы m со скоростью v . Найти скорость V орудия после выстрела.

Решение . Все внешние силы, действующие на механическую систему орудие-снаряд, вертикальны. Значит, на основании следствия из теоремы об изменении количества движения системы, имеем: .

Количество движения механической системы до выстрела:

Количество движения механической системы после выстрела:

.

Приравнивая правые части выражений, получим, что

.

Знак «-» в полученной формуле указывает на то, что после выстрела орудие откатится в направлении, противоположном оси Ox .

ПРИМЕР 2. Струя жидкости плотностью вытекает со скоростью V из трубы с площадью поперечного сечения F и ударяется под углом о вертикальную стенку. Определить давление жидкости на стену.

РЕШЕНИЕ. Применим теорему об изменении количества движения в интегральной форме к объему жидкости массой m ударяющемуся о стену за некоторый промежуток времени t .

УРАВНЕНИЕ МЕЩЕРСКОГО

(основное уравнение динамики тела переменной массы)

В современной технике возникают случаи, когда масса точки и системы не остается постоянной в процессе движения, а изменяется. Так, например, при полете космических ракет, вследствие выбрасывания продуктов сгорания и отдельных ненужных частей ракет, изменение массы достигает 90-95% общей начальной величины. Но не только космическая техника может быть примером динамики движения переменной массы. В текстильной промышленности происходит значительное изменения массы различных веретен, шпуль, рулонов при современных скоростях работы станков и машин.

Рассмотрим главные особенности, связанные с изменением массы, на примере поступательного движения тела переменной массы. К телу переменной массы нельзя непосредственно применить основной закон динамики. Поэтому получим дифференциальные уравнения движения точки переменной массы, применяя теорему об изменении количества движения системы.

Пусть точка массой m+dm движется со скоростью . Затем происходит отрыв от точки некоторой частицы массой dm движущейся со скоростью .

Количество движения тела до отрыва частицы:

Количество движения системы, состоящей из тела и оторвавшейся частицы, после ее отрыва:

Тогда изменение количества движения:

Исходя из теоремы об изменении количества движения системы:

Обозначим величину - относительная скорость частицы:

Обозначим

Величину R называют реактивной силой. Реактивная сила является тягой двигателя, обусловленная выбросом газа из сопла.

Окончательно получим

-

Данная формула выражает основное уравнение динамики тела переменной массы (формула Мещерского). Из последней формулы следует, что дифференциальные уравнения движения точки переменной массы имеют такой же вид, как и для точки постоянной массы, кроме приложенных к точке дополнительно реактивной силы, обусловленной изменением массы.

Основное уравнение динамики тела переменной массы свидетельствует о том, что ускорение этого тела формируется не только за счет внешних сил, но и за счет реактивной силы.

Реактивная сила – это сила, родственная той, которую ощущает стреляющий человек - при стрельбе из пистолета она ощущается кистью руки; при стрельбе из винтовки воспринимается плечом.

Первая формула Циолковского (для одноступенчатой ракеты)

Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно под действием только одной реактивной силы. Так как для многих современных реактивных двигателей , где - максимально допускаемая конструкцией двигателя реактивная сила (тяга двигателя); - сила тяжести, действующая на двигатель, находящийся на земной поверхности. Т.е. изложенное позволяет составляющей в уравнении Мещерского пренебречь и к дальнейшему анализу принять это уравнение в форме: ,

Обозначим:

Запас топлива (при жидкостных реактивных двигателях - сухая масса ракеты (остающаяся её масса после выгорания всего топлива);

Масса отделившихся от ракеты частиц; рассматривается как переменная величина, изменяющаяся от до .

Запишем уравнение прямолинейного движения точки переменной массы в следующем виде вид

.

Так как формула для определения переменной массы ракеты

Следовательно, уравнения движения точки Беря интегралы от обеих частей получим

где - характеристическая скорость – это скорость, которую приобретает ракета под действием тяги после извержения из ракеты всех частиц (при жидкостных реактивных двигателях – после выгорания всего топлива).

Вынесенная за знак интеграла (что можно делать на основании известной из высшей математики теоремы о среднем) - это средняя скорость извергаемых из ракеты частиц.

Дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы F можно представить в следующей векторной форме:

Так как масса точки m принята постоянной, то её можно внести под знак производной. Тогда

Формула (1) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе .

В проекциях на координатные оси (1) можно представить в виде

Если обе части (1) умножить на dt , то получим другую форму этой же теоремы – теорему импульсов в дифференциальной форме:

т.е. дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Проецируя обе части (2) на координатные оси, получаем

Интегрируя обе части (2) в пределах от нуля до t (рис. 1), имеем

где - скорость точки в момент t ; - скорость при t = 0;

S - импульс силы за время t .

Выражение в форме (3) часто называют теоремой импульсов в конечной (или интегральной) форме: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси эту теорему можно представить в следующем виде:

Для материальной точки теорема об изменении количества движения в любой из форм, по существу, не отличается от дифференциальных уравнений движения точки.

Теорема об изменении количества движения системы

Количеством движения системы будем называть векторную величину Q , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы.

Рассмотрим систему, состоящую изn материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения и сложим их почленно. Тогда получим:

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

Окончательно находим:

Уравнение (4) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Найдём другое выражение теоремы. Пусть в момент t = 0 количество движения системы равно Q 0 , а в момент времени t 1 становится равным Q 1 . Тогда, умножая обе части равенства (4) на dt и интегрируя, получим:

Или , где:

(S- импульс силы)

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил,

уравнение (5) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на оси координат будем иметь:

Закон сохранения количества движения

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия:

1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения (4) следует, что при этом Q =const.

Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по 10модулю и направлению.

2. 01Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Ох) равна нулю:

Тогда из уравнений (4`) следует, что при этом Q = const.

Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Рассмотрим некоторые примеры:

· Я в л е н и е о т д а ч и и л и о т к а т а. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщит винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

· Р а б о т а г р е б н о г о в и н т а (п р о п е л л е р а). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получают соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы остается равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

· Р е а к т и в н о е д в и ж е н и е. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла реактивного двигателя). Действующие при этом силы давления будут силами внутренними и они не могут изменить суммарное количество движения системы ракета- пороховые газы. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения,направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.

Теорема моментов относительно оси.

Рассмотрим материальную точку массы m , движущуюся под действием силы F . Найдем для неё зависимость между моментом векторов mV и F относительно какой-нибудь неподвижной оси Z.

m z (F) = xF - уF (7)

Аналогично для величины m (mV) , если вынести m за скобку будет

m z (mV) = m(хV - уV) (7`)

Беря от обеих частей этого равенства производные по времени, находим

В правой части полученного выражения первая скобка равна 0, так как dx/dt=V и dу /dt = V , вторая же скобка согласно формуле (7) равна

m z (F) , так как по основному закону динамики:

Окончательно будем иметь (8)

Полученное уравнение выражает теорему моментов относительно оси: производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-нибудь оси равна моменту действующей силы относительно той же оси. Аналогичная теорема имеет место и для моментов относительно любого центра О.

Пусть материальная точка движется под действием силы F . Требуется определить движение этой точки по отношению к подвижной системе Oxyz (см. сложное движение материальной точки), которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе O 1 x 1 y 1 z 1 .

Основное уравнение динамики в неподвижной системе

Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса

где a абс – абсолютное ускорение;

a отн – относительное ускорение;

a пер – переносное ускорение;

a кор – кориолисово ускорение.

Перепишем (25) с учетом (26)

Введем обозначения
- переносная сила инерции,
- кориолисова сила инерции. Тогда уравнение (27) приобретает вид

Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Общие теоремы динамики материальной точки

При решении многих задач можно пользоваться выполненными заранее заготовками, полученными на основе второго закона Ньютона. Такие методы решения задач объединены в этом разделе.

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Введем следующие динамические характеристики:

1. Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости

. (29)

2. Импульс силы

Элементарный импульс силы – векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени

(30).

Тогда полный импульс

. (31)

При F =const получим S =Ft .

Полный импульс за конечный промежуток времени можно вычислить только в двух случаях, когда действующая на точку сила постоянная или зависит то времени. В других случаях необходимо выразить силу как функцию времени.

Равенство размерностей импульса (29) и количества движения (30) позволяет установить между ними количественную взаимосвязь.

Рассмотрим движение материальной точки M под действием произвольной силы F по произвольной траектории.

ОУД:
. (32)

Разделяем в (32) переменные и интегрируем

. (33)

В итоге, принимая во внимание (31), получаем

. (34)

Уравнение (34) выражает следующую теорему.

Теорема : Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку, за тот же интервал времени.

При решении задач уравнение (34) необходимо спроектировать на оси координат

Данной теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и неизвестных величин присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и время движения.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

М
омент количества движения материальной точки относительно центра равен произведению модуля количества движения точки на плечо, т.е. кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от центра до линии, совпадающей с вектором скорости

, (36)

. (37)

Взаимосвязь между моментом силы (причиной) и моментом количества движения (следствием) устанавливает следующая теорема.

Пусть точка M заданной массы m движется под действием силы F .

,
,

, (38)

. (39)

Вычислим производную от (39)

. (40)

Объединяя (40) и (38), окончательно получим

. (41)

Уравнение (41) выражает следующую теорему.

Теорема : Производная по времени от вектора момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

При решении задач уравнение (41) необходимо спроектировать на оси координат

В уравнениях (42) моменты количеств движения и силы вычисляются относительно координатных осей.

Из (41) вытекает закон сохранения момента количества движения (закон Кеплера).

Если момент силы, действующей на материальную точку, относительно какого-либо центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра сохраняет свою величину и направление.

Если
, то
.

Теорема и закон сохранения используются в задачах на криволинейное движение, в особенности при действии центральных сил.