Forza generalizzata di un sistema ad un grado di libertà. Meccanica analitica

Facciamo un sistema punti materiali, subordinato a s holding bonds, le cui equazioni hanno la forma sopra riportata.

Se il sistema fosse libero, tutte le coordinate cartesiane dei suoi punti sarebbero indipendenti. Per indicare la posizione del sistema sarebbe necessario specificare tutte le coordinate cartesiane dei suoi punti. In un sistema meccanico non libero di coordinate cartesiane, i suoi punti devono soddisfare s equazioni di vincolo, quindi solo le coordinate tra loro saranno indipendenti.

Il numero di quantità scalari reciprocamente indipendenti che determinano univocamente la posizione sistema meccanico nello spazio è chiamato numero di gradi di libertà del sistema.

Di conseguenza, un sistema meccanico costituito da N punti materiali liberi ha gradi di libertà. Un sistema non libero di N punti materiali con s connessioni vincolanti di gradi di libertà.

Quando determiniamo la posizione di un sistema non libero, possiamo specificare in modo indipendente solo le coordinate; le restanti coordinate s sono determinate dalle equazioni dei vincoli. Tuttavia, la posizione di un sistema non libero può essere specificata in un modo più conveniente: invece di coordinate cartesiane indipendenti, si possono specificare lo stesso numero di altre quantità geometriche attraverso le quali le coordinate cartesiane (sia dipendenti che indipendenti) possono essere espresse in modo univoco. Angoli, distanze lineari, aree, ecc. possono essere scelti come tali quantità, chiamate coordinate generalizzate del sistema. La comodità è che le coordinate generalizzate possono essere scelte tenendo conto delle connessioni imposte, ad es. in funzione della natura del movimento consentito al sistema dall'intero insieme dei collegamenti sovrapposti. In questo caso, le connessioni vengono prese in considerazione automaticamente e non è necessario risolvere le equazioni delle connessioni rispetto alle coordinate dipendenti.

Esempio 1. La posizione di un pendolo fisico, costituito da una pesante asta O A incernierata nel punto O, è completamente determinata impostando l'angolo (Fig. 78). Se viene specificato l'angolo, per qualsiasi punto dell'asta con una determinata distanza è possibile calcolare le sue coordinate cartesiane:

Esempio 2. Per un sistema meccanico costituito da un pendolo matematico su una piattaforma mobile (Fig. 79), la posizione nello spazio è completamente determinata dai valori s e ( dati).

La posizione della piattaforma è determinata dalla distanza s, anche le coordinate del punto massa M sono facilmente calcolabili:

Le quantità (esempio 1) e s (esempio 2) sono coordinate generalizzate dei sistemi indicati. Questo concetto può essere esteso al caso di un sistema meccanico arbitrario.

Pertanto, le coordinate generalizzate di un sistema meccanico sono qualsiasi quantità geometrica indipendente l'una dall'altra che determina in modo univoco la posizione del sistema nello spazio. Il numero di coordinate generalizzate è uguale al numero di gradi di libertà del sistema.

Indipendentemente significato geometrico e, di conseguenza, le dimensioni, le coordinate generalizzate sono indicate in modo uniforme, con la lettera q accompagnata da un numero: . Dal fatto che le coordinate generalizzate determinano in modo univoco la posizione del sistema meccanico nel sistema di coordinate Oxyz selezionato, ne consegue che esistono funzioni

esprimendo le coordinate cartesiane di tutti i punti del sistema attraverso coordinate generalizzate e, forse, tempo t. Il tipo specifico di queste funzioni è impostato diversamente per ciascun sistema (vedere esempi 1 e 2).

Se si inseriscono i vettori del raggio dei punti (), queste funzioni possono essere rappresentate in forma vettoriale

Introduciamo ora il concetto di forza generalizzata. Fissiamo il sistema in un momento arbitrario del tempo t e diciamogli il possibile movimento da questa posizione.

Di conseguenza, lascia che le coordinate generalizzate ricevano incrementi (variazioni). Troveremo gli spostamenti elementari corrispondenti dei punti del sistema calcolando i differenziali delle funzioni in un tempo fisso ():

Calcolando il lavoro possibile delle forze applicate, troviamo:

Si vede che il lavoro possibile è espresso da una funzione omogenea di primo grado (forma lineare) rispetto a variazioni di coordinate generalizzate a coefficienti

cioè. sembra

I coefficienti sono chiamati forze generalizzate.

Pertanto, ciascuna coordinata generalizzata ha la propria forza generalizzata. In questo caso, la forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata è chiamata coefficiente di variazione di questa coordinata generalizzata nell'espressione del possibile lavoro delle forze applicate ai punti del sistema.

Per singoli gruppi di forze è possibile inserire forze generalizzate, ad esempio per forze attive, per reazioni di legame, per forze potenziali, ecc. Quindi la forza generalizzata totale sarà espressa dalla somma delle forze generalizzate corrispondenti a questi gruppi selezionati. Quindi, se forze attive diviso in forze attive e reazioni di accoppiamento, quindi le forze generalizzate totali saranno uguali

dove sono forze attive generalizzate, sono reazioni generalizzate di connessioni.

Le reazioni generalizzate dei legami ideali sono sempre uguali a zero. Per questo motivo, le reazioni dei legami ideali possono essere ignorate nel calcolo delle forze generalizzate.

Esempio 3. Calcola la forza generalizzata di un pendolo fisico costituito da un'asta OA di lunghezza e massa (Fig. 80).

Soluzione. Pendolo fisicoè un sistema ad un grado di libertà. Di conseguenza, la posizione del pendolo è determinata da una coordinata generalizzata, per la quale scegliamo l'angolo di inclinazione rispetto alla verticale.

Rappresentiamo un pendolo in una posizione arbitraria e applichiamo le forze agenti. Non è necessario mostrare la reazione nel supporto A, poiché la cerniera è una connessione ideale e il suo contributo alla forza generalizzata è zero. Informiamo il sistema del possibile movimento: una rotazione elementare del pendolo di un angolo nella direzione dell'angolo crescente. Il lavoro è compiuto solo dal peso del pendolo. Il suo punto di applicazione (baricentro C dell'asta) descriverà un arco di lunghezza , e si alzerà lungo la verticale di una quantità , completando lavoro di base

Consideriamo un sistema meccanico con connessioni ideali. Sia le forze attive del sistema. Diamo al sistema meccanico uno spostamento virtuale e calcoliamo il lavoro elementare delle forze del sistema su questo spostamento:

.

Utilizzando l'uguaglianza (17.2) esprimiamo la variazione
vettore del raggio punti M k attraverso variazioni
coordinate generalizzate:

quindi,

. (17.6)

Cambiamo l’ordine di sommatoria nell’uguaglianza (17.6):

. (17.7)

Indichiamo nell'espressione (17.7)

. (17.8)

.

Per forze generalizzate Q J nominare i coefficienti per le variazioni delle coordinate generalizzate nell'espressione del lavoro elementare delle forze del sistema.

A seconda della dimensione delle variazioni delle coordinate generalizzate
forze generalizzate Q J può avere dimensioni di forza, momento, ecc.

Metodi per il calcolo delle forze generalizzate

Consideriamo tre modi per calcolare le forze generalizzate.

1. Determinazione delle forze generalizzate utilizzando la formula base(17.8)

. (17.9)

La formula (17.9) è usata raramente nella pratica. Quando si risolvono i problemi, viene spesso utilizzato il secondo metodo.

2. Un metodo per “congelare” le coordinate generalizzate.

Diamo al sistema meccanico uno spostamento virtuale tale che tutte le variazioni delle coordinate generalizzate eccetto
sono uguali a zero:

Calcoliamo il lavoro per questo movimento
tutte le forze attive applicate al sistema

.

Per definizione, il moltiplicatore della variazione
uguale alla prima forza generalizzata Q 1 .

e definire la seconda forza generalizzata Q 2, dopo aver calcolato lavoro virtuale tutte le forze del sistema

.

Calcoliamo allo stesso modo tutte le altre forze generalizzate del sistema.

3. Il caso di un potenziale campo di forza.

Supponiamo che sia noto energia potenziale sistema meccanico

Poi
e secondo la formula (32.8)

Il principio dei movimenti virtuali della statica in coordinate generalizzate

Secondo il principio degli spostamenti virtuali della statica, per l’equilibrio di un sistema con connessioni ideali stazionarie olonome, è necessaria e sufficiente la condizione:

a velocità iniziali pari a zero.

Passando alle coordinate generalizzate, otteniamo

. (17.11)

Poiché le variazioni delle coordinate generalizzate sono indipendenti, l'uguaglianza a zero dell'espressione (17.11) è possibile solo nel caso in cui tutti i coefficienti per le variazioni delle coordinate generalizzate siano uguali a zero:

Così, Affinché un sistema meccanico con connessioni ideali, olonome, stazionarie e vincolanti sia in equilibrio, è necessario e sufficiente che tutte le forze generalizzate del sistema siano uguali a zero (a velocità iniziali zero del sistema).

Equazioni di Lagrange in coordinate generalizzate (equazioni di Lagrange del secondo tipo)

Le equazioni di Lagrange derivano dall'equazione generale della dinamica sostituendo gli spostamenti virtuali con le loro espressioni attraverso variazioni di coordinate generalizzate. Sono un sistema equazioni differenziali moto di un sistema meccanico in coordinate generalizzate:

. (17.13)

Dove
- velocità generalizzate,

T  energia cinetica sistema presentato in funzione di coordinate generalizzate e velocità generalizzate

Q J- forze generalizzate.

Il numero di equazioni del sistema (17.13) è determinato dal numero di gradi di libertà e non dipende dal numero di corpi compresi nel sistema. Con connessioni ideali, solo le forze attive entreranno nei membri di destra delle equazioni. Se le connessioni non sono ideali, le loro reazioni dovrebbero essere classificate come forze attive.

Nel caso di forze potenziali che agiscono sul sistema meccanico, le equazioni (17.13) assumono la forma

.

Se introduciamo la funzione di Lagrange l = T  P, quindi tenendo conto che l'energia potenziale non dipende dalle velocità generalizzate, si ottengono le equazioni di Lagrange di seconda specie per il caso delle forze potenziali nella seguente forma

.

Quando si compongono le equazioni di Lagrange del secondo tipo, è necessario eseguire i seguenti passaggi:

Imposta il numero di gradi di libertà del sistema meccanico e seleziona le sue coordinate generalizzate.

Comporre un'espressione per l'energia cinetica del sistema e rappresentarla in funzione di coordinate generalizzate e velocità generalizzate.

Utilizzando i metodi descritti sopra, trova le forze attive generalizzate del sistema.

Esegui tutte le operazioni di differenziazione necessarie nelle equazioni di Lagrange.

Esempio.

Dove J z momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione z,
- velocità angolare del corpo.

3. Definiamo la forza generalizzata. Diamo al corpo uno spostamento virtuale  e calcoliamo il lavoro virtuale di tutte le forze attive del sistema:

Quindi, Q = M z il momento principale delle forze attive del sistema rispetto all'asse di rotazione del corpo.

4. Eseguiamo operazioni di differenziazione nell'equazione di Lagrange

: (17.14)

. (17.15)

Sostituendo le uguaglianze (17.15) nell'equazione (173

14) otteniamo l'equazione differenziale del moto rotatorio del corpo

.

Scriviamo la somma dei lavori elementari delle forze agenti sui punti del sistema sul possibile spostamento del sistema:

Lasciamo che il sistema olonomico abbia gradi di libertà e, quindi, la sua posizione nello spazio è determinata coordinate generalizzate
.

Sostituendo la (225) nella (226) e cambiando l'ordine di somma degli indici E , otteniamo

. (226")

dove è la quantità scalare

chiamato forza generalizzata relativa alla coordinata generalizzata . Utilizzando famosa espressione per il prodotto scalare di due vettori, la forza impartita può anche essere rappresentata come

– proiezioni di forza sugli assi coordinati;
– coordinate del punto di applicazione della forza.

La dimensione della forza generalizzata secondo (226") dipende dalla dimensione come segue , coincidente con la dimensione :

, (228)

cioè, la dimensione della forza generalizzata è uguale alla dimensione del lavoro della forza (energia) o del momento della forza, diviso per la dimensione della coordinata generalizzata a cui è assegnata la forza generalizzata. Ne consegue che una forza generalizzata può avere la dimensione della forza o del momento della forza.

Calcolo della forza generalizzata

1. La forza generalizzata può essere calcolata utilizzando la formula (227), che la definisce, vale a dire

2. Le forze generalizzate possono essere calcolate come coefficienti per le corrispondenti variazioni delle coordinate generalizzate nell'espressione per il lavoro elementare (226"), cioè

3. Il metodo più appropriato per calcolare le forze generalizzate, che si ottiene da (226 ""), è se al sistema viene dato un possibile movimento in cui cambia solo una coordinata generalizzata, mentre le altre non cambiano. Quindi, se
, e il resto
, allora da (179") abbiamo

.

Indice indica che la somma dei lavori elementari è calcolata su un possibile spostamento, durante il quale cambia (varia) solo la coordinata . Se la coordinata variabile è , Quello

. (227")

Condizioni di equilibrio per un sistema di forze in termini di forze generalizzate

Condizioni di equilibrio del sistema derivano dal principio dei movimenti possibili. Si applicano ai sistemi per i quali vale questo principio: per l'equilibrio di un sistema meccanico soggetto a vincoli olonomi, stazionari, ideali e non rilascianti, nel momento in cui le velocità di tutti i punti del sistema sono uguali a zero, è necessario e sufficiente che tutte le forze generalizzate siano uguali a zero

. (228")

3.6.7. Equazione generale della dinamica

Equazione generale della dinamica per un sistema con qualsiasi connessione (principio combinato di d'Alembert-Lagrange O equazione generale della meccanica):

, (229)

Dove – forza attiva applicata -esimo punto del sistema; – forza di reazione dei legami;
– forza d'inerzia puntuale; – possibile movimento.

Nel caso di equilibrio del sistema, quando tutte le forze inerziali dei punti del sistema si annullano, si trasforma nel principio dei possibili spostamenti. Di solito viene utilizzato per sistemi con connessioni ideali, per i quali la condizione è soddisfatta

In questo caso (229) assume una delle forme:

,

,

. (230)

Così, secondo l'equazione generale della dinamica, in ogni momento del movimento di un sistema con connessioni ideali, la somma dei lavori elementari di tutte le forze attive e delle forze di inerzia dei punti del sistema è uguale a zero in ogni possibile movimento del sistema consentito dalle connessioni.

L'equazione generale della dinamica può avere altre forme equivalenti. Espandendo il prodotto scalare dei vettori, può essere espresso come

Dove
– coordinate -esimo punto del sistema. Considerando che le proiezioni delle forze d'inerzia sugli assi coordinati attraverso le proiezioni delle accelerazioni su tali assi sono espresse dalle relazioni

,

all'equazione generale della dinamica può essere data la forma

In questa forma si chiama equazione generale della dinamica in forma analitica.

Quando si utilizza l'equazione generale della dinamica è necessario poter calcolare il lavoro elementare delle forze d'inerzia del sistema sugli eventuali spostamenti. Per fare ciò, applicare le formule corrispondenti al lavoro elementare ottenute per le forze ordinarie. Consideriamo la loro applicazione alle forze inerziali di un corpo rigido in casi particolari del suo movimento.

Durante il movimento in avanti. In questo caso il corpo ha tre gradi di libertà e, a causa dei vincoli imposti, può compiere solo movimenti traslatori. Anche i possibili movimenti del corpo che consentono le connessioni sono traslazionali.

Le forze d'inerzia durante il movimento traslatorio sono ridotte alla risultante
. Per la somma dei lavori elementari delle forze d'inerzia sul possibile movimento traslatorio di un corpo, si ottiene

Dove
– possibile movimento del baricentro e di qualsiasi punto del corpo, poiché il possibile movimento traslatorio di tutti i punti del corpo è lo stesso: anche le accelerazioni sono le stesse, cioè
.

Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso. Il corpo in questo caso ha un grado di libertà. Può ruotare attorno ad un asse fisso
. Il movimento possibile, consentito dai collegamenti sovrapposti, è anch'esso una rotazione del corpo di un angolo elementare
attorno ad un asse fisso.

Forze di inerzia ridotte a un punto sull'asse di rotazione, sono ridotti al vettore principale e il punto principale
. Vettore principale ad un punto fisso vengono applicate forze d'inerzia e il suo lavoro elementare sul possibile spostamento è zero. Per il momento principale delle forze d'inerzia, il lavoro elementare diverso da zero verrà eseguito solo mediante la sua proiezione sull'asse di rotazione
. Quindi, per la somma del lavoro delle forze d'inerzia sul possibile spostamento in esame abbiamo

,

se l'angolo
riportare nella direzione della freccia dell'arco accelerazione angolare.

In movimento piatto. Connessioni imposte solido, consentire in questo caso solo il movimento possibile del piano. Nel caso generale consiste in un possibile movimento traslatorio insieme al polo, per il quale si sceglie il baricentro, e in una rotazione di un angolo elementare
attorno all'asse
, passante per il centro di massa e perpendicolare al piano parallelo al quale il corpo può compiere moto piano.

Poiché le forze d'inerzia nel movimento piano di un corpo rigido possono essere ridotte al vettore principale e il punto principale
(se scegliamo il centro di massa come centro di riduzione), allora la somma del lavoro elementare delle forze d'inerzia su un piano il possibile spostamento sarà ridotto al lavoro elementare del vettore forza d'inerzia
sul possibile movimento del centro di massa e sul lavoro elementare delle principali forze del momento d'inerzia su un movimento rotatorio elementare attorno ad un asse
, passante per il centro di massa. In questo caso, il lavoro elementare diverso da zero può essere eseguito solo proiettando sull'asse le forze del momento d'inerzia principale
, cioè.
. Quindi, nel caso in esame abbiamo

se la rotazione avviene di un angolo elementare
dirigere in una freccia ad arco verso .

Naturalmente, quando si calcola questa forza generalizzata, l'energia potenziale dovrebbe essere determinata in funzione delle coordinate generalizzate

P = P( Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…,qs).

Note.

Primo. Nel calcolo delle forze di reazione generalizzate non vengono prese in considerazione le connessioni ideali.

Secondo. La dimensione della forza generalizzata dipende dalla dimensione della coordinata generalizzata. Quindi se la dimensione [ Q] – metro, quindi la dimensione

[Q]= Nm/m = Newton, se [ Q] – radiante, quindi [Q] = Nm; Se [ Q] = m 2, quindi [Q] = H/m, ecc.

Esempio 4. Un anello scorre lungo un'asta oscillante su un piano verticale. M peso R(Fig. 10). Consideriamo l'asta senza peso. Definiamo le forze generalizzate.

Fig.10

Soluzione. Il sistema ha due gradi di libertà. Assegniamo due coordinate generalizzate S E .

Troviamo la forza generalizzata corrispondente alla coordinata S. Diamo un incremento a questa coordinata, lasciandola invariata, e calcolando il lavoro dell'unica forza attiva R, otteniamo la forza generalizzata

Quindi incrementiamo la coordinata, assumendo S= cost. Quando l'asta viene ruotata di un angolo, il punto di applicazione della forza R, squillo M, si sposterà in . La forza generalizzata sarà

Poiché il sistema è conservativo, le forze generalizzate possono essere trovate anche utilizzando l'energia potenziale. Otteniamo E . Risulta molto più semplice.

Equazioni di equilibrio di Lagrange

Per definizione (7) forze generalizzate , k = 1,2,3,…,S, Dove S– numero di gradi di libertà.

Se il sistema è in equilibrio, allora secondo il principio degli spostamenti possibili (1) . Ecco i movimenti consentiti dai collegamenti, gli spostamenti possibili. Pertanto, quando un sistema materiale è in equilibrio, tutte le sue forze generalizzate sono pari a zero:

Qk= 0, (k=1,2,3,…, S). (10)

Queste equazioni equazioni di equilibrio in coordinate generalizzate O Equazioni di equilibrio di Lagrange , consentire un ulteriore metodo per risolvere problemi di statica.

Se il sistema è conservativo, allora . Ciò significa che è in una posizione di equilibrio. Cioè, nella posizione di equilibrio di un tale sistema materiale, la sua energia potenziale è massima o minima, cioè la funzione П(q) ha un estremo.

Ciò è evidente dall'analisi dell'esempio più semplice (Fig. 11). Energia potenziale della palla in posizione M 1 ha un minimo, in posizione M 2 – massimo. Si può notare che in posizione M 1 l'equilibrio sarà stabile; in posizione M 2 – instabile.

Fig.11

L'equilibrio è considerato stabile se al corpo in questa posizione viene data una bassa velocità o spostato per una piccola distanza e queste deviazioni non aumentano in futuro.

Si può dimostrare (teorema di Lagrange-Dirichlet) che se nella posizione di equilibrio di un sistema conservativo la sua energia potenziale è minima, allora questa posizione di equilibrio è stabile.

Per un sistema conservativo ad un grado di libertà, la condizione per l'energia potenziale minima, e quindi la stabilità della posizione di equilibrio, è determinata dalla derivata seconda, il suo valore nella posizione di equilibrio,

Esempio 5. Nocciolo OA peso R può ruotare su un piano verticale attorno ad un asse DI(Fig. 12). Cerchiamo e studiamo la stabilità delle posizioni di equilibrio.

Fig.12

Soluzione. L'asta ha un grado di libertà. Coordinata generalizzata – angolo.

Rispetto alla posizione zero inferiore, energia potenziale P = Ph O

Nella posizione di equilibrio dovrebbe esserci . Quindi abbiamo due posizioni di equilibrio corrispondenti agli angoli e (posizioni OA 1 e OA 2). Esploriamo la loro stabilità. Trovare la derivata seconda. Naturalmente, con , . La posizione di equilibrio è stabile. A , . La seconda posizione di equilibrio è instabile. I risultati sono evidenti.

Forze d'inerzia generalizzate.

Utilizzando lo stesso metodo (8) con cui sono state calcolate le forze generalizzate Qk, corrispondenti alle forze attive, specificate, vengono determinate anche le forze generalizzate S k, corrispondenti alle forze di inerzia dei punti del sistema:

E da allora Quello

Alcune trasformazioni matematiche.

Ovviamente,

Poiché a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), allora

Ciò significa che la derivata parziale della velocità rispetto a

Inoltre, nell'ultimo termine (14) è possibile modificare l'ordine di differenziazione:

Sostituendo la (15) e la (16) nella (14), e poi la (14) nella (13), otteniamo

Dividendo l'ultima somma per due e tenendo presente che la somma delle derivate è uguale alla derivata della somma, otteniamo

dove è l'energia cinetica del sistema e è la velocità generalizzata.

Equazioni di Lagrange.

Per definizione (7) e (12) forze generalizzate

Ma in base all’equazione della dinamica generale (3), lato destro l'uguaglianza è zero. E poiché tutto ( k = 1,2,3,…,S) sono diversi da zero, allora . Sostituendo il valore della forza d'inerzia generalizzata (17), otteniamo l'equazione

Queste equazioni sono chiamate equazioni differenziali del moto in coordinate generalizzate, equazioni di Lagrange del secondo tipo o semplicemente – Equazioni di Lagrange.

Il numero di queste equazioni è uguale al numero di gradi di libertà del sistema materiale.

Se il sistema è conservativo e si muove sotto l'influenza di potenziali forze di campo, quando le forze generalizzate sono , le equazioni di Lagrange possono essere composte nella forma

Dove l = T– Si chiama P Funzione lagrangiana (si assume che l'energia potenziale P non dipenda dalle velocità generalizzate).

Spesso, quando si studia il movimento dei sistemi materiali, si scopre che alcune coordinate sono generalizzate q j non sono inclusi esplicitamente nella funzione Lagrange (o in T e P). Tali coordinate sono chiamate ciclico. Le equazioni di Lagrange corrispondenti a queste coordinate si ottengono più semplicemente.

Il primo integrale di tali equazioni può essere trovato immediatamente. Si chiama integrale ciclico:

Ulteriori studi e trasformazioni delle equazioni di Lagrange sono oggetto di una sezione speciale meccanica teorica- “Meccanica analitica”.

Le equazioni di Lagrange presentano numerosi vantaggi rispetto ad altri metodi di studio del movimento dei sistemi. Principali vantaggi: il metodo di composizione delle equazioni è lo stesso in tutti i problemi, le reazioni delle connessioni ideali non vengono prese in considerazione durante la risoluzione dei problemi.

E ancora una cosa: queste equazioni possono essere utilizzate per studiare non solo i sistemi meccanici, ma anche altri sistemi fisici (elettrico, elettromagnetico, ottico, ecc.).

Esempio 6. Continuiamo il nostro studio del movimento dell'anello M su un'asta oscillante (esempio 4).

Vengono assegnate le coordinate generalizzate – e s (Fig. 13). Le forze generalizzate sono definite: e .

Fig.13

Soluzione. Energia cinetica dell'anello Dove a e .

Componiamo due equazioni di Lagrange

quindi le equazioni appaiono così:

Abbiamo ottenuto due equazioni differenziali non lineari del secondo ordine, la cui soluzione richiede metodi speciali.

Esempio 7. Creiamo un'equazione differenziale del moto della trave AB, che rotola senza strisciare lungo una superficie cilindrica (Fig. 14). Lunghezza del raggio AB = l, peso - R.

Nella posizione di equilibrio, la trave era orizzontale e baricentrica CON si trovava nel punto più alto del cilindro. La trave ha un grado di libertà. La sua posizione è determinata da una coordinata generalizzata: un angolo (Fig. 76).

Fig.14

Soluzione. Il sistema è conservativo. Pertanto, comporremo l'equazione di Lagrange utilizzando l'energia potenziale P=mgh, calcolata rispetto alla posizione orizzontale. Nel punto di contatto si trova un centro istantaneo di velocità e (pari alla lunghezza dell'arco circolare con angolo ).

Pertanto (vedi Fig. 76) e .

Energia cinetica (il raggio subisce un movimento piano parallelo)

Troviamo le derivate necessarie per l'equazione e

Facciamo un'equazione

o, infine,

Domande di autotest

Come si chiama il movimento possibile di un sistema meccanico vincolato?

Come sono correlati i movimenti possibili ed effettivi del sistema?

Quali connessioni sono chiamate: a) stazionarie; b) ideale?

Formulare il principio dei movimenti possibili. Annota la sua espressione stereotipata.

È possibile applicare il principio dei movimenti virtuali a sistemi con connessioni non ideali?

Quali sono le coordinate generalizzate di un sistema meccanico?

Qual è il numero di gradi di libertà di un sistema meccanico?

In che caso le coordinate cartesiane dei punti del sistema dipendono non solo dalle coordinate generalizzate, ma anche dal tempo?

Come si chiamano i possibili movimenti di un sistema meccanico?

I possibili movimenti dipendono dalle forze che agiscono sul sistema?

Quali connessioni di un sistema meccanico sono chiamate ideali?

Perché un legame creato con attrito non è un legame ideale?

Come è formulato il principio dei movimenti possibili?

Che tipologie può avere l’equazione del lavoro?

Perché il principio degli spostamenti possibili semplifica la derivazione delle condizioni di equilibrio per le forze applicate sistemi proprietari, composto da gran numero telefono?

Come si costruiscono le equazioni di lavoro per le forze che agiscono su un sistema meccanico con diversi gradi di libertà?

Qual è la relazione tra forza motrice e la forza di resistenza nelle macchine più semplici?

Come è formulato? regola d'oro meccanica?

Come vengono determinate le reazioni delle connessioni utilizzando il principio dei movimenti possibili?

Quali connessioni sono chiamate olonome?

Qual è il numero di gradi di libertà di un sistema meccanico?

Quali sono le coordinate generalizzate del sistema?

Quante coordinate generalizzate ha un sistema meccanico non libero?

Quanti gradi di libertà ha il volante di un'auto?

Cos'è la forza generalizzata?

Scrivi una formula che esprima il lavoro elementare totale di tutte le forze applicate al sistema in coordinate generalizzate.

Come viene determinata la dimensione della forza generalizzata?

Come vengono calcolate le forze generalizzate nei sistemi conservativi?

Scrivi una delle formule che esprimono l'equazione generale della dinamica di un sistema con connessioni ideali. Che cosa significato fisico questa equazione?

Qual è la forza generalizzata delle forze attive applicate ad un sistema?

Qual è la forza d'inerzia generalizzata?

Formulare il principio di d'Alembert in forze generalizzate.

Qual è l'equazione generale della dinamica?

Qual è la cosiddetta forza generalizzata corrispondente a qualche coordinata generalizzata del sistema, e che dimensione ha?

Quali sono le reazioni generalizzate dei legami ideali?

Derivare l'equazione generale della dinamica nelle forze generalizzate.

Come sono le condizioni di equilibrio delle forze applicate ad un sistema meccanico ottenute dall'equazione generale della dinamica delle forze generalizzate?

Quali formule esprimono forze generalizzate attraverso proiezioni di forze sugli assi fissi delle coordinate cartesiane?

Come vengono determinate le forze generalizzate nel caso delle forze conservatrici e nel caso delle forze non conservatrici?

Quali connessioni sono chiamate geometriche?

Fornire una rappresentazione vettoriale del principio dei possibili spostamenti.

Dai un nome a ciò di cui hai bisogno e condizione sufficiente equilibrio di un sistema meccanico con connessioni geometriche stazionarie ideali.

Quali proprietà ha la funzione forza di un sistema conservativo in uno stato di equilibrio?

Scrivere un sistema di equazioni differenziali di Lagrange del secondo tipo.

Quante equazioni di Lagrange del secondo tipo si possono costruire per un sistema meccanico vincolato?

Il numero di equazioni di Lagrange di un sistema meccanico dipende dal numero di corpi inclusi nel sistema?

Qual è il potenziale cinetico di un sistema?

Per quali sistemi meccanici esiste la funzione di Lagrange?

Con quali argomenti vale la funzione del vettore velocità di un punto appartenente ad un sistema meccanico S gradi di libertà?

Qual è la derivata parziale del vettore velocità di un punto del sistema rispetto ad una velocità generalizzata?

La funzione di quali argomenti è l'energia cinetica di un sistema soggetto a vincoli olonomi non stazionari?

Che forma hanno le equazioni di Lagrange del secondo tipo? Qual è il numero di queste equazioni per ciascun sistema meccanico?

Che forma assumono le equazioni di Lagrange del secondo tipo nel caso in cui sul sistema agiscono contemporaneamente forze conservatrici e non conservatrici?

Cos'è la funzione di Lagrange o potenziale cinetico?

Che forma hanno le equazioni di Lagrange del secondo tipo per un sistema conservativo?

A seconda di cosa variabili si dovrebbe esprimere l'energia cinetica di un sistema meccanico quando si compongono le equazioni di Lagrange?

Come viene determinata l'energia potenziale di un sistema meccanico sotto l'influenza di forze elastiche?

Problemi da risolvere in autonomia

Compito 1. Utilizzando il principio dei possibili spostamenti, determinare le reazioni delle connessioni delle strutture composite. Gli schemi strutturali sono mostrati in Fig. 15, ed i dati necessari per la soluzione sono riportati nella tabella. 1. Nelle immagini tutte le dimensioni sono espresse in metri.

Tabella 1

R 1,kN R 2, kN Q, kN/m M, kNm R 1,kN R 2, kN Q, kN/m M, kNm

Opzione 1 Opzione 2

Opzione 3 Opzione 4

Opzione 5 Opzione 6

Opzione 7 Opzione 8

Fig.16 Fig.17

Soluzione.È facile verificare che in questo problema sono soddisfatte tutte le condizioni per l'applicazione del principio di Lagrange (il sistema è in equilibrio, le connessioni sono stazionarie, olonome, confinanti e ideali).

Liberiamoci dalla connessione corrispondente alla reazione X A (figura 17). Per fare ciò, nel punto A, la cerniera fissa dovrebbe essere sostituita, ad esempio, con un supporto ad asta, nel qual caso il sistema riceve un grado di libertà. Come già notato, il possibile movimento del sistema è determinato dai vincoli ad esso imposti e non dipende dalle forze applicate. Pertanto, determinare i possibili spostamenti è un problema cinematico. Poiché in questo esempio la cornice può muoversi solo nel piano dell'immagine, anche i suoi possibili movimenti sono planari. Nel moto piano, il movimento del corpo può essere considerato come una rotazione attorno al centro istantaneo delle velocità. Se il centro istantaneo delle velocità si trova all'infinito, ciò corrisponde al caso del moto traslatorio istantaneo, quando gli spostamenti di tutti i punti del corpo sono gli stessi.

Per trovare il centro istantaneo delle velocità è necessario conoscere le direzioni delle velocità di due punti qualsiasi del corpo. Pertanto, la determinazione dei possibili spostamenti di una struttura composita dovrebbe iniziare con la ricerca dei possibili spostamenti dell'elemento per il quale tali velocità sono note. In questo caso, dovresti iniziare con la cornice CDB, fin dal suo punto INè immobile e, quindi, il movimento possibile di questo telaio è la sua rotazione di un angolo attorno ad un asse passante per la cerniera B. Ora, conoscendo il possibile movimento del punto CON(appartiene contemporaneamente ad entrambi i fotogrammi del sistema) e l'eventuale movimento del punto UN(un possibile spostamento del punto A è il suo spostamento lungo l'asse X), trovare il centro della velocità istantanea C 1 del sistema di riferimento AES. Quindi, possibile movimento del telaio AESè la sua rotazione attorno al punto C 1 di un angolo . Il collegamento tra gli angoli e viene determinato attraverso lo spostamento del punto C (vedi Fig. 17)

Dalla somiglianza dei triangoli EC 1 C e BCD abbiamo

Di conseguenza, otteniamo le dipendenze:

Secondo il principio dei movimenti possibili

Calcoliamo in sequenza i possibili lavori qui inclusi:

Q=2q – risultante carico distribuito, il cui punto di applicazione è mostrato in Fig. 79; il lavoro possibile compiuto da esso è uguale.

1. La forza generalizzata può essere calcolata utilizzando la formula (227), che la definisce, vale a dire

2. Le forze generalizzate possono essere calcolate come coefficienti per le corrispondenti variazioni delle coordinate generalizzate nell'espressione per il lavoro elementare (226"), cioè

3. Il metodo più appropriato per calcolare le forze generalizzate, che si ottiene da (226 ""), è se al sistema viene dato un possibile movimento in cui cambia solo una coordinata generalizzata, mentre le altre non cambiano. Quindi, se e il resto , allora da (179") abbiamo

.

L'indice indica che la somma dei lavori elementari è calcolata su un possibile spostamento, durante il quale cambia (varia) solo la coordinata. Se la coordinata variabile è , allora

. (227")

Condizioni di equilibrio per un sistema di forze in termini di forze generalizzate

Condizioni di equilibrio del sistema derivano dal principio dei movimenti possibili. Si applicano ai sistemi per i quali vale questo principio: per l'equilibrio di un sistema meccanico soggetto a vincoli olonomi, stazionari, ideali e non rilascianti, nel momento in cui le velocità di tutti i punti del sistema sono uguali a zero, è necessario e sufficiente che tutte le forze generalizzate siano uguali a zero

. (228")

Equazione generale della dinamica

L'equazione generale della dinamica per un sistema con qualsiasi connessione (principio combinato di D'Alembert-Lagrange O equazione generale della meccanica):

, (229)

dove è la forza attiva applicata al punto th del sistema; – forza di reazione dei legami; – forza d'inerzia puntuale; – possibile movimento.

Nel caso di equilibrio del sistema, quando tutte le forze inerziali dei punti del sistema si annullano, si trasforma nel principio dei possibili spostamenti. Di solito viene utilizzato per sistemi con connessioni ideali, per i quali la condizione è soddisfatta

In questo caso (229) assume una delle forme:

,

,

. (230)

Così, secondo l'equazione generale della dinamica, in ogni momento del movimento di un sistema con connessioni ideali, la somma dei lavori elementari di tutte le forze attive e delle forze di inerzia dei punti del sistema è uguale a zero in ogni possibile movimento del sistema consentito dalle connessioni.

L'equazione generale della dinamica può avere altre forme equivalenti. Rivelando prodotto scalare vettori, può essere espresso come

dove sono le coordinate del-esimo punto del sistema. Considerando che le proiezioni delle forze d'inerzia sugli assi coordinati attraverso le proiezioni delle accelerazioni su tali assi sono espresse dalle relazioni

,

all'equazione generale della dinamica può essere data la forma

In questa forma si chiama equazione generale della dinamica in forma analitica.

Quando si utilizza l'equazione generale della dinamica è necessario poter calcolare il lavoro elementare delle forze d'inerzia del sistema sugli eventuali spostamenti. Per fare ciò, applicare le formule corrispondenti al lavoro elementare ottenute per le forze ordinarie. Consideriamo la loro applicazione alle forze inerziali di un corpo rigido in casi particolari del suo movimento.

Durante il movimento in avanti. In questo caso il corpo ha tre gradi di libertà e, a causa dei vincoli imposti, può compiere solo movimenti traslatori. Anche i possibili movimenti del corpo che consentono le connessioni sono traslazionali.

Le forze d'inerzia durante il movimento traslatorio sono ridotte alla risultante . Per la somma dei lavori elementari delle forze d'inerzia sul possibile movimento traslatorio di un corpo, si ottiene

dov'è il possibile spostamento del centro di massa e di qualsiasi punto del corpo, poiché lo spostamento possibile traslatorio di tutti i punti del corpo è lo stesso: anche le accelerazioni sono le stesse, cioè

Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso. Il corpo in questo caso ha un grado di libertà. Può ruotare attorno ad un asse fisso. Il possibile movimento consentito dai collegamenti sovrapposti è anch'esso una rotazione del corpo di un angolo elementare attorno ad un asse fisso.

Le forze d'inerzia ridotte ad un punto sull'asse di rotazione sono ridotte al vettore principale e al momento principale. Il vettore principale delle forze d'inerzia è applicato ad un punto fisso e il suo lavoro elementare sul possibile spostamento è zero. Per il momento principale delle forze d'inerzia, il lavoro elementare diverso da zero verrà eseguito solo mediante la sua proiezione sull'asse di rotazione. Quindi, per la somma del lavoro delle forze d'inerzia sul possibile spostamento in esame abbiamo

,

se l'angolo è riportato nella direzione della freccia dell'arco di accelerazione angolare.

In movimento piatto. In questo caso i vincoli imposti al corpo rigido consentono solo possibili movimenti planari. Nel caso generale consiste in un eventuale movimento di traslazione insieme ad un polo, per il quale si sceglie il centro di massa, e in una rotazione di un angolo elementare attorno ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare al piano parallelo al quale il corpo può compiere movimenti piani.