Il numero 24 ha il multiplo più grande. Numeri naturali (N)

Sinossi parole chiave:Interi. Operazioni aritmetiche sui numeri naturali. Divisibilità dei numeri naturali. Numeri primi e composti. Scomposizione di un numero naturale in fattori primi. Segni di divisibilità per 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Il massimo comune divisore (MCD), così come il minimo comune multiplo (LCM). Divisione con resto.

Interi sono numeri usati per contare gli oggetti - 1, 2, 3, 4 , ... Ma il numero 0 non è naturale!

L'insieme dei numeri naturali è n. Registrazione "3 ∈ N" significa che il numero tre appartiene all'insieme dei numeri naturali e alla notazione "0 ∉ N" significa che il numero zero non appartiene a questo insieme.

Sistema di numeri decimali- sistema numerico posizionale basato su 10 .

Operazioni aritmetiche sui numeri naturali

Per i numeri naturali, sono definite le seguenti azioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, esponenziazione, estrazione della radice. I primi quattro passaggi sono aritmetica.

Siano allora a, b e c numeri naturali

1. AGGIUNTA. Durata + Durata = Somma

Proprietà aggiuntive
1. Commutativo a + b = b + a.
2. Combinativo a + (b + c) \u003d (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. Sottrai. Ridotto - Sottratto = Differenza

proprietà di sottrazione
1. Sottrazione della somma dal numero a - (b + c) \u003d a - b - c.
2. Sottraendo un numero dalla somma (a + b) - c \u003d a + (b - c); (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a \u003d 0.

3. MOLTIPLICAZIONE. Moltiplicatore * Moltiplicatore = Prodotto

Proprietà di moltiplicazione
1. Commutativo a * b \u003d b * a.
2. Combinativo a * (b * c) \u003d (a * b) * c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * un = un * 0 = 0.
5. Distribuzione (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc.

4. DIVISIONE. Dividendo: Divisore = Quoziente

proprietà di divisione
1. a: 1 = a.
2. a: a = 1. Non puoi dividere per zero!
3. 0: a=0.

Procedura

1. Innanzitutto, le azioni tra parentesi.
2. Quindi moltiplicazione, divisione.
3. E solo alla fine dell'addizione, sottrazione.

Divisibilità dei numeri naturali. Numeri primi e composti.

Divisore di un numero naturale maè chiamato il numero naturale per cui ma diviso senza resto. Numero 1 è un divisore di qualsiasi numero naturale.

Viene chiamato il numero naturale semplice se solo ha Due divisore: uno e il numero stesso. Ad esempio, i numeri 2, 3, 11, 23 sono numeri primi.

Viene chiamato un numero con più di due divisori composito. Ad esempio, i numeri 4, 8, 15, 27 sono numeri composti.

segno di divisibilità lavori più numeri: se almeno uno dei fattori è divisibile per un numero, allora anche il prodotto è divisibile per questo numero. Lavoro 24 15 77 diviso per 12 , poiché il fattore di questo numero 24 diviso per 12 .

Segno di divisibilità della somma (differenza) numeri: se ogni termine è divisibile per un numero, allora l'intera somma è divisibile per questo numero. Se a: b e c: b, poi (a + c): b. E se a: b, ma C non divisibile per B, poi a+c non divisibile per numero B.

Se corrente alternata e c: b, poi a: b. Basandoci sul fatto che 72:24 e 24:12, concludiamo che 72:12.

Si chiama la rappresentazione di un numero come prodotto di potenze di numeri primi scomporre un numero in fattori primi.

Teorema fondamentale dell'aritmetica: qualsiasi numero naturale (tranne 1 ) o è semplice, oppure può essere scomposto in fattori primi in un solo modo.

Quando si scompone un numero in fattori primi, vengono utilizzati i segni di divisibilità e la notazione "colonna": in questo caso, il divisore si trova a destra della barra verticale e il quoziente viene scritto sotto il dividendo.

Ad esempio, il compito: scomporre un numero in fattori primi 330 . Soluzione:

Segni di divisibilità per 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 e 11.

Ci sono segni di divisibilità in 6, 15, 45 ecc., cioè in numeri il cui prodotto può essere scomposto 2, 3, 5, 9 e 10 .

Massimo comun divisore

Viene chiamato il numero naturale più grande per il quale ciascuno dei due numeri naturali dati è divisibile massimo comun divisore questi numeri ( GCD). Ad esempio, gcd (10; 25) = 5; e MCD (18; 24) = 6; CCD (7; 21) = 1.

Se è il massimo comun divisore di due numeri naturali 1 , quindi vengono chiamati questi numeri coprimi.

Algoritmo per trovare il massimo comun divisore(GCD)

GCD è spesso usato nei problemi. Ad esempio, 155 quaderni e 62 penne sono stati divisi equamente tra studenti della stessa classe. Quanti studenti ci sono in questa classe?

Soluzione: Trovare il numero di studenti in questa classe si riduce a trovare il massimo comun divisore dei numeri 155 e 62, poiché quaderni e penne erano divisi equamente. 155 = 531; 62 = 231. GCD (155; 62) = 31.

Risposta: 31 studenti in classe.

Minimo comune multiplo

Multiplo di un numero naturale maè un numero naturale divisibile per ma senza traccia. Ad esempio, numero 8 ha multipli: 8, 16, 24, 32 , ... Qualsiasi numero naturale ha infiniti multipli.

Minimo comune multiplo(LCM) è il numero naturale più piccolo che è un multiplo di questi numeri.

L'algoritmo per trovare il minimo comune multiplo ( NOC):

LCM è spesso utilizzato anche nei problemi. Ad esempio, due ciclisti sono partiti contemporaneamente sulla pista ciclabile nella stessa direzione. Uno fa un cerchio in 1 minuto e l'altro in 45 s. In quale numero minimo di minuti dopo l'inizio del movimento si incontreranno alla partenza?

Soluzione: Il numero di minuti trascorsi i quali si incontrano nuovamente alla partenza deve essere divisibile per 1 minuto, così come su 45 sec. In 1 minuto = 60 s. Cioè, è necessario trovare il LCM (45; 60). 45 = 325; 60 = 22 3 5. NOC (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. Di conseguenza, risulta che i ciclisti si incontreranno alla partenza dopo 180 s = 3 min.

Risposta: 3 min.

Divisione con resto

Se un numero naturale ma non divisibile per un numero naturale B, allora puoi farlo divisione con resto. In questo caso viene chiamato il quoziente risultante incompleto. La giusta uguaglianza è:

a = b n + r,

dove ma- divisibile B- divisore, n- quoziente incompleto, R- resto. Ad esempio, lascia che sia il dividendo 243 , divisore - 4 , poi 243: 4 = 60 (resto 3). Cioè, a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r \u003d 3, quindi 243 = 60 4 + 3 .

Numeri divisibili per 2 senza lasciare traccia, sono chiamati Anche: a = 2n,n ∈ N.

Il resto dei numeri viene chiamato strano: b = 2n + 1,n ∈ N.

Questa è una sinossi sull'argomento. "Interi. Segni di divisibilità». Per continuare, seleziona i passaggi successivi:

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Il numero naturale è uno dei concetti di base e forse uno dei primi della matematica.

Insieme di numeri naturali = (1, 2, 3…). Cioè, l'insieme dei numeri naturali è l'insieme di tutti gli interi positivi. Le operazioni di addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione sono definite sui numeri naturali. Il risultato dell'addizione, della moltiplicazione e della sottrazione di due numeri naturali è un intero. E il risultato della divisione di due numeri naturali può essere un numero intero o un numero frazionario.

Ad esempio: 20: 4 = 5 - il risultato della divisione è un numero intero.
20: 3 \u003d 6 2/3 - il risultato della divisione è un numero frazionario.
Un numero naturale n si dice divisibile per un numero naturale m se il risultato della divisione è un intero. In questo caso, il numero m è chiamato divisore del numero n e il numero n è chiamato multiplo del numero m.

Nel primo esempio 20 è divisibile per 4, 4 è un divisore di 20, 20 è un multiplo di 4.
Nel secondo esempio, il numero 20 non è divisibile per il numero 3, quindi non si può parlare di divisori e multipli.

Un numero n si dice primo se non ha divisori diversi da se stesso e uno. Esempi di numeri primi: 2, 7, 11, 97, ecc.
Un numero n si dice composto se ha divisori diversi da se stesso e uno.

Qualsiasi numero naturale può essere scomposto in un prodotto di numeri primi e questa scomposizione è unica, fino all'ordine dei fattori. Ad esempio: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - tutte queste espansioni differiscono solo nell'ordine dei fattori.

Il massimo comune divisore di due numeri m ed n è il più grande numero naturale che è divisore di entrambi m e divisore di n. Ad esempio, per i numeri 34 e 85, il massimo comun divisore è 17.

Il minimo comune multiplo di due numeri m e n è il più piccolo numero naturale che è un multiplo di entrambi m e n. Ad esempio, per i numeri 15 e 4, il minimo comune multiplo sarebbe 60.

Un numero naturale divisibile per due numeri primi è anche divisibile per il loro prodotto. Ad esempio, se un numero è divisibile per 2 e 3, allora è anche divisibile per 6 = 23, se per 11 e per 7, allora per 77.

Esempio: il numero 6930 è divisibile per 11 - 6930: 11 \u003d 630 ed è divisibile per 7 - 6930: 7 \u003d 990. Possiamo tranquillamente affermare che anche questo numero è divisibile per 77. Controlliamo: 6930: 77 \ u003d 90.

Algoritmo per scomporre il numero n in fattori primi:

1. Trova il più piccolo divisore primo di n (diverso da 1) - a1.
2. Dividi il numero n per a1, denota il quoziente per n1.
3. n=a1 n1.
4. Facciamo la stessa operazione con n1 finché non otteniamo un numero primo.

Esempio: scomporre il numero 17.136 in fattori primi

1. Il più piccolo primo divisore diverso da 1 è 2.

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. Il più piccolo divisore primo di 8568 è 2.

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. Il più piccolo divisore primo di 4284 è 2.

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. Il più piccolo primo divisore di 2142 è 2.

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. Il più piccolo primo divisore di 1071 è 3.

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. Il più piccolo primo divisore di 357 è 3.

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. Il minimo primo divisore di 119 è 7.

20. 119: 7 = 17;

21. 17 è un numero primo, quindi 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.

Abbiamo ottenuto una scomposizione del numero 17.136 in fattori primi.

multiplo comune di numeri naturaliuneBè un numero che è un multiplo di ciascuno dei numeri dati.

Il numero più piccolo di tutti i multipli comuni ma e B chiamata il minimo comune multiplo di questi numeri.

Minimo comune multiplo di numeri ma e B indichiamo K( ma, B).

Ad esempio, due numeri 12 e 18 sono multipli comuni: 36, 72, 108, 144, 180, ecc. Il numero 36 è il minimo comune multiplo dei numeri 12 e 18. Puoi scrivere: K (12, 18) \u003d 36.

Per il minimo comune multiplo, sono vere le seguenti affermazioni:

1. Minimo comune multiplo di numeri ma e B

2. Minimo comune multiplo di numeri ma e B non inferiore al maggiore dei numeri indicati, cioè Se un >B, quindi K( ma, B) ≥ ma.

3. Qualsiasi multiplo comune di numeri ma e Bè divisibile per il minimo comune multiplo.

Massimo comun divisore

Divisore comune dei numeri naturali a eBè il numero che è il divisore di ciascuno dei numeri dati.

Il maggior numero di tutti i comuni divisori di numeri ma e Bè detto massimo comun divisore dei numeri dati.

Massimo comun divisore di numeri ma e B indichiamo D( ma, B).

Ad esempio, per i numeri 12 e 18, i divisori comuni sono i numeri: 1, 2, 3, 6. Il numero 6 è 12 e 18. Puoi scrivere: D(12, 18) = 6.

Il numero 1 è un divisore comune di due numeri naturali qualsiasi un e B. Se questi numeri non hanno altri divisori comuni, allora D( ma, B) = 1 e i numeri ma e B chiamata coprimi.

Ad esempio, i numeri 14 e 15 sono coprimi poiché D(14, 15) = 1.

Per il massimo comun divisore valgono le seguenti affermazioni:

1. Massimo comun divisore di numeri un e B esiste sempre ed è unico.

2. Massimo comun divisore di numeri ma e B non supera il più piccolo dei numeri indicati, cioè Se un< B, poi D(un, B) ≤ un.

3. Massimo comun divisore di numeri un e Bè divisibile per qualsiasi comune divisore di questi numeri.

Massimo comune multiplo di numeri ma e B e il loro massimo comun divisore sono correlati: il prodotto del minimo comun multiplo e del massimo comun divisore dei numeri ma e Bè uguale al prodotto di questi numeri, cioè K( un, B)D( un, B) = un· B.

Le conseguenze derivano da questa affermazione:

a) Il minimo comune multiplo di due numeri relativamente primi è uguale al prodotto di questi numeri, cioè D( un, B) = 1 => K( un, B) = un· B;

Ad esempio, per trovare il minimo comune multiplo dei numeri 14 e 15, basta moltiplicarli, poiché D(14, 15) = 1.

B) ma divisibile per il prodotto dei numeri coprimi m e n, è necessario e sufficiente che sia divisibile per m, e così via n.

Questa affermazione è un segno di divisibilità per numeri, che può essere rappresentato come un prodotto di due numeri coprimi.

c) I quozienti ottenuti dividendo due numeri dati per il loro massimo comun divisore sono numeri coprimi.

Questa proprietà può essere utilizzata per verificare la correttezza del massimo comune divisore trovato di determinati numeri. Ad esempio, controlliamo se il numero 12 è il massimo comun divisore dei numeri 24 e 36. Per fare ciò, secondo l'ultima affermazione, dividiamo 24 e 36 per 12. Otteniamo rispettivamente i numeri 2 e 3, che sono coprimi. Pertanto, D(24, 36)=12.

Compito 32. Formulare e dimostrare il test di divisibilità per 6.

Soluzione Xè divisibile per 6, è necessario e sufficiente che sia divisibile per 2 e 3.

Lascia il numero Xè divisibile per 6. Quindi dal fatto che X 6 e 62, ne consegue che X 2. E dal fatto che X 6 e 63, ne consegue che X 3. Abbiamo dimostrato che un numero per essere divisibile per 6 deve essere divisibile per 2 e 3.

Mostriamo la sufficienza di questa condizione. Perché X 2 e X 3, quindi X- il multiplo comune dei numeri 2 e 3. Qualsiasi multiplo comune dei numeri è divisibile per il loro multiplo più piccolo, il che significa X K(2;3).

Poiché D(2, 3)=1, allora K(2, 3)=2 3=6. Di conseguenza, X 6.

Compito 33. Formulare a 12, 15 e 60.

Soluzione. In ordine per un numero naturale Xè divisibile per 12, è necessario e sufficiente che sia divisibile per 3 e 4.

In ordine per un numero naturale Xè divisibile per 15, è necessario e sufficiente che sia divisibile per 3 e 5.

In ordine per un numero naturale Xè divisibile per 60, è necessario e sufficiente che sia divisibile per 4, 3 e 5.

Compito 34. Trova i numeri un e B, se K( a, b)=75, un· B=375.

Soluzione. Usando la formula K( a, b)D( a, b)=un· B, troviamo il massimo comun divisore dei numeri desiderati ma e B:

D( un, B) === 5.

Quindi i numeri desiderati possono essere rappresentati come ma= 5R, B= 5Q, dove P e Q P e 5 Q nell'uguaglianza un b= 275. Ottieni 5 P·cinque Q=375 o P· Q=15. Risolviamo l'equazione risultante con due variabili per selezione: troviamo coppie di numeri coprimi il cui prodotto è uguale a 15. Esistono due di queste coppie: (3, 5) e (1, 15). Pertanto, i numeri desiderati ma e B questi sono: 15 e 25 o 5 e 75.

Compito 35. Trova i numeri ma e B, se è noto che D( un, B) = 7 e un· B= 1470.

Soluzione. Poiché D( un, B) = 7, allora i numeri desiderati possono essere rappresentati come ma= 7R, B= 7Q, dove P e Q sono numeri relativamente primi. Espressioni sostitutive 5 R e 5 Q nell'uguaglianza un b = 1470. Poi 7 P 7 Q= 1470 o P· Q= 30. Risolviamo l'equazione risultante con due variabili per selezione: troviamo coppie di numeri coprimi il cui prodotto è uguale a 30. Ci sono quattro di queste coppie: (1, 30), (2, 15), (3, 10) , (5, 6). Pertanto, i numeri desiderati ma e B questi sono: 7 e 210, 14 e 105, 21 e 70, 35 e 42.

Compito 36. Trova i numeri ma e B, se è noto che D( un, B) = 3 e ma:B= 17:14.

Soluzione. Perché un:B= 17:14, quindi ma= 17R e B= 14P, dove R- massimo comun divisore dei numeri ma e B. Di conseguenza, ma= 17 3 = 51, B= 14 3 = 42.

Problema 37. Trova i numeri ma e B, se è noto che K( un, B) = 180, un:B= 4:5.

Soluzione. Perché un: B=4:5, quindi ma=4R e B=5R, dove R- massimo comun divisore dei numeri un e B. Quindi R 180=4 R·cinque R. Dove R=9. Di conseguenza, a= 36 e B=45.

Problema 38. Trova i numeri ma e B, se è noto che D( a, b)=5, K( a, b)=105.

Soluzione. Poiché D( un, B) K( un, B) = un· B, poi un· B= 5 105 = 525. Inoltre, i numeri desiderati possono essere rappresentati come ma= 5R e B= 5Q, dove P e Q sono numeri relativamente primi. Espressioni sostitutive 5 R e 5 Q nell'uguaglianza ma· B= 525. Quindi 5 P·cinque Q=525 o P· Q=21. Troviamo coppie di numeri coprimi il cui prodotto è uguale a 21. Ci sono due di queste coppie: (1, 21) e (3, 7). Pertanto, i numeri desiderati ma e B questi sono: 5 e 105, 15 e 35.

Compito 39. Dimostra che il numero n(2n+ 1)(7n+ 1) è divisibile per 6 per ogni naturale n.

Soluzione. Il numero 6 è composto, può essere rappresentato come prodotto di due numeri coprimi: 6 = 2 3. Se dimostriamo che un dato numero è divisibile per 2 e 3, allora, sulla base del test di divisibilità per un numero composto, possiamo concludere che è divisibile per 6.

Per dimostrare che il numero n(2n+ 1)(7n+ 1) è divisibile per 2, ci sono due possibilità da considerare:

1) nè divisibile per 2, cioè n= 2K. Poi il prodotto n(2n+ 1)(7n+ 1) sarà simile a: 2 K(4K+ 1)(14K+ 1). Questo prodotto è divisibile per 2, perché il primo fattore è divisibile per 2;

2) n non è divisibile per 2, cioè n= 2K+ 1. Poi il prodotto n(2n+ 1 )(7n+ 1) sarà simile a: (2 K+ 1)(4K+ 3)(14K+ 8). Questo prodotto è divisibile per 2, perché l'ultimo fattore è divisibile per 2.

Per dimostrare che il lavoro n(2n+ 1)(7n+ 1) è divisibile per 3, si devono considerare tre possibilità:

1) nè divisibile per 3, cioè n= 3K. Poi il prodotto n(2n+ 1)(7n+ 1) sarà simile a: 3 K(6K+ 1)(21K+ 1). Questo prodotto è divisibile per 3, perché il primo fattore è divisibile per 3;

2) n diviso per 3, il resto è 1, cioè n= 3K+ 1. Poi il prodotto n(2n+ 1)(7n+ 1) sarà simile a: (3 K+ 1)(6K+ 3)(21K+ 8). Questo prodotto è divisibile per 3, perché il secondo fattore è divisibile per 3;

3) n diviso per 3 dà resto di 2, cioè n= 3K+ 2. Poi il prodotto n(2n+ 1)(7n+ 1) sarà simile a: (3 K+ 2)(6K+ 5)(21K+ 15). Questo prodotto è divisibile per 3, perché l'ultimo fattore è divisibile per 3.

Quindi, è dimostrato che il prodotto n(2n+ 1)(7n+ 1) è divisibile per 2 e 3. Quindi è divisibile per 6.

Esercizi per il lavoro autonomo

1. Vengono dati due numeri: 50 e 75. Annota l'insieme:

a) divisori del numero 50; b) divisori del numero 75; c) divisori comuni di questi numeri.

Qual è il massimo comun divisore di 50 e 75?

2. Il numero 375 è un multiplo comune dei numeri: a) 125 e 75; b) 85 e 15?

3. Trova i numeri ma e B, se è noto che K( un, B) = 105, un· B= 525.

4. Trova i numeri ma e B, se è noto che D( un, B) = 7, un· B= 294.

5. Trova i numeri ma e B, se è noto che D( un, B) = 5, un:B= 13:8.

6. Trova i numeri ma e B, se è noto che K( un, B) = 224, un:B= 7:8.

7. Trova i numeri un e B, se è noto che D( un, B) = 3, K( un; B) = 915.

8. Dimostrare il test di divisibilità per 15.

9. Dall'insieme dei numeri 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 scrivi quelli che sono divisibili per 12.

10. Formulare segni di divisibilità per 18, 36, 45, 75.