Se l'insieme dei vettori è linearmente indipendente. Dipendenza lineare dei vettori

Quindi, il problema di studiare un sistema di vettori per dipendenza lineare si riduce al problema di trovare il rango di una matrice composta da vettori di questo sistema.

Va notato che per p>n il sistema di vettori sarà linearmente dipendente.

Commento: quando si compila la matrice A, i vettori del sistema possono essere presi non come righe, ma come colonne.

Algoritmo per lo studio di un sistema di vettori per dipendenza lineare.

Diamo un'occhiata all'algoritmo utilizzando degli esempi.

Esempi di studio di un sistema di vettori per dipendenza lineare.

Esempio.

È dato un sistema di vettori. Esaminalo per la dipendenza lineare.

Soluzione.

Poiché il vettore c è zero, il sistema originale di vettori è linearmente dipendente a causa della terza proprietà.

Risposta:

Il sistema vettoriale è linearmente dipendente.

Esempio.

Esaminare un sistema di vettori per la dipendenza lineare.

Soluzione.

Non è difficile notare che le coordinate del vettore c sono uguali alle corrispondenti coordinate del vettore moltiplicate per 3, cioè . Pertanto, il sistema originale di vettori è linearmente dipendente.

Espressione della forma chiamato combinazione lineare di vettori A1, A2,...,A n con probabilità λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinazione della dipendenza lineare di un sistema di vettori

Sistema vettoriale A1, A2,...,A n chiamato linearmente dipendente, se esiste un insieme di numeri diverso da zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, in cui la combinazione lineare di vettori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n uguale al vettore zero, cioè il sistema di equazioni: ha una soluzione diversa da zero.
Insieme di numeri λ 1, λ 2 ,...,λ n è diverso da zero se almeno uno dei numeri λ 1, λ 2 ,...,λ n diverso da zero.

Determinazione dell'indipendenza lineare di un sistema di vettori

Sistema vettoriale A1, A2,...,A n chiamato linearmente indipendenti, se la combinazione lineare di questi vettori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n uguale al vettore zero solo per un insieme zero di numeri λ 1, λ 2 ,...,λ n , cioè il sistema di equazioni: A1 x 1 +A2 x 2 +...+A n x n =Θ ha un'unica soluzione zero.

Verifica se un sistema di vettori è linearmente dipendente

Soluzione:

1. Componiamo un sistema di equazioni:

2. Lo risolviamo utilizzando il metodo di Gauss. Le trasformazioni Jordanano del sistema sono riportate nella Tabella 29.1. Nel calcolo i membri destri del sistema non vengono svalutati poiché sono uguali a zero e non cambiano durante le trasformazioni di Jordan.

3. Dalle ultime tre righe della tabella scrivere un sistema risolto equivalente a quello originale sistema:

4. Otteniamo la soluzione generale del sistema:

5. Avendo impostato a propria discrezione il valore della variabile libera x 3 =1, otteniamo una particolare soluzione diversa da zero X=(-3,2,1).

Risposta: Pertanto, per un insieme di numeri diverso da zero (-3,2,1), la combinazione lineare di vettori è uguale al vettore zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Quindi, sistema vettoriale linearmente dipendente.

Proprietà dei sistemi vettoriali

Proprietà (1)
Se un sistema di vettori è linearmente dipendente, allora almeno uno dei vettori si espande rispetto agli altri e, viceversa, se almeno uno dei vettori del sistema viene espanso rispetto agli altri, allora il sistema di vettori è linearmente dipendente.

Proprietà (2)
Se un qualsiasi sottosistema di vettori è linearmente dipendente, allora l’intero sistema è linearmente dipendente.

Proprietà (3)
Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora ogni suo sottosistema è linearmente indipendente.

Proprietà (4)
Qualsiasi sistema di vettori contenente un vettore zero è linearmente dipendente.

Proprietà (5)
Un sistema di vettori m-dimensionali è sempre linearmente dipendente se il numero di vettori n è maggiore della loro dimensione (n>m)

Base del sistema vettoriale

Le basi del sistema vettoriale A 1 , A 2 ,..., A n tale sottosistema B 1 , B 2 ,...,B r è chiamato(ciascuno dei vettori B 1,B 2,...,B r è uno dei vettori A 1, A 2,..., A n), che soddisfa le seguenti condizioni:
1. B1,B2,...,Br sistema di vettori linearmente indipendenti;
2. qualsiasi vettore Aj il sistema A 1 , A 2 ,..., A n è espresso linearmente mediante i vettori B 1 , B 2 ,..., B r

R— il numero di vettori inclusi nella base.

Teorema 29.1 Sulla base unitaria di un sistema di vettori.

Se un sistema di m vettori dimensionali contiene m diversi vettori unitari E 1 E 2 ,..., E m , allora essi costituiscono la base del sistema.

Algoritmo per trovare le basi di un sistema di vettori

Per trovare la base del sistema di vettori A 1 ,A 2 ,...,A n è necessario:

• Crea un sistema vettoriale corrispondente sistema omogeneo equazioni A1 x 1 +A2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Porta questo sistema

Dipendenza lineare e indipendenza vettoriale

Definizioni di sistemi vettoriali linearmente dipendenti e indipendenti

Definizione 22

Consideriamo un sistema di n-vettori e un insieme di numeri
, Poi

(11)

è chiamata combinazione lineare di un dato sistema di vettori con un dato insieme di coefficienti.

Definizione 23

Sistema vettoriale
si dice linearmente dipendente se esiste un tale insieme di coefficienti
, di cui almeno uno non è uguale a zero, tale che la combinazione lineare di un dato sistema di vettori con questo insieme di coefficienti è uguale al vettore zero:

Permettere
, Poi

Definizione 24 ( attraverso la rappresentazione di un vettore del sistema come combinazione lineare degli altri)

Sistema vettoriale
si dice linearmente dipendente se almeno uno dei vettori di questo sistema può essere rappresentato come una combinazione lineare dei rimanenti vettori di questo sistema.

Dichiarazione 3

Le definizioni 23 e 24 sono equivalenti.

Definizione 25(tramite combinazione lineare zero)

Sistema vettoriale
si dice linearmente indipendente se una combinazione lineare nulla di questo sistema è possibile solo per tutti
uguale a zero.

Definizione 26(a causa dell’impossibilità di rappresentare un vettore del sistema come combinazione lineare degli altri)

Sistema vettoriale
si dice linearmente indipendente se nessuno dei vettori di questo sistema non può essere rappresentato come combinazione lineare di altri vettori di questo sistema.

Proprietà dei sistemi vettoriali linearmente dipendenti e indipendenti

Teorema 2 (vettore zero nel sistema di vettori)

Se un sistema di vettori ha un vettore nullo, allora il sistema è linearmente dipendente.

 Let
, Poi .

Otteniamo
, quindi, per definizione di un sistema di vettori linearmente dipendenti attraverso una combinazione lineare nulla (12) il sistema è linearmente dipendente. 

Teorema 3 (sottosistema dipendente in un sistema vettoriale)

Se un sistema di vettori ha un sottosistema linearmente dipendente, allora l’intero sistema è linearmente dipendente.

 Let
- sottosistema linearmente dipendente
, tra cui almeno uno non è uguale a zero:

Ciò significa, per la definizione 23, che il sistema è linearmente dipendente. 

Teorema 4

Qualsiasi sottosistema di un sistema linearmente indipendente è linearmente indipendente.

 Dall'opposto. Sia il sistema linearmente indipendente e abbia un sottosistema linearmente dipendente. Ma allora, secondo il Teorema 3, anche l’intero sistema sarà linearmente dipendente. Contraddizione. Di conseguenza, un sottosistema di un sistema linearmente indipendente non può essere linearmente dipendente. 

Significato geometrico dipendenza e indipendenza lineare di un sistema di vettori

Teorema 5

Due vettori E sono linearmente dipendenti se e solo se
.

 Necessità.

E - linearmente dipendente
che la condizione è soddisfatta
. Poi
, cioè.
.

Adeguatezza.

Dipendenza lineare. 

Corollario 5.1

Il vettore zero è collineare a qualsiasi vettore

Corollario 5.2

Affinché due vettori siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che non era collineare .

Teorema 6

Affinché un sistema di tre vettori sia linearmente dipendente è necessario e sufficiente che questi vettori siano complanari .

 Necessità.

- sono linearmente dipendenti, pertanto un vettore può essere rappresentato come una combinazione lineare degli altri due.

, (13)

Dove
E
. Secondo la regola del parallelogramma c'è una diagonale di un parallelogramma con lati
, ma il parallelogramma lo è figura piatta
complanare
- sono anche complanari.

Adeguatezza.

- complanare. Applichiamo tre vettori al punto O:

C

B`

– linearmente dipendente 

Corollario 6.1

Il vettore zero è complanare a qualsiasi coppia di vettori.

Corollario 6.2

In ordine per i vettori
fossero linearmente indipendenti, è necessario e sufficiente che non siano complanari.

Corollario 6.3

Qualsiasi vettore di un piano può essere rappresentato come una combinazione lineare di due vettori non collineari qualsiasi dello stesso piano.

Teorema 7

Quattro vettori qualsiasi nello spazio sono linearmente dipendenti .

 Consideriamo 4 casi:

Disegniamo un piano attraverso i vettori, poi un piano attraverso i vettori e un piano attraverso i vettori. Poi disegniamo i piani passanti per il punto D, paralleli alle coppie di vettori; ; rispettivamente. Costruiamo un parallelepipedo lungo le linee di intersezione dei piani 1 O.B. 1 C 1 D.

ABDC ; rispettivamente. Costruiamo un parallelepipedo lungo le linee di intersezione dei piani 1 O.B. 1 C 1 Consideriamo
.

– parallelogramma mediante costruzione secondo la regola del parallelogramma
Considera OADD 1 – un parallelogramma (dalla proprietà di un parallelepipedo)

, Poi

EMBED Equazione.3 .
Per il Teorema 1
tale che. Poi

, e per definizione 24 il sistema di vettori è linearmente dipendente. 

Corollario 7.1

La somma di tre vettori non complanari nello spazio è un vettore che coincide con la diagonale di un parallelepipedo costruito su questi tre vettori applicati ad un'origine comune, e l'origine del vettore somma coincide con l'origine comune di questi tre vettori.

Corollario 7.2

Dipendenza lineare vettori

Al momento di decidere vari compiti, di regola, non si ha a che fare con un vettore, ma con un certo insieme di vettori della stessa dimensione. Tali aggregati sono chiamati sistema di vettori e denotare

Definizione.Combinazione lineare di vettori chiamato vettore del modulo

dove sono i numeri reali. Si dice anche che un vettore sia espresso linearmente in termini di vettori o scomposto in questi vettori.

Ad esempio, siano dati tre vettori: , , . La loro combinazione lineare con i coefficienti rispettivamente 2, 3 e 4 costituisce il vettore

Definizione. L'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di un sistema di vettori è chiamato estensione lineare di questo sistema.

Definizione. Viene chiamato un sistema di vettori diversi da zero linearmente dipendente, se ci sono numeri che non sono contemporaneamente uguali a zero, tali che la combinazione lineare di un dato sistema con i numeri indicati sia uguale al vettore zero:

Se l'ultima uguaglianza per un dato sistema di vettori è possibile solo per , allora viene chiamato questo sistema di vettori linearmente indipendenti.

Ad esempio, un sistema di due vettori è linearmente indipendente; sistema di due vettori ed è linearmente dipendente, poiché .

Sia il sistema di vettori (19) linearmente dipendente. Selezioniamo il termine della somma (20) in cui il coefficiente è , ed esprimiamolo attraverso i restanti termini:

Come si può vedere da questa uguaglianza, uno dei vettori del sistema linearmente dipendente (19) si è rivelato espresso in termini di altri vettori di questo sistema (o è espanso in termini dei suoi restanti vettori).

Proprietà di un sistema vettoriale linearmente dipendente

1. Un sistema costituito da un vettore diverso da zero è linearmente indipendente.

2. Un sistema contenente un vettore zero è sempre linearmente dipendente.

3. Un sistema contenente più di un vettore è linearmente dipendente se e solo se tra i suoi vettori c'è, secondo almeno, un vettore che è espresso linearmente in termini degli altri.

Il significato geometrico di una relazione lineare nel caso di vettori bidimensionali su un piano: quando un vettore si esprime attraverso un altro, abbiamo, cioè questi vettori sono collineari o, che è lo stesso, situati su linee parallele.

Nel caso spaziale della dipendenza lineare di tre vettori, questi sono paralleli a un piano, cioè complanare. Basta “correggere” le lunghezze di questi vettori con i fattori corrispondenti affinché uno di essi diventi la somma degli altri due o si esprima attraverso di essi.

Teorema. Nello spazio, qualsiasi sistema contenente vettori è linearmente dipendente da .

Esempio. Scopri se i vettori sono linearmente dipendenti.

Soluzione. Facciamo un'uguaglianza vettoriale. Scrivendo in forma vettoriale di colonna, otteniamo

Pertanto, il problema si è ridotto alla risoluzione del sistema

Risolviamo il sistema utilizzando il metodo gaussiano:

Di conseguenza, otteniamo un sistema di equazioni:

che ha infinite soluzioni, tra le quali ce n'è sicuramente una diversa da zero, quindi i vettori sono linearmente dipendenti.

Permettere l – spazio lineare sopra il campo R . Permettere A1, a2, …, an (*) sistema finito di vettori da l . Vettore IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× UN (16) viene chiamato Combinazione lineare di vettori ( *), oppure dicono che il vettore IN espresso linearmente attraverso un sistema di vettori (*).

Definizione 14. Il sistema di vettori (*) si chiama Dipendenza lineare , se e solo se esiste un insieme diverso da zero di coefficienti a1, a2, … , tale che a1× A1 + a2× A2 + … + an× UN = 0. Se a1× A1 + a2× A2 + … + an× UN = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, allora viene chiamato il sistema (*) Linearmente indipendente.

Proprietà di dipendenza e indipendenza lineare.

10. Se un sistema di vettori contiene un vettore zero, allora è linearmente dipendente.

Infatti, se nel sistema (*) il vettore A1 = 0, Questo è 1× 0 + 0× A2+…+0 × An = 0 .

20. Se un sistema di vettori contiene due vettori proporzionali, allora è linearmente dipendente.

Permettere A1 = l×a2. Quindi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× UN N= 0.

30. Un sistema finito di vettori (*) per n ³ 2 è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei suoi vettori è una combinazione lineare dei rimanenti vettori di questo sistema.

Þ Sia (*) una dipendenza lineare. Allora esiste un insieme diverso da zero di coefficienti a1, a2, …, an, per i quali a1× A1 + a2× A2 + … + an× UN = 0 . Senza perdita di generalità, possiamo supporre che a1 ¹ 0. Allora esiste A1 = ×a2× A2 + … + ×an× UN N. Quindi, vettore A1 è una combinazione lineare dei rimanenti vettori.

Ü Sia uno dei vettori (*) una combinazione lineare degli altri. Possiamo supporre che questo sia il primo vettore, cioè A1 = B2 A2+ … + miliardi UN N, quindi (–1)× A1 +b2 A2+ … + miliardi UN N= 0 , cioè (*) è linearmente dipendente.

Commento. Usando l'ultima proprietà, possiamo definire la dipendenza e l'indipendenza lineare di un sistema infinito di vettori.

Definizione 15. Sistema vettoriale A1, a2, …, an , …(**) viene chiamato Dipendenza lineare, Se almeno uno dei suoi vettori è una combinazione lineare di un numero finito di altri vettori. Altrimenti viene chiamato il sistema (**). Linearmente indipendente.

40. Un sistema finito di vettori è linearmente indipendente se e solo se nessuno dei suoi vettori può essere espresso linearmente in termini dei suoi vettori rimanenti.

50. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora anche qualsiasi suo sottosistema è linearmente indipendente.

60. Se qualche sottosistema di un dato sistema di vettori è linearmente dipendente, allora anche l'intero sistema è linearmente dipendente.

Siano dati due sistemi di vettori A1, a2, …, an , … (16) e В1, В2, …, Вs, … (17). Se ciascun vettore del sistema (16) può essere rappresentato come una combinazione lineare di un numero finito di vettori del sistema (17), allora il sistema (17) si dice espresso linearmente attraverso il sistema (16).

Definizione 16. I due sistemi vettoriali vengono chiamati Equivalente , se ciascuno di essi è espresso linearmente attraverso l'altro.

Teorema 9 (teorema fondamentale della dipendenza lineare).

Lascia fare – due sistemi finiti di vettori da l . Se il primo sistema è linearmente indipendente ed espresso linearmente attraverso il secondo, allora N£s.

Prova. Supponiamolo N> S. Secondo le condizioni del teorema

giunto Dal numero di equazioni più numero incognite, allora il sistema ha infinite soluzioni. Pertanto ha un valore diverso da zero X10,x20,...,xN0. Per questi valori sarà vera l'uguaglianza (18), il che contraddice il fatto che il sistema di vettori è linearmente indipendente. Quindi la nostra ipotesi è sbagliata. Quindi, N£s.

Conseguenza. Se due sistemi equivalenti di vettori sono finiti e linearmente indipendenti, allora contengono stesso numero vettori.

Definizione 17. Il sistema vettoriale si chiama Massimo sistema di vettori linearmente indipendenti Spazio lineare l , se è linearmente indipendente, ma quando si aggiunge ad esso qualsiasi vettore da l , non compreso in questo sistema, diventa linearmente dipendente.

Teorema 10. Due sistemi di vettori finiti massimali linearmente indipendenti qualsiasi da l Contengono lo stesso numero di vettori.

Prova deriva dal fatto che due sistemi massimi di vettori linearmente indipendenti sono equivalenti .

È facile dimostrare che qualsiasi sistema linearmente indipendente di vettori spaziali l può essere espanso a un massimo sistema di vettori linearmente indipendenti in questo spazio.

Esempi:

1. Nell'insieme di tutti i vettori geometrici collineari, qualsiasi sistema costituito da un vettore diverso da zero è linearmente indipendente al massimo.

2. Nell'insieme di tutti i vettori geometrici complanari, due vettori qualsiasi non collineari costituiscono un sistema massimale linearmente indipendente.

3. Nell'insieme di tutti i possibili vettori geometrici dello spazio euclideo tridimensionale, qualsiasi sistema di tre vettori non complanari è linearmente indipendente al massimo.

4. Nell'insieme di tutti i polinomi, i gradi non sono superiori a N A coefficienti reali (complessi), un sistema di polinomi 1, x, x2, … , xnÈ massimamente linearmente indipendente.

5. Nell'insieme di tutti i polinomi con coefficienti reali (complessi), esempi di un sistema massimale linearmente indipendente sono

UN) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

B) 1, (1 – X), (1 – X)2, … , (1 – X)N, ...

6. Insieme di matrici dimensionali M´ Nè uno spazio lineare (controlla questo). Un esempio di massimo sistema linearmente indipendente in questo spazio è il sistema a matrice E11= , E12 =, …, EMn = .

Sia dato un sistema di vettori C1, c2, …, cfr (*). Viene chiamato il sottosistema di vettori da (*) Massimo linearmente indipendente Sottosistema Sistemi ( *) , se è linearmente indipendente, ma aggiungendo ad esso qualsiasi altro vettore di questo sistema, diventa linearmente dipendente. Se il sistema (*) è finito, allora ciascuno dei suoi sottosistemi linearmente indipendenti massimi contiene lo stesso numero di vettori. (Dimostralo tu stesso). Viene chiamato il numero di vettori nel massimo sottosistema linearmente indipendente del sistema (*) Rango Questo sistema. Ovviamente, sistemi equivalenti di vettori hanno gli stessi ranghi.